高考数学第一次诊断性考试(附答案)
2023年甘肃省第一次高考诊断考试第一次理科数学答案
故 ｇ（ｘ）≤ｇ（１）＝０，
所以当 ａ＝１时，ｌｎｘ≤ｘ－１，即 ｆ（ｘ）≤ｘ－１． ４分
⑵①解：令 ｈ（ｘ）＝ａｌｎｘ－ｘ，则 ｈ′（ｘ）＝ａｘ－１＝ａｘ－ｘ，
当 ０＜ｘ＜ａ时，ｈ′（ｘ）＞０，函数 ｈ（ｘ）为增函数；当 ｘ＞ａ时，ｈ′（ｘ）＜０，函数 ｈ（ｘ）为减函数，
令 Ｆ（ｘ）＝ｅ＋１ｘ２＋ｅｘ－２ｅｘｌｎｘ， ２
则 Ｆ′（ｘ）＝（ｅ＋１）ｘ＋ｅ－２ｅ（ｌｎｘ＋１）＝（ｅ＋１）ｘ－２ｅｌｎｘ－ｅ， 由（１）知 ｌｎｘ≤ｘ－１，由①知 ｅｌｎｘ≤ｘ，即 ｌｎｘ≤ ｘ ｅ，又由于两式等号成立的条件不同，相加可
第一次诊断理科数学答案 第 ５页 （共 ６页）
得 ２ｌｎｘ＜ｅ＋ｅ１ｘ－１，所以 Ｆ′（ｘ）＝（ｅ＋１）ｘ－２ｅｌｎｘ－ｅ＞０，
( ) ∴曲线 Ｃ是以点 １２，０为焦点，直线 ｘ＝－１ ２为准线的抛物线，
其方程为：ｙ２＝２ｘ． ４分
（２）设直线 ＡＢ的方程为 ｙ＝ｋ１（ｘ－１），设 Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），
{联立
ｙ２ ＝２ｘ ，可得
ｙ＝ｋ１（ｘ－１）
ｋ２ １ｘ２ －（２ｋ２ １ ＋２）ｘ＋ｋ２ １ ＝０，
则 Δ＝（２ｋ２ １＋２）２－４ｋ４ １＝４（２ｋ２ １＋１）＞０， 且 ｘ１＋ｘ２＝２ｋ２ １ｋ２ １＋２＝２＋ｋ２２ １，ｘ１ｘ２＝ｋ ｋ２ １ ２ １ ＝１， ６分
第一次诊断理科数学答案 第 ４页 （共 ６页）
故 Ｐ（１＋ｋ１２ １，ｋ１１），同理可得 Ｑ（１＋ｋ１２ ２，ｋ１２），
则直线
ＰＱ的方程为
ｙ－ｋ１１
１ ＝ｋ１２
ｋ２ ２
－ －ｋ ｋ１ １１ ２ １（ｘ－１－ｋ１２ １），又
ｋ１ ＋ｋ２ ＝２，
直线 ＰＱ的方程可化为 ｙ＝ｋ１２ｋ２（ｘ－１－ｋ１２ １）＋ｋ１１ ＝ｋ１２ｋ２ｘ－ｋ１２ｋ２－ｋ２２ｋ－１２＝ｋ１２ｋ２（ｘ－１）＋１２，
高三数学上学期第一次教学质量诊断性考试试题文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校高2021级第一次教学质量诊断性考试数学〔文科〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.，，那么A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的性质化简集合，由交集的定义可得结果.【详解】由指数函数的性质化简集合=，又，，应选B.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，此题本质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.，〞的否认是A.不存在，使B.，使C.，使D.，使【答案】D【解析】【分析】“〞“〞可得结果.【详解】,“，〞的否认是，使，应选D..;.，，，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】由指数函数的性质可得由对数函数的性质可得，，应选C.【点睛】此题主要考察对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间〔一般是看三个区间〕；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.，那么函数的最小正周期为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数之间的关系，结合二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式，将化为，从而可得结果.【详解】，的最小正周期为，应选C.【点睛】此题主要考察二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式的应用，以及正切函数的周期性，属于中档题.三角函数式的化简，应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用那么往往容易被无视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的才能，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．的图像大致为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用，可排除；可排除，从而可得结果.【详解】，，排除；，排除，应选D.【点睛】此题通过对多个图象的选择考察函数的图象与性质，属于中档题..解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.是两条不同的直线，垂直于平面，那么“〞是“〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】假设，因为垂直于平面，那么或者；假设，又垂直于平面，那么，所以“〞是“的必要不充分条件，应选B．考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．【此处有视频，请去附件查看】，满足，那么以下关系正确的选项是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可得，，根据对数的运算法那么可得结果.【详解】，，，，应选B.【点睛】此题主要考察对数的性质与对数的运算法那么，以及换底公式的应用，意在考察对根底知识掌握的纯熟程度，考察综合应用所学知识解答问题的才能，属于中档题.中，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的外表积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个一共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，由圆锥侧面积公式可得结果.【详解】设边上高为，，，，，将绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体为两个一共同底面的圆锥，底面半径为，母线长分别为3和4，外表积为两个圆锥侧面积的和，，应选A.【点睛】求几何体的外表积的方法:(1)求外表积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即将空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点；求不规那么几何体的外表积时，通常将所给几何体分割成根本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的外表积，再通过求和或者求差求得几何体的外表积.9.如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，那么该多面体的体积为A.16B.8C.4D.20【答案】A【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，由棱锥的体积公式可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是底面边长为2与6的矩形，一个侧面与底面垂直的四棱锥，棱锥的高为4，该几何体体积为，应选A.