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近世代数题库(总12页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除群一、填空题1. 设4)(x x f =是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1-f ={_______}.2. 设τ=(134),σ=(13)(24), 则τσ=____________________.3. 群G 的元素a 的阶是m ，b 的阶是n ，ba ab =，则≤ab ，如果),(m n = 1，则=ab_____.4. 设<a >是任意一个循环群.若|a |=∞，则<a >与________________同构；若|a |=n ，则<a >与______________同构.5. 设σ=（14）（235），τ=（153）（24），则|σ| = ____，στσ1- =______.6. 设群G 的阶为m ，G a ∈，则=m a .7. 设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足_________________，则称“～”是A 的元素间的一个等价关系.8. 设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)， τ是 (奇、偶)置换.9. 设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 .10. 一个群G 的非空子集H 做成一个子群的充分必要条件是 .11. 设G 为群，若对于任意的元G b a ∈,，都有ba ab =，则称群G 为 群.12.n 次对称群n S 的阶是____________.13.设G =<a >是10阶循环群，则G 的全部生成元有 ，G 的子群有 个，分别是 .14.设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha .15.设G =<a >是循环群，则G 与整数加群同构的充要条件是 .16．在3次对称群3S 中，H ＝{(1),(123),(132)}是3S 的一个正规子群，则商群H S 3中的元素(12)H ＝{}.17．如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 .18.设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A .19. 凯莱定理说：任一个群都与一个 同构.20. 设G =<a >是12阶循环群, 则G 的生成元集合为｛ ｝.21. 一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数叫做H 在G 中的 .22. 设G 是一个pq 阶群，其中q p ,是素数，则G 的子群的一切可能的阶数是 ____ .23. 写出S 3的一个非平凡的正规子群_____.24. 已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 .25. 一个有限非可换群至少含有____________个元素.26. 设G 是p 阶群（p 是素数），则G 的生成元有____________个.27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 .28.设R 是实数集，规定R 的一个代数运算ab b a 2:= ，（右边的乘法是普通乘法），就结合律、交换律而言，“ ”适合如下运算律： .29. 设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=bH aH .30. 写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪集 .31. 如果G 是一个含有15个元素的群，那么，G 有 个5阶子群，对于∀∈a G ，则元素a 的阶只可能是___________.32.设G 是一个pq 阶群，其中q p ,都是素数，则G 的真子群的一切可能的阶数是 ，G 的子群的一切可能的阶数是 .33. 已知群G 中的元素a 的阶等于n ，则k a 的阶等于n 的充分必要条件是 .34. 设(G ，·)是一个群，那么对于∀∈b a ,G ，(ab )－1＝___________.k36．若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的方幂，则G 称为 .37．5-循环置换)31425(=π，那么=-1π .38．设G 为群，G N ≤，且对于任意的G a ∈，有 ，则N 叫做G 的正规子群.39. 设G 为乘群，G a ∈，则能够使得e a m =的最小正整数m ，叫做a 的___________.设G 为加群，G a ∈，则能够使得 的最小正整数m ，叫做a 的阶.40．设τ＝(1243)(235)∈5S ，那么1-τ＝___ _.τ是 (奇、偶)置换.41. 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：则a 所在的等价类a ={ ｝.42. 设A ={d c b a ,,,}，则A 到A 的映射共有________个，A 到A 的一一映射共有 ________个，A A ⨯到A 的映射共有________个（A 上可以定义 个代数运算）.43. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有____________个.44. 非零复数乘群*C 中由i -生成的子群是____________.45. )125(=σ，)246(=τ，则στ的阶数等于 .46．素数阶群G 的非平凡子群个数等于____________.47. 设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群><a G 的阶等于 .48. 