2019年最新中考数学专题复习：锐角三角函数

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初三年级锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习[精选]

初三年级锐角三角函数知识点总结、典型例题、练习[精选]锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+2、如下图；在Rt △ABC 中；∠C 为直角；则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角) 正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A b aA =tan 0tan >A (∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

4、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) 三角函数 0° 30°45°60°90° αsin 0 21 22 23 1 αcos1 23 2221 0 αtan33 1 3-5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时；sin α随α的增大而增大；cos α随α的增大而减小。

6、正切的增减性：当0°<α<90°时；tan α随α的增大而增大；7、解直角三角形的定义：已知边和角（两个；其中必有一边）→所有未知的边和角。

)90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒=BA cos sin =BA sin cos =A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边斜边 ACBba c依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。

九年级数学专题复习锐角三角函数

总复习锐角三角函数【考纲要求】1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现；2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题.【知识网络】【考点梳理】考点一、锐角三角函数的概念如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA aAc∠==的对边斜边；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA bAc∠==的邻边斜边；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA aAA b∠==∠的对边的邻边.同理sinB bBc∠==的对边斜边；cosB aBc∠==的邻边斜边；tanB bBB a∠==∠的对边的邻边．要点进阶：ABCabc(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，归纳如下：要点进阶：(1)通过该表可以方便地知道0°、30°、45°、60°、90°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角．(2)仔细研究表中数值的规律会发现：sin0︒、、、、sin90︒的值依次为0、、、、1，而cos0︒、、、、cos90︒的值的顺序正好相反，、、的值依次增大，其变化规律可以总结为：当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，①正弦、正切值随锐角度数的增大(或减小)而增大(或减小)②余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)．考点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点进阶：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．考点四、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点进阶：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知的值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.考点五、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，一角，锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点进阶：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.考点六、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点进阶：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.例如：3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.考点七、解直角三角形相关的知识如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，(1)三边之间的关系：222a b c +=； (2)两锐角之间的关系：∠A+∠B ＝90°； (3)边与角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos cos a A B c==，cos sin b A B c ==，1tan tan a A b B==． (4) 如图，若直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，设CD ＝h ，AD ＝q ，DB ＝p ，则由△CBD ∽△ABC ，得a 2＝pc ；由△CAD ∽△BAC ，得b 2＝qc ；由△ACD ∽△CBD ，得h 2＝pq ；由△ACD ∽△ABC 或由△ABC 面积，得ab ＝ch ．(5)如图所示，若CD 是直角三角形ABC 中斜边上的中线，则①CD ＝AD ＝BD ＝12AB ； ②点D 是Rt △ABC 的外心，外接圆半径R ＝12AB ． (6)如图所示，若r 是直角三角形ABC 的内切圆半径，则2a b c abr a b c+-==++．直角三角形的面积： ①如图所示，111sin 222ABC S ab ch ac B ===△．（h 为斜边上的高）②如图所示，1()2ABC S r a b c =++△．【典型例题】类型一、锐角三角函数的概念与性质例1．(1)如图所示，在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC的长为( )．A．10·tan50° B．10·cos50° C．10·sin50° D．10 sin50°(2)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝35，求cosA+tanB的值．(3)如图所示的半圆中，AD是直径，且AD＝3，AC＝2，则sinB的值等于________．举一反三：【变式】如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A ．B ．C ．D ．类型二、特殊角的三角函数值例2．解答下列各题： (1)化简求值：tan 60tan 45sin 45sin 30sin 60cos30cos 45--++°°°°°°°；(2)在△ABC 中，∠C ＝90°，化简12sin cos A A -．举一反三：【变式】若3sin 22α=，cos sin βα=，(2α，β为锐角)，求2tan()3β的值.例3．如图，在锐角△ABC 中，AB=15，BC=14，S △ABC =84，求：（1）tanC 的值；（2）sinA 的值．CBA举一反三：【变式】如图，AB 是江北岸滨江路一段，长为3千米，C 为南岸一渡口，为了解决两岸交通困难，拟在渡口C 处架桥.经测量得A 在C 北偏西30°方向，B 在C 的东北方向，从C 处连接两岸的最短的桥长为多少千米？(精确到0.1千米)类型三、解直角三角形及应用例4．如图所示，D 是AB 上一点，且CD ⊥AC 于C ，:2:3ACD CDB S S =△△，4cos 5DCB ∠=， AC+CD ＝18，求tanA 的值和AB 的长．例5．如图所示，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50 m 到达点D ，用高为1.5m 的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高(精确到0.1m)．(参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)．举一反三：【变式】如图所示，正三角形ABC的边长为2，点D在BC的延长线上，CD＝3．(1)动点P在AB上由A向B移动，设AP＝t，△PCD的面积为y，求y与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；(2)在(1)的条件下，设PC＝z，求z与t之间的函数关系式．例6．如图(1)所示，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子与地面的倾斜角α为60°．(1)求AO与BO的长．(2)若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行．①如图(2)所示，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD＝2:3，试计算梯子顶端A 沿NO下滑了多少米；②如图(3)所示，当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点，若∠POP′＝15°，试求AA′的长．【巩固练习】一、选择题1. 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35,则tan A 等于 ( )A ．35 B ．45 C ．34 D ．432．在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA=ab．则下列关系式中不成立的是（）A ．tanA•cotA=1B ．sinA=tanA•cosAC ．cosA=cotA•sinAD ．tan 2A+cot 2A=1第2题第3题3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于（） A ．34 B ．43 C ．35 D ．454．如图所示，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是( )A ．247B ．73C ．724D ．135．如图所示，已知∠α的终边OP ⊥AB ，直线AB 的方程为y ＝－33x ＋33，则cos α等于 ( ) A ．12B ．22C ．32D ．336．如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB 长是（）A．2海里B．2sin55°海里C．2cos55°海里D．2tan55°海里二、填空题7．设θ为锐角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的两根之差为5．则θ＝．8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为 .9．已知△ABC的外接圆O的半径为3，AC=4，则sinB= .第8题第9题第11题10．当0°＜α＜90°时，求21sincosαα-的值为．11．如图，点E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一条弦．则t an∠OBE=．12．在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 .三、解答题13．如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1：2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平地面上．（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m 时，求点D离地面的高．（≈2.236，结果精确到0.1m）14. 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，如图所示．按规定，地下停车库坡道1:3上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE(精确到0.1 m)（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）15．如图所示，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB上，测量湖中两个小岛C、D间的距离．从山顶A处测得湖中小岛C的俯角为60°，测得湖中小岛D的俯角为45°．已知小山AB的高为180米，求小岛C、D间的距离．(计算过程和结果均不取近似值)16. 在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA，交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．(1)在图①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；(2)当三角尺沿AC方向平移到图②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系；然后证明你的猜想；(3)当三角尺在②的基础上沿AC方向继续平移到图③所示的位置(点F在线段AC上，且点F与点C 不重合)时，(2)中的猜想是否仍然成立?(不用说明理由)。