【点睛】此题利用空间几何体的三视图重点考察学生的空间想象才能和抽象思维才能，属于难题.三视图问题是考察学生空间想象才能最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译〞成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“齐，长对正，宽相等〞，还要特别注意实线与虚线以及一样图形的不同位置对几何体直观图的影响.10.周髀算经中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，假设图中直角三角形的一个锐角为，且小正方形与大正方形面积之比为，那么的值是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设大正方形边长为1，可得小正方形边长为，由图可知，两边平方，利用二倍角的正弦公式可得结果.【详解】设大正方形边长为1，小正方形与大正方形面积之比为，小正方形边长为，结合图形及三角函数的定义可得，两边平方得，，，应选D.【点睛】此题主要考察三角函数的定义、同角三角函数的关系以及二倍角的正弦公式，意在考察数形结合思想的应用，以及灵敏运用所学知识解答问题的才能，属于中档题.的局部图象如下列图，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到的函数图象关于直线对称，那么的最小值为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由图象求得函数的的解析式，经过周期变换与相位变换可得，由可得结果.【详解】由最大值为，得，由，得，，，，，将函数的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，再将所得图象上所有点向右平移个单位长度，得到，图象关于对称，，，时，最小为，应选A.【点睛】此题考察了三角函数的图象与性质，重点考察学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况以下列图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.的值域与函数的值域一样，那么的取值范围为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，由单调性求得函数的值域为，设，那么，要使的值域为，那么，从而可得结果.【详解】，，时，；时，，在上递增，在上递减，，即的值域为，，那么，在上递增，在上递减，要使的值域为，那么，，又，的范围是，应选C.【点睛】利用导数求函数最值的步骤：〔1〕求出在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；〔2〕根据单调性可得函数的极值，假设只有一个极值点，那么在该处即是极值也是最值；〔3〕假设求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，将答案填在答题纸上〕，假设，那么__________．【答案】3【解析】【分析】由，利用对数的运算求解即可.【详解】，，，故答案为3.【点睛】此题主要考察对数的根本性质，意在考察对根底知识的理解与运用，属于简单题.中，角，，所对的边分别为，，，假设，那么角的大小为______.【答案】【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，再根据余弦定理可得结果.【详解】，由正弦定理可得，化为，，，故答案为.【点睛】解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．假设式子中含有角的余弦或者边的二次式，要考虑用余弦定理；假设遇到的式子中含有角的正弦或者边的一次式时，那么考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，那么要考虑两个定理都有可能用到．15.函数，那么的解集为______.【答案】【解析】【分析】原不等式等价于或者，分别求解不等式组，再求并集即可.【详解】，当时，，解得；当时，，解得，综上，，即的解集为，故答案为.【点睛】此题主要考察分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题..的所有顶点都在同一球面上，底面是正三角形且和球心在同一平面内，假设此三棱锥的最大体积为，那么球的外表积等于__________．【答案】【解析】【分析】先根据球体的性质判断当到所在面的间隔为球的半径时，体积最大，再将最大体积用球半径表示，由棱锥的体积公式列方程求解即可.【详解】与球心在同一平面内，是的外心，设球半径为，那么的边长，，当到所在面的间隔为球的半径时，体积最大，，，球外表积为，故答案为.【点睛】此题主要考察球体的性质、棱锥的体积公式及立体几何求最值问题，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用立体几何和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题.〔一〕必考题：一共60分.中，角，，所对的边分别是，，，，.〔1〕假设，求的值；〔2〕的面积为，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】【分析】〔1〕由，可得，由正弦定理可得，求得，利用诱导公式及两角和的正弦公式可得结果；〔2〕由，可得，再利用余弦定理，配方后化简可得.【详解】〔1〕由，那么，且，由正弦定理，因为，所以，所以，〔2〕，∴，，∴，，∴.【点睛】此题主要考察正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：〔1〕知道两边和一边的对角，求另一边的对角〔一定要注意讨论钝角与锐角〕；〔2〕知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；〔3〕证明化简过程中边角互化；〔4〕求三角形外接圆半径．.〔1〕当时，求曲线在处的切线方程；〔2〕假设函数在区间上是增函数，务实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕。
四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题(含答案)
