第3章习题及答案(3-5)未

[3-1] 基本微分方程中没有包含水的密度，为什么说它表示了质量守恒定律?答：首先，连续性方程：()()()[]z y x n t z y x z v y v xv z y x ∆∆∆∂∂=∆∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-ρρρρ 表达了渗流区内任何一个“局部”所必须满足的质量守恒定律，且各种研究地下水运动的微分方程都是根据连续性方程和反映动量守恒定律的方程（如Darcy 定律）建立起来的。

其次，在基本微分方程，如承压水运动微分方程中：tHz H K z y H K y x H K x s ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂μ 它表明单位时间内流入、流出单位体积含水层的水量差等于同一时间内单位体积含水层弹性释放（或弹性贮存）的水量。

它还通过应用Darcy 定律反映了地下水运动中的能量守恒与转化关系。

可见，基本微分方程表达了渗流区中任何一个“局部”都必须满足质量守恒和能量守恒定律。

这一结论也适用于半承压水运动和潜水运动的基本微分方程。

最后，由：()βαρβραρμn g g n g dV dV b s +=+=+-=，所以在各基本微分方程当中，水的密度的影响是通过贮水率μs 来表达的。

[3-2] 推导渗流的连续性方程、承压水运动的基本微分方程、半承压水运动的基本微分方程、潜水运动的基本微分方程（选做其二）。

答：（1）连续性方程：设在充满液体的渗流区内，以p （x ，y ，z ）点为中心取一无限小的平行六面体（其各边长度分别为△x ，△y ，△z ，且和坐标轴平行）作为均衡单元体（图1）。

xyza a'dd'cc'bb'ΔzΔy Δxp (x,y,z )o图1 均衡单元体如p （x ，y ，z ）点沿坐标轴方向的渗流速度分量为v x 、v y 、v z ，液体密度为ρ，那么，通过abcd 面，在△t 时间内流入的水流质量1x v ρ可利用Taylor 级数求得：()t z y x x v v t z y v x x x ∆∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∂∂-=∆∆∆ρρρ211 （1.1） 同理，可求出通过右侧a ′b ′c ′d ′面流出的质量为()t z y x x v v t z y v x x x ∆∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∂∂+=∆∆∆ρρρ212（1.2）因此，沿x 轴方向流入和流出单元体的质量差为：()()()t z y x x v t z y x x v v z y x x v v x x x x x ∆∆∆∆∂∂-=∆⎭⎬⎫⎩⎨⎧∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∂∂+-∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∂∂-ρρρρρ2121 （1.3）同理，可以写出沿y 轴方向和沿z 轴方向流入和流出这个单元体的液体质量差，分别为：()t z y x yv y ∆∆∆∆∂∂-ρ和()t z y x zv z ∆∆∆∆∂∂-ρ因此，在△t 时间内，流入与流出这个单元体的总质量差为：()()()t z y x z v y v xv z y x ∆∆∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-ρρρ （1.4）在均衡单元体内，液体所占的体积为n △x △y △z ，其中n 为孔隙度。

相应的，单元体内的液体质量为ρn △x △y △z 。

因此，在△t 时间内，单元体内液体质量的变化量为：[]t z y x n t∆∆∆∆∂∂ρ （1.5） 在连续流条件下（渗流区充满液体等），根据质量守恒定律，两者应该相等。

因此，()()()[]z y x n t z y x z v y v x v z y x ∆∆∆∂∂=∆∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-ρρρρ （1.6） 式（1.6）即为渗流的连续性方程。

（2）承压水运动的基本微分方程：假设，地下水流动主要是沿水平面方向进行，垂直流速可以忽略，只考虑垂向压缩。

于是，只有水的密度ρ、孔隙度n 和单元体高度△z 三个量随压力而变化，（1.6）式的右端可改写成；[]()()zy x tpn y x t p z n t p n z t p z n z y x n t ∆∆∆∂∂+=∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∆+∂∂-∆+∂∂∆=∆∆∆∂∂βαρρβαραρρ1 （2.1）于是连续性方程（1.6）变为：()()()()z y x t p n z y x z v y v x v z y x ∆∆∆∂∂+=∆∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂-βαρρρρ （2.2） 因为水头γpz H +=，故有：tp t H g t p ∂∂+∂∂=∂∂ρρρ （2.3） 将dp VdVd ρβρρ=-=式代入上式得； tH p g t p ∂∂-=∂∂βρ1 （2.4） 因为水的压缩性很小，l-βp ≈ 1，所以，tH g t p ∂∂≈∂∂ρ （2.5）将（2.5）式代入（2.2）式，得：()z y x tHn g z y x z v y v x v z v y v x v z y x z y x ∆∆∆∂∂+=∆∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-βαρρρρρ2 （2.6） 上式中，左端第二个括弧项比第一个括弧项要小得多，因此可以忽略不计，于是（2.6）式变为：()z y x t Hn g z y x z v y v x v z y x ∆∆∆∂∂+=∆∆∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-βαρ （2.7）同时，根据Darcy 定律在各向同性介质中，有：zHK v y H K v x H Kv z y x ∂∂-=∂∂-=∂∂-=,, （2.8） 将式（2.8）代入式（2.7），得：()z y x t Hn g z y x z H K z y H K y x H K x ∆∆∆∂∂+=∆∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂βαρ （2.9） 根据贮水率的定义，上式可改写为： z y x t Hz y x z H K z y H K y x H K x s ∆∆∆∂∂=∆∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂μ （2.10） 整理上式，得：tHz H K z y H K y x H K x s ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂μ （2.11） 上述方程就是承压水非稳定运动的基本微分方程。