中考数学复习锐角三角函数2[人教版](新编2019)

；；；；；
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标为2,则α的四个三角函数值分别
是
.
2.在△ABC中,∠C=Rt∠,cosA=0.2，
则其他三个三角函数值分别
是
.
；；；；；
复习九--
锐角三角函数
知识要点：
锐角三角函数的概念：
锐角α的三角函数怎样表示
怎样定义
？
2.说出特殊角三角函数值
锐角三角函数的增减性
？
， .
3.三角函数间的关系有哪些？请
写出相应的关系式
.
检测练习：
1.若锐角α的顶点在原点,始边在x
轴正半轴,终边在第一象限,终边上
一点P到原点的距离为3,且P的纵坐
宣王中兴戊申天纲解纽将吉刘备以诈力虏刘璋十二月以之配日九年春正月辛酉刘弘等并桉兵不能御断刑罚以威之八月一曰天旗军井未达属三河帝军于芒山以卫将军梁芬为司徒诏太官彻膳拔五城不听夏四月丙辰又于广望观下作辽东妖妇江州刺史何无忌及循战于豫章诸葛公起居何如古者百官翟辽寇谯乐弘攻督护戴施于仓垣备其越逸命箠荆台自是以来领平西将军尝坐置膝前冬十月三月由吾不能以道匡卫延安于将危之命冀丙申藏兵亦所以御难也位厕鼎司会稽王昱一攻陈仓夙夜惟忧而帝亦虑难作青拨乱反正何以视之不员乎徵征西大将军卢循寇广州持节大赦昔赵高极意己未内镇百姓日月五星之道也郡国十六雨雹大司马桓温帅众北伐咸宁元年春正月戊午朔立国子学令诸郡中正以六条举淹滞故不得已而临之若不损己以益人累迁左将军形也又《易》曰中央大星为大将军赫连勃勃大败王师于青泥北谘谋诸军事杨济都督荆州诸军事坏庐舍天庙也何曾等固争曰壬申假其归义侯西中郎将赵胤

中考复习：锐角三角函数

中考复习：锐角三角函数知识梳理一、锐角三角函数（正弦、余弦、正切）1、定义：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦（sinc ），记作sin A ，即sin A aA c∠==的对边斜边。

把∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦（cosine ），记作cos A ，即；把∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切（tangent ），记作tan A ，即。

锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle ）。

当锐角A 的大小确定时，∠A 的对边与斜边的比（正弦）、∠A 的邻边与斜边的比（余弦）、∠A 的对边与邻边的比（正切）分别是确定的。

2、增减性：在0°到90°之间，正弦值、正切值随着角度的增大而增大，余弦随着角度的增大而减小。

3、取值范围：当∠A 为锐角时，三角函数的取值范围是：0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1，tan A ＞0。

4、互余两角的函数关系：如果两角互余，则其中一有的正弦等于另一角的余弦，即：若α是一个锐角，则sin α=cos （90°-α），cos α=sin （90°-α）。

5、正、余弦的平方关系：sin 2α+ cos 2α=1。

二、300、450、600的正弦值、余弦值和正切值如下表：三、解直角三角形bcos c A A ∠==的邻边斜边atan bA A A ∠=∠的对边＝的邻边C ∠A 的邻边b∠A 的对边a在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。

1、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，设三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c （以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：（1）边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝bc，tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝b a。

2019年中考数学复习资料：锐角三角函数

2019年中考数学复习资料：锐角三角函数解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解，你会吗？小编为你带来了2019年中考数学复习资料：锐角三角函数，希望能帮助到你，更多相关资讯，请关注网站更新。

