开放性应用题
挖掘教材潜力培养应用意识——小学数学开放性应用题设计的策略研究
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事 件之 中， 让 学生 感觉 到 学 习材 料 的真 实 性。 例 如第七册 应用 题 例 １ ：一 台抽水机 ３ 时抽 小 水 ４ ０吨 ， 这 样 计 算 ， ２ 照 ５小 时 抽 水 多 少 吨 ？ 我 通 过 改 变 其 情节 ， 整 节 课 的 例 题 、 习 都 融 把 练 于 一 个 情 节 之 中 ： 你 知 道 老 师 家 离 学 校 有 多 “ 远 吗 ？”“ 师 给 你 一 些 条 件 你 能 求 吗 ？如 老 师 老 骑 自行 车 ４分 钟 能 行 ｌｏ ｏ ｏ米 ， 这 样 计 算 ， 照 老 师从 家 到学校 花 了 １ ５分 钟 ， 你 能 帮 老 师 算 一
情 节 开放 贴 近 生 活 数 学源 于 生 活 ， 活 中 又 充 满 着 数 学 。尤 其 生 是 小 学 数 学 ，在 生 活 中 我 们 都 能 找 到 其 原 型 。 因此 ， 设 计 开 放应 用 题 时， 师 要 善 于挖 掘 在 教 生活 中 的素材 ， 于为 学 生在现 实生活 中 找 到 善 与 所 学 知 识 相 匹 配 的 原 型 ， 学 生从 熟 悉 的 生 让 活 中去学 习数学 ， 情境 理解数 学 。 １ 情 节设 计 要 注 重现 实性 ． （） 用 题 的情 节 要 以 学 生 为 主 线 ， 近 学 １应 贴 生 生 活 ， 学 生 熟 悉 的 人 或 事 纳 入 到 应 用 题 的 把
一
题 。如 ， 明 ３分 钟 行 ６ ０米 ， 学 校 到 家 行 了 小 ０ 从 ２ ０分 钟 ， 明 家 到 学校 有 多远 ？ 小 明 和 老 师 家 小 相距 多少 ？老师 家 和 小 明家哪 个 离 学校近 些 ？ 通 过这 种情 节 设计 ， 学生 发 现数 学 就在 使 自 己身 边 。 （） 节 设 计 应 反 映 时 代 特 征 。传 统 应 用 题 ２情 常 常 人 为 编 造 情 境 ，使 有 些 应 用 题 的 题 材 老
小学数学开放性问题的常见类型及解决策略-精选教育文档
小学数学开放性问题的常见类型及解决策略一、数学开放性问题什么是数学开放性问题？指的是一个数学问题系统中，通常包括四个部分，即：已知条件（应用题表现为背景资料）、解题依据、解题方法和结论。
如果四部分齐备，称之为封闭性问题；若四部分不齐备，则称之为开放性问题。
数学开放性问题的称呼是相对于传统的封闭题而提出来的。
解题时可以体现学生的思维能力、分析问题解决问题的能力，数学开放性问题是数学教学中培养学生思维能力的可贵资源。
二、数学开放性问题的分类对数学开放性问题进行分类，有助于对其加深研究，常见的分类是依据命题要素将数学开放性问题分为结论开放型、条件开放型、综合开放型和策略开放型；按学习过程的训练价值分为知识巩固型、信息迁移型、知识发生型；按问题答案的结构类型分为有限可列型、有限混沌型、无限连续型、无限离散型。
三、数学开放性问题常见类型的解决策略1.条件开放型条件开放型问题的未知要素是条件，一般采用“执果索因”的方法通过逆向思维推出所需要的条件。
例18个棱长1cm的小正方体可以拼成一个大正方体，如果拼成的正方体再大一些，又需要几个小正方体？这个问题无疑给学生提供了猜想、验证实践等一系列活动的机会。
让学生在具体活动中进行理性的逻辑推理：因为用1cm3的小正方体摆成的较大正方体，棱长一定是大于1的整数，则a=2时23=8，需8个小正方体；再大些则a=3，33=27，需27个小正方体。
依此类推为43、53……条件开放型问题要求学生从不同角度去寻找这个结论成立的条件，突出了知识的再创性，再发现的过程，是考查思维品质和创新能力的好素材，也有利于训练学生思维的敏捷性。
2.结论开放型结论开放型问题的未知要素是结论，一般采用“执因索果”的方法，即从假设条件出发，推出待定或探索的结论。
例2有一张5元，4张2元和8张1元的人民币，从中取出9元钱，你会怎样取呢？学生可能会尝试去取或去算，得出自己的方法。
但这一题的取法也就是结论不是唯一的。
开放性问题[整理]
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探索型问题一（开放性问题）【考点透视】习惯上，人们把命题者对解题者的要求，将数学问题分为两类：一类是问题的条件和结论都有确定要求的题型；另一类是条件和结论中至少有一个没有确定要求的题型，并称前者为封闭题型，后者为开放题型.开放性问题的基本形式有：条件开放题（问题的条件不完备）；结论开放题（问题的结论不确定或不唯一），这些问题的解决，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答. 现在还出现一些其他形式的开放题，如解题策略的开放题和题干结构的开放题. 前者主要侧重于解题方法或策略的选择和设计，后者主要是所给题目不完整，需要解题者把题目补充完整，然后完成解答.开放性问题对于训练和考查学生的发散思维，进而培养学生的创新意识和创新能力是十分有益的.教育部在《2000年初中毕业、升学考试改革的指导意见》中特别指出：数学考试“应设计一定结合情境的问题和开放性问题”.