四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={−2,−1,0,1,2},B=x|(x+1)2≤1，则A∩B=( )A. {−2,−1}B. {−2,−1,0}C. [−2,0]D. [−2,2]2.“ac2>bc2”是“a>b”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知x>0,y>0，且满足x+y=xy−3，则xy的最小值为( )A. 3B. 23C. 6D. 94.某公司根据近几年经营经验得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x/万元258111519利润y/万元334550535864根据表中数据可得利润y关于广告支出x的经验回归方程为y=1.65x+a.据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费( )A. 30万元B. 32万元C. 36万元D. 40万元5.下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是( )A. y=x−2B. y=x+1x C. y=x−sinx D. y=ln x−1x+16.已知θ为第一象限角，且tan(θ+π3)+tanθ=0，则1−cos2θ1+cos2θ=( )A. 9B. 3C. 13D. 197.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：ℎ)间的关系为P=P0e−kt(e是自然对数的底数，P0,k为正的常数).如果前9ℎ消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为()(参考数据：lg2≈0.301)A. 33ℎB. 35ℎC. 37ℎD. 39ℎ8.已知函数f(x)=−3(x+1)2,x≤0e x(x2−3),x>0 ,g(x)=mx，若关于x的不等式x(f(x)−g(x))<0的整数解有且仅有2个，则实数m的取值范围是( )A. 0,B. 0,C. (−2e,0]D. (−∞,0)∪0,二、多选题：本题共3小题，共18分。
山东省2025届高三上学期第一次诊断考试 数学含答案
山东省2025届高三第一次诊断考试数学试题（答案在最后）2024.10说明：本试卷满分150分。
试题答案请用2B 铅笔和0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{ln(3)},{2}A x y x B x x ==+=∣∣ ,则下列结论正确的是A.A B⊆ B.B A ⊆ C.A B = D.A B ⋂=∅2.在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中,常数项为A.152-B.152C.52-D.523.已知()()cos f x x a x =+为奇函数,则曲线()y f x =在点(π,(π))f 处的切线方程为A.ππ0x y +-= B.ππ0x y -+= C.π0x y ++= D.0x y +=4.在ABC 中,“π2C =”是“22sin sin 1A B +=”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.由0,1,2,,9 这十个数字组成的无重复数字的四位数中,个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的有A.98个B.105个C.112个D.210个6.已知函数()f x 在R 上满足()()f x f x =-,且当(,0]x ∈-∞时,()()0f x xf x '+<成立,若()0.60.6221122,ln 2(ln 2),log log 88a f b f c f ⎛⎫=⋅=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是A.a b c >>B.c b a>> C.a c b>> D.c a b>>7.若1cos 3sin αα+=,则cos 2sin αα-=A.-1B.1C.25-D.-1或25-8.已知函数225e 1,0(),()468,0x x f x g x x ax x x x ⎧+<⎪==-+⎨-+≥⎪⎩,若(())y g f x =有6个零点,则a 的取值范围是A.(4,)+∞ B.174,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.[4,5]D.2017,(4,5]32⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.9.已知0a b >>,下列说法正确的是A.若c d >，则a c b d ->-B.若0c >,则b b c a a c+<+C.2ab a b <+D.11a b b a+>+10.已知,A B 分别为随机事件A ,B 的对立事件,()0,()0P A P B >>,则A.()()1P B A P B A +=∣∣ B.()()()P B A P B A P A +=∣∣C.若A ,B 独立,则()()P A B P A =∣ D.若A ,B 互斥,则()()P A B P B A =∣∣11.已知函数()(1)ln (0)f x x x ax a a =---≠在区间(0,)+∞上有两个不同的零点1x ,2x ,且12x x <,则下列选项正确的是A.a 的取值范围是(0,1) B.121x x =C.()()12114x x ++> D.1214ln 2ln ln 23x a x x a +<<++三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若1~10,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且51Y X =+,则()D Y =___________.13.已知二次函数2()2()f x ax x c x =++∈R 的值域为[1,)+∞,则14a c+的最小值为___________.14.一颗质地均匀的正方体骰子,六个面上分别标有点数1,2,3,4,5,6.现随机地将骰子抛掷三次（各次抛掷结果相互独立），其向上的点数依次为123,,a a a ，则事件“1223316a a a a a a -+-+-=”发生的概率为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题
四川省绵阳市2025届高三第一次诊断性考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，(){}211B x x =+≤，则A B = （）A ．{}2,1--B ．{}2,1,0--C ．[]2,0-D ．[]22-,2．“22ac bc >”，是“a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知0,0x y >>，且满足3x y xy +=-，则xy 的最小值为（）A ．3B ．C ．6D ．94．某公司根据近几年经营经验，得到广告支出与获得利润数据如下：广告支出x /万元258111519利润y /万元334550535864根据表中数据可得利润y 关于广告支出x 的经验回归方程为ˆ 1.6ˆ5yx a =+．据此经验回归方程，若计划利润达到100万元，估计需要支出广告费（）A ．30万元B ．32万元C ．36万元D ．40万元5．下列选项中，既是增函数，也是奇函数的是（）A ．2y x -=B ．1y x x=+C ．sin y x x =-D ．1ln1x y x -=+6．已知θ为第一象限角，且πtan tan 03θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1cos21cos2θθ-=+（）A ．9B ．3C ．13D ．197．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=（e 是自然对数的底数，0P ，k 为正的常数）．