（3）半承压水运动的基本微分方程：近似地认为水基本上是垂直地通过弱透水层，折射90°后在主承压含水层中基本上是水平地流动的，主含水层中的水流可近似地作二维流问题来处理，水头看作是整个含水层厚度上水头的平均值，即：()()⎰==Mdz t z y x H Mt y x H H 0,,,1,,（3.1）为简化起见，在以后叙述中略去H 上方的横杠。

同时假设和主含水层释放的水及相邻含水层的越流量相比，弱透水层本身释放的水量小到可以忽略不计。

由图2所示的均衡单元体，根据水均衡原理可以写出下列形式的连续性方程()t y x t H t y x v v t y y Q Q y y Q Q t x x Q Q x x Q Q y y y y x x x x ∆∆∆∂∂=∆∆∆-+∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂-+∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂-*122222μ （3.2）式中：v 1、v 2分别为通过上部和下部弱透水层的垂直越流速率或越流强度，即⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫-=∂∂-=-=∂∂-=222222111111m H H K z H K v m H H K z H K v（3.3）式中：m 1和m 2分别为厚度为M 的承压含水层上、下的弱透水层厚度，K 1和K 2分别为承压含水层上、下弱透水层的渗透系数。

()t y x H ,,1和()t y x H ,,2分别为上含水层（图中为潜水含水层）和下含水层（图中为下承压含水层）中的水头，如以T 表示主含水层的导水系数，则⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∆∂∂-=∆∂∂-=x y H T Q y x H TQ y x（3.4）图2 半承压含水层中的均衡单元体把式（3.4）代入式（3.2），并在式的两端分别除以t y x ∆∆∆，同时令x ∆、y ∆、t ∆→0，则有t H m H H K m H H K y H T y x H T x ∂∂=-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂*222111μ （3.5） 这就是不考虑弱透水层弹性释水条件下非均质各向同性越流含水层中非稳定运动的基本微分方程。

（4）潜水运动的基本微分方程：潜水面是个自由面，相对压强p ＝0。

对整个含水层来说，可以不考虑水的压缩性。

先考虑一维问题。

取平行于xoz 平面的单位宽度进行研究。

在渗流场内取一土体，它的上界面是潜水面，下界面为隔水底板，左右为二个相距△x 的垂直断面。

上断面流入的流量为2x x q q ∆∂∂-，下断面流出的流量为2xx q q ∆∂∂+，设单位时间、单位面积上垂向补给含水层的水量为W （入渗补给或其它人工补给取正值，蒸发等取负值）。

在△t 时间内，从上游流入和由下游流出的水量差，根据Dupuit 假设为：()t x x h v t x x q t x x q q t x x q q x ∆∆∂∂-=∆∆∂∂-=∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂+-∆⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∂∂-22 （4.1） 在△t 时间内，垂直方向的补给量为W △x △t 。

因此，△t 时间内小土体中水量总的变化为：()t x W x h v x ∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂-x Q Q x x ∂∂-2xx Q Q x x ∆⋅∂∂+2yy Q y y ∆⋅∂∂+小土体内水量的变化必然会引起潜水面的升降。

设潜水面变化的速率为tH∂∂，则在△t 时间内，由于潜水面变化而引起的小土体内水体积的增量为：t x tH∆∆∂∂μ当潜水面上升时μ为饱和差，下降时为给水度，此时忽略了水和固体骨架弹性贮存的变化。

由于假设水是不可压缩的，根据连续性原理，这两个增量应相等，即：()t x t H t x W x h v x ∆∆∂∂=∆∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂-μ （4.2） 将()⎪⎩⎪⎨⎧=-=x H H dx dH K v x 代入上式，得；tHK K W x H h x ∂∂=+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂μ （4.3） 上式为有入渗补给的潜水含水层中地下水非稳定运动的基本方程（沿x 方向的一维运动），通常称为Boussinesq 方程。

在二维运动情况下，可用类似方法导出相应的方程为：tHK K W y H h y x H h x ∂∂=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂μ （4.4） 当隔水层水平时，上式中h ＝H 。