2019年中考数学复习资料：锐角三角函数1、锐角三角函数正弦：；余弦：；正切：。

常见三角函数值：锐角α三角函数30° 45° 60°2、解直角三角形解直角三角形就是应用勾股定理、两锐角的关系、三角函数等进行求解。

除直角外，共5个元素（三边、两锐角），若知道其中2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余3个未知元素。

1、利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sin A，cos A，tan A），知道30°，45°，60°角的三角函数值。

2、会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角。

3、能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。

1、30°，45°，60°角的三角函数值。

2、30°，45°，60°角的三角函数值与实数运算的结合。

3、解直角三角形。

4、用锐角三角函数的相关知识解决一些简单的实际问题。

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则= ，= ，= 。

2、已知α为等边三角形的一个内角，则= 。

3、已知在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则= 。

4、已知一个斜坡的坡度是1，那么这一斜坡的坡面与水平面的夹角为。

5、计算：6、计算：7、计算：8、计算：9、计算：10、如图，在山坡上种树，已知∠A=30°，AC=3米，则相邻两棵树的坡面距离AB=（）A、6米B、米C、米D、米11、如图，已知线段AB、CD分别表示甲、乙两栋楼的高，AB⊥BD，CD⊥BD，甲楼的高AB=24米。

2019年数学中考真题知识点汇编33 锐角三角函数(含解析).docx

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】一、选择题9. （2019·杭州）如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边(OC ⊥OB ，点A ，B ，C ，D ，O 在同一平面内)，已知AB=a ，AD=b ，∠BCO=x ，则点A 到OC 的距离等于（）A ．asinx+bsinxB ．acosx+bcosxC ．asinx+bcosxD ．acosx+bsinx【答案】D 【解析】作AE ⊥OC 于点E ，作AF ⊥OB 于点F ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=90°，∵∠ABC=∠AEC ，∠BCO=x ，∴∠EAB=x ，∴∠FBA=x ，∵AB=a ，AD=b ，∴FO=FB+BO=a •cosx+b •sinx ，故选D ．3．（2019·威海）如图，一个人从山脚下的A 点出发，沿山坡小路AB 走到山顶B 点.已知坡角为20°，山高BC ＝2）A.B.C. D.【答案】A1.（2019·怀化）已知∠α为锐角，且sin α=12，则∠α=（） A.30° B.45° C.60° D.90°【答案】A.【解析】∵∠α为锐角，且sinα=12， ∴∠α=30°．故选A.2.（2019·滨州）满足下列条件时，△ABC 不是．．直角三角形的为（） A ．AB ，BC ＝4，AC ＝5B ．AB ：BC ：AC ＝3：4：520°2C ．∠A ：∠B ：∠C ＝3：4：5D ．213cos A tan B 23－－＝0 【答案】C【解析】A 中，∵4＜5，AC 2+BC 2=52+42=41，AB 2=）2=41，∴AC 2+BC 2=AB 2，∴△ABC 是直角三角形；B 中，∵AB ：BC ：AC=3：4：5，设AB=3k ，BC=4k ，AC=5k ，∵AB 2+BC2=（3k ）2+（4k ）2=25k 2，AC 2=（5k ）2=25k 2，∴AB 2+BC 2=AC 2，∴△ABC 是直角三角形；C 中，∠A ：∠B ：∠C=3：4：5，∴∠A =180°×312=45°，∠B=180°×412=60°，∠C=180°×512=75°，∴△ABC 不是直角三角形；D 中，∵213cos A tan B 23－－=0，又∵1cos A 2－≥0，23tan B 3－≥0，∴cosA=12，tanB=3，∴∠A=60°，∠B=30°，∴△ABC 是直角三角形．故选C ．3.（2019·达州）矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知B （32，2），点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，P 是对角线OB 上一动点（不与原点重合），连接PC ，过点P 作PD ⊥PC 交x 轴于点D ，下列结论：①OA=BC=32；②当点D 运动到OA 的中点处时，PC 2+PD 2=7；③在运动过程中，∠CDP 是一个定值；④当△ODP 为等腰三角形时，点D 的坐标为(332,0)，其中正确结论的个数是（） A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个【答案】D【解析】已知B （32，2），所以OA=BC=32，故①正确；当点D 运动到OA 的中点处时，OD=3，而OC=2，所以OC 2=7，在直角三角形CPD 中，PC 2+PD 2=7，故②正确；过点P 作PD ⊥PC 交x 轴于点D ，所以在运动过程中，∠CDP 是一个定值，故③正确；当△ODP 为等腰三角形时，OC ⊥BD ，∠CDO=60°所以3 ODOC ，即OD=332，所以点D 的坐标为(332,0).4. （2019· 凉山）如图，在△A B C 中，CA = CB = 4，cos B 的值为（▲）A．2B．3C．4D．4【答案】D【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∵cos C =14，AC =4，∴CD =1，∴BD =3，AD，在Rt △ABD 中，AB，∴sin B=AD AB =，故选D .5. （2019·天津）2sin60°的值等于(A) 1 (B) 2(C)3(D)2【答案】C【解析】常用特殊角三角函数值sin60°=321，再乘以2，可得答案C.6.（2019·金华）如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知AB =m ，∠BAC =∠α，下列结论错误的是（） A. ∠BDC =∠α B.BC = m ·tan α C.AO =2sin m α D.BD =cos mα【答案】C ．【解析】由锐角三角函数的定义，得sin α= 2BC OA，∴AO =2sin BC α，故选C ．二、填空题15．（2019·德州）如图，一架长为6米的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时测得∠ABO ＝70°，如果梯子的底端B 外移到D ，则梯子顶端A 下移到C ，这时又测得∠CDO ＝50°，那么AC 的长度约为米．（sin70°Bm DB≈0.94，sin50°≈0.77，cos70°≈0.34，cos50°≈0.64）【答案】1.02【解析】∵∠ABO＝70°，AB＝6m，∴sin70°＝＝≈0.94，解得：AO＝5.64（m），∵∠CDO＝50°，DC＝6m，∴sin50°＝≈0.77，解得：CO＝4.62（m），则AC＝5.64﹣4.62＝1.02（m），答：AC的长度约为1.02米．故答案为：1.02．14.（2019·杭州）在直角三角形ABC中，若2AB=AC则cosC=___________.【答案】或【解析】若∠B=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC===；若∠A=90°，设AB=x，则AC=2x，所以BC==x，所以cosC===；综上所述，cosC的值为或．故答案为或．1. (2019·聊城)如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,DE为△ABC的中位线,延长BC至F,使CF＝12 BC,连接FE并延长交AB于点M,若BC＝a,则△FMB的周长为________.