设σ是集合A 到集合B 的一个映射,则存在B 到A 的映射τ,使στσ⇔=A 1 为 ;存在B 到A 的映射τ,使σστ⇔=B 1为 .49. 若群G 中的每个元素的阶都有限,则称G 为 群. 若群G 中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称G 为 群.50. n 阶循环群有 个生成元,有且仅有 个子群.51. 若n k ,则n 阶循环群>=<a G 必有k 阶子群,其k 阶子群为 .52. 在同构意义下,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是 .53. 在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是 .54. 非交换群G 的每个子群都是其正规子群,则称G 为 群.55. n 元置换)(21k i i i 的阶为 ，=-12121)])([(m k j j j i i i .二、选择题1. 设R B A == (实数集)，如果A 到B 的映射R x x x ∈∀+→,2:ϕ,则ϕ是从A 到B 的（ ）.A) 满射而非单射; B) 单射而非满射;C) 一一映射; D) 既非单射也非满射.2.3S 中可以与(123)交换的所有元素有（ ）.A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)3S 中的所有元素.3.设15Z 是以15为模的剩余类加群，那么15Z 的子群共有（ ）个.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8.4. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）.A) 11--a bc B) 11--a c C) 11--bc a D) ca b 1-.5. 设f 是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数x ，有4)(x x f =，则))1((1f f -=( ).A) {1，-1}; B) {i ，-i }; C) {1， -1，i ，-i }; D) 空集.6. 设A ={所有实数}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ).A) x x 10→ B) x x 2→ C) x x → D) x x -→.7. 设G 是实数集，定义乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数,那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）.A) 1和x -； B) 1和0； C) -k 和k x 2-； D)k -和)2(k x +-.8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是( ).A) 全体整数对于普通减法; B) 全体不为零的有理数对于普通乘法;C) 全体整数对于普通加法; D) 1的3次单位根的全体对于普通乘法.9. 设G 是群,c b a ,,是群G 中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为( ).A)ba ab , B) bac abc , C) 1,-bab a D) 1,-a a .10. 设R 是实数集合,规定R 的元素间的四个关系如下,( )是R 的等价关系.A)b a aRb ≤⇔; B) 0≥⇔ab aRb ; C) 022≥+⇔b a aRb ; D) ab aRb ⇔<0.11.设G 是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件( ).A) G 中有左单位元，同时G 中的每个元素都有左逆元；B) 对于G 中任意元素a 和b ，G 中恰好有一个元素x 满足a x =b ；同时G 中恰好有一个元素y满足y a =b ；C) G 中有单位元，同时G 中的每个元素都有逆元；D) 在G 中两个消去律成立.12.设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,. 如果子群H 的阶是6，那么G 的阶=G （ ）.A) 6 B) 24 C) 10 D) 1213. 三次对称群3S = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么下面关于3S 的四个论述中，正确的个数是( ).(1) 3S 是交换群；(2) 3S 的2阶互异子群有三个；(3) 3S 的3阶互异子群有两个；(4) 3S 的元素(123)和(132)生成相同的循环群.A) 1 B ) 2 C) 3 D) 414. 设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。
近世代数试题及答案
近世代数试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列哪个选项不是群的性质？A. 封闭性B. 存在单位元C. 存在逆元D. 交换律答案：D2. 有限群的阶数为n，那么它的子群的个数至少为：A. nB. 1C. n-1D. n+1答案：B3. 以下哪个命题是正确的？A. 任意两个子群的交集仍然是子群B. 任意两个子群的并集仍然是子群C. 子群的子群仍然是子群D. 子群的补集仍然是子群答案：A4. 群G的阶数为n，那么它的元素的阶数不可能是：A. 1B. nC. 2D. n+1答案：D5. 以下哪个不是环的性质？A. 封闭性B. 交换律C. 分配律D. 结合律答案：B二、填空题（每题4分，共20分）1. 如果集合S上的二元运算*满足结合律，那么称S为________。
答案：半群2. 一个群G的所有子群的集合构成一个________。
