2019届高考数学专题12数列求和

培优点十二 数列求和

1．错位相减法

例1：已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，且112a b ==，4427a b +=， 4410S b -=．

（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）记1121n n n n T a b a b a b -=++

+，n *∈N ，求证：12210n n n T a b +=-+．

【答案】（1）31n a n =-，2n n b =；（2）见解析． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，

则3441127327a b a d b q +=?++=，34411104610S b a d b q -=?+-=， 即33

2322786210d q d q ?++=??+-=??，解得：32d q =??=?， 31n a n ∴=-，2n n b =．

（2）()()2

31234222n n T n n =-?+-?+

+?，①

()()23+1231234222n n T n n =-?+-?+

+?，②

-②①得

()10223112n n =?---，

∴所证恒等式左边()102231n n =?--，右边()210231102n

n n a b n =-+=--+?，

即左边=右边，所以不等式得证． 2．裂项相消法

例2：设数列{}n a ，其前n 项和23n S n =-，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+ ．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若()()21n

n n n b c b b =

--，求数列{}

n c 的前n 项和n T ．

【答案】（1）63n a n =-+，12n n b +=；（2）11121

n n T +=-

-．

【解析】（1）2n ≥时，()22

133163n n n a S S n n n -??=-=----=-+??

， 当1n =时，113a S ==-符合上式，63n a n ∴=-+，

∵{}n b 为等比数列3

1232

512b b b b ∴==，28b ∴=， 设{}n b 的公比为q ，则21328

,8b b b b q q q q

====，而315a =-， 113383158a b a b q q ∴+=+?-+

=-+，解得2q =或12

q =-， ∵{}n b 单调递增，2q ∴=，21222n n n b b -+∴=?=．

（2）()()()()()()111112211

222121212121n n n

n n n n n n c +++++===-------，

111111

1212121

n n ++=-=----．

一、单选题

1．已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>，则项数为（ ） A ．10 B ．14 C ．15 D ．17

【答案】C 【解析】∵()199599182

a a S a +===，∴52a =，

∴()

()

()1542302402

2

2

n n n n a a n a a n S -+++=

=

=

=，15n =，故选C ．

2．在等差数列{}n a 中，满足4737a a =，且10a >，n S 是{}n a 前n 项的和，若n S 取得最大值，则n =（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10

【答案】C

【解析】设等差数列首项为1a ，公差为d ， 由题意可知14330a d +=，10a >，()()21

113522

33

n n n d

a S na n n -=+=

-， 二次函数的对称轴为35

8754

n =

=.，开口向下， 又∵n *∈N ，∴当9n =时，n S 取最大值．故选C ． 对点增分集训

3．对于函数()y f x =，部分x 与y 的对应关系如下表：

1 2 3 4 5 6 7 8 9

3

7

5

9

6

1

8

2

4

数列{}n x 满足：11x =，且对于任意n *∈N ，点()1n n x x +,都在函数()y f x =的图象上，则122015x x x ++???+=（ ）

A ．7554

B ．7549

C ．7546

D ．7539

【答案】A

【解析】由题意可知：()13f =，()35f =，()56f =，()61f =，()13

f =，

点()1n n x x +,都在函数()y f x =的图象上，则11x =，23x =，35x =，46x =，511x x ==， 则数列{}n x 是周期为4的周期数列，

由于201545033=?+，且123415x x x x +++=，

故()122015503151357554x x x ++???+=?+++=．故选A ．

4．设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，44a =，515S =，若数列11n n a a +??????

的前m 项和为10

11，

则m =（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11

【答案】C

【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，设公差为d ，44a =，515S =， 则45

34

155a S a =??==?，解得1d =，则()44n a n n =+-=．

由于

()1111111n n a a n n n n +==-++，则11111110

11223

1111

m S m m m =-+-++

-=-=++， 解得10m =．故答案为10．故选C ．

5．在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在11S a ，2

2

S a ，，9

9

S a 中最大的是（ ） A ．1

1

S a B ．

8

8

S a C ．

5

5

S a D ．

9

9

S a

【答案】C 【解析】由于()19959902

a a S a +=

=>，()

()110105610502

a a S a a +=

=+<，

∴可得50a >，60a <，

这样

110S a >，22

0S

a >，，550S a >，660S a <，，990S a <，而125S S S <<

<，125a a a >>>，

∴在11S a ，2

2

S a ，，99S a 中最大的是55S a ．故选C ．

6．设数列()

{

}1n

-的前n 项和为n

S ，则对任意正整数n ，n

S

=（ ）

A ．()112

n

n ??