如果前9h 消除了20%的污染物，那么消除60%的污染物需要的时间约为（）（参考数据：lg 20.301≈）A ．33h B ．35h C ．37h D ．39h8．已知函数()()()()2231,0,e 3,0x x x f x g x mx x x ⎧-+≤⎪==⎨->⎪⎩，若关于x 的不等式()()()0x f x g x -<的整数解有且仅有2个，则实数m 的取值范围是（）A ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．2e 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]2e,0-D ．()3,00,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、多选题9．已知数列的前n 项和为n S ，且116,6n n a a S +==+，则（）A ．342S =B ．2n nS a <C ．{}n S 是等比数列D ．存在大于1的整数n ，k ，使得n kS a =10．已知函数()22sin cos 0)222x x x f x ωωωω=->在[)0,π上有且仅有4个零点，则（）A ．1114,33ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．令()π6g x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，存在ω，使得()g x '为偶函数C ．函数()f x 在()0,π上可能有3个或4个极值点D ．函数()f x 在ππ,3535⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增11．已知函数()f x 的定义域为，()f x 不恒为0，且()()222f x f y x y x y f f ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则（）A ．()0f 可以等于零B ．()f x 的解析式可以为：()cos2f x x =C ．曲线−1为轴对称图形D ．若()11f =，则201()20k f k ==∑三、填空题12．记ABC V 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知()22,3,cos 3b c B C ==+=-，则a =．13．已知函数()|ln|2||f x x m =+-，m 为正的常数，则()f x 的零点之和为．14．若2x =是函数()()213e 22xf x x a x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的极大值点，则实数a 的取值范围为．四、解答题15．近年来，解放军强军兴军的深刻变化，感召了越来越多的高中优秀青年学子献身国防，投身军营.2024年高考，很多高考毕业学生报考了军事类院校．从某地区内学校的高三年级中随机抽取了900名学生，其中男生500人，女生400人，通过调查，有报考军事类院校意向的男生、女生各100名．(1)完成给出的列联表，并分别估计该地区高三男、女学生有报考军事类院校意向的概率；有报考意向无报考意向合计男学生女学生合计(2)根据小概率值0.10α=的独立性检验，能否认为学生有报考军事类院校的意愿与性别有关．参考公式及数据：()()()()()22,n ad bc n a b c d a b c d a c b d χ-==+++++++．α0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001x α1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82816．记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知1sin 2a C =，且cos cos 1a C c A +=，(1)求ABC V 的面积；(2)若π4B =，求A ．17．已知数列{}{},n n a b 满足()1n n n a nb +=，且1n a +是n b 与1n b +的等比中项．(1)若124a a +=，求1b 的值；(2)若12a =，设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ．（ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（ⅱ）求n n T S -．18．已知函数()3221f x x ax a x =+--．(1)当5a =-时，则过点()0,2的曲线()f x 的切线有几条?并写出其中一条切线方程；(2)讨论()f x 的单调性；(3)若()f x 有唯一零点，求实数a 的取值范围．19．已知函数()2ln 3f x x x x a =+-+，()f x 在(]0,1上的最大值为3ln24-．(1)求实数a 的值；(2)若数列{}n a 满足()1231n n n n a a f a a +=+-，且143a =．（ⅰ）当2,n n ≥∈Z 时，比较n a 与1的大小，并说明理由；（ⅱ）求证：1312ni i a =-<∑．。
高三数学第一次诊断性测试2021届(附答案)
2021届第一次诊断性测试数 学 试 题(理科)注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页.第II 卷3至6页.共150分.考试时间120分钟.2．考生一律不准使用计算器.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=032x x x A ，{}0432≤--=x x x B ，则A （R C B ）等于 （ ） A ．{3≤x x 或}4>x B ．}31|{≤<-x xC ．}43|{<≤x xD ．}12|{-<≤-x x2．若b a c b a >∈,R 、、，则下列不等式成立的是 ( )A. ba 11<. B. 22b a >. C.1122+>+c bc a . D. ||||c b c a >.3. 已知点)cos 2 ,cos (sin ααα⋅P 在第四象限, 则角α的终边在 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是 ( )A ．31)(x x f = B ．()1f x x =-+ C ．2()ln2x f x x -=+ D ．()1()2x x f x a a -=+ 5．已知函数54)(--=x x x f ，则当方程a x f =)(有三个根时，实数a 的取值范围是（ ）A ．15-<<-a B ．15-≤≤-a C ．5-<a D ．1->a 6．设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A ．)3,1()3,( --∞B ．),3()0,3(+∞-C ． ),3()1,1(+∞-D ． ),3()1,3(+∞-7．下列四个函数中，图像如右图所示的只能是( ) A ．x x y lg +=B ．x x y lg -=C ．x x y lg +-=D ．x x y lg --=8．若对(,0)a ∀∈-∞，R ∈∃θ，使a a ≤θsin 成立，则)6cos(πθ-的值为D( )A ．