答案：格3. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R为________。
答案：交换环4. 一个环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R为________。
答案：交换环5. 一个群G中，如果存在一个元素a，使得对于任意的g∈G，都有ag=ga=e，则称a为G的________。
答案：单位元三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述子群和正规子群的区别。
答案：子群是群G的非空子集H，满足H中的任意两个元素的乘积仍然在H中，并且H对于G的运算是封闭的。
正规子群是子群N，满足对于任意的g∈G和n∈N，都有gng^-1∈N。
2. 请解释什么是群的同态和同构。
答案：群的同态是两个群G和H之间的函数f，满足对于任意的g1，g2∈G，都有f(g1g2)=f(g1)f(g2)。
群的同构是同态，并且是双射，即存在逆映射。
3. 请解释什么是环的零因子和非零因子。
答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得ab=0，则称a和b 为零因子。
如果环R中不存在零因子，则称R为无零因子环。
近世代数期末考试题库(包括模拟卷和1套完整题)
多所高校近世代数题库一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。
（ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ ）6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。
（ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。
（ ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。
（ ）9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（ ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。
（ ）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ ）①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换；③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，abb a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
(精选)近世代数练习题题库
§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ ”：a b=ab(a,b ∈Z)，则“ ”是Z 的一个二元运算。
（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2填空题：2.1 若A={0,1} , 则A A= __________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。
近世代数试题及答案
近世代数试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 群的元素a的阶是指最小的正整数n，使得a^n=e，其中e是群的（）。
A. 单位元B. 零元C. 负元D. 逆元答案：A2. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a+b=b+a，则称R 是（）。
A. 交换环B. 非交换环C. 整环答案：A3. 向量空间V中，如果存在非零向量α，使得对于V中任意向量β，都有α⊥β，则称α是V的一个（）。
A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案：C4. 有限域F中，如果存在元素a∈F，使得a^p=a对于所有a∈F 成立，则称F是（）。
A. 素域B. 特征域C. 完全域答案：B5. 群G的一个子群H，如果对于任意的h∈H，g∈G，都有ghg^-1∈H，则称H是G的一个（）。
A. 正规子群B. 非正规子群C. 子群D. 群答案：A6. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=ba，则称R是（）。
A. 交换环B. 非交换环C. 整环答案：A7. 向量空间V中，如果存在一组向量α1，α2，…，αn，使得V中任意向量都可以表示为这些向量的线性组合，则称这组向量是V的一个（）。
A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案：A8. 群G的一个子群H，如果H=G，则称H是G的一个（）。
A. 正规子群B. 非正规子群C. 子群答案：C9. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有a-b=b-a，则称R 是（）。
A. 交换环B. 非交换环C. 整环D. 除环答案：A10. 向量空间V中，如果存在一组向量α1，α2，…，αn，使得这些向量线性无关，并且V中任意向量都可以表示为这些向量的线性组合，则称这组向量是V的一个（）。
A. 基B. 零向量C. 法向量D. 正交向量答案：A二、填空题（每题4分，共40分）1. 群G中，如果对于任意的a，b∈G，都有ab=ba，则称G是________。
答案：交换群2. 环R中，如果对于任意的a，b∈R，都有ab=0，则称R是________。
2023年新版近世代数练习题题库
§1 第一章基础知识1.1鉴定题:1.2设和所有是非空集合, 那么。
（）1.3A×B = B×A （）1.4只要是到一一映射, 那么必有唯一逆映射。
