抽象代数复习题及答案
抽象代数期末考试试卷及答案
抽象代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。
A、2阶B、3阶C、4阶D6阶2、设G是群，6有()个兀素，则不能肯定G是交换群。
A 4个B 、5个C 、6个D 、7个3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。
A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕4、下列哪个偏序集构成有界格( )A、(N, ) B 、(乙)C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),)5、设S3= {(1) , (12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有()A (1)，(123)，(132)B 、12)，(13)，(23)C、⑴，(123) D 、S3中的所有元素二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、群的单位元是---- 的，每个元素的逆元素是-------- 的。
2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，贝卩f1fa ----------------------- ,3、区间［1，2］上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。
4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。
5、环Z8的零因子有 -------------- 。
&一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。
7、从同构的观点，每个群只能同构于他/它自己的-------- 。
8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。
9、设群G中元素a的阶为m，如果a n e，那么m与n存在整除关系为---- <三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)1、用2种颜色的珠子做成有5 颗珠子项链，问可做出多少种不同的项链？2、S, S是A的子环，贝U Sin s也是子环。
抽象代数复习题及答案
《抽象代数》试题及答案 本科一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题3分)1. 设Q 是有理数集，规定f(x)=x +2；g(x)=2x +1,则（fg ）(x)等于（ B ）A. 221x x ++B. 23x +C. 245x x ++D. 23x x ++2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。
A. 1个B. 2个C. 4个D. 无限个5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个 6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8a 的阶为( B )A ． 2 B. 3 C. 6 D. 97．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111)(---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶C. G 的单位元不唯一D. G 中消去律不成立8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ⨯A 的子集为等价关系的是( C )A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。
抽象代数等价关系习题答案
抽象代数等价关系习题答案抽象代数等价关系习题答案抽象代数是数学中的一个重要分支，研究的是代数结构的一般性质和规律。
在抽象代数中，等价关系是一个基本概念，它描述了两个元素之间的相等性。
在本文中，我将为大家提供一些抽象代数中等价关系习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。
1. 设A是一个非空集合，R是A上的一个等价关系。
证明：对于任意的a ∈ A，[a] = A。
解答：根据等价关系的定义，[a]是由所有与a等价的元素组成的集合。
而等价关系具有自反性，即对于任意的元素a，a与自身等价。
因此，a ∈ [a]，即a属于[a]中的元素。
又因为R是等价关系，所以对于任意的b ∈ A，若a与b等价，则b与a也等价。
因此，[a]中的任意元素与a都等价，即[a]包含了A中的所有元素。
综上所述，[a] = A。
2. 设A是一个非空集合，R是A上的一个等价关系。
证明：对于任意的a, b ∈ A，若a与b等价，则[a] = [b]。
解答：假设a与b等价，即(a, b) ∈ R。
根据等价关系的定义，对于任意的c ∈ [a]，都有(c, a) ∈ R。
由于(a, b) ∈ R，根据等价关系的传递性，对于任意的c ∈ [a]，都有(c, b) ∈ R。
因此，[a]的任意元素与b都等价，即[b] ⊆ [a]。
同理可证，[a] ⊆ [b]。
综上所述，[a] = [b]。
3. 设A是一个非空集合，R是A上的一个等价关系。
证明：对于任意的a, b ∈ A，若[a] ∩ [b] ≠ ∅，则[a] = [b]。
解答：假设[a] ∩ [b] ≠ ∅，即存在一个元素c，使得c ∈ [a] 且c ∈ [b]。