由于各地认真贯彻执行这一指导意见，所以在近年的各地中考中，开放性试题越来越受到命题者的青睐，也越来越受到广大初中教师和学生的重视. 【典型例题】 一、条件开放题解条件开放题，一种是直接补齐条件，使题目结论成立；另一种是需要我们作出探索去补齐条件使题目结论成立. 这两种情况所需补充的条件往往不惟一.例1 （1）如图7.1，△ABC 中，AB=AC ，D 为AC 边上的一点，要使 △ABC ∽△BCD ，还需要添加一个条件，这个条件可以是__________ _______________________（只需填写一个你认为适当的条件即可）.（2001年淄博市中考题） （2）如图7.2，在△ABC 和△FED 中，AD=FC ，AB=FE ，当添加条 件：__________________时，就可得到△ABC ≌△FED （只需填写一个你认为正确的条件）. （2003年无锡市中考题） 解：（1）BD=BC.（也可以是：∠ABC=∠BDC ；或∠A=∠DBC ；或BC ∶CD=AC ∶BC ；或BC 2=AC •CD 中的某一个）（2）∠A=∠F. （或BC=ED 等） 说明：开放题的一个显著特点是：答案的不唯一性. 第（1）小题中，我们只需给出能使结论成立的一个答案即可.例2 一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是2,4x y =⎧⎨=⎩和2,4x y =-⎧⎨=-⎩，试写出符合要求的方程组____________________________.（只要填写一个即可）（2000年安徽省中考题）分析：我们只要分别构造出一个既含x ，又含y 的一个二元一次方程和一个二元二次方程. 构造方程实际上就是寻找x 与y 之间的关系.解：2,8.y x xy =⎧⎨=⎩说明：方程与函数有着紧密的联系，如果我们把方程组的解看作对应于平面直角坐标系中的两个点A （2，4），B （-2，-4），则我们可以写出过这两个点的一个一次函数的解析式（也是一个二元一次方程）和一个二次函数的解析式（也是一个二元二次方程，这个方程不唯一）.B A CD 图7.1AB C DEF 图7.2本题在解法上可以用代数的方法来解，也可用几何的方法来解（形数结合——一种重要的数学思想方法）；可以用待定系数法，运用演绎推理的方法来解，也可用直觉思维的方法来解，所以本题既是一个条件开放题，也是一个策略开放题.例3 已知：如图7.3.1，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，A 是»BD的中点，过A 点的切线与CB 的延长线交于点E.（1）求证：AB •DA=CD •BE ；（2）若点E 在CB 延长线上运动，点A 在»BD上运动，使切线EA 变为割线EFA ，其它条件不变，问具备什么条件使原结论成立？（要求画出示意图，注明条件，不要求证明）（2000年北京海淀区中考题）分析：本题的（2）是一个条件开放题.由于本题的结论与（1）相同，所以这一条件的获得，我们可以从（1）的证明过程中受到启示.（1）证明：连结AC.∵A 是»BD 的中点,∴»»AB AD =,∠ACB=∠ACD.∵EA 切⊙O 于A ，∴∠EAB=∠ACB.又∵∠ABE=∠D ，∴△EAB ∽△ACD ，∴AB ∶CD=EB ∶AD ， ∴AB •AD=CD •BE.（2）解：如图7.3.2中，若有△EAB ∽△ACD ，则原结论成立，故我们只需探求使△EAB ∽△ACD 的条件. 由于∠ABE=∠D ，所以只要∠BAE=∠DAC 即可，这只要»»BF CD =即可.所以本题只要»»BF AD =，原结论就成立.说明：探求条件的过程，是一个由果索因的过程，这是数学中的一种重要的解题方法——分析法.例4 如图7.4，AB 、AC 分别是⊙O 的直径和弦，D 为劣弧»AC 上一点，DE ⊥AB 于点H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点.（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切？为什么？（2）点D 在劣弧»AC 的什么位置时，才能使AD 2=DE ·DF ？为什么？ (2002年济南市中考题)分析：（1）连OC.要使PC 与⊙O 相切，则只需∠PCO=900即可.由∠OCA=∠OAC ，∠PFC=∠AFH ，即可寻找出△PCF 所要满足的条件 （2）要使AD 2=DE ·DF ，即AD DFDE AD=，也就是要使△DAF ∽△DEA ， 这样问题就较容易解决了.解：（1）当PC=PF （或∠PCF=∠PFC ，或△PCF 是等边三角形）时，PC 与⊙O 相切. 连OC.∵PC=PF ，∴∠PCF=∠PFC ，∴∠PCO=∠PCF+∠OCA=∠PFC+∠OAC=∠AFH+∠AHF=900, ∴PC 与⊙O 相切.图7.3.1图7.3.2 H BAEP O CD F 图7.4（2）当点D 是»AC 的中点时，AD 2=DE ·DF.连结AE.∵»»AD CD=，∴∠DAF=∠DEA. 又∵∠ADF=∠EDA ，∴△DAF ∽△DEA ， ∴AD DFDE AD=，即AD 2=DE ·DF. 说明：本题是探索性开放题,在解决这类问题时,我们常从要获得的结论出发来探求该结论成立的条件.如第(1)小题中,若要PC 与⊙O 相切,则我们需要怎样的条件.第(2)小题也是如此.