高三上学期阶段性检测试题

高三上学期阶段性检测试题

数学（文科）试题 第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．函数()()

1

lg 1x f x x -=

+的定义域为

A ．()1,-+∞

B ．()

()1,11,-+∞

C ．()()1,00,-+∞

D ．()()()1,00,11,-+∞ 2．要得到函数()sin 1y x =+的图象，只需将函数sin y x =的图象

A ．向左平移1个单位长度

B ．向右平移1个单位长度

C ．向左平移π个单位长度

D ．向右平移π个单位长度 3．以下四个命题中，真命题的个数是

①“若2a b +≥，则a ，b 中至少有一个不小于1”的逆命题 ②00,R αβ∃∈，使得()0000sin sin sin αβαβ+=+

③已知命题:p [)3

0,,0x x x ∀∈+∞+≥，则:p ⌝[)3

0000,,0x x x ∃∈+∞+<

④在ABC ∆中，A B <是sin sin A B <的充分不必要条件

A ．0

B ． 1

C ．2

D ．3

4．若变量x ，y 满足约束条件4581302x y x y +≥⎧⎪

≤≤⎨⎪≤≤⎩

，则32z x y =+的最小值为

A ．4

B ．

235 C ．6 D ．315

5． 如图，在矩形ABCD

中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若

2=⋅AF AB ,则=⋅BF AE （ ）

A ．3

B ．2 C

D

6.若直线y kx =与圆2

2

(2)1x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则,k b 的值分别为（ ） （A ）1,42k b ==-（B ）1,42k b =-=（C ）1,42k b ==（D ）1

,42

k b =-=-

7．在ABC ∆中，已知4

BCA π

∠=

，BC =3AC =，则sin ABC ∠=

A

B

C

D

8．函数()1cos (f x x x x x ππ⎛

⎫

=-

-≤≤ ⎪⎝

⎭

且0)x ≠的图象可能为

9.在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，若22()6c a b =-+，ABC ∆的面

C = （A ） （B ） （C ） （

D ）

10．设函数()y f x =的定义域为D ，若任取1x D ∈，存在唯一的2x D ∈满足

()()

122

f x f x C +=，则称C 为函数()f x 在D 上的均值．给出下列五个函数：①y x =；

②2y x =；③4sin y x =；④ln y x =；⑤2x y =． 则所有满足在其定义域上的均值为2的函数的序号为

A ．①④

B ．①③

C ．①④⑤

D ．①③④⑤

第Ⅱ卷（选择题 共100分）

二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．） 11．若3

sin 5

α=-

，且α为第四象限角，则tan α的值等于

． 3

π23

π6

π

56

π

12．已知 ，则向量的夹角为________________.

13．已知数列

的前项和，则 ．

14．若正实数a ，b 满足

12

a b

+=，则ab 的最小值为 ． 15．已知等差数列{a n }满足a 1＞0，5a 8＝8a 13，则前n 项和S n 取最大值时，n 的值

为 ．

三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．） 16．（本题满分12分）

△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．

(1)求A; (2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．

17．（本小题满分12分）

已知向量)2,cos (sin ),1,cos 2(x x n x m ωωω-=-=)0(>ω，函数3)(+⋅=n m x f ，若函数

)(x f 的图象的两个相邻对称中心的距离为

2

π

.

（Ⅰ）求函数)(x f 的单调增区间； （Ⅱ）将函数)(x f 的图象先向左平移

4π个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的21

倍，得到函数)(x g 的图象，当]2

,6[π

π∈x 时，求函数)(x g 的值域.

18．（本题满分12分）

已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；

(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长．

19．（本题满分12分）

某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248

元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计. （Ⅰ）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

（Ⅱ）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.

20 （本小题满分13分）

已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，它的前n 项和为n S ，若705=S ，且2272,,a a a 成等比数列. （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设数列⎭

⎬⎫⎩⎨

⎧n S 1的前n 项和为n T ，求证：83

61<≤n

T .

21．（本题满分14分）

已知a 为实常数，函数()ln 1

x f x a x

+=-. （Ⅰ）求函数()f x 的最值； （Ⅱ）设()()g x xf x =

（ⅰ）讨论函数()g x 的单调性；

（ⅱ）若函数()g x 有两个不同的零点，求实数a 的取值范围.