3 习题课
平行线判定习题课三
3.如图，已知：∠A＝∠1，∠C＝∠2。求证：AB∥CD。
2
鸡西市第十九中学初二数学组
4.如图：已知∠A=∠D，∠B=∠FCB，能否确定 ED 与 CF 的位置关系，请说明理 由。
5.已知：如图，
，
，且
. 求证：EC∥DF.
6.如图 10，∠1∶∠2∶∠3 = 2∶3∶4， ∠AFE = 出图中平行的直线，并说明理由．
鸡西市第十九中学初二数学组
鸡西市第十九中学学案 学科
时间
数学
课题
2012 年
平行线及其判定习题课
月 日
班级 课型
人教版
姓名 新课
七年级上
学习 目标 重点 难点
1．理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论． 2．掌握平行线的判定方法，能运用所学的“平行线的判定方法” ，判 定两条直线是否平行． 会运用平行线的三种判定方法解决问题. 灵活运用平行线的判定去推理证明. 学习内容
1．在同一平面内，______的两条直线叫做平行线．若直线 a 与直线 b 平行， 则记作______． 2．在同一平面内，两条直线的位置关系只有______、______． 3．平行公理是：______________________________________________． 4． 平行公理的推论是如果两条直线都与______， 那么这两条直线也______． 即 三条直线 a，b，c，若 a∥b，b∥c，则______． 5．平行线的判定方法： （1）文字叙述： ， ， ， （2）数学符号表示： 如图： （1）∵ ∴ （2） ）∵ ∴ （3）∵ ∴ = ∥ = ∥ = ∥ ， 。 ， 。 ， 。
3 4 2 b c 1 a
。 。 。
1
同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课
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求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
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定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当
高中人教A版数学必修4：习题课(三) Word版含解析
一、选择题1．对于非零向量ab 下列说法不正确的是( )A ．若a ＝b 则|a |＝|b |B ．若a ∥b 则a ＝b 或a ＝－bC ．若a ⊥b 则a ·b ＝0D ．a ∥b 与ab 共线是等价的答案：B解析：根据平面向量的概念和性质可知a ∥b 只能保证a 与b 的方向相同或相反但模长不确定因此B 错误．2．设向量ab 满足|a ＋b |＝10|a －b |＝6则a ·b ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．5答案：A解析：将已知两式左右两边分别平方得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋2a ·b ＋b 2＝10a 2－2a ·b ＋b 2＝6两式相减并除以4可得a ·b ＝1 3．设xy ∈R 向量a ＝(x 1)b ＝(1y )c ＝(2－4)且a ⊥cb ∥c 则|a ＋b |等于( )A 5B 10C ．2 5D ．10答案：B解析：∵a ⊥c ∴2x －4＝0x ＝2又b ∥c ∴2y ＋4＝0∴y ＝－2∴a ＋b ＝(x ＋11＋y )＝(3－1)． ∴|a ＋b |＝10 4．对于非零向量αβ定义一种向量积：α°β＝α·ββ·β已知非零向量ab 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2且a °bb °a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫ ⎪⎪n 2n ∈N 中则a °b ＝( ) A 52或32 B 12或32C ．1D 12答案：D解析：a °b ＝a ·b b ·b ＝|a |·|b |cos θ|b |2＝|a |cos θ|b |＝n 2n ∈N ①同理可得b °a ＝b ·a a ·a ＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ|a |＝m 2m ∈N ②再由a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2可得cos 2θ∈⎝⎛⎭⎫0，12①②两式相乘得cos 2θ＝mn 4mn ∈N ∴m ＝n ＝1∴a °b ＝n 2＝12选D 二、填空题7．若向量OA →＝(1－3)|OB →|＝|OA →|OA →·OB →＝0则|AB →|＝________答案：2 5解析：因为|AB →|2＝|OB →－OA →|2＝|OB →|2＋|OA →|2－2OA →·OB →＝10＋10－0＝20所以|AB →|＝20＝2 58．已知向量ab 满足|a |＝1|b |＝3a ＋b ＝(31)则向量a ＋b 与向量a －b 的夹角是________．答案：2π3解析：因为|a －b |2＋|a ＋b |2＝2|a |2＋2|b |2所以|a －b |2＝2|a |2＋2|b |2－|a ＋b |2＝2＋6－4＝4故|a －b |＝2因此cos 〈a －ba ＋b 〉＝(a －b )·(a ＋b )|a －b |·|a ＋b |＝1－34＝－12故所求夹角是2π3 9．设正三角形ABC 的面积为2边ABAC 的中点分别为DEM 为线段DE 上的动点则MB →·MC →＋BC →2的最小值为________． 答案：532 解析：设正三角形ABC 的边长为2a 因为正三角形ABC 的面积为2所以a 2＝233设MD ＝x (0≤x ≤a )则ME ＝a －xMB →·MC →＋BC →2＝(MD →＋DB →)·(ME →＋EC →)＋BC →2＝MD →·ME →＋MD →·EC →＋DB →·ME →＋DB →·EC →＋BC →2＝－x (a －x )＋xa cos120°＋(a －x )a cos120°＋a 2cos60°＋4a 2＝x 2－ax ＋4a 2当x ＝a 2时MB →·MC →＋BC →2取得最小值⎝⎛⎭⎫a 22－a ×a 2＋4a 2＝154a 2＝532三、解答题10．已知|a |＝4|b |＝8a 与b 的夹角是120°(1)求a ·b 及|a ＋b |的值；(2)当k 为何值时(a ＋2b )⊥(k a －b )?解：(1)a ·b ＝|a ||b |cos120°＝－16|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b＝4 3(2)由题意知(a ＋2b )·(k a －b )＝k a 2＋(2k －1)a ·b －2b 2＝0即16k －16(2k －1)－2×64＝0解得k ＝－711．如图在△OAB 中P 为线段AB 上一点且OP →＝xOA →＋yOB →(1)若AP →＝PB →求xy 的值；(2)若AP →＝3PB →|OA →|＝4|OB →|＝2且OA →与OB →的夹角为60°求OP →·AB →的值．