(新)高中数学必修4三角函数常考题型：三角函数的诱导公式(一)

三角函数的诱导公式(一) 【知识梳理】
1．诱导公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．
如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α.
cos(π＋α)＝－cos_α.
tan(π＋α)＝tan_α.
2．诱导公式三
(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．
如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin_α.
cos(－α)＝cos_α.
tan(－α)＝－tan_α.
3．诱导公式四
(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．
如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sin_α.
cos(π－α)＝－cos_α.
tan(π－α)＝－tan_α.
【常考题型】 题型一、给角求值问题
【例1】 求下列三角函数值：
(1)sin(－1 200°)；(2)tan 945°；(3)cos 119π6
. [解] (1)sin(－1 200°)＝－sin 1 200°＝－sin(3×360°＋120°)＝－sin 120°＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32
； (2)tan 945°＝tan(2×360°＋225°)＝tan 225°＝tan(180°＋45°)＝tan 45°＝1；
(3)cos 119π6＝cos ⎝⎛⎭⎫20π－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫－π6＝cos π6＝32
. 【类题通法】
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
【对点训练】
求sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°的值．
解：sin 585°cos 1 290°＋cos(－30°)sin 210°＋tan 135°＝sin(360°＋225°)cos(3×360°＋210)＋cos 30°sin 210°＋tan(180°－45°)＝sin 225°cos 210°＋cos 30°sin 210°－tan 45°＝sin(180°＋
45°)cos(180°＋30°)＋cos 30°·sin(180°＋30°)－tan 45°＝sin 45°cos 30°－cos 30°sin 30°－tan 45°＝
22×32－32×12－1＝6－3－44
. 题型二、化简求值问题
【例2】 (1)化简：cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)
＝________； (2)化简sin (1 440°＋α)·cos (α－1 080°)cos (－180°－α)·sin (－α－180°)
.
(1)[解析] cos (－α)tan (7π＋α)sin (π－α)＝cos αtan (π＋α)sin α＝cos α·tan α
sin α＝sin α
sin α＝1.
[答案] 1
(2)[解] 原式＝sin (4×360°＋α)·cos (3×360°－α)cos (180°＋α)·[－sin (180°＋α)]＝sin α·cos (－α)(－cos α)·sin α＝cos α
－cos α＝－1.
【类题通法】
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
【对点训练】
化简：tan (2π－θ)sin (2π－θ)cos (6π－θ)
(－cos θ)sin (5π＋θ).
解：原式＝tan (－θ)sin (－θ)cos (－θ)
(－cos θ)sin (π＋θ)＝tan θsin θcos θ
cos θsin θ＝tan θ.
题型三、给角（或式）求值问题
【例3】 (1)已知sin β＝13，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值为( )
A ．1
B ．－1
C.13 D ．－13
(2)已知cos(α－55°)＝－13，且α为第四象限角，求sin(α＋125°)的值．
(1)[解析] ∵cos(α＋β)＝－1，
∴α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，
∴sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β]＝sin(π＋β)＝－sin β＝－13.
[答案] D
(2)[解] ∵cos(α－55°)＝－13<0，且α是第四象限角．
∴α－55°是第三象限角．
sin(α－55°)＝－1－cos 2(α－55°)＝－223
. ∵α＋125°＝180°＋(α－55°)，
∴sin(α＋125°)＝sin[180°＋(α－55°)]＝－sin(α－55°)＝
223
. 【类题通法】
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
【对点训练】
已知sin(π＋α)＝－13
，求cos(5π＋α)的值． 解：由诱导公式得，sin(π＋α)＝－sin α，
所以sin α＝13
，所以α是第一象限或第二象限角． 当α是第一象限角时，cos α＝ 1－sin 2α＝223， 此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝－223
. 当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－223
， 此时，cos(5π＋α)＝cos(π＋α)＝－cos α＝223
. 【练习反馈】
1.如图所示，角θ的终边与单位圆交于点P ⎝⎛⎭
⎫－55，255，则cos(π－θ)的值为( )
A ．－255
B ．－55
C.55
D.255
∴cos(π－θ)＝－cos θ＝5
5.
2．已知sin(π＋α)＝4
5，且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是( )
A ．－3
5 B.3
5
C ．±35 D.4
5
解析：选B sin α＝－4
5，又α是第四象限角，
∴cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝3
5.
3．设tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)
sin (－α)－cos (π＋α)＝________.
解析：∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，
∴原式＝－sin α－cos α
－sin α＋cos α＝－tan α－1－tan α＋1＝－m －1－m ＋1＝m ＋1
m －1. 答案：m ＋1
m －1
4.cos (－585°)
sin 495°＋sin (－570°)的值是________．
解析：原式＝cos (360°＋225°)
sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)
＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋
45°)
sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)
＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2
2
22＋12
＝2－2. 答案：2－2
5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π
6－α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋5π
6的值．
解：cos ⎝⎛⎭⎫π＋5π6＝－cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫α＋5π6＝
－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝－3
3.。