二、结论开放题结论开放题通常是结论不确定或不惟一，解题时，需作出探索来确定结论是否成立或会有那些结论. 例5 如图7.5.1，以等腰三角形ABC 的一腰AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，过D 作DE ⊥AC 于E ，可得结论DE 是⊙O 的切线.问：（1）若点O 在AB 上向点B 移动，以O 为圆心，OB 长为半径的圆 仍交BC 于D ，DE ⊥AC 的条件不变，那么上述结论是否还成立？请说明理由.（2）如果AB=AC=5cm, sinA=35,那么圆心O 在AB 的什么位置时，⊙O与AC 相切？ （2001年黑龙江省中考题）分析：（1）连OD. ∵OB=OD ，∴∠OBD=∠ODB=∠C ，∴ OD ∥AC ， 从而可得OD ⊥DE ，结论仍然成立.（2）若⊙O 与AC 相切，设切点为F ，连OF ，则由Rt △AOF 中可 求得OF=158，即OB=158. 解：（1）结论仍然成立. 如图7.5.2，连OD ，则OD=OB ，∠OBD=∠ODB. 又AB=AC ，∴∠B=∠C ，∴∠ODB=∠C ， ∴OD ∥AC.∵DE ⊥AC ，∴OD ⊥DE ， ∴DE 是⊙O 的切线.（2）如图7.5.3，若AC 与⊙O 切于点F ，连OF ，则OF ⊥AC ，即△AOF 是直角三角形，∴sinA=355OF OB AO OB ==-， ∴OB=158， 即当OB=158时，⊙O 与AC 相切.说明：本例的两小题都属于结论不确定性的开放性问题. 第（1）小题是直接从题设条件出发探求结论是否成立；第（2）小题是从题设的结论出发来探求结论成立的条件，这也是解决这类问题的常用方法.图7.5.1AOBECD图7.5.2ABCO F图7.5.3例6 如图7.6.1，⊙O 的直径AB ，过半径OA 的中点G 作弦CE ⊥AB ，在»CB上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F 、M.（1）求∠COA 和∠FDM 的度数；（2）求证：△FDM ∽△COM ；（3）如图7.6.2，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一 点，点D 改取在»EB上，仍作直线CD 、ED ，分别交直线 AB 于点F 、M. 试判断：此时是否仍有△FDM ∽△COM ？证明你的结论. （2003年苏州市中考题）（1）解：∵AB 是⊙O 的直径，CE ⊥AB ，∴»»AC CE，CG=EG. 在Rt △COG 中，∵OG=12OC ，∴∠OCG=30o ，∴∠COA=60o . 又∠CDE 的度数=12¼CAE 的度数=»AC 的度数=∠COA=60o ，∴∠FDM=180o -∠COA=120o .（2）证明：∵∠COM=180o -∠COA=120o ，∴∠COM=∠FDM. 在Rt △CGM 和Rt △EGM 中， GM=GM ，CG=EG ，∴Rt △CGM ≌Rt △EGM ， ∴∠GMC=∠GME.又∠DMF=∠GME ，∴∠OMC=∠DMF ， ∴△FDM ∽△COM.（3）解：结论仍然成立.∵∠FDM=180o -∠CDE ， ∴∠CDE 的度数=12¼CAE 的度数=»AC 的度数=∠COA ， ∴∠FDM=180o -∠COA=∠COM.∵AB 为直径，CE ⊥AB ，∴在Rt △CGM 和Rt △EGM 中， GM=GM ，CG=EG ，∴Rt △CGM ≌Rt △EGM ， ∴∠GMC=∠GME ， ∴△FDM ∽△COM.说明：本题的第（3）小题是在第（2）小题改变条件的情况下，探求结论是否还成立. 在探求时应寻着（2）的解题思路来进行.三、解题策略开放题解题策略开放题，现在更多的是以要求解题者设计解题方案来设计题目.例7 一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含300的直角三角形组成，利用这副三角板构成一个含150角的方法很多，请你画出其中两种不同构成的示意图，并在图上作出必要的标注，不写作法.（2000年荆州市中考题）DAF C EDM OG BAF CEMO G B 图7.6.1图7.6.2分析：本题可利用这副三角板中的角做“加减运算”：600-450，或450-300，或600+450-900等来得到150的角. 解：如图所示. 图7.7.1中就包含有两中构造方法， ∠ABD 和∠ACD 都等于15o ；图7.7.2中，∠EFG=15o .请同学们试着拼出其它的图形.说明：这类拼图组合，给出了一定的条件，但解决问题的办法需要我们自己来寻找. 通常解决这类问题的方法不惟一. 用现有的工具去解决问题，这在实际生产和生活中常会遇到.例8 如图，把边长为2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形.请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法仿照图1按实际大小画在方格纸内（方格为1cm ×1cm ）.（1）不是正方形的菱形（一个）； （2）不是正方形的矩形（一个）； （3）梯形（一个）；（4）不是矩形和菱形的平行四边形（一个）； （5）不是梯形和平行四边形的凸四边形（一个）；（6）与以上画出的图形不全等的其他凸四边形（画出的图互不全等，能画出几个画几个，至少画三个）. （2001年徐州市中考题）解：（1） （2）3）（4）（5） （6）说明：本例是一道设计图形的开放性试题，这类题近几年在全国各地的中考试题中经常出现.