12B ．12- C ．32 D ．32- 9．已知函数0)1(),0()(2=>++=f a c bx ax x f ，则“a b 2>”是“0)2(<-f ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．函数|log |)(3x x f =在区间[]b a ,上的值域为[]1,0，则a b -的最小值为( )A ．31B. 32C.1D.211．已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为，，且有8)()()(111=⋅---b f a f x f 若0>a 且0>b ，则ba 41+的最小值为 （ ）A ．2B ．3C ．6D ．912．已知定义在R 上的函数)(x f y =满足下列三个条件：①对任意的R x ∈都有);()2(x f x f -=+②对于任意的2021≤<≤x x ，都有),()(21x f x f <③)2(+=x f y 的图象关于y 轴对称，则下列结论中，正确的是 （ ）A ．)7()5.6()5.4(f f f <<B ． )5.6()7()5.4(f f f <<C ．)5.6()5.4()7(f f f <<D ． )5.4()5.6()7(f f f <<第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、 填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上. 13．函数xx x x f -++-=16)(2的定义域是_________________________.14．函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递增区间是_____________________________.15．若,53)cos(,51)cos(=-=+βαβα则______________________tan tan =⋅βα.16．已知实数y x ,满足)0(,1255334>+=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-a y ax z x y x y x 设，若633当取z 最大值时对应的点有无数多个，则a = .三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ． （1）若3a =，求A ；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围 .18．（本小题满分12分）已知3sin cos sin 2cos =-+xx xx ．（1）求x tan ； （2）求xx x sin )4cos(22cos ⋅+π的值．19．（本小题满分12分）已知函数()32f x x ax bx c =-+++图像上的点))1(,1(f P 处的切线方程为31y x =-+，函数3)()(2+-=ax x f x g 是奇函数． （1）求函数)(x f 的表达式； （2）求函数)(x f 的极值.20．（本小题满分12分）已知20,1413)cos(,71cosαββαα<<=-=且(1)求α2tan 的值； （2）求β.21．（本小题满分12分）已知命题p ：在]2,1[∈x 内，不等式022>-+ax x 恒成立；命。
四川省德阳市高中2022-2023学年高三上学期第一次诊断考试理科数学试题 附答案
德阳市高中2020级第一次诊断考试数学试卷(理工农医类)说明：1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回.2.本试卷满分150分,120分钟完卷.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合P={x ∈ N |x ²≤9},Q={1,3},则P∩Q=（ ） A.QB.{-3,-2,-1,0,1,3}C.PD.{-3,-2,-1,2}2.关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的是（ ） A.样本数据9、3、5、7、12、13、1、8、10、18的中位数是8或9 B.将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化C.利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高D.调查影院中观众观后感时，从15排(每排入数相同)每排任意抽取一人进行调查是系统抽样法 3.复数5i−2的共轭复数为（ ） A.2+i B.-2+ i C.-2-i D.2-i 4.已知等比数列{a n }的前n 项和为Sₙ，且S₅=5,S₁₀=30, 则 S₁₅=（ ） A.90B.125C.155D.1805.已知x 、y 满足约束条件{x +2y ≤12x +y +1≥0x −y ≤0 则 yx+2的最小值为（ ）A.1B.17C.−13D.−156.已知 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b, 点M 关于A 的对称点为S ，点S 关于B 的对称点为N ，那么MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A.2a-2bB.2a+2bC.-2a-2bD.-2a+2b7.德阳市文庙广场设置了一些石凳供游人休息，这些石凳是由正方体形石料(如图1)截去8个一样的四面体得到的(如图2)，则下列对石凳的两条边AB 与CD 所在直线的描述中正确的是（ ） ①直线AB.与CD 是异面直线 ②直线AB 与CD 是相交直线 ③直线AB 与CD.成60°角 ④直线AB 与CD 垂直A.①③B.①④C.②③D.②④8.已知某曲线方程为x2m+3−y22m−1=1,则下列描述中不正确的是（）A.若该曲线为双曲线，且焦点在x轴上，则m∈(12,+∞)B.若该曲线为圆，则m=4C.若该曲线为椭圆，则其焦点可以在x轴上，也可以在y轴上D.若该曲线为双曲线，且焦点在y轴上，则m∈(-∞，-3)9.函数f(x)=[ln(π-x)+lnx]cosx的大致图象为A. B.C. D.10.·如图是旌湖边上常见的设施，从两个高为1.米的悬柱上放置：一根均匀铁链，让其自然下垂轻触地面(视为相切)形成的曲线称为悬链线(又称最速降线).建立恰当的直角坐标系后，其方程可以是y=12(e x+e−x+t),那么两悬柱间的距离大致为(可能会用到的数据e1.25≈3.49,e1.35≈3.86)（）A.2.5米B.2.6米C.-2.8米D.2.9米11.已知函数f(x)=1+x−x22+x33−x44+⋯+x2n2023,x∈R,则f(x)在R上的零点个数为（）A.0B.1C.2D.202312.已知a、b、c是正实数,且e²ᵃ−2eᵃ⁺ᵇ+eᵇ⁺ᶜ=0,则a、b、c的大小关系不可能为（）A.a=b=cB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答，二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13.已知二项式(√x√x )n(n∈N∗)的展开式中最后三项的二项式系数和为79，则n =______.14.