解：(1)若AP →＝PB →则OP →＝12OA →＋12OB → 故x ＝y ＝12(2)若AP →＝3PB →则OP →＝14OA →＋34OB → OP →·AB →＝错误!·(错误!－错误!)＝－14OA →2－12OA →·OB →＋34OB →2 ＝－14×42－12×4×2×cos60°＋34×22 ＝－3能力提升12．已知A (10)B (5－2)C (84)D (46)那么四边形ABCD 为( )A ．正方形B ．菱形C ．梯形D ．矩形答案：D解析：AB →＝(4－2)BC →＝(36)．AB →·BC →＝4×3＋(－2)×6＝0故AB →⊥BC →又DC →＝(4－2)故 AB →＝DC →又|AB →|＝20＝2 5|BC →|＝45＝3 5故|AB →|≠|BC →|所以四边形ABCD 为矩形．13．在平面直角坐标系中已知三点A (40)B (t 2)C (6t )t ∈R O 为坐标原点．(1)若△ABC 是直角三角形求t 的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形求|OD →|的最小值．解：(1)由题意得AB →＝(t －42)AC →＝(2t )BC →＝(6－tt －2)若∠A ＝90°则AB →·AC →＝0即2(t －4)＋2t ＝0∴t ＝2；若∠B ＝90°则AB →·BC →＝0即(t －4)(6－t )＋2(t －2)＝0∴t ＝6±22；若∠C ＝90°则AC →·BC →＝0即2(6－t )＋t (t －2)＝0无解∴满足条件的t 的值为2或6±2 2(2)若四边形ABCD 是平行四边形则AD →＝BC →设点D 的坐标为(xy )即(x －4y )＝(6－tt －2)∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10－t y ＝t －2即D (10－tt －2) ∴|OD →|＝(10－t )2＋(t －2)2＝2t 2－24t ＋104∴当t ＝6时|OD →|取得最小值4 2。
随机过程及应用习题课三
随机过程及应用习题课三11. 设()cos ,X t A B t t =+-∞<<+∞，其中A 和B 为相互独立均服从(0,1)N 的随机变量.（1）证明{(),}X t t -∞<<+∞为正态过程；（2）求其一维、二维概率密度和一维、二维特征函数.2. 设{(),(,)}X t t ∈-∞+∞是均值函数为0，自相关函数()(,)/2X R s t s t s t =+-- 的正态过程，证明1()()Y t X t =，0t >，2()(),0Y t X t t =-≥是相互独立的正态过程。
3. 设0{()}W t +∞是参数为2σ的维纳过程，试证明1()0()0tW t W t tt ?>?'=??=?是参数为2σ的维纳过程。
4. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，证明12()()0t W t c W t c=?≥是参数为2σ的维纳过程。
5. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，证明2()()W t W t =-是参数为2σ的维纳过程。
6. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，证明3,0()()()0t W t W t a W a a ≥=+->是参数为2σ的维纳过程7. 设{(),0}W t t ≥是参数为2σ的维纳过程，令231()0()00t W t W t tt ?>?'=??=? （1）(){},0W t t '≥是否为正态过程；（2）(){},0W t t '≥是否为维纳过程。
8. 设{(),0}X t t ≥是具有零均值和协方差(,)C s t 的正态过程，则对于任意的非负数,s t 和τ，证明：（1）2[()](,)()E X t C t t D t ==；（2）222[()]2(,)2()D X t C t t D t ==；2（3）222cov((),())2(,)X s X t C s t =；（4）[()()](,)E X t X t C t t ττ+=+；（5）2[()()](,)(,)(,)D X t X t C t t C t t C t t ττττ+=++++；（6）cov[()(),()()](,)(,)(,)(,)X s X s X t X t C s t C s t C s t C s t ττττττ++=+++++ 9. 设{(),0}W t t ≥是参数24σ=的维纳过程，令(3)(1),(4)(2).X W W Y W W =-=-求：()D X Y +和cov(,).X Y10. 设0{()}W t +∞是为参数为2σ的Wiener 过程，求下列过程的均值函数和自相关函数。
高等数学第三章习题课答案
第三章 微分中值定理习题课一、判断题（每题3分）1.函数)(x f 在0x 点处可导，且在0x 点处取得极值，那么0)(0='x f .（ √ ）2.函数)(x f 在0x 点处可导，且0)(0='x f ，那么)(x f 在0x 点处取得极值.（ × ）3.若0x 是()f x 的极值点，则0x 是()f x 的驻点. ( × )4.函数()x f 在区间()b a ,内的极大值一定大于极小值 . ( × )5.若()0,(,)f x x a b ''>∈,则()f x '在(,)a b 内单调增加 .（ √ ）6.0()0f x '=且0()0f x ''<是函数()y f x =在0x 处取得极大值的充要条件. ( × )7.函数()arctan f x x x =的图形没有拐点. （ √ ）8.因为函数y =0x =点不可导，所以()0,0点不是曲线y =.（ × ）二、选择题（每题3分）1.下列函数中，在闭区间[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ D ）. A ．xe B ．ln x C ．x D ．21x - 2．对于函数()211f x x=+，满足罗尔定理全部条件的区间是（ D ）. （A ）[]2,0-；（B ）[]0,1；（C ）；[]1,2-（D ）[]2,2-3. 设函数()()()12sin f x x x x =--，则方程()0f x '=在 (0,)π内根的个数（ D ）(A) 0个 ; (B)至多1个; (C) 2个; (D)至少3个.4．已知函数3()2f x x x =+在区间[0,1]上满足拉格朗日中值定理的条件，使得该定理成立的ξ=（ D ）.（A ）13 （B （C ）12 （D 5.若函数)(),(x g x f 在区间),(b a 上的导函数相等，则该两函数在),(b a 上（ C ）. A.不相等 B .相等 C.至多相差一个常数 D.均为常数6.arcsin y x x =- 在定义域内( B ).A. 单调减函数B.单调增函数C. 有单调增区间也有单调减区间D. 没有单调性7. 函数2129223-+-=x x x y 的单调减少区间是 （ C ）. （A ）),(+∞-∞ （B ）)1,(-∞（C ）)2,1(（D ）),2(+∞8．