上海市七宝中学2020-2021学年第一学期高三数学期中试题参考答案
2020-2021上海七宝实验中学高中必修一数学上期中第一次模拟试卷(含答案)
2020-2021上海七宝实验中学高中必修一数学上期中第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =( ) A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,52．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭3．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．34．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.56．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,47．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a的值是( ) A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,3328．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）9．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >> D ．c a b >>10．已知集合{|20}A x x =-<，{|}B x x a =<，若A B A =I ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．[2,)-+∞11．设a ＝2535⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a>c>bB ．a>b>cC ．c>a>bD ．b>c>a12．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．2二、填空题13．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元． 14．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n= . 15．关于下列命题：①若函数2xy =的定义域是{|0}x x ≤，则它的值域是{|1}y y ≤；② 若函数1y x =的定义域是{|2}x x >，则它的值域是1|2y y ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭； ③若函数2y x =的值域是{|04}y y ≤≤，则它的定义域一定是{|22}x x -≤≤；④若函数2log y x =的值域是{|3}y y ≤，则它的定义域是{|08}x x <≤.其中不正确的命题的序号是_____________( 注：把你认为不正确的命题的序号都填上). 16．如果函数221xx y a a =+-（0a >，且1a ≠）在[]1,1-上的最大值是14，那么a 的值为__________.17．已知函数()log ,03,40a x x f x x x >⎧=⎨+-≤<⎩，其中0a >且1a ≠，若函数()f x 的图象上有且只有一对点关于y 轴对称，则a 的取值范围是__________．18．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．19．非空有限数集S 满足：若,a b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个．．满足条件的二元数集S ＝________．20．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-. (1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式22．已知函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><，在同一周期内，当12x π=时，()f x 取得最大值4：当712x π=时，()f x 取得最小值4-. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()()21h x f x t =+-有两个零点，求实数t 的取值范围. 23．已知函数24()(0,1)2x xa af x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值：（2）求函数()f x 的值域；（3）当[]1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围.24．已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.（1）求a 的值；（2）记()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为M ，若对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，求t 的取值范围.25．定义在R 上的函数()y f x =对任意,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0.f x >（1）求证:()f x 为奇函数； （2）求证:()f x 为R 上的增函数； （3）若()()327930xxx x f k f ⋅+-+>对任意x ∈R 恒成立，求实数k 的取值范围．26．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C. 【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.3．D解析：D【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.4．B解析：B 【解析】 【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果. 【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增， 结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ； 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.5．D解析：D 【解析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．6．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数22y xx =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围． 【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤．所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ． 【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系．7．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.8．B解析：B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间．9．