设计型开放题，有利于培养学生的发散性思维能力，有利于充分发挥学生的想象力和创造力，这对培养学生的创新意识和创新精神具有着积极的作用，例9有一种“二十四点”游戏，其规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4，可以运算得（1＋2＋3）×4＝24（注意上述运算与4×（1＋2＋3）应视作相同方法的运算）.现有四个有理数3，4，－6，10，用上述规则写出三种不同方法的算式，使其结果等于24，运算如下： （1）_____________________；（2）________________________；（3）_________________________. 另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）____________________________，使其结果等于24. （2001年杭州市中考题）分析：“二十四点”游戏，小学生也可参加. 本题将数的范围扩大到整数范围，变成新的游戏，其实就是有理数的运算.本题具有开放性，答案是不唯一的.AB C D E F G图7.7.1 图7.7.1图7.8解：（1）3×[4＋（－6）＋10]＝24；（2）4－（－6）÷3×10＝24；（3）（10－4）－3×（－6）＝24. （4）[（－5）×（－13）＋7]÷3＝24.说明：本题将有理数的运算与学生熟知的游戏结合起来，使数学学习更具趣味性.四、题目结构开放题以看作是一个条件开放题.例10 某一学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只看到如下字样：“甲、乙两地相距40千米，摩托车的速度为45千米/时，运货汽车的速度为35千米/（涂黑部分表示被墨水覆盖的若干文字）请将这道作业题补充完整，并列方程解答.（2001年吉林省中考题）分析：这里“距离”和“速度”都有了，故我们可以考虑从时间上去把本题补完整. 解一：摩托车和运货汽车同时从甲地驶向乙地，则摩托车比运货汽车早到几分钟？设摩托车比运货汽车早到x 分钟，则4040603545x ⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，x=4021.答：摩托车比运货汽车早到4021分钟. 解二：摩托车和运货汽车分别从甲地和乙地同时相向而行，则几分钟后它们相遇？ 设摩托车与运货汽车出发x 分钟后相遇，则（45+35）×60x= 40，x=30. 答：摩托车与运货汽车出发30分钟后相遇.解三：运货汽车从甲地出发10分钟后，摩托车从甲地出发去追赶运货汽车，问在到达乙地前，摩托车能否追上运货汽车？运货汽车走完全程需408357=小时，摩托车走完全程需408459=小时， 摩托车比运货汽车少用88167963-=小时.∵1610906360126-=>， ∴摩托车在运货汽车到达乙地前能追上.解四：摩托车和运货汽车分别从甲、乙两地沿由甲地往乙地的方向同向而行，问经过几小时摩托车可追上运货汽车？设经过x 小时摩托车可追上运货汽车，则 45x=40+35x ，解得x=4.答：经过4小时摩托车可追上运货汽车.说明：由于行程问题是大家比较熟悉的应用问题，所以我们还可以编出很多这样的问题来，同学们不妨试试.习题七一、填空题 1．（1）写出和为6的两个无理数_________________.（2003年绍兴市中考题）（2）若关于x 的方程x 2+kx-12=0的两根均是整数，则k 的值可以是______________.（只要求写出两个） （2001年浙江省中考题） 2．如图，在△ABC 中，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D ，连结AD ，请你添加一个条件，使△ABD ≌△ACD ，并说明全等的理由. 你添加的条件是_________________________.（2002年金华市中考题） 二、解答题3.做一做:用四块如图1的瓷砖聘成一个正方形,使 拼成的图案成轴对称图形.请你在图2、图3 图4中各画出一种拼法（要求三种拼法各不 相同，所画图案中的阴影部分用斜线表示）.（2003年无锡市中考题）4．先根据要求编写应用题，再解答你所编写的应用题.编写要求：（1）编写一道行程问题的应用题，使得根据题意列出的方程为120120110x x -=+； （2）所编应用题完整，题意清楚，联系生活实际且解符合实际. （2001年青岛市中考题）5．同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等.你如何处理和安排这三个条件，使这两个三角形全等.请你仿照方案（1），写出方案（2）、（3）、（4）. 解：设有两边和一角对应相等的两个三角形. 方案（1）：若这角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等.（2000年广东省中考题）6．如图，⊙O 与⊙O 1完外切于点T ，PT 为其内公切线，AB 为其外公切线，A 、B 为切点，AB 与TP 相交于点P，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明.