近世代数10套试题
近世代数基础测验卷
近世代数测验题一、填空题（42分）1、设集合M 与M 分别有代数运算 与 ，且M M ~，则当 时， 也满足结合律；当 时， 也满足交换律。
2、对群中任意元素1)(,,-ab b a 有= ；3、设群G 中元素a 的阶是n ，n|m 则m a = ；4、设a 是任意一个循环群，若∞=||a ，则a 与 同构；若n a =||， 则a 与 同构；5、设G=a 为6阶循环群，则G 的生成元有 ；子群有 ；6、n 次对称群n S 的阶是 ；置换)24)(1378(=τ的阶是 ；7、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2314432114324321βα，，则=αβ ； 8、设)25)(136()235)(14(==τσ，，则=-1στσ ；9、设H 是有限群G 的一个子群，则|G|= ；10、任意一个群都同一个 同构。
二、证明题（24）1、 设G 为n 阶有限群，证明：G 中每个元素都满足方程e x n=。
2、 叙述群G 的一个非空子集H 作成子群的充要条件，并证明群G 的任意两个子群H 与K 的交K H 仍然是G 的一个子群。
3、 证明:如果群G 中每个元素都满足方程e x =2，则G 必为交换群。
二、解答题（34）1、 叙述群的定义并按群的定义验证整数集Z 对运算4++=b a b a 作成群。
2、 写出三次对称群3S 的所有子群并写出3S 关于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。
参考答案：一、填空题1、满足结合律； 满足交换律；2、11--a b ；3、e ；4、整数加群；n 次单位根群；5、5,a a ；{}{}{}{}5432423,,,,,,,,,,,a a a a a e a a e a e e ；6、n!;47、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23144321 8、(456)(32)9、|H|:(G:H)10、（双射）变换群；二、证明题1、已知||n G =，|a|=k,则k|n令n=kq,则e a a a q k kq n ===)(即G 中每个元素都满足方程e x n =2、充要条件：H a H a H ab H b a ∈⇒∈∈⇒∈-1;,,；证明：已知H 、K 为G 的子群，令Q 为H 与K 的交设H b a ∈,,则K b a H b a ∈∈,,,H 是G 的子群，有H ab ∈K 是G 的子群，有K ab ∈Q ab ∈∴Ha Ka H a H a ∈∈∈∈∀-11，可知由定理且，则综上所述，H 也是G 的子群。
近世代数试题库
近世代数一、单项选择题1、若A={1，2，3，5}，B={2，3，6，7}，则B A=（）A 、{1，2，3，4}B 、{2，3，6，7}C 、{2，3}D 、{1，2，3，5，6，7}答案：C2、循环群与交换群关系正确的是（）A 、循环群是交换群B 、交换群是循环群C 、循环群不一定是交换群D 、以上都不对答案：A3、下列命题正确的是（）A 、n 次对换群n S 的阶为!nB 、整环一定是域C 、交换环一定是域D 、以上都不对答案：A4、关于陪集的命题中正确的是（）设H 是G 的子群，那么A 、对于,,bH aH 有bHaH或bHaHB 、以上都对答案：D5、设A=R （实数域）， B=R+（正实数域） f ?:a →10a??a A 则 f 是从A 到B 的（）A 、单射B 、满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射答案：D6、有限群中的每一个元素的阶都（）A 、有限 B、无限C 、为零D 、为1答案：A7、整环（域）的特征为（）A 、素数B 、无限C 、有限D 、或素数或无限答案：D8、若S 是半群,则( ) A 、任意,,,S cb a 都有a(bc)=(ab)c B 、任意,,S b a 都有ab=baC 、必有单位元D 、任何元素必存在逆元答案：A9、在整环Z 中，6的真因子是（）A 、1,6 B 、2,3C 、1,2 D 、3,6答案：B10、偶数环的单位元个数为（）A 、0个 B 、1个C 、2个 D 、无数个答案：A 11、设n A A A ,,,21和D 都是非空集合，而f 是n A A A 21到D 的一个映射，那么（）A 、集合D A A A n ,,,,21中两两都不相同；B 、n A A A ,,,21的次序不能调换；C 、n A A A 21中不同的元对应的象必不相同；D 、一个元n a a a ,,,21的象可以不唯一。
答案：B12、指出下列那些运算是二元运算（）A 、在整数集Z 上，ab ba ba ；B 、在有理数集Q 上，ab b a ；C 、在正实数集R 上，b a b a ln ；D 、在集合0nZ n 上，b a ba 。
近世代数期末考试试卷及答案(正)
近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分.1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（C ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*)中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合,＊为加法D 、G 为有理数集合，＊为乘法3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( )A 、a*b=a —bB 、a*b=max{a ，b}C 、 a*b=a+2bD 、a ＊b=｜a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14),3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群,它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题（本大题共10小题，每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个——--变换群—-————同构。