B解析：B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．10．B解析：B 【解析】由题意可得{}|2A x x =<，结合交集的定义可得实数a 的取值范围是[)2,+∞ 本题选择B 选项.11．A解析：A 【解析】试题分析：∵函数2()5xy =是减函数，∴c b >；又函数25y x =在(0,)+∞上是增函数，故a c >.从而选A考点：函数的单调性.12．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．二、填空题13．1120【解析】【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式结合y ＝30＞25代入可得某人在此商场购物总金额减去折扣可得答案【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式y ∵y ＝解析：1120 【解析】 【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案． 【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25 ∴x ＞1100∴0.1（x ﹣1100）+25＝30 解得，x ＝1150， 1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．14．2【解析】【分析】把要求零点的函数变成两个基本初等函数根据所给的ab 的值可以判断两个函数的交点的所在的位置同所给的区间进行比较得到n 的值【详解】设函数y=logaxm=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4解析：2 【解析】 【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a ，b 的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n 的值. 【详解】设函数y=log a x ，m=﹣x+b 根据2＜a ＜3＜b ＜4，对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1在同一坐标系中画出两个函数的图象， 判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2．故答案为2.考点：二分法求方程的近似解；对数函数的图象与性质．15．①②③【解析】【分析】通过定义域和值域的相关定义及函数的增减性即可判断①②③④的正误【详解】对于①当时故①不正确；对于②当时则故②不正确；对于③当时也可能故③不正确；对于④即则故④正确【点睛】本题主解析：①②③ 【解析】 【分析】通过定义域和值域的相关定义，及函数的增减性即可判断①②③④的正误. 【详解】对于①，当0x ≤时，01y <≤，故①不正确；对于②，当2x >时，则1102x <<，故②不正确；对于③，当04y ≤≤时，也可能02x ≤≤，故③不正确；对于④，即2log 3x ≤，则08x <≤，故④正确.【点睛】本题主要考查定义域和值域的相关计算，利用函数的性质解不等式是解决本题的关键，意在考查学生的计算能力.16．3或【解析】【分析】令换元后函数转化为二次函数由二次函数的性质求得最大值后可得但是要先分类讨论分和求出的取值范围【详解】设则对称轴方程为若则∴当时解得或（舍去）若则∴当时解得或（舍去）答案：3或【点解析：3或13【解析】 【分析】令x t a =，换元后函数转化为二次函数，由二次函数的性质求得最大值后可得a ．但是要先分类讨论，分1a >和01a <<求出t 的取值范围． 【详解】设0x t a =>，则221y t t =+-，对称轴方程为1t =-. 若1,[1,1]a x >∈-，则1,xt a a a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴当t a =时，2max 2114y a a =+-=，解得3a =或5a =-（舍去）.若01a <<，[1,1]x ∈-，则1,xt a a a⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦∴当1t a =时，2max 112114y a a ⎛⎫=+⨯-= ⎪⎝⎭解得13a =或15a =-（舍去）答案：3或13【点睛】本题考查指数型复合函数的最值，本题函数类型的解题方法是用换元法把函数转化为二次函数求解．注意分类讨论．17．【解析】将在轴左侧的图象关于轴对称到右边与在轴右侧的图象有且只有一个交点当时一定满足当时必须解得综上的取值范围是点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关解析：(0,1)1,4⋃（） 【解析】将()f x 在y 轴左侧的图象关于y 轴对称到右边，与()f x 在y 轴右侧的图象有且只有一个交点.当01a <<时一定满足，当1a >时必须log 41a >，解得4a <.综上a 的取值范围是()0,11,4⋃（）.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．18．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没 解析：{|2m m >或2}3m <-【解析】【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围.【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值， 则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >. 当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->， 求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-.故答案为：{|2m m >或2}3m <-.【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.19．{01}或{－11}【解析】【分析】因中有两个元素故可利用中的元素对乘法封闭求出这两个元素【详解】设根据题意有所以必有两个相等元素若则故又或所以（舎）或或此时若则此时故此时若则此时故此时综上或填或【解析：{0,1}或{－1,1}，【解析】【分析】因S 中有两个元素，故可利用S 中的元素对乘法封闭求出这两个元素．【详解】设{}(),S a b a b =<，根据题意有22,,a ab b S ∈，所以22,,a b ab 必有两个相等元素．若22a b =，则=-a b ，故2ab a =-，又2a a =或2a b a ==-，所以0a =（舎）或1a =或1a =-，此时{}1,1S =-．若 2a ab =，则0a =，此时2b b =，故1b = ，此时{}0,1S =．若2b ab =，则0b =，此时2a a =，故1a =，此时{}0,1S =．综上，{}0,1S =或{}1,1S =-，填{}0,1或{}1,1-．【点睛】集合中元素除了确定性、互异性、无序性外，还有若干运算的封闭性，比如整数集，对加法、减法和乘法运算封闭，但对除法运算不封闭（两个整数的商不一定是整数），又如有理数集，对加法、减法、乘法和除法运算封闭，但对开方运算不封闭．一般地，若知道集合对某种运算封闭，我们可利用该运算探究集合中的若干元素．20．