三角函数积分表

(完整word版)高等数学公式补充三角函数公式

此文档分为两部分：高等数学公式（13页）和补充的三角函数公式（7页）。

声明：源材料来自网络，自己稍加整理。

第一部分：高等数学公式导数公式：基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x xctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμxxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx ee shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

三角函数的积分与导数

三角函数的积分与导数三角函数是数学中重要的一类函数，具有广泛的应用。

在本文中，我们将讨论三角函数的积分与导数，探索它们的性质和相关公式。

1. 正弦函数的积分与导数正弦函数是一种周期函数，它在数学和物理中都有重要的应用。

其函数表示为：\[y = \sin(x)\]1.1 正弦函数的导数正弦函数的导数称为余弦函数，表示为：\[\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)\]1.2 正弦函数的积分正弦函数的积分称为反正弦函数或反余弦函数，表示为：\[\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C\]其中C为常数。

2. 余弦函数的积分与导数余弦函数也是一种周期函数，其函数表示为：\[y = \cos(x)\]2.1 余弦函数的导数余弦函数的导数称为正弦函数，表示为：\[\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)\]2.2 余弦函数的积分余弦函数的积分称为正弦函数的负积分，表示为：\[\int \cos(x) dx = \sin(x) + C\]其中C为常数。

3. 正切函数的导数与积分正切函数是三角函数中的另一个重要函数，其函数表示为：\[y = \tan(x)\]3.1 正切函数的导数正切函数的导数称为正切函数的平方加一的倒数，表示为：\[\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \frac{1}{\cos^2(x)}\]3.2 正切函数的积分正切函数的积分称为对数函数的负对数，表示为：\[\int \tan(x) dx = -\ln|\cos(x)| + C\]其中C为常数。

4. 其他三角函数的导数与积分除了正弦函数、余弦函数和正切函数外，还有其他三角函数如割函数、余割函数和余切函数，它们的导数和积分也有特定的性质。

4.1 割函数的导数和积分割函数的导数表示为：\[\frac{d}{dx}(\sec(x)) = \sec(x) \cdot \tan(x)\]割函数的积分表示为：\[\int \sec(x) dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C\]4.2 余割函数的导数和积分余割函数的导数表示为：\[\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x) \cdot \cot(x)\]余割函数的积分表示为：\[\int \csc(x) dx = -\ln|\csc(x) + \cot(x)| + C\]4.3 余切函数的导数和积分余切函数的导数表示为：\[\frac{d}{dx}(\cot(x)) = -\frac{1}{\sin^2(x)}\]余切函数的积分表示为：\[\int \cot(x) dx = \ln|\sin(x)| + C\]综上所述，我们讨论了正弦函数、余弦函数、正切函数以及其他三角函数的导数与积分。

最经典的三角函数的不定积分

三角函数有理式的不定积分由u(x)、v(x)及常数经过有限次四则用算所得到的函数称为关于u(x)、v(x)的有理式，并用R(u(x),v(x))表示.⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定式.一般通过变换t=tan 2x,可把他化为有理函数的不定积分。

这是因为Sinx=2222122tan12tan22cos 2sin 2cos 2sin 2t t x x x x x x +=+=+ (8) Cosx=22222222112tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos t t x x x x x x +-=+-=+- (9) dx=dt t212+ 所以dt t t t t t R dx x x R 222212)11,12()cos ,(sin ++-+=⎰⎰ （10）例3 求dx x x x⎰++)cos 1(sin sin 1解令t=tan 2x,将(8)、（9）、（10）代入被积表达式，dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1=dt tt t t t t t 2222212)111(12121+∙+-++++⎰ =)ln 22(21)12(212t t t dt t t ++=++⎰+C=C xx x +++2tan ln 212tan 2tan 412注意上面所用的交换t=tan 2x对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的，但并不意味着在任何场合都是简便的.例4 求)0(cos sin 2222≠+⎰ab xb x a dx解由于tan )(tan tan sec cos sin 22222222222⎰⎰⎰+=+=+b x a x d dx b x a x x b x a dx 故令t=tanx,就有tan )(tan tan sec cos sin 22222222222⎰⎰⎰+=+=+b x a x d dx b x a x x b x a dx =C batab +arctan 1 适当当被积函数是x x 22cos ,sin 及sinxcosx 的有理式时，采用变换t=tanx 往往比较方便.其他特殊情形可因题而异，选择合适的变换。

