2020-2021郑州市高三数学下期末试卷(含答案)
2020-2021郑州市高三数学下期末试卷(含答案)一、选择题1．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( ) A ．[]1,1- B ．[]2,4- C ．(](),20,4-∞-⋃ D ．(][],20,4-∞-⋃ 2．已知集合2A {t |t 40}=-≤，对于满足集合A 的所有实数t ，使不等式2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )A ．()(),13,∞∞-⋃+B ．()(),13,∞∞--⋃+C ．(),1∞--D ．()3,∞+3．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB uuu v 对应的复数为( )A ．2i -+B ．2i --C ．12i +D ．12i -+ 4．（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．24 5．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =± 6．已知π,4αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．47．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ）A ．B ．C ．D ．8．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是，若0cAC aPA bPB ++=r u u u v u u u v u u u v ，则△ABC 的形状为（ ） A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形.9．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)i z i +=，则z =（ ） A ．14 B ．12 C ．2 D ．210．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．11．设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直二、填空题13．若为等比数列的前n 项的和，，则=___________14．在钝角ABC V 中，已知7,1AB AC ==，若ABC V 的面积为62，则BC 的长为______．15．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2xπ的值介于1[0,]2的概率为 ． 16．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．17．已知0x >，0y >，0z >，且36x y z ++=，则323x y z ++的最小值为_________．18．在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC P ,2,1,60,AB BC ABC ==∠=o 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的值为 ． 19．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -⋅=________.20．在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m=_________ ．三、解答题21．解关于x 的不等式()222ax x ax a R -≥-∈. 22．在△ABC 中，已知AC ＝4，BC ＝3，cosB ＝－14. (1)求sin A 的值；(2)求·BA BC u u u v u u u v的值.23．已知复数12i z m =-，复数21i z n =-，其中i 是虚数单位，m ，n 为实数. （1）若1m =，1n =-，求12z z +的值；（2）若212z z =，求m ，n 的值. 24．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； ()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．25．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．（1）当直线BD 过点(0,1)时，求直线AC 的方程．（2）当60ABC ∠=︒时，求菱形ABCD 面积的最大值．26．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，c .（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；（Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩， 当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4，当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0，∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]，故选B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.2．B解析：B【解析】【分析】由条件求出t 的范围，不等式221x tx t x +->-变形为2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理．【详解】由240t -≤得，22t -≤≤，113t ∴-≤-≤不等式221x tx t x +->-恒成立，即不等式2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，∴只需{1010x t x +->->或{1010x t x +-<-<恒成立，∴只需{11x t x >->或{11x tx <-<恒成立，113t -≤-≤Q只需3x >或1x <-即可．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键． 3．A解析：A【解析】【分析】首先根据向量OA u u u v对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB uuu v 对应的复数，得到结果.【详解】复数12i -+对应的点为(1,2)A -，点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -， 所以向量OB uuu r 对应的复数为2i -+．故选A ．【点睛】该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.4．A解析：A【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．5．A解析：A【解析】【分析】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股定理求c ，由b y x a =±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】 设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，所以12||F F ==c ⇒=因为2521a x a =-=⇒=，所以b =所以双曲线的渐近线方程为b y x a =±=±. 【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.6．C解析：C【解析】【分析】 由4παβ+=，得到1tanαβ+=（），利用两角和的正切函数公式化简1tan αβ+=（），即可得到所求式子的值．【详解】 由由4παβ+=，得到1tanαβ+=（）， 所以11tan tan tan tan tan αβαβαβ++==-（） ，即1tan tan tan tan αβαβ+=-， 则1112tan tan tan tan tan tan αβαβαβ++=+++=（）（） ． 故选C ．【点睛】本题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题.7．A解析：A【解析】【分析】【详解】∵函数f （x ）=xlnx 只有一个零点，∴可以排除CD 答案又∵当x ∈（0，1）时，lnx ＜0，∴f （x ）=xlnx ＜0，其图象在x 轴下方∴可以排除B 答案考点：函数图像．8．C解析：C【解析】【分析】【详解】解答：由已知条件得；根据共面向量基本定理得：∴△ABC 为等边三角形。
故答案为：等边三角形。
9．C解析：C【解析】 由题得22(1)111112()()12222222i i i i z i z i -+====+∴=+=+. 故选C. 10．D解析：D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 11．B解析：B【解析】【分析】【详解】当a=0时，如果b=0，此时0a bi +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果a bi +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B【考点定位】本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义12．D解析：D【解析】解：利用展开图可知，线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D二、填空题13．-7【解析】设公比为q 则8a1q=-a1q4所以q3=-8S6S3=q6-1q3-1=q3+1=-8+1=-7解析：-7【解析】设公比为，则，所以．． 14．【解析】【分析】利用面积公式可求得再用余弦定理求解即可【详解】由题意得又钝角当为锐角时则即不满足钝角三角形故为钝角此时故即故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用属于中等题 10【解析】【分析】利用面积公式可求得A ,再用余弦定理求解BC 即可.【详解】由题意得, 11sin sin 22A A =⨯⇒= 又钝角ABC V ,当A 为锐角时,cos A ==则2717BC =+-=,即BC =.故A 为钝角.此时cos A ==故27110BC =++=.即BC =【点睛】 本题主要考查了解三角形中面积公式与余弦定理的运用,属于中等题型.15．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率 解析：13【解析】 试题分析：由题意得1220cos,[1,1]112232222333xx x x x x πππππππ≤≤∈-⇒≤≤-≤≤-⇒≤≤-≤≤-或或，因此所求概率为22(1)13.1(1)3-=--考点：几何概型概率 16．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R 球心O 到上表面距离为x 则球心到下表面距离为6-x 结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查 解析：80π【解析】【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。
2020-2021高三数学下期末一模试题含答案
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
由 ，而 ，故由独立性检验的意义可知选A
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．
解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；
先求出函数y=g(x)的解析式，再利用三角函数的图像和性质对每一个选项逐一分析判断.
【详解】
设点P(x,y)是函数 图像上的任意一点，则点Q 在函数y=f(x)的图像上，
，
对于选项A,函数y=g(x)的最大值为1，但是 ，所以图象不关于直线 对称，所以该选项是错误的；
对于选项B, ，所以函数g(x)是奇函数，解
A． B． C． D．
11．在 内，不等式 的解集是（）
A． B． C． D．
12．在等比数列 中， ，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是__________．
14．已知实数 ， 满足 ，则 的最小值是__________．
15．函数 的图象恒过定点A，若点A在一次函数 的图象上，其中 则 的最小值为
故选B．
考点：由三视图求面积、体积．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
先由三视图还原出原几何体，再进行计算
【详解】
由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为 .
故选B.