已知a,b是单位向量,且a·b=0,若c=λa+(1-λ)b,那么当c⊥(a-b)时,λ=______.15.已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω⟩0,||<π2)的部分图象如图所示,则f(x)=______.16.如图,矩形ABCD中,AC是对角线,设∠BAC=α,已知正方形Sₙ正方形S的周长.和正方形Sₙ分别内接于Rt△ACD和Rt△ABC,则正方形S1的周长正方形S2的周长的取值范围为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本题满分12分)已知等差数列{a n}的首项为1，公差d≠0，前n项和为Sn,且S nS2n为常数.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若bₙ=2ⁿ⁻¹⋅an,求数列{bₙ}的前n项和Tₙ.18.(本题满分12分)在△ABC中,边a、b、c对应角分别为A、B、C,且ba =√3sinA.(1)求角B的大小;(2)从条件①、条件②、条件③中任选一个作为已知条件，使得△ABC存在且唯一，求AC边上的高.条件①：cosA=√33,b=1;条件②：b=2,c=2√3;条件③：a=3,c=2.注：若选多个条件分别作答，则按第一个解答给分.19.(本题满分12分)买盲盒是当下年轻人的潮流之一，每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性，某礼品店2022年1月到8月售出的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：(1)求出月利润y(千元).关于月销售量x(百个)的回归方程(精确到0.01)； 数学一诊(理工农医类) 第3页 共高页签字号(2)2022年“一诊”考试结束后，某班数学老师购买了装有“五年高考三年模拟”和“教材全解”玩偶的两款盲盒各4个，从中随机选出3个作为礼物赠送给同学，用ξ表示3个中装有“五年高考三年模拟”玩偶的盲盒个数，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：回归方程 y ̂=â+b̂x ⋅中斜率和截距最小二乘估计公式分别为： b̂=∑i=1n(x i −x̅)(y i −y ̅)∑i=1n (x i−x̅)2=∑i=1nx i y i −nx̅y ̅∑i=1n x i2−nx̅2,â=y ̅−b̂x̅. 参考数据： ∑i=18x i2=580,∑i=18x i y i =459.5.20.(本题满分12分)已知函数 f (x )=13x 3+12(a −1)x 2−ax (a ⟩0).(1)求函数f(x)的极值;(2)当a>1时,记f(x)在区间[-1,2]的最大值为M,最小值为m.已知M+m ∈ (13,23). 设f(x)的三个零点为xₙ,xₙ,xₙ,求 f( xₙxₙ+xₙxₙ+xₙxₙ)的取值范围. 21.(本题满分12分)已知函数f (x )=eˣ,g (x )=tsinx +1,设 b(x) =f(x)-g(x).(1)若h(x)在 (−π2,π2) 上单调递增，求实数t 的取值范围；(2)求证：∃t ∈(0,+∞);对∀x ∈R,∃a ∈[0,+∞),使得xh(x)=a 总成立.请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本题满分10分)在平面直角坐标系中，曲线Cₙ的方程为(x −1)2+(y −√3)2=1,曲线Cₙ的参数方程为 {x =3t 2y =√3t(t 为参数)，直线l 过原点O 且与曲线Cₙ交于A 、B 两点，点P 在曲线Cₙ上且·OP ⊥AB.以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出曲线Cₙ的极坐标方程并证明|OA|·|OB|为常数； (2)若直线l 平分曲线Cₙ,求△PAB 的面积. 23.(本题满分10分) 已知函数f(x)=|x|.(1)画出y=f(x-1)-f(x+5)的图象,并根据图象写出不等式f(x--1)-f(x+5)≤-4的解集; (2)若f(x-1)-f(x+5)+kf(x+2)≥0恒成立，求实数k 的取值范围.德阳市高中2020级第一次诊断考试数学参考答案与评分标准(理科)一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13．12 14．12 15．sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 16．3⎡⎫⎪⎢⎣⎭．三、解答题17．解：（1）由题意知：()()211222n n n dn d nS na d -+-=+=． 所以()224222n dn d nS +-=．所以()()22222422442n n dn d n S dn dS dn d n dn d+-+-==+-+-为常数． 因为0d ≠，故只要2442d dd d-=-，解得2d =，此时21n a n =-． （2）由（1）知21n a n =-，()112212n n n n b a n --=-⋅=．所以()111232212n n T n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯得()()22121232232212n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯两式相减得：()011122222212n n n T n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯--⨯()()12121221212n n n --=+⨯--⨯-()3223n n =-⨯-所以()2323nn T n =-⨯+．18．解：（1）在△ABC 中，由正弦定理及b a =， sin sin cos sin A B A B A ⋅=⋅+因为sin 0A ≠cos 1B B -=，即1sin 62B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 得：66B ππ-=或56π，解得3B π=． （2）若选条件①：cos A =，1b =．易知符合条件的ABC △存在且唯一，AC 边上的高为sin c A ⋅．由cos A =得：sin A =所以()sin 3sin sin sin 326A AC A B A ππ⎛⎫=--=+==⎪⎝⎭．故sin sin b Cc B===AC边上的高为sin c A ⋅=．若选条②：2b =，c =sin 32c B ⋅=>，所以符合条件的ABC △不存在． 若选条件③：3a =，2c =，由余弦定理得：294232cos 73b π=+-⨯⨯⨯=．所以b =由正弦定理sin sin C Bc b =得：2sin sin 7c B C b ⎛ ===． 所以AC边上的高为sin 7a C ⋅=． 19．解：（1）由题意得：8x =， 6.5y =，所以818221ˆ8459.588 6.50.645808618i ii i i x y xybx x==--⨯⨯===-⨯-∑∑6.50.64ˆ8 1.38.a y bx=-=-⨯= 故月利润y （千元）关于月销售量x （百个）的回归方程为：0.64 1.38y x =+． （2）ξ的所有市能取值为0，1，2、3，则()34384056C P C ξ===，()24433824156C C P C ξ⨯===， ()12443824256C C P C ξ⨯===，()34384356C P C ξ===． 