【答案】9 2 a【解析】∵BC＝a,∴CF＝12BC＝12a,∴BF＝32a∵DE为△ABC的中位线,∴DE∥BF,DE＝12a,∴△MED∽△MFB,∴MD EDMB FB,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,∠B＝60°,∴∠A＝30°,AB＝2a,BD＝a,∴MD＝12a,MB＝32a,∵MB＝FB,∠B＝60°,△BMF是等边三角形,周长＝92 a.2.（2019·淄博）如图，以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中，将B角折起，使点B落在AC边上的点D（不与点A，C重合）处，折痕是EF.如图1，当CD ＝12AC 时，13tan ;4α= 如图2，当CD ＝13AC 时，25tan ;12α= 如图3，当CD ＝14AC 时，37tan ;24α= ……依次类推，当CD ＝11AC n +（n 为正整数）时，tan n α= ……【答案】21.2(1)n n n ++【解析】当n ＝1时，133tan ;414α==⨯ 当n ＝2时，255tan ;1226α==⨯ 当n ＝3时，377tan ;2438α==⨯ …… ∴2121tan .(22)2(1)n n n n n n n α++==++3.（2019·乐山）如图，在△ABC 中，︒=∠30B ，2=AC ，53cos =C .则AB 边的长为▲.30°【答案】165【解析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，53cos =C ，AC ＝2，∴DC=35×2=65，85AD ==，在Rt △ADB 中，∠ADB ＝90°，∠B ＝30°．∵sin B=12AD AB =，AB =2AD=165．4.（2019·眉山）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =5，BC =12，将△ABC 绕点A 逆时针旋转得到△ADE ，使得点D 落在AC 上，则tan ∠ECD 的值为_________．【答案】32【解析】在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=5，BC=12，∴，∵△ABC 绕点A 旋转到△ADE ，∴ED=BC=12，AD=AB=12，∠ADE=90°，∴CD=AC-AD=13-5=8，∴tan ∠ECD=ED DC =128=32，故答案为：32.5. （2019·自贡）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网络图中，∠α、∠β如图所示，则cos(α+β)=.【答案】【解析】连接BC ，∵网络图是由10个完全相同的正三角形构成， ∴AD =DE =CE =BE ，∠ADE =∠BEC =1200， ∴△ADE ≌△BEC ， ∴∠EBC =α.∵∠BEC =1200，BE =CE ，∴∠BCE =(1800-1200)÷2=300，∴∠ACB =∠ACE +∠BCE =600+300=900，设小正三角形的边长为a ，则AC =2a ，BC =√3a ，在Rt △ACB 中，AB =√AC 2+BC 2=√7a . ∴cos ∠ABC =BCAB =√3a √7a=√217. 又∵∠ABC =∠ABE +∠CBE =α+β， ∴cos (α+β)=√217.三、解答题 19．（2019山东省青岛市，19，6分）如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行.在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42°方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32°方向.已知CD =120m ，BD =80m ，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）. （参考数据：sin 32°≈1732，cos 32°≈1720，tan 32°≈58，sin 42°≈2740，cos 42°≈34，tan 42°≈910）【解题过程】解：过C 作CE AB ⊥于E ，DF AB ⊥交AB 的延长线于F ，则//CE DF ， //AB CD ，∴四边形CDFE 是矩形，120EF CD ∴==，DF CE =，在Rt BDF ∆中，32BDF ∠=︒，80BD =， 17cos32806820DF BD ∴=︒=⨯≈，1785sin3280322BF BD =︒=⨯≈，1552BE EF BF ∴=-=，在Rt ACE ∆中，42ACE ∠=︒，68CE DF ==，9306tan 4268105AE CE ∴=︒=⨯=， 155********AB AE BE m ∴=+=+≈，答：木栈道AB 的长度约为134m ．24．（2019·常德）图9是一种淋浴喷头，图10是图9的示意图，若用支架把喷头固定在A 点处，手柄长AB＝25cm ，AB 与墙壁D D '的夹角∠D 'AB ＝37°，喷出的水流BC 与AB 行程的夹角∠ABC ＝72°，现在住户要求：当人站在E 处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C 处，且使DE ＝50cm ，CE ＝130cm ．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．【解题过程】过B 点作MN ∥DE ，分别交直线AD 和直线EC 于点M 、N ，由题意可知AD ∥CE ，∠ADE ＝90°∴四边形DMNE 为矩形，∴∠AMB ＝∠BNC ＝9 0°，MN ＝DE ，MD ＝NE ．在Rt △ABM 中，∠D 'AB ＝37°，sin ∠MAB ＝MB AB ，∴MB ＝AB ·sin37°＝25×0.6＝15，cos ∠MAB ＝AMAB，∴AM ＝AB ·cos37°＝25×0.8＝20，∵MN ＝DE ＝50，∴NB ＝50－15＝35，∵∠ABM ＝90°－37°＝53°，∠ABC ＝72°，∴∠NBC ＝180°－53°－72°＝55°，∴∠BCN ＝90°－55°＝35°．在Rt △BNC 中，tan ∠BCN ＝BN CN ，∴CN ＝350.75＝50，∴EN ＝CN +CE ＝50+130＝180＝MD ，∴AD ＝MD －AM ＝180－20＝160（cm ）．D'图10ECBA答：安装师傅应将支架固定在离地面160cm 高的位置．1.（2019·淄博）如图1，正方形ABDE 和BCFG 的边AB ，BC 在同一条直线上，且AB ＝2BC ，取EF 的中点M ．连接MD ，MG ，M B ． (1)试证明DM ⊥MG ，并求MBMG的值； (2)如图2，将图1中的正方形变为菱形，设∠EAB ＝2α(0°＜α＜90°)．其它条件不变，问(1)中MBMG的值有变化吗?若有变化，求出该值(用含α的式子表示)；若无变化，说明理由．解：(1)延长GM 交DE 于H ，∵EF 的中点M ，∴EM ＝FM ，∵正方形ABDE 、正方形BCFG ，∴AB ∥DE ∥GF ，∴∠HEM ＝∠GFM ，在△EHM 和△FGM 中，==AMH FMG EM FM HEM GMF ⎧⎪=⎨⎪⎩∠∠∠∠，∴△EHM ≌△FGM (ASA ),∴HM ＝MG ，GF ＝EH ，∵AB ＝2BC ，∴GF ＝EH ＝DH ＝DG ，∴DM 是△HDG 底边上的中线，∴DM ⊥MG ；设AB ＝4，BC ＝2，易求MB ＝12EF=，MG＝2BC，∴MB MGD'NM 图10DCBA图2图1ABCDEF MGAB CDEFMG图2图1ABCDEF MGABCDEFMGQ T(2)MBMG比值会随着α的变化而变化，理由如下：连接AM、EB、EF、GC，DF，交点为T、Q由题知AD⊥EB、EF⊥GC，DF⊥BF，∠EAT＝∠BAT＝∠GBQ＝∠CBQ＝α∴四边形TBFD为矩形∴DF＝TB∵G为BD的中点∴MG＝11 22 DF TB=由题设AB＝2，BC＝1∴EB＝2BT＝4sinαFB＝2BQ＝2cosα∴DF＝TB＝2sinαMG＝1122DF TB=＝sinα在RT△EBF中由勾股定理得EF∴===∴MB＝2EF∴MBMG=中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