2、一个有单位元的无零因子的—-交换环---称为整环.3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于—-25--——.4、a 的阶若是一个有限整数n,那么G 与-模n 乘余类加群-—-———同构。
5、A={1。
2.3} B=｛2。
5。
6｝ 那么A ∩B=—-｛2}—--。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为--——一一映射—-—-————----—。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的——不都等于零的元-—-n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
近世代数期末考试试卷及答案
一、单项选择题一、单项选择题((本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
多选或未选均无分。
1、设G G 有有6个元素的循环群，个元素的循环群，a a 是生成元，则G 的子集（的子集（ ）是子群。
）是子群。
A 、{}aB B、、{}e a ,C C、、{}3,a eD D、、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（、下面的代数系统（G G ，*）中，（ ）不是群）不是群）不是群A 、G 为整数集合，为整数集合，**为加法为加法B B B、、G 为偶数集合，为偶数集合，**为加法为加法C 、G 为有理数集合，为有理数集合，**为加法为加法D D D、、G 为有理数集合，为有理数集合，**为乘法为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（上，下列哪种运算是可结合的？（ ）） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C a*b=max{a,b} C、、 a*b=a+2b D a*b=a+2b D、、a*b=|a-b|4、设1s 、2s 、3s 是三个置换，是三个置换，其中其中1s =（1212））（2323））（1313）），2s =（2424））（1414）），3s =（13241324）），则3s =（ ））A 、12sB B、、1s 2sC C、、22sD D、、2s 1s5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（个或以上元的半群，它（ ））。
A 、不可能是群、不可能是群 B 、不一定是群、不一定是群 C 、一定是群、一定是群 D 、 是交换群是交换群二、二、填空题填空题填空题((本大题共10小题，小题，每空每空3分，分，共共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个、凯莱定理说：任一个子群都同一个------------------------------同构。
近世代数模拟试题及答案
近世代数模拟试题一、单项选择题每题5分,共25分1、在整数加群Z,＋中,下列那个是单位元;A 0B 1C －1D 1/n,n是整数2、下列说法不正确的是;A G只包含一个元g,乘法是gg＝g;G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是;A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是;A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性S的共轭类;5、下列哪个不是3A 1B 123,132,23C 123,132D 12,13,23二、计算题每题10分,共30分S的正规化子和中心化子;1.求S＝{12,13}在三次对称群32.设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶;3.设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,求出其右零因子;三、证明题每小题15分,共45分1、设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0是其零因子;2、设Z 是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3;证明：Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元;3、证明由整数集Z和普通加法构成的Z,＋是无限阶循环群;近世代数模拟试题答案一、单项选择题每题5分,共25分1． A2． D3． C4． D5． B二、计算题每题10分,共30分1． 解：正规化子NS ＝{1,23};;;;;;;;;;;;6分中心化子CS ＝{1};;;;;;;;;;;;;;;;;;4分2． 解：群G 中的单位元是1;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分1的阶是1,－1的阶是2,i 和－i 的阶是4;;;;4×2分3． 解：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,xb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;3分因为x 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分因此右零因子为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分三、证明题每小题15分共45分 1．证明：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;5分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;8分同理设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;12分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;14分因此零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分2．