2020-2021郑州市高三数学上期末模拟试题(含答案)
2020-2021郑州市高三数学上期末模拟试题(含答案)一、选择题1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．42．若正实数x ，y 满足141x y +=，且234yx a a +>-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,4-B ．()1,4-C ．[]4,1-D ．()4,1-3．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足（ ） A ．()1nn T n =-⨯ B ．n T n =C ．n T n =-D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数4．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2D15．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．46．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M ,若M ≤恒成立, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭7．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 22n n S T n +=，则77a b =（ ） A ．4126B ．2314C ．117 D ．1168．若直线()10,0x ya b a b+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．109．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，„„…则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．210．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则cos2A =（ ）A ．78B ．18C ．78-D ．18-11．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24B ．48C ．60D ．8412．等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么{}n a 的前7项和7S =（ ） A ．22B ．24C ．26D ．28二、填空题13．已知实数，且，则的最小值为____14．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ．15．数列{}n a 满足14a =，12nn n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______.16．设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 .17．ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos (32)cos b C a c B =-.当42b =，2a c =，ABC ∆的面积为______.18．设，，若，则的最小值为_____________.19．已知x y 、满足约束条件1{1,22x y x y x y +≥-≥--≤若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b+的最小值为_______． 20．已知数列{}n a 满足51()1,62,6n n a n n a a n -⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==． (1)求{}n a 的通项公式； (2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-，为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．22．已知函数()21f x x =-. （1）若不等式121(0)2f x m m ⎛⎫+≥+> ⎪⎝⎭的解集为][(),22,-∞-⋃+∞，求实数m 的值； （2）若不等式()2232y yaf x x ≤+++对任意的实数,x y R ∈恒成立，求正实数a 的最小值.23．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：2(1)n n S na n n =--，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，公比为1a ，且5352T T b =+．（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n M ，求证：1154n M ≤<．24．在△ABC 中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知3cos()16cos cos B C B C --=，（1）求cos A （2）若3a =，△ABC的面积为求b c 、25．在公差不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，又数列{}n b 满足*2,21,()2,2,n a n n k b k N n n k ⎧=-=∈⎨=⎩． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．26．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22222230a c b ac +-+=. （1）求cos B 的值；（2）求sin 24B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则22513(4)==+-d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.2．B解析：B 【解析】 【分析】 根据1444y y x x x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合基本不等式可求得44yx +≥，从而得到关于a 的不等式，解不等式求得结果. 【详解】 由题意知：1442444y y x yx x x y y x⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0x Q >，0y > 40x y ∴>，04yx>424x y y x ∴+≥=（当且仅当44x y y x =，即4x y =时取等号） 44yx ∴+≥ 234a a ∴-<，解得：()1,4a ∈- 本题正确选项：B 【点睛】本题考查利用基本不等式求解和的最小值问题，关键是配凑出符合基本不等式的形式，从而求得最值.3．A解析：A 【解析】 【分析】先根据2n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .【详解】解:∵2n S n =,∴当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()()1121nnn n b a n =-=--,∴()()()()()123113151121nn T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,∴()()()()()2341113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,①-②,得()()()()()()23412121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣⎦()()()()()()211111122112111n n n n n -+⎡⎤---⎣⎦=-+⨯--⨯-=---,∴()1nn T n =-,∴数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.故选:A . 【点睛】本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.4．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．5．B解析：B 【解析】 【分析】由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即41a b +=，故()121288444282222b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当82b aa b =，即11,82a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是()4,1.6．C解析：C 【解析】试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M=，满足2M ≤，当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m <时，由约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈u u u r u u u r的最小值为M OB =u u u r ，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m mB m m --，所以421m OB m =-u u u r ，由4221m m ≤-，解得1135m -≤≤，所以103m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.考点：简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.7．A解析：A 【解析】依题意，113713113713132412226132a a a Sb b b T +⋅===+⋅.8．C解析：C 【解析】 【详解】 因为直线()10,0x y a b a b+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此1144(4)(+)5+529b a b aa b a b a b a b+=+≥+⋅= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选C.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数即可求解. 【详解】 作出可行域如图：化目标函数为2y x z =-， 联立70310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得5,2A（）. 由图象可知，当直线过点A 时，直线在y 轴上截距最小，z 有最大值25-28⨯=. 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想，属于中档题.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据题目条件结合三角形的正弦定理以及三角形内角和定理可得sin A ，进而利用二倍角余弦公式得到结果. 【详解】∵()cos 4cos a B c b A =-． ∴sin A cos B ＝4sin C cos A ﹣sin B cos A 即sin A cos B +sin B cos A ＝4cos A sin C ∴sin C ＝4cos A sin C ∵0＜C ＜π，sin C ≠0． ∴1＝4cos A ，即cos A 14=， 那么27cos2218A cos A =-=-． 故选C 【点睛】本题考查了正弦定理及二倍角余弦公式的灵活运用，考查计算能力，属于基础题．11．C解析：C 【解析】试题分析：∵11011101100000a a a d a a ⋅∴＞，＜，＜，＞，＜， ∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=--=（），选C . 考点：1.等差数列的求和；2.数列的性质.12．D解析：D 【解析】试题分析：由等差数列的性质34544123124a a a a a ++=⇒=⇒=，则考点：等差数列的性质二、填空题13．3+54【解析】【分析】由a+b ＝2得出b ＝2﹣a 代入代数式中化简后换元t ＝2a ﹣1得2a ＝t+1得出1＜t ＜3再代入代数式化简后得出2t6t-(t2+5)然后在分式分子分母中同时除以t 利用基本不等 解析：【解析】 【分析】由a +b ＝2得出b ＝2﹣a ，代入代数式中，化简后换元t ＝2a ﹣1，得2a ＝t +1，得出1＜t ＜3，再代入代数式化简后得出，然后在分式分子分母中同时除以t ，利用基本不等式即可求出该代数式的最小值． 【详解】解：由于a +b ＝2，且a ＞b ＞0，则0＜b ＜1＜a ＜2， 所以，，令t ＝2a ﹣1∈（1，3），则2a ＝t +1， 所以，． 当且仅当，即当时，等号成立． 因此，的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解本题的关键就是对代数式进行化简变形，考查计算能力，属于中等题．