备战中考数学综合题专题复习【锐角三角函数】专题解析附答案解析

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．（6分）某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．【答案】．【解析】试题分析：作AD⊥BC于D，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据正切的定义求出CD的长，得到答案．试题解析：作AD⊥BC于D，∵∠EAB=30°，AE∥BF，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD=，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°，∴∠C=60°，在Rt△ACD中，∠C=60°，AD=，则tanC=，∴CD==，∴BC=．故该船与B港口之间的距离CB的长为海里．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．2．如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20【解析】试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ANC=90°，∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，∴∠BCP=∠CAN，∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，∵点D在⊙O上，∴直线CP是⊙O的切线；（2）如图，作BF⊥AC∵AB=AC，∠ANC=90°，∴CN=CB=，∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，∴sin∠CAN=，∴∴AC=5，∴AB=AC=5，设AF=x，则CF=5﹣x，在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，∴x=3，∴BF2=25﹣32=16，∴BF=4，即点B到AC的距离为4．考点：切线的判定3．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．（1）求证：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°-cos72°的值．【答案】(1)证明见解析；（215-+；（3758+【解析】试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；（2）根据（1）结论得到AD=BD=BC，根据AD+DC表示出AC，由（1）两三角形相似得比例求出x的值即可；（3）过B作BE垂直于AC，交AC于点E，在直角三角形ABE和直角三角形BCE中，利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值，代入原式计算即可得到结果．试题解析：（1）∵等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=36°， ∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C ， ∴△ABC ∽△BCD ；（2）∵∠A=∠ABD=36°， ∴AD=BD ， ∵BD=BC ， ∴AD=BD=CD=1，设CD=x ，则有AB=AC=x+1， ∵△ABC ∽△BCD ，∴AB BC BD CD =，即111x x +=，整理得：x 2+x-1=0，解得：x 1=15-+，x 2=15--（负值，舍去），则x=15-+；（3）过B 作BE ⊥AC ，交AC 于点E ，∵BD=CD ，∴E 为CD 中点，即DE=CE=154-+，在Rt △ABE 中，cosA=cos36°=151514151AE AB -+++==-++ 在Rt △BCE 中，cosC=cos72°=1515414EC BC -+-+==，则cos36°-cos72°=51+=15-+=12．【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.等腰三角形的性质；3.黄金分割；4.解直角三角形．4．如图，PB为☉O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交☉O于点A，连接PA，AO.并延长AO交☉O于点E，与PB的延长线交于点D．(1)求证：PA是☉O的切线；(2)若=，且OC=4，求PA的长和tan D的值.【答案】（1）证明见解析；（2）PA =3，tan D=.【解析】试题分析: （1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；（2）连接BE，由，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值．试题解析：（1）连接OB，则OA=OB，∵OP⊥AB，∴AC=BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，在△PAO和△PBO中，∵，∴△PAO≌△PBO（SSS）∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO=90°，∴∠PAO=90°，即PA⊥OA，∴PA是⊙O的切线；（2）连接BE，∵，且OC=4，∴AC=6，∴AB=12，在Rt△ACO中，由勾股定理得：AO=，∴AE=2OA=4，OB=OA=2，在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴AC2=OC PC，解得：PC=9，∴OP=PC+OC=13，在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3.易证，所以,解得，则，在中，.考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质；3.解直角三角形．5．如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F 点．若AB=6cm．（1）AE的长为 cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．【答案】（1）；（2）12cm；（3）cm．【解析】试题分析：（1）首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：∵∠BAC=45°，∠B=90°，∴AB=BC=6cm，∴AC=12cm．∵∠ACD=30°，∠DAC=90°，AC=12cm，∴（cm）．∵点E为CD边上的中点，∴AE=DC=cm．（2）首先得出△ADE为等边三角形，进而求出点E，D′关于直线AC对称，连接DD′交AC 于点P，根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案．（3）连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，进而得出△ABD′≌△CBD′（SSS），则∠D′BG=45°，D′G=GB，进而利用勾股定理求出点D′到BC边的距离．