根据等价关系的定义，对于任意的d ∈ [a]，都有(d, a) ∈ R。
由于c ∈ [a]，根据等价关系的传递性，对于任意的d ∈ [a]，都有(d, c) ∈ R。
同理可证，对于任意的d ∈ [b]，都有(d, c) ∈ R。
因此，[a]和[b]中的任意元素与c都等价，即[a] ⊆[b] 且 [b] ⊆ [a]。
抽象代数复习资料
《抽象代数》 复习资料1一、判断对错，正确的填√，错误的填⨯．1、拉格朗日定理的逆命题是正确的. （ ）2、有限整环一定是域. ( )3、任意环都可嵌入一个含有单位元的环。
. ( )二、填空１、设G 为有限集合，且有一个满足结合律的代数运算。
则满足消去律为G 是群的______________（请填写：必要条件，充分条件，或充要条件）． 2、在群中设ord a n =，则对任意, k k Z ord a ?_______________．三、叙述概念 1、代数运算 2、环的特征3、含幺环上未定元的定义 四、计算和证明1、叙述并证明群同态基本定理．2、求10Z 到5Z 的所有环同态。
3、证明：对群中的任意两个元素,a b 均有()()o ab o ba =。
参考答案一、判断对错，正确的填√，错误的填´1、´2、√3、√´ 二、填空 1、充要条件；2、(,)nn k ； 三、叙述定义或定理1、代数运算 ：给定非空集合A ，集合A A ´到A 的映射称为集合A 的一个代数运算 。
（给定非空集合A ，给定A 的一个规则o ，如果对A 中任意的两个元素都有A 中唯一的元素与之对应,则称o 为A 的一个代数运。
2、环的特征：设R 是环，若存在最小的正整数n,使得对所有的a R Î，有0na =，则称环R 的特征是n,若不存在这样的n 则称R 的特征是无穷。
3、含幺环上未定元的定义：含幺Ｒ扩环中的元素x ，和Ｒ中所有的元素可交换，单位元保持其不变，方幂Ｒ线性无关。
四、1、设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射．则N Ker ϕ=是G 的正规子群，且G N G ≅． 证明：由于G 的单位元是G 的一个正规子群，故其所有逆象的集合，即核N Ker ϕ=也是G的一个正规子群．设:(,)a a a G a G ϕ→∈∈，则在G N 与G 之间建立以下映射:()aN a a σϕ→=． （1）证明σ是映射．设(,)aN bN a b G =∈，则1a b N -∈．于是11,a b a b e a b --===，即G N 中每个陪集在σ之下在G 中只有一个象．从而σ确为G N 到G 的一个映射． （2）证明σ是满射．任取a G ∈，由ϕ是满射知，有a G ∈使得()a a ϕ=．从而在σ之下，a 在G N 中有逆象aN ．（3）证明σ是单射．若aN bN ≠，则1a b N -∉，从而1,a b e a b -≠≠．因此，σ是G N 到G 的一个双射．又由于有()()aN bN abN ab =→=，故σ为同构映射．从而G N G ≅．2、找出模10的剩余类环10Z 到剩余类环5Z 的所有环同态。
《抽象代数02009》试卷及标准答案
《抽象代数02009》试卷及标准答案
四、简答题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)
26、A,{1,2,3}，B,{a,b}写出AXB及BXA的所有元素。
27、找出模5剩余类环的所有可逆元，并指出其逆元。
Z5
28、假定一个环R对加法来说作成一个循环群，证明:R是交换环。
29、证明两个不变子群的交集还是不变子群。
30、简述一个环作成域的条件，并指出域有几个理想。
31、群G中元a,b,若a,b的阶均有限，问ab的阶是否有限,
32、假定H是G的子群，N是G的不变子群，证明:HN是G的子群。
五、证明题(本大题共3小题，第33、34小题各7分，第35小题6分，共20分) 233、证明任意偶数阶的有限群至少有一个元a?e，使(e是群G的单位元)。
a,e
34、设R是偶数环，证明:(4)是R的最大理想，但R/(4)不是一个域。
35、假定[a]是整数模n的一个剩余类，证明:若a同n互素，那么所有[a]中的数都同n 互素。
抽象代数期末考试题及答案
抽象代数期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 群的元素满足的运算性质不包括以下哪一项？A. 封闭性B. 结合律C. 交换律D. 恒等元答案：C2. 以下哪个不是环的基本性质？A. 加法和乘法的封闭性B. 加法的结合律C. 加法和乘法的交换律D. 乘法对加法的分配律答案：C3. 向量空间的基具有什么性质？A. 线性无关B. 线性相关C. 可以是任何一组向量D. 包含向量空间中所有向量答案：A4. 以下哪个不是群同态的性质？A. 保持群的运算B. 保持群的恒等元C. 保持群的逆元D. 保持群的子群答案：D5. 有限群的拉格朗日定理表述了什么？A. 群的阶数等于其任意子群的阶数B. 群的任意子群的阶数能整除群的阶数C. 群的任意子群的阶数等于群的阶数D. 群的阶数能整除其任意子群的阶数答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个群G的元素a的阶是最小的正整数n，使得______。
答案：a^n = e2. 如果环R中任意两个元素a和b满足ab=ba，则称R为______。
答案：交换环3. 向量空间V的一个子集W，如果W非空且对向量加法和数乘封闭，则称W为V的一个______。
答案：子空间4. 线性变换T: V → W，如果对于任意的v1, v2 ∈ V和任意的标量c，都有T(v1 + v2) = T(v1) + T(v2)且T(cv) = cT(v)，则称T为______。
答案：线性的5. 一个群G的所有子群构成的集合，在包含关系下构成一个______。