故ξ的分布列为：ξ的数学期望0123565656562E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=．20．解（1）因为()()()()211f x x a x a x a x =+--=+-' 令()0f x '=解得：1x =或x a =-因为0a >，可知()f x 在(),a -∞-上单增，(),1a -上单减，()1,+∞上单增． 所以()()321162f x f a a a =-=+极大值，()()1126a f x f ==--极小值． （2）由（1）知()f x 在(),a -∞-上单增，(),1a -上单减，()1,+∞上单增． 当1a >时，()f x 在[]1,1-上单减，在[]1,2上单增． 所双()f x 在区间[]1,2-的最小值()11.26a m f ==-- 最大值M 为()35126a f -=-与()223f =的较大者。
高三数学第一次诊断性测试文科数学试题及答案
高中毕业班第一次诊断性检测题数 学（文科）注意事项：全卷满分为150分；完成时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 、B 互斥；那么球的表面积公式P (A +B )=P (A )+P (B )S =4πR 2 如果事件A 、B 相互独立；那么其中R 表示球的半径P (A •B )=P (A )•P (B )球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ； 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率334R V π=k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题；共60分）一、选择题：本题共有12个小题；每小题5分；在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的；把正确选项的代号涂在机读卡的指定位置上。
1．lg8+3lg5的值为(A) －3 (B) －1 (C) 1 (D) 3 2．若0>>b a ；则下列不等式中总成立的是(A)11++>a b a b (B) b b a a 11+>+ (C) a b b a 11+>+(D) bab a b a >++22 3．设1:-<x p 或 2:,1-<>x q x 或1>x ；则p ⌝是q ⌝的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件4．已知)(x f 是R 上的增函数；若令)1()1()(x f x f x F +--=；则)(x F 是R 上的 (A) 增函数 (B) 减函数(C) 先减后增的函数 (D) 先增后减的函数5．已知直线l ⊥平面α；直线m ⊂平面β；有下列四个命题：①;//m l ⊥⇒βα ②;//m l ⇒⊥βα③;//βα⊥⇒m l ④βα//⇒⊥m l 。
其中真命题是 (A) ①② (B) ③④ (C) ②④ (D) ①③6．将函数x y 2sin =的图象按向量a 平移后得到函数)32sin(π-=x y 的图象；则向量a 可以是(A) )0,3(π (B) )0,6(π(C) )0,3(π- (D) )0,6(π-7．一组样本数据；容量为150。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学第一次诊断性考试数学(理工农医类)本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共四页．全部解答都写在答卷(卡)上，不要写在本题单上．120分钟完卷，满分150分．第Ⅰ卷(选择题，共60分)注意：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用钢笔和4B或5B铅笔写、涂在答题卡上．2．每小题选出答案后，用4B或5B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．若需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不准答在本题单上．3．参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)；如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --⋅⋅=)1()(；正棱锥、圆锥的侧面积公式cl S 21=锥侧 其中c 表示底面周长，l 表示斜高或母线长； 球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上．1．已知集合P ={－1，0，1}，Q ={y ︱y =sin x ，x ∈P }，则P ∩Q 是CA ．{－1，0，1}B ．{0，1}C ．{0}D ．{1}2．设两个集合A ={1，2，3，4，5}，B ={6，7，8}，那么可以建立从A 到B 的映射个数是 BA ．720B ．243C ．125D ．153．若不等式∣ax + 2∣＜6的解集为(－1，2)，则实数a 等于 AA ．－4B ．4C ．－8D ． 84．已知函数f (x )的图象恒过点(1，1)，则f (x －4)的图象过 DA ．(－3，1)B ．(1，5)C ．(1，－3)D ．(5，1)5．已知x x f x f 26log )()(=满足函数 ，那么f (16) 等于 DA ．4B ．34C ．16D ．326．定义在实数集R 上的函数y =f (－x )的反函数是)(1x f y -=-，则 AA ．y =f (x )是奇函数B ．y =f (x )是偶函数C ．y =f (x )既是奇函数，也是偶函数D ．y =f (x )既不是奇函数，也不是偶函数7．下列求导正确的是 BA ．211)1(xx x +='+ B ．2ln 1)(log 2x x =' C ．)3('x =3x ·log 3e D ．)cos (2'x x =－2x sin x8．设随机变量ξ的分布列为,3,2,1,)31()(===i a i P i ξ则a 的值是 D A ．1 B ．139 C ．131 D ．1327 9．)321132112111(lim nn +++++++++++∞→ 的值为 A A ． 2 B ． 0 C ． 1 D ． 不存在10．已知z ∈C ，满足不等式0<-+z i iz z z 的点Z 的集合用阴影表示为CA ．B ．C ．D ．11．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，每次投篮甲投中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，且不受其它投篮结果的影响．设甲投篮的次数为ξ，若甲先投，则==)(k P ξ BA ．4.06.01⨯-kB ．76.024.01⨯-kC ．6.04.01⨯-kD ．24.076.01⨯-k12．我们用记号θi e 来表示复数cos θ +i sin θ，即θθθsin c os i e i += (其中e = 2.71828…是自然对数的底数，θ 的单位是弧度)．