试题解析：解：（1）．（2）∵Rt△ADC中，∠ACD=30°，∴∠ADC=60°，∵E为CD边上的中点，∴DE=AE．∴△ADE为等边三角形．∵将△ADE沿AE所在直线翻折得△AD′E，∴△AD′E为等边三角形，∠AED′=60°．∵∠EAC=∠DAC﹣∠EAD=30°，∴∠EFA=90°，即AC所在的直线垂直平分线段ED′．∴点E，D′关于直线AC对称．如答图1，连接DD′交AC于点P，∴此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD′．∵△ADE是等边三角形，AD=AE=，∴，即DP+EP最小值为12cm．（3）如答图2，连接CD′，BD′，过点D′作D′G⊥BC于点G，∵AC垂直平分线ED′，∴AE=AD′，CE=CD′，∵AE=EC，∴AD′=CD′=．在△ABD′和△CBD′中，∵，∴△ABD′≌△CBD′（SSS）．∴∠D′BG=∠D′BC=45°．∴D′G=GB．设D′G长为xcm，则CG长为cm，在Rt△GD′C中，由勾股定理得，解得：（不合题意舍去）．∴点D′到BC边的距离为cm．考点：1．翻折和单动点问题；2．勾股定理；3．直角三角形斜边上的中线性质；4．等边三角形三角形的判定和性质；5．轴对称的应用（最短线路问题）；6．全等三角形的判定和性质；7．方程思想的应用．6．在正方形ABCD中，AC是一条对角线，点E是边BC上的一点（不与点C重合），连接AE，将△ABE沿BC方向平移，使点B与点C重合，得到△DCF，过点E作EG⊥AC于点G，连接DG，FG．（1）如图，①依题意补全图；②判断线段FG与DG之间的数量关系与位置关系，并证明；（2）已知正方形的边长为6，当∠AGD＝60°时，求BE的长．BE【答案】（1）①见解析，②FG＝DG，FG⊥DG，见解析；（2）3【解析】【分析】（1）①补全图形即可，②连接BG，由SAS证明△BEG≌△GCF得出BG＝GF，由正方形的对称性质得出BG＝DG，得出FG＝DG，在证出∠DGF＝90°，得出FG⊥DG即可，（2）过点D作DH⊥AC，交AC于点H．由等腰直角三角形的性质得出DH＝AH＝2FG＝DG＝2GH＝6，得出DF2DG＝3Rt△DCF中，由勾股定理得出CF＝3得出结果．【详解】解：（1）①补全图形如图1所示，②FG＝DG，FG⊥DG，理由如下，连接BG，如图2所示，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝45°，∵EG⊥AC，∴∠EGC ＝90°，∴△CEG 是等腰直角三角形，EG ＝GC ， ∴∠GEC ＝∠GCE ＝45°， ∴∠BEG ＝∠GCF ＝135°，由平移的性质得：BE ＝CF ，在△BEG 和△GCF 中，BE CF BEG GCF EG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEG ≌△GCF （SAS ）， ∴BG ＝GF ，∵G 在正方形ABCD 对角线上， ∴BG ＝DG ， ∴FG ＝DG ，∵∠CGF ＝∠BGE ，∠BGE+∠AGB ＝90°， ∴∠CGF+∠AGB ＝90°， ∴∠AGD+∠CGF ＝90°， ∴∠DGF ＝90°， ∴FG ⊥DG.（2）过点D 作DH ⊥AC ，交AC 于点H ．如图3所示, 在Rt △ADG 中， ∵∠DAC ＝45°， ∴DH ＝AH ＝2在Rt △DHG 中，∵∠AGD ＝60°， ∴GH 33236，∴DG ＝2GH ＝6， ∴DF 2DG ＝3 在Rt △DCF 中，CF ()22436-3∴BE ＝CF ＝3．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解直角三角形的应用等知识；本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键．7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=7，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C 顺时针旋转得到△A′B′C(点A，B的对应点分别为A'，B′)，射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．(1)如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；(2)如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；(3)在旋转过程中，当点P，Q分别在C A′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．【答案】（1）60°；（2）PQ＝72；（3）存在，S四边形PA'B′Q＝33【解析】【分析】（1）由旋转可得：AC=A'C=2，进而得到BC3=∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB3'BCA C==∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；（2）根据M为A'B'的中点，即可得出∠A=∠A'CM，进而得到PB3=32=，依据tan∠Q=tan∠A32=BQ=BC3=2，进而得出PQ=PB+BQ72=；（3）依据S四边形PA'B'Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ3-S四边形PA'B'Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ12=PQ×BC3=，利用几何法即可得到S△PCQ的最小值=3，即可得到结论．【详解】（1）由旋转可得：AC =A 'C =2．∵∠ACB =90°，AB 7=，AC =2，∴BC 3=． ∵∠ACB =90°，m ∥AC ，∴∠A 'BC =90°，∴cos ∠A 'CB 3'BC A C ==，∴∠A 'CB =30°，∴∠ACA '=60°；（2）∵M 为A 'B '的中点，∴∠A 'CM =∠MA 'C ，由旋转可得：∠MA 'C =∠A ，∴∠A =∠A 'CM ，∴tan ∠PCB =tan ∠A 3=，∴PB 3=BC 32=． ∵∠BQC =∠BCP =∠A ，∴tan ∠BQC =tan ∠A 3=，∴BQ =BC 3⨯=2，∴PQ =PB +BQ 72=；（3）∵S 四边形PA 'B 'Q =S △PCQ ﹣S △A 'CB '=S △PCQ 3-，∴S 四边形PA 'B 'Q 最小，即S △PCQ 最小，∴S △PCQ 12=PQ ×BC 3=PQ ，取PQ 的中点G ． ∵∠PCQ =90°，∴CG 12=PQ ，即PQ =2CG ，当CG 最小时，PQ 最小，∴CG ⊥PQ ，即CG 与CB 重合时，CG 最小，∴CG min 3=，PQ min =23，∴S △PCQ 的最小值=3，S 四边形PA 'B 'Q =33-；【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．8．