（2001年杭州市中考题） 7．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，给出5个论断： ①CD ⊥AB ；②BE ⊥AC ；③AE=CE ；④∠ABE=30o ；⑤CD=BE. （1）如果论断①②③④都成立，那么论断⑤一定成立吗？ 答：____________; （2）从论断①②③④中选取3个作为条件，将论断⑤作为结论，组成一个真命题，那么你选的3个论断是__________________ （只需填论断的序号）；（3）用（2）中你选的3个论断作为条件，论断⑤作为结论，组 成一道证明题，画出图形，写出已知、求证，并加以证明.（2003年徐州市中考题） 8．如图，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点.（1）求证：AF ⊥CD ；（2）在你连接BE 后，还能得出什么新的结论？请写出三个（不要求证明）. （2002年江西省中考题）图1 图2 图3 图4 第3题A BP TO O 第6题 A BD C E第7题 B A C D E第8题9．已知在直角坐标系中，直线y=+x轴、y轴分别交于点A、点B，以AB为一边的等腰△ABC的底角为300，请在坐标系中画出△ABC，并求出点C的坐标.（2000年北京市崇文区中考题）10．如图，已知直线MN与以AB为直径的半圆相切于点C，∠A=28o.（1）求∠ACM的度数；（2）在MN上是否存在点D，使AB•CD=AC•BC？为什么？（2001年广州市中考题）参考答案：1.（1（2）1,-1(或4，-4；或11，-11)2．答案不唯一. 添加的条件可以是：①AB=AC；②∠B=∠C；③BD=DC（或D是BC中点）；④∠BAD=∠CAD（或AD平分∠BAC）等.3．略.4．所编应用题符合编写要求. 正确设未知数、列方程，正确求出方程的解.5．方案（2）：若这角是直角，则这两个三角形全等.方案（3）：在两个钝角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.方案（4）：在两个锐角三角形中，有两边和一角对应相等的两个三角形.6．AB=2PT. 证明略.7．（1）一定. （2）①、③、④. （3）已知，如图，在△ABCD、E分别在AB、AC上，CD⊥AB，AE=CE，∠ABE=30o. 求证：CD=BE. 证明：作EF∥CD交AB于F. ∵AE=CE，∴AF=FD，∴CD=2EF. ∵CD⊥AB，∴EF⊥AB. 在Rt△EFB中，∠EFB=90o，∠EBF=30o，∴BE=2EF，∴CD=BE. 图要正确.8．（1）证明：连结AC、AD，∵AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，∴△ABC≌△AED，∴AC=AD. 又∵F为CD的中点，∴AF⊥CD.（2）①BE∥CD；②AF⊥BE；③△ACF≌△ADF；④∠BCF=∠EDF；⑤五边形ABCDE是以直线AF为对称轴的轴对称图形. （还可写出其它的结果）9．如图，C1（6，0），C2（0，-，C3（0），C4（-4，C5（2），C6（2，.10．（1）∵AB是直径，∠ACB=90o. 又∠A=28o，∴∠B=62o.又MN是切线，C为切点，∴∠ACM=62o.（2）在MN上存在符合条件的点D. 证明：过点A作AD⊥MN于D. 在Rt△ABC和Rt△ACD中，MN切半圆ACB于点C，∴∠B=∠ACD，∴△ABC∽△ACD，∴AB BCAC CD=，即AB•CD=AC•BC.A BCMN第10题ACBDEF第7题。
浅谈小学数学开放性应用题的命制和评价
㊀㊀㊀㊀㊀１３８㊀浅谈小学数学开放性应用题的命制和评价浅谈小学数学开放性应用题的命制和评价Һ刘小会㊀（深圳市龙华区外国语学校，广东㊀深圳㊀５１８１０９）㊀㊀ʌ摘要ɔ新课程理念强调：为了适应时代发展对人才的需要，数学课程需要特别注重发展学生的应用意识和创新意识．本文以三道小学数学开放性应用题为切入点，探讨这类题型的命制和评价．开放性应用题应源于教材，又不拘泥于教材．与其他应用题相比，开放性应用题更具灵活性㊁开放性和综合性，更能培养学生的应用意识和创新意识．ʌ关键词ɔ开放性；魔方；Ｔ字之谜；找规律一㊁玩转五阶魔方，提升空间观念在三维空间中，以边长为１ｃｍ的正方体为基本构建块，组成我们熟悉的五阶魔方．通过设置不同的情境，分别求解该五阶魔方的体积和表面积．本题以小学生喜闻乐见的魔方为背景，把学生的认知水平由几何直观上升到空间想象和空间推演．问题梯度由易到难，层层递进．本题适用于五年级下学期及以上学段的学生．正题：边长为１ｃｍ的正方体组成一个五阶魔方：（１）求出该五阶魔方（图１（ａ））的体积和表面积．（２）如果在魔方内部抠掉一部分正方体，即打通魔方，形成５个洞，如图１（ｃ）所示，求剩下部分的体积和表面积．（３）在图１（ｃ）的基础上，再抠掉最上面正中心处的方块（打通形成第６个洞，如图１（ｄ）所示），求剩下部分的体积和表面积．图１评价参考标准及建议：（１）体积：５ˑ５ˑ５＝１２５（ｃｍ３）．表面积：５ˑ５ˑ６＝１５０（ｃｍ２）．评价细则：这一问不难，可以利用公式求出五阶魔方（边长为５ｃｍ的正方体）的体积和表面积．（２）体积：１２５－５ˑ５＝１００（ｃｍ３）．表面积：１５０＋５ˑ５ˑ４－５ˑ２＝２４０（ｃｍ２）．