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题 解析：3【解析】【分析】先由()()43f f x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】由题意，得()()()()()243f f x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-， 即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此()23f =，故答案为3. 【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（1）23-；（2）见解析；（3）()1x f x x -=+ 【解析】【分析】(1)利用函数的奇偶性求解.(2)函数单调性定义，通过化解判断函数值差的正负；（3）函数为R 奇函数，x 〈0的解析式已知，利用奇函数图像关于原点对称，即可求出x 〉0的解析式.【详解】（1）由函数f (x )为奇函数，知f (2)＝-f (－2)＝23-· (2)在(－∞，0）上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 则()()1212121111111111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ ()()211211x x x x -=-- 由x 1－1<0，x 2－1<0，x 2－x 1>0，知f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．由定义可知，函数y ＝f (x )在区间(－∞，0]上单调递减．·（3）当x >0时，－x <0，()111f x x -=-+ 由函数f (x )为奇函数知f (x )＝-f (－x )， ()1111x f x x x -∴=-+=++ 【点睛】 本题考查了函数奇偶性的应用和单调性的定义，利用奇偶性求函数值和解析式主要应用奇偶性定义和图像的对称性；利用定义法证明函数单调性关键是作差后式子的化解，因为需要判断结果的正负，所以通常需要将式子化成乘积的形式.22．（1）()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）19t +< 【解析】【分析】（1）根据三角函数性质确定振幅、周期以及初相，即得解析式；（2）先确定23x π+范围，再结合正弦函数图象确定实数t 满足的条件，解得结果. 【详解】（1）解：由题意知74,212122T A πππ==-=，得周期T π=即2ππω=得，则2ω=，则()()4sin 2f x x ϕ=+ 当12x π=时，()f x 取得最大值4，即4sin 2412πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，得πsin φ16骣琪+=琪桫 得2()62k k Z ππϕπ+=+∈，，得23()k k Z πϕπ=+∈， ,ϕπ<∴Q 当0k =时，=3πϕ，因此()4sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ （2）()()210h x f x t =+-=，即()12t f x -=当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 当232x ππ+=时，4sin 42π=要使()12t f x -=有两个根，则142t -≤<，得19t +≤<即实数t 的取值范围是19t +<【点睛】本题考查三角函数解析式以及利用正弦函数图象研究函数零点，考查综合分析求解能力，属中档题.23．（1）2a =（2）()1,1-（3）(10,3)+∞ 【解析】【分析】（1）利用函数是奇函数的定义求解a 即可(2)判断函数的单调性，求解函数的值域即可(3)利用函数恒成立，分离参数m ,利用换元法，结合函数的单调性求解最大值，推出结果即可.【详解】（1）∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()f x f x -=- 即：242422x x x x a a a a a a a a---+-+=-++. 即2(4)2422x x x x a a a a a a a a+-+⋅-+-=+⋅+ 整理可得2a =.（2）222212()12222121x x x x x f x ⋅--===-⋅+++在R 上递增 ∵211x +>，22021x ∴-<-<+, 211121x ∴-<-<+ ∴函数()f x 的值域为()1,1-.（3）由()220xmf x +-> 可得，()2 2xmf x >-，21()2221x x x mf x m -=>-+. 当[]1,2x ∈时，(21)(22)21x x x m +->- 令(2113)x t t -=≤≤）， 则有(2)(1)21t t m t t t+->=-+， 函数21y t t =-+在1≤t ≤3上为增函数， ∴max 210(1)3t t -+=， 103m ∴>， 故实数m 的取值范围为(10,3)+∞ 【点睛】 本题主要考查了函数恒成立条件的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题.24．(1) 1a = (2) [)4,+∞【解析】【分析】（1）根据函数()f x 是R 上的奇函数，得到()00f = ，即可求得a 的值；（2）由（1）可得函数()g x 的解析式，分别求得函数()f x 和()g x 的单调性与最值，进而得出关于t 的不等式，即可求解.【详解】（1）因为())2log f x x =是R 上的奇函数，所以()00f = ，即log 0=，解得1a =.（2）由（1）可得())2log f x x =，()212121x t g x t x x t -++⎧=--=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥< . 因为奇函数())22log log f x x ==，所以()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为233log 144M f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭， 因为()2121x t g x x t -++⎧=⎨+-⎩ 1,21,2x x ≥<，所以()g x 在31,42⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()g x 的最小值为34g ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个. 因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-， 所以()()min 23g x g t ==-， 因为对任意的3,24x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()M g x ≤恒成立，所以13t ≤-， 解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的综合应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中熟记函数的基本性质，合理应用奇偶性、单调性和最值列出相应的方程或不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 25．（1）详见解析（2）详见解析（3）3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用赋值法与定义判断奇偶性；（2）利用定义证明函数的单调性；（3）利用函数的奇偶性与函数的单调性，可将不等式()()327930x x x x f k f ⋅+-+>具体化，利用换元法，转化为一个关于k 的二次不等式，求最值即可得到k 的取值范围．