（）1.5假如ϕ是A到A一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a。
( )1.6集合A到B可逆映射一定是A到B双射。
（）1.7设、、所有是非空集合, 则到每个映射所有叫作二元运算。
（）1.8在整数集Z上, 定义“”：a b=ab(a,b∈Z), 则“”是Z一个二元运算。
（）1.9整数整除关系是Z一个等价关系。
( )1.10填空题:1.11若A={0,1} , 则A⨯A= __________________________________。
1.12设A = {1, 2}, B = {a, b}, 则A×B =_________________。
1.13设={1,2,3} B={a,b},则A⨯B=_______。
1.14设A={1,2}, 则A⨯A=_____________________。
1.15设集合；, 则有。
1.16假如是和间一一映射, 是一个元, 则。
1.17设A =｛a1, a2,…a8｝, 则A上不同样二元运算共有个。
1.18设A、B是集合, | A |＝| B |＝3, 则共可定义个从A到B映射, 其中有个单射, 有个满射, 有个双射。
1.19设A是n元集, B是m元集, 那么A到B映射共有____________个.1.20设A={a,b,c}，则A到A一一映射共有__________个.1.21设A={a,b,c,d,e}, 则A一一变换共有______个.1.22集合元间关系～叫做等价关系, 假如～适合下列三个条件: _____________________________________________。
1.23设 A =｛a, b, c｝, 那么A所有不同样等价关系个数为______________。
近世代数测试试卷(满分100)
近世代数测试试卷（满分100）姓名 学号 分数一、判断题（对的打√，错的打×，共30分,每小题2分）1.设G 是群，则群G 的任意两个子群的并仍是群G 的子群。
（ ）2. 一个群G 同它的每个一个商群G N同态； （ ） 3.一个子群的右陪集的个数和左陪集的个数一定相等； （ ）4.一个有限群G 的任一个元a 的阶都是整除G 的阶； （ ）5.整数加群Z 是个无限循环群； （ ）6.S(M)双射变换群关于变换的乘法作成一个群； （ ）7.仅有集合A 的元间的一个等价关系不一定能确定A 的一个分类； （ ）8.所有一一变换不一定作成一个变换群； （ ）9.设G 为整数群，则G 对运算b a b a ⋅=作成一个群； （ ）10.A R =，A 的代数运算是普通乘法，则映射2x x →为A 的自同构映射； （ ）11.一个集合的所有一一变换可以作成一个变换群； （ ）12.整数加群Z 是个无限循环群； （ ）13.群G 的不变子群N 的不变子群M 必是G 的不变子群； （ ） 14 n 次单位根乘群n U 是一个n 阶循环群； （ ）15.A={所有有理数}，A 对于普通加法来说可以自同构； （ ）二、填空题（共30分,每小题2分）1. 无限循环群一定和 同构；2. n 次对称群n S 的任意子群，都叫做一个n 次 置换群 ；3.设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 ；4. G 是一个群，假定G 和G 对于它们的乘法来说 ，则G 是一个群；5.任何一个群都同一个 同构；6.素数阶有限群G 的子群个数等于 ；7.一个群G 的一个不空有限子集H 作为G 的一个子群的充分而且必要条件是 ；8.一个群G 的一个子群N 的陪集所作成的群叫做 ；9. 设G 是p 阶群，（p 是素数），则G 的生成元有 个；10.一个群G 的一个子群H 的 的个数叫做H 在G 里的指数；11. 含有n 元素的任意集合共有 个双射变换；12.如果群G 可由一个元素a 生成，则称G 为由a 生成的一个 ；13.以集合A 的所有子集为元素的集合为A 的幂集，记为()P A ，若集合A 含有n 个元素，则()P A = ；14.M 为实数集，运算23a b a b =+ （满足或不满足）结合律；15.设群G 中元素a 的阶是n ，则k a n =⇔ ；三、解答题（共40分,每小题8分）1. 设{}{}{}=1,2,A B D ==奇,偶，验证()1,2=12→：奇是一个A B ⨯到D 的代数运算。
《近世代数》练习题及参考答案
《近世代数》练习题及参考答案1．设A={a ，b ，c ，d}试写出集合A 的所有不同的等价关系。
2．证明：:实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。
3．证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.4．设G=。
⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,a R a a a a a 证明：G 关于矩阵的乘法构成群。
5．证明：所有形如n m 32的有理数（m ，n ∈Z ）的集合关于数的乘法构成群。
参考答案1． 设A= 试写出集合A 的所有不同的等价关系。
解2．证明：:实数域R 上全体n 阶方阵的集合Mn(R)，关于矩阵的加法构成一个交换群。
证：（1）显然，Mn(R)为一个具有“+”的代数系统。
（2）∵矩阵的加法满足结合律，那么有结合律成立。
（3）∵矩阵的加法满足交换律，那么有交换律成立。
（4）零元是零矩阵。
∀A ∈Mn(R),A+0=0+A=A 。
（5）∀A ∈Mn(R),负元是-A 。
A+(-A)=(-A)+A=0。
∴（Mn(R),+）构成一个Abel 群。
3．证明:实数域R 上全体n 阶正交矩阵的集合On(R)关于矩阵的乘法构成群.这个群称为n 阶正交群.证：（1）由于E ∈On (R),∵On (R)非空。
(2 ) 任意A,B ∈On (R)，有（AB ）T=B T A T =B -1A -1=(AB) -1,∴AB ∈On(R),于是矩阵的乘法在On(R)上构成代数运算。
(3) ∵矩阵的乘法满足结合律，那么有结合律成立。