则：① i e i 222=π； ② θθθsin 2=+-i i e e ； ③ 01=+πi e ． 其中正确的式子代号为 CA ．①B ．①②C ．①③D ．②③第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．13．一个公司有N 个员工，下设一些部门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n 的样本 (N 是n 的倍数)．已知某部门被抽取了m 个员工，那么这一部门的员工数是 ．n mN 14．=+-+-→)1311(lim 31x x x ．－ 1 15．计算：=-3)2321(i ． －1 16．关于函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=)0(2)0(21)(x ax x ax x f )0(≠a a 是实常数且，下列表述不正．．确．的是 ．(填写答案序号) ① ③ ④ ① 它是一个奇函数； ② 它在每一点都连续；③ 它在每一点都可导；④ 它是一个增函数； ⑤ 它有反函数．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本题满分12分) 设随机变量ξ 服从正态分布：ξ ~ N (1，22)，试求：(Ⅰ) )20(≤<ξP ；(Ⅱ) 求常数c ， 使 )(32)(c P c P >=≤ξξ．参考数据：Φ(0)=0.5；Φ(1)=0.8413；Φ(2)=0.9772；Φ(0.5)=0.6915；Φ(1.88)=0.9697；Φ(3)=0.9987．17．解： (Ⅰ) 由)0()2()20(F F P -=≤<ξ=)210()212(-Φ--Φ =)5.0()5.0(-Φ-Φ=21)5.0(-Φ=216915.0-⨯=0.3830．(Ⅱ) 由已知可得 )](1[32)(c P c P ≤-=≤ξξ，∴ 32)(33=≤c P ξ，即 32)2133=-Φc （， ∴ 9697.0)21(=-Φc ， ∴ 88.121=-c ， c =4.76．18．(本题满分12分) 已知函数332+-=x xa y 在[0，2]上有最小值8，求正数a 的值．解：设43)23(3322+-=+-=x x x u ， 当x ∈[0，2]时，可得]3,43[∈u ． (1) 若a ＞1时，则843m in ==a y ，解得a =16＞1．(2) 若0＜a ＜1时，则83m in ==a y ，解得a =2，此与0＜a ＜1矛盾，舍去．故正数a =16．19．(本题满分12分) 已知p ：∣1－2x ∣≤ 5，q ：x 2－4x +4－9m 2 ≤ 0 (m ＞0)，若⌝p 是⌝q 的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．解：解不等式可求得：p ：－2≤x ≤3， q ：2－3m ≤x ≤2+3m (m ＞0)．则 ⌝p ：A ={x ∣x ＜－2或x ＞3}，⌝q ：B ={x ∣x ＜2－3m 或x ＞2+3m ，m ＞0}．由已知 ⌝p ⇒⌝q ，得A B ，从而310.0,332,232≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-≥-m m m m ． (上述不等式组中等号不能同时取)．经验证．．310≤<m 为所求实数m 的取值范围．20．(本题满分12分) 已知f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，当x ＜0时，f (x )=x 2－x －2，解不等式f (x )＞0．解： 设x ＞0，则 －x ＜0．∴ f (－x )=(－x )2－(－x )－2=x 2+x －2．而f (x ) 是奇函数，∴ f (－x )=－f (x )，于是 f (x )=－x 2－x +2，x ＞0．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧<-->+--=.0,2;0,2)(22x x x x x x x f (1) 由 ⎩⎨⎧>+-->02,02x x x 得 )1,0(0)1)(2(,0∈⇒⎩⎨⎧<-+>x x x x ． (2) 由 ⎩⎨⎧>--<02,02x x x 得 10)1)(2(,0-<⇒⎩⎨⎧>+-<x x x x ．综上所述，不等式f (x )＞0的解集为{x ∣x ＜－1或0＜x ＜1}．21．(本题满分12分) 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元．设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？解：设保险公司要求顾客交x 元保险金，若以ξ表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：因此，公司每年收益的期望值为Eξ=x(1－p)+(x－a)·p=x－ap．为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需Eξ=0.1a，即x－ap=0.1a，故可得x=(0.1+p)a．即顾客交的保险金为(0.1+p)a时，可使公司期望获益10%a．说明：当事件E发生的概率较小时，即使赔偿数目较大，保险公司仍可获益．例如当P=0.001，a=10000元时，根据上述赔偿办法，顾客只需交纳(0.1+0.001)×10000=1010元保险金，但保险公司仍可期望获益10%a=1000元，当保险公司的顾客较多时，其效益十分可观．22．(本题满分14分) 已知函数ax2ln()(在开区间(0，1)内=)x-xf+是增函数．(Ⅰ) 求实数a 的取值范围；(Ⅱ) 若数列{a n }满足a 1∈(0，1)，)()2ln(*1N ∈+-=+n a a a n n n ，证明：101<<<+n n a a ．(Ⅲ) 若数列{b n }满足b 1∈(0，1)，)()2ln(2*1N ∈+-=+n b b b n n n ，问数列{b n }是否单调？(Ⅰ) 解：a xx f +--='21)(，由于f (x )在(0，1)内是增函数， ∴ 0)(>'x f ，即 021>+--a x在x ∈(0，1)时恒成立． ∴ 21-->x a 恒成立， 而 －2＜x －2＜－1，∴ 21211-<-<-x ， 即 12121<--<x ， ∴ a ≥1即为所求．(Ⅱ) 证明：由题设知，当n =1时，a 1∈(0，1)． 假设当n =k 时，有a k ∈(0，1)，则 当n =k +1时，有0)2ln(1>+-=+k k k a a a 且1)2ln(1<+-=+k k k a a a (由第一问知f (x )=ln(2－x )+x 在(0，1)上是增函数)，∴ n =k +1时命题成立，故0＜a n ＜1，n ∈N *． 又 ∵ 0)2ln(1>-=-+n n n a a a ，∴ 101<<<+n n a a ．(Ⅲ) 数列{b n }不具有单调性．令 211=b ， 则 )2,1(2149ln 21)212ln(2)2ln(2112∈+=+-=+-=b b b ， ∴ b 2＞b 1．又 ∵ 1＜b 2＜2，0＜2－b 2＜1，∴ ln(2－b 2)＜0，∴ 2223)2ln(2b b b b <+-=．由此表明数列{b n }没有单调性．。