14．200【解析】试题分析：等差数列中的连续10项为遗漏的项为且则化简得所以则连续10项的和为考点：等差数列解析：200 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中的连续10项为*+129,,,,,()x x x x a a a a x N ++⋯∈，遗漏的项为*+,x n a n N ∈且19,n ≤≤则9()10(18)10(2)22x x x x x n x a a a a a a n +++⨯++⨯-=-+，化简得4494352x n ≤=+≤，所以5x =，511a =，则连续10项的和为(1111+18)10=2002+⨯.考点：等差数列.15．【解析】【分析】由题意得出利用累加法可求出【详解】数列满足因此故答案为：【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项解题时要注意累加法对数列递推公式的要求考查计算能力属于中等题 解析：22n +【解析】 【分析】由题意得出12nn n a a +-=，利用累加法可求出n a .【详解】数列{}n a 满足14a =，12n n n a a +=+，*n N ∈，12nn n a a +∴-=，因此，()()()211213214222n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++L L ()121242212n n --=+=+-.故答案为：22n +. 【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项，解题时要注意累加法对数列递推公式的要求，考查计算能力，属于中等题.16．【解析】【分析】【详解】根据题意由于函数对任意恒成立分离参数的思想可知递增最小值为即可知满足即可成立故答案为解析：33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【解析】 【分析】 【详解】根据题意，由于函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，22222()4(1)(1)11xm x x m m--≤--+-，分离参数的思想可知，,递增，最小值为53，即可知满足33,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭即可成立故答案为33,22⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭．17．【解析】【分析】由利用正弦定理得到再用余弦定理求得b 可得ac 利用面积公式计算可得结果【详解】由正弦定理可化为所以在三角形中所以因为所以又所以由余弦定理得又所以有故的面积为故答案为【点睛】本题考查了正 解析：3257【解析】 【分析】由()2cos 32cos b C a c B =-，利用正弦定理得到2cos 3B =，再用余弦定理求得b ，可得a 、c ，利用面积公式计算可得结果. 【详解】由正弦定理()2cos 32cos b C a c B =-可化为2sin cos 3sin cos 2sin cos B C A B C B =-， 所以()2sin 3sin cos B C A B +=， 在三角形中，()sin sin B C A +=，所以2sin 3sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以2cos 3B =， 又0B π<<，所以25sin 1cos B B =-=， 由余弦定理得2224323b a c ac =+-=，又2a c =，所以有2967c =. 故ABC ∆的面积为22196965325sin sin sin 27737S ac B c B c B =====⨯=. 故答案为325. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．3+22【解析】【分析】由已知可得a-1+b=1从而有2a-1+1b=(2a-1+1b)(a-1+b)展开后利用基本不等式即可求解【详解】由题意因为a>1b>2满足a+b=2所以a-1+b=1且a- 解析：【解析】 【分析】 由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，因为满足，所以，且，则，当且仅当且，即时取得最小值.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，其中解答中根据题意配凑基本不等式的使用条件，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.19．7【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域得到及其内部其中把目标函数转化为表示的斜率为截距为由于当截距最大时最大由图知当过时截距最大最大因此由于当且仅当时取等号考点：1线性规划的应用；2利解析：7【解析】试题分析：作出不等式表示的平面区域，得到及其内部，其中把目标函数转化为，表示的斜率为，截距为，由于当截距最大时，最大，由图知，当过时，截距最大，最大，因此，，由于，当且仅当时取等号，.考点：1、线性规划的应用；2、利用基本不等式求最值.20．【解析】【分析】由题若对于任意的都有可得解出即可得出【详解】∵若对任意都有∴∴解得故答案为【点睛】本题考查了数列与函数的单调性不等式的解法考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：17,212⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题若对于任意的*n N ∈都有1n n a a +>，可得5610012a a a a -＜，＞，＜＜． 解出即可得出． 【详解】∵511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>， ∴5610012a a a a -＜，＞，＜＜．． ∴11 0()510122a a a a --⨯+＜，＞，＜＜ ， 解得17 212a ＜＜． 故答案为17,212⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了数列与函数的单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）*21,n a n n N =-∈（2）存在，2,12m k ==【解析】 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式与前n 项和公式得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，从而求出21n a n =-； （2）由（1）得()2122n n n S n n -=+⨯=，由211114122121n b n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭，利用裂项相消法得21n n T n =+，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m =+-，由1k m >>得11m <<+，从而可求出答案． 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈；（2）()2122n n n S n n -=+⨯=，211114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭，1211111111111123352321212122121n n n T b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m=+-， 又1k m >>，2234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩，解得11m << 又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=， ∴存在2,12m k ==满足题意． 【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，考查裂项相消法求和，属于中档题．22．(1) 32m =；(2)4. 【解析】试题分析：（Ⅰ）先根据绝对值定义解不等式解集为][(),22,-∞-⋃+∞，再根据解集相等关系得122m +=，解得32m =．（Ⅱ）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即()max212322y y ax x --+≤+，根据绝对值三角不等式可得()max21234x x --+=，再利用变量分离转化为对应函数最值问题：()max242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦，根据基本不等式求最值： ()()224224242y yy y ⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦，因此4a ≥，所以实数a 的最小值为4．试题解析：（Ⅰ）由题意知不等式221(0)x m m ≤+>的解集为][(),22,-∞-⋃+∞． 由221x m ≤+，得1122m x m --≤≤+， 所以，由122m +=，解得32m =． （Ⅱ）不等式()2232y y a f x x ≤+++等价于212322yya x x --+≤+， 由题意知()max212322y y ax x --+≤+． 因为()()212321234x x x x --+≤--+=， 所以242y y a +≥，即()242y y a ⎡⎤≥-⎣⎦对任意y R ∈都成立，则()max 242y ya ⎡⎤≥-⎣⎦．而()()224224242y yy y⎡⎤+-⎢⎥-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当242y y =-，即1y =时等号成立， 故4a ≥，所以实数a 的最小值为4． 23．(1) 43n a n =-;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 【详解】（1）∵2(1)n n S na n n =--①， ∴11(1)2(1)n n S n a n n ++=+-+②， ②-①，11(1)4n n n a n a na n ++=+--，∴14n n a a +-=，又∵等比数列{}n b ，5352T T b =+，∴535452T T b b b -=⇐=，1q =，∴11a =，∴数列{}n a 是1为首项，4为公差的等差数列， ∴14(1)43n a n n =+-=-；（2）由（1）可得111111()(43)(41)44341n n a a n n n n +==--+-+， ∴11111111(1)(1)45594341441n M n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=--++，∴111(1)454n M -≤<， 即1154n M ≤<． 考点：1．等差等比数列的运算；2．列项相消法求数列的和． 24．：（1）1cos 3A =（2）3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩【解析】：（1）由3cos()16cos cos B C B C --=得3(cos cos sin sin )1B C B C -=- 即1cos()3B C +=-从而cos A 1cos()3B C =-+= （2）由于0,A π<<1cos 3A =，所以sin A =又ABC S =V1sin 2bc A =6bc =由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2213b c += 解方程组2213{6b c bc +==，得3{2b c ==或23b c =⎧⎨=⎩ 25．（1）n a n =；（2）22(41)2(1)3n n T n n -=++ 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程组解得公差与首项，即得数列{}n a 的通项公式；（2）根据分组求和法得结果. 【详解】（1）公差d 不为0的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，9a 成公比为3a 的等比数列，可得2319a a a =，313a a a =，可得2111(2)(8)a d a a d +=+，11a =，化简可得11a d ==，即有n a n =；（2）由（1）可得2,212,2n n n k b n n k ⎧=-=⎨=⎩，*k N ∈；前2n 项和212(28322)(48124)n n T n -=+++⋯+++++⋯+2(14)12(41)(44)2(1)1423n n n n n n --=++=++-． 【点睛】本题考查等差数列通项公式以及分组求和法求和，考查基本分析求解能力，属中档题. 26．（1）34-（2）16【解析】试题分析：（1）利用余弦定理表示出cosB ，将已知等式代入即可求出cosB 的值；（2）由cosB 可求出sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的余弦公式可得结果. 试题解析：（1）由22222230a c b ac +-+=，得22232a cb ac +-=-， 根据余弦定理得222332cos 224aca cb B ac ac -+-===-； （2）由3cos 4B =-，得sin B =∴sin22sin cos B B B ==21cos22cos 18B B =-=，∴1sin 2sin2cos cos2sin 44428816B B B πππ⎫⎛⎫+=+=-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。