答案：格三、简答题（每题10分，共20分）1. 请简述群的同态和同构的定义。
答案：群的同态是指两个群之间的函数，它保持群的运算。
具体来说，如果有两个群(G, *)和(H, ·)，函数f: G → H是一个同态，当且仅当对于所有a, b ∈ G，有f(a * b) = f(a) · f(b)。
同构是指一个双射同态，即同态f既是单射也是满射，这意味着G和H在结构上是相同的。
抽象代数复习题
抽象代数复习题一、 判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题2分，共20分）1.一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。
（ ）2、有限群G 中每个元素a 的阶都整除群G 的阶。
（ ）3、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无穷大，则G 与整数加群同构。
（ ） 4、循环群的子群也是循环群。
（ ）5、群G 的子群H 是正规子群的充要条件为1,;g G h H g hg H -∀∈∀∈∈。
（ ） 6.若环R 有单位元，则其子环也一定有单位元。
（ ）7、除环中的每一个元都有乘法逆元。
（ ）8、)(x F 中满足条件()0f α=的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（ ） 9、主理想整环一定是唯一分解整环。
（ ）10.域是交换的除环。
（ ）二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)1.设8Z 模8的剩余类环，则8Z 中的零因子是______。
2.模p (素数)的剩余类环Z p 的特征为________。
3.高斯整数环[]Z i 的单位是_______。
4.模6的剩余类加群6Z 有________个生成元。
5.剩余类环Z 6的子环S={［0］,［3］},则S 的单位元是____________。
三．计算与证明题（共60分）1(10分).在5次对称群5S 中，令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3451254321f ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2541354321g ，计算1fgf 。
2（10分）.求出9Z 中所有可逆元并求其逆元3（20分）.设f是群G到'G的同态，H是G的子群，证明()f H是'G的子群。
4（20分）. 设f是环R到'R的满同态，I是R的理想，证明(I)f是'R的理想。
抽象代数复习资料
《抽象代数》 复习资料1一、判断对错，正确的填√，错误的填⨯．1、拉格朗日定理的逆命题是正确的. （ ）2、有限整环一定是域. ( )3、任意环都可嵌入一个含有单位元的环。
. ( )二、填空１、设G 为有限集合，且有一个满足结合律的代数运算。
则满足消去律为G 是群的______________（请填写：必要条件，充分条件，或充要条件）． 2、在群中设ord a n =，则对任意, k k Z ord a ?_______________．三、叙述概念 1、代数运算 2、环的特征3、含幺环上未定元的定义 四、计算和证明1、叙述并证明群同态基本定理．2、求10Z 到5Z 的所有环同态。
3、证明：对群中的任意两个元素,a b 均有()()o ab o ba =。
参考答案一、判断对错，正确的填√，错误的填´1、´2、√3、√´ 二、填空 1、充要条件；2、(,)nn k ； 三、叙述定义或定理1、代数运算 ：给定非空集合A ，集合A A ´到A 的映射称为集合A 的一个代数运算 。
（给定非空集合A ，给定A 的一个规则o ，如果对A 中任意的两个元素都有A 中唯一的元素与之对应,则称o 为A 的一个代数运。
2、环的特征：设R 是环，若存在最小的正整数n,使得对所有的a R Î，有0na =，则称环R 的特征是n,若不存在这样的n 则称R 的特征是无穷。
3、含幺环上未定元的定义：含幺Ｒ扩环中的元素x ，和Ｒ中所有的元素可交换，单位元保持其不变，方幂Ｒ线性无关。
四、1、设ϕ是群G 到群G 的一个同态满射．则N Ker ϕ=是G 的正规子群，且G N G ≅． 证明：由于G 的单位元是G 的一个正规子群，故其所有逆象的集合，即核N Ker ϕ=也是G的一个正规子群．设:(,)a a a G a G ϕ→∈∈，则在G N 与G 之间建立以下映射:()aN a a σϕ→=． （1）证明σ是映射．设(,)aN bN a b G =∈，则1a b N -∈．于是11,a b a b e a b --===，即G N 中每个陪集在σ之下在G 中只有一个象．从而σ确为G N 到G 的一个映射． （2）证明σ是满射．任取a G ∈，由ϕ是满射知，有a G ∈使得()a a ϕ=．从而在σ之下，a 在G N 中有逆象aN ．（3）证明σ是单射．若aN bN ≠，则1a b N -∉，从而1,a b e a b -≠≠．因此，σ是G N 到G 的一个双射．又由于有()()aN bN abN ab =→=，故σ为同构映射．从而G N G ≅．2、找出模10的剩余类环10Z 到剩余类环5Z 的所有环同态。
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《抽象代数》试题及答案 本科一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的序号填在题干的括号内。
