《复变函数与积分变换》习题册

《复变函数与积分变换》习题册合肥工业大学《复变函数与积分变换》校定平台课程建设项目资助2018年9月《复变函数与积分变换》第一章习题1.求下列各复数的实部、虚部、模、辐角和辐角主值:（1）122345i i i i +---； （2）312⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.2. 将下列复数写成三角表达式和指数形式:（1）1； （2）21i i+.3. 利用复数的三角表示计算下列各式:（1； （2）103⎛⎫4. 解方程310z +=.5. 设12cos z zθ-+=（0,z θ≠是z 的辐角），求证：2cos n n z z n θ-+=.6.指出满足下列各式的点z 的轨迹或所在范围.（1）arg()4z i π-=；（2）0zz az az b +++=，其中a 为复数，b 为实常数. （选做）7.用复参数方程表示曲线：连接1i +与i 41--的直线段.8.画出下列不等式所确定的图形，指出它们是否为区域、闭区域，并指明它是有界的还是无界的？是单连通区域还是多连通区域？并标出区域边界的方向.(1) 11,Re 2z z <≤；(2) 0Re 1z <<；9.函数z w 1=把下列z 平面上的曲线映射成w 平面上怎么样的曲线？ （1）224x y +=； （2）x y =； （3）1=x .10.试证：0Re limz z z→不存在.《复变函数与积分变换》第二章习题1.用导数定义求z z f Re )(=的导数.2.下列函数在何处可导，何处不可导？何处解析，何处不解析？（1）z z f 1)(=； （2））32233(3)(y y x i xy x z f -+-=；3.试讨论y ix xy z f 22)(+=的解析性，并由此回答：若复变函数),(),()(y x iv y x u z f +=中的),(y x u 和),(y x v 均可微，那么iv u z f +=)(一定可导吗？4.设3232()(f z my nx y i x lxy =+++）为解析函数，试确定,,l m n 的值.5.设()f z 在区域D 内解析，试证明在D 内下列条件是彼此等价的：（1）()f z =常数； （2）Re ()f z =常数； （3）()f z 解析.6.试解下列方程：（1）1ze =+； （2）0cos =z ； （3）0cos sin =+z z .7.求下列各式的值：（1）Ln(34)i -+； （2）i -33； （3）i e +2.8.等式33Ln 3Ln z z =是否正确？请给出理由.《复变函数与积分变换》第三章习题3.1复积分的概念与基本计算公式1. 计算积分dz ix y x C )(2⎰+-，其中C 为从原点到点1+i 的直线段.2．计算积分dz z zC ⎰的值，其中C 为2=z3.当积分路径是自i -沿虚轴到i ，利用积分性质证明：2)(22≤+⎰-dz iy x i i3.2柯西古萨基本定理1.计算积分dz z C ⎰1,其中C 为2=z2. 计算积分dz z e z C z)sin (⎰⋅-,其中C 为a z =.3.3基本定理的推广1. 计算积分dz z e Cz⎰,其中C 为正向圆周2=z 与负向圆周1=z 所组成。