2020-2021学年河南省郑州市女子中学高三数学理下学期期末试题含解析
2020-2021学年河南省郑州市女子中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知方程|x－2n|=k(n∈N*)在区间(2n－1，2n+1]上有两个不相等的实根，则k的取值范围是( )(A)k>0 (B)0<k≤(C)<k≤(D)以上都不是参考答案：B解：由|x－2n|≥0，故k≥0，若k=0，可知在所给区间上只有1解．故k>0．由图象可得，x=2n+1时，k≤1．即k≤．故选B．又解：y=(x－2n)2与线段y=k2x(2n－1<x≤2n+1)有两个公共点．x2－(4n+k2)x+4n2=0有(2n－1，2n+1]上有两个根．故△=(4n+k2)2－16n2>0．且(2n－1)2－(4n+k2)(2n－1)+4n2>0，(2n+1)2－(4n+k2)(2n+1)+4n2≥0，2n－1<2n+k2<2n+1． k≤．2. 函数的部分图象可能是（）A． B． C.D．参考答案：C3. 已知分别是椭圆的左右焦点，过与轴垂直的直线交椭圆于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的范围是（）A．B．C．D．参考答案：C不妨设A点的坐标为，则，要使是锐角三角形，需满足，又，所以，整理，得：，所以，解得：。
4. 已知x和y是实数，i是虚数单位，（1+i）x+yi=（1+3i）i，则|x+yi|等于（）A．B．5 C．D．参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、复数相等及其模的计算公式即可得出．【解答】解：∵（1+i）x+yi=（1+3i）i，∴x+（x+y）i=﹣3+i，∴x=﹣3，x+y=1，解得x=﹣3，y=4，则|x+yi|=|﹣3+4i|==5．故选：B．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等及其模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合：①②M={（x，y）|y=e x﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“Ω集合”的序号是（）A解答：解：对于①y=是以x ，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角是90°，所以在同一支上，任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，满足Ω集合的定义；在另一支上对任意（x1，y1）∈M，不存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，所以不满足Ω集合的定义，不是Ω集合．对于②M={（x，y）|y=e x﹣2}，如图（2）如图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如取M（0，﹣1），则N（ln2，0），满足Ω集合的定义，所以是Ω集合；正确．对于③M={（x，y）|y=cosx}，如图（3），对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，例如（0，1）、（π，0），满足Ω集合的定义，所以M是Ω集合；正确．对于④M={（x，y）|y=lnx}，如图（4）取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是Ω集合．所以②③正确．故选A．6. 已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（）(A) (B) (C) (D)参考答案：A7. 已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e x+x2，则不等式f（3﹣x2）＞f（2x）的解集为（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣，1）∪（3，+∞）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】确定函数的单调性，不等式转化为3﹣x2＞2x，即可得出结论．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e x+x2，∴当x＞0时，函数单调递增，∵函数f（x）是R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，∵f（3﹣x2）＞f（2x），∴3﹣x2＞2x，∴（x+3）（x﹣1）＜0，∴﹣3＜x＜1，故选A．8. 设数列的前项和为，关于数列有下列三个命题：①若数列既是等差数列，又是等比数列，则；②若，则数列是等差数列；③若，则数列是等比数列.其中真命题的个数是（）A.0B.1C.2D. 3参考答案：D略9. 已知集合M={x|x2﹣x≤0，x∈R}，集合N=（0，1]，则集合M与N的关系（）A． M?N B．N?M C．M=N D．N?M且M?N参考答案：B10. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s，k的值依次为（）A．32，63 B．64，63 C．63，32 D．63，64参考答案：D【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当s=63时，不满足条件s＜50，退出循环，输出s，k的值分别为：63，64．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，k=1满足条件s＜50，s=1，k=2满足条件s＜50，s=3，k=4满足条件s＜50，s=7，k=8满足条件s＜50，s=15，k=16满足条件s＜50，s=31，k=32满足条件s ＜50，s=63，k=64不满足条件s ＜50，退出循环，输出s ，k 的值分别为：63，64． 故选：D ．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的s ，k 的值是解题的关键，属于基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设向量，，满足|≥60°，则||的最大值等于 ．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；数量积表示两个向量的夹角． 【专题】计算题．【分析】利用向量的数量积求出， 的夹角；利用向量的运算法则作出图形；结合图形利用四点共圆；通过正弦定理求出外接圆的直径，求出||最大值． 【解答】解：∵||=||=1，?=﹣ ∴， 的夹角为120°， 设OA=，OB=，OC= 则=﹣；=﹣如图所示则∠AOB=120°；∠ACB=60° ∴∠AOB+∠AOC=180° ∴A，O ，B ，C 四点共圆 ∵=﹣∴2=2﹣2?+2=3 ∴AB=，由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R==2当OC 为直径时，||最大，最大为2 故答案为：2．【点评】本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理． 12. 函数的定义域为________参考答案：略13. 已知随机变量的分布列如下表，又随机变量，则的均值是 ． 参考答案：由已知，的均值为，∴的均值为，故答案为．14. 一个三棱锥内接于球，且，，，则球心到平面的距离是 ．参考答案：15. 已知等比数列{a n }各项都是正数，且a 4﹣2a 2=4，a 3=4．则a n = ，S 10= ．参考答案：2n﹣1，1023。
2020-2021河南省实验中学高三数学下期末试卷及答案
A． (0， )
B．
3
,
4 3
C．
4 3
,
5 3
D．
5 3
,
2
11．已知 P 为双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1
(a 0, b 0) 上一点， F1 ，F2 为双曲线 C 的左、右
焦点，若 PF1 F1F2 ，且直线 PF2 与以 C 的实轴为直径的圆相切，则 C 的渐近线方程为
又回归直线过样本点的中心 4,5 ，
∴ 5 1.23 4 a ， ∴ a 0.08 ， ∴回归直线方程为 yˆ 1.23x 0.08 ．
故选 A． 【点睛】 本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一 性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．
( t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原
点为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 6cos .
（1）求圆 C 的直角坐标方程；
（2）设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ，若点 P 的坐标为 2,1 ，求 PA PB 的最小值.
24．已知函数 f (x) x ln x .
8．D
解析：D 【解析】
原函数先减再增，再减再增，且 x 0 位于增区间内，因此选 D． 【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与 x 轴的交点为
x0 ，且图象在 x0 两侧附近连续分布于 x 轴上下方，则 x0 为原函数单调性的拐点，运用导数
知识来讨论函数单调性时，由导函数 f '(x) 的正负，得出原函数 f (x) 的单调区间．
同的放法总数是： 2C63 40 种.
2020-2021学年河南省郑州市第四高级中学高三数学理联考试卷含解析
2020-2021学年河南省郑州市第四高级中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设满足约束条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D2. （11）已知函数设表示中的较大值，表示中的较小值，记得最小值为得最小值为,则（A）（B）（C）（D）参考答案：B3. 已知椭圆,作倾斜角为的直线交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点与的夹角为,且，则b=( )A．1 B． C. D．参考答案：B本题考查椭圆的性质,考查推理论证和运算求解能力设,M,则，两式作差得.因为,所以.即.设直线的倾斜角为，则或，.又,由，解得,即.4. 已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S—ABC的体积为A．B．C．D．参考答案：C略5. 右图是某果园的平面图，实线部分游客观赏道路，其中曲线部分是以为直径的半圆上的一段弧，点为圆心，是以为斜边的等腰直角三角形，其中千米，(),若游客在路线上观赏所获得的“满意度”是路线长度的2倍，在路线EF上观赏所获得的“满意度”是路线的长度，假定该果园的“社会满意度”是游客在所有路线上观赏所获得的“满意度”之和，则下面图象中能较准确的反映与的函数关系的是（）参考答案：A6. （文）若复数，则是成立的（）(A) 充要条件 (B) 既不充分又不必要条件 (C) 充分不必要条件 (D) 必要不充分条件参考答案：D若，则成立。
若，不妨取，则有成立，但不成立，所以是成立的必要不充分条件，所以D.7. 已知集合，，，则A. {0,1,7}B. {－1,0,7}C. {0,1,3,7}D. {－1,0,2,7}参考答案：D【分析】求得不等式的解集，得到集合，求得，再根据集合的并集运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，不等式，解得，所以，所以，所以．故选D．【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合M，再根据集合的运算，准确求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8. 设函数（，）的最小正周期为π，且，则（）A．在单调递减B．在单调递减C.在单调递增D．在单调递增参考答案：A9. 已知f(x)＝则下列函数的图象错误的是()．参考答案：D10. （文科）平面上O 、A 、B 三点不共线，设向量，则△OAB 的面积等于A ．B ．C ．D ．参考答案： C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若双曲线的渐近线方程为y=x ，则双曲线的焦点坐标是 ．参考答案：（）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意知，m=3．由此可以求出双曲线的焦点坐标．【解答】解：由题意知，∴m=3． ∴c 2=4+3=7，∴双曲线的焦点坐标是（）．故答案：（）．12. 已知两个单位向量互相垂直，且向量，则．参考答案：5因为两个单位向置互相垂直，且向量，所以，，.13. 已知是虚数单位，则▲.参考答案：【知识点】复数的基本运算.L41+i 解析：，故答案为.【思路点拨】在分式的分子分母同时乘以分母的共轭复数再进行化简即可。