明：首先该代数运算封闭;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分其次我们有：a ·b ·c ＝a ＋b －3·c ＝a ＋b －3＋c －3＝a ＋b ＋c －3－3＝a ·b ·c,结合律成立;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;6分令e ＝3,验证a ·e ＝a ＋e －3＝a,有单位元;;;;7分对任意元素a,6－a 是其逆元,因为a ·6－a ＝3;;;8分因此,Z 对该运算作成一个群;显然,单位元是e ＝3;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分3．证明：首先证明Z,＋是群,+满足结合律,对任意的Z x ∈,x x x =+=+00,0是运算+的单位元又由于： ()()0=+-=-+x x x x所以 ,1x x -=-从而Z,＋为群;;;;;;;;;2分由于+满足交换律,所以Z,＋是交换群;;;;4分Z,＋的单位元为0,对于1Z ∈,由于 1+-1=0,所以111-=-,;;;5分于是对任意Z k ∈,若0=k ,则：010=；若0>k ,则k k =+++=1111 ;;;;;;;;;;;8分若0<k ,则()()()k k k k ------===111111)1()1()1(---++-+-=个k))(1(k --= k = ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分综上,有k k =1,对任意的Z k ∈. 因而,{}Z k Z k ∈=1,从而Z,＋是无限阶循环群;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分。
近世代数练习题(附答案)
《近世代数》练习题（附答案）一.选择题1. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算2a b a b =+ ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律2. 在群G 中,a G ∈, a 的阶为12, 则8a 的阶为 ( B )(A) 12 (B) 3 (C) 4 (D) 63．在7次对称群7S 中(25)(437)π=和(13)(546)λ=, 则πλ等于（ A ）(A) (1376524) (B) (137)(6524) (C) (65)(24137) (D) (1746253)4．在一个无零因子环R 中,,a b R ∈,,0a b ≠对加法来说,有( C )(A) a 的阶<3b 的阶 (B) a 的阶>3b 的阶(C) a 的阶=3b 的阶 (D) 4a 的阶>3b 的阶5．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子6. 假定φ是A 与A 间的一一映射,A a ∈, 则)]([1a φφ-和)]([1a -φφ分别为 ( D )(A) a , a (B) 无意义, a (C) 无意义,无意义 (D) a ,无意义7. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ax =和b ya =分别有唯一解为 ( B )(A) 1-ba , b a 1- (B) b a 1-, 1-ba (C) a b 1-, b a 1- (D) b a 1-, 1-ab8. 设M 是正整数集, 则对任意的,a b R ∈, 下面“o ”是代数运算的是( B ) (A) b a b a = (B) b a b a = (C) 2a b a b =+- (D) 2a b ab =- 9. 设M 是实数集, 代数运算是普通加法，下列映射是M 的自同构的是( D )(A) 2x x → (B) sin x x → (C) x x → (D) 5x x →-10. 在偶数阶群G 中阶等于2的元数为 ( A )(A) 奇数 (B) 偶数 (C) 1 (D) 不可确定11．在5次对称群5S 中元1(15)(24)π=和2(154)π=的乘积12ππ是（ D ）(A) (14)(25) (B) (124) (C) (152) (D) (142)12．若群G 的阶为48, G 的真子群H 的阶不可能为 ( C )(A) 12 (B) 16 (C) 18 (D) 2413．群G 中元a 的阶为24中，那么G 的循环子群9()a 的阶为 ( C )(A)3 (B) 4 (C) 8 (D) 914.在一个环R 里如果有一个消去律成立，那么下面不正确的是( B )(A) 另一个消去律也成立 (B) R 中非零元都有逆元(C) R 是无零因子环 (D) R 中非零元对加法的阶都一样15．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( A )(A) 欧式环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定16．设12,εε为唯一分解环I 中单位, a 是I 中任意元， 则下列正确的是 ( B )(A) 12εε+ 也是单位 (B) 12,εε互为相伴元(C) 12,εε 都是a 的真因子 (D) a 有唯一分解17．一个30个元的域的特征可能是( A )(A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 1518．假定域R 与R 同态, 则R 是（ C ）(A) 域 (B) 整环 (C) 环 (D) 除环19．若I 是一个唯一分解环,I a ∈且a 21p p =和a 21q q =(其中2121,,,q q p p 都为素元),则下列说法正确的是 ( D )(A) 1p 与1q 互为相伴元 (B) 1p 与1q 互为相伴元和2p 与2q 互为相伴元(C) 2p 与2q 互为相伴元 (D) 1p 与1q 互为相伴元或1p 与2q 互为相伴元20．