每小题3分)1. 设Q 是有理数集，规定f(x)= x +2；g(x)=2x +1,则（fg ）(x)等于（ B ）A. 221x x ++B. 23x + C. 245x x ++ D. 23x x ++2. 设f 是A 到B 的单射，g 是B 到C 的单射，则gf 是A 到C 的 （ A ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射3. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 32）不能交换的元的个数是( C )。
A. 1B. 2C. 3D. 4 4. 在整数环Z 中，可逆元的个数是( B )。
\A. 1个B. 2个C. 4个D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个6. 设G 是有限群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 97．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A ) A. 111)(---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶C. G 的单位元不唯一D. G 中消去律不成立8. 设G 是循环群，则以下结论不正确．．．的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [C. G 是交换群D. G 的任何子群都是循环群9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ⨯A 的子集为等价关系的是( C )A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)}B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)}C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)}D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)}10. 设f 是A 到B 的满射，g 是B 到C 的满射，则gf 是A 到C 的 （ B ）A. 单射B. 满射C. 双射D. 可逆映射11. 设 S 3 = {（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3中与元素（1 2）能交换的元的个数是( B )。
A. 1B. 2C. 3D. 4…12. 在剩余类环8Z 中，其可逆元的个数是( D )。
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13. 设（R ，+，·）是环 ，则下面结论不正确的有( C )。
A. R 的零元惟一B. 若0x a +=，则x a =-C. 对a R ∈，a 的负元不惟一D. 若a b a c +=+，则b c = 14. 设G 是群，a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素32a 的阶为( B ) A ． 2 B. 3 C. 6 D. 915．设G 是有限群，对任意a,b ∈G ，以下结论正确的是( A )A. ||||a GB. |b| = ∞C. G 的单位元不唯一D. 方程ax b =在G 中无解16. 设G 是交换群，则以下结论正确．．的是( B ) -A. G 的商群不是交换群B. G 的任何子群都是正规子群C. G 是循环群D. G 的任何子群都是循环群17. 设A={1，-1, i ，-i}，B = {1, -1},ϕ: A →B, 2a a , ∀a ∈A ，则ϕ是从A 到B 的( A )。
A. 满射而非单射B. 单射而非满射C. 一一映射D. 既非单射也非满射18.设A=R （实数域）， B=+R （正实数集）， γ:a→a 10， a ∈A ，则γ 是从A 到B 的( C )。
A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射19.设A={所有实数x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集的同态满射的是( C )。
→10x →2x →|x| →-x20. 数域P 上的n 阶可逆上三角矩阵的集合关于矩阵的乘法( C )A. 构成一个交换群B. 构成一个循环群C. 构成一个群D. 构成一个交换环 21.在高斯整数环Z[i]中，可逆元的个数为（ D ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 22 . 剩余类加群Z 8的子群有( B )。
`A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个23. 下列含有零因子的环是 （ B ）A. 高斯整数环Z[i]B.数域P 上的n 阶全矩阵环C. 偶数环 2ZD. 剩余类环5Z 24． 设(R,+,·)是一个环，则下列结论正确的是（ D ）A. R 中的每个元素都可逆B. R 的子环一定是理想C. R 一定含有单位元D. R 的理想一定是子环 25．设群G 是6阶循环群，则群G 的子群个数为（ A ） A ． 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个26. 设A = {a, b, c}，B = {1,2,3}, 则从集合A 到集合B 的满射的个数为 ( D )。