三角函数的不定积分与不定积分的计算

三角函数的不定积分与不定积分的计算不定积分是微积分中的一个重要概念，而三角函数在数学中也扮演着重要的角色。

本文将介绍三角函数的不定积分以及如何计算不定积分。

一、三角函数的不定积分三角函数是数学中的基本函数之一，它们包括正弦函数、余弦函数、正切函数以及它们的倒数函数。

三角函数的不定积分可以通过积分表得到，以下是常见的三角函数不定积分公式：1. 正弦函数的不定积分：∫sin(x)dx = -cos(x) + C2. 余弦函数的不定积分：∫cos(x)dx = sin(x) + C3. 正切函数的不定积分：∫tan(x)dx = -ln|cos(x)| + C其中，C为常数项。

值得注意的是，除了上述公式外，还存在许多三角函数的不定积分公式。

在计算中，我们可以根据具体函数形式选择相应的不定积分公式。

二、不定积分的计算不定积分是求解函数的原函数的过程。

计算不定积分时，我们需要注意以下几点：1. 基本积分法：对于一些常见的函数形式，我们可以使用基本积分法进行计算。

基本积分法是根据函数的导数与原函数之间的关系来进行计算的。

2. 分部积分法：当被积函数是两个函数的乘积时，可以使用分部积分法进行计算。

分部积分法的公式为∫u dv = uv - ∫v du。

3. 常数项处理：在计算不定积分时，常数项需要特殊处理。

我们需要在计算过程中将常数项保留，并且在最终结果中添加常数项。

4. 替代变量法：有时候，我们可以通过进行替代变量来简化计算。

例如，将x替代为sin(t)或cos(t)，然后进行计算。

在实际计算过程中，我们可以根据需要和题目要求灵活运用这些方法，以求得准确的结果。

三、示例为了更好地理解三角函数的不定积分及计算方法，以下是一些示例：示例1：计算∫2sin(x)cos(x)dx。

解：根据分部积分法，我们令u = sin(x)，dv = cos(x)dx。

则du =cos(x)dx，v = sin(x)，根据分部积分法的公式有：∫2sin(x)cos(x)dx = 2∫udv = 2(uv - ∫vdu)= 2sin(x)cos(x) - 2∫sin(x)d(cos(x))= 2sin(x)cos(x) - 2∫sin(x)(-sin(x))dx= 2sin(x)cos(x) + ∫sin^2(x)dx进一步计算∫sin^2(x)dx：∫sin^2(x)dx = ∫(1 - cos^2(x))dx= ∫dx - ∫cos^2(x)dx= x - ∫cos^2(x)dx根据正弦函数和余弦函数的不定积分公式，进一步计算可得：∫sin^2(x)dx = x - (sin(x)cos(x) + ∫sin(x)d(cos(x)))= x - (sin(x)cos(x) - ∫cos(x)d(sin(x)))= x - (sin(x)cos(x) + ∫cos(x)sin(x)dx)= x - (sin(x)cos(x) + ∫sin(x)dx)= x - (sin(x)cos(x) - cos(x)) + C= x - sin(x)cos(x) + cos(x) + C综合以上结果，最终计算结果为：∫2sin(x)cos(x)dx = 2sin(x)cos(x) + x - sin(x)cos(x) + cos(x) + C示例2：计算∫(sec^2(x) + tan(x))dx。