假定)(a 和)(b 是整环I 的两个主理想, 若)()(b a =, 则 ( A )(A) b 是a 的相伴元 (B) b 与a 互素 (C) b 是a 的真因子 (D) |b a 21．=A {所有整数},令τ: 2a a →,当a 是偶数;21+→a a ,当a 是奇数.则τ为 ( B )(A) 单射变换 (B) 满射变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换22．若)(a G =,且a 的阶为有限整数n ,则下列说法正确的是 ( A )(A) G 与模n 的剩余类加群同构 (B) G 的阶可能无限(C) 元21012,,,,,---n a a a a a 中没有相同元 (D) G 与整数加群同构23．若R 是一个特征为有限整数n 的无零因子环，且R b a ∈,，则 （ D ）(A) 0,00≠≠⇒=b a b a (B) 21n n n =，其中21,n n 为素数(C) 存在R 中元c 的阶为无限整数 (D) R 对乘法成立两个消去律24. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)22a b b a b =+ (B)b a b a= (C) 22a b a ab b =-+ (D) 10a b a b += 25. 在群G 中, ,,a b c G ∈, 则方程xaxba xbc =的唯一解为 ( D )(A)11abca b -- (B) 111bca a b --- (C) 111a b a bc --- (D) 111a bca b ---26．在6次对称群6S 中123456326514π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ A ） (A) 5 (B) 24 (C) 12 (D) 627．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个28．假定F 是一个域，则一元多项式环[]F x 一定是 ( B )(A) 除环 (B) 欧式环 (C) 域 (D) 无法确定29．若Q 是一个域, 不正确的是 ( B )(A) Q 是交换除环 (B) Q 对乘法作成群(C) Q 无零因子 (D) Q 中不等于零的元都有逆元30．若I 是主理想环, p 是I 中素元, 且I b a ∈, 则 ( C )(A) 主理想)(p 不是I 的最大理想 (B) a 没有唯一分解(C) 若p |ab ,有p |a 或p |b (D) I /()p 不是域31. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律32. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( A )(A) 2a b a b =+ (B)b a b a= (C) a b b a = (D) 10a a b = 33. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( D )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 11ba b -- (D) 1a -34．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 535．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个36．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定37. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 838．一个有8个元的域的特征是( A )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 839．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子40．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 441. 设R 是实数集, 则对任意的,a b R ∈, 代数运算a b a b =- ( C )(A) 适合结合律但不适合交换律 (B) 适合交换律但不适合结合律(C) 不适合结合律和交换律 (D) 适合结合律和交换律42. 设Q 是有理数集, 则对任意的,a b Q ∈,下列“o ”是代数运算的是( C ) (A)a b b a = (B)b a b a= (C) 2a b a b =+ (D) 10a a b = 43. 在群G 中, ,a b G ∈, 则方程xaxb xb =的唯一解为 ( C )(A)1aba - (B) 11a b -- (C) 1a - (D) 11ba b --44．在5次对称群5S 中1234532541π⎛⎫= ⎪⎝⎭的阶是（ B ） (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 545．除环有理想( C )(A) 4个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 无穷个46．假定R 是一个整环，则一元多项式环[]R x 一定是 ( A )(A) 整环 (B) 除环 (C) 域 (D) 无法确定47. 在16阶循环群()G a =中 , 循环子群6()a 的阶为 ( D )(A) 6 (B) 3 (C) 4 (D) 848．一个有8个元的域的特征是( )(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 849．设p 为整环I 中素元, 则下列正确的是 ( D )(A) p 为零元 (B) p 为单位 (C) p 有真因子 (D) p 仅有平凡因子50．若群G 的阶为48, G 的子群H 的阶为16，则H 在G 中的指数为( C )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二．填空题1.