设(),a b 内()0f x ''>，则曲线()y f x =在(),a b 内的曲线弧位于其上任一条切线的（ A ）. （A ）上方;（B ）下方; （C ）左方; （D ）右方.9.曲线32y ax bx =+的拐点为(1,3)，则 （ A ）. （A ）3,30a b a b +=+= （B ）0,30a b a b +=+= （C ）2,320a b a b +=+=（D ）0,340a b a b +<+=10. 设函数()y f x =在开区间(,)a b 内有()'0f x <且()"0f x <，则()y f x =在(,)a b 内（ C ）A.单调增加，图像是凹的B.单调减少，图像是凹的C.单调减少，图像是凸的D. 单调增加，图像是凸的11．函数2y ax c =+在区间()0,+∞内单调增加，则a 和c 应满足（ C ）.（A ）0a <且0c =； （B ）0a >且c 是任意实数； （C ）0a <且0c ≠；（D ）0a <且c 是任意实数.12． 函数23++=x x y 在其定义域内（ B ） （A ）单调减少 (B) 单调增加 (C) 图形是凹的(D) 图形是凸的13．若()()00,x f x 为连续曲线()y f x =上凹弧与凸弧的分界点，则（ A ）. （A ）()()00,x f x 必为曲线的拐点; （B ）()()00,x f x 必为曲线的驻点; （C ）0x 点必为曲线的极值点;（D ）0x x =必为曲线的拐点.14.函数()2ln f x x x =-的驻点是（ B ）.（A ）1x = （B ）12x =（C ）(1,2) (D) 1(,1ln 2)2+15．函数2ln(1)y x x =-+的极值（ D ）. A ．是1ln 2-- B ．是0D．不存在 C．是1ln216.设()[0,1]()f x x f x ''=在上有＜0，则下述正确的是（ A ）( A ) (1)f '＜)0()1(f f -＜(0)f '; ( B ) (0)f '＜)0()1(f f -＜(1)f '; ( C ) (1)f '＜(0)f '＜)0()1(f f -; ( D ) (0)f '＜(1)f '＜)0()1(f f -17.设()f x 具有二阶连续的导数，且20()lim3,ln(1)x f x x →=-+则(0)f 是()f x 的（ A ）（A ）极大值； （B ）极小值; （C ）驻点; （D ）拐点.18.设函数()y f x =在0x x =处有()0f x '=0,在1x x =处导数不存在，则( C ). A. 0x x =,1x x =一定都是极值点 B.只有0x x =可以是极值点C. 0x x =, 1x x =都可能不是极值点D. 0x x =,1x x =至少有一个是极值点三、解答题（求极限每题4分其余每题 8分） 1．求极限220000011sin sin 1cos 2(1)lim lim lim lim lim 0sin sin 22→→→→→---⎛⎫-===== ⎪⎝⎭x x x x x x x x x x x x x x x x x x （2）11lim 1ln x xx x →⎛⎫⎪⎝⎭-- =()()11ln 1ln 11limlim 11ln ln x x x x x x x x x x x→→--+-=--+11ln ln 11limlim ln 1ln 22x x x x x x x x x →→+===+-+0(3)11lim 1→⎛⎫ ⎪⎝⎭--x x x e 01lim (1)→--=-xx x e x x e 0011lim lim 12xxx x x x x x x e e e xe e e xe →→-===-+++ （4）200011ln(1)ln(1)lim()lim lim ln(1)ln(1)x x x x x x x x x x x x →→→-+-+-==++0011111limlim lim 22(1)2(1)2x x x x x x x x x →→→-+====++20sin (5)limtan →-x x xx x 2200sin 1cos lim limtan 3x x x x x x x x →→--==0sin 1lim 66x x x →==222201(6)lim(1)→---x x x e xx e 22401lim→--=x x e xx 2232002211lim lim 42x x x x xe x e x x →→--==12=2223220000tan tan sec 1tan 1(7)lim lim lim lim ln(1)333→→→→---====+x x x x x x x x x x x x x x x1ln 1(8)lim cot →+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x arc x 1lim cot →+∞=x x arc x 222211lim lim 111x x x x x x x →+∞→+∞-+===+-+sin sin cos (9)limlim cos 1→→-==-x a x a x a xa x a22200021sec 77ln tan 7tan 2sec 77tan 7(10)lim lim lim 11ln tan 2tan 7sec 22sec 22tan 2+++→→→⋅⋅⋅===⋅⋅⋅x x x x x x x x x x x x x(11)lim arctan 2→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭x x x π22221arctan 12lim limlim 1111→+∞→+∞→+∞--+====+-x x x x x x x xxπ2lim ln(arctan )2(12)lim arctan →+∞→+∞⎛⎫= ⎪⎝⎭x xx x x x e ππ2lim ln(arctan )→+∞x x x π222211ln arctan lnln arctan arctan 1limlimlim 111→+∞→+∞→+∞+⋅+===-x x x x x x x xxxππ2222lim 1x x x ππ→+∞=-=-+ 22lim arctan -→+∞⎛⎫∴= ⎪⎝⎭xx x e ππ .()tan 21(13)lim 2→-x x x π解：()()()11sin ln 22limlim tan ln 2cos tan 2221lim 2x x x x x x xx x x eeππππ→→--→-==1122sinlim22x xx e eπππ→---⋅==tan 0(14)1lim +→⎛⎫⎪⎝⎭xx x 0011lim tan lnlim ln++→→⋅⋅==x x x x xxee2001110ln limlim1x x x xx xe ee++→→---====2． 验证罗尔中值定理对函数32452y x x x =-+-在区间[]0,1上的正确性.解：()f x 在闭区间[]0,1上连续，在开区间()0,1内可导，()()012f f ==-满足罗尔定理条件.（3分）令()2121010f x x x '=-+=，得()0,1x =，满足罗尔定理结论.3． 