2020重庆中考数学复习一次函数专题训练五(含答案解析)
2020重庆中考数学复习一次函数专题训练五1．八年级（1）班张山同学利用所学函数知识，对函数y＝|x+2|﹣x﹣1进行了如下研究：列表如下：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…Y…753m1n111…描点并连线（如下图）（1）自变量x的取值范围是；（2）表格中：m＝；n＝；（3）在给出的坐标系中画出函数y＝|x+2|﹣x﹣1的图象；（4）一次函数y＝﹣x+3的图象与函数y＝|x+2|﹣x﹣1的图象交点的坐标为．2．有这样一个问题探究函数（b、c为常数）的图象和性质．元元根据学习函数的经验，对该函数的图象和性质进行了以下探究：下面是元元的探究过程，请你补充完整x……﹣10123456……y……0 2.54m4 2.501……（1）根据上表信息，其中b＝，c＝，m＝．（2）如图，在下面平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，并画出该函数的另一部分图象；（3）观察函数图象，请写出该函数的一条性质：．（4）解决问题：若直线y＝3n+2（n为常数）与该函数图象有3个交点时，求n的范围．3．已知函数y1＝ax+2﹣，其自变量的取值范围是x＞﹣2．当x＝2时，y1＝﹣2；当x＝6时，y1＝﹣5．（1）根据给定的条件，求出a、b的值和y1的函数解析式；（2）根据你所求的函数解析式，选取适当的自变量x完成如表，并在下面的平面直角坐标系中描点并画出函数的大致图象：x…6…y…﹣5…（3）请画出y2＝x﹣4的图象，并结合图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围是．4．初三某班“挑战极限”学习小组根据学习函数的经验，通过研究一个未学过的函数的图象，从而探究其各方面的性质．下表是函数y与自变量x的几组对应值：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…2 2.434630﹣3﹣6…（1）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，每个小方格的边长为一个单位长度，请根据上表中各组对应值为坐标描出点，并画出该函数的图象；（2）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的关系式y＝，（要求写出自变量的取值范围），并写出该函数的一条性质；（3）当直线y＝x+b与该函数图象有3个交点时，求b的取值范围．5．九年级8班的王源同学根据学习经验，决定从问题的简单、特殊情形入手进行探究函数y＝的图象和性质，下面是他的探究过程，请你一起来完成．（1）下表是y与x的几组对应值：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…97m3163n…经计算，m的值为，n的值为；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中描出上列各点，请画出该函数图象；（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质：．6．小明研究一函数的性质，下表是该函数的几组对应值：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…830﹣1030﹣3﹣6…（1）在平面直角坐标系中，描出以上表格中的各点，根据描出的点，画出该函数图象（2）根据所画函数图象，写出该函数的一条性质：；（3）根据图象直接写出该函数的解析式及自变量的取值范围：；（4）若一次函数y＝x+n与该函数图象有三个交点，则n的范围是．7．已知函数y1＝的部分图象如图所示，（1）请在图中补全y的函数图象；（2）已知函数y2的图象与函数y1的图象关于y轴对称，请在图中画出函数y2的图象；（3）若直线y3＝x+a与函数y1、y2的图象有且只有一个交点，则a的取值范围是．2020重庆中考数学复习一次函数专题训练五答案解析1．八年级（1）班张山同学利用所学函数知识，对函数y＝|x+2|﹣x﹣1进行了如下研究：列表如下：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣10123…Y…753m1n111…描点并连线（如下图）（1）自变量x的取值范围是全体实数；（2）表格中：m＝1；n＝1；（3）在给出的坐标系中画出函数y＝|x+2|﹣x﹣1的图象；（4）一次函数y＝﹣x+3的图象与函数y＝|x+2|﹣x﹣1的图象交点的坐标为（﹣6，9）和（2，1）．解：（1）∵函数y＝|x+2|﹣x﹣1，∴自变量x的取值范围为全体实数（2）当x＝﹣2时，m＝|﹣2+2|+2﹣1＝1，当x＝0时，n＝|0+2|﹣0﹣1＝1，（3）如下图：（4）在（3）中坐标系中作出直线y＝﹣x+3，如下：由图象得：一次函数y＝﹣x+3的图象与函数y＝|x+2|﹣x﹣1的图象交点的坐标为（﹣6，9）和（2，1）2．有这样一个问题探究函数（b、c为常数）的图象和性质．元元根据学习函数的经验，对该函数的图象和性质进行了以下探究：下面是元元的探究过程，请你补充完整x……﹣10123456……y……0 2.54m4 2.501……（1）根据上表信息，其中b＝2，c＝ 2.5，m＝ 4.5．（2）如图，在下面平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，并画出该函数的另一部分图象；（3）观察函数图象，请写出该函数的一条性质：当x＜2时，y随x的增大而增大．（4）解决问题：若直线y＝3n+2（n为常数）与该函数图象有3个交点时，求n的范围．解：（1）由表格数据得：当x＝﹣1时，y＝0；当x＝5时，y＝0；当x＝0时，y＝2.5；∴﹣b＝＝2，c＝2.5，∴y＝∴当x＝2时，y＝4.5，即m＝4.5，故答案为：2，2.5，4.5；（2）图象如下：（3）观察图象可知：当x＜2时，y随x的增大而增大（4）∵当x＝2时，y＝4.5；∴由图象可知直线y＝4.5与该函数图象有2个交点，直线y＝0与该函数图象有2个交点，∴直线y＝3n+2（n为常数）与该函数图象有3个交点时，0＜3n+2＜4.5，∴﹣＜n＜．3．已知函数y1＝ax+2﹣，其自变量的取值范围是x＞﹣2．当x＝2时，y1＝﹣2；当x＝6时，y1＝﹣5．（1）根据给定的条件，求出a、b的值和y1的函数解析式；（2）根据你所求的函数解析式，选取适当的自变量x完成如表，并在下面的平面直角坐标系中描点并画出函数的大致图象：x…6…y…﹣5…（3）请画出y2＝x﹣4的图象，并结合图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜2．解：（1）∵y1＝ax+2﹣，把x＝2，y1＝﹣2；x＝6，y1＝﹣5代入，得，解得，∴y1的函数解析式为y1＝﹣x+2﹣；（2）填表如下：x…﹣10123456…y…﹣5﹣2﹣﹣2﹣﹣﹣﹣5…图象如图所示：（3）函数y2＝x﹣4的图象如图所示．由图可知，当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜2．4．初三某班“挑战极限”学习小组根据学习函数的经验，通过研究一个未学过的函数的图象，从而探究其各方面的性质．下表是函数y与自变量x的几组对应值：x…﹣6﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012…y…2 2.434630﹣3﹣6…（1）在如图所示的平面直角坐标系xOy中，每个小方格的边长为一个单位长度，请根据上表中各组对应值为坐标描出点，并画出该函数的图象；（2）请根据画出的函数图象，直接写出该函数的关系式y＝，（要求写出自变量的取值范围），并写出该函数的一条性质；（3）当直线y＝x+b与该函数图象有3个交点时，求b的取值范围．解：（1）如图，即为该函数的图象：（2）当x＜﹣2时，y随x的增大而增大；x＞2时．y随增大而减小；故答案为：；（3）依题意可得：，整理得：x2+3bx+36＝0当△＝0，即b＝4时直线与反比例函数有一个交点，当直线经过点（﹣2，6）时，即当时，直线与该函数有三个交点．5．九年级8班的王源同学根据学习经验，决定从问题的简单、特殊情形入手进行探究函数y＝的图象和性质，下面是他的探究过程，请你一起来完成．（1）下表是y与x的几组对应值：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…97m3163n…经计算，m的值为5，n的值为2；（2）如图，在平面直角坐标系xOy中描出上列各点，请画出该函数图象；（3）根据函数图象，写出该函数的一条性质：当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而减小．解：（1）当x＝﹣2时，m＝﹣2×（﹣2）+1＝5，当x＝3时，y＝＝2，（2）如图（3）当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而减小．故答案为5，2；当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而减小．6．小明研究一函数的性质，下表是该函数的几组对应值：x…﹣4﹣3﹣2﹣101234…y…830﹣1030﹣3﹣6…（1）在平面直角坐标系中，描出以上表格中的各点，根据描出的点，画出该函数图象（2）根据所画函数图象，写出该函数的一条性质：x＜﹣1时，y随x的增大而减小；（3）根据图象直接写出该函数的解析式及自变量的取值范围：；（4）若一次函数y＝x+n与该函数图象有三个交点，则n的范围是．解：（1）根据表格的点所画的图象如图所示：（2）观察图象可得其中的一条性质为：x＜﹣1时，y随x的增大而减小（3）当x＜1时，函数经过点点（﹣3，3）（﹣2，0）（0，0）故设函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣0），将点（﹣4，6）代入解得3＝a（﹣3+2）×（﹣3），解得a＝1，∴x＜1时，函数解析式为：y＝x2+2x，（x＜1）当x≥1时，函数经过点（1，3）（2，0）故设函数解析式为：y＝kx+b，解得∴x≥1时，函数解析式为：y＝﹣3x+6故答案为：，（4）由图象可知，一次函数y＝x+n与函数y＝﹣3x+6交点在（1，3）时有3＝+n得，n＝一次函数y＝x+n与y＝x2+2x有且仅有一个交点时，有⇒∴△＝，解得n＝故一次函数y＝x+n与该函数图象有三个交点时，n的范围是故答案为：7．已知函数y1＝的部分图象如图所示，（1）请在图中补全y的函数图象；（2）已知函数y2的图象与函数y1的图象关于y轴对称，请在图中画出函数y2的图象；（3）若直线y3＝x+a与函数y1、y2的图象有且只有一个交点，则a的取值范围是a＞1或﹣1＜a＜1．解：（1）函数y1的图象如图所示，（2）函数y2的图象如图所示；（3）∵直线y3＝x+a与函数y1、y2的图象有且只有一个交点，∴a的取值范围为：a＞1或﹣1＜a＜1．。
2020年中考总复习一次函数经典题型汇总(含答案)
1、如图，在平闻直角坐标系中，直线AB与y轴交于点B（0，7），与反比例函数y＝在第二象限内的图象相交于点A（﹣1，a）．（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求△ACD的面积；（3）设直线CD的解析式为y＝mx+n，根据图象直接写出不等式mx+n≤的解集．2、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点A，B，点C在射线BO上，点D在射线BA上，且BD＝OC，以CO，CD为邻边作▱COED．设点C 的坐标为（0，m），▱COED在x轴下方部分的面积为S．求：（1）线段AB的长；（2）S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．3、图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．4、如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数的表达式．（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．5、如图，▱ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），AD∥x轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是﹣4，▱ABCD的面积是24．反比例函数y＝的图象经过点B和D，求：（1）反比例函数的表达式；（2）AB所在直线的函数表达式．6、如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的两点，与轴交于点 .⑴.求该反比例函数和一次函数的解析式；⑵.在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标；⑶.直接写出当时，的取值范围.7、如图，已知A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．8、双曲线y＝（k为常数，且k≠0）与直线y＝﹣2x+b，交于A（﹣m，m﹣2），B（1，n）两点．（1）求k与b的值；（2）如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积．9、如图，点A（，4），B（3，m）是直线AB与反比例函数y＝（x＞0）图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．（1）求直线AB的表达式；（2）△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2．求S2﹣S1．10、如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3．（1）求一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）写出不等式kx+b＞﹣的解集．11、如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．参考答案1、如图，在平闻直角坐标系中，直线AB与y轴交于点B（0，7），与反比例函数y＝在第二象限内的图象相交于点A（﹣1，a）．（1）求直线AB的解析式；（2）将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求△ACD的面积；（3）设直线CD的解析式为y＝mx+n，根据图象直接写出不等式mx+n≤的解集．解：（1））∵点A（﹣1，a）在反比例函数y＝的图象上，∴a＝＝8，∴A（﹣1，8），∵点B（0，7），∴设直线AB的解析式为y＝kx+7，∵直线AB过点A（﹣1，8），∴8＝﹣k+7，解得k＝﹣1，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+7；（2）∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为y＝﹣x﹣2，∴D（0，﹣2），∴BD＝7+2＝9，联立，解得或，∴C（﹣4，2），E（2，﹣4），连接AC，则△CBD的面积＝×9×4＝18，由平行线间的距离处处相等可得△ACD与△CDB面积相等，∴△ACD的面积为18．（3）∵C（﹣4，2），E（2，﹣4），∴不等式mx+n≤的解集是：﹣4＜x＜0或x＞2．2、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点A，B，点C在射线BO上，点D在射线BA上，且BD＝OC，以CO，CD为邻边作▱COED．设点C 的坐标为（0，m），▱COED在x轴下方部分的面积为S．求：（1）线段AB的长；（2）S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．解：（1）当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝4，∴直线y＝﹣x+3与x轴点交A（4，0），与y轴交点B（0，3）∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝，因此：线段AB的长为5．（2）当CD∥OA时，如图，∵BD＝OC，OC＝m，∴BD＝m，由△BCD∽△BOA得：，即：，解得：m＝；①当0＜m≤时，如图1所示：DE＝m≤，此时点E在△AOB的内部，S＝0 （0＜m≤）；②当＜m≤3时，如图2所示：过点D作DF⊥OB，垂足为F，此时在x轴下方的三角形与△CDF全等，∵△BDF∽△BAO，∴，∴DF＝，同理：BF＝m，∴CF＝2m﹣3，∴S△CDF＝＝（2m﹣3）×＝m2﹣4m，即：S＝m2﹣4m，（＜m≤3）③当m＞3时，如图3所示：过点D作DF⊥y轴，DG⊥x轴，垂足为、FG，同理得：DF＝，BF＝m，∴OF＝DG＝m﹣3，AG＝m﹣4，∴S＝S△OGE﹣S△ADG＝＝∴S＝，（m＞3）答：S＝3、图象上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．（1）点A是否在该反比例函数的图象上？请说明理由；（2）若该反比例函数图象与DE交于点Q，求点Q的横坐标；（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函数的图象上，试描述平移过程．解：（1）过点P作x轴垂线PG，连接BP，∵P是正六边形ABCDEF的对称中心，CD＝2，∴BP＝2，G是CD的中点，∴PG＝，∴P（2，），∵P在反比例函数y＝上，∴k＝2，∴y＝，由正六边形的性质，A（1，2），∴点A在反比例函数图象上；（2）D（3，0），E（4，），设DE的解析式为y＝mx+b，∴，∴，∴y＝x﹣3，联立方程解得x＝，∴Q点横坐标为；（3）E（4，），F（3，2），将正六边形向左平移两个单位后，E（2，），F（1，2），则点E与F都在反比例函数图象上；4、如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数的表达式．（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C，根据等边三角形的性质得出点A坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；（2）分两种情况讨论：①反比例函数图象过AB的中点；②反比例函数图象过AO的中点．分别过中点作x轴的垂线，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出a的值即可．【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，OC＝OB，∵B（4，0），∴OB＝OA＝4，∴OC＝2，AC＝2．把点A（2，2）代入y＝，得k＝4．∴反比例函数的解析式为y＝；（2）分两种情况讨论：①点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．由题意得A′B′＝4，∠A′B′E＝60°，在Rt△DEB′中，B′D＝2，DE＝，B′E＝1．∴O′E＝3，把y＝代入y＝，得x＝4，∴OE＝4，∴a＝OO′＝1；②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．由题意得A′O′＝4，∠A′O′B′＝60°，在Rt△FO′H中，FH＝，O′H＝1．把y＝代入y＝，得x＝4，∴OH＝4，∴a＝OO′＝3，综上所述，a的值为1或3．5、如图，▱ABCD中，顶点A的坐标是（0，2），AD∥x轴，BC交y轴于点E，顶点C的纵坐标是﹣4，▱ABCD的面积是24．反比例函数y＝的图象经过点B和D，求：（1）反比例函数的表达式；（2）AB所在直线的函数表达式．【解答】解：（1）∵顶点A的坐标是（0，2），顶点C的纵坐标是﹣4，∴AE＝6，又▱ABCD的面积是24，∴AD＝BC＝4，则D（4，2）∴k＝4×2＝8，∴反比例函数解析式为y＝；（2）由题意知B的纵坐标为﹣4，∴其横坐标为﹣2，则B（﹣2，﹣4），设AB所在直线解析式为y＝kx+b，将A（0，2）、B（﹣2，﹣4）代入，得：，解得：，所以AB所在直线解析式为y＝3x+2．6、如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一、三象限内的两点，与轴交于点 .⑴.求该反比例函数和一次函数的解析式；⑵.在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标；⑶.直接写出当时，的取值范围.分析：⑴.先利用已知点的坐标求出反比例函数的解析式，在此基础上求出点的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式；⑵.根据题意和函数图象的最大值先利用勾股定理分别求的长度再代入相减，本题就是的长度；⑶.直接根据两图象相交上下位置可以读出时的的取值范围.，注意在每一个象限内来认识.略解：⑴.∵在反比例函数上∴∴反比例函数的解析式为··········2分把代入可求得∴.·····························3分把代入为解得.∴一次函数的解析式为.·····················5分⑵. 的最大值就是直线与两坐标轴交点间的距离.设直线与轴的交点为.令，则，解得，∴令，则，，∴∴,∴的最大值为 . ····8分⑶.根据图象的位置和图象交点的坐标可知：当时的取值范围为;或.·············10分7、如图，已知A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b和反比例函数y＝的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．