【详解】(1)证明：令0x y ==，得()()()000f f f =+得()00f =令y x =-，得()()()0f x x f x f x +-=+-=⎡⎤⎣⎦()()f x f x ∴-=-()f x ∴为奇函数（2）任取12,,x x R ∈且12x x <()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦()()()()121121f x f x x f x f x x =---=--12x x <Q 210x x ∴->()210f x x ∴->()210f x x ∴--<即()()12f x f x <∴()f x 是R 的增函数…（3）()()327930x x x x f k f ⋅+-+>Q()()32793x x x xf k f ∴⋅>--+ ()f x Q 是奇函数()()32793x x x x f k f ∴⋅>-+-()f x Q 是增函数32793x x x x k ∴⋅>-+-931x x k ∴>-+-令931x xy =-+-，下面求该函数的最大值令()30x t t => 则()210y t t t =-+-> 当12t =时，y 有最大值，最大值为34- 34k ∴>- ∴k 的取值范围是3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点是抽象函数函数值的求法，单调性的判断及单调性的应用，其中抽象函数“凑”的思想是解答的关键．26．（1）B∩A=[1，4），B∩(∁U A)= [-4,1)∪[4,5)；（2）1 [,) 2.【解析】【分析】(1)利用补集的定义求出A的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B是否是空集，列出不等式组求解即可.【详解】（1）∵A={x|1≤x＜4}，∴∁U A={x|x＜1或x≥4}，∵B={x|2a≤x＜3-a}，∴a=-2时，B={-4≤x＜5}，所以B∩A=[1，4），B∩(∁U A)={x|-4≤x＜1或4≤x＜5}=[-4,1)∪[4,5).（2）A∪B=A⇔B⊆A，①B=∅时，则有2a≥3-a，∴a≥1,②B≠∅时，则有，∴,综上所述，所求a的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心.。
2021届上海市闵行区七宝中学高三上学期期中考试数学试题(解析版)
2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷一、填空题1.已知全集U R =，集合{}12A x x =->，则U C A =_________.2.若函数2()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1(5)f-=_________.3. ()214732limn n n→∞++++-=_________.4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________.5.设函数2()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________.6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________.7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________.8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________.9.已知函数()xf x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤，则14a b+的最小值为_________. 10.设函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>，[]0,2x π∈若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③方程1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_________.11.函数11()22f x x =-≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.12.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.二、选择题13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ）A.2611x x x x +<++与26x x <+B.2(2)(1)0x x x x-+<与(2)(1)0x x -+< C.(2)(1)01x x x +->-与20x +> D.2232111x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+ 14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 为递增数列”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件15.已知集合,M P 都是非空集合，若命题“M 中的元素都是P 中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ ）A.M P =∅B.M 中至多有一个元素不属于PC.P 中有不属于M 的元素D. M 中有不属于P 的元素16.单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（ ）A.9B.8C.7D.6 三、解答题17.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB ，BC =1AA =.（1）求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小； （2）求点C 到平面1ABD 的距离.18.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(cos 2cos )(2)cos c B A a b C -=-.（1）求ab的值； （2）若3cos ,24C c ==，求ABC ∆的面积.19. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p 与日产量x （万枚）间的关系为：1,04,62,4,3x xp x ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品亏损15元.（1）将日盈利额y （万元）表示为日常量x （万枚）的函数；（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=100%⨯次品数产品总数）.20.已知双曲线2222:1x y C a b-=过点M ，且右焦点为(2,0)F .（1）求双曲线C 的方程；（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若PA mAF =，PB nBF =，求证：m n +为定值.（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求证：三角形QAB 的面积2310QAB S ∆>；21.若实数列{}n a 满足条件212,1,2,n n n a a a n +++≥=，则称{}n a 是一个“凸数列”.（1）判断数列2n a n n =-+和3()2n n b =是否为“凸数列”?