沪科版数学九年级上册《比例线段：比例的基本性质之黄金分割》教学教案2
1.比例尺的计算。 2.线段的比例中项与数的比例中项的区别； 3.黄金分割，黄金分割点，黄金比的概念.
D E
A
C
B
5 1
（1）记住线段 AB 被点 P 黄金分割原理；记住黄金比：
≈0.618.
2
(2)利用黄金分割原理解释自然界中的生活现象.
1．回忆小学学过的比例尺。 比例尺＝ （教师可准备一张地图，让学生说明地图上所标比例尺的意义。）
2．什么叫比例中项？比例的基本性质有那些？ （二）讲解新课 1.现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，
但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？ 类题：相同时刻的物高与影长成比例。如果一电视塔在地面上影长为 180m，同一时刻高为 2m 的竹竿的影长为 3m，那么电视塔的高是多少？
AP ,求线段 AB 长和AP 的值。
AB
AB
（解法见教材第 68 页）
A
B
P
图4-1-4
2.黄金分割，黄金分割点，黄金数（比）的概念. 一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割
5 1
叫黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点。比值
叫做黄金数。
2
3.五角星是我们常见的图形.在图中,度量点 C 到点 A,B 的距离AC 与BC 相等吗？ AB AC
A
CB
图 4-5
通过度量可知点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果BC ＝AC ， AC AB
那么称线段 AB 被点 C 黄金分割,点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点,AC 与 AB 的比叫做黄金 比.
问题：一条线段有几个黄金分割点？一颗五角星中有几个黄金分割点？
4.黄金分割的深远意义 历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊
的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成
0.618，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为 0.618.许多 美丽的形状都与 0.618 这个比值有关。 5.尺规做线段的黄金分割点（或阅读课本第 64 至 65 页短文《奇妙的黄金数》 ）
《比例线段：比例的基本性质之黄金分割》教学教案
一、学习目标 1.理解比例尺的意义； 2.会求已知线段的比例中项（了解与数的比例中项的区别）； 3.通过实例了解黄金分割； 4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 二、学习重点、难点： 教学重点：比例尺与黄金分割的概念。 教学难点：黄金分割的应用。 三、学习过程： （一）复习提问，引入新课
2.课本第 68 页例 2（解法见教材） 3.练习课本第 69 页练习 1. （三）探究新知
现实生活中如：蒙娜丽莎像、芭蕾舞演员的演姿、上海东方明珠塔、五角星等，感受黄金 分割图像之美。那么什么叫黄金分割？
1.例 3 如图，已知线段 AB 长度为 a，如果点 P 把线段 AB 分成两条线段 AP 和 PB，使PB ＝ AP
4．已知 P 为线段 AB 的黄金分割点，且 AP＜PB，则
A、 AP 2 AB PB ； B、 AB 2 AP PB ；
C、 PB 2 AP AB ； D、 AP 2 BP 2 AB 2
补例：已知线段 AB＝a，用直尺和圆规作出它的黄金分割点。
分析：线段 a 的黄金分割所得的较长线段长应是 5 1 a ＝ 5 a 1 a ，由于 5 a 是以 a
2
22
2
和 1 a 为直角边的斜边长. 2
因此本题转化为作两条线段之差. 作法： （1）.经过点 B 作 BD⊥AB,使 BD＝1 AB 2 （2）.连接 AD,在 AD 上截取 DE=DB. （3）AB 上截取 AC=AE. 如图，点 C 就是线段 a 的黄金分割点
（五）、作业布置
1. 已知 AB 两地的实际距离是 60km，画在图上的距离 A1B1 是 6cm，求这幅图的比例尺。
2．某班同学要测量学升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是 1.5 米，
影长是 1 米，旗杆的影长是 8 米，则旗杆的高度是多少？
3．已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点 AC＝ 5 5 5 ，且 AC＞BC，求线段 AB 与 BC 的长。
沪科版-数学-九年级上册- 比例线段-比例的基本性质之黄金分割 教学教案2