解：（1）∵A（n，﹣2），B（﹣1，4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点，∴4＝，得m＝﹣4，∴y＝﹣，∴﹣2＝﹣，得n＝2，∴点A（2，﹣2），∴，解得，∴一函数解析式为y＝﹣2x+2，即反比例函数解析式为y＝﹣，一函数解析式为y＝﹣2x+2；（2）设直线与y轴的交点为C，当x＝0时，y＝﹣2×0+2＝2，∴点C的坐标是（0，2），∵点A（2，﹣2），点B（﹣1，4），∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×2+×2×1＝3．8、双曲线y＝（k为常数，且k≠0）与直线y＝﹣2x+b，交于A（﹣m，m﹣2），B（1，n）两点．（1）求k与b的值；（2）如图，直线AB交x轴于点C，交y轴于点D，若点E为CD的中点，求△BOE的面积．解：（1）∵点A（﹣m，m﹣2），B（1，n）在直线y＝﹣2x+b上，∴，解得：，∴B（1，﹣2），代入反比例函数解析式，∴，∴k＝﹣2．（2）∵直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2，令x＝0，解得y＝﹣2，令y＝0，解得x＝﹣1，∴C（﹣1，0），D（0，﹣2），∵点E为CD的中点，∴E（），∴S△BOE＝S△ODE+S△ODB＝＝＝．9、如图，点A（，4），B（3，m）是直线AB与反比例函数y＝（x＞0）图象的两个交点，AC⊥x轴，垂足为点C，已知D（0，1），连接AD，BD，BC．（1）求直线AB的表达式；（2）△ABC和△ABD的面积分别为S1，S2．求S2﹣S1．【分析】（1）先将点A（，4）代入反比例函数解析式中求出n的值，进而得到点B的坐标，已知点A、点B坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的表达式；（2）利用三角形的面积公式以及割补法分别求出S1，S2的值，即可求出S2﹣S1．【解答】解：（1）由点A（，4），B（3，m）在反比例函数y＝（x＞0）图象上∴4＝∴n＝6∴反比例函数的解析式为y＝（x＞0）将点B（3，m）代入y＝（x＞0）得m＝2∴B（3，2）设直线AB的表达式为y＝kx+b∴解得∴直线AB的表达式为y＝﹣；（2）由点A、B坐标得AC＝4，点B到AC的距离为3﹣＝∴S1＝×4×＝3设AB与y轴的交点为E，可得E（0，6），如图：∴DE＝6﹣1＝5由点A（，4），B（3，2）知点A，B到DE的距离分别为，3∴S2＝S△BDE﹣S△ACD＝×5×3﹣×5×＝∴S2﹣S1＝﹣3＝．10、如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3．（1）求一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）写出不等式kx+b＞﹣的解集．解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于A、B两点，且与x轴交于点C，与y轴交于点D，A点的横坐标与B点的纵坐标都是3，∴3＝﹣，解得：x＝﹣4，y＝﹣＝﹣4，故B（﹣4，3），A（3，﹣4），把A，B点代入y＝kx+b得：，解得：，故直线解析式为：y＝﹣x﹣1；（2）y＝﹣x﹣1，当y＝0时，x＝﹣1，故C点坐标为：（﹣1，0），则△AOB的面积为：×1×3+×1×4＝；（3）不等式kx+b＞﹣的解集为：x＜﹣4或0＜x＜3．11、如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．解：（1）∵反比例函数y＝经过点B（2，﹣1），∴m＝﹣2，∵点A（﹣1，n）在y＝上，∴n＝2，∴A（﹣1，2），把A，B坐标代入y＝kx+b，则有，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣．（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1）∴BD∥x轴，∴S△ABD＝×2×3＝3．（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，∴y1＜y2．。
重庆市第一一〇中学2020年九年级数学函数综合复习测试卷(含答案)
函数综合复习测试卷一、选择题（48分）1.下列函数关系式中：；；；；；表示一次函数的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.抛物线的顶点坐标是A. B. C. D.3.函数中自变量x 的取值范围是A. B. 且 C. D. 且4.若反比例函数的图象经过点，则k 的值为A. 5B.C. 6D.5.小明的父亲饭后出去散步，从家中走20min到一个离家900m的报亭看10min报纸后，用15min返回家里，图中表示小明父亲离家的时间与距离之间的关系是A. B.C. D.6.在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是A. B. C. D.7.如图是二次函数的图象，有下面四个结论：；；；其中，正确的结论是A.B.C.D.8.x 0 1 3y 1 3 1下列结论：抛物线的开口向下；其图象的对称轴为；当时，函数值y随x 的增大而增大；方程有一个根大于其中正确的结论有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个9.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是6的正方形OABC 的两边AB，BC分别相交于M，N两点．的面积为若动点P在x轴上，则的最小值是A.B. 10C.D.10.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：、b同号；当和时，函数值相等；；当时，其中正确的有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.如图，在平面直接坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中根据这个规律，则第2016个点的横坐标为A. 44B. 45C. 46D. 4712.一次函数与的图象之间的距离等于3，则b的值为A. 或4B. 2或C. 4或D. 或6二、填空题（24分）13.抛物线的顶点坐标是______．14.将抛物线向右平移2个单位后，对称轴是y轴，那么m的值是______．15.如图，将平行四边形ABCO放置在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，若点A的坐标是，点C的坐标是，则点B的坐标是______．16.如图，直线与直线交于点，则关于x的不等式的解集是______．17.若函数是正比例函数，则该函数的图象经过第______象限．18.如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数图象上的点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B，点C在x 轴上，若的面积为1，则k的值为______．三、解答题（78分）19.设一次函数的图象经过、两点，求此函数的解析式．20.若二次函数的图象经过和两点，求此二次函数的表达式．21.如果二次函数的图象过点，求这个二次函数的解析式，并求出该函数图象的顶点坐标．22.已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，试确定m的取值范围．23.如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的交点．求反比例函数和一次函数的解析式；求的面积．直接写出一次函数值大于反比例函数值时的x的取值范围24.已知一次函数图象经过点两点．求一次函数解析式．若图象与x轴交与点A，与y轴交与点B，求出点A、B的坐标，并画出图象。
重庆市合川中学2019-2020年中考九年级数学典型压轴题专练：一次函数与反比例函数(含答案)
重庆市合川中学2019-2020 学年中考九年级数学典型压轴题专练：一次函数与反比率函数1、如，在平面直角坐系xOy 中，双曲y=与直y=2x+2 交于点 A（ 1，a）．（1）求 a， m的；（2）求双曲与直 y= 2x+2 另一个交点 B 的坐．2、如，已知直y1=x+1 与 x 交于点A，与直y2=x 交于点 B．（1）求△ AOB的面；（ 2）求 y1＞ y2x 的取范．3、在平面直角坐系中，把横坐都是整数的点称“整点”．（1）直接写出函数 y= 象上的全部“整点” A1， A2， A3，⋯的坐；（2）在（ 1）的全部整点中任取两点，用状或列表法求出两点对于原点称的概率．4、环保局对某公司排污状况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超出最高同意的 1.0mg/L ．环保局要求该公司立刻整顿，在15 天之内（含15 天）排污达标．整悔过程中，所排污水中硫化物的浓度y（ mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，此中线段AB表示前 3 天的变化规律，从第 3 天起，所排污水中硫化物的浓度y 与时间 x 成反比率关系．（1）求整悔过程中硫化物的浓度y 与时间 x 的函数表达式；（2）该公司所排污水中硫化物的浓度，可否在15天之内不超出最高同意的1.0mg/L ？为什么？5、如图，在平面直角坐标xOy 中，正比率函数y=kx 的图象与反比率函数y=的图象都经过点 A（ 2，﹣ 2）．（1）分别求这两个函数的表达式；（2）将直线 OA向上平移 3 个单位长度后与 y 轴交于点 B，与反比率函数图象在第四象限内的交点为 C，连结 AB， AC，求点 C 的坐标及△ ABC的面积．6、请用学过的方法研究一类新函数y=（k为常数，k≠ 0）的图象和性质．（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y=的图象；（2）对于函数y=，当自变量x 的值增大时，函数值y 如何变化？7、△ ABC的极点坐标为 A（﹣ 2，3）、B（﹣ 3，1）、C（﹣ 1，2），以坐标原点 O为旋转中心，顺时针旋转 90°，获得△ A′B′ C′，点 B′、 C′分别是点 B、 C 的对应点．（1）求过点 B′的反比率函数分析式；（2）求线段 CC′的长．8、如图，已知一次函数y= x+b 的图象与反比率函数y=（x＜0）的图象交于点A（﹣ 1，2）和点 B，点 C 在 y 轴上．（1）当△ ABC的周长最小时，求点 C 的坐标；（2）当x+b＜时，请直接写出x 的取值范围．9 、如图，直线 AB 与坐标轴分别交于 A（﹣ 2 ， 0 ）， B（ 0 ， 1 ）两点，与反比率函数的图象在第一象限交于点 C（ 4 ， n ），求一次函数和反比例函数的解析式．10、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与 x 轴交于点B，与 y 轴交于点A，与反比率函数 y=的图象在第二象限交于点C， CE⊥ x 轴，垂足为点E， tan ∠ ABO= ， OB=4，OE=2．（1）求反比率函数的分析式；（2）若点 D 是反比率函数图象在第四象限上的点，过点 D 作 DF⊥y 轴，垂足为点F，连结OD、 BF．假如 S△BAF=4S△DFO，求点 D的坐标．11、如图，直线y=x﹣与x，y轴分别交于点A， B，与反比率函数y=（k＞0）图象交于点 C， D，过点 A 作 x 轴的垂线交该反比率函数图象于点E．（1）求点 A 的坐标．（2）若 AE=AC．①求 k 的值．②试判断点 E 与点 D 能否对于原点 O成中心对称？并说明原因．12、在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（ a≠ 0）的图形与反比率函数y=（k≠ 0）的图象交于第二、四象限内的A、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，过点 A 作 AH⊥ y 轴，垂足为H，OH=3， tan ∠ AOH= ，点 B 的坐标为（ m，﹣ 2）．（1）求△ AHO的周长；（2）求该反比率函数和一次函数的分析式．13、如图， Rt△ ABO的极点 O在座标原点，点B在 x 轴上，∠ ABO=90°，∠ AOB=30°， OB=2，反比率函数y=（x＞0）的图象经过OA的中点 C，交 AB于点 D．（1）求反比率函数的关系式；（2）连结 CD，求四边形CDBO的面积．14、如图，直线y=ax+b 与反比率函数y=（x＞0）的图象交于A（ 1， 4）， B（ 4， n）两点，与 x 轴、 y 轴分别交于C、 D 两点．（1） m= x2，则 y1 ，n=；若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比率函数图象上两点，且y2（填“＜”或“ =”或“＞”）；0＜ x1＜（2）若线段CD上的点 P 到 x 轴、 y 轴的距离相等，求点P 的坐标．15、如图，直线y=x+与两坐标轴分别交于A、 B 两点．（1）求∠ ABO的度数；（2）过 A 的直线 l 交 x 轴半轴于 C， AB=AC，求直线 l 的函数分析式．16、如图，点A（ m， 4）， B（﹣ 4， n）在反比率函数y=（k＞0）的图象上，经过点A、 B的直线与x 轴订交于点C，与 y 轴订交于点D．（1）若 m=2，求 n 的值；（2）求 m+n的值；（3）连结 OA、OB，若 tan ∠ AOD+tan∠ BOC=1，求直线 AB的函数关系式．17、如图 1 所示，已知：点A（﹣ 2，﹣ 1）在双曲线C： y=上，直线l 1： y=﹣ x+2，直线l 2与 l 1对于原点成中心对称，F1（ 2， 2）， F2（﹣ 2，﹣ 2）两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B， P 是曲线 C 上第一象限内异于 B 的一动点，过P 作 x 轴平行线分别交l 1，l 2于 M， N 两点．（1）求双曲线 C 及直线l 2的分析式；（2）求证：PF2﹣PF1=MN=4；（3）如图 2 所示，△ PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点 B 重合．（参照公式：在平面坐标系中，如有点A（ x1， y1）， B（ x2，y2），则 A、 B 两点间的距离公式为AB= ．）参照答案：1、解：（ 1）∵点 A 的坐标是（﹣1， a），在直线y=﹣2x+2 上， [ 根源 :Z 。
中考数学专题复习5一次函数及其运用(解析版)
一次函数及其运用复习考点攻略考点01 一次函数相关概念1.正比例函数：一般地.形如y=kx（k是常数.k≠0）的函数.叫做正比例函数.其中k叫做正比例系数．2. 一次函数：一般地.形如y=kx+b(k.b为常数.且k≠0)的函数叫做x的一次函数。
特别地.当一次函数y=kx+b中的b=0时.y=kx（k是常数.k≠0）．这时.y叫做x的正比例函数．3. 一次函数的一般形式：一次函数的一般形式为y=kx+b.其中k.b为常数.k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0.（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.【注意】（1）正比例函数是一次函数.但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下.一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）判断一个函数是不是一次函数.就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 【例1】下列函数中.正比例函数是A．y=23xB．y=213x-C．y=34x D．y=12（x-1）【答案】C【解析】A.分母中含有自变量x.不是正比例函数.故A错误；B.y=213x-是一次函数.故B错误；C.y=34x是正比例函数.故C正确；D.y=12（x-1）可变形为y=12x-12是一次函数.故D错误．故选C．【例2】下列函数关系式：（1）y＝﹣x；（2）y＝x﹣1；（3）y＝1x；（4）y＝x2.其中一次函数的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】解：（1）y＝﹣x是正比例函数.是特殊的一次函数.故正确；（2）y＝x﹣1符合一次函数的定义.故正确；（3）y＝1x属于反比例函数.故错误；（4）y＝x2属于二次函数.故错误．综上所述.一次函数的个数是2个．故选：B．考点2 一次函数的图像和性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0.0）的一条直线．k的符号函数图象图象的位置性质k>0图象经过第一、三象限y随x的增大而增大k <0 图象经过第二、四象限y随x的增大而减小2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象一次函数的图象一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点(0.b)和(-bk.0)的一条直线图象关系一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0.向上平移b个单位长度；b<0.向下平移|b|个单位长度图象确定因为一次函数的图象是一条直线.由两点确定一条直线可知画一次函数图象时.只要取两点即可（2）一次函数的性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y=kx+b (k≠0)k>0.b>0 一、二、三y随x的增大而增大k>0.b<0 一、三、四y=kx+b (k≠0)k<0.b>0一、二、四y随x的增大而减小k<0.b<0 二、三、四（3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2.b1≠b2.两直线平行；②当k1=k2.b1=b2.两直线重合；③当k1≠k2.b1=b2.两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时.两直线垂直．【例3】已知正比例函数y=x的图象如图所示.则一次函数y=mx+n图象大致是A．B．C． D．【答案】C【解析】利用正比例函数的性质得出＞0.根据m、n同正.同负进行判断．由正比例函数图象可得：＞0.mn同正时.y=mx+n经过第一、二、三象限；mn同负时.经过第二、三、四象限.故选C．【例4】已知一次函数的图象经过点.且y随x的增大而减小.则点的坐标可以是（）A．()1,2-B．()1,2-C．()2,3D．()3,4【答案】Bmnmnmn【解析】∵一次函数3y kx =+的函数值y 随x 的增大而减小.∴k ﹤0.A ．当x=-1.y=2时.-k+3=2.解得k=1﹥0.此选项不符合题意；B ．当x=1.y=-2时.k+3=-2,解得k=-5﹤0.此选项符合题意；C ．当x=2.y=3时.2k+3=3.解得k=0.此选项不符合题意；D ．当x=3.y=4时.3k+3=4.解得k=13﹥0.此选项不符合题意.故选：B ．考点3 待定系数法求一次函数解析式（1）待定系数法：先设出函数解析式.再根据条件确定解析式中未知数的系数.从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．（2）待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤： ①设含有待定系数的函数解析式为y =kx （k ≠0）．②把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式.得到关于系数k 的一元一次方程． ③解方程.求出待定系数k ．④将求得的待定系数k 的值代入解析式． （3）待定系数法求一次函数解析式的一般步骤： ①设出含有待定系数k 、b 的函数解析式y =kx +b ．②把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式.得到关于系数k .b 的二元一次方程组．③解二元一次方程组.求出k .b ． ④将求得的k .b 的值代入解析式．【例5】一次函数图象经过（3.1）.（2.0）两点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）求当x =6时.y 的值． 【答案】y =x –2；4【解析】（1）设一次函数解析式为y =kx +b .把（3.1）.（2.0）代入得.解得. 所以这个一次函数的解析式为y =x –2； （2）当x =6时.y =x –2=6–2=4．考点4 一次函数与正比例函数的区别与联系正比例函数一次函数区一般形式y =kx +b （k 是常数.且k ≠0） y =kx +b （k .b 是常数.且k ≠0）3120k b k b +=+=⎧⎨⎩12k b ==-⎧⎨⎩别图象经过原点的一条直线一条直线k.b符号的作用k的符号决定其增减性.同时决定直线所经过的象限k的符号决定其增减性；b的符号决定直线与y轴的交点位置；k.b的符号共同决定直线经过的象限求解析式的条件只需要一对x.y的对应值或一个点的坐标需要两对x.y的对应值或两个点的坐标联系比例函数是特殊的一次函数．②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样.都是过两点画直线.但画一次函数的图象需取两个不同的点.而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可．