评价细则：①在第一问的基础上，用总体积减去抠掉部分的体积即可．５ˑ５表示５个洞总共被抠掉的小正方体的数目．②５ˑ４表示１个洞中魔方内部所增加的面数，５ˑ５ˑ４表示５个洞中魔方内部所增加的面数，５ˑ２表示魔方表面减少的面数．（３）体积：１００－４＝９６（ｃｍ３）．表面积：２４０＋４ˑ４－２－２＝２５２（ｃｍ２）．评价细则：①在第二问的基础上，用总体积减去抠掉部分的体积即可．４表示第６个洞被抠掉的方体数目．为什么是４而不是５呢？因为第６个洞和原来的一个洞在一个方块处交汇，所以这里不能重复计算．②此时这个问题已经比较复杂了，并且层层递进．在第二问所求表面积的基础上，解答此问的表面积．４ˑ４表示第６个洞中，魔方内部（４个方块）所增加的面数，第一个２表示魔方表面减少的面数，第二个２表示交汇处减少的面数．二㊁巧解Ｔ字之谜，探寻组合奥秘本题属于数学好玩的范畴，以民间智慧 Ｔ字之谜 为数学背景，探讨组合图形的构造㊁面积计算和形状多样性等问题．类似于七巧板， Ｔ字之谜 也属于智力拼板玩具，但只有四块，所以也称 四巧板 ，与七巧板性质相同． Ｔ字之谜 的组合过程着重考查观察能力㊁动手能力和衔接能力．本题适用于五年级下学期及以上学段的学生，重在开拓思维和发散想象，答案具有多样性和开放性．正题： Ｔ字之谜 由四块不同形状的单元块组成：一个等腰直角三角形①㊁一个不规则五边形②㊁一个短直角梯形③㊁一个长直角梯形④．如图２所示．（１）把这四个单元块组合成 Ｔ 字，画出示意图，并计算总面积．（２）计算不规则五边形②的面积．（３） Ｔ字之谜 中的四块单元块还可以组合成其他图形吗？请列出两种形状．图２评价参考标准及建议：（１）四块单元块拼接成两个长方形，组成 Ｔ 字． Ｔ 字如图３（１）所示．对应的Ｔ字面积：１ˑ３＋１ˑ３＝６（ｃｍ２）．图３㊀㊀㊀１３９㊀㊀（２）不规则五边形②的面积计算如下：方法一：②的面积＝Ｔ的面积－①的面积－③的面积－④的面积＝６－０．５－１－２．５＝２（ｃｍ２）．方法二：把五边形分割成一个平行四边形和一个三角形，如图３（２）所示．根据第一问中 Ｔ 字的组成形式，得出平行四边形的高和三角形的底．②的面积＝１．５＋０．５＝２（ｃｍ２）．（３）此问具有开放性，答案不唯一．组合的关键在于把长度相等的边拼接在一起．图４中展示了６种形状，方法多样，巧妙有趣．事实上，目前 Ｔ字之谜 的拼凑有上百种情况，是老少皆宜的休闲智力玩具．图４三㊁构造方形串联，挖掘潜在规律本题利用分割法㊁观察法和找规律法解决求复杂图形面积的问题．学生体验图形形状变化与面积大小变化关系的同时，通过猜想和归纳找到形与数之间的关系．本题适用于五年级下学期及以上学段的学生．正题：从边长是１ｃｍ的正方形开始，从Ｏ点出发，以正方形的对角线为边顺时针连续画正方形，如图５所示：图５（１）画出第５个正方形，并求出边长．（２）用两种不同的方法求画第５个正方形时所得图形的总面积．（３）综合５幅图，在计算图形总面积的过程中，你可以找到一些规律吗？评价参考标准及建议：（１）画出第５个正方形，如图６（１）所示，边长为１ˑ４＝４（ｃｍ）．评价细则：以第４个正方形的对角线为边，画出第５个正方形．通过观察，发现此时的边长为４个１ｃｍ．（２）面积计算参考方法（不限）如下：方法一：图形可以分割成如图６（２）所示的三部分，分别计算求和即得总面积．面积＝①＋②＋③＝１．５＋６＋１６＝２３．５（ｃｍ２）．方法二：图形可以分割成如图６（３）所示的４７个完全一样的小三角形．面积＝４７ˑ０．５＝２３．５（ｃｍ２）．图６（３）参考答案见表格．正方形个数三角形个数图形面积／ｃｍ２１２２ˑ０．５＝１２５５ˑ０．５＝２．５３１１１１ˑ０．５＝５．５４２３２３ˑ０．５＝１１．５５４７４７ˑ０．５＝２３．５这个规律有点类似于斐波那契数列，利用前一类信息，计算下一类信息．文字描述如下：后一个图形三角形的个数＝前一个图形三角形的个数ˑ２＋１，对应数学表达式为：ｆ（ｎ＋１）＝２ｆ（ｎ）＋１，ｆ（１）＝２，{ｆ（ｎ）＝３ˑ２ｎ－１－１．四㊁结束语开放性应用题的探讨就像一段旅行，其终点不是让学生获得一堆零散㊁呆板和固定的知识，而是让他们能够积极㊁充分㊁灵活地运用数学知识去发散思维㊁解决问题并且学以致用，由此获得人格的健全和精神的成长，成为新时代的社会主义建设者和接班人．此外，应用意识和创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，并贯串于数学教育的始终．。
初中数学开放性问题
初中数学开放性问题1． 8×86＝688，这个算式，把乘数的个位数6放在被乘数之首，十位数8放在被乘数之尾， 得688即乘积，还有没有这样的算式？若有，请写出它们。
2．有一些合数分解成质数的积，等式两边的数码的和相等，如：6036＝2×2×3×503，6＋ 0＋3＋6＝2＋2＋3＋5＋0＋3。
数学爱好者史密斯发现493 777 5＝3×5×5×65 837，4＋9＋3＋7＋7＋7＋5＝3＋5＋5＋6＋5＋8＋3＋7，493 777 5恰为史密斯家的电话号码，这个数又是已知的具有上述性质的最大的数。
在10000以内的合数有360个具有这样的性质，请你尽可能多地写出它们。
3．现有四个有理数3，4，－6，10。