《比例线段：比例的基本性质之黄金分割》教学教案一、学习目标1.理解比例尺的意义；2.会求已知线段的比例中项（了解与数的比例中项的区别）；3.通过实例了解黄金分割；4.利用黄金分割进行简单的计算和作图.二、学习重点、难点：教学重点：比例尺与黄金分割的概念。
教学难点：黄金分割的应用。
三、学习过程：（一）复习提问，引入新课1．回忆小学学过的比例尺。
比例尺＝（教师可准备一张地图，让学生说明地图上所标比例尺的意义。
）2．什么叫比例中项？比例的基本性质有那些？（二）讲解新课1.现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？类题：相同时刻的物高与影长成比例。
如果一电视塔在地面上影长为180m，同一时刻高为2m的竹竿的影长为3m，那么电视塔的高是多少？2.课本第68页例2（解法见教材）3.练习课本第69 页练习1.（三）探究新知现实生活中如：蒙娜丽莎像、芭蕾舞演员的演姿、上海东方明珠塔、五角星等，感受黄金分割图像之美。
那么什么叫黄金分割？1.例3如图，已知线段AB 长度为a ，如果点P 把线段AB 分成两条线段AP 和PB ，使PBAP ＝AP AB ,求线段AB 长和APAB 的值。
（解法见教材第68 页）2.黄金分割，黄金分割点，黄金数（比）的概念.一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点。
比值512-叫做黄金数。
3.五角星是我们常见的图形.在图中,度量点C 到点A,B 的距离AC AB 与BCAC相等吗？通过度量可知点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果BC AC ＝ACAB，那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比.问题：一条线段有几个黄金分割点？一颗五角星中有几个黄金分割点？ 4.黄金分割的深远意义历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。
沪科版数学九年级上册《黄金分割》教学设计
沪科版数学九年级上册《黄金分割》教学设计一. 教材分析《黄金分割》是沪科版数学九年级上册的一章内容。
本章主要介绍了黄金分割的定义、性质和应用。
教材通过丰富的实例和生动的语言，引导学生探索黄金分割的奥秘，使学生体会数学与实际生活的紧密联系。
本章内容在整个数学学习中起到了承上启下的作用，为后续几何学习奠定了基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础知识，对图形的认识和理解有一定的基础。
但黄金分割作为一个较为抽象的概念，对学生来说较为陌生，需要通过实例和动手操作来逐步理解和掌握。
同时，学生对于数学在实际生活中的应用还缺乏足够的认识，需要教师在教学中进行引导和启发。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握黄金分割的定义、性质和应用，能够运用黄金分割解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、讨论等过程，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：让学生体会数学与实际生活的联系，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的合作意识和创新精神。
四. 教学重难点1.黄金分割的定义和性质。
2.黄金分割在实际生活中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置生动的生活情境，让学生在实际情境中感受黄金分割的存在和应用。
2.启发式教学法：引导学生观察、思考、讨论，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
3.动手操作法：让学生亲自动手操作，加深对黄金分割概念的理解。
4.小组合作学习法：培养学生团队合作、共同解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备一些实际生活中的黄金分割实例。
3.准备一些与黄金分割相关的练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的黄金分割实例，如建筑、艺术品等，引导学生关注黄金分割在生活中的应用。
提出问题：“你们认为什么是黄金分割？它有什么特殊的性质？”2.呈现（10分钟）教师讲解黄金分割的定义和性质，结合相关课件和素材，让学生直观地感受黄金分割的概念。
沪科版九年级数学教案-比例线段(第2课时)