试证明对函数2y px qx r =++应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明：在区间[],a b 上，()()()f b f a f b aξ-'=- 代入：()()222pb qb r pa qa r p q b aξ++-++=+-解得：2a bξ+=. 4． 证明方程531xx -=在()1,2之间有且仅有一个实根．证明：令()531f x x x =--，()11310f =--<， ()522610f =-->所以 ()0f x =在()1,2上至少一个根，又()4'53f x x =-，当()1,2x ∈时()'0f x >，所以单增，因此在()1,2上至多有一个根.()0f x =在()1,2上有且仅有一个根.5． 设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一个(,)a b ξ∈，使得()()0f f ξξ'+=. 提示:令()()x F x e f x =证明：令()()xF x e f x =，显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导， 且()()()()x F x e f x f x ''=+ （3分）由Larange 中值定理，则至少(,)a b ξ∈，使得()()()F b F a F b aξ-'=-又()()0f a f b == ∴()()0f f ξξ'+=6． 设()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，且()0f a =，证明存在一点(0,)a ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=.提示:令 ()()F x xf x =.证明：构造辅助函数()()F x xf x =， ()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a内可导∴()F x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，()()()F x f x xf x ''=+且(0)()0F F a ==由Rolle 定理，至少(0,)a ξ∃∈，有()0F ξ'= 即()()0f f ξξξ'+=7． 证明：不论b 取何值，方程033=+-b x x 在区间[]1,1-上至多有一个实根证：令()()()()323,33311f x x x b f x x x x '=-+=-=+-()1,1x ∈-时，0,,f f'<故()f x 在区间[]1,1-上至多有一个实根.8． 证明：当1x >时，xe x e >⋅.证明: 令()xf x e x e =-⋅，显然()f x 在[1,]x 上满足Lagrange 中值定理的条ξ∈，使得件，由中值定理，至少存在一点(1,)x()(1)(1)()(1)()f x f x f x e e ξξ'-=-=--即()(1)0f x f >=又即x e x e >⋅9． 证明：当0x >时，112x +>证：()()111022f x x f x '=+==>()()00f x f >=,即有112x +>10． 求证：1,(0,)>+∈+∞xex x证明：令()1,,[0,)xf x e x x =--∈+∞当(0,)x ∈+∞时，()10x f x e '=->故在区间[0,)+∞上，()f x 单调递增从而当(0,)x ∈+∞时，()(0)0f x f >=即1x e x >+或者：证明：()221112!2xf e e x x x x x ξξ''=++=++>+……8分11． 当1>x 时，证明：13>-x. 答案参看课本p148 例6 12． 证明：当0x >时， ln(1).1xx x x<+<+ 答案参看课本P132 例1 13． 设0,1a b n >>>， 证明:11()()n n n n nba b a b na a b ---<-<-.证明：令()nf x x =，显然()f x 在[,]b a 上满足lagrange 定理条件，故至少存在一点(,)b a ξ∈，使得()()()()f a f b f a b ξ'-=- 即1()n n n a b n a b ξ--=-又由b a ξ<<及1(1)n n n ξ->的单增性，得11()()n n n n nba b a b na a b ---<-<-14． 设0a b >>，证明：ln a b b a ba a b--<< 证明：令()ln f x x =，在区间[],b a 上连续，在区间(,)b a 内可导，有拉格朗日中值定理，至少存在一点(),b a ξ∈，使得1ln ln ()a b a b ξ-=-，又因为1110,a b ξ<<<因此，ln a b a a ba b b--<<. 15． 证明恒等式()arcsin arccos ,112x x x π+=-≤≤.证：令()arcsin arccos f x x x =+ 则()f x 在[]1,1-上连续.在()1,1-内有:()0,f x f C '=≡≡令0,,arcsin arccos 22x C x x ππ==+=在()1,1-内成立.再根据()f x 在[]1,1-上的连续性,可知上式在[]1,1-上成立.16． 求函数2y x =的极值点和单调区间. 解：132(1)y x-'=-因此，2y x =在定义域(,)-∞+∞内有不可导点10x =和驻点21x =17． 求函数32535y x x x =-++的单调区间，拐点及凹或凸的区间. 解：23103y x x '=-+,易得函数的单调递增区间为1(,)(3,)3-∞+∞,单调减区间1(,3)3.610y x ''=-,令0y ''=，得53x =. 当53x -∞<<时，0y ''<，因此曲线在5(,]3-∞上是凸的；当53x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在5[,)3+∞上是凹的，故520(,)327是拐点18． 试确定,,a b c 的值，使曲线32y x ax bx c =-++在（1,1-）为一拐点，在0x =处有极值，并求曲线的凹凸区间.解：232y x ax b '=-+ 62y x a ''=-(1,1)-为拐点，则062a =- 3a ∴=由0y '=，则2360x x b -+= , 代入0x =，则0b =.11,1a b c c -++=-=曲线为3231y x x =-+, 66y x ''=-. 凸区间为(,1)-∞-, 凹区间为(1,)+∞.19． 求函数()7ln 124-=x x y 的单调区间，拐点及凹或凸的区间.解： 34314(12ln 7)124(12ln 4)y x x x x x x'=-+⋅⋅=-， 易得函数的单调递增区间为13(,)e +∞,单调减区间13(0,)e . ()232112(12ln 4)412144ln 0y x x x x x x x''=-+⋅⋅=>， 令0y ''=，得1x =.当01x <<时，0y ''<，因此曲线在(0,1]上是凸的；当1x <<+∞时，0y ''>，因此曲线在[1,)+∞上是凹的，故(1,7)-是拐点 20． 求函数arctan xy e=的单调区间，拐点及凹或凸的区间．