将这四个数（每个数用且只用一次）进行加、减、乘、 除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式如下：（1）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（2）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（3）＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 另有四个数3，－5，7，－13，可通过运算式（4）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿使其结果等于24。
4．某位老师在讲“实数”时，画了一个图（如图），即“以数轴上的单位长线段作一个正方 形，然后以原点O 为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x 轴于点A ”，作这样的图是用来说明＿＿＿＿＿＿＿。
5．用实际例子说明绝对值的几何意义。
6．定义一种运算“∧”，对任何两个正数a 和b 有ba ab b a +=∧。
验证运算“∧”是否具有 交换律、结合律、对加法的分配律？即 )()()(),()(,c a b a c b a c b a c b a a b b a ∧+∧=+∧∧∧=∧∧∧=∧是否成立？请你给出另一种新的运算定义，使其具有交换律、结合律或者对他运算的分配律。
7．已知1，2，2三个数，请你添上一个数，写出一个比例式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
8．写出一个只含有字母X 的代数式（要求：（1）要使此代数式有意义，字母X 必须取全体 正数；（2）此代数式的值恒为负数）：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
伤口护理试题
伤口护理试题一、选择题1.以下哪种伤口为开放性伤口？A. 烫伤B. 擦伤C. 刀伤D. 挫伤2.在伤口护理中，以下哪项不是清洗伤口的正确步骤？A. 用生理盐水冲洗伤口B. 用外科镊子清除伤口内异物C. 用纱布轻柔擦拭伤口周围皮肤D. 在伤口上涂抹含酒精的消毒液3.伤口愈合过程中，以下哪种情况下应立即就医？A. 出现伤口渗液B. 伤口周围有轻度红肿C. 伤口疼痛D. 伤口边缘皮肤发白二、判断题1.刀伤属于开放性伤口。
A. 对B. 错2.伤口愈合过程中，伤口边缘会出现多余皮肤褶皱。
A. 对B. 错三、名词解释1.感染：答：2.引流：答：3.肉芽组织：答：四、简答题1.请简要介绍开放性伤口和闭合性伤口的区别。
答：2.列举常见的伤口感染迹象。
答：3.简述伤口清洁的正确步骤。
答：4.描述伤口愈合的三个阶段。
答：五、应用题你是一名护士，请针对以下情况给出伤口护理的具体措施：患者张先生因刀伤导致了一个较大的开放性伤口。
伤口出血较多，有伤口渗液，并有异物陷入伤口内。
该患者没有药物过敏史和相关疾病史。
请根据该情况回答以下问题：1.你会如何处理伤口出血？答：2.请描述清洗伤口的步骤。
答：3.如何处理伤口内的异物？答：6.你会选择用什么方式覆盖伤口？为什么？答：参考答案：一、选择题1. C2. D3. D二、判断题1. A2. A三、名词解释1.感染：指外界病原体入侵人体后，在人体内繁殖生长并引起机体组织的炎症反应。
2.引流：通过管道或其他设备，将体液、气体或异物从体内引出，以达到清除体内积液、排除病原体等目的。
3.肉芽组织：伤口愈合过程中形成的一种生理组织，由血管、纤维组织和炎性细胞构成，起到连接和填充伤口的作用。
四、简答题1.开放性伤口是指伤口表面与外界环境直接接触，如刀伤、烧伤等；闭合性伤口是指伤口表面没有与外界环境直接接触，如手术切口、撕裂伤等。
2.常见的伤口感染迹象包括伤口红肿、渗液增多、伤口疼痛、局部温度升高和淋巴结肿大等。
小学数学应用题开放性教学
如 何 培 养 学 生 的 创 新 精 神 ， 可 以 通 过 不 同 途 径 和 手 段 来 实 现 ，在 应 用题 教 学 中注 重 开 放 性 应 该是 培养 学 生 创 新 精 神 的较 佳
一
应用题开放性教学设计策略
氛 围 ，使学 生 的心理 产生 积极 的参 与意 识 。
首 先 ，应用 题 的 内容 要 生 活 化 。 教 学 中需 以教 材 为 本 ，从 生 活 中取 材 ，设计 一些 切 合 学 生 生 活 实话 的开 放 题 ，使 学 生 有 “ 想
（ 一 ）创设 情 景 ，创设 运用 直观 ，帮 助学 生全 面理 解题 意 要让 学 生会 做应 用 题 ，学 生必 须对 应 用题 熟悉 。只有 让学 生 有
（ 元 ）。这种方案 ，既能使每个旅客都有座位 ，又最省钱。
３ ． 练 习题 设计体 现 解题 策略 开放性
途 径 和 操 作性 很 强 的切 入 点 。适 度 引 入 开放 性 应 用 问 题 ，能 冲破 解 题 策略 开放 是指 学 生运 用不 同的解题 方 法 ，会产 生 不 同的 结 传 统 应 用 题 具 有 的 封 闭 性 限 制 ，开放 题 的开 放 性 、灵 活性 、多变 果 ，使 学生 能从 多 方位 、多 角度 地解 决 问题 ，培养 学 生思 维 的广 阔 性可以提高学生的分析问题 、解决问题 的能力 ，给学生的思维创设 性 、灵 活性 的创造 性 。 更 广 阔的 空 间 ，有 助 于激 发学 生 的创 新意 识 ，养成 创新 的 习惯 ，发 二 、积极创 设应用题 开放 性教 学的氛围 展 创新 思维 。 要实 施应 用题 开 放性 教学 ，教 师 必须 考虑 积极 创 设 开放 教学 的