第2課時比例線段（2）教學內容：線段的比，成比例線段教學目標：知識與技能：結合現實情境瞭解比和成比例線段的概念過程與方法：經歷探索成比例線段的過程，並利用其解決一些簡單的問題情感與價值觀：通過現實情境，培養應用意識，數學、自然、社會的密切聯繫重點難點重點：線段的比，成比例線段的概念難點：判斷四個數或四條線段成比例教學準備：地圖、直尺教學方案：（包含教學的過程、教法與學法、練習、板書等）一、復習引入掛上兩張中國地圖，問：1.這兩個圖形有什麼聯繫?它們都是平面圖形，它們的形狀相同，大小不相同，是相似形。
2．這兩個圖形是相似圖形，為什麼有些圖形是相似的，而有的圖形看起來相像又不會相似呢?相似的兩個圖形有什麼主要特徵呢?為了探究相似圖形的特徵，本節課先學習線段的成比例。
二、新課先從這兩張相似的地圖上研究。
1．成比例線段；請一位同學在地圖上找出北京、上海、福州的位置，如果我們用A、B、C分別表示大地圖上的北京、上海、福州的位置，請用刻度尺在地圖上量一量北京到上海的直線距離，即線段AB＝＿＿cm，上海到福州的直線距離，即線段BC＝＿＿cm，在小地圖上用A′、B′、C′、分別表示北京、上海、福州的位置，也量一量A′B′＝＿＿cm，B′C′＝＿＿cm。
在地圖上量出的AB與A′B′，BC與B′C′長度是否相等?為什麼會不一樣呢?線段AB與A′B′，BC與B′C′有什麼關係呢?請同學們算一算它們兩線段的長度的比，即AB：A′B′，BC：B′C′會有什麼樣的結果呢?我們會得到AB與A′B′這兩條線段的比與BC，B′C′這兩條線段的比是相等的，即ABA′B′＝BCB′C′。
對於四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即ab＝cd，那麼，這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．若線段a、b、c、d成比例，即a:b＝c:d，那麼其內項乘積等於外項乘積。
a·d＝b·c，其他的比例性質也都適用。
【沪科版九年级数学上册教案】22.1 第3课时 比例的性质与黄金分割
22.1比例线段第3课时 比例的性质与黄金分割教学目标【知识与能力】1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.2.会辨认比例式中的“项”.3.会求常见图形中的线段比.4.会进行黄金分割的有关计算。
【过程与方法】1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感。
【情感态度价值观】在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣。
教学重难点【教学重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算。
【教学难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算。
课前准备课件、教具等。
教学过程一、情境导入配制糖水时，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度．若有含糖a 千克的糖水b 千克，含糖c 千克的糖水d 千克，含糖e 千克的糖水f 千克……它们的浓度相等，把这些糖水混合到一起后，浓度不变．可表示为a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b. 二、合作探究探究点一：比例的性质【类型一】 比例的基本性质例1 已知a ＋3b 2b ＝72，求a b的值． 解：解法一：由比例的基本性质，得2(a ＋3b )＝7×2b .∴a ＝4b ，∴a b＝4. 解法二：由a ＋3b 2b ＝72，得a ＋3b b＝7， ∴a b ＋3b b ＝a b ＋3＝7，∴a b＝4. 方法总结：利用比例的基本性质，把比例式转化成等积式，再用含有其中一个字母的代数式表示另一个字母，然后利用代入法或化成方程求解，这是解决比例问题常见的方法．【类型二】 合比性质例2 如图，已知AB DB ＝AC EC. 求证：(1)AD DB ＝AE EC ；(2)AB AC ＝AD AE .解析：我们可以运用证明合比性质的方法，在已知等式的两边同时减去1，便可证明(1)成立；先运用合比性质，然后用比例的基本性质把等式变形，即可证明(2)成立．证明：(1)∵AB DB ＝AC EC ，∴AB －DB DB ＝AC －EC EC ，即AD DB ＝AE EC； (2)∵AD DB ＝AE EC ，∴DB AD ＝EC AE .∴DB ＋AD AD ＝EC ＋AE AE (合比性质)．∴AB AD ＝AC AE ，即AB AC ＝AD AE . 方法总结：本题主要运用合比性质进行证明，理解比例的性质是解决问题的关键．【类型三】 等比性质例3 已知正数a 、b 、c ，且a b ＋c ＝b c ＋a ＝c a ＋b＝k ，则下列四个点中，在正比例函数y ＝kx 图象上的点是( )A ．(1，12) B ．(1，2) C ．(1，－12) D ．(1，－1) 解析：求出k 的值是关键．∵a 、b 、c 为正数，∴a ＋b ＋c ≠0.由等比性质，得a ＋b ＋c 2（a ＋b ＋c ）＝k ，即k ＝12，∴y ＝12x .