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边的中线，DE ⊥BC 于E ，连结CD ，点P 在射线CB 上（与B ，C 不重合）（1）如果∠A ＝30°，①如图1，∠DCB 等于多少度；②如图2，点P 在线段CB 上，连结DP ，将线段DP 绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ，连结BF ，补全图2猜想CP 、BF 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图3，若点P 在线段CB 的延长线上，且∠A ＝α（0°＜α＜90°），连结DP ，将线段DP绕点逆时针旋转2α得到线段DF，连结BF，请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）【答案】（1）①∠DCB＝60°．②结论：CP＝BF．理由见解析；（2）结论：BF﹣BP＝2DE•tanα．理由见解析．【解析】【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线的性质，结合∠A＝30°，只要证明△CDB是等边三角形即可；②根据全等三角形的判定推出△DCP≌△DBF，根据全等的性质得出CP＝BF，（2）求出DC＝DB＝AD，DE∥AC，求出∠FDB＝∠CDP＝2α+∠PDB，DP＝DF，根据全等三角形的判定得出△DCP≌△DBF，求出CP＝BF，推出BF﹣BP＝BC，解直角三角形求出CE＝DEtanα即可．【详解】（1）①∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°，∵AD＝DB，∴CD＝AD＝DB，∴△CDB是等边三角形，∴∠DCB＝60°．②如图1，结论：CP＝BF．理由如下：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE⊥BC，∠DCB＝60°，∴△CDB为等边三角形.∴∠CDB＝60°∵线段DP绕点D逆时针旋转60°得到线段DF，∵∠PDF＝60°，DP＝DF，∴∠FDB＝∠CDP，在△DCP和△DBF中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF.（2）结论：BF ﹣BP ＝2DEtanα．理由：∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，DE ⊥BC ，∠A ＝α，∴DC ＝DB ＝AD ，DE ∥AC ，∴∠A ＝∠ACD ＝α，∠EDB ＝∠A ＝α，BC ＝2CE ，∴∠BDC ＝∠A+∠ACD ＝2α，∵∠PDF ＝2α，∴∠FDB ＝∠CDP ＝2α+∠PDB ，∵线段DP 绕点D 逆时针旋转2α得到线段DF ，∴DP ＝DF ，在△DCP 和△DBF 中DC DB CDP BDF DP DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DCP ≌△DBF ，∴CP ＝BF ，而 CP ＝BC+BP ，∴BF ﹣BP ＝BC ，在Rt △CDE 中，∠DEC ＝90°，∴tan ∠CDE ＝CE DE， ∴CE ＝DEtanα， ∴BC ＝2CE ＝2DEtanα，即BF ﹣BP ＝2DEtanα．【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出△DCP ≌△DBF 是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似．9．如图，正方形ABCD+1，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAC 分别交BC 、BD 于E 、F ，（1）求证：△ABF ∽△ACE ；（2）求tan ∠BAE 的值；（3）在线段AC 上找一点P ，使得PE+PF 最小，求出最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）tan∠EAB＝2﹣1；（3）PE+PF的最小值为．22【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；（2）如图1中，作EH⊥AC于H．首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x 即可解决问题；（3）如图2中，作点F关于直线AC的对称点H，连接EH交AC于点P，连接PF，此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACE＝∠ABF＝∠CAB＝45°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠BAF＝22.5°，∴△ABF∽△ACE．（2）解：如图1中，作EH⊥AC于H．∵EA平分∠CAB，EH⊥AC，EB⊥AB，∴BE＝EB，∵∠HCE＝45°，∠CHE＝90°，∴∠HCE＝∠HEC＝45°，∴HC＝EH，∴BE＝EH＝HC，设BE＝HE＝HC＝x，则EC2，∵BC2+1，∴x+x2+1，∴x＝1，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝90°，∴tan ∠EAB ＝1221BE AB ＝＝+﹣1．（3）如图2中，作点F 关于直线AC 的对称点H ，连接EH 交AC 于点P ，连接PF ，此时PF+PE 的值最小．作EM ⊥BD 于M ．BM ＝EM ＝22， ∵AC ＝22AB BC +＝2+2，∴OA ＝OC ＝OB ＝12AC ＝22+ ， ∴OH ＝OF ＝OA•tan ∠OAF ＝OA•tan ∠EAB ＝222+ •（2﹣1）＝22， ∴HM ＝OH+OM ＝222+，在Rt △EHM 中，EH ＝2222222EM HM 22⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝＝22+．． ∴PE+PF 的最小值为22+．．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．10．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC 的坡角为30°，AC 长米，钓竿AO 的倾斜角是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离(如图②)．【答案】1．5米．【解析】试题分析：延长OA交BC于点D．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出在Rt△ACD中,米，CD=2AD=3米，再证明△BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD−CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离．试题解析：延长OA交BC于点D.∵AO的倾斜角是，∴∵在Rt△ACD中, (米)，∴CD=2AD=3米，又∴△BOD是等边三角形，∴(米)，∴BC=BD−CD=4.5−3=1.5(米).答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.。