--?? B ．

()1

11

2

n --+

C ．

()11

2

n

-+

D ．

()11

2

n

--

【答案】D

【解析】∵数列()

{

}1n

-是首项与公比均为1-的等比数列．

∴其前n 项和为()()()

()11111112

n

n n S ??-----??=--=

．故选D ．

7．已知数列{}n a 满足11a =，()()121211n n n a n a +-=++，()()12212141

n n

n n a n a b n +--+=

-，

12n n T b b b =++???+，若n m T >恒成立，则m 的最小值为（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．

12

【答案】D

【解析】由题意知，12121

n n n a a

b n n +=

-+-，由()()121211n n n a n a +-=++， 得

()()111112121212122121n n a a n n n n n n +??

-==- ?+--+-+??

， ∴121111111111

121335

21212212

n n T b b b n n n ????=+++=

?-+-++

-=?-< ? ?-++????， ∴12n T <

恒成立，12m ≥，故m 最小值为1

2

，故选D ． 8．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()1n

n a n =-?，则2018S =（ ） A ．2018 B ．1009 C ．2019 D ．1010

【答案】B

【解析】由题意，数列{}n a 满足()1n

n a n =-?，

∴2018123420172018123420172018S a a a a a a =+++++=-+-+-

-+

()()()1234201720181009=-++-++

+-+=，故选B ．

9．已知数列{}n a 中，()

12321n n a a a a n *

+++???+=-∈N ，则2222123n a a a a +++???+等于

（ ） A ．

()1413

n

- B ．

()1213

n

- C ．41n -

D ．()2

21n -

【答案】A

【解析】设()

12321n n n S a a a a n *

=+++???+=-∈N ，

由1112

,

,n n n S n a S S n -=?=?-≥?，解得12n n a -=，

令214n n n b a -==，故()2222

1231413

n

n a a a a +++??=

?+-．故选A ． 10．已知函数()2

23sin 2n f n n -??=π

???

，且()n a f n =，则123200a a a a ++++=（ ）

A ．20100

B ．20500

C ．40100

D ．10050

【答案】A

【解析】()n a f n =，当n 为偶数时，()2

223sin 2n f n n n -??=π=

???

， 当n 为奇数时，()2

223sin 2n f n n n -??=π=-

???

， 故222221232001234199200a a a a ++++=-+-++-

-

()()()()211220019920019912319920020100=-++

+-+=+++

++=．故选A ．

11．已知数列{}n a 满足：112

a =

，21a =，()

112n n n a a a n n *

+-=+∈≥N ,，则132435111a a a a a a ++20182020

1a a +???+的整数部分为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

【答案】B

【解析】11111111111111

11

n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-+--++--=+?-=?

=?-=

111111

111111

n n n n n n n n n a a a a a a a a a +--+-+???

=-=

- ???，

∴原式1223

201820192019202020192020

11111

2a a a a a a a a a a =

-++

-=-，

当3n ≥时，()2019202020192020

1

1121,2n a a a a a >?>?-∈，

∴整数部分为1，故选B ．

12．对于任意实数x ，符号[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]33=，[]122-=-．，[]121=．．已

知数列{}n a 满足[]2log n a n =，其前n 项和为n S ，若0n 是满足2018n S >的最小整数，则0n 的值为（ ） A ．305 B ．306 C ．315 D ．316

【答案】D

【解析】由题意，[]2log n a n =，当1n =时，可得10a =，（1项） 当1222n ≤<时，可得231a a ==，（2项） 当2322n ≤<时，可得4572a a a ====，（4项） 当3422n ≤<时，可得89153a a a ====，（8项） 当4522n ≤<时，可得1617314a a a ==

==，（16项）

当122n n n +≤<时，可得12212n n n a a a n ++====，（2n 项）

则前n 项和为1234122232422n n S n =?+?+?+?++?，

234512122232422n n S n +=?+?+?+?+

+?，

两式相减得2341222222n n n S n +-=++++

+-?，

∴()111

2222122018n n n n S n n +++=?-+=-+>，此时8n ≥，

当8n =时，对应的项为83162a a =，即0316n ≥，故选D ． 二、填空题

13．已知数列{}n a 满足()()112n

n n a a n n ---=≥，记n S 为{}n a 的前n 项和，则

40S =__________．

【答案】440

【解析】由()()112n

n n a a n n ---=≥可得：

当2n k =时，有2212k k a a k --=， ① 当21n k =-时，有212221k k a a k --+=-， ②

当21n k =+时，有21221k k a a k ++=+， ③ +①②有22241k k a a k -+=-，-③①有21211k k a a +-+=，