（4）对任意A ∈On (R)，有AE=EA=A ．∴E 为On (R)的单位元。
（5）对任意A ∈On (R)，存在A T ∈On (R)，满足AA T =E=AA -1, A T A=E=A -1A ．∴A T 为A 在On (R)中的逆元。
∴On (R)关于矩阵的乘法构成一个群。
{}d c b a ,,,4．设G=。
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§1 第一章 基础知识1 判断题：1.1 设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）1.2 A ×B = B ×A （ ）1.3 只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ） 1.4 如果ϕ是A 到A 的一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a 。
( )1.5 集合A 到B 的可逆映射一定是A 到B 的双射。
（ ）1.6 设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）1.7 在整数集Z 上，定义“ο”：a οb=ab(a,b ∈Z)，则“ο”是Z 的一个二元运算。
（ ）1.8 整数的整除关系是Z 的一个等价关系。
( )2 填空题：2.1 若A={0,1} , 则A ⨯A= __________________________________。
2.2 设A = {1，2}，B = {a ，b}，则A ×B =_________________。
2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A ⨯B=_______。
2.4 设A={1,2}, 则A ⨯A=_____________________。
2.5 设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2.6 如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2.7 设A =｛a 1, a 2,…a 8｝，则A 上不同的二元运算共有 个。
2.8 设A 、B 是集合，| A |＝| B |＝3，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中有 个单射，有 个满射，有 个双射。
2.9 设A 是n 元集，B 是m 元集，那么A 到B 的映射共有____________个.2.10 设A={a,b,c}，则A 到A 的一一映射共有__________个.2.11 设A={a,b,c,d,e}，则A 的一一变换共有______个.2.12 集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件：_____________________________________________。
2.13 设A =｛a , b, c ｝，那么A 的所有不同的等价关系的个数为______________。
2.14 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等价类。
则[][]⇔=b a ______________。
2.15 设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A I ______________。
2.16 设A =｛1, 2, 3, 4, 5, 6｝，规定A 的等价关系～如下：a ～ b ⇔2|a-b ，那么A的所有不同的等价类是______________ 。
2.17 设M 是实数域R 上的全体对称矩阵的集合，～是M 上的合同关系，则由～给出M 的所有不同的等价类的个数是______________。
2.18 在数域F 上的所有n 阶方阵的集合M n （F ）中，规定等价关系~:A~B ⇔秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有________个。
2.19 设M 100 (F)是数域F 上的所有100阶方阵的集合,在M 100 (F)中规定等价关系~如下：A~B ⇔秩(A)=秩(B)，则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。
2.20 若 M={有理数域上的所有3级方阵},A,B ∈M,定义A~B ⇔秩(A)=秩(B),则由”~”确定的等价类有_____________________个。
3 证明题：3.1 设φ是集合A 到B 的一个映射，对于A b a ∈,，规定关系“~”：)()(~b a b a φφ=⇔．证明：“~”是A 的一个等价关系．3.2 在复数集C 中规定关系“~”：||||~b a b a =⇔．证明：“~”是C 的一个等价关系．3.3 在n 阶矩阵的集合)(F M n 中规定关系“~”：||||~B A B A =⇔．证明：“~”是)(F M n 的一个等价关系．3.4 设“~”是集合A 的一个关系，且满足：（1）对任意A a ∈，有a a ~；（2）对任意A c b a ∈,,，若,~,~c a b a 就有c b ~．证明：“~”是A 的一个等价关系．3.5 设G 是一个群，在G 中规定关系“~”：⇔b a ~存在于G g ∈，使得ag g b 1-=．证明：“~”是G 的一个等价关系．第二章 群论1 判断题：§2.1 群的定义.1.1 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：(A) G 对于这个乘法运算都是封闭的；(B)∀a,b,cG ，都有(ab)c=a(bc)成立；(C) 存在G ，使得∀aG ，都有ea=a 成立；(D)∀aG ，都存在aG ，使得aa=e 成立。
则G 关于这个乘法运算构成一个群。