当x ＝1时，y ＝12×1＝12，∴点(1，12)在正比例函数y ＝kx 的图象上．故选A.方法总结：当已知条件中有连等式时，可考虑运用等比性质，前提条件是分母之和不为0.在解题时需注意这一点．探究点二：黄金分割【类型一】 利用黄金分割进行计算例4 如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC >BC ，BC ＝mAB ，求m 的值．解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，∴AC AB ＝BC AC ＝5－12.又∵BC ＝mAB ，∴AC ＝(1－m )AB ，∴（1－m ）AB AB ＝5－12，即1－m ＝5－12，∴m ＝3－52. 方法总结：运用黄金分割的概念，得出线段AC ，BC ，AB 之间的表达式，再利用BC ＝mAB 变形，求出m 的值．【类型二】 黄金分割的实际应用例5 如图所示，乐器上有一根弦AB ，两个端点A 、B 固定在乐器的面板上，支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点，支撑点D 是靠近点A 的黄金分割点，若DC 的长度为d ，试求这根弦AB 的长度．解：根据黄金分割的定义，可知AC AB ＝BD AB ＝5－12，∴AC ＝BD ＝5－12AB ，∴AD ＝AB －BD ＝AB －5－12AB .∴CD ＝AC －AD ＝5－12AB －(AB －5－12AB )＝(5－2)AB ＝d . ∴AB ＝15－2d ＝(5＋2)d . 三、板书设计比例的性质与黄金分割⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧比例的性质⎩⎪⎨⎪⎧基本性质合比性质等比性质黄金分割⎩⎪⎨⎪⎧定义黄金分割点：一条线段有两个黄金分割点黄金比：较长线段∶原线段＝5－12∶1 教学反思经历探究比例的性质和黄金分割的过程，体会类比的思想，提高学生探究、归纳的能力．通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系，体会数学的思维方式，增强学习数学的兴趣。
沪科版九年级数学上册《比例线段(2)》教案
A．
3 2
B．
4 3
C．
3 5
D．
5 3
）
3、已知
x y ，那么下列式子中一定成立的是（ 3 2
B ． 3x 2 y C． x 2 y D．xy=6
作
A． 2 x 3 y
业
6、 在一张比例尺为 1∶10000 的地图上， 量得张老师家到学校 的
设
距离是 8cm，求张老师家到学校的实际距离． 答案：
教
学
过
程
a c ，那么 ad=bc（b、d≠0） 。 b d a c 反之，如果 ad=bc，那么 （b、d≠0） 。 b d a c ab cd 例 3 证明： （1）如果 ，那么 ； b d b d a c a c （2） 如果 ，那么 ． b d ab cd a c 证明（1）∵ ，在等式两边同加上 1， b d a c ab cd 1 1 ，∴ ∴ ． b d b d a c ，∴ ad＝bc， （2） ∵ b d
2、巩固练习，见课本 P561，2。 3、比例的性质
b 、c 、d 是成比例线段， 教师提问： 如果四条线段 a、 即
a c ， b d
那么 ad bc 吗？ 思路点拨：可以通过引入比值 k 的方法，借助代数推理得到证 明：设
a c k ，那么 b d
a kb ，b kd ， ad kb d b kd bc
设 计
c与d的比 ， 那
a c b 、 c 、 d 叫做成比例线 ，那么这四条线 a、 b d
段，简称比例线段。这时，线段 a、b、c、d 叫做组成比例的项，线 段 a、d 叫做外项，线段 b、c 叫做内项。 （3）如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段 a、b、c 之间有 a：b=b：c，那么线段 b 叫做线段 a、c 的比例中项。 例 2 已知 a=2.4cm，b=5.4cm，则 a：b= 例中项是 。 ，a、b 的比
沪科版数学九年级上册《黄金分割》教学设计
沪科版数学九年级上册《黄金分割》教学设计一. 教材分析沪科版数学九年级上册《黄金分割》是学生在学习几何知识的基础上，进一步了解和掌握黄金分割的概念、性质和应用。
教材从生活实例出发，引出黄金分割的概念，并通过几何图形让学生深入理解黄金分割的性质。
本节课的内容对于学生来说既有趣又具有挑战性，能够激发学生的学习兴趣和探究欲望。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了基本的几何知识，如相似三角形、平行线等。
他们对几何图形的观察和分析能力较强，但可能对黄金分割的概念和性质理解不够深入。