2020-2021学年河南省郑州市高二下学期期末考试数学理科试题及答案
郑州市2020—2021学年下期期末考试高二数学（理）试题卷注意事项：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数2z i =-，则z =（）A B ．3C D ．52．已知函数()f x 的导函数是()f x '，且满足()()22ln 1f x x x f '=+，则()1f '=（）A ．2-B ．0C ．1D ．23．已知随机变量X 的分布列如右表．则实数a 的值为（）A ．6 B ．4 C ．3 D ．24．下列四个命题：（1）两个变量相关性越强则相关系数r 就越接近于1； （2）两个模型中，残差平方和越小的模型拟合的效果越好；（3）在回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于1，表示回归效果越好；（4）在独立性检验中，随机变量2K 的观测值k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 其中正确命题的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．45．校园歌手大赛共有5名同学成功进人决赛，其中2名男同学，3名女同学．现在他们站成一排合影留念，要求2名男同学站在两端，则有______种不同的站法． A ．2B ．6C ．12D ．246．用反证法证明命题：若()2110x y -+-=，则1x y ==，应提出的假设为（） A ．x ，y 至少有一个不等于1 B ．x ，y 至多有一个不等于1C ．x ，y 都不等于1D ．x ，y 只有一个不等于17．“关注夕阳，爱老敬老”，某商会从2016年开始向晚晴山庄养老院捐赠物资和现金．下表记录了第x 年（2016年为第一年）捐赠现金y （万元）的数据情况．由表中数据得到了y 关于x 的线性回归方程为ˆ295y bx =+．，预测2021年该商会捐赠现金______万元．A ．4.25B ．5.25C ．5.65D ．4.758．2021年5月11日和12日进行了郑州市第三次质量检测．对全市的理科数学成绩进行统计分析，发现数学成绩近似地服从正态分布()296,5N ．据此估计：在全市抽取6名高三学生的数学成绩，恰有2名同学的成绩超过96分的概率为（） A ．132 B ．1532 C ．164 D ．15649．九月是某集团校的学习交流活动月，来自兄弟学校的4名同学（甲校2名，乙校、丙校各1名）到总校交流学习．现在学校决定把他们分到1，2，3三个班，每个班至少分配1名同学．为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（）A ．12B ．18C ．24D ．3010．如图，第1个图形是由正三边形“扩展”而来，第2个图形是由正四边形“扩展”而来．依次类推，第n 个图形是由正()2n +边形“扩展”而来，其中*n ∈N ，那么第8个图形共有______个顶点．A ．72B ．90C ．110D ．13211．若函数()33f x x x =-在区间()22,3a a -上有最大值，则实数a 的取值范围是（）A ．()3,1-B ．()2,1-C ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(]2,1--12．已知函数()18,,212,2x x m x f x xe mx m x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩（e 是自然对数）在定义域R 上有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A ．(),e +∞B ．(),4eC ．(],4eD ．[],4e第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．平面内一点()00,P x y 到直线l ：0Ax By C ++=的距离为：d =．由此类比，空间中一点()1,1,1M 到平面a ：30x y x +++=的距离为______．14．已知m ，n 是不相等的两个实数，且m ，{}1,1,5,8n ∈-．在方程221mx ny +=所表示的曲线中任取一个，此曲线是焦点在x 轴上的双曲线的概率为______．15．2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成______个不同的六位数．16．已知关于x 的方程22ln 1xx a e x x+-=在()0,+∞上有解，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答题应写文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知复数631mz i i=++-()m ∈R ． （Ⅰ）当实数m 取什么值时，复数z 是纯虚数；（Ⅱ）当实数m 取什么值时，复平面内表示复数z 的点位于第一、三象限．18．在二项式2mx ⎛ ⎝()*m ∈N 的展开式中，第三项系数是倒数第三项系数的18． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求展开式中所有的有理项． 19．已知数列{}n a 满足：125a =，1122n n n n a a a a +++=，()*n ∈N ． （Ⅰ）计算2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明． 20．已知的数()()242ln f x x a x a x =-++．（Ⅰ）当1a =时，求函数()y f x =的极值； （Ⅱ）讨论函数()y f x =的单调性．21．2021年5月14日，郑州国际会展中心举办了关于“服务教育共筑梦想暨中小学书香校园发展论坛”的活动．某中学为进一步推进书香校园系列活动，增加学生对古典文学的学习兴趣，随机抽取160名学生做统计调查．统计显示，被调查的学生中，喜欢阅读古典文学的男生有40人，占男生调查人数的一半，不喜欢阅读古典文学的女生有20人．（Ⅰ）完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关？（Ⅱ）为鼓励学生阅读古典文学书籍，学校特开展一场古典文学趣味有奖活动，并设置六个奖项（每个人只获一项奖项每项只有一个人获奖，每个人等可能获奖）现从这160名同学中选出4名男生，6名女生参加活动，记ξ为参加活动的同学中获奖的女生人数，求ξ的分布列及数学期望()E ξ．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()n a b c d =+++22．已知函数()22ln f x x x a =+，()2ln xg x ae x =，其中0a >．（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线斜率为0，求a 的值；（Ⅱ）若对任意的()0,1x ∈，不等式()()0g x f x -<恒成立，求实数a 的取值范围．郑州市2020-2021下期高二数学考试理科评分参考一、解答题二、填空题13． 14．14； 15．150； 16．[)1,+∞三、解答题17．解：66(1)33(33)(13)1(1)(1)m m i z i i m m i i i i +=++=++=+++--+（1）当复数z 是纯虚数时，有33=0130m m +⎧⎨+≠⎩，解得1m =-．所以当实数1m =-时，复数z 是纯虚数．（2）当表示复数z 的点位于第一、三象限时，有(33)(13)0m m ++>，解得1m <-或13m >-，所以当实数()1,1,3m ⎛⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭时，表示复数z 的点位于第一、三象限．18．解：（1）展开式的通项为：()152222122rm r m r rr r r mm T C x x C x---+⎛⎫ ⎪==⋅⋅ ⎪⎝⎭， 依题可得：222212=28m m m m C C --⋅⋅⋅， 7m =解得.（2）由（1）知，展开式中的第1，3，5，7项为有理项，且001414172T C x x =⋅⋅=，22145937284T C x x -=⋅⋅=，4414104572560T C x x -=⋅⋅=， 6614151772448.T C x x --=⋅⋅=19．解：（1）213a =，327a =，414a =． （2）猜想：24n a n =+．证明：①当1n =时，12=251+4a =，猜想成立； ②假设当n k =()*k ∈N 时猜想成立，即24k a k =+． 那么，依题可得1222224225(1)424k k k a k a a k k k +⋅+====++++++． 所以，当1n k =+时猜想成立．根据①和②，可知猜想对任何*n ∈N 都成立．20．解：（1）当1a =时，()252ln f x x x x =-+，定义域为()0,+∞，22252(21)(2)()25x x x x f x x x x x-+--'=-+==． 令()0f x '=，解得12x =，或2x =． 当x 变化时，()f x ， ()f x '的变化情况如下表：∴当12x =时，()f x 有极大值，且极大值为192ln 224f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；当2x =时，()f x 有极小值，且极小值为(2)62ln 2f =-+． （2）函数()f x 定义域为(0,)+∞，222(4)2(2)(2)()=2(4)a x a x a x a x f x x a x x x -++--'-++==．令()=0f x '得2ax =或2x =． ①若0a ≤，则当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(2+)x ∈∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增．②若04a <<，即022a <<，则当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当,22a x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当(2+)x ∈∞，时，()0f x '>，()f x 单调递增，③若4a =，即=22a，则当(0+)x ∈∞，时，()0f x '≥，()f x 单调递增， ④若4a >，即22a>，则当(0,2)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当22a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当+2ax ⎛⎫∈∞ ⎪⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上：当0a ≤时，()f x 的单调递增区间是(2+)∞，，单调递减区间是(0,2)；当04a <<时，()f x 的单调递增区间是0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2+)∞，，递减区间是,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭； 当4a =时，()f x 的单调递增区间是(0+)∞，，无单调递减区间；当4a >时，()f x 的单调递增区间是(0,2)，+2a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，，单调递减区间是22a ⎛⎫⎪⎝⎭，．21．解：（1）由已知可得调查中男生共有80人，女生有80人，其中喜欢阅读古典文学的有60人 故列联表为：∴2()160(20404060)3210.6677.879()()()()1006080803n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯====>++++⨯⨯⨯． 故能在犯错误概率不超过0.005的情况下认为学生喜欢阅读古典文学与性别有关．2464610151(2)21014C C P C ξ⋅====，3364610808(3)21021C C P C ξ⋅====，4264610903(4)2107C C P C ξ⋅====，5164610244(5)21035C C P C ξ⋅====，60646101(6)210C C P C ξ⋅===． ∴ξ的分布列为 ∴18381()=2+3+4+5+6=3.61421770210E ξ⨯⨯⨯⨯⨯． 22．解：（1）依题可得()4ln f x x a '=+且(1)0f '=，∴4+ln 0a =． ∴41a e=． （2）有题设()()0g x f x -<即22ln (2ln )0x ae x x x a -+<， 整理得()22222ln ln 2ln ln ln =x xxxxa e x x a eaxa ea ea e ⋅++<=⋅⋅⋅，设ln ()x h x x=，则上式即为()2()xh x h ae <． ∵21ln ()x h x x-'=，令21ln ()=0x h x x-'=得x e =．∴当(0,)x e ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减． 又当(0,1)x ∈时，ln ()0xh x x=<，∴()2()xh x h ae<只需2x x ae <，即2x xa e>， 设2()xx H x e=，则212()xx H x e-'=．令212()=0xx H x e -'=得12x =． ∴当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0H x '>，()H x 单调递增；当112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0H x '<，()H x 单调递减． ∴21()2xx H x ee =≤． ∴12a e>．。