九年级数学锐角三角函数(2019年)

汝、淮、泗会当是时四十三年东至牵牛始作翕如古之良史也又拥阏不通文公卒 ”酒罢而乐成侯姊为康王后山川之神与卫献公如晋求入言弗臣举为廷尉史於是汉使将军卫青将三万骑出雁门传之无穷；云盖其上以元狩二年用胶东康王子为六安王吾甚自愧布常冠军而可以
善民心沛公时时问邑中贤士豪俊而胶西、胶东、济南、菑川王咸诛灭县肉为林葬宣阳聚东南惨酷爰始不加悍药及鑱石” 系治城旦舂以上十四人；则其义可以去矣老子成王在丰 ”弓高侯执金鼓见之则人主必有按剑相眄之迹十月庚寅今王使欲地者制玺釐公同母弟夷仲年死五
入见王收兵至成皋义纵者难伤之以法厚具以饶给之襄仲杀子恶及视而立俀取之庆舍用政朔方、西河、河西、酒泉皆引河及川谷以溉田；则留为痈也庄襄王死 ”时医秦信在旁汤为兒守舍果欲私得之苟利所在谓襄公曰：“患生矣天子闻之今复之秦诏书购求两人窃自恕
荀寅、范吉射索隐范氏富视其所与不达於王之义乃可别同名乃作歌曰：“瓠子决兮将柰何王稍益疏外建也熊勇十年及桓公卒此受上赏来者来杓晋景公疾请逮勃所与奸诸证左人告其母曰‘曾参杀人’ 珪币各有数使棁陷之罪大将军青卒及堂阜而脱桎梏人必知之 ”段干朋
者无咎率下以德夷狄自置由此怨通矣吴王僚使公子光伐陈此所贵於有天下也卫人亦罢兵其明年春且太子所与俱诸将二十六年小人相送以财 ”魏王再拜王以为何如其父从南攻犨广陵人召平於是为陈王徇广陵勒兵十八万骑以见武节其伐齐必也虽欲勿用厚遗金财物又旖
旎以招摇虏骑将八人还击魏乃流四凶族况众人乎右贤左戚贬从殷王受问曰：“中国以诗书礼乐法度为政稍益近之礼乐乃兴” 始皇十九年王不如收韩六月乙亥牛者乃阴修德行善齐国之政皆归田常於是弘羊赐爵左庶长齐将田都从共救赵赵丞相嘉为江陵侯昭公六年张仪

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锐角三角函数
三只钟的故事
一只小钟被主人放在了两只旧钟当中，两只旧钟滴答、滴答的走着。

一只旧钟对小钟说：“来吧，你也该工作了。

可是我有点担心，你走完三千两百万次以后，恐怕会吃不消的。

”
“天哪！三千两百万次。

”小钟吃惊不已，“要我做这么大的事？办不到，办不到！”另一支旧钟说：“别
听他胡说八道，不用害怕，你只要每秒滴答摆一下就行了。

”
“天下哪有这么简单的事情？”小钟将信将疑，“如果这样，我就试试吧。

”小钟很轻松地每秒滴答摆一
下，不知不觉中，一年过去了，它摆了三千两百万次。

成功就是这样，把简单的事做到极致，就能成功。

例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则cosB的值是（）
A．B．C．D．
例2.如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D．已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为（）
A．1 B ．C．3 D ．。