设是集合A 的元间的一个等价关系,那么满足反射律、 对称律 、 推移律 .2.若G 为群,,,a b c G ∈,则3211()b c a c --- 123c ac b .3.循环群()a 的阶是50，则它的子群15()a 的阶是 10 .4. 群G 的中心N 是G 的一个 不变 子群.5.n 次对称群n S 的阶为 !n .6.假定B A ⊂,那么B A A , B A B .7. 假定A 和A 同态, A 和A 同态, 则A 和A 也同态 .8. 在群G 中, G b a ∈,, 则方程b ya =有唯一解为 1ba .9.设集合A 的元数为3 ，那么A 共有子集 8 个，A 的元间的关系共有 512 个.10.若G 为群, 方程1x ax bx -=的唯一解为 1ba .11.一个有限非可换群至少含有______ 6 ______个元素 .12.设~是集合A 的元间的一个等价关系,那么~满足自反律、对称律 、 推移律 .13.若G 为群,,,a b c G ∈,则211()bc a --- 21ac b .14.5次对称群5S 的阶为 120 .15.若φ是环R 与R 的同态满射, 则同态核中元都是R 中 单位元 e 的逆象，且同态核是R 的一个 理想 .16.设A 是有单位元的交换环R 的一个最大理想，那么剩余类环R A 是一个 域 .17.在整数环Z 中，理想(3,7)等于主理想 （1） .18.设9Z 为模9的剩余类环，那么[5]的负元为 [4] ，逆元为 【2】 .19.设G 是17阶群，则G 的生成元有 16 个.20.除环的最大理想是 零理想 .21.设R 是模7的剩余类环，在多项式环[]R x 中2([6][4])([2][5])x x x +-+=32[6][6]x x x -++22.设10Z 为模10的剩余类环，那么[3]的负元为 [7] ，逆元为[7] .23.在整数环I 中，主理想()()a b =当且仅当b 是a 的 相伴元 .24.设{,,}A a b c =,{,,,}R aRa aRc cRa cRc =.那么由R 决定的A 的分类为 {,},{}a c b .25.设I 是一个唯一分解环，那么多项式环[]I x 是 唯一分解 环.26.设9Z 为模9的剩余类环，那么[7]的负元为 [2] ，逆元为[4] .27.设I 是一个唯一分解环，那么I 的元12,,,n a a a 的两个最大公因子d 和d '相差一个相伴元 .28.若群的元a 的阶是15，b 的阶是8,且ab ba =, 则8a 和ab 的阶分别是 15 和 120 .29.在一个特征为p 的无零因子的交换环R 中,有p 为 素 数,且()p a b += p p a b + .30. 若群G 的阶为60, G 的子群H 的阶为15，则H 在G 中的指数为 4 .31. 若φ是环R 与R 的同态满射,则对,,a b c R ∈，它们的象分别为,,a b c ,则元()a b c +的象为 ()a b c + .32.设A 是环R 的一个最大理想，那么包含A 的R 的理想仅有 A 和R .33.在整数环Z 中，理想(42,35)等于主理想 （7） .34.在唯一分解环I 中，若素元p 能整除ab ，则p 必能整除 ,a b 中一个元 .35. 若G 是由集合A 的全体一一变换所作成, 则G 是一个 变换 群.36.若R 是有单位元的交换环,则R 的主理想)(a 中的元有形式为 ,ra r R . 37.0R 是有单位元的交换环, x 是0R 的子环R 上的未定元, 则仅当 010n a a a时,才有010=+++n n x a x a a 成立.38. R 是一个有单位元的环, 且}0{≠R ，则在R 中必有一个元没有逆元, 它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .39．唯一分解环I 中的元a 和b 的两个最大公因子d 和d '只能差一个 相伴元 .40.设}2,1{=A ,}4,3{=B .那么=⨯B A { （1，3），（1，4），（2，3），（2，4） } .41.若群G 和集合G 同态,则G 是 群 ,并且有G 中元e 和1-a 的象为G 中元e 和1a .42.在无零因子环R 中,如果对R b a ∈,有0=ab , 那么必有 0a 或0b .43.群的元a 的阶是n ，若d 是整数r 和n 的最大公因子，则r a 的阶是 n d. 44.在一个域Q 中,若有0,0,,≠≠∈d b Q d c b a ,则=+d c b a ad bc bd. 45.设φ是环R 与R 的同态满射, 则φ的核是环R 的一个 理想 . 46.在整环中必有一个元没有逆元,它是 0 ; 必有两个元有逆元,它们是 1和-1 .47.整环I 的元a 是][x I 的多项式)(x f 的根, 当且仅当)(x f 能被 xa 整除.三．判断题1．设}4,3,2,1{=A ,则能找到A A ⨯到A 的一一映射. ( × )2．无限群中的元的阶都无限. ( × )3．除环的最大理想是单位理想. ( × )4．整环中的素元只能有有限个数的因子. （ × ）5．任何欧式环一定是主理想环，也一定是唯一分解环. ( √ )6．A 为不等于零的实数的全体,那么普通除法适合结合律. ( × )7．有限群中存在某个元的阶无限. ( × )8．假定域R 与R 同态, 则R 也是域. ( × )9．整环中的单位ε同素元p 的乘积p ε还是一个素元. ( √ )10．除环除了零理想和单位理想还有其它理想. ( × )四．解答题1. 用循环置换的方法写出三次对称群3S 的全体元.说明集合})23(,)1({=N 是3S 的子群,并且写出N 的所有左陪集.解: )}132(),123(),23(),13(),12(),1{(3=S ,(2分) 因为N 是有限集合, 由)1()1)(1(=,)23()23)(1(=,)23()1)(23(=,)1()23)(23(=知N 是封闭的,所以N 是3S 的子群.(4分) N 的全体左陪集为(6分):)}23(),1{()23()1(==N N ,)}132(),12{()132()12(==N N ,)}123(),13{()123()13(==N N .2. 求模6的剩余类环F 的所有子环.解：因为剩余类环F 是循环加群，所有子环为主理想：([1]),([2]),([3]),([6]).3. 