(完整版)基本积分表

基本积分表1、⎰+=c kx kdx2、⎰++=+c a x dx x a a 113、⎰+=c x dx xln 1 4、⎰+=+c x dx xarctan 112 5、⎰+=-c x dx xarcsin 112 6、⎰+=c x xdx sin cos 7、⎰+-=c x xdx cos sin8、⎰⎰+==c x xdx dx x tan sec cos 1229、⎰⎰+-==c x xdx dx xcot csc sin 122 10、⎰+=c x xdx x sec tan sec11、⎰+-=c x xdx x csc cot csc 12、⎰+=c e dx e x x13、⎰+=c aa dx a x x ln 14、⎰+=c chx shxdx 其中2xx e e shx --=为双曲正弦函数 15、⎰+=c shx chxdx 其中2xx e e chx -+=为双曲余弦函数基本积分表的扩充16、⎰+-=c x xdx cos ln tan17、⎰+=c x xdx sin ln cot18、⎰++=c x x xdx tan sec ln sec 19、c x c x x xdx +=+-=⎰2tan ln cot csc ln csc 20、⎰+=+c a x a dx xa arctan 1122 21、⎰++-=-c a x a x a dx ax ln 21122 22、⎰+-+=-c xa x a a dx x a ln 21122 23、⎰+=-c a x dx x a arcsin 122 24、⎰+++=+c a x x dx a x 2222ln 1 25、⎰+-+=-c a x x dx a x 2222ln 1sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2【注意右式前的负号】 cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】三角函数公式大全同角三角函数的基本关系倒数关系: tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝c sc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式sin² α+cos² α=1 tan α *cot α=1一个特殊公式（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin （a+θ）*sin（a-θ）锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+ cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 tanh(a) = sin h(a)/cos h(a) 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot （2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot （-α）= -cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin（π/2+α）= cosα cos（π/2+α）= -sinα tan（π/2+α）= -cotα cot（π/2+α）= -tanα sin（π/2-α）= cosα cos（π/2-α）= sinα tan （π/2-α）= cotα cot（π/2-α）= tanα sin（3π/2+α）= -cosα cos（3π/2+α）= sinα tan（3π/2+α）= -cotα cot（3π/2+α）= -tanα sin（3π/2-α）= -cosα cos（3π/2-α）= -sinα tan（3π/2-α）= cotα cot（3π/2-α）= tanα (以上k∈Z) A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = √{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } √表示根号,包括{……}中的内容诱导公式sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosαtan (-α)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²] cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]其它公式(1) (sinα)²+(cosα)²=1 (2)1+(tanα)²=(secα)² (3)1+(cotα)²=(cscα)² 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²，第二个除(cosα)²即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC 其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a) sec(a) =1/cos(a)编辑本段内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。

三角函数积分常用公式

三角函数的积分常用公式如下：
1.正弦函数的积分：
∫sin(x) dx = -cos(x) + C
2.余弦函数的积分：
∫cos(x) dx = sin(x) + C
3.正切函数的积分：
∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C
4.余切函数的积分：
∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C
5.正割函数的积分：
∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C
6.余割函数的积分：
∫csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C
7.正弦的幂函数积分：
∫sin^n(x) dx = -1/n * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-1)/n * ∫sin^(n-2)(x) dx，其中n ≠1
8.余弦的幂函数积分：
∫cos^n(x) dx = 1/n * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-1)/n * ∫cos^(n-2)(x) dx，其中n ≠1
9.正切的幂函数积分：
∫tan^n(x) dx = 1/(n-1) * tan^(n-1)(x) + ∫tan^(n-2)(x) dx，其中n ≠1
10.反正切函数的积分：
∫arctan(x) dx = x * arctan(x) - 1/2 * ln(1+x^2) + C
这些是一些常见的三角函数积分公式。

需要注意的是，在使用这些公式时，可能需要考虑定义域、常数项、积分限等因素，以确保正确计算积分。

同时，积分中的常数C 表示积分常数。

高等数学公式(定积分微积分三角函数导函数)

高等数学公式基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰ （5）arcsin x C =+（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x =-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰ （11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且（14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰ （17）2211ln ||2x adx C x a a x a -=+-+⎰ （18）sinxarc C a=+（19）ln(x C =++（20）ln |x C =++（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。

2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。

3、复习三角函数公式：2222sin cos 1,tan 1sec ,sin 22sin cos ,x x x x x x x +=+==21cos 2cos 2xx +=， 21cos 2sin 2xx -=。

注：由[()]'()[()]()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ=⎰⎰，此步为凑微分过程，所以第一类换元法也叫凑微分法。

三角函数的不定积分与定积分

三角函数的不定积分与定积分在微积分领域中，三角函数是非常重要的一类函数。

对于三角函数的不定积分和定积分，我们都可以通过一定的方法来求解。

本文将探讨三角函数的不定积分以及定积分，并介绍一些常见的积分公式和技巧。

一、三角函数的不定积分不定积分是求导的逆运算，也被称为反导数。

在求不定积分时，我们常常会遇到各种不同的三角函数及其组合。

接下来，将介绍一些常见的三角函数不定积分。

二、三角函数的定积分定积分是求函数在一个区间上的面积或曲线长度的工具。

对于三角函数的定积分，我们同样可以利用一些方法和公式来求解。