③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y 轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b （k≠0.b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行．④一次函数与正比例函数有着共同的性质：a．当k>0时.y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时.y的值随x值的增大而减小．A．y＝2x+3B．y＝2x﹣3C．y＝2（x+3）D．y＝2（x﹣3）【答案】A【解析】解：∵将函数y＝2x的图象向上平移3个单位.∴所得图象的函数表达式为：y＝2x+3．故选：A．考点5.一次函数与方程（组）、不等式（1）一次函数与一元一次方程任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k.b为常数.且k≠0)的形式．从函数的角度来看.解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑.解这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标．（2）一次函数与一元一次不等式任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a.b为常数.且a≠0）的形式．从函数的角度看.解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看.就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件．（3）一次函数与二元一次方程组一般地.二元一次方程mx+ny=p（m.n.p是常数.且m≠0.n≠0）都能写成y=ax+b（a.b为常数.且a≠0）的形式．因此.一个二元一次方程对应一个一次函数.又因为一个一次函数对应一条直线.所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知.一个二元一次方程对应两个一次函数.因而也对应两条直线．从数的角度看.解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时.两个函数的值相等.以及这两个函数值是何值；从形的角度看.解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标.一般地.如果一个二元一次方程组有唯一解.那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标．【例7】已知直线y=mx+n（m.n为常数）经过点（0.–2）和（3.0）.则关于x的方程mx+n=0的解为A．x=0 B．x=1C．x=–2 D．x=3【答案】D【解析】直线y=mx+n与x轴的交点横坐标的值即为方程mx+n=0的解．∵直线y=mx+n（m.n为常数）经过点（3.0）.∴当y=0时.x=3.∴关于x的方程mx+n=0的解为x=3．故选D．【例8】如图为y=kx+b的图象.则kx+b=0的解为x= （）A．2 B．–2C．0 D．–1【答案】D【解析】从图象上可知.一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标为–1.所以关于x的方程kx+b=0的解为x=–1．故选D．【例9】如图.正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（m.2）.一次函数的图象经过点B（−2.−1）.（1）求一次函数的解析式；（2）请直接写出不等式组−1<kx+b<2x的解集．【答案】（1）y =x +1；（2）x >1【解析】（1）∵点A （m.2）在正比例函数y =2x 的图象上.∴2=2m .解得：m =1. ∴点A 的坐标为（1.2）将A （1.2）、B （−2.−1）代入y =kx +b .221k b k b +=⎧⎨-+=-⎩解得：k =b =1∴一次函数的解析式为y =x +1 （2））∵在y =x +1中.1>0. ∴y 值随x 值的增大而增大. ∴不等式–1<x +1的解集为x >–2．观察函数图象可知.当x >1时.一次函数y =x +1的图象在正比例函数y =2x 的图象的下方. ∴不等式组–1<x +1<2x 的解集为x >1．【例10】如图.函数y =kx +b 与y =mx +n 的图象交于点P （1.2）.那么关于x .y 的方程组的解是A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.所以方程组的解是．故选A ．y kx by mx n =+=+⎧⎨⎩12x y ==⎧⎨⎩21x y ==⎧⎨⎩23x y ==⎧⎨⎩13x y ==⎧⎨⎩y kx by mx n =+=+⎧⎨⎩12x y ==⎧⎨⎩考点6.一次函数图象与图形面积解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标.或两条直线的交点坐标.进而将点的坐标转化成三角形的边长.或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在坐标轴上或者与坐标轴平行.可以采用“割”或“补”的方法．【例11】在平面直角坐标系中.O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x 交于点A、B.则△AOB的面积为（）A．2B．3C．4D．6【答案】B【解析】解：在y＝x+3中.令y＝0.得x＝﹣3.解32y xy x=+⎧⎨=-⎩得.12xy=-⎧⎨=⎩.∴A(﹣3.0).B(﹣1.2).∴△AOB的面积＝12⨯3×2＝3.故选：B．考点7.一次函数的实际应用（1）主要题型：①求相应的一次函数表达式；②结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等．（2）用一次函数解决实际问题的一般步骤为：①设定实际问题中的自变量与因变量；②通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式；③确定自变量的取值范围；④利用函数性质解决问题；⑤检验所求解是否符合实际意义；⑥答．（3）方案最值问题：对于求方案问题.通常涉及两个相关量.解题方法为根据题中所要满足的关系式.通过列不等式.求解出某一个事物的取值范围.再根据另一个事物所要满足的条件.即可确定出有多少种方案．（4）方法技巧求最值的本质为求最优方案.解法有两种：①可将所有求得的方案的值计算出来.再进行比较；②直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解.由一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若为分段函数.则应分类讨论.先计算出每个分段函数的取值.再进行比较．【例12】某县组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种扶贫物资共100吨到某乡实施扶贫工作.按计划20辆汽车都要装运.每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满.根据表中提供的信息.解答下列问题：物资种类 食品 药品 生活用品每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨所需运费（元/吨）120160100（1）设装运食品的车辆数为x .装运药品的车辆数为y ．求y 与x 的函数关系式； （2）如果装运食品的车辆数不少于5辆.装运药品的车辆数不少于4辆.那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；（3）在（2）的条件下.若要求总运费最少.应如何安排车辆？并求出最少总运费． 【解析】（1）由题意可得.6x +5y +4（20-x -y ）=100.化简.得y =20-2x .即y 与x 的函数关系式是y =-2x +20；（2）由题意可得..解得5≤x ≤8.即车辆的安排有四种方案. 方案一：运食品的5辆车.装运药品的10辆车.装运生活用品的5辆车； 方案二：运食品的6辆车.装运药品的8辆车.装运生活用品的6辆车； 方案三：运食品的7辆车.装运药品的6辆车.装运生活用品的7辆车； 方案四：运食品的8辆车.装运药品的4辆车.装运生活用品的8辆车； （3）由题意可得.w =120×6x +160×5y +100×4（20-x -y ）=-480x +16000.∵5≤x ≤8.∴当x =8时.w 最小.此时w =-480×8+16000=12160（元）. 即在（2）的条件下.若要求总运费最少.应安排运食品的8辆车.装运药品的4辆车.装运生活用品的8辆车.最少总运费是12160元．第一部分 选择题一、选择题（本题有10小题.每题4分.共40分）52204x x ≥-+≥⎧⎨⎩1.下列函数①y =﹣2x +1.②y =ax ﹣b .③y =﹣6x.④y =x 2+2中.是一次函数的有 A ．①② B ．①C ．②③D ．①④【答案】B【解析】①y =﹣2x +1符合一次函数定义.故正确； ②y =ax ﹣b 中当a =0时.它不是一次函数.故错误； ③y =﹣6x属于反比例函数.故错误； ④y =x 2+2属于二次函数.故错误； 综上所述.是一次函数的有1个． 故选B ．2.一次函数y =–2x +b .b <0.则其大致图象正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为k =–2.b <0.所以图象在第二、三、四象限.故选B ． 3.一次函数y =kx +b 的图象如图所示.则关于x 的方程kx +b =–1的解为A ．x =0B ．x =1C ．x =12D ．x =–2【答案】C【解析】∵一次函数y =kx +b 的图象过点（.–1）.∴关于x 的方程kx +b =–1的解是x =．故选C4. 如图.一次函数y 1=x ＋b 与一次函数y 2=kx ＋4的图象交于点P （1.3）.则关于x 的不等式x ＋b >kx ＋4的解集是1212A ．x >﹣2B ．x >0C ．x >1D ．x <1【答案】C【解析】当x >1时.x +b >kx +4.即不等式x +b >kx +4的解集为x >1.故选C ．5. 如图.直线(0)y kx b k =+<经过点(1,1)P .当kx b x +≥时.则x 的取值范围为（ ）A ．1x ≤B ．1x ≥C ．1x <D ．1x >【答案】A【解析】解：由题意将(1,1)P 代入(0)y kx b k =+<.可得1k b +=.即1k b -=-. 整理kx b x +≥得.()10k x b -+≥.∴0bx b -+≥.由图像可知0b >.∴10x -≤.∴1x ≤.故选：A ．6.新龟兔赛跑的故事：龟兔从同一地点同时出发后.兔子很快把乌龟远远甩在后头．骄傲自满的兔子觉得自己遥遥领先.就躺在路边呼呼大睡起来．当它一觉醒来.发现乌龟已经超过它.于是奋力直追.最后同时到达终点．用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子赛跑的路程.t 为赛跑时间.则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】对于乌龟.其运动过程可分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇.其路程不断增加；最后同时到达终点.可排除B .D 选项 对于兔子.其运动过程可分为三段：据此可排除A 选项.开始跑得快.所以路程增加快；中间睡觉时路程不变；醒来时追赶乌龟路程增加快．故选：C7.若一次函数y ＝ax +b 的图象经过一、二、四象限.则下列不等式中能成立的是（ ） A ．a ＞0 B ．b ＜0C ．a +b ＞0D ．a ﹣b ＜0【答案】D【解析】∵一次函数y ＝ax +b 的图象经过一、二、四象限. ∴a ＜0.b ＞0. ∴a ﹣b ＜0.即选项A 、B 、C 都错误.只有选项D 正确； 故选：D ．8.如图.直线y ＝kx +b 交直线y ＝mx +n 于点P （1.2）.则关于x 的不等式kx +b ＞mx +n 的解集为（ ）A ．x ＞1B ．x ＞2C ．x ＜1D ．x ＜2【答案】C【解析】如图所示.直线y ＝kx +b 交直线y ＝mx +n 于点P （1.2）. 所以.不等式kx +b ＞mx +n 的解集为x ＜1． 故选：C ．9.如图.一束光线从点()4,4A 出发.经y 轴上的点C 反射后经过点()10B ,.则点C 的坐标是( )A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．40,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．()0,2【答案】B【解析】如图所示.延长AC 交x 轴于点D ．设()0,C c∵这束光线从点()4,4A 出发.经y 轴上的点C 反射后经过点()10B ,.∴由反射定律可知.1OCB ∠=∠.∵∠1=∠OCD .∴OCB OCD ∠=∠.∵CO DB ⊥于O .∴COD COB ∠=∠=90°.在COD ∆和COB ∆中OCD OCBOC OC COD COB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩.∴()COD COB ASA ∆≅∆.∴1OD OB ==.∴()1,0D -.设直线AD 的解析式为y kx b =+.∴将点()4,4A .点()1,0D -代入得：440k bk b =+⎧⎨=-+⎩.解得：4545k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. ∴直线AD 的解析式为：4455y x =+.∴点C 坐标为40,5⎛⎫⎪⎝⎭．故选B ． 10.如图1.点F 从菱形ABCD 的顶点A 出发.沿A →D →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B .图2是点F 运动时.△FBC 的面积y （cm 2）随时间x （s ）变化的关系图象.则a 的值为A 5B ．2C ．52D ．5【答案】C【解析】如图.过点D作DE⊥BC于点E．.由图象可知.点F由点A到点D用时为a s.△FBC的面积为a cm2．∴AD=a.∴DE•AD=a.∴DE=2.当点F从D到B时.∴BD.Rt△DBE中.BE.∵四边形ABCD是菱形.∴EC=a–1.DC=a.Rt△DEC中.a2=22+（a–1）2.解得a=.故选C．第二部分填空题二、填空题（本题有6小题.每题4分.共24分）11.已知函数y=（m+2）是正比例函数.则m的值是__________．【答案】2【解析】∵函数y=（m+2）x m2−3是正比例函数.∴m2–3=1.m+2≠0.解得：m=2．故答案为：2．12.把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度.再向上平移2个单位长度.则平移后所得直线的解析式为_____．【答案】y＝2x+3【解析】解：把直线y＝2x﹣1向左平移1个单位长度.得到y＝2（x+1）﹣1＝2x+1.再向上平移2个单位长度.得到y＝2x+3．故答案为：y＝2x+3．13.如图.直线542y x=+与x轴、y轴分别交于A、B两点.把AOB绕点B逆时针旋转90°1255()2222=521BD DE--=5223mx-后得到11AO B .则点1A 的坐标是_____．【答案】（4.125） 【解析】解：在542y x =+中.令x=0得.y=4.令y=0.得5042x =+.解得x=8-5. ∴A （8-5.0）.B （0.4）.由旋转可得△AOB ≌△A 1O 1B .∠ABA 1=90°. ∴∠ABO=∠A 1BO 1.∠BO 1A 1=∠AOB=90°.OA=O 1A 1=85.OB=O 1B=4. ∴∠OBO 1=90°.∴O 1B ∥x 轴.∴点A 1的纵坐标为OB -OA 的长.即为48-5=125； 横坐标为O 1B=OB=4.故点A 1的坐标是（4.125）.故答案为：（4.125）． 14.如图.直线y ＝kx +b （k 、b 是常数k ≠0）与直线y ＝2交于点A （4.2）.则关于x 的不等式kx +b ＜2的解集为_____．【答案】x ＜4【解析】解：∵直线y ＝kx +b 与直线y ＝2交于点A （4.2）.∴x ＜4时.y ＜2. ∴关于x 的不等式kx +b ＜2的解集为：x ＜4．故答案为：x ＜4．15.直线2y x =+经过()11,M y .()23,N y 两点.则1y ______2y （填“>”“<”或“=”）． 【答案】<【解析】根据直线2y x =+经过()11,M y .()23,N y 两点.可分别将M 、N 的坐标代入得.1123y =+=.2325y =+=.则12y y ＜．故答案为：＜16.如图.直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M .与y 轴交于点A .以OA 为边作正方形ABCO .点B 坐标为()1,1．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E .交x 轴于点1O .过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A 以11O A 为边作正方形1111O A B C .点1B 的坐标为()5,3．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E .交x 轴于点2O .过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A .以22O A 为边作正方形2222O A B C ..则点2020B 的坐标______．【答案】()20202020231,3⨯-【解析】解：∵AM 的解析式为1y x =+.∴M （-1.0）.A （0.1）.即AO=MO=1.∠AMO=45°. 由题意得：MO=OC=CO 1=1.O 1A 1=MO 1=3.∵四边形1111O A B C 是正方形.∴O 1C 1=C 1O 2=MO 1=3.∴OC 1=2×3-1=5.B 1C 1=O 1C 1=3.B 1（5.3）. ∴A 2O 2=3C 1O 2=9.B 2C 2=9.OO 2=OC 2-MO=9-1=8.综上.MC n =2×3n .OC n =2×3n -1.B n C n =A n O n =3n . 当n=2020时.OC 2020=2×32020-1.B 2020C 2020 =32020.点B()20202020231,3⨯-.故答案为：()20202020231,3⨯-第三部分 解答题三、解答题（本题有6小题.共56分）17. 已知一次函数y =kx +b.当x =3时.y =14.当x =–1时.y =–6. （1）求k 与b 的值；（2）当y 与x 相等时.求x 的值.【答案】(1)51k b =⎧⎨=-⎩ (2)14 【解析】（1）∵当x =3时.y =14.当x =–1时.y =–6.∴3146k b k b +=⎧⎨-+=-⎩.∴51k b =⎧⎨=-⎩；（2）∵51k b =⎧⎨=-⎩.∴y =5x –1. 当y 与x 相等时.则x =5x –1. ∴x =14. 18. 已知y –3与3x +1成正比例.且x =2时.y =6.5．（1）求y 与x 之间的函数关系式.并指出它是什么函数； （2）若点（a .2）在这个函数的图象上.求a 的值． 【答案】（1）一次函数。
2020年重庆中考复习数学函数图象专题训练一(含答案)
（2）①∵b＝8，∴y＝|﹣x2+8x﹣7|﹣4，当 x＝﹣ 时，y＝ ；当 x＝4 时，y＝5；
∴m＝ ，n＝5；②如图所示：
（3）函数关于 x＝4 对称；
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（4）当 ，|﹣x2+8x﹣7|＝m+4 有四个根，
解（1）当 x＝0 时，y＝﹣2+2+3＝3，即 m＝3， 当 x＝3 时，y＝﹣0.5+1+3＝3.5，即 n＝3.5 （2）图象如图所示：
（3）图象关于直线 x＝2 对称
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（4）∵﹣ （x﹣2）2+|x﹣2|+3＝k 有 3 个不相等的实数根，即函数 y＝﹣ （x﹣2）2+|x﹣2|+3 图象与
y＝k 图象有三个交点，由图象得，k＝3． 2、（2019 秋•北碚区校级月考）已知关于 x 函数 y＝|﹣x2+bx﹣7|﹣4，点（4，5）在函数上，且 b 为整数，
根据我们已有的研究函数的经验，请对该函数及其图象进行如下探究，并完成以下问题：
（1）求 b＝ 8 ； （2）函数图象探究：
①下表是 y 与 x 的几组对应值，请直接写出 m 与 n 的值：m＝
；
（2）在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质
；
（3）进一步探究函数图象并解决问题：
①直线 y＝k 与函数 y＝a|x2+bx|+c 有三个交点，则 k＝ ；
②已知函数 y＝x﹣3 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，写出不等式 a|x2+bx|+c≤x﹣3 的解
集：
图1
（3）请结合所画函数图象，写出函数图象的一条性质； （4）解决问题：若函数y1 与y2 2a 2 至少有2 个交点，求a 的取值范围．
2020初中数学中考一轮复习基础达标训练：一次函数(附答案)
式，从而求出点 D 的坐标，代入反比例函数关系式求出 k 的值.