生活实际类应用题
典型开放探索与实践应用题整理版（一）1、“五一”长假期间，学校组织了30名优秀队员去公园游玩，由6名老师带领。
公园入口处的“购票须知”写道：“每人凭票进门，儿童、成人一律每张30元，40张开始可以享受团体20%的优惠”。
买票时老师付给售票员1000元，你认为够了吗？请用数字知识来说明你的观点。
2、牙膏出口处直径为5毫米，小红每次刷牙都挤出1厘米长的牙膏，这支牙膏可用36次。
该品派牙膏推出的新包装只是将出口处直径改为6毫米，小红还是按习惯每次挤出1厘米长的牙膏。
这样，这一支牙膏只能用多少次计算之后你有什么想法3、国家规定个人发表文章、出版图书所得应交纳个人收入调节税的计算方法是：a）稿酬不高于800元的不纳税；b）稿酬高于800元单部超过4000元的，，应交纳超过800元的那一部分的14%的税款。
C）稿酬高于4000元的，应该交纳全部稿酬的11%的税款。
①王老师最近获得一笔稿酬5000元，按规定王老师应交纳税款多少元？②如果王老师最近获得一笔稿酬，按规定交纳税款434元，问王老师获得稿酬多少元？4、手机通常的话费标准是：每月基本月租费25元，每分钟接听或打出的通话费都是元，计费方式是：每月话费总额=基本月租费+通话费。
A、4月份，李叔叔手机接听80分钟，打出120分钟，这个月李叔叔要付出多少元的话费？请展示出你得计算。
B、5月份，李叔叔一共付出手机话费93元，这个月李叔叔通话多少分钟？请展示出你得计酸。
C、现在通讯公司推出几项优惠方式，让大家选用。
①按照通常的话费标准计算，总话费给予优惠20%。
②基本月租费36元，打出每分钟元，接听每分钟元。
③免收基本月租费，打出和接听每分钟都是元。
如果李叔叔的手机每月接听和打出电话各在100分钟左右，请你为李叔叔选择一项最省钱的优惠方式，请你展示出必要的计算。
5、据书上介绍，标准体重算法是：男性：（身高厘米-80）×70%=标准体重女性：（身高厘米-70）×60%=标准体重体重评价标准和评价指标：正常：低于标准体重10%或高于体重10%。
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A
E
B
达标训练
• 1 如图，已知∠1= ∠2，要 使 △ABE≌ △ACE，还需添一个条件（只需添加一个 BE=EC 条件） 。
B
∠ BAE=∠CAE
A
E
1 2
∠ B=∠C
C
2 、 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F，G，H 分别是梯形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，当梯 形ABCD满足条件 时 ，四边 形EFGH是菱形。（填上你认为正确的一个条件即可）
D G C
H F
ADB
∠ A=∠B
小
结
1. 解开放题的关键是审题，读懂题意,多角度 地考虑问题;
2. 遇到联系生活实际的开放题，必 须弄清题目背景。
议一议
• 学校有一个面积为48的矩形花坛，它 的周长是28m，对角线的长是10m. • (1)试求出这个矩形花坛的长和宽； 2）可以从三个条件中去掉一个吗？去 掉这个条件后，对解决问题的过程及 结果有没有影响？与同伴进行交流。
典型例题
• 如图，在三角形铁片△ABC中，AB=AC.小明 要从铁片的边AC上的点D出发，剪下一个小三 角形铁片BDC,使得△BDC与△ABC相似。他 可以怎样剪？需要添加一个怎样的条件？ A BC AC (1)∠ABC=∠BDC;
（2）如图，是一座防洪大坝的横断面图已 0 知AD∥BC,又测得, ABC 60 .
BCD 45
0
要想计算出坝底BC的宽度，还应当测出 D 哪些数据？ A
60
0
45
0
B
C
测出AD的长和坝高， 或测出AB与AD的长； 或测出AD与DC的长
条件开放题
• 在上面的两个问题中，给出的条件 是不完备的，而且符合问题要求的 条件是不唯一的。要解决这些问题， 需要在使问题结论成立的众多可能 条件之中，添加一个或几个条件。 像这样的问题就是条件开放题。
开放性问题
数学开放题是指那些条件不完整，结论不确定， 解法不限制的数学问题。 它的显著特点：正确答案不唯一。
题型 条件开放 方法开放
结论开放
想一想
思考下面两个问题
（1）小明要设计一个摸牌游戏，从3帐扑克牌
中随机摸出2张牌。当3张牌的牌面数字满足什 么条件时，所摸出的2张牌牌面数字之和为奇 2 数的概率是 ？ 3 所选取的3张扑克牌，只要有2张牌牌面 数字为偶数，1张牌牌面数字为奇数； 或者2张牌牌面数字为奇数，1张牌牌面 数字为偶数；都能得到上面的结论。
(2)∠C=∠BDC (3)BC=BD (4)∠DBC=∠A
(5 )
DC
BC
D
(6)
BC DC
AB BC
B C
当堂训练
如图，用木条制作一个边长可以伸缩的四边形框架ABCD, 再用橡皮筋顺次连接各边的中点，得到四边形EFGH （1）当添加条件 AC⊥BD 时，四边形EFGH为矩形； （2）当添加条件 AC=BD 时，四边形EFGH为菱形； (3）当添加条件 AC⊥BD且AC=BD 时，四边形EFGH为 正方形； （（4）如果四边形ABCD为梯形，AB∥CD,那么再添加 条件 AD=BC 时，四边形EFGH为菱形。