( )1.2 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条：A ）G 对于这个乘法运算是封闭的；B ）∀a,b,c ∈G ，都有（ab ）c=a(bc)成立；C ）存在e r ∈G ，使得∀a ∈G ，都有ae r =a 成立；D ）∀a ∈G ，都存在a 1-∈G ，使得a 1-a=e r 成立。
则G 关于这个乘法运算构成一个群。
（ ）1.3 设G 是一个非空集合,在G 中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G 对乘法运算是封闭的(2)G 对乘法适合结合律(3)G 对乘法适合消去律,则G 构成群。
( )1.4 设G 是一个有限非空集合,G 中定义了一个代数运算称为乘法,如果(1). G 对乘法运算是封闭的;(2). 乘法适合结合律与消去律,则G 对所给的乘法构成一个群。
( )1.5 实数集R 关于数的乘法成群。
（ ）1.6 若G 是一个n 阶群,aG,|a|表示a 的阶,则|a|。
( )1.7 若 |a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。
1.8 设Q 为有理数集，在Q 上定义二元运算“ο”，a οb=a+b+ab(),(,,οQ Q b a 则∈∀)构成一个群。
（ ）§2.2 变换群、置换群、循环群1.9 一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
（ ）1.10 一个集合A 的所有变换作成一个变换群G.( )1.11 集合A 的所有的一一变换作成一个变换群。
（ ）1.12 素数阶群都是交换群。
（ ）1.13p（p为质数）阶群G是循环群．（）1.14素数阶的群G一定是循环群.( )1.153次对称群3S是循环群。
（）1.16任意群都同构于一个变换群．（）1.17有限群都同构于一个置换群。
( )1.18任何一个有限群都与一个循环群同构。
（）1.19在5次对称群5S中，(15)(234)的阶是6.( )1.20在4次对称群S4中，（12）（324）的阶为6。
（）1.21在5S中，(12)(345)的阶是3。
( )1.22任意有限群都与一个交换群同构。
（）1.23因为22阶群是交换群，所以62阶群也为交换群。
（）1.246阶群是交换群。
（）。
1.254阶群一定是交换群。
（）1.264阶群一定是循环群。
（）1.27循环群一定是交换群。
（）1.28设G是群，a, b∈G, |a|=2, |b|=3, 则|ab|=6。
（）1.2914阶交换群一定是循环群。
（）1.30如果循环群()aG=中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构。
（）1.31有理数加群Q是循环群。
（）1.32若一个循环群G的生成元的个数为2，则G为无限循环群。
（）§2.3 子群、不变子群。
1.33若H是群G的一个非空子集，且∀a,b∈H都有ab∈H成立，则H是G的一个子群。
（ ）1.34 若H 是群G 的一个非空有限子集，且∀a,b ∈H 都有ab ∈H 成立，则H 是G 的一个子群。
（ ）1.35 循环群的子群也是循环群。
（ ）1.36 如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ ）1.37 一个阶是11的群只有两个子群。
（ ）1.38 有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶。
（ ）1.39 设G 是一个n 阶群，m|n ，则G 中一定有m 阶子群存在。
（ ）1.40 若G 是60阶群,则G 有14阶子群。
( )1.41 设G 是60 阶群，则G 有40阶子群。
（ ）1.42 阶为100的群一定含25阶元。
（ ）1.43 阶为100的群一定含25阶子群。
（ ）1.44 阶为81的群G 中，一定含有3阶元。
（ ）1.45 设H 是群G 的一个非空子集，则H H H G H =⋅⇔≤-1。
（ ） 1.46 设H 是群G 的一个非空子集，则H H H G H ⊇⋅⇔≤-1。
（ ） 1.47 群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。
（ ）1.48 群G 的一个子群H 元素个数与H 的每一个左陪集aH 的个数相等. （ ）1.49 指数为2的子群不是不变子群。
（ ）1.50 若N ∆H,H ∆G ，则N ∆G 。
( )1.51 若N 是群G 的不变子群,N 是群N 的不变子群,则N 是G 的不变子群。
( )1.52 设H ≤G ，K ≤G ，则HK ≤G 。
（ ）1.53 若N <N ，H <G 那么NH <G 。
（ ）§2.4 商群、群的同态定理。
1.54 群之间的同态关系是等价关系。
（ ）1.55 循环群的商群是循环群。
（ ）1.56 设f ：G G →是群G 到群G 的同态满射，a ∈G ，则a 与f (a)的阶相同。
（ ）1.57 设G 是有限群，H ≤G ， 则||||||H G H G =。
（ ） 1.58 若ϕ是群G 到G 的同态满射，N 是G 的一个不变子群，则ϕ（N ）是G 的不变子群，且N G ≅)(N Gϕ 。
( )1.59 设f 是群G 到群-G 的同态映射，H ∆G ，则 f(H) ∆-G 。
（ ）1.60 设f 是群G 到群-G 的同态映射， H ≤G 则 f(H)≤-G 。
（ ）1.61 若是群G 到的一个同态满射,N 是G 的一个不变子群,则(N)是的不变子群,且~。
1.62 若是群G 到的同态满射,是的一个不变子群,()表示N 的原象,则()是G 不变子群,且≅。
( )1.63 设G 和G 都是群，G ϕ≅G , G N ∆, N=1-ϕ(N )，则N ∆G,且--≅N G N G //。
（ ）2 填空题：2.1 在群G 中，a ，b ∈G ，a 2 = e ，a －1ba = b 2，则|b| =_________________。