3．B
【解析】【分析】由于一次函数 y=-2x+3 中 k=-2＜0 由此可以确定 y 随 x 的变化而变化的情
况，即确定函数的增减性，然后利用解析式即可求出自变量在 0≤x≤5 范围内函数值的最大
值．
【详解】∵一次函数 y=﹣2x+3 中 k=﹣2＜0，
(1)请画出△ ABC 关于 x 轴对称的△ A1B1C1,并写出点 A1 的坐标； (2)请画出△ ABC 绕点 B 逆时针旋转 90∘ 后的△ A2BC2； (3)求出(2)中 C 点旋转到 C2 点所经过的路径长(结果保留根号和 π). (4)在 x 轴上有一点 P，PA+PB 的值最小，请直接写出点 P 的坐标 28．如图，直线 y=﹣x+3 与 x 轴，y 轴分别相交于点 B，C，经过 B，C 两点的抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的另一交点为 A，顶点为 P，且对称轴是直线 x=2． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）请问在抛物线上是否存在点 Q，使得以点 B，C，Q 为顶点的三角形为直角三角形？ 若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）过 S（0，4）的动直线 l 交抛物线于 M，N 两点，试问抛物线上是否存在定点 T，
2020年初三数学中考复习《一次函数的应用》专项训练(含答案)
2020年初三数学中考复习《一次函数的应用》专项训练1. 大剧院举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，暑假期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，大剧院制定了两种优惠方案，方案①：购买一张成人票赠送一张学生票；方案②：按总价的90%付款，某校有4名老师与若干名(不少于4人)学生听音乐会．(1)设学生人数为x(人)，付款总金额为y(元)，分别求出两种优惠方案中y与x的函数关系式；(2)请计算并确定出最节省费用的购票方案．2. 小李是某服装厂的一名工人，负责加工A，B两种型号服装，他每月的工作时间为22天，月收入由底薪和计件工资两部分组成，其中底薪900元，加工A型服装1件可得20元，加工B型服装1件可得12元．已知小李每天可加工A型服装4件或B型服装8件，设他每月加工A型服装的时间为x天，月收入为y元．(1)求y与x的函数关系式；(2)根据服装厂要求，小李每月加工A型服装数量应不少于B型服装数量的35，那么他的月收入最高能达到多少元？3. 某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x(辆)，购车总费用为y(万元)．(1)求y与x的函数关系式；(不要求写出自变量x的取值范围)(2)若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．4. 昨天早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y(千米)与他离家的时间x(时)之间的函数图象．根据下面图象，回答下列问题：(1)求线段AB所表示的函数关系式；(2)已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？5. 胡老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游，经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人640元，且提供的服务完全相同，针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费，假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x人．(1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y(元)与x(人)之间的函数关系式；(2)若胡老师组团参加两日游的人数共有32人，请你计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助胡老师选择收取总费用较少的一家．6. 科学研究发现，空气含氧量y(克/立方米)与海拔高度x(米)之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．(1)求出y与x的函数关系式；(2)已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？7. 小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1 kg收费22元，超过1 kg，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从西安到南昌快递樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为x(kg)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)已知小李给外婆快寄了2.5 kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？8. “十一节”期间，申老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象．(1)求他们出发半小时时，离家多少千米？(2)求出AB段图象的函数表达式；(3)他们出发2小时时，离目的地还有多少千米？9. 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量y1(万m3)与干旱持续时间x(天)的关系如图中线段l1所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量y2(万m3)与时间x(天)的关系如图中线段l2所示(不考虑其他因素)．(1)求原有蓄水量y1(万m3)与时间x(天)的函数关系式，并求当x＝20时的水库总蓄水量；(2)求当0≤x≤60时，水库的总蓄水量y(万m3)与时间x(天)的函数关系式(注明x的范围)，若总蓄水量不多于900万m3为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围．10. 周末，小芳骑自行车从家出发到野外郊游，从家出发0.5小时到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小芳离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，行驶10分钟时，恰好经过甲地，如图是她们距乙地的路程y(km)与小芳离家时间x(h)的函数图象．(1)小芳骑车的速度为____km/h，H点坐标为__________________；(2)小芳从家出发多少小时后被妈妈追上？此时距家的路程多远？(3)相遇后，妈妈载上小芳和自行车同时到达乙地(彼此交流时间忽略不计)，求小芳比预计时间早几分钟到达乙地？11. 根据卫生防疫部门要求，游泳池必须定期换水、清洗．某游泳池周五早上8：00打开排水孔开始排水，排水孔的排水速度保持不变，期间因清洗游泳池需要暂停排水，游泳池的水在11：30全部排完．游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)暂停排水需要多少时间？排水孔排水速度是多少？(2)当2≤t≤3.5时，求Q关于t的函数表达式．12. 小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500 m，如图是小明和爸爸所走的路程s(m)与小明的步行时间t(min)的函数图象．(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；(2)小明出发多少时间与爸爸第三次相遇？(3)在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早20 min到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需作怎样的调整？13. 某物流公司引进A，B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量y A(千克)与时间x(时)的函数图象，根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)求y B关于x的函数解析式；(2)如果A，B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？14. 某学校计划组织500人参加社会实践活动，与某公交公司接洽后，得知该公司有A，B型两种客车，它们的载客量和租金如表所示：经测算，租用A，B型客车共13辆较为合理，设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：(1)用含x的代数式填写下表：(2)采用怎样的租车方案可以使总的租车费用最低，最低为多少？15. 为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小强向房管部门提出了一个购买商品房的政策性方案：设一个3口之家购买商品房的人均面积为x平方米，缴纳房款y万元．(1)请求出y关于x的函数关系式；(2)若某3口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款．16. 保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过A港口、B港口分别运送100吨和50吨生活物资．已知该物资在甲仓库存有80吨，乙仓库存有70吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用(元/吨)如表所示：(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总运费y(元)与x(吨)之间的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案．参考答案：1. 解：(1)按优惠方案①可得y1＝20×4＋(x－4)×5＝5x＋60(x≥4)，按优惠方案②可得y2＝(5x＋20×4)×90%＝4.5x＋72(x≥4)(2)因为y1－y2＝0.5x－12(x≥4)，①当y1－y2＝0时，得0.5x－12＝0，解得x ＝24，∴当x＝24时，两种优惠方案付款一样多．②当y1－y2＜0时，得0.5x－12＜0，解得x＜24，∴4≤x＜24时，y1＜y2，优惠方案①付款较少．③当y1－y2＞0时，得0.5x－12＞0，解得x＞24，当x＞24时，y1＞y2，优惠方案②付款较少2. 解：(1)由题意得y＝20×4x＋12×8×(22－x)＋900，即y＝－16x ＋3012(2)依题意得4x≥35×8×(22－x)，∴x≥12.在y＝－16x＋3012中，∵－16＜0，∴y随x的增大而减小．∴当x＝12时，y取最大值，此时y ＝－16×12＋3012＝2820.答：当小李每月加工A型服装12天时，月收入最高，可达2820元3. 解：(1)因为购买大型客车x辆，所以购买中型客车(20－x)辆．y ＝62x＋40(20－x)＝22x＋800(2)依题意得20－x＜x.解得x＞10，∵y＝22x＋800，y随着x的增大而增大，x 为整数，∴当x ＝11时，购车费用最省，为22×11＋800＝1042(万元)，此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆，答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省为1042万元4. 解：(1)设线段AB 所表示的函数关系式为y ＝kx ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝192，2k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－96，b ＝192.故线段AB 所表示的函数关系式为：y ＝－96x ＋192(0≤x≤2)(2)12＋3－(7＋6.6)＝1.4(小时)，112÷1.4＝80(千米/时)，(192－112)÷80＝1(小时)，3＋1＝4(时)．答：他下午4时到家5. 解：(1)甲旅行社的总费用：y 甲＝640×0.85x＝544x ；乙旅行社的总费用：当0≤x≤20时，y 乙＝640×0.9x＝576x ；当x ＞20时，y 乙＝640×0.9×20＋640×0.75(x－20)＝480x ＋1920(2)当x ＝32时，y 甲＝544×32＝17408(元)，y 乙＝480×32＋1920＝17280，因为y 甲＞y 乙，所以胡老师选择乙旅行社6. 解：(1)设y ＝kx ＋b(k≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝299，2000k ＋b ＝235，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－4125，b ＝299，∴y＝－4125x ＋299 (2)当x ＝1200时，y ＝－4125×1200＋299＝260.6(克/立方米)，答：该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米7. 解：(1)由题意得，当0＜x≤1时，y ＝22＋6＝28；当x ＞1时，y＝28＋10(x －1)＝10x ＋18.∴y＝⎩⎪⎨⎪⎧28（0＜x≤1）10x ＋18（x ＞1）(2)当x ＝2.5时，y ＝10×2.5＋18＝43，∴这次快寄的费用是43元8. 解：(1)设OA 段图象的函数表达式为y ＝kx ，∵当x ＝1.5时，y ＝90，∴1.5k＝90，∴k＝60，∴y＝60x(0≤x≤1.5)，∴当x ＝0.5时，y ＝60×0.5＝30，故他们出发半小时时，离家30千米(2)设AB 段图象的函数表达式为y ＝k′x ＋b ，∵A(1.5，90)，B(2.5，170)在AB 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧1.5k′＋b ＝90，2.5k′＋b ＝170，解得⎩⎪⎨⎪⎧k′＝80，b ＝－30，∴y ＝80x －30(1.5≤x≤2.5) (3)∵当x ＝2时，y ＝80×2－30＝130，∴170－130＝40，故他们出发2小时时，离目的地还有40千米9. 解：(1)设y 1＝k 1x ＋b 1，把(0，1200)和(60，0)代入到y 1＝k 1x ＋b 1，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝1200，60k 1＋b 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－20，b 1＝1200.∴y 1＝－20x ＋1200，当x ＝20时，y 1＝－20×20＋1200＝800(2)设y 2＝k 2x ＋b 2，把(20，0)和(60，1000)代入到y 2＝k 2x ＋b 2中，得⎩⎪⎨⎪⎧20k 2＋b 2＝0，60k 2＋b 2＝1000， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝25，b 2＝－500，∴y 2＝25x －500，当0≤x≤20时，y ＝－20x ＋1200，当20＜x≤60时，y ＝y 1＋y 2＝－20x ＋1200＋25x －500＝5x ＋700，y≤900，则5x ＋700≤900，x≤40，当y 1＝900时，900＝－20x ＋1200，x ＝15，∴发生严重干旱时x 的范围为15≤x≤4010. 解：(1)由函数图象可以得出，小芳家距离甲地的路程为10 km ，花费时间为0.5 h ，故小芳骑车的速度为：10÷0.5＝20(km/h)，由题意可得出，点H 的纵坐标为20，横坐标为：43＋16＝32，故点H 的坐标为(32，20)(2)设直线AB 的解析式为：y 1＝k 1x ＋b 1，将点A(0，30)，B(0.5，20)代入得：y 1＝－20x ＋30，∵AB∥CD，∴设直线CD 的解析式为：y 2＝－20x ＋b 2，将点C(1，20)代入得：b 2＝40，故y 2＝－20x ＋40，设直线EF 的解析式为：y 3＝k 3x ＋b 3，将点E(43，30)，H(32，20)代入得：k 3＝－60，b 3＝110，∴y 3＝－60x ＋110，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－60x ＋110，y ＝－20x ＋40，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1.75，y ＝5，∴点D 坐标为(1.75，5)，30－5＝25(km )，所以小芳出发1.75小时候被妈妈追上，此时距家25 km (3)将y ＝0代入直线CD 的解析式有：－20x ＋40＝0，解得x ＝2，将y ＝0代入直线EF 的解析式有：－60x ＋110＝0，解得x ＝116，2－116＝16(h )＝10(分钟)，故小芳比预计时间早10分钟到达乙地11. 解：(1)暂停排水需要的时间为：2－1.5＝0.5(小时)．∵排水时间为：3.5－0.5＝3(小时)，一共排水900 m 3，∴排水孔排水速度是：900÷3＝300(m 3/h )(2)当2≤t≤3.5时，设Q 关于t 的函数表达式为Q ＝kt ＋b ，易知图象过点(3.5，0)．∵t ＝1.5时，排水300×1.5＝450，此时Q ＝900－450＝450(m 3)，∴(2，450)在直线Q ＝kt ＋b 上．把(2，450)，(3.5，0)代入Q ＝kt ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝450，3.5k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－300，b ＝1050，∴Q 关于t 的函数表达式为Q ＝－300t ＋105012. 解：(1)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 50t （0≤t≤20），1000（20＜t≤30），50t －500（30＜t≤60）(2)设小明的爸爸所走的路程s 与小明的步行时间t 的函数关系式为：s＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧25k ＋b ＝1000，b ＝250，解得，⎩⎪⎨⎪⎧k ＝30，b ＝250，则小明的爸爸所走的路程与小明的步行时间的关系式为：s ＝30t ＋250，当50t －500＝30t ＋250，即t ＝37.5 min 时，小明与爸爸第三次相遇(3)30t ＋250＝2500，解得t ＝75，则小明的爸爸到达公园需要75 min ，∵小明到达公园需要的时间是60 min ，∴小明希望比爸爸早20 min 到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少5 min13. 解：(1)设y B 关于x 的函数解析式为y B ＝kx ＋b(k≠0)．将点(1，0)，(3，180)代入得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，3k ＋b ＝180.解得k ＝90，b ＝－90.所以y B 关于x的函数解析式为y B ＝90x －90(1≤x≤6)(2)设y A 关于x 的解析式为y A ＝k 1x.根据题意得3k 1＝180.解得k 1＝60.所以y A ＝60x.当x ＝5时，y A ＝60×5＝300(千克)；x ＝6时，y B ＝90×6－90＝450(千克).450－300＝150(千克)．答：如果A ，B 两种机器人各连续搬运5小时，B 种机器人比A 种机器人多搬运了150千克14. (1) 28(13－x) 250(13－x)(2) 解：设租车的总费用为W 元，则有：W ＝400x ＋250(13－x)＝150x ＋3250.由已知得：45x ＋28(13－x)≥500，解得：x≥8.∵在W ＝150x ＋3250中150＞0，∴当x ＝8时，W 取最小值，最小值为4450元．故租A 型车8辆，B 型车5辆时，总的租车费用最低，最低为4450元15. 解：(1)当0≤x≤30时，y ＝3×0.4x＝1.2x ；当x ＞30时，y ＝3×0.9×(x－30)＋3×0.4×30＝2.7x －45(2)由题意知：该3口之家人均住房面积为：120÷3＝40＞30，在y ＝2.7x －45中，令x ＝40，则y ＝2.7×40－45＝63.∴应缴纳的房款为63万元16. 解：(1)设从甲仓库运x 吨往A 港口，则从甲仓库运往B 港口的有(80－x)吨，从乙仓库运往A 港口的有(100－x)吨，运往B 港口的有50－(80－x)＝(x －30)吨，所以y ＝14x ＋20(100－x)＋10(80－x)＋8(x－30)＝－8x＋2560，x的取值范围是30≤x≤80(2)由(1)得y＝－8x＋2560，y随x的增大而减少，所以当x＝80时总运费最小，当x＝80时，y＝－8×80＋2560＝1920，此时方案为：把甲仓库的物资全部运往A港口，再从乙仓库运20吨往A港口，乙仓库余下的物资全部运往B港口。