因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生从生活实例中发现黄金分割，并通过几何图形让学生深入理解黄金分割的性质。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解黄金分割的概念，掌握黄金分割的性质，并能运用黄金分割解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察生活实例和几何图形，培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和审美观念。
四. 教学重难点1.重点：黄金分割的概念和性质。
2.难点：黄金分割在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和几何图形，引导学生发现黄金分割，激发学生的学习兴趣。
2.问题驱动法：提出问题，引导学生思考和探究，培养学生的分析能力和推理能力。
3.合作学习法：分组讨论，让学生在合作中交流、思考，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备生活实例和几何图形的图片，用于导入和呈现。
2.准备相关的教学PPT，展示黄金分割的概念和性质。
3.准备练习题和拓展题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活实例和几何图形的图片，如建筑设计、艺术作品等，引导学生发现这些图形中都存在一种特殊的美感。
提问：这种美感是如何产生的？引出黄金分割的概念。
2.呈现（10分钟）介绍黄金分割的定义：将一条线段分为两部分，使其中一部分与整体的比例等于另一部分与这部分的比例，这个比例约为1:1.618。
新沪科版九年级数学上册第2课时比例的基本性质与黄金分割教学设计
第2课时比例的基本性质与黄金分割【学习目标】1．理解比例的基本性质，知道黄金分割的定义，并会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．2．经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题．【学习重点】比例基本性质．【学习难点】比例的基本性质及运用．情景导入生成问题旧知回顾：什么叫两个数的比？2与－3的比，－4与6的比，如何表示？其比值相等吗？用小学学过的方法可说成什么？可写成什么形式？两个数相除的商也叫两个数的比.2－3＝－23，－46＝－23，2－3＝－46，比值相等，可以说2，－3，－4，6成比例，写成2∶－3＝－4∶6.自学互研生成能力知识模块一比例线段的基本概念阅读教材P65～66页的内容，回答以下问题：什么叫两条线段的比？什么叫成比例线段？什么是比例中项？两条线段长度的比叫两条线段的比，记作ab或a∶b，在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段a、b的比等于另外两条线段c、d的比，即ab＝cd(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段叫做成比例线段．简称比例线段．其中a，d叫做比例外项，b，c叫做比例内项．如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a、b、c之间有a∶b＝b∶c，那么线段b叫做线段a、c的比例中项．范例1：已知四条线段a、b、c、d满足ad＝bc，那么下列比例式不成立的是( C )A.ab＝cdB.ac＝bdC.ad＝cbD.db＝ca范例2：如果线段a＝32cm，b＝8cm，那么a和b的比例中项是( C )A．20cm B．18cm C．16cm D．14cm解：设比例中项为c，由比例中项定义得：a∶c＝c∶d，c2＝ab＝32×8，c＝16，选C.知识模块二比例的基本性质及合比、等比性质阅读教材P66～67页的内容，回答以下问题：1.比例的基本性质是什么？解：如果ab＝cd，那么ad＝bc(b、d≠0)，反之也成立，即如果ad＝bc，那么ab＝cd(b、d≠0)．2．什么是合比性质？什么是等比性质，如何证明？解：(1)合比性质，如果ab＝cd，那么a＋bb＝c＋dd(b、d≠0)，证明方法是在ab＝cd两边加上1，得a＋bb＝c＋dd；(2)等比性质：如果a1b1＝a2b2＝……＝a nb n，且b1＋b2＋…＋b n≠0，那么a1＋a2＋……a nb1＋b2＋……＋b n＝a1b1.证明：设a1b1＝a2b2＝…＝a nb n＝k，得a1＝b1k，a2＝b2k，…，a n＝b n k，代入待证明的等式左边，提取公因式并约分即得等比性质．典例1：若ab＝12，则a＋bb＝32；若x∶y∶z＝4∶5∶7，则3x－2y＋z2x＋3y－2z＝1．解：ab＝12，由合比性质得a＋bb＝1＋22＝32；由x∶y∶z＝4∶5∶7，设x4＝y5＝z7＝k.可得x4＝k，y5＝k，z7＝k，∴x＝4k，y＝5k，z＝7k，代入求得3x－2y＋z2x＋3y－2x＝1.