解：arctan 211x y e x '=⋅+>0,因此单调增区间是R , arctan arctan arctan 2222221212(1)(1)(1)xx x x x y e e e x x x ⎡⎤⎡⎤-''=+-=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦， 令0y ''=，得12x =. 当12x -∞<<时，0y ''>，因此曲线在1(,]2-∞上是凹的； 当12x <<+∞时，0y ''<，因此曲线在1[,)2+∞上是凸的，故1arctan 21(,)2e是拐点 21． 求函数1234+-=x x y 的拐点和凹凸区间. 解：3246y x x '=- 2121212(1)y x x x x ''=-=- 令0y ''=，得10x =，21x = 列表 （4分）22． 求函数32391=+-+y x x x 的极值.解：2'3693(1)(3)y x x x x =+-=-+ ''66y x =+ 令0'=y 得驻点：121,3x x ==-.当21x =时，''0,y >取得极小值，其值为4-. 当33x =-时，''0y <，取得极大值，其值为28.23． 求函数23(1)1=-+y x 的极值.解： 226(1)y x x '=-22226(1)24(1)y x x x ''=-+-令0y '=，得1231,0,1x x x =-==(0)60y ''=>，故20x =是极小值点.(1)0y ''±=， 无法用第二充分条件进行判定.在11x =-的附近的左右两侧取值均有0y '<，故11x =-不是极值点. 在21x =的附近的左右两侧取值均有0y '>，故21x =不是极值点. 极小值(0)0y =24． 求函数32(1)(23)=-+y x x 的极值点和单调区间.解：22323(1)(23)4(1)(23)(1)(23)(105)0y x x x x x x x '=-++-+=-++=所以，驻点11x =，232x =-，312x =- 列表∴()f x 在32x =-处取得极大值3()02f -= ()f x 在12x =-处取得极小值127()22f -=- 单调递增区间31(,],[,)22-∞--+∞，单调递增区间31[,]22-- 25． 试问a 为何值时，函数1()sin sin 23=+f x a x x 在3π处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解：2()cos cos23f x a x x '=+()f x在3π处取得极值22121()coscos 03333232f a a πππ'∴=+=⋅-⋅= 23a ∴=即 ()2()cos cos 23f x x x '=+ ()2()sin 2sin 23f x x x ''∴=--222()sin 2sin 2033333f πππ⎛⎫''∴=--=-⋅+< ⎪⎝⎭⎝⎭所以它是极大值，极大值为212()sin sin 33333f πππ∴=+=26． 求函数3223y x x =-在区间[]1,4上的最大值与最小值.解：212660,0,1y x x x x '=-===(舍去x =)()()11,480,f f =-=，故最大值为80，最小值为－1.27．、某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌20m 长的墙壁.问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？解：设小屋长 x m ，宽 y m ，220,102xx y y +==-.2101022x x S x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，100,10S x x '=-==故小屋长10米，宽5米时，面积最大.28.某厂每批生产产品x 单位的总费用为()5200C x x =+（元）， 得到的收入是()2100.01R x x x =-（元）.问每批生产多少个单位产品时总利润()L x 最大？解：()()()22100.0152000.015200L x x x x x x =--+=-+-()0.0250,250L x x x '=-+==（单位）()0.020L x ''=-<，故250x =单位时总利润最大.-----精心整理，希望对您有所帮助!。
人教版(2019)高中物理必修三第九章习题课 电场力的性质
习题课 电场力的性质1．电场力公式(1)F ＝Eq (适用于一切电场)(2)F ＝k q 1q 2r 2(适用于真空中静止两点电荷)2．电场强度的计算公式(1)E ＝Fq(电场强度的定义式，适用于一切电场)(2)E ＝k Qr 2(点电荷的电场强度公式，只适用于点电荷的电场)3．电场线 (1)电场线的特点①电场线从正电荷或无限远出发，终止于无限远或负电荷； ②电场线在电场中不相交；③电场强度大的地方电场线较密，电场强度小的地方电场线较疏． (2)电场线描述电场①电场线的疏密描述电场的强弱；②电场线的切线方向即是该点电场强度的方向．类型一 等量电荷电场的分析(2020·华南师大附中高二检测)如图所示，一电子沿等量异种电荷的中垂线由A →O →B 匀速飞过，电子重力不计，则电子除受电场力外，所受的另一个力的大小和方向变化情况是( )A ．先变大后变小，方向水平向左B ．先变大后变小，方向水平向右C ．先变小后变大，方向水平向左D ．先变小后变大，方向水平向右[解析] 等量异种电荷电场线分布如图甲所示，由图中电场线的分布可以看出，从A 点到O 点，电场线由疏到密；从O 点到B 点，电场线由密到疏，所以沿点A 、O 、B ，电场强度应先由小变大，再由大变小，方向为水平向右．由于电子做匀速直线运动，所受合外力必为零，故另一个力应与电子所受电场力大小相等、方向相反，电子受到电场力方向水平向左，且沿点A、O、B运动的过程中，电场力由小变大，再由大变小，故另一个力的方向应水平向右，其大小应先变大后变小，如图乙所示，故选B．[答案] B两个等量点电荷的叠加电场的特点(1)等量同种点电荷的电场①两点电荷连线上，中点处电场强度为零，向两侧电场强度逐渐增大．②两点电荷连线的中垂线上由中点到无限远，电场强度先变大后变小．(2)等量异种点电荷的电场①两点电荷连线上，沿电场线方向电场强度先变小再变大，中点处电场强度最小．②两点电荷连线的中垂线上电场强度方向都相同，总与中垂线垂直且指向负点电荷一侧．沿中垂线从中点到无限远处，电场强度一直减小，中点处电场强度最大．(多选)如图所示，A、B为两个固定的等量正点电荷，在它们连线的中点处有一个可以自由运动的正点电荷C，现给电荷C一个垂直于连线的初速度v0，若不计电荷C所受的重力，则关于电荷C运动过程中的速度和加速度情况，下列说法正确的是()A．加速度始终增大B．加速度先增大后减小C．速度始终增大，最后趋于无穷大D．速度始终增大，最后趋于某一有限值解析：选BD．由电场的叠加原理，AB中垂线上由C向上电场强度为先增大后减小，故电荷C所受电场力向上先增大后减小，所以C的加速度先增大后减小，但速度始终增大，且有一有限值，可知B、D正确．类型二 求解电场强度的“巧法”如图所示选项中的各14圆环大小相同，所带电荷量已在图中标出，且电荷均匀分布，各14圆环间彼此绝缘．