2020年中考数学《一次函数》专题复习(带答案)
2020年中考数学《一次函数》专题复习(名师精选全国真题，值得下载练习)一．选择题1．（2019•辽阳）若ab＜0且a＞b，则函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．2．（2019•大庆）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y ＝x+k的图象大致是（）A．B．C．D．3．（2019•娄底）如图，直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），则解集为（）A．x＜﹣2 B．x＞3 C．x＜﹣2或x＞3 D．﹣2＜x＜3 4．（2019•雅安）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：y＝x 交于点A1，过A1作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作l2的平行线交l1于A2，过A2作x轴的垂线，垂足为B2，过B2作l2的平行线交l1于A3，过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，则点A n的纵坐标为（）A．（）n B．（）n+1 C．（）n﹣1+D．5．（2019•鄂尔多斯）在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从A，B两地同时出发，相向而行．快车到达B地后，停留3秒卸货，然后原路返回A地，慢车到达A地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离y（米）与行驶时间x（秒）的函数图象，根据图象信息，计算a、b的值分别为（）A．39，26 B．39，26.4 C．38，26 D．38，26.4 6．（2019•遵义）如图所示，直线l1：y＝x+6与直线l2：y＝﹣x﹣2交于点P（﹣2，3），不等式x+6＞﹣x﹣2的解集是（）A．x＞﹣2 B．x≥﹣2 C．x＜﹣2 D．x≤﹣2 7．（2019•锦州）如图，一次函数y＝2x+1的图象与坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．2 D．48．在平面直角坐标系中，函数y＝kx+b的图象如图所示，则下列判断正确的是（）A．k＞0 B．b＜0 C．k•b＞0 D．k•b＜09．（2019•鞍山）如图，若一次函数y＝﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），则不等式﹣2x+b＞0的解集为（）A．x＞B．x＜C．x＞3 D．x＜3 10．（2019•辽阳）一条公路旁依次有A，B，C三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A 村、B村同时出发前往C村，甲乙之间的距离s（km）与骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，下列结论：①A，B两村相距10km；②出发1.25h后两人相遇；③甲每小时比乙多骑行8km；④相遇后，乙又骑行了15min或65min时两人相距2km．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．（2019•桂林）如图，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），当过点B的直线l将四边形ABCD分成面积相等的两部分时，直线l所表示的函数表达式为（）A．y＝x+B．y＝x+C．y＝x+1 D．y＝x+ 12．（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．0 13．（2019•广元）如图，过点A0（0，1）作y轴的垂线交直线l：y＝x于点A1，过点A1作直线l的垂线，交y轴于点A2，过点A2作y轴的垂线交直线l于点A3，…，这样依次下去，得到△A0A1A2，△A2A3A4，△A4A5A6，…，其面积分别记为S1，S2，S3，…，则S100为（）A．（）100B．（3）100C．3×4199D．3×2395 14．（2019•聊城）某快递公司每天上午9：00﹣10：00为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么当两仓库快递件数相同时，此刻的时间为（）A．9：15 B．9：20 C．9：25 D．9：30 15．（2019•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n在直线y＝x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）A．22n B．22n﹣1C．22n﹣2D．22n﹣3二．填空题16．（2019•济南）某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．图中l1、l2分别表示去年、今年水费y（元）与用水量x（m3）之间的关系．小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多元．17．如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在x轴、y轴上，四边形ABCO是边长为4的正方形，点D为AB的中点，点P为OB上的一个动点，连接DP，AP，当点P满足DP+AP的值最小时，直线AP的解析式为．18．（2019•阜新）甲、乙两人分别从A，B两地相向而行，匀速行进甲先出发且先到达B地，他们之间的距离s（km）与甲出发的时间t（h）的关系如图所示，则乙由B地到A地用了h．19．（2019•鄂尔多斯）如图，有一条折线A1B1A2B2A3B3A4B4…，它是由过A1（0，0），B1（4，4），A2（8，0）组成的折线依次平移8，16，24，…个单位得到的，直线y ＝kx+2与此折线有2n（n≥1且为整数）个交点，则k的值为．20．（2019•大连）甲、乙两人沿同一条直路走步，如果两人分别从这条直路上的A，B 两处同时出发，都以不变的速度相向而行，图1是甲离开A处后行走的路程y（单位：m）与行走时间x（单位：min）的函数图象，图2是甲、乙两人之间的距离y（单位：m）与甲行走时间x（单位：min）的函数图象，则a﹣b＝．21．（2019•娄底）已知点P（x0，y0）到直线y＝kx+b的距离可表示为d＝，例如：点（0，1）到直线y＝2x+6的距离d＝＝．据此进一步可得两条平行线y＝x和y＝x﹣4之间的距离为．22．（2019•本溪）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点∁n的横坐标为（结果用含正整数n的代数式表示）23．（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是．24．（2019•东营）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝﹣x的图象分别为直线l1，l2，过l1上的点A1（1，）作x轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y 轴的垂线交l1于点A3，过点A3作x轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2019的横坐标为．25．（2019•天门）如图，在平面直角坐标系中，四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，点A1，A2，A3，…都在x轴上，点C1，C2，C3，…都在直线y＝x+上，且∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，OA1＝1，则点C6的坐标是．26．（2019•徐州）函数y＝x+1的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在x轴上．若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有个．三．解答题27．（2019•恩施州）某县有A、B两个大型蔬菜基地，共有蔬菜700吨．若将A基地的蔬菜全部运往甲市所需费用与B基地的蔬菜全部运往甲市所需费用相同．从A、B两基地运往甲、乙两市的运费单价如下表：甲市（元/吨）乙市（元/吨）A基地20 25B基地15 24（1）求A、B两个蔬菜基地各有蔬菜多少吨？（2）现甲市需要蔬菜260吨，乙市需要蔬菜440吨．设从A基地运送m吨蔬菜到甲市，请问怎样调运可使总运费最少？28．（2019•沈阳）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，0），交y轴于点B．（1）k的值是；（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为，请直接写出点C的坐标．29．（2019•大连）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点A，B，点C在射线BO上，点D在射线BA上，且BD＝OC，以CO，CD为邻边作▱COED．设点C的坐标为（0，m），▱COED在x轴下方部分的面积为S．求：（1）线段AB的长；（2）S关于m的函数解析式，并直接写出自变量m的取值范围．30．（2019•徐州）如图①，将南北向的中山路与东西向的北京路看成两条直线，十字路口记作点A．甲从中山路上点B出发，骑车向北匀速直行；与此同时，乙从点A出发，沿北京路步行向东匀速直行．设出发xmin时，甲、乙两人与点A的距离分别为y1m、y2m．已知y1、y2与x之间的函数关系如图②所示．（1）求甲、乙两人的速度；（2）当x取何值时，甲、乙两人之间的距离最短？31．（2019•宁夏）在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米．（π取3.14）．（1）求400米跑道中一段直道的长度；（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表：跑道宽度/米0 1 2 3 4 5 …跑道周长/米400 …若设x表示跑道宽度（单位：米），y表示该跑道周长（单位：米），试写出y与x的函数关系式：（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？32．（2019•哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝x+4与x 轴交于点A，与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称；（1）求直线BC的解析式；（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ＝AP，连接PQ，设点P 的横坐标为t，△PBQ的面积为S（S≠0），求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点E在线段OA上，点R在线段BC的延长线上，且点R的纵坐标为﹣，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，∠APE＝∠CBE，连接PF，PF的延长线与y轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tan∠QMR＝，求直线PM的解析式．参考答案一．选择题1．解：∵ab＜0，且a＞b，∴a＞0，b＜0，∴函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限．故选：A．2．解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，∵一次函数y＝x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．故选：A．3．解：∵直线y＝x+b和y＝kx+2与x轴分别交于点A（﹣2，0），点B（3，0），∴解集为﹣2＜x＜3，故选：D．4．解：联立直线l1与直线l2的表达式并解得：x＝，y＝，故A1（，）；则点B1（，0），则直线B1A2的表达式为：y＝x+b，将点B1坐标代入上式并解得：直线B1A2的表达式为：y3＝x﹣，将表达式y3与直线l1的表达式联立并解得：x＝，y＝，即点A2的纵坐标为；同理可得A3的纵坐标为，…按此规律，则点A n的纵坐标为（）n，故选：A．5．解：速度和为：24÷（30﹣18）＝2米/秒，由题意得：，解得：b＝26.4，因此慢车速度为：＝0.8米/秒，快车速度为：2﹣0.8＝1.2米/秒，快车返回追至两车距离为24米的时间：（26.4﹣24）÷（1.2﹣0.8）＝6秒，因此a＝33+6＝39秒．故选：B．6．解：当x＞﹣2时，x+6＞﹣x﹣2，所以不等式x+6＞﹣x﹣2的解集是x＞﹣2．故选：A．7．解：一次函数y＝2x+1中，当x＝0时，y＝1；当y＝0时，x＝﹣0.5；∴A（﹣0.5，0），B（0，1）∴OA＝0.5，OB＝1∴△AOB的面积＝0.5×1÷2＝故选：A．8．解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0．∴kb＜0，故选：D．9．解：∵一次函数y＝﹣2x+b的图象交y轴于点A（0，3），∴b＝3，令y＝﹣2x+3中y＝0，则﹣2x+3＝0，解得：x＝，∴点B（，0）．观察函数图象，发现：当x＜时，一次函数图象在x轴上方，∴不等式﹣2x+b＞0的解集为x＜．故选：B．10．解：由图象可知A村、B村相离10km，故①正确，当1.25h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，故②正确，当0≤t≤1.25时，易得一次函数的解析式为s＝﹣8t+10，故甲的速度比乙的速度快8km/h．故③正确当1.25≤t≤2时，函数图象经过点（1.25，0）（2，6）设一次函数的解析式为s＝kt+b 代入得，解得∴s＝8t+10当s＝2时．得2＝8t﹣10，解得t＝1.5h由1.5﹣1.25＝0.25h＝15min同理当2≤t≤2.5时，设函数解析式为s＝kt+b将点（2，6）（2.5，0）代入得，解得∴s＝﹣12t+30当s＝2时，得2＝﹣12t+30，解得t＝由﹣1.25＝h＝65min故相遇后，乙又骑行了15min或65min时两人相距2km，④正确．故选：D．11．解：由A（﹣4，0），B（﹣2，﹣1），C（3，0），D（0，3），∴AC＝7，DO＝3，∴四边形ABCD分成面积＝AC×（|y B|+3）＝＝14，可求CD的直线解析式为y＝﹣x+3，设过B的直线l为y＝kx+b，将点B代入解析式得y＝kx+2k﹣1，∴直线CD与该直线的交点为（，），直线y＝kx+2k﹣1与x轴的交点为（，0），∴7＝×（3﹣）×（+1），∴k＝或k＝0，∴k＝，∴直线解析式为y＝x+；故选：D．12．解：连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°，又∵MN⊥MC，∴∠CMN＝90°，∴∠AMC＝∠MNB，∴△AMC∽△NBM，∴，设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y，∴，即：y＝x2+x∴当x＝﹣＝﹣时，y最大＝×（）2+＝，∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b）当BN最大，此时ON最小，点N（0，b）越往上，b的值最大，∴ON＝OB﹣BN＝2﹣＝，此时，N（0，）b的最大值为．故选：A．13．解：∵点A0的坐标是（0，1），∴OA0＝1，∵点A1在直线y＝x上，∴OA1＝2，A0A1＝，∴OA2＝4，∴OA3＝8，∴OA4＝16，得出OA n＝2n，∴A n A n+1＝2n•，∴OA198＝2198，A198A199＝2198•，∵S1＝（4﹣1）•＝，∵A2A1∥A200A199，∴△A0A1A2∽△A198A199A200，∴＝（）2，∴S＝2396•＝3×2395故选：D．14．解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，∴y1＝6x+40；设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，∴y2＝﹣4x+240，联立，解得，∴此刻的时间为9：20．故选：B．15．解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，∵直线y＝x与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，∴∠OB1A1＝30°，∴OA1＝A1B1，∵A1（1，0），∴A1B1＝1，同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，∴B1B2＝，B2B3＝2，…，B n B n+1＝2n﹣1，∴S1＝×1×＝，S2＝×2×2＝2，…，S n＝×2n﹣1×2n﹣1＝；故选：D．二．填空题（共11小题）16．解：设当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝kx+b，，得，即当x＞120时，l2对应的函数解析式为y＝6x﹣240，当x＝150时，y＝6×150﹣240＝660，由图象可知，去年的水价是480÷160＝3（元/m3），故小雨家去年用水量为150m3，需要缴费：150×3＝450（元），660﹣450＝210（元），即小雨家去年用水量为150m3，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，故答案为：210．17．