则()()40135739246840S a a a a a a a a a a =+++++++++++

()109

110715231071084402

?=?++++

=+?+

?=． 故答案为440．

14．n ??n 11233S ????=++=????， 24567810S ?????????=++++=?????????，

3910111213141521S ?????????=++++++=?????????，

，则n S =__________．

【答案】()21n n +，()

n *

∈N

【解析】第一个等式，起始数为1，项数为2234121=-=-，113S =?， 第二个等式，起始数为2，项数为2259432=-=-，225S =?， 第三个等式，起始数为3，项数为22716943=-=-，337S =?，

第n 个等式，起始数为n ，项数为()2

2121n n n +-=+，()21n S n n =+，()

n *

∈N ，

故答案为()21n S n n =+，()

n *

∈N ．

15．已知函数

()113sin 22f x x x ?

?=+-+

??

?，则

122018201920192019f f f ??????

++???+= ? ? ???????

________； 【答案】2018

【解析】∵()()111113sin 13sin 12222f a f a a a a a ???

?+-=+-++-+--+ ? ????

?

112sin sin 222a a ????

=+-+-= ? ?????

，

设122018201920192019S f f f ??

????=+

+???+ ? ? ???????， ① 则201820171201920192019S f f f ??

????=+

+???+ ? ? ???

??

??

， ② +①②得1201822018403620192019S f f ????

??=?+

= ? ?????????

， ∴2018S =．故答案为2018． 16．定义

12n

n

p p p ++

+为n 个正整数1p ，2p ，

，n p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的

前

n 项的“均倒数”为

15n ，又5n n a b =，则1223

1011

111

b b b b b b +++

=_________； 【答案】

1021

【解析】∵数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为1

5n

， ∴

15n n S n

=，解得25n S n =，∴115a S ==， 当2n ≥时，()()22

1551105n n n a S S n n n -??=-=--=-??

， 当1n =时，上式成立，则105n a n =-， ∴215

n

n a b n =

=-，()()111111212222121n n b b n n n n +??==- ?-+-+??， 则

1223

1011111111111

11111011233557

192122121

b b b b b b ????+++

=?-+-+-++

-=?-= ? ?????． 故答案为

1021

． 三、解答题

17．正项等差数列{}n a 中，已知0n a >，12315a a a ++=，且12a +，25a +，313a +构成等比数列{}n b 的前三项．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．

【答案】（1）21n a n =+，152n n b -=?；（2）()52121n

n T n ??=-+??．

【解析】（1）设等差数列的公差为d ，则由已知得：1232315a a a a ++==，即25a =， 又()()52513100d d -+++=，解得2d =或13d =-（舍去），123a a d =-=， ∴()1121n a a n d n =+-?=+，

又1125b a =+=，22510b a =+=，∴2q =，∴152n n b -=?；

（2）∵()21535272212n n T n -??=+?+?+???++???， ()2325325272212n

n T n ??=?+?+?+???++???，

两式相减得()][()215[322222221251221]n n n

n T n n --=+?+?+???+?-+?=--，

则()52121n

n T n ??=-+??．

18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12a <，0n a >，2

632n n

n S a a =++，n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若对n *?∈N ，2

(1)n n n b a =-，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T ．

【答案】（1）32n a n =-；（2）22183n T n n =-．

【解析】（1）2

632n n

n S a a =++，n *∈N ， 当2n ≥时，

()

22

1116663232n n n n n n n a S S a a a a ---=-=++-++，化为

()()1130n n n n a a a a --+--=，

∵0n a >，∴13n n a a --=，

当1n =时，2111632a a a =++，且12a <，解得11a =．

∴数列{}n a 是等差数列，首项为1，公差为3．∴()13132n a n n =+-=-；

（2）2

2(1)(1)(32)n n n n

b a n =-=--． ∴()22

212(65)(62)31273621n n b b n n n n -+=--+-=-=-，

∴{}n b 的前2n 项的和()()22136122136211832

n n n T n n n n n +=++

+-=?

-=-．