坐标原点O 处电场强度最大的是( )[解析] 每个14圆环在O 点产生的电场强度大小相等，设为E .根据电场的叠加原理和对称性，得A 、B 、C 、D 各图中O 点的电场强度分别为E A ＝E 、E B ＝2E 、E C ＝E 、E D ＝0，故B 正确．[答案] B要善于利用对称观点，如无穷大平面导体表面感应电荷产生的电场，是关于表面对称分布的，即对称的两个位置的电场强度等大、反向．【针对训练】1．如图所示，一个均匀的带电圆环，所带电荷量为＋Q ，半径为R ，放在绝缘水平桌面上．圆心为O 点，过O 点作一竖直线，在此线上取一点A ，使A 到O 点的距离为R ，在A 点放一检验电荷＋q ，则＋q 在A 点所受的库仑力为( )A ．kQqR 2，方向向上B ．2kQq4R 2，方向向上 C ．kQq4R2，方向水平向左D ．不能确定解析：选B ．先把带电圆环分成若干个小部分，每一小部分可视为一个点电荷，各点电荷对检验电荷的库仑力在水平方向上的分力相互抵消，竖直方向上的分力大小为kqQ cos 45°(2R )2＝2kQq4R 2，方向向上，故选B ． 2．如图所示，一半径为R 的圆盘上均匀分布着电荷量为Q 的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c 的轴线上有a 、b 、d 三个点，a 和b 、b 和c 、c 和d 间的距离均为R ，在a 点处有一电荷量为q (q >0)的固定点电荷．已知b 点处的电场强度为零，则d 点处电场强度的大小为(k 为静电力常量)( )A ．k 3q R 2B ．k 10q 9R 2C ．k Q ＋q R2D ．k 9Q ＋q 9R 2解析：选B ．由b 点处的合电场强度为零可得圆盘在b 点处的电场强度与点电荷q 在b 点处的电场强度大小相等、方向相反，所以圆盘在b 点处的电场强度大小为E b ＝k qR 2，再根据圆盘电场强度的对称性和电场强度叠加即可得出d 点处的电场强度为E d ＝E b ＋k q(3R )2＝k 10q9R2，B 正确． 类型三 库仑力作用下带电体的平衡1．库仑力具有力的一切性质，可以与其他力合成、分解，两点电荷间的库仑力是一对作用力和反作用力，遵从牛顿第三定律．2．共点力的平衡条件：物体所受外力的合力为零，即F 合＝0或⎩⎪⎨⎪⎧F x ＝0F y ＝0.3．处理平衡问题常用的数学知识和方法有直角三角形、相似三角形和正交分解法． 4．选取研究对象时，要注意整体法和隔离法的灵活运用．(2018·11月浙江选考)电荷量为4×10－6 C 的小球绝缘固定在A 点，质量为0.2 kg 、电荷量为－5×10－6 C 的小球用绝缘细线悬挂，静止于B 点．A 、B 间距离为30 cm ，AB 连线与竖直方向夹角为60°.静电力常量为9.0×109 N ·m 2/C 2，小球可视为点电荷．下列图示正确的是(g 取10 N/kg) ( )[解析] 两球之间的库仑力为F ＝k q A q Br 2＝9.0×109×4×10－6×5×10－60.32N ＝2 N ，小球B受到的重力大小为G B ＝2 N ，且F 与竖直方向夹角为60°，F ＝G B ，故小球B 受到的库仑力、重力以及细线的拉力，组成的矢量三角形为等边三角形，所以细线与竖直方向的夹角为60°，B 正确．[答案] B当三力平衡时，能组成一个封闭的矢量三角形，再结合一个角为60°的等腰三角形为等边三角形即可求解．如图所示，所带电荷量分别为＋q 和＋4q 的两点电荷A 、B ，相距L ，问：(1)若A 、B 固定，在何处放置点电荷C ，才能使C 处于平衡状态？ (2)在(1)中的情形下，C 的电荷量和电性对C 的平衡有影响吗？(3)若A 、B 不固定，在何处放一个什么性质的点电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？[解析] (1)由平衡条件，对C 进行受力分析，C 应在AB 的连线上且在A 、B 之间，设C 与A 相距r ，则k ·q ·q C r 2＝k ·4q ·q C(L －r )2 解得：r ＝L3.(2)在(1)中的位置处，不论C 为正电荷还是负电荷，A 、B 对其作用力的合力均为零，故C 的电荷量大小和电性对其平衡无影响．(3)若将C 放在A 、B 电荷两边，A 、B 对C 同为向左(或向右)的力，C 都不能平衡；若将C 放在A 、B 之间，C 为正电荷，则A 、B 都不能平衡，所以C 为负电荷．设放置的点电荷的电荷量大小为Q ，与A 相距r 1，分别对A 、B 受力分析，根据平衡条件，对电荷A ：有k ·4q ·q L 2＝kQ ·qr 21对电荷B ：有k ·4q ·q L 2＝kQ ·4q (L －r 1)2联立可得：r 1＝L 3，Q ＝49q (负电荷)即应在AB 连线上且在A 的右边，与点电荷A 相距L 3处放置一个电荷量为49q 的负电荷．[答案] 见解析(1)同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零，根据平衡条件可得，电荷间的关系为：“两同夹异”“两大夹小”“近小远大”．(2)对于三个自由电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必再对第三个电荷列平衡方程．【针对训练】1．(2019·高考全国卷Ⅰ)如图，空间存在一方向水平向右的匀强电场，两个带电小球P 和Q 用相同的绝缘细绳悬挂在水平天花板下，两细绳都恰好与天花板垂直，则( )A ．P 和Q 都带正电荷B ．P 和Q 都带负电荷C ．P 带正电荷，Q 带负电荷D ．P 带负电荷，Q 带正电荷解析：选D ．对P 、Q 整体进行受力分析可知，在水平方向上整体所受电场力为零，所以P 、Q 必带等量异种电荷，A 、B 错误；对P 进行受力分析可知，匀强电场对它的电场力应水平向左，与Q 对它的库仑力平衡，所以P 带负电荷，Q 带正电荷，D 正确，C 错误．2．(多选) (2020·江苏启东中学高二检测)有两个带有等量异种电荷的小球，用绝缘细线相连后悬起，并置于水平方向的匀强电场中，如图所示．当两小球都处于平衡时不可能的位置是选项中的( )解析：选BCD．若把两小球和两球之间的连线看成一个整体，因为两球所带电荷是等量异种电荷，所以两小球在水平方向上所受电场力的合力为零，竖直方向只受两球的重力和上段细线的拉力，重力竖直向下，所以上段细线的拉力必须竖直向上，则答案为B、C、D．1．(多选)用电场线能很直观、很方便地比较电场中各点电场强度的大小．如图甲是等量异种点电荷形成电场的电场线，图乙是场中的一些点：O是电荷连线的中点，E、F是连线中垂线上相对O对称的两点，B、C和A、D也相对O对称．则()A．B、C两点电场强度大小和方向都相同B．A、D两点电场强度大小相等，方向相反C．E、O、F三点比较，O点电场强度最小D．B、O、C三点比较，O点电场强度最小解析：选AD．根据等量异种点电荷的电场特点可知：两电荷连线上各点的电场强度方向向右且大小关于O点对称，中点电场强度最小，向两侧电场强度逐渐增大．两电荷连线中垂线上各点的电场强度方向相同，都向右，且大小关于O点对称，中点电场强度最大，向两侧电场强度逐渐减小，故A、D正确．2．