解：∵四边形ABCO是正方形，∴点A，C关于直线OB对称，连接CD交OB于P，连接P A，PD，则此时，PD+AP的值最小，∵OC＝OA＝AB＝4，∴C（0，4），A（4，0），∵D为AB的中点，∴AD＝AB＝2，∴D（4，2），设直线CD的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴直线CD的解析式为：y＝﹣x+4，∵直线OB的解析式为y＝x，∴，解得：x＝y＝，∴P（，），设直线AP的解析式为：y＝mx+n，∴，解得：，∴直线AP的解析式为y＝﹣2x+8，故答案为：y＝﹣2x+8．18．解：由图可得，甲的速度为：36÷6＝6（km/h），则乙的速度为：＝3.6（km/h），则乙由B地到A地用时：36÷3.6＝10（h），故答案为：10．19．解：∵A1（0，0），A2（8，0），A3（16，0），A4（24，0），…，∴A n（8n﹣8，0）．∵直线y＝kx+2与此折线恰有2n（n≥1且为整数）个交点，∴点A n+1（8n，0）在直线y＝kx+2上，∴0＝8nk+2，解得：k＝﹣．故答案为：﹣．20．解：从图1，可见甲的速度为＝60，从图2可以看出，当x＝时，二人相遇，即：（60+V乙）×＝120，解得：乙的速度V乙＝80，∵乙的速度快，从图2看出乙用了b分钟走完全程，甲用了a分钟走完全程，a﹣b＝＝，故答案为．21．解：当x＝0时，y＝x＝0，即点（0，0）在直线y＝x上，因为点（0，0）到直线y＝x﹣4的距离为：d＝＝＝2，因为直线y＝x和y＝x﹣4平行，所以这两条平行线之间的距离为2．故答案为2．22．解：过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，∴点B1的纵坐标为1，即：OD＝2，B1D＝1，图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，∴点C1的横坐标为：2++（）0，点C2的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1＝+（）0×+（）1点C3的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1+（）1×+（）2＝+（）0×+（）1×++（）2点C4的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3……点∁n的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3×+（）4×……+（）n﹣1＝+[（）0+（）1×+（）2+（）3+（）4……]+（）n﹣1＝＝故答案为：23．解：∵一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象的交点坐标为（2，1），∴关于x，y的方程组的解是．故答案为．24．解：由题意可得，A1（1，），A2（1，﹣），A3（﹣3，﹣），A4（﹣3，3），A5（9，3），A6（9，﹣9），…，可得A2n+1的横坐标为（﹣3）n∵2019＝2×1009+1，∴点A2019的横坐标为：（﹣3）1009＝﹣31009，故答案为：﹣31009．25．解：∵OA1＝1，∴OC1＝1，∴∠C1OA1＝∠C2A1A2＝∠C3A2A3＝…＝60°，∴C1的纵坐标为：sin60°•OC1＝，横坐标为cos60°•OC1＝，∴C1（，），∵四边形OA1B1C1，A1A2B2C2，A2A3B3C3，…都是菱形，∴A1C2＝2，A2C3＝4，A3C4＝8，…，∴C2的纵坐标为：sin60°•A1C2＝，代入y＝x+求得横坐标为2，∴C2（2，），C3的纵坐标为：sin60°•A2C3＝2，代入y＝x+求得横坐标为5，∴C3（5，2），∴C4（11，4），C5（23，8），∴C6（47，16）；故答案为（47，16）．26．解以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C；以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C；作AB的中垂线与x轴的交点即为C；故答案为4；三．解答题（共6小题）27．解：（1）设A、B两基地的蔬菜总量分别为x吨、y吨．于是有：，解得：，答：A、B两基地的蔬菜总量分别为300吨和400吨；（2）由题可知：，∴0≤m＜260，∵w＝20m+25（300﹣m）+15（260﹣m）+24[400﹣（260﹣m）]＝4m+14760，∵4＞0，∴w随m的增大而增大，∴w最小＝14760答：当A基地运300吨到乙市，B基地运260吨到甲市，B基地运140吨到乙市时，总运费最少为14760元．28．解：（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，解得：k＝﹣．故答案为：﹣．（2）①由（1）可知直线AB的解析式为y＝﹣x+4．当x＝0时，y＝﹣x+4＝4，∴点B的坐标为（0，4），∴OB＝4．∵点E为OB的中点，∴BE＝OE＝OB＝2．∵点A的坐标为（8，0），∴OA＝8．∵四边形OCED是平行四边形，∴CE∥DA，∴＝＝1，∴BC＝AC，∴CE是△ABO的中位线，∴CE＝OA＝4．∵四边形OCED是平行四边形，∴OD＝CE＝4，OC＝DE．在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，∴DE＝＝2，∴C平行四边形OCED＝2（OD+DE）＝2（4+2）＝8+4．②设点C的坐标为（x，﹣x+4），则CE＝|x|，CD＝|﹣x+4|，∴S△CDE＝CD•CE＝|﹣x2+2x|＝，∴x2﹣8x+33＝0或x2﹣8x﹣33＝0．方程x2﹣8x+33＝0无解；解方程x2﹣8x﹣33＝0，得：x1＝﹣3，x2＝11，∴点C的坐标为（﹣3，）或（11，﹣）．29．解：（1）当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝4，∴直线y＝﹣x+3与x轴点交A（4，0），与y轴交点B（0，3）∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝，因此：线段AB的长为5．（2）当CD∥OA时，如图，∵BD＝OC，OC＝m，∴BD＝m，由△BCD∽△BOA得：，即：，解得：m＝；①当＜m≤3时，如图1所示：过点D作DF⊥OB，垂足为F，此时在x轴下方的三角形与△CDF全等，∵△BDF∽△BAO，∴，∴DF＝，同理：BF＝m，∴CF＝2m﹣3，∴S△CDF＝＝（2m﹣3）×＝m2﹣2m，即：S＝m2﹣2m，（＜m≤3）②当0＜m≤时，如图2所示：DE＝m≤，此时点E在△AOB的内部，S＝0 （0＜m≤）；③当﹣3＜m≤0时，如图3所示：同理可得：点D（﹣m，m+3）设直线CD关系式为y＝kx+b，把C（0，m）、D（﹣m，m+3）代入得：，解得：k＝﹣，b＝m，直线CD关系式为y＝﹣x+m，当y＝0时，0＝﹣x+m，解得x＝m2F（，0）∴S△COF＝OC•OF＝（﹣m）×＝﹣m3，即：S＝﹣m3，（﹣3＜m≤0）④当m＜﹣3时，如图4所示：同理可得：点D（﹣m，m+3）此时，DF＝﹣m﹣3，OC＝﹣m，OF＝﹣，∴S梯形OCDF＝（﹣m﹣3﹣m）×（﹣）＝即：S＝（m＜﹣3）综上所述：S与m的函数关系式为：S＝．30．解：（1）设甲、乙两人的速度分别为am/min，bm/min，则：y1＝y2＝bx由图②知：x＝3.75或7.5时，y1＝y2，∴，解得：∴y1＝1200﹣240x，令y1＝0，则x＝5∴y1＝y2＝80x答：甲的速度为240m/min，乙的速度为80m/min．（2）设甲、乙之间距离为d，则d2＝（1200﹣240x）2+（80x）2＝64000（x﹣）2+144000，∴当x＝时，d2的最小值为144000，即d的最小值为120；答：当x＝时，甲、乙两人之间的距离最短．31．解：（1）400米跑道中一段直道的长度＝（400﹣2×36×3.14）÷2＝86.96 米，答：400米跑道中一段直道的长度约为86.96米．（2）当跑道宽度为1米时，此时弯道的半径为36+1＝37米，周长为86.96×2+2×3.14×37＝406.28米，当跑道宽度为2米时，此时弯道的半径为36+2＝38米，周长为86.96×2+2×3.14×38＝412.56米，当跑道宽度为3米时，此时弯道的半径为36+3＝39米，周长为86.96×2+2×3.14×39＝418.84米，当跑道宽度为4米时，此时弯道的半径为36+4＝40米，周长为86.96×2+2×3.14×40＝425.12米，当跑道宽度为5米时，此时弯道的半径为36+1＝41米，周长为86.96×2+2×3.14×41＝431.4米，表格填写如下：y与x的函数关系式为：y＝2πx+400＝6.28x+400；（3）当y＝446时，即6.28x+400＝446，解得：x≈7.32 m7.32÷1.2≈6 条∴最多能铺设道宽为1.2米的跑道6条．32．解：（1）∵y＝x+4，∴A（﹣3，0）B（0，4），∵点C与点A关于y轴对称，∴C（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（0，4），C（3，0）代入，，解得k＝﹣，b＝4，∴直线BC的解析式y＝﹣；（2）如图1，过点A作AD⊥BC于点点D，过点P作PN⊥BC于N，PG⊥OB于点G．∵OA＝OC＝3，OB＝4，∴AC＝6，AB＝BC＝5，∴sin∠ACD＝，即，∴AD＝，∵点P为直线y＝x+4上，∴设P（t，t+4），∴PG＝﹣t，cos∠BPG＝cos∠BAO，即，∴，∵sin∠ABC＝，∴PN＝＝，∵AP＝BQ，∴BQ＝5+，∴S＝，即S＝；（3）如图，延长BE至T使ET＝EP，连接AT、PT、AM、PT交OA于点S．∵∠APE＝∠EBC，∠BAC＝∠BCA，∴180°﹣∠APE﹣∠BAC＝180°﹣∠EBC﹣∠ACB，∴∠PEA＝∠BEC＝∠AET，∴PT⊥AE，PS＝ST，∴AP＝AT，∠TAE＝∠P AE＝∠ACB，AT∥BC，∴∠TAF＝∠FQB，∵∠AFT＝∠BFQ，AT＝AP＝BQ，∴△ATF≌△QBF，∴AF＝QF，TF＝BF，∵∠PSA＝∠BOA＝90°，∴PT∥BM，∴∠TBM＝∠PTB，∵∠BFM＝∠PFT，∴△MBF≌△PTF，∴MF＝PF，BM＝PT，∴四边形AMQP为平行四边形，∴AP∥MQ，MQ＝AP＝BQ，∴∠MQR＝∠ABC，过点R作RH⊥MQ于点H，∵sin∠ABC＝sin∠MQR＝，设QR＝25a，HR＝24a，则QH＝7a，∵tan∠QMR＝，∴MH＝23a，BQ＝MQ＝23a+7a＝30a，BR＝BQ+QR＝55a，过点R作RK⊥x轴于点K．∵点R的纵坐标为﹣，∴RK＝，∵sin∠BCO＝，∴CR＝，BR＝，∴，a＝，∴BQ＝30a＝3，∴5+＝3，t＝，∴P（），∴，∵BM＝PT＝2PS＝，BO＝4，∴OM＝，∴M（0，），设直线PM的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线PM的解析式为y＝．。
专题55 一次函数背景下的图形存在性问题(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
例题精讲考点一：一次函数中等腰三角形存在性问题【例1】．如果一次函数y＝﹣x+6的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，M点在x轴上，并且使得以点A、B、M为定点的三角形是等腰三角形，则M点的坐标为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（﹣，0）．解：一次函数y＝﹣x+6中令x＝0，解得y＝6；令y＝0，解得x＝8，∴A（8，0），B（0，6），即OA＝8，OB＝6，在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB＝10，分四种情况考虑，当BM＝BA时，由BO⊥AM，根据三线合一得到O为MA的中点，此时M1（﹣8，0）；当AB＝AM时，由AB＝10，得到OM＝﹣2或18，此时M2（﹣2，0），M3（18，0）；当MA＝MB时，∵A（8，0），B（0，6），∴AB的中点的坐标为（4，3），设直线AB的垂直平分线的解析式为y＝x+b，代入（4，3）得3＝+b，解得b＝﹣，∴直线AB的垂直平分线的解析式为y＝x﹣，令y＝0，解得x＝，此时M4（，0）．综上，这样的M点有4个，分别为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．故答案为（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．变式训练【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线MN的函数解析式为y＝﹣x+3，点A在线段MN上且满足AN＝2AM，B点是x轴上一点，当△AOB是以OA为腰的等腰三角形时，则B点的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．解：∵在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3；令y＝0，则﹣x+3＝0，解得x＝3，∴N（3，0），M（0，3），∴OM＝ON＝3，∵AN＝2AM，∴A（1，2），∴OA＝＝，当AO＝OB时，则OB＝，∴点B的坐标为（﹣，0）或（，0）；②当AO＝AB时，设点B的坐标为（m，0），则＝，整理得，（1﹣m）2＝1，解得m＝2或m＝0（舍去），∴点B的坐标为（2，0）．综上所述：点B的坐标为（2，0）或（，0）或（，0）．【变1-2】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+12与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y＝x交于点C．（1）求点C的坐标．（2）若P是x轴上的一个动点，直接写出当△OPC是等腰三角形时P的坐标．解：（1）联立两直线解析式成方程组，得，解得：，∴点C的坐标为（4，4）；（2）设点P（m，0），而点C（4，4），点O（0，0）；PC2＝（m﹣4）2+16，PO2＝m2，OC2＝42+42＝32；当PC＝PO时，（m﹣4）2+16＝m2，解得：m＝4；当PC＝OC时，同理可得：m＝0（舍去）或8；当PO＝OC时，同理可得：m＝±4；故点P的坐标为（4，0）或（8，0）或（4，0）或（﹣4，0）．考点二：一次函数中直角三角形存在性问题【例2】．已知点A、B的坐标分别为（2，2）、（5，1），试在x轴上找一点C，使△ABC为直角三角形．解：当△ABC为直角三角形时，设点C坐标为（x，0），分三种情况：①如果A为直角顶点，则AB2+AC2＝BC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（2﹣x）2+22＝（5﹣x）2+1，解得：x＝，②如果B为直角顶点，那么AB2BC2＝AC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（5﹣x）2+1＝（2﹣x）2+22，解得x＝，③如果C为直角顶点，那么AB2＝AC2+BC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2＝（2﹣x）2+22+（5﹣x）2+1，解得x＝3或4，综上可知，使△PAB为直角三角形的点C坐标为（，0）或（，0）或（3，0）或（4，0）．变式训练【变2-1】．如图，一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），且与x轴相交于点B．若点P 是x轴上的一点，且满足△ABP是直角三角形，则点P的坐标是（1，0）或（3，0）．解：∵一次函数y＝kx+1的图象过点A（1，2），∴2＝k+1，解得k＝1，∴一次函数的解析式为y＝x+1．∴当∠APB＝90°时，P1（1，0）；当∠BAP＝90°时，∵一次函数的解析式为y＝x+1，∴设直线AP的解析式为y＝﹣x+b，∵A（1，2），∴2＝﹣1+b，解得b＝3，∴直线AP的解析式为y＝﹣x+3，∴当y＝0时，x＝3，∴P2（3，0）．综上所述，点P的坐标是（1，0）或（3，0）．【变2-2】．如图，已知一次函数y＝x﹣2的图象与y轴交于点A，一次函数y＝4x+b的图象与y轴交于点B，且与x轴以及一次函数y＝x﹣2的图象分别交于点C、D，点D的坐标为（﹣2，﹣4）．（1）关于x、y的方程组的解为．（2）求△ABD的面积；（3）在x轴上是否存在点E，使得以点C，D，E为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵一次函数y＝x﹣2的图象与一次函数y＝4x+b的图象交于点D，且点D的坐标为（﹣2，﹣4），∴关于x、y的方程组的解是，∴关于x、y的方程组的解是，故答案为：；（2）把点D的坐标代入一次函数y＝4x+b中得：﹣8+b＝﹣4，解得：b＝4，∴B（0，4），∵A（0，﹣2），∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，＝＝6；∴S△ABD（3）存在，如图1，当点E为直角顶点时，过点D作DE⊥x轴于E，∵D（﹣2，﹣4），∴E（﹣2，0）；当点C为直角顶点时，x轴上不存在点E；当点D为直角顶点时，过点D作DE⊥CD交x轴于点E，作DF⊥x轴于F，设E（t，0），当y＝0时，4x+4＝0，∴x＝﹣1，∴C（﹣1，0），∵F（﹣2，0），∴CE＝﹣1﹣t，EF＝﹣2﹣t，∵D（﹣2，﹣4），∴DF＝4，CF＝﹣1﹣（﹣2）＝1，在Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2＝42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20，在Rt△CDF中，CD2＝12+42＝17，在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2，∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17，解得t＝﹣18，∴E（﹣18，0），综上，点E的坐标为：（﹣2，0）或（﹣18，0）．考点三：一次函数中平行四边形存在性问题【例3】．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，3），B（﹣2，﹣1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．（1）求该一次函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）平面内是否存在一点M，使以点M、C、O、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）将A（1，3）、B（﹣2，﹣1），代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函数的表达式为y＝x+；（2）在y＝x+中，令x＝0得y＝，∴OD＝，＝OD•|x A|＝××1＝，∴S△AODS△BOD＝OD•|x B|＝××2＝，＝S△BOD+S△AOD＝；∴△AOB的面积S△AOB（3）存在，理由如下：在y＝x+中，令y＝0得y＝﹣，∴C（﹣，0），设M（m，n），而B（﹣2，﹣1），O（0，0），①以OB、CM为对角线，则OB的中点即是CM的中点，如图：∴，解得，∴M（﹣，﹣1）；②以BC、OM为对角线，则BC的中点即是OM的中点，如图：∴，解得，∴M（﹣，﹣1）；③以BM、CO为对角线，则BM的中点即是CO的中点，如图：∴，解得，∴M（，1）；综上所述，M的坐标为：（﹣，﹣1）或（﹣，﹣1）；或（，1）．