设A 是整数集,规定A 中元间的关系R 如下:)6(b a aRb ≡⇔说明R 是A 中元间的等价关系,并且写出模6的所有剩余类.解： 因为对任意的整数 c b a ,,有（1）反射律： a 与a 模6同余;(2分)（2）对称律： 若a 与b 模6同余，那么必有b 与a 模6同余;(2分)（3）推移律： 若a 与b 模6同余，b 与c 模6同余，那么必有a 与c 模6同余, 所以R 是A 中元间的等价关系.(2分)模6的全体剩余类为(6分):},12,6,0,6,12,{]0[ --=, },13,7,1,5,11,{]1[ --=,},14,8,2,4,10,{]2[ --=, },15,9,3,3,9,{]3[ --=,},16,10,4,2,8,{]4[ --=, },17,11,5,1,7,{]5[ --=.4.求出阶是32的循环群()a 的所有子群.这些子群是否都是不变子群.解: 因为()a 为循环群,所以()a 为交换群,又因为32的所有正整数因子为：1，2，4，8，16,36. (2分) 所以循环群()a 的所有子群为循环子群：()a ，2()a ,4()a ，8()a ，16()a 360()(){}a a e ==. (8分)并且这些子群都是不变子群. (10分)5.设Z 是整数环，请把Z 的理想(3)(4)和(3,4)的元列出来.解: Z 是整数环，理想(3)(4)和(3,4)如下：(3)(4){,9,6,3,0,3,6,9,}{,12,8,4,0,4,8,12,}=------ (2分){,24,12,0,12,24,}=-- (4分)(12)= (6分) (3,4)(1){,3,2,1,0,1,2,3,}Z ===--- (10分)6.设R 是模8的剩余类环，在一元多项式环[]R x 中把32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+计算出来，并求432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数. 解: R 是模8的剩余类环(1) 32([2][7][3])([5][2])x x x x +--+543322[2][5][2][2][2][7][5][7][7][2][3][5][3][3][2]x x x x x x x x =-++-+-+- (1分)543322[2][2][4][3][7][6][7][3][6]x x x x x x x x =-++-+-+- (3分) 5432[2][2][7][6][6]x x x x x =-+-+- (5分)(2) 多项式432()[4][5][2][7]f x x x x x =-+-+的导数为32()4[1]3[4]2[5][2]f x x x x '=-+- (2分)32[4][4][2][2]x x x =-+-.7.找出对称群3S 的所有子群.解:因为3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =，它的子群的阶只可能为：1，2，3，6.所以它的所有子群为：1阶子群1{(1)}H =； (1分) 2阶子群21{(1),(12)}H =，22{(1),(13)}H =，23{(1),(23)}H =； (4分) 3阶子群3{(1),(123),(132)}H =； (5分) 6阶子群3{(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S =。
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世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内.错选、多选或未选均无分。
1、设A＝B＝R（实数集），如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素,那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素.A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b， a，b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的(两方程解一样）4、当G为有限群,子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案.错填、不填均无分.1、设集合；，则有。
2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个——变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全.6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。
8、设和是环的理想且，如果是的最大理想,那么———————-—。
9、一个除环的中心是一个-域———--。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性,并把和写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.奇1、解:把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换,为偶置换。
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世代数模拟试题一一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A=B=R（实数集），如果A至UB的映射中：x-x+2,Vx€R,则中是从A至UB的（c）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中含有（d）个元素。
A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b6G都有解，这个解是（b）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样）4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合A“T0」＞；B=42},则有BMA=。