2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷(含答案)
2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷适用专业：应化 考试日期：年 月 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间[1,1]-的定义为22,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在2x =收敛于 1 ． 2.设y zx =，则x z =1y yx - ; y z =ln y x x3.改变积分顺序1(,)dy f x y dx ⎰= 211(,)xdx f x y dy ⎰⎰ .4.将函数sin xx 展开成x 的幂级数为 ()()20121nn n x n ∞=-+∑5.设L 为圆周224x y +=，则22Lx y ds +⎰8π .二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)1.设D 为圆域: 224x y +≤,曲面1D 是D 在第一象限中的部分.则有( D ). (A) 14DD xd xd σσ=⎰⎰⎰⎰ (B) 14DD yd yd σσ=⎰⎰⎰⎰(C) 14DD xyd xyd σσ=⎰⎰⎰⎰ (D) 122224DD x y d x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.2.lim 0n n u →∞≠是级数1nn u∞=∑发散的（ A ）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件 3.设∑为曲面3z = ()221x y +≤则下面积分中不为0的是( D ) (A)xyzdydz ∑⎰⎰ (B)xyzdxdy ∑⎰⎰ (C)xyzdzdx ∑⎰⎰ (D)zdS ∑⎰⎰4.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()ay by cy f x '''++=的三个线性无关的解，则0ay by cy '''++=的通解为( C ).(A)1122c y c y + (B)1223c y c y + (C) ()1122123c y c y c c y +-+ (D) 112233c y c y c y ++5.设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则⎰⎰∑++dS y x ey x )sin(2222＝（ D ）.(A) 0 (B)2sin Re R R π (C) R π4 (D)2sin Re 2R R π 三、解下列各题。
2020-2021郑州市高一数学下期末模拟试题(含答案)
2020-2021郑州市高一数学下期末模拟试题(含答案)一、选择题1．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥2．已知函数y=f （x ）定义域是[-2，3]，则y=f （2x-1）的定义域是（ ）A ．50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,4-C ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]5,5-3．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A ．713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 4．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x =f +x -，若(1)2f =，则(1)(2)f +f (3)(2020)f f +++=L （ ）A ．50B ．2C ．0D ．50-5．当x ∈R 时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞B ．[)0,+∞C ．[)0,4D ．（0，4）6．要得到函数2sin 2y x x =+2sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向右平移6π个单位 7．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A ．45B ．35C ．25D ．158．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()32f x x =-，则不等式()0f x >的解集为（ ） A ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭UB ．33,,22⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．33,0,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是 A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=11．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线12．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =，则（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>二、填空题13．已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______． 14．函数sin 232y x x =的图象可由函数sin 232y x x =+的图象至少向右平移_______个长度单位得到。
2020-2021郑州市第四中学高三数学下期末第一次模拟试卷及答案
2020-2021郑州市第四中学高三数学下期末第一次模拟试卷及答案一、选择题1．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB uuu v对应的复数为( )A ．2i -+B ．2i --C ．12i +D ．12i -+ 2．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）A ．由两个圆锥组合成的B ．由两个圆柱组合成的C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的3．下列四个命题中，正确命题的个数为( )①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；②两条直线一定可以确定一个平面；③若M α∈，M β∈，l αβ=I ，则M l ∈；④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A ．1B ．2C ．3D ．4 4．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(22)-，B ．(2)(2)-∞-⋃+∞，， C ．(22]-，D ．(2]-∞， 5．下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()32f x x =-与()2f x x x =-()3f x 2x y x 2x 与=-=-()f x x =与()2g x x =③()0f x x =与()01g x x=；④()221f x x x =--与()221g t t t =--． A ．① ② B ．① ③C ．③ ④D ．① ④ 6．2n n +<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:(1)当n=1时211+不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,2k k +<k+1.那么当n=k+1时,()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k 3k 2k 2(k 2)+++=++<++++=+=(k+1)+1, 所以当n=k+1时,不等式也成立. 根据(1)和(2),可知对于任何n∈N *,不等式均成立.则上述证法（ ）A ．过程全部正确B ．n=1验得不正确C ．归纳假设不正确D ．从n=k 到n=k+1的证明过程不正确7．函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图像如图所示，则函数y ()f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．8．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．1x <-或4x >B ．0x …或2x -…C ．0x <或2x >D ．12x -…或3x … 10．已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a=A ．–4B ．–2C ．4D ．211．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为A ．1220 B ．2755 C ．2125D ．27220 12．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sinsin 22m n n m ππ-<-，则以下判断正确的是( ) A ．m n > B ．||||m n <C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定二、填空题13．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________． 14．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．15．已知函数21,1()()1a x x f x x a x ⎧-+≤=⎨->⎩，函数()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．16．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．17．函数()23s 34f x in x cosx =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是__________． 18．已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值为__________．19．高三某班一学习小组的,,,A B C D 四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A 不在散步，也不在打篮球；②B 不在跳舞，也不在散步；③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件；④D 不在打篮球，也不在散步；⑤C 不在跳舞，也不在打篮球.以上命题都是真命题，那么D 在_________.20．已知α，β均为锐角，4cos 5α=，1tan()3αβ-=-，则cos β=_____． 三、解答题21．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.22．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()0,5，且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在[],1x t t ∈+上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式. 23．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2~,X N μσ，则① ()0.6827P X μσμσ-<+=…；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=…；③(33)0.9973P X μσμσ-<+=….（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?24．