变式训练【变3-1】．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当B'C'经过点D时，求△BCD平移的距离及点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠OBC＝90°，∠OCB+∠ECD＝90°，∴∠OBC＝∠ECD．∵将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，∴BC＝CD．在△BOC和△CED中，，∴△BOC≌△CED（AAS）．（2）解：∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，∴点B的坐标为（0，3），点A的坐标为（6，0）．设OC＝m，∵△BOC≌△CED，∴OC＝ED＝m，BO＝CE＝3，∴点D的坐标为（m+3，m）．∵点D在直线y＝﹣x+3上，∴m＝﹣（m+3）+3，解得：m＝1，∴点D的坐标为（4，1），点C的坐标为（1，0）．∵点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，0），∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3．设直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+b，将D（4，1）代入y＝﹣3x+b，得：1＝﹣3×4+b，解得：b＝13，∴直线B′C′的解析式为y＝﹣3x+13，∴点C′的坐标为（，0），∴CC′＝﹣1＝，∴△BCD平移的距离为．（3）解：设点P的坐标为（0，m），点Q的坐标为（n，﹣n+3）．分两种情况考虑，如图3所示：①若CD为边，当四边形CDQP为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P1的坐标为（0，）；当四边形CDPQ为平行四边形时，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P2的坐标为（0，）；②若CD为对角线，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴点P的坐标为（0，）．综上所述：存在，点P的坐标为（0，）或（0，）．考点四：一次函数中矩形存在性问题【例4】．Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，在直角△AOB中，AB＝＝＝10；（2）∵BC平分∠ABO，CD⊥AB，AO⊥BO，∴OC＝CD，设OC＝x，则AC＝8﹣x，CD＝x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD＝∠BAO，∠ADC＝∠AOB＝90°，∴△ACD相似于△ABO，∴，即，解得：x＝3．即OC＝3，则C的坐标是（﹣3，0）．设AB的解析式是y＝kx+b，根据题意得解得：则直线AB的解析式是y＝x+6，设CD的解析式是y＝﹣x+m，则4+m＝0，则m＝﹣4．则直线CE的解析式是y＝﹣x﹣4；（3）①当AB为矩形的边时，如图所示矩形AM1P1B，易知BC的直线方程为y＝2x+6，设M1（m，2m+6），P1（x，y），因为A（﹣8，0），B（0，6），则AM12＝（m+8）2+（2m+6）2，＝5m2+40m+100，BM12＝m2+（2m+6﹣6）2＝5m2，AB＝10，根据AB2+AM12＝BM12得100+5m2+40m+100＝5m2，m＝﹣5，∴M1（﹣5，﹣4），根据平移规律可以解得P1（3，2）②当AB为矩形的对角线时，此时有AB2＝AM22+BM22，即100＝5m2+40m+100+5m2，m ＝﹣4或m＝0（舍去），∴M2（﹣4，﹣2），根据平移规律可以解得P2（﹣4，8）综上可得，满足条件的P点的坐标为P1（3，2）或P2（﹣4，8）．变式训练【变4-1】．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣4x+3＝0的两个根，且OC＞BC．（1）求直线BD的解析式；（2）求点H到x轴的距离；（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）x2﹣4x+3＝0，解得：x＝3或1，故BC＝1，OC＝3，即点C（0，3）、点A（﹣1，0），则点B（﹣1，3），点D（3，0），点E（3，1），将B、D点的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线BD的表达式为：y＝﹣x+…①；（2）同理可得：直线OE的表达式为：y＝x…②，联立①②并解得：y＝，即点H到x轴的距离为：；（3）直线BD的表达式为：y＝﹣x+，则点F（0，），①当FD是矩形的一条边时，当点M在x轴上时，∵MF⊥BD，则直线MF的表达式为：y＝x+，当y＝0，x＝﹣，即点M（﹣，0），点F向右平移3个单位向下平移单位得到D，则点M向右平移3个单位向下平移单位得到N，则点N（，﹣）；当点M在y轴上时，同理可得：点N（﹣3，﹣）；②当FD是矩形的对角线时，此时点M在原点O，则点N（3，）；综上，点N的坐标为：（，﹣）或（﹣3，﹣）或（3，）．考点五：一次函数中菱形存在性问题【例5】．如图1，直线y＝x+6与x，y轴分别交于A，B两点，∠ABO的角平分线与x轴相交于点C．（1）求点C的坐标；（2）在直线BC上有两点M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求点M 的坐标；（3）点P在y轴上，在平面上是否存在点Q，使以点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于直线y＝x+6，令x＝0，得到y＝6，∴B（0，6），令y＝0，得到x＝﹣8，∴A（﹣8，0）．∵A（﹣8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝10，过点C作CH⊥AB于H，设OC＝t，∵BC平分∠ABO，∠AOB＝90°，∴CH＝OC＝t，＝S△ABC+S△BCO，∵S△ABO∴OA•OB＝AB•CH+OC•OB，∴6×8＝10t+6t，∴t＝3，∴OC＝3，∴C（﹣3，0）；（2）设线BC的表达式为：y＝kx+b，∵B（0，6），C（﹣3，0），∴直线BC的表达式为：y＝2x+6，设点M（m，2m+6）、N（n，2n+6），过点M作MF⊥x轴于点F，过点N作NE⊥x轴于点E，∵△AMN为等腰直角三角形，故AM＝AN，∵∠NAE+∠MAF＝90°，∠MAF+∠AMF＝90°，∴∠NAE＝∠AMF，∵∠AFM＝∠NEA＝90°，AM＝AN，∴△FMA≌△EAN（AAS），∴EN＝AF，MF＝AE，即﹣2n﹣6＝m+8，2m+6＝8+n，解得：m＝﹣2，n＝﹣6，故点M的坐标为（﹣2，2）、点N（﹣6，﹣6）；由于M，N的位置可能互换，故点N的坐标为（﹣2，2）、点M（﹣6，﹣6）；综上所述，点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣6，﹣6）；（3）设点P（0，p），∴BP2＝（p﹣6）2，AP2＝82+p2，①当AB是边时，如图，∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，∴BP＝AB＝10，BP′＝AB＝10，OB＝OP″，∵B（0，6），∴P（0，16），P′（0，﹣4），P″（0，﹣6），∵A（﹣8，0），∴Q（﹣8，10），Q′（﹣8，﹣10），Q″（8，0）；②当AB是对角线时，如图，∵点A、B、P、Q为顶点的四边形为菱形，∴AP＝BP，∴BP2＝AP2，∴（p﹣6）2＝82+p2，解得p＝﹣，∴P（0，﹣），∵A（﹣8，0），B（0，6），∴Q（﹣8，）；综上所述，点Q的坐标为（﹣8，10）或（﹣8，﹣10）或（8，0）或（﹣8，）．变式训练【变5-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣2），与直线CD交于点A（m，2）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F，若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵点A（m，2）在直线y＝x+4上∴m+4＝2解得m＝﹣2∴点A的坐标为（﹣2，2）设直线AB的解析式为y＝kx+b∴解得∴直线AB的解析式为y＝﹣2x﹣2；（2）如图1，由题意设点E的坐标为（a，a+4），则∵EF∥y轴，点F在直线y＝﹣2x﹣2上∴点F的坐标为（a，﹣2a﹣2）∴EF＝|a+4﹣（﹣2a﹣2）|＝|3a+6|，∵以点O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且EF∥OC∴EF＝OC∵直线y＝x+4与y轴交于点C∴点C的坐标为（0，4）∴OC＝4，即|3a+6|＝4解得：a＝﹣或a＝﹣∴点E的坐标为（﹣，）或（﹣，）；（3）如图2，当BC为对角线时，点P，Q都是BC的垂直平分线，且点P和点Q关于BC对称，∵B（0，﹣2），C（0，4），∴点P的纵坐标为1，将y＝1代入y＝x+4中，得x+4＝1，∴x＝﹣3，∴P''（﹣3，1），∴Q''（3，1）当CP是对角线时，CP是BQ的垂直平分线，设Q（m，n），∴BQ的中点坐标为（，），代入直线y＝x+4中，得+4＝①，∵CQ＝CB，∴m2+（n﹣4）2＝36②，联立①②得，（舍）或，∴Q'（﹣6，4），当PB是对角线时，PC＝BC＝6，设P（c，c+4），∴c2+（c+4﹣4）2＝36，∴c＝3（舍）或c＝﹣3，∴P（﹣3，﹣3+4），设Q（d，e）∴（﹣3+0）＝（0+d），（﹣3+4﹣2）＝（e+4），∴d＝﹣3，e＝﹣3﹣2，∴Q（﹣3，﹣3﹣2），即：点Q的坐标为（3，1），（﹣6，4）或（﹣3，﹣3﹣2）．1．一次函数y＝x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，在x轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的点C的坐标为（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．解：当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣3，即A（﹣3，0），B（0，4），OA＝3，OB＝4，由勾股定理得：AB＝5，有三种情况：①以A为圆心，以AB为半径交x轴于两点，此时AC＝AB＝5，C的坐标是（2，0）和（﹣8，0）；②以B为圆心，以AB为半径交x轴于一点（A除外），此时AB＝BC，OA＝OC＝3，C的坐标是（3，0）；③作AB的垂直平分线交x轴于C，设C的坐标是（a，0），A（﹣3，0），B（0，4），∵AC＝BC，由勾股定理得：（a+3）2＝a2+42，解得：a＝，∴C的坐标是（，0），故答案为：（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．2．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，1），连接OA，点P是x轴上的一动点，如果△OAP是等腰三角形，请你写出符合条件的点P坐标P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．解：设P（x，0），当OA＝AP时，∵A（2，1），∴P1（4，0）；当OA＝OP时，∵A（2，1），∴OA＝＝，∴P2（，0），P3（﹣，0）；当AP＝OP时，∵P（x，0），（2，1），∴（2﹣x）2+12＝x2，解得x＝，∴P4（，0）．综上所述，P点坐标为：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．故答案为：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．3．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，0），点C在y 的正半轴上，且OB＝2OC，在直角坐标平面内确定点D，使得以点D、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，请写出点D的坐标为（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．解：如图，①当BC为对角线时，易求M1（3，2）；②当AC为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；③当AB为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M y|＝OC＝2，|M x|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．综上所述，符合条件的点D的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．故答案为：（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．4．如图，一次函数y＝k2x+b的图象与y轴交于点B，与正比例函数y＝k1x的图象相交于点A（3，4），且OA＝OB．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）点P在x轴上，且△POA是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．解：（1）∵正比例函数y＝k1x的图象经过点A（3，4），∴3k1＝4，∴k1＝，∴正比例函数解析式为y＝x．如图1中，过A作AC⊥x轴于C，在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝4，∴AO＝＝5，∴OB＝OA＝5，∴B（0，﹣5），∴，解得，∴一次函数的解析式为y＝3x﹣5．（2）如图1中，过A作AD⊥y轴于D，∵A（3，4），∴AD＝3，＝；∴S△AOB（3）当OP＝OA时，P1（﹣5，0），P2（5，0），当AO＝AP时，P3（6，0），当PA＝PO时，线段OA的垂直平分线为y＝﹣，∴，满足条件的点P的坐标（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或．5．直线l1交x轴于点A（6，），交y轴于B（0，6）．（1）如图，折叠△AOB，使BA落在y轴上，折痕所在直线为l2，直线l2与x轴交于C 点，求C点坐标及l2的解析式；（2）在直线l1上找点M，使得以M、A、C为顶点的三角形是等腰三角形，求出所有满足条件的M点的坐标．解：∵点A（6，0），交y轴于B（0，6）．∴OA＝6，OB＝6，∴tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠OBA＝60°，∵折叠△AOB，∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∴BC＝2OC，BO＝OC＝6，∴OC＝2，∴点C（2，0），设直线BC解析式为：y＝kx+b，解得：∴直线BC解析式为：y＝﹣x+6；（2）当点M与点B重合时，由（1）可知：∠AMC＝∠MAC＝30°，∴CM＝AC，∴△ACM是等腰三角形，∴当M为（0，6）时，△ACM是等腰三角形，∵OC＝2，OA＝6，∴AC＝4，若AM＝AC＝4，如图1：过点M作MH⊥AC，∵∠MAH＝30°，∴MH＝AM＝2，AH＝2MH＝6，∴OH＝6﹣6或6+6，∴点M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）若AM＝MC，如图2，过点M作MH⊥AC，∵AM＝MC，MH⊥AC，∴AH＝CH＝2，∴OC＝4，∵∠MAH＝30°，∴AH＝MH，∴MH＝2，∴点M（4，2），综上所述：点M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）或（4，2）或（0，6）．6．在平面直角坐标系中，直线y＝kx+8k（k是常数，k≠0）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为（0，6）．（1）求点A的坐标；（2）如图1，将直线AB绕点B逆时针旋转45°交x轴于点C，求直线BC的解析式；（3）在（2）的条件下，直线BC上有一点M，坐标平面内有一点P，若以A、B、M、P 为顶点的四边形是菱形，请直接写出点P的坐标．解：（1）令y＝kx+8k＝0，解得x＝﹣8，故点A的坐标为（﹣8，0）；（2）过点A作AD⊥AB交BC于点D，过点A作y轴的平行线交过点B与x轴的平行线于点M，交过点D与x轴的平行线于点N，∵∠ABC＝45°，故△ABD为等腰直角三角形，则AD＝AB，∵∠BAM+∠DAN＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，∴∠BAM＝∠ADN，∵∠BMA＝∠AND＝90°，∴△BMA≌△AND（AAS），∴AN＝BM＝8，ND＝AM＝6，故点D的坐标为（﹣2，﹣8），设直线BC的表达式为y＝kx+b，则，解得，故直线BC的表达式为y＝7x+6；（3）设点M的坐标为（m，7m+6），点P（s，t），而点A、B的坐标分别为（﹣8，0）、（0，6），①当AB是边时，点A向右8个单位向上6个单位得到点B，同样，点M（P）向右8个单位向上6个单位得到点P（M），且AB＝BP（AB＝BM），则或，解得或或（不合题意的值已舍去）；故点P的坐标为（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）；②当AB是对角线时，由中点坐标公式和AM＝BM得：，解得，故点P的坐标为（﹣7，7）；综上，点P的坐标为（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）或（﹣7，7）．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，6）．（1）求一次函数的解析式；（2）求△BOC的面积；（3）在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵将点C（m，6）代入y＝x，∴6＝m，∴m＝4，∴C（4，6），设一次函数的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+3；（2）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，∴B（0，3），＝OB•|x C|＝×3×4＝6；∴S△BOC（3）在x轴上存在一点P，使得△ABP是等腰三角形，理由如下：∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝5，OA＝4，当B为等腰三角形顶角顶点时，P点与A点关于y轴对称，∴P（4，0）；当A为等腰三角形顶角顶点时，AP＝AB＝5，∴P（﹣9，0）或P（1，0）；当P为等腰三角形顶角顶点时，设P（t，0），∵PA＝PB，∴（t+4）2＝t2+9，解得t＝﹣，∴P（﹣，0），综上所述：P点坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．8．如图，已知一次函数y＝x+m的图象与x轴交于点A（﹣6，0），交y轴于点B．（1）求m的值与点B的坐标（2）问在x轴上是否存在点C，使得△ABC的面积为16？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由．