A. 1B. 2C. 3D. 627. 设集合 A = {a, b, c}, 则以下集合是集合A 的分类的是 ( C )\A. 1P = { {a, b},{a, c}}B. 2P = {{a},{b, c},{b,a}}C. 3P = {{a},{b,c}}D. 4P = {{a,b},{b,c},{c}}28. 设R = 00a a b Z b ⎧⎫⎛⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭,，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是( A )。
A. 有单位元的交换环 B. 无单位元的交换环 C. 无单位元的非交换环 D. 有单位元的非交换环29. 设S 3={（1），（1 2），（1 3），（2 3），（1 2 3），（1 3 2）}，则S 3的子群的个数是( D )。
A. 1B. 2C. 3D. 630. 在高斯整数环Z[i]中，单位元是( B )。
A. 0B. 1C. iD. i -31.. 设G 是运算写作乘法的群，则下列关于群G 的子群的结论正确的是 ( B )。
、A. 任意两个子群的乘积还是子群B. 任意两个子群的交还是子群C. 任意两个子群的并还是子群D. 任意子群一定是正规子群32. 7阶循环群的生成元个数是( C )。
A. 1B. 2C. 6D. 7 33. 设A={a,b,c}，B={1,2,3}, 则从集合A 到集合B 的映射有( D )。
A. 1 B. 6 C. 18 D. 2734. 设() ,G 为群，其中G 是实数集，而乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数。
那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ D ）和x -； 和0； C.k 和k x 2-； D.k -和)2(k x +-}35. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素，且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ A ）A.11--a bc ；B.11--a c ；C.11--bc a ；D.ca b 1-。
36. 下列正确的命题是（ A ）:A.欧氏环一定是唯一分解环；B.主理想环必是欧氏环；C.唯一分解环必是主理想环；D.唯一分解环必是欧氏环。
37．设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,。
如果=|H |6，那么G 的阶=G （ B ） ； ； ； 。
38. 设G 是有限群，则以下结论正确．．的是（ A ） A. G 的子群的阶整除G 的阶 B. G 的任何子群都是正规子群 C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群39．设21:G G f →是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（ D ） A.f 的同态核是1G 的正规子群； B.2G 的正规子群的原象是1G 的正规子群； C.1G 的子群的象是2G 的子群； D.1G 的正规子群的象是2G 的正规子群。
、40. 关于半群，下列说法正确的是：（ A ）A. 半群可以有无穷多个右单位元B. 半群一定有一个右单位元C. 半群如果有右单位元则一定有左单位元D. 半群一定至少有一个左单位元二、填空题(每空3分)1. 设A 是m 元集，B 是n 元集，那么A 到B 的映射共有 （ mn ）个. 2. 2. n 次对称群n S 的阶是（ n ！ ）.3.一个有限非交换群至少含有（ 6 ）个元素.4.设G 是p 阶群，（p 是素数），则G 的生成元有（ )1p -个.5.除环的理想共有（ 2 ）个.6.剩余类环6Z 的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S 的单位元是（ ［4］ ）.7.在 i+3, 2π, e-3中，（ 3i + ）是有理数域Q 上的代数元.8. 2在有理数域Q 上的极小多项式是（ 2x 2- ）. 9. 设集合A ={a,b}， B={1,2,3}，则A ⨯B=（)}.3,b (),3,a (),2,b (),2,a (),1,b ,1,a {(（）） 、10. 设R 是交换环，则主理想)(a =（ Z}.m R,r |ma {ra Ra ∈∈+=）11．设),3154(=π 则).1345(1=-π12 . 设F 是9阶有限域，则F 的特征是（ 3 ）. 13．设)2154(),351(21==ππ是两个循环置换，则=12ππ（（1342）） 14 . 设F 是125阶有限整环，则F 的特征是 （ 5 ）.15. 设集合A 含有3个元素，则A A ⨯的元素共有（ 9 ）个.16. 设群G 的阶是 2n,子群H 是G 的正规子群，其阶是n, 则G 关于H 的商群所含元素的个数是（ 2 ）. 17.设a 、b 是群G 的两个元，则 1)ab (-=（ 11a b --）.18. 环10Z 的可逆元是（ ]9[],7[],3[],1[）.19. 欧式环与主理想环的关系是（主理想环不一定是欧式环， 但欧式环一定是主理想环）. 、20．如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]a)(1=-a f f 。
21.设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n=，那么m 与n 存在整除关系为（n m 整除）。
22．设)31425(=π是一个5-循环置换，那么)).52413((1=-π。
23．有限群G 的阶是素数p ，则G 是（ 循环 ）群。
24．若I 是有单位元的环R 的由a 生成的主理想，那么I 中的元素可以表达为 （}R y ,x |ayx {i i iii ∈∑有限和）。
25．群),(12⊕Z 的子群有（ 6 ）个。