(多选)如图所示，质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2的两小球，分别用绝缘轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别为α和β(α>β)，两小球恰在同一水平线上，那么()A．两球一定带异种电荷B ．q 1一定大于q 2C ．m 1一定小于m 2D ．m 1所受的库仑力一定大于m 2所受的库仑力解析：选AC ．由于两带电小球相互吸引，所以一定带异种电荷，A 正确．设轻丝线与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件可得两球之间的库仑力F ＝mg tan θ，因此m 1g <m 2g ，即m 1<m 2，C 正确．3．如图所示，A 、B 是两个带等量同种电荷的小球，A 固定在竖直放置的10 cm 长的绝缘支杆上，B 静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A 等高，若B 的质量为30 3 g ，则B 所带电荷量是多少？(取g ＝10 m/s 2)解析：因为B 静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A 等高，设A 、B 之间的水平距离为L ，绝缘支杆的长度为h .依据题意可得：tan 30°＝h L，L ＝h tan 30°＝1033cm ＝10 3 cm对B 进行受力分析如图所示，依据物体平衡条件解得库仑力 F ＝mg tan 30°＝303×10－3×10×33N ＝0.3 N 依据F ＝k q 1q 2r 2得：F ＝k q 2L 2解得：q ＝FL 2k＝0.39×109×103×10－2 C ＝1.0×10－6 C ．答案：1.0×10－6 C4.如图所示，竖直放置的两块足够大的带电平行板间形成一个方向水平向右的匀强电场区域，电场强度E ＝3×104 N/C ．在两板间用绝缘细线悬挂一个质量m ＝5×10－3 kg 的带电小球，静止时小球偏离竖直方向的角度θ＝60°.g 取10 m/s 2.试求：(1)小球的电性和电荷量；(2)若小球静止时离右板d ＝53×10－2m ，剪断悬线后，小球经多长时间碰到右极板？ 解析：(1)因为小球静止，即受力平衡，所以小球带正电荷，小球受力分析如图所示．由平衡条件有qE ＝mg tan θ解得q ＝533×10－6 C ．(2)剪断细线后，小球在水平方向做初速度为零的匀加速直线运动． a x ＝qE m ，d ＝12a x t 2解得t ＝0.1 s. 答案：(1)正电荷533×10－6 C (2)0.1 s。
物理化学第三章习题课
热到600K，求此过程的Q、W、U、H、 S、 G。已知此理想气体300K时的 Sm=150.0J·K－1 ·mol－1，
cp,m=30.00 J·K－1 ·mol－1。
例3: l mol单原子理想气体由始态(273K，p ) 经由下列两个途径到达终态( T2，p /2)： (l)可逆绝热膨胀；(2)反抗p /2的外压绝热 膨胀．试分别求出T2，W，Sm和Gm．并 回答能否由Gm来判断过程的方向? 已知S (273K)=100J ·K-1·mol-1。
例5：有关金刚石和石墨在298K时 的热力学数据如下表所示：
金刚石
石墨
cHmq/(kJ·mol-1) Smq/(J·K-1·mol-1)
密度/kg·dm-3
-395.3 2.43 3.513
-393.4 5.69 2.260
求：(1) 298K时，由石墨转化为金刚石的rGmq； (2) 298Ｋ时，由石墨转化为金刚 Nhomakorabea的最小压力。
例1:水的蒸汽压与温度之间可用如下关系式表 示：
•
lg (p/Pa) ＝－A/T＋B
已知水在77℃时的饱和蒸汽压为41.891kPa，
在100℃时的饱和蒸汽压为101.325kPa
求： (1)常数A，B的值以及水的摩尔蒸发焓；
(2)在多大压力下水的沸点可以改变为101℃；
例2:. 1mol 理想气体从300K ,100kPa下恒压加
例4：苯的正常沸点为353K，摩尔汽化焓 为30.77kJ•mol-1， 现将353K，101.325kPa 下的1摩尔液态苯向真空等温蒸发为同温同 压的苯蒸汽(设为理想气体)。
(1)．计算该过程苯吸收的热量和做的功； (2)．求过程的 ⊿G和⊿S； (3)．求环境的熵变； (4)．可以使用何种判据判断过程的性质。
新教材高中数学习题课三成对数据的统计分析新人教A版选择性必修第三册
习题课（三） 成对数据的统计分析一、选择题1．在建立两个变量y 与x 的回归模型时,分别选择了4个不同的模型,它们的R 2如下,其中拟合得最好的模型为( )A ．模型1的R 2为0.75 B ．模型2的R 2为0.90 C ．模型3的R 2为0.25D ．模型4的R 2为0.55解析：选B R 2的值越大,意味着残差平方和越小,也就是说拟合效果越好．2．对两个变量y 和x 进行回归分析,得到一组样本数据：(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),则下列说法中不正确的是( )A ．由样本数据得到的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －,y －) B ．残差平方和越小的模型,拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果,R 2的值越小,说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.936 2,则变量y 与x 之间具有线性相关关系 解析：选C R 2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好． 3．对两个变量y 与x 进行回归分析,分别选择不同的模型,它们的相关系数r 如下,其中拟合效果最好的模型是( )A ．模型Ⅰ：相关系数r 为0.96B ．模型Ⅱ：相关系数r 为－0.81C ．模型Ⅲ：相关系数r 为－0.53D ．模型Ⅳ：相关系数r 为0.35 解析：选A |r |越大,拟合效果越好．4．关于残差和残差图,下列说法正确的是( ) A ．残差就是随机误差 B ．残差图的横坐标是残差C ．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越高D ．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄,说明模型拟合精度越低解析：选C 根据残差分析的概念可知,C 选项正确．残差是真实值减去估计值． 5．(2020·全国卷Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x (单位：°C)的关系,在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验,由实验数据(x i ,y i )(i ＝1,2,…,20)得到下面的散点图：由此散点图,在10°C 至40°C 之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋bx 2C ．y ＝a ＋b e xD ．y ＝a ＋b ln x解析：选D 用光滑的曲线把图中各点连接起来,由图象的大致走向判断,此函数应该是对数函数类型的,故应该选用的函数模型为y ＝a ＋b ln x .6．