典例2：已知k＝a＋bc＝b＋ca＝a＋cb，则一次函数y＝kx＋k一定经过第三象限．解：当a＋b＋c≠0时，因为k＝a＋bc＝b＋ca＝a＋cb，由等比性质得2a＋2b＋2cc＋a＋b＝k，∴k＝2.当a＋b＋c＝0，此处不可用等比性质，但a＋b＝－c，代入可得k＝－c c＝－1，∴k＝2或－1，直线y＝2x＋2或y＝－x－1都经过第三象限．知识模块三黄金分割阅读教材P68～69页的内容，回答以下问题：例3中比例中项是哪一条线段？什么是黄金分割？如何得到黄金分割比值5－1 2，它的近似值是多少？解：比例中项为线段AP.把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割为黄金分割．设AP＝x，则PB＝a－x，由题意得：a∶x＝x∶(a－x)，即x2＋ax－a2＝0，解得：x＝－1±52a，∵x＞0，AP＝x＝－1＋52a，即APAB＝5－12≈0.618.范例：已知线段AB＝6，C为AB的黄金分割点，则AC－BC＝65－12或12－65．解：分AC＞BC或AC＜BC两种情况：AC－BC＝6×5－12－6×(1－5－12)＝65－12或AC－BC＝6×(1－5－12)－6×5－12＝12－6 5.交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一比例线段的基本概念知识模块二比例的基本性质及合比、等比性质知识模块三黄金分割检测反馈达成目标1．(1)若x5＝y3，则xy＝53；(2)已知2a－ba＋b＝13，则ab＝45．2．已知a5＝b7＝c8，且3a－2b＋c＝9，则2a＋4b－3c＝14．3．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为( A )A．12.36cm B．13.6cmC．32.9cm D．7.54cm课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑：________________________________________________________________________。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期 24.2 比例线段(2)黄金分割 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯课题：24.2 比例线段（2）—黄金分割教学目标：1、会运用同高（或等高）的两个三角形的面积之比等于对应底边的比，进行三角形的面积比与线段比的转化；2、在比例线段性质的证明与运用过程中，体会方程思想的作用；3、会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点；4、经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法。
教学重点：黄金分割的意义。
教学难点：熟练并灵活运用黄金分割的意义解题。
教学过程：一、问题引入，获得感悟问题1：如图，点D 是BC 边的中点，则ABD ∆与ACD ∆的面积比是多少？ 分析：过点A 作AE BC ⊥于点E ， 则11,22ABD ADC S BD AE S CD AE ∆∆=⋅=⋅， 因为点D 是BC 的中点，所以BD=CD ，所以12112ABD ACDBD AES BD S CD CD AE ∆∆⋅===⋅。
板书：1、等底（同底）等高（同高）的两个三角形面积相等。
问题2：如图，点D 是BC 边上的一点，且:1:2DC BD =，则ABD ∆与ACD ∆的面积比是多少？ABD ∆与ABC ∆的面积比呢？ABC ∆与ACD ∆的面积比呢？ 分析：过点A 作AE BC ⊥于点E ， 则11,22ABD ADC S BD AE S CD AE ∆∆=⋅=⋅， 所以12212ABDACDBD AES BDS CD CD AE ∆∆⋅===⋅。
同理23ABD ABC S S ∆∆=，3ABCACDS S ∆∆=。
板书：2、等高（同高）的两个三角形面积比等于对应底边之比。
问题3：如图，点D 是BC 边上的一点，若32ABC ABD S S ∆∆=，则BDBC的值为多少？ 分析：由问题2，可知32ABC ABD S BCS BD∆∆==， 所以23BD BC =。
解析：课前预习第1、2题。
1、已知线段4,9a cm c cm ==，则线段a 和c 的比例中项b = ； 第2题图AB D E AB DE2、如图，在ABC ∆中，点D 在AB 上，若3ABC ACD S S ∆∆=，则:BD AD = ； 问题4：如果两个三角形的一边相同或相等，则它们的面积比与什么有关？板书：3、等底（同底）的两个三角形面积比等于对应高之比。
沪教版数学九年级上册24.2《比例线段》教学设计
沪教版数学九年级上册24.2《比例线段》教学设计一. 教材分析《比例线段》是沪教版数学九年级上册第24章第2节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了线段的基本知识，以及比例的基本概念的基础上进行教学的。