（3）问在x轴是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形，求出点P坐标．（4）一条经过点D（0，2）和直线AB上的一点的直线将△AOB分成面积相等的两部分，请求出这条直线的函数表达式．解：（1）把点A（﹣6，0）代入y＝x+m，得m＝8，∴点B坐标为（0，8）．（2）存在，设点C坐标为（a，0），由题意•|a+6|•8＝16，解得a＝﹣2或﹣10，∴点C坐标（﹣2，0）或（﹣10，0）．（3）如图1中，①当AB＝AP时，AP＝AB＝＝10，可得P1（﹣16，0），P2（4，0）．②当BA＝BP时，OA＝OP，可得P3（6，0）．③当PA＝PB时，∵线段AB的垂直平分线为y＝﹣x+，可得P4（，0），综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣16，0）或（4，0）或（6，0）或（，0）．（4）如图2中，设过点D的直线交AB于E，设E（b，），由题意BD•（﹣b）＝××6×8，∴b＝﹣4，∴点E坐标（﹣4，），设直线DE的解析式为y＝kx+b则有，解得，∴这条直线的函数表达式y＝﹣x+2．9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P（2，a）．（1）求点A、B的坐标；（2）若Q为x轴上一动点，△APQ为等腰三角形，直接写出Q点坐标；（3）点C在直线AB上，过C作CE⊥x轴于E，交直线OP于D，我们规定若C，D，E 中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“和谐点”，求出C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标．解：（1）当x＝0时，y＝﹣x+2＝2，∴点B的坐标为（0，2）；当y＝0时，有﹣x+2＝0，解得：x＝4，∴点A的坐标为（4，0）；（2）∵一次函数y＝﹣x+2的图象交直线y＝kx于P（2，a）．∴a＝﹣×2+2＝1，∴点P的坐标为（2，1），设点Q（m，0），而点A、P的坐标分别为：（4，0）、（2，1），则AP＝＝，AQ＝|4﹣m|，PQ＝，当AP＝AQ时，则＝|4﹣m|，解得m＝4±，∴点Q（4±，0）；当AP＝PQ时，＝，解得m＝0或4（舍去），∴点Q（0，0）；当PQ＝AQ时，即＝|4﹣m|，解得：m＝，∴点Q（，0）；综上，点Q的坐标为（4±，0）或（0，0）或（，0）；（3）∵y＝kx过P（2，1）．∴2k＝1，解得k＝，∴y＝x，设点C的坐标为（n，﹣n+2），则点D的坐标为（n，n），点E的坐标为（n，0），∴CD＝|﹣n+2﹣n|＝|2﹣n|，DE＝|n|，CE＝|﹣n+2|＝|n﹣2|，当D为CE的中点时，CD＝DE，∴|2﹣n|＝|n|，解得n＝或4（舍去），∴点C的坐标为（，）；当C为DE的中点时，CD＝CE，∴|2﹣n|＝|n﹣2|，解得n＝或0（舍去），∴点C的坐标为（，）；当E为CD的中点时，DE＝CE，∴|n|＝|n﹣2|，无解；综上，C，D，E三点为“和谐点”时C点的坐标为（，）或（，）．10．如图所示，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．（1）求△AOB的面积；（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，，解得x＝．令x＝0，y＝．∴A（，0），B（0，）．＝．∴△AOB的面积为12．（2）∵动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，∴AM＝t．当0≤t≤时，OM＝，OC＝．∴＝＝．当t＞时，OM＝t﹣．∴＝＝．综上，△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式：S＝．（3）在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形．①当AC，AM为菱形的边时，情况一：如图1，当点M在点A的左侧时，Rt△AOC中，＝，∴NC＝AC＝．∵NC∥AM，∴点N（，）．情况二，如图1′，当点M在点A的右侧时，由情况一同理可得点N的坐标为．②当AC为菱形的对角线时，如图2，此时M，O重合，四边形OANC为正方形，则点N（，）．③如图3，当AC为菱形的边，AM为菱形的对角线时，此时点C，N关于x轴对称，∴点N（0，﹣）．综上，在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，此时点N的坐标为：（，），，（，），（0，﹣）．11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两点，连接BC，且OC＝OB．（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；（2）点M在x轴上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的坐标；（3）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）对于直线y＝﹣x+4，令x＝0的y＝4，令y＝0得x＝4，∴A（4，0），B（0，4），∴OB＝OA＝4，∵OC＝OB，∴OC＝3，∴C（﹣3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+4．（2）如图1中，当点M在点A的左边时，∵OB＝OA＝4，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝45°，∴∠CBO+∠MBA＝∠MBA+∠MBO＝45°，∴∠CBO＝∠OBM，∵∠CBO+∠BCO＝90°，∠BMO+∠OBM＝90°，∴∠BCO＝∠BMO，∴BC＝BM，OC＝OM＝3，∴M（3，0），作点M关于直线AB的对称点N，作直线BN交x轴于M1，则∠M1BA＝∠MBA，点M1满足条件．∵N（4，1），B（0，4），∴直线BN的解析式为y＝﹣x+4，令y＝0，得x＝，∴M1（，0），综上所述，满足条件的点M的坐标为（3，0）或（，0）．（3）如图2中，∵BC＝＝5，当BC为菱形的边时，四边形CP1Q1B，四边形CP3Q3B，四边形BCQ2P2是菱形，此时Q1（﹣5，4），Q3（5，4），Q2（0，4），当BC是菱形的对角线时，四边形CP4BQ4是菱形，可得Q4（﹣，4）．综上所述，满足条件的点Q的坐标为（﹣5，4）或（5，4）或（0，﹣4）或．12．已知，一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y＝相交于点C．过点B作x轴的平行线l．点P是直线l上的一个动点．（1）求点A，点B的坐标．（2）求点C到直线l的距离．＝S△BCP，求点P的坐标．（3）若S△AOC（4）若点E是直线y＝上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点E的坐标．解：（1）∵一次函数y＝的图象与x轴、y轴分别交于点A、点B，∴令y＝0，则＝0，∴x＝8，令x＝0，则y＝6，∴点A、B的坐标分别为：（8，0）、（0，6）；（2）解：得，，∴点C（3，），则C到直线l的距离为6﹣＝；＝×8×＝15＝S△BCP＝×BP×（y P﹣y C）＝BP×，（3）∵S△AOC解得：BP＝，故点P（，6）或（﹣，6）；（4）设点E（m，m）、点P（n，6）；①当∠EPA＝90°时，当点P在y轴右侧时，当点P在点E的左侧时，如图1，∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，∵△EMP≌△PNA（AAS），则ME＝PN＝6，MP＝AN，即m﹣n＝6，m﹣6＝8﹣n，解得：m＝，当点P在点E的右侧时，如图，同理可得m＝16，当∠EAP＝90°时，当点P在y轴左侧时，如图2，同理可得：m﹣8＝6，m＝8﹣n，解得：m＝14，故点E（14，）；故点E（，）或（14，）或（16，20）；如图3，同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），故MP＝EN，AM＝AN＝6，即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14（不合题意舍去），故点E（2，）；综上，E（，）或（16，20）或（2，）或（14，）．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试求出所有符合条件的点C的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）在直线OA上，是否存在一点D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，试求出所有符合条件的点D的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）∵直线y＝﹣x+与y＝x相交于点A，∴联立得，解得，∴点A（1，1），∵直线y＝﹣x+与x轴交于点B，∴令y＝0，得﹣x+＝0，解得x＝3，∴B（3，0），（2）存在一点C，使得以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形．①如图1，过点A作平行于x轴的直线，过点O作平行于AB的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，OC∥AB，∴四边形CABO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（﹣2，1），②如图2，过点A作平行于x轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵AC∥x轴，BC∥AO，∴四边形CAOB是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（4，1），③如图3，过点O作平行于AB轴的直线，过点B作平行于AO的直线，两直线交于点C，∵OC∥AB，BC∥AO，∴四边形CBAO是平行四边形，∵A（1，1），B（3，0），∴AO＝BC，OC＝AB，作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，∴C（2，﹣1），（3）在直线OA上，存在一点D，使得△DOB是等腰三角形，①如图4，当OB＝OD时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝，∴D（﹣，﹣），②如图5，当OD＝OB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵OB＝3，点D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝，∴D（，），③如图6，当OB＝DB时，∵∠AOB＝∠ODB＝45°，∴DB⊥OB，∵OB＝3，∴D（3，3），④如图7，当DO＝DB时，作DE⊥x轴，交x轴于点E∵∠AOB＝∠OBD＝45°，∴OD⊥DB，∵OB＝3，∴OE＝，AE＝，∴D（，）．综上所述，在直线OA上，存在点D（﹣，﹣），D（，），D（3，3）或D（，），使得△DOB是等腰三角形，14．如图，经过点B（0，2）的直线y＝kx+b与x轴交于点C，与正比例函数y＝ax的图象交于点A（﹣1，3）（1）求直线AB的函数的表达式；（2）直接写出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；（3）求△AOC的面积；（4）点P是直线AB上的一点，且知△OCP是等腰三角形，写出所有符合条件的点P的坐标．解：（1）依题意得：，解得，∴所求的一次函数的解析式是y＝﹣x+2．（2）观察图形可知：不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；x＜﹣1．（3）对于y＝﹣x+2，令y＝0，得x＝2∴C（1，0），∴OC＝2．＝×2×3＝3．∴S△AOC（4）①当点P与B重合时，OP1＝OC，此时P1（0，2）；②当PO＝PC时，此时P2在线段OC的垂直平分线上，P2（1，1）；③当PC＝OC＝2时，设P（m．﹣m+2），∴（m﹣2）2+（﹣m+2）2＝4，∴m＝2±，可得P3（2﹣，），P4（2+，﹣），综上所述，满足条件的点P坐标为：（1，1）或（0，2）或P（2+，﹣）或（2﹣，）．15．如图1，已知直线l1：y＝kx+4交x轴于A（4，0），交y轴于B．（1）直接写出k的值为﹣1；（2）如图2，C为x轴负半轴上一点，过C点的直线l2：经过AB的中点P，点Q（t，0）为x轴上一动点，过Q作QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；（3）如图3，已知点M（﹣1，0），点N（5m，3m+2）为直线AB右侧一点，且满足∠OBM＝∠ABN，求点N坐标．解：（1）把A（4，0）代入y＝kx+4，得0＝4k+4．解得k＝﹣1．故答案是：﹣1；（2）∵在直线y＝﹣x+4中，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），∵A（4，0），∴线段AB的中点P的坐标为（2，2），代入，得n＝1，∴直线l2为，∵QM⊥x轴分别交直线l1、l2于M、N，Q（t，0），∴M（t，﹣t+4），，∴，MQ＝|﹣t+4|＝|t﹣4|，∵MN＝2MQ，∴，分情况讨论：①当t≥4时，，解得：t＝10．②当2≤t＜4时，，解得：．③当t＜2时，，解得：t＝10＞2，舍去．综上所述：或t＝10．（3）在x轴上取一点P（1，0），连接BP，作PQ⊥PB交直线BN于Q，作QR⊥x轴于R，∴∠BOP＝∠BPQ＝∠PRQ＝90°，∴∠BPO＝∠PQR，∵OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵M（﹣1，0），∴OP＝OM＝1，∴BP＝BM，∴∠OBP＝∠OBM＝∠ABN，∴∠PBQ＝∠OBA＝45°，∴PB＝PQ，∴△OBP≌△RPQ（AAS），∴RQ＝OP＝1，PR＝OB＝4，∴OR＝5，∴Q（5，1），∴直线BN的解析式为，将N（5m，3m+2）代入，得3m+2＝﹣×5m+4解得，∴．16．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM 的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）x2﹣（+1）x+＝0，（x﹣）（x﹣1）＝0，解得x1＝，x2＝1，∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝，∴A（1，0），B（0，），∴AB＝2，又∵AB：AC＝1：2，∴AC＝4，∴C（﹣3，0）；（2）∵AB＝2，AC＝4，BC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°，由题意得：CM＝t，CB＝2．①当点M在CB边上时，S＝2﹣t（0≤t）；②当点M在CB边的延长线上时，S＝t﹣2（t＞2）；（3）存在．①当AB是菱形的边时，如图所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1点的坐标为（﹣1，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝2，所以Q2点的坐标为（1，2），在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3点的坐标为（1，﹣2），②当AB为菱形的对角线时，如图所示的菱形AP4BQ4，设菱形的边长为x，则在Rt△AP4O中，AP42＝AO2+P4O2，即x2＝12+（﹣x）2，解得x＝，所以Q4（1，）．综上可得，平面内满足条件的Q点的坐标为：Q1（﹣1，0），Q2（1，2），Q3（1，﹣2），Q4（1，）．17．如图1，在平面直角坐标系中．直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C 在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E．（1）求证：△BOC≌△CED；（2）如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B'C'D'，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标；（3）若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．（1）证明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠BCO＝∠CDE，在△BOC和△CED中，。
重庆中考数学专题训练函数型问题(含答案)
第2课时函数型问题我们目前所学的函数主要有一次函数、正比例函数、二次函数、反比例函数，在解决函数问题的时候要注意每种函数的时候要注意各自的特点形式：“靠近课本，贴近生活，联系实际”是近年中考函数应用题编题原则，因此在广泛的社会生活、经济生活中，抽取靠近课本的数学模型是近年来中考的热点问题，解决次类问题经常使用待定系法求解析问题，但这类问题蕴含有代入消元法等重要的数学思想方法，又极易与方程、不等式、几何等初中数学中的重要知识相融合.类型之一分段函数应用题分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。
在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。
1.（•赣州市）年春节前夕，南方地区遭遇罕见的低温雨雪冰冻天气，赣南脐橙受灾滞销．为了减少果农的损失，政府部门出台了相关补贴政策：采取每千克补贴0.2元的办法补偿果农．下图是“绿荫”果园受灾期间政府补助前、后脐橙销售总收入y（万元）与销售量x（吨）的关系图．请结合图象回答以下问题：（1）在出台该项优惠政策前，脐橙的售价为每千克多少元？（2）出台该项优惠政策后，“绿荫”果园将剩余脐橙按原售价打九折赶紧全部销完，加上政府补贴共收入11.7万元，求果园共销售了多少吨脐橙？（3）①求出台该项优惠政策后y与x的函数关系式；②去年“绿荫”果园销售30吨，总收入为10.25万元；若按今年的销售方式，则至少要销售多少吨脐橙？总收入能达到去年水平．类型之二与二次函数有关的最优化问题二次函数是一描述现实世界变量之间关系的重要数学模型．二次函数在人们的生产、生活中有着广泛的应用，求最大利润、最大面积的例子就是它在最优化问题中的应用．2.（•莆田市）枇杷是莆田名果之一，某果园有100棵枇杷树。
每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵数接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？注：抛物线2y ax bx c=++的顶点坐标是24 (,) 24b ac ba a--3.（·贵阳市）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？类型之四 存在探索性函数问题存在型探索题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．解存在性探索题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论．探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注．4.（•杭州市）在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。