2、若有元素e6R使每a6A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1。
8、设I和S是环R的理想且1=S=R,如果I是R的最大理想，那么。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）［写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
奇1、解：把仃和工写成不相杂轮换的乘积：二三(1653)(247)(8).=(123)(48)(57)(6)可知仃为奇置换，七为偶置换。
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《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环子群。
2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
3. （）存在一个4阶的非交换群。
4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。
5. （）无零因子环的特征不可能是2001。
6. （）无零因子环的同态象无零因子。
7. （）模97的剩余类环Z97是域。
8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
9. （）域是唯一分解整环。
10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。
3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本质不同的分三、解答题（共3０分）1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。
四、证明题（共30分）1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。
2. 设φ是环（R，+，·，0，1）到环（R，+，·，0/，1/）的同态满射。
N=Kerφ={x|x∈R且φ（x）=0/}, 证明：φ是同构映射当且仅当N={0}。
3. 证明：非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。
《近世代数》试卷2（时间120分钟）一、填空题（共20分）1. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有。
2. 设A、B是集合，| A |＝2，| B |＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
3. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［10］＋［5］＝，［10］·［5］＝，方程x2＝[1]的所有根为。
4. 在5次对称群S5中，（12）（145）＝，（4521）－1＝，（354）的阶为。
5. 整环Z中的单位有。
6. 在多项式环Z11［x］中，（［6］x＋［2］）11＝。
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）若群G的每一个元满足方程x2=e(其中e是G的单位元)，则G是交换群。
2. （）一个阶是13的群只有两个子群。
3. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。
4. （）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。
5. （）主理想整环R上的一元多项式环R[x]是主理想整环。
6. （）存在特征是2003的无零因子环。
7. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
8. （）模21的剩余类环Z21是域。
9. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
10. （）除环只有零理想和单位理想。
三、解答题（共30分）1. 设H＝｛（1），（123），（132）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H是否是S3的不变子群？为什么？2. 设G是一交换群，n是一正整数，H是G中所有阶数是n的因数的元素的集合。
试问：H是否是G的子群？为什么？3. 在整数环Z中，求由2004，19生成的理想A=（2004，19）。
四、证明题（共30分）1.设I1={4k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z}，试证明：（1）I1,I2都是整数环Z的理想。
（2）I1∩I2=(12)是Z的一个主理想。
2. 设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射，A是R的理想，试证明：A＝｛a | a ∈R且f（a）∈A｝是R的理想。
3. 证明，设S是环（R，＋，·，0，1）的子环，N是R的理想，且S∩N＝｛0｝，则剩余类环R／N有子环与S同构。
《近世代数》试卷3（时间120分钟）一、填空题（共20分）1. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群有。
2. 设A、B是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
3. 在4次对称群S4中，（24）（231）＝，（4321）－1＝，（132）的阶为。
4. 整环Z中的单位有。
5. 环Z6的全部零因子是。
6. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）一个阶是11的群只有两个子群。
2. （）设G是群，H1是G的不变子群，H2是H1的不变子群，则H2是G的不变子群。