本节课主要让学生了解比例线段的定义，会求解比例线段，并能够运用比例线段解决实际问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生理解和掌握比例线段的知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和数学基础，对于线段和比例的概念已经有了一定的了解。
但是，对于比例线段的运用和解决实际问题可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重学生的实际操作和实践，通过具体的例题和练习题，让学生理解和掌握比例线段的知识。
三. 教学目标1.知识与技能：理解比例线段的定义，掌握求解比例线段的方法，能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等过程，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：比例线段的定义和求解方法。
2.难点：运用比例线段解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的例题和练习题，让学生在实际情境中理解和掌握比例线段的知识。
2.合作学习法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
3.引导发现法：教师引导学生观察和思考，发现比例线段的规律和方法。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示例题和练习题。
2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学工具：准备尺子、直尺等教学工具，方便学生实际操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾线段和比例的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示比例线段的定义和例题，让学生观察和思考，引导学生发现比例线段的规律和方法。
九年级数学上册 22.1 第3课时 比例的性质与黄金分割教案2 (新版)沪科版
22.1 比例线段第3课时比例的性质与黄金分割教学目标【知识与技能】1.进一步理解并掌握比例、比例线段的概念.2.会辨认比例式中的“项”.3.会求常见图形中的线段比.4.会进行黄金分割的有关计算.【过程与方法】1.经历探究比例、比例线段的性质的过程,体会类比的思想,促进探究、质疑、归纳能力的发展.2.经历黄金分割的引入以及黄金分割点的探究过程.3.通过问题情境的创设和解决过程进一步体会数学与生活的紧密联系,体会数学的思维方式,增进数学学习的情感.【情感、态度与价值观】在交流协作中,体会生生交往与师生交往的乐趣;在解决问题的过程中接受挑战、战胜困难,增强学习数学的兴趣.重点难点【重点】比例及比例线段的性质;黄金分割点的有关计算.【难点】比例及比例线段的应用;黄金分割点的有关计算.教学过程一、复习回顾,引入新课师:在上一节,我们学习了成比例线段,同学们现在能画出两条线段、量出长度并求出它们的比值吗?学生作图后测量并求出比值.师:用同一个单位去度量两条线段a、b,得到它们的长度,我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比,记作或a∶b.在四条线段a、b、c、d中,如果其中两条线段a、b的比,等于另外两条线段c、d的比,即=(或a∶b=c∶d),那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.二、探究新知师:两条线段的比是它们长度的比,也就是两个数的比,因此也应具有关于两个数成比例的性质.如果=,你能把这个式子改写成乘积的形式吗?生:两边同乘以bd,得到ad=bc.师:反之,如果ad=bc(b、d≠0)我们是否能得到=呢?生:能,两边同除以bd.师:比例的这个性质叫做比例的基本性质.教师多媒体课件出示:师:现在请同学们看这三个图形.图形(1)和图形(2)对应边是成比例的,图形(3)的长等于图形(1)的长加上图形(2)的长,图形(3)的宽等于图形(1)的宽加上图形(2)的宽,你能判断图形(1)和图形(3)的边是否成比例吗?学生思考,讨论.师:你怎么判断这两个长方形的边是否是成比例的呢?生:计算3.6∶2和2.7∶1.5是否相等.师:现在就请同学们算一下是否相等.学生计算后回答:相等.师:所以我们有=.对于式子=,能否得到=呢?学生思考,讨论.生:在=的两边都加上1,然后通分就得到了=.师:对!所以我们得到了这个结论:如果=,那么=(b、d≠0).这叫做比例的合比性质.如果=,b1+b2≠0,你能否证明=呢?