（辽宁省葫芦岛市2018年二模）直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x tcos y tsin αα=+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6cos ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，若点P 的坐标为()2,1，求PA PB +的最小值.25．在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3:cos sin 0l ρθθ+=，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.26．已知函数()1f x ax lnx =--，a R ∈．(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若函数()f x 在1x =处取得极值，对()0,x ∀∈+∞，()2f x bx ≥-恒成立，求实数b 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】首先根据向量OA u u u v对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB uuu v 对应的复数，得到结果.【详解】复数12i -+对应的点为(1,2)A -，点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -，所以向量OB uuu r对应的复数为2i -+．故选A ．【点睛】该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示. 2．D解析：D【解析】【分析】根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案.【详解】根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.3．A解析：A【解析】【分析】【详解】试题分析：如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；若M ∈α，M ∈β，α∩β=l ，则M ∈l ，故（3）正确；空间中，相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的3条侧棱），故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选A ．4．C解析：C【解析】由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意； 当20a -≠时，要使不等式恒成立，需2)2204(44(2)0a a a --<⎧⎨∆=+⨯-<⎩n ， 解得22a -<<，综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ．5．C解析：C【解析】【分析】定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可.【详解】①中()f x =的定义域为(),0∞-，()f x =(),0∞-，但()f x ==-与()f x =②中()f x x =与()g x =R ，但()g x x ==与()f x x =对应关系不一致，所以②不是同一函数； ③中()0f x x =与()01g x x =定义域都是{}|0x x ≠，且()01f x x ==，()011g x x==对应关系一致，所以③是同一函数； ④中()221f x x x =--与()221g t t t =--定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数. 故选C【点睛】本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型. 6．D解析：D【解析】【分析】【详解】题目中当n=k+1时不等式的证明没有用到n=k 时的不等式，正确的证明过程如下：在（2）中假设n k = 1k <+ (1)1k ++成立，即1n k =+时成立，故选D ．点睛：数学归纳法证明中需注意的事项(1)初始值的验证是归纳的基础，归纳递推是证题的关键，两个步骤缺一不可．(2)在用数学归纳法证明问题的过程中，要注意从k 到k ＋1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误．(3)解题中要注意步骤的完整性和规范性，过程中要体现数学归纳法证题的形式.7．D解析：D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数'()f x 的正负，得出原函数()f x 的单调区间．8．D解析：D【解析】试题分析：因为210:270:3007:9:10,=所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人.考点：本小题主要考查分层抽样的应用.点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.9．C解析：C【解析】【分析】根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，题目可以转化为找x≤-12或x≥3的必要不充分条件条件，依次分析选项即可得答案．【详解】 根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，则2x 2-5x-3≥0⇔x≤12-或3x …，所以可以转化为找x≤-12或x≥3的必要不充分条件； 依次选项可得：x 1<-或x 4>是12x ≤-或x≥3成立的充分不必要条件； x 0≥或x 2≤-是12x ≤-或x≥3成立的既不充分也不必要条件 x 0<或x 2>是12x ≤-或x≥3成立的必要不充分条件； x≤-12或x≥3是12x ≤-或x≥3成立的充要条件； 故选C ．【点睛】本题考查了充分必要条件，涉及一元二次不等式的解答，关键是正确解不等式2x 2-5x-3≥0．10．D解析：D【解析】试题分析：()()()2312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即2a =，故选D.【考点】函数的导数与极值点【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.11．D解析：D【解析】【分析】旧球个数x=4即取出一个新球，两个旧球，代入公式即可求解．【详解】因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为x=4，即旧球增加一个，所以取出的三个球中必有一个新球，两个旧球，所以129331227(4)220C C P X C ===，故选D ．【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列，需认真分析P(X=4)的意义，属基础题．12．C解析：C【解析】【分析】 由函数的增减性及导数的应用得：设3()sin ,[1,1]2xf x x x π=+∈-，求得可得()f x 为增函数，又m ，[1n ∈-，1)时，根据条件得()()f m f n <，即可得结果．【详解】 解：设3()sin,[1,1]2x f x x x π=+∈-， 则2()3cos 022x f x x ππ'=+>， 即3()sin ,[1,1]2xf x x x π=+∈-为增函数，又m ，[1n ∈-，1)，33sinsin 22m n n m ππ-<-， 即33sin sin 22mn m n ππ+<+，所以()()f m f n <，所以m n <．故选：C ．【点睛】 本题考查了函数的增减性及导数的应用，属中档题．二、填空题13．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：解析：2【解析】【详解】当x≤0时，由f （x ）=x 2﹣2=0，解得x=1个零点；当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点，所以共有2个零点．故答案为：2．【点睛】判断函数零点个数的方法直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0⇔h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数14．【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程解出详解：设因为所以所以所以点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系属于中档题 解析：12【解析】【分析】【详解】分析：根据独立事件的关系列出方程，解出()P B .详解：设()()()P A a,P B b,P C c ===,因为()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=， 所以()()16118118ab b c ab c ⎧=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩所以111a ,b ,324c ===所以()1P B 2=点睛：本题主要考查相互独立事件的概率的乘法公式及对立事件的概率关系，属于中档题．15．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3【解析】 【分析】由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，解得2=-x a 或x a =-，所以2112a a a a -≤⎧⎪-≤⎨⎪-≠-⎩，解得13a <?；当1x >时，由2()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以1111a a ->⎧⎨+>⎩，解得2a >，综上可得：实数a 的取值范围为(]2,3. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.16．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的解析：4【解析】 【分析】将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值. 【详解】过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，1122,23BC C D BD ===，故16cos 22223C BD ∠==⨯⨯.【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.17．1【解析】【详解】化简三角函数的解析式可得由可得当时函数取得最大值1解析：1 【解析】 【详解】化简三角函数的解析式， 可得()22311cos 3cos 344f x x x x x =--=-++= 23(cos 1x -+， 由[0,]2x π∈，可得cos [0,1]x ∈， 当3cos x =时，函数()f x 取得最大值1． 18．【解析】依题意可得焦点的坐标为设在抛物线的准线上的射影为连接由抛物线的定义可知又解得点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用考查了学生数形结合思想和转化与化归思想设出点在抛物线的准 2【解析】依题意可得焦点F 的坐标为04a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK 由抛物线的定义可知MF MK =13FM MN =Q ∶∶ 221KN KM ∴=∶∶又01404FN K a a --==-， 22FN KN K KM==-422a-∴=-，解得2a = 点睛：本题主要考查的知识点是抛物线的定义以及几何性质的应用，考查了学生数形结合思想和转化与化归思想，设出点M 在抛物线的准线上的射影为K ，由抛物线的定义可知MF MK =，再根据题设得到221KN KM =∶∶，然后利用斜率得到关于a 的方程，进而求解实数a 的值19．画画【解析】以上命题都是真命题∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞B 在打篮球∵③C 在散步是A 在跳舞的充分条件∴C 在散步则D 在画画故答案为画画解析：画画 【解析】以上命题都是真命题， ∴对应的情况是：则由表格知A 在跳舞，B 在打篮球，∵③“C 在散步”是“A 在跳舞”的充分条件， ∴C 在散步， 则D 在画画， 故答案为画画20．【解析】【分析】先求得的值然后求得的值进而求得的值【详解】由于为锐角且故由解得由于为锐角故【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正切公式属于中档题 解析：1050【解析】 【分析】先求得tan α的值，然后求得tan β的值，进而求得cos β的值. 【详解】由于α为锐角，且4cos 5α=，故23sin 1cos 5αα=-=，sin 3tan cos 4ααα==.由()tan tan 1tan 1tan tan 3αβαβαβ--==-+⋅，解得13tan 9β=，由于β为锐角，故22222cos 1cos cos cos sin 1tan ββββββ===++91050=. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.三、解答题21．（1）26cos 2sin 60ρρθρθ--+=（26525【解析】 【分析】（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C 的直角坐标方程，再利用y sin x cos ρθρθ=⎧⎨=⎩，整理即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离. 【详解】（1）由3212x cos y sin αα=+⎧⎨=-⎩，得3212x cos y sin αα-=⎧⎨-=-⎩，两式两边平方并相加，得()()22314x y -+-=， 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆.将y sin x cos ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()()22cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+=所以曲线C 的极坐标方程为26cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1sin 2cos θθρ-=，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+= 因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离d ==，所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为25d r +=+. 【点睛】本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.22．（1）2()210f x x x =-（2）223268,,22535(),,2225210,,2t t t g t t t t t ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩【解析】(1)因为()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()0,5，所以可设()(5)(0).f x ax x a =->,然后因为-1比5离对称轴的距离远，所以最大值为(-1)=6a,求出a值，从而求出f(x)的解析式.（II ）本小题属于二次函数轴定区间动的问题，分三种情况讨论分别求其最小值即可. 解：（1）Q ()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),∴可设()(5)(0).f x ax x a =->()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=由已知，得612,a =2,a ∴=2()2(5)210().f x x x x x x R ∴=-=-∈（2）由（1）知22525()2102.22f x x x x ⎛⎫∴=-=-- ⎪⎝⎭，开口向上，对称轴为52x = ①当512t +≤，即32t ≤时，()f x 在[],1t t +上是单调递减， ()()()2221101268g t t t t t ∴=+-+=--②当52t ≥时，()f x 在[],1t t +上是单调递减 ()22210210g t t t t t ∴=-=-③当512t t ≤≤+，即3522t ≤≤时，()f x 在对称轴处取得最小值 ()52522g t f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭23．（1）17.4；（2）（i ）14.77千元（ii ）978位 【解析】 【分析】（1）用每个小矩形的面积乘以该组中点值，再求和即可得到平均数； （2）（i ）根据正态分布可得：0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈即可得解；（ii ）根据正态分布求出每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，利用独立重复试验概率计算法则求得概率最大值的k 的取值即可得解. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：120.04140.12160.28180.36200.1220.06240.0417.4x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（2）（i ）由题()~17.4,6.92X N ，0.6827()0.50.84142P X μσ>-=+≈， 所以17.4 2.6314.77μσ-=-=满足题意，即最低年收入大约14.77千元； （ii ）0.9545(12.14)(2)0.50.97732P X P X μσ≥=≥-=+≈， 每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，记这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数为X ，()1000,0.9773X B : 恰有k 位农民中的年收入不少于12.14千元的概率()()100010000.997310.9973kkk P X k C -==-()()()()10010.97731110.9773P X k k P X k k =-⨯=>=-⨯-得10010.9773978.2773k <⨯=，所以当0978k ≤≤时，()()1P X k P X k =-<=，当9791000k ≤≤时，()()1P X k P X k =->=，所以这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978位. 【点睛】此题考查频率分布直方图求平均数，利用正态分布估计概率，结合独立重复试验计算概率公式求解具体问题，综合性强. 24．（1）()2239x y -+=（2） 【解析】分析：（1）将6cos ρθ=两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出PA PB +．详解：（1）由26cos ,6cos ρθρρθ==得，化为直角坐标方程为226x y x +=， 即()2239x y -+=（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，得()22cos sin 70t t αα+--=因为0V >，可设12,t t 是上述方程的两根，()12122cos sin 7t t t t αα⎧+=--⎨⋅=-⎩所以又因为（2，1）为直线所过定点，1212PA PB t t t t ∴+=+=-==≥=所以PA PB 的最小值为∴+点睛：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数方程的几何意义与应用，属于基础题．25．（1）()2240x y y -=≠（2【解析】（1）消去参数t 得1l 的普通方程()1:2l y k x =-；消去参数m 得l 2的普通方程()21:2l y x k=+.设(),P x y ,由题设得()()212y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，消去k 得()2240x y y -=≠. 所以C 的普通方程为()2240x y y -=≠.（2）C 的极坐标方程为()()222cos sin 402π,πρθθθθ-=<<≠.联立()()222cos sin 4,cos sin 0ρθθρθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩得()cos sin 2cos sin θθθθ-=+.故1tan 3θ=-， 从而2291cos ,sin 1010θθ==. 代入()222cos sin 4ρθθ-=得25ρ=，所以交点M【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 26．(1) 当0a ≤时，()f x 的单调递减区间是(0,)+∞，无单调递增区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2) 211b e -≤ 【解析】 【分析】 【详解】分析：（1）求导()f x '，解不等式()0f x '>，得到增区间，解不等式()0f x '<，得到减区间；（2）函数f （x ）在x=1处取得极值，可求得a=1，于是有f （x ）≥bx ﹣2⇔1+1x﹣lnx x ≥b ，构造函数g （x ）=1+1x﹣lnxx ，g （x ）min 即为所求的b 的值 详解：（1）在区间()0,∞+上， ()11ax f x a x x-'=-=， 当0a ≤时， ()0f x '<恒成立， ()f x 在区间()0,∞+上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=得1x a=， 在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，在区间1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 综上所述：当0a ≤时， ()f x 的单调递减区间是()0,∞+，无单调递增区间； 当0a >时，()f x 的单调递减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）因为函数()f x 在1x =处取得极值， 所以()10f '=，解得1a =，经检验可知满足题意 由已知()2f x bx ≥-，即1ln 2x x bx --≥-， 即1ln 1+xb x x-≥对()0,x ∀∈+∞恒成立， 令()1ln 1x g x x x=+-， 则()22211ln ln 2x x g x x x x-='---=， 易得()g x 在(20,e ⎤⎦上单调递减，在)2,e ⎡+∞⎣上单调递增，所以()()22min 11g x g ee ==-，即211b e-≤. 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min ()0f x >，若()0f x <恒成立，转化为max ()0f x <;（3）若()()f x g x >恒成立，可转化为min max ()()f x g x >。
2021-2022学年河南省郑州市第二十中学高三数学理期末试卷含解析
2021-2022学年河南省郑州市第二十中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数,则“是奇函数”是的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B2. 设变量x，y满足约束条件，则z＝x－3y的最大值为A．B．4 C．3 D．参考答案：B3. 设随机变量服从正态分布N(3，4)，若，则实数a的值为A. B. C. D．参考答案：A略4. 五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的选取方案共有（）A. 10种 B. 15种 C. 4种D. 5种参考答案：D【分析】依据图形可以得到2类元素相生的选取方案总数.【详解】从5类元素中任选2类元素，它们相生的选取有：火土，土金，金水，水木，木火，共5种，故选D.5. 在中，若，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为A． B．2 C． D．4参考答案：B试题分析：由面积公式，得，代入得，由余弦定理得，故，由正弦定理，得，解得，故答案为B．考点：1、三角形的面积公式应用；2、余弦定理的应用；3、正弦定理的应用．6. 设0<b<a<1，则下列不等式成立的是()A．ab<b2<1 B．<()a<()bC．a2<ab<1 D．log b<log a<0参考答案：B7. 设为表示不超过的最大整数,则函数的定义域为 ( )A．B．C．D．参考答案：B略8. 在平面直角坐标系中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是A. B. C. D.参考答案：9. 已知圆C的圆心为y=x2的焦点，且与直线4x+3y+2=0相切，则圆C的方程为（）A．B．C．（x﹣1）2+y2=1 D．x2+（y﹣1）2=1参考答案：D【考点】圆的切线方程．【分析】求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆C的方程．【解答】解：的焦点为（0，1），所以圆C为，所以x2+（y﹣1）2=1，故选：D．【点评】本题考查圆C的方程，考查抛物线的性质，确定圆心坐标与半径是关键．10. 若一个圆柱的正视图与其侧面展开图相似，则这个圆柱的侧面积与全面积之比为A．B．C．D．参考答案：设圆柱的底面半径为，高为，则，则，则侧，全，故圆柱的侧面积与全面积之比为，故选．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 15．先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b．将a,b,5的值分别作为三条线段的长，这三条线段能围成等腰三角形的概率。