3. （）素数阶群都是交换群。
4. （）循环群的商群是循环群。
5. （）模27的剩余类环Z27是域。
6. （）存在特征是2004的无零因子环。
7. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
8. （）域是主理想整环。
9. （）域只有零理想和单位理想。
10. （）相伴关系是整环R的元素间的一个等价关系。
三、解答题（共30分）1. 设H＝｛（1），（12）｝是对称群S3的子群，写出H的所有左陪集和所有右陪集，问H 是否是S3的不变子群？为什么？2. 求模12的剩余类加群(Z12,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。
3. 在整数环Z中，求由2004，17生成的理想A=（2004，17）。
四、证明题（共30分）1.设I1={2k|k∈Z}, I2={3k|k∈Z}，试证明：（1）I1,I2都是整数环Z的理想。
（2）I1∩I2=(6)是Z的一个主理想。
2. 设φ是群G到群H的同态满射, H1是H的子群。
证明：G1= {x|x∈G且φ（x）∈H1}是G 的子群。
3. 设环（R，＋，·，0，1）是整环。
证明：多项式环R[x]能与它的一个真子环同构。
《近世代数》试卷4（时间120分钟）一、填空题（共20分，每空2分）1. 设A、B是集合，| A |＝2，| B |＝3，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
2. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的子群的个数是。
3. 在剩余类环Z18中，［8］＋［12］＝，［6］·［7］＝。
4. 环Z6的全部零因子是。
5. 在多项式环Z17［x］中，（［6］x＋［7］）17＝。
6. 在模7的剩余类环Z7中，方程x2＝1的所有根是。
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）交换群的子群是不变子群。
2. （）一个阶是11的群只有两个子群。
3. （）无零因子环的特征不可能是2004。
4. （）有单位元且满足消去律的半群是群。
5. （）模21的剩余类环Z21是域。
6. （）在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。
7. （）若R是主理想整环，则一元多项式环R［x］是主理想整环。
8. （）除环只有零理想和单位理想。
9. （）欧氏环是唯一分解整环。
10. （）无零因子环的同态象无零因子。
三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分，共35分）1. 设H＝｛（1），（12）｝是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问H 是否是S3的不变子群？为什么？2. 求模12的剩余类环Z12的所有理想。
3. 在整数环Z中，求由2005，6生成的理想（2005，6）。
四、证明题（第1、2小题各10分，第3小题5分，共25分）1. 设～是整数集Z上的模7同余关系，试证明～是Z上的等价关系，并求所有等价类。
2. 设R、R都是环，f是环R到R的满同态映射，A是R的理想，试证明A＝｛a | a∈R且f（a）∈A｝是R的理想。
3. 证明，非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。
《近世代数》试卷5（时间120分钟）一、填空题（共20分，每空2分）1. 在对称群S4中，（134）（12）＝，（2143）－1＝。
2. 在多项式环Z11［x］中，（［6］x＋［2］）11＝。
3. 设G＝（a）是6阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。
4. 在模6的剩余环Z6中，方程x2＝1的所有根为。
5. 环Z10的所有零因子是。
6. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。
二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分）1. （）循环群的子群是循环群。
2. （）若H1、H2都是群G的子群，则H1∪H2也是群G的子群。
3. （）交换群的子群是不变子群。
4. （）一个阶是11的群只有两个子群。
5. （）模15的剩余类环Z15是域。
6. （）无零因子环的同态象无零因子。
7. （）欧氏环上的一元多项式环是欧氏环。
8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。
9. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。
10. （）域是主理想整环。
三、解答题（第1小题15分，第2、3小题各10分，共35分）1. 设H＝｛（1），（13）｝是对称群S3的子群，求H的所有左陪集和所有右陪集，试问H 是否是S3的不变子群？为什么？2. 求模18的剩余类环Z18的所有理想。
3. 在整数环Z中，求由2004，125生成的理想（2004，125）。
四、证明题（第1、2小题各10分，第3小题5分，共25分）1. 设～是整数集Z上的模6同余关系，试证明～是Z上的等价关系，并求所有等价类。
2. 设H1和H2分别是群（G， ，e）的子群，并且| H1 |＝m，| H2 | ＝n，m、n有限，（m，n）＝1，试证：H1∩H2＝｛e｝。
3. 证明，设S是环（R，＋，·，0，1）的子环，N是R的理想，且S∩N＝｛0｝，则剩余类环R／N有子环与S同构。
《近世代数》试卷6一、填空题（每空2分，共20分） 1、设有集合A 和B ，|A|=3,|B|=2,则共可定义____个从A 到B 的映射，其中有_____个单射，_____个满射，______个双射。
2、设G =)(a 是10阶循环群，则G 的非平凡子群的个数为_________.3、在5次对称群5S 中，_____,)135)(12(=)5132(的阶是_______)43125(______,1=-。