教师提示:我们可以倒着推:要证=,可先证(a1+a2)×b1=(b1+b2)×a1,即a1b1+a2b1=b1a1+b2a1,两边都减去a1b1,两边都减去a1b1,得a2b1=b2a1,你能证明a2b1=b2a1吗?学生思考后回答:能.师:怎么证明?生:因为=,两边同乘以b1b2,就证出来了.师:现在你知道怎么证明=了吗?生:知道了.师:请同学们想想有没有其他的证法?学生思考.教师提示:的值与的值相等,我们要证的是的值也与的值相等,如果我现在设==k,你能否证出=k呢?学生思考,讨论.师:a1、a2能否用含b1、b2的代数式表示?生:能.师:怎样表示?生:a1=b1k,a2=b2k.师:你知道怎样证明了吗?生:知道,将a1=b1k,a2=b2k代入中.师:我们有了两种证法,哪两位同学愿意上来写出证明过程?学生举手,教师从举手的同学中找两生板演.生1板书:证明:∵=(已知),两边同乘以得=.∴=(合比性质).两边同乘以得=.两边取倒数,得=,即=.生2板书:设==k,得a1=b1k,a2=b2k,代入得===k=.师:你能总结一下以上两种方法吗?生:第一种方法是先倒推,再证明;第二种方法是设定值.师:同学们总结得很好!再遇到证明两式相等的问题时要记起这两种方法,其中设定值的方法一般适用于设比值为定值.如果我把这个式子推广,===…=成立,且b1+b2+b3+…+b n≠0,你能否推出所有分子之和与所有分母之和的比是等于呢?生:能.教师找一生板演,其余同学在下面做,教师巡视指导.师:所以我们得到比例的又一性质:如果==…=,且b1+b2+b3+…+b n≠0,那么=.三、例题讲解【例1】已知:如图,在△ABC中,=.师:请同学们看这道题.学生读题思考.师:哪位同学能证明这道题,跟大家说说你的思路.学生举手.教师找一生回答第(1)题.生:因为=,由合比性质得=,即=.教师找另一生回答第(2)题.师:你是怎样考虑的呢?生:AB可以写成AD+DB,AC可以写成AE+EC.因为合比性质是分子加分母,要证明=,可先证=,然后两边取倒数,就得到要证的结果了.师:很好!现在请你把证明步骤写在黑板上,其余同学在下面做.学生证明后集体订正.教师多媒体课件出示:【例2】在地图或工程图纸上,都标有比例尺,比例尺就是图上长度与实际长度的比.现在一张比例尺为1∶5 000的图纸上,量得一个△ABC的三边:AC=3 cm,BC=4 cm,AB=5 cm.问这个图纸所反映的实际△A'B'C'的周长是多少?解:根据题意,得===.即=.又∵AB+BC+AC=5+4+3=12(cm),∴A'B'+B'C'+A'C'=12×5 000=60 000(cm)=600(m).答:实际△A'B'C'的周长是600 m.【例3】如图所示,已知线段AB长度为a,点P是AB上一点,且使AB∶AP=AP∶PB.求线段AP 的长和的值.解:设AP=x,那么PB=a-x.根据题意,得a∶x=x∶(a-x),即x2+ax-a2=0.解方程,得x=a.因为线段长度不能是负值,所以取x=a.即AP=a.于是==≈0.618.把一条线段分成两部分,使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,分割点叫做这条线段的黄金分割点,比值叫做黄金数.四、巩固练习1.若6x=5y,则x∶y= .【答案】2.已知ab=cd,则= .【答案】3.若==,则= .【答案】4.已知x===,则x的值是.解析:∵x===,∴a2+ab=bc+c2. ①b2+bc=a2+ac. ②ac+c2=ab+b2③将③式减去②式得ab-bc=c2-a2. ④将②式减去①式得ac-ab=b2-c2. ⑤将③式减去①式得b2-a2=ac-bc. ⑥由④⑤⑥式都可得出a+b+c=0.∴a+b=-c,b+c=-a,a+c=-b.∴x====-1.【答案】-15.点P在线段AB上,AP2=AB·PB.若PB=4,则AP的长为.解析:设AP=x,∴x2=(x+4)×4,x2-4x-16=0.∴x=2±2.又∵x>0,∴AP长取2+2.【答案】2+26.已知点M将线段AB黄金分割(AM>BM),则下列各式中不正确的是( )A.AM∶BM=AB∶AMB.AM=ABC.BM=ABD.AM≈0.618AB【答案】C7.已知x∶y=3∶5,y∶z=4∶7,求x∶y∶z.【答案】∵x∶y=3∶5,∴x=y.又∵y∶z=4∶7,∴z=y.∴x∶y∶z=y∶y∶y=12∶20∶35.五、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获?学生回答,教师点评.教学反思首先,从回顾上节已学的比例知识入手,运用类比的方法得到实数范围的比和比例,再类比得到比例线段的概念,这样会比较直观、易学.其次,尽可能体现数学与生活的紧密联系,如课题的引出及知识的应用,尽可能让学生感悟到数学源于实际,并且数学知识和方法能很好地解决实际生活中的问题,激起学生学习数学的欲望.总的来说,本节课是在轻松愉快的氛围中完成的,学生的热情也比较高涨,由于所涉及的问题是每个学生触手可及的,因而学生在活跃的课堂气氛中也各有所获.。