2. 计算积分dz z z z C⎰--212,其中C 为包含圆周1=z 在内的任何正向简单闭曲线。

3.4原函数与不定积分 1. ⎰i dz z z π02sin2. ⎰+i z dz ze 113.5柯西积分公式1．计算下列积分（1）⎰---C dz z z z 32132，其中4:=z C ，正向；（2）⎰-C dz z z14，其中2:=z C ，正向；（3）⎰=-+C izi z C dz z e 232:,12，正向2.计算积分dz z e C z⎰+12,其中C 为 (1) 1=-i z (2) 1=+i z (3) 2=z3.已知)1()(3≠-=⎰=R d z e z f Rξξξξπ求)(),(i f i f -3.6高阶导公式1．计算下列积分 (1)⎰-C dz z z2)2(cos π，其中2:=z C ，正向(2)⎰C z dz z e 100,其中1:=z C ，正向(3)⎰+C dz a z z 3)-()2ln(,其中1:=z C ，正向，1≠a2. 已知()ξξξξξd z z f ⎰=-++=322173)(，求)4(),1(f i f '+'3.7解析函数与调和函数的关系1.已知23),(xy ax y x u +=是某一解析函数的虚部，求a2. 设()f z u iv =+为解析函数，已知222u x xy y =+-，(0)f i =.（1）求()f z 的表达式；（2）求()f z '3. 已知调和函数xy v arctan= )0(>x ，求调和函数u ，使iv u z f +=)(成为解析函数，并满足2)1(=f4. 设)0(sin >=p y ev px ，求p 的值使得v 为调和函数，并求出解析函数()iu v z f +=5.证明：2222(,),(,)x u x y x y v x y x y =+=+都是调和函数，但()(,)i (,)f z u x y v x y =+不是解析函数.6.证明：若()(,)i (,)f z u x y v x y =+是解析函数，则),(y x v -是),(y x u 的共轭调和函数《复变函数与积分变换》第四章习题4-1复数项级数1.下列数列{}n α是否收敛？如果收敛，则求出它们的极限：（1）21[1(1)]n i nn e n πα-=+-；（2）(35)7n n n i α+=．２．下列级数是否收敛？若收敛，则判别是绝对收敛还是条件收敛．（1）2ln n n i n ∞=∑；（2）22(12)5n n n n i ∞=+∑；（3）2221(1)n i n e n π∞=-∑．３．幂级数1(1)n n n a z ∞=-∑能否在2z =-处收敛，在2z =处发散？4-2幂级数1.级数0n nn c z ∞=∑的收敛半径0R >，且在收敛圆周z R =的某一点0z 处级数0n n n c z ∞=∑绝对收敛，证明级数0n n n c z ∞=∑在闭圆盘z R ≤上绝对收敛．2.下列幂级数的收敛半径： （１）21(!)nn n n z n ∞=∑；（２）12(1)3nn n n z ∞=+-∑； （３）1()n n n n a z ∞=+∑，其中a 为正实数4-3泰勒级数1．设有级数展开式12201sin(1)1n z n n z e c z i z ∞-==--+∑，问级数0(1)n n n c z i ∞=--∑的收敛半径是多少？并说明理由．2．把下列函数展开为z 的幂级数，并指出展开式成立的范围： （１）221(1)z +；（２）cos z e z ．3．求下列函数在指定点0z 处的泰勒级数展开式，并指出它们的收敛半径： （１）0sin ,4z z π=；（２）021,143z z z =++．4-4洛朗级数1．函数1tanz能否在圆环域0(0)z R R<<<<+∞内展开为洛朗级数？为什么？2．把下列函数在指定的圆环域内展开为洛朗级数：（１）21,12 1)(2)zz z <<+-(；（２）21 ()z z i-，分别在圆环域01z i<-<及1z i<-<+∞内展开；（３）11,01zze z-<-<+∞．3．利用洛朗级数展开式求积分1zCze dz ⎰的值，其中C 为正向圆周2z =．《复变函数与积分变换》第五章习题5-1孤立奇点１．下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级数：（１）2231(1)(2)z z +-；（２）51cos (1)z z z --；（３）2(1)(1)z z z e π++；（４）11z e -；（５）21sin z ．２．设函数()z ϕ与()z ψ分别以z a =为m 级与n 级极点，那么下列三个函数 （１）()()z z ϕψ；（２）()()z z ϕψ；（３）()()z z ϕψ+． 在z a =处各有什么性质？5-2留数１．求下列函数()f z在各有限奇点处的留数：（１）4221(1)zz++；（２）231z ez-；（３）31coszz；２．计算下列各积分，C为正向圆周：（1）21,:2(1)(2)Czdz C zz z-=++⎰；（2）2sin,:1()4Czdz C zz zπ=-⎰；（3）1cos,:1mCzC zz-=⎰，其中m为整数；（4）tan,:5Czdz C z=⎰．*３．利用无穷远点的留数计算下列积分：(1)13,:21zCze dz C zz=+⎰正向；（２）152243,:3(1)(2)Czdz C zz z=++⎰正向．5-3留数在定积分计算中的应用１．计算下列积分：（１）2(1)cosdaaπθθ>+⎰；（２）222(1)xdxx+∞-∞+⎰；（３）22sin(0,0)x axdx a bx b+∞>>+⎰．《复变函数与积分变换》第六章习题1、求矩形脉冲函数1,||,()0,||tf ttδδ≤⎧=⎨>⎩的傅氏变换，并验证sin2xdxxπ+∞=⎰。

2、 求函数||()(0)t f t e ββ-=>的傅氏变换，并证明||220cos 2t t d e βωπωβωβ+∞-=+⎰成立。

3、 求正弦函数0()sin f t t ω=的傅氏变换。

4、 求正弦函数3()sin f t t =的傅氏变换。

5、 利用傅氏变换的性质求函数(25)f t -的傅氏变换。

6、 求函数10,0,()1,0t f t t <⎧=⎨≥⎩与20,0,(),0t t f t e t -<⎧=⎨≥⎩的卷积。

《复变函数与积分变换》第七章习题1、 求2()cos f t t =的拉普拉斯变换。

2、 求sin ,0,()0,0t t f t t t ππ<<⎧=⎨≤≥⎩或的拉普拉斯变换。

3、 求4cos4te t -的拉普拉斯变换。

4、 求3sin2t te t -的拉普拉斯变换。

5、 求下列函数的拉普拉斯逆变换： （1）221()F s s a=+； （2）231()(1)F s s s=+。

6、 利用拉普拉斯变换求微分方程的解：331,(0)(0)(0)0.y y y y y y y ''''''-+-=⎧⎨'''===⎩7、用Laplace 变换求解微分方程23ty y y e -'''+-=，(0)0,(0)1y y '==。