根据如下所示的列联表得到如下四个判断：①根据小概率值α＝0.001的独立性检验,认为患肝病与嗜酒有关；②根据小概率值α＝0.01的独立性检验,认为患肝病与嗜酒有关；③没有证据显示患肝病与嗜酒有关.患病状况 饮酒习惯合计 嗜酒(Y ＝0) 不嗜酒(Y ＝1)患肝病(X ＝0) 7 775 42 7 817 未患肝病(X ＝1)2 099 49 2 148 合计9 874919 965其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．0 解析：选B 根据列联表中的数据,经计算得到 χ2＝9 965×7 775×49－42×2 09927 817×2 148×9 874×91≈56.632,由56.632>10.828>6.635.且P (χ2≥10.828)≈0.001,P (χ2≥6.635)≈0.01. 所以①②均正确． 二、填空题7．调查某地若干户家庭的年收入x (单位：万元)和年饮食支出y (单位：万元)显示,年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系,并由调查数据得到y 对x 的经验回归方程y ^＝0.254x ＋0.321.由经验回归方程可知,家庭年收入每增加1万元,年饮食支出平均增加________万元．解析：由经验回归方程y ^＝0.254x ＋0.321,知x 每增加1,y 增加0.254.答案：0.2548．某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归方程为y ^＝0.67x ＋54.9.零件数x (个) 10 203040 50 加工时间y (min) 62758189现发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为________． 解析：由表知x ＝30,设模糊不清的数据为m , 则y ＝15(62＋m ＋75＋81＋89)＝307＋m5,因为y ＝0.67x ＋54.9, 即307＋m5＝0.67×30＋54.9,解得m ＝68. 答案：689．假设关于某设备的使用年限x (单位：年)和所支出的维修费用y (单位：万元)有如下的统计资料：x /年 2 3 4 5 6 y /万元2.23.85.56.57.0若由资料可知y 对x 呈线性相关关系,且经验回归方程为y ＝a ＋b x ,其中已知b ^＝1.23,请估计使用年限为20年时,维修费用约为________万元．解析：由表中数据可知, x －＝2＋3＋4＋5＋65＝4,y －＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋7.05＝5.∵经验回归直线一定经过点(x －,y －), ∴5＝a ^＋1.23×4,∴a ^＝0.08, ∴经验回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08.故估计使用年限为20年时,维修费用约为y ＝1.23×20＋0.08＝24.68(万元)． 答案：24.68 三、解答题10．2020年某市开展了“寻找身边的好老师”活动,市六中积极行动,认真落实,通过微信关注评选“身边的好老师”,并对选出的五位“好老师”的班主任的工作年限和被关注数量进行了统计,得到如下数据：班主任工作年限x (单位：年)4681012被关注数量y (单位：百人)10 20 40 60 50(1)若“好老师”的被关注数量y 与其班主任的工作年限x 满足经验回归方程,试求经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^,并就此分析：“好老师”的班主任工作年限为15年时被关注的数量；(2)若用y i x i(i ＝1,2,3,4,5)表示统计数据时被关注数量的“即时均值”(四舍五入到整数),从“即时均值”中任选2组,求这2组数据之和小于8的概率．解：(1)因为x －＝8,y －＝36,所以b ^＝40＋120＋320＋600＋600－5×8×3616＋36＋64＋100＋144－5×82＝6, a ^＝36－6×8＝－12,所以y ^＝6x －12.当x ＝15时,y ^＝6×15－12＝78(百人)．(2)这5次统计数据,被关注数量的“即时均值”分别为3,3,5,6,4.从5组“即时均值”任选2组,共有C 25＝10种情况,其中2组数据之和小于8为(3,3),(3,4),(3,4)共3种情况,所以这2组数据之和小于8的概率为310.11．“双十一”已经成为网民们的网购狂欢节,某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查,用随机抽样的方法抽取了100人,其消费金额t (百元)的频率分布直方图如图所示：(1)求网民消费金额t 的平均值t －和中位数t 0.(2)把下表中空格里的数填上,并判断能否根据小概率值α＝0.001的独立性检验,认为网购消费与性别有关？消费金额性别合计男(Y ＝0) 女(Y ＝1)t ≥t 0(X ＝0)t <t 0(X ＝1)30 合计45解：(1)以每组的中间值代表本组的消费金额,则网民消费金额t 的平均值 t －＝2.5×0.2＋7.5×0.3＋12.5×0.2＋17.5×0.15＋22.5×0.1＋27.5×0.05＝11.5.直方图中第一组,第二组的频率之和为0.04×5＋0.06×5＝0.5. 所以t 的中位数t 0＝10. (2)补充列联表如下：消费金额性别合计 男(Y ＝0) 女(Y ＝1) t ≥t 0(X ＝0) 25 25 50 t <t 0(X ＝1)20 30 50 合计4555100零假设为H 0：网购消费与性别独立,即网购消费与性别无关．根据列联表中的数据,经计算得到 χ2＝100×25×30－25×20250×50×45×55＝10099≈1.01<10.828＝x 0.001. 根据小概率值α＝0.001的独立性检验,没有充分证据推断H 0不成立,因此可以认为H 0成立,即认为网购消费与性别无关．12．某城市理论预测2015年到2019年人口总数与年份的关系如表所示：年份2015＋x (年) 0 1 2 3 4 人口数y (十万)5781119(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据,求出y 关于x 的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)据此估计2022年该城市人口总数． 解：(1)作出散点图如图所示．(2)因为x －＝0＋1＋2＋3＋45＝2,y －＝5＋7＋8＋11＋195＝10,∑i ＝04x i y i ＝0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,∑i ＝04x 2i ＝02＋12＋22＋32＋42＝30, 所以b ^＝132－5×2×1030－5×4＝3.2,a ^＝y －－b ^x －＝3.6,所以经验回归方程为y ^＝3.2x ＋3.6. (3)令x ＝7,则y ^＝3.2×7＋3.6＝26. 即估计2022年该城市人口总数为260万．。