（2）若{}n a 是一个“凸数列”，证明：对正整数,,k m n ，当1k m n ≤<<时， 有n m m ka a a a n m m k--≥--； （3）若{}n a 是一个“凸数列”证明：对1i n ≤≤，有111(1)i n iia a a nn++≤-+.2020-2021年七宝中学高三期中考数学试卷一、填空题1.已知全集U R =，集合{}12A x x =->，则U C A =_________. 【解析】{}()()12,13,A x x =->=-∞-+∞，所以[]1,3U C A =-.2.若函数2()(4)4,(5)f x x x =-+≥，则1(5)f -=_________.【解析】令2()(4)45(5)f x x x =-+=≥，解得5x =，所以1(5)5f-=.3. ()214732limn n n→∞++++-=_________.【解析】()214732lim n n n →∞++++-=2(132)32lim 2n x n n →∞+-=. 4.已知数列{}n a 为等差数列，且191,25a a ==-，则5a =_________. 【解析】由等差数列的性质，得()5191122a a a =+=-.5.设函数2()41f x x mx =-+在(],2-∞上是减函数，则实数的取值范围是_________.【解析】由题意得22m ≥，所以1m ≥.6.已知222a b +=，则a b +的取值范围是_________.【解析】令2,2a θb θ==，则[]222sin 2,24a b ⎛⎫+==+∈- ⎪⎝⎭πθθθ.7.若函数()2sin sin 2f x x x =-在区间[]0,a 上的零点个数为3个，则实数a 的取值范围是_________. 【解析】令()2sin sin 20f x x x =-=，得2sin 2sin cos 0x x x -=，即sin (1cos )0x x -=， 故当[)0,x ∈+∞时，零点分别为0,,2,3,πππ，所以23πa π≤<.8.已知两变量x 、y 之间的关系为lg()lg lg y x y x -=-，则以x 为自变量的函数y 的最小值是_________.【解析】由lg()lg lg y x y x -=-得00y x x y y x x ⎧⎪->⎪>⎨⎪⎪-=⎩，所以2(1)x y x -=，显然1x ≠，所以201x y x =>-，故1x >， 所以22[(1)1]1124111x x y x x x x -+===-++≥---，当且仅当2x =时取等号， 故以x 为自变量的函数y 的最小值是4.9.已知函数()xf x a b =-（0a >且1,a b R ≠∈），()1g x x =+若对任意实数x 均有()()0f x g x ⋅≤，则14a b+的最小值为_________.【解析】作出(),()f x g x 的图像，如图所示，则()x f x a b =-过点(1,0)-，所以10a b --=，即1ab =，因为0a >，所以0b >，所以1444b a b b+=+≥，当且仅当1,22a b ==时取等号，故14a b+的最小值为4. 10.设函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=->>，[]0,2x π∈，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①0()()f x f x ≥恒成立，则0x 的值有且仅有2个；②存在0ω>，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；③方程1()2f x A =一定有4个实数根，其中真命题的序号为_______. 【解析】因为()f x 恰有4个零点，所以160,1,2,36k ππωx k πx k ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭-=⇒=⇒=，所以1134662πx πωω⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤<，即19251212ω≤<，①()0f x A =即0262ππωx k π-=+，由上述知0,1k =， 故0x 的值有且仅有2个，正确；②当0x =时，66ππωx -=-，当819πx =时，81962πππω⋅-≤，解得1912ω≤，又19251212ω≤<，故存在1912ω=，使得()f x 在80,19π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，正确； ③11()sin 262πf x A ωx ⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，而2[3,4)6ππωππ-∈，所以6πωx -可取51317,,,6666ππππ，共4个解，正确， 综上，真命题的序号是①②③.11.函数11()22f x x =-≤≤的图像绕着原点旋转弧度θ(0)θπ≤≤，若得到的图像仍是函数图像，则θ可取值的集合为_________.【解析】20,,33πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在I 上的最大值，若有且仅有一个正数a 使得[][]0,,2a a a M kM =成立，则实数k 的取值范围是_________.【解析】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦， 由[][]0,,2a a a M kM =，得sin sin 2a k a =，所以12cos k a=；②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M kM =，得sin k a =；③当,2πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2[,2],1,sin a a a a ππM M a ∈==，由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin k a =，所以1sin k a=； ④当5,4πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52[2,],1,sin 22a a a a ππM M a ∈==， 由[][]0,,2a a a M kM =，得1sin 2k a =，所以1sin 2k a=， ⑤当5,+4πa ⎡⎤∈∞⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52[,3],1,12a a a a ππM M ∈==由[][]0,,2a a a M kM =，得1k =，所以1,0,2cos 4sin ,,421,,sin 215,,sin 2451,,4πa a ππa a πk a πaπa πaπa ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎪⎡⎤=∈⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎡⎤⎪∈+∞⎢⎥⎪⎣⎦⎩，作出图像，得实数k 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭. 【变式1】2020-2021年上海市普陀区0.5模12题.对任意闭区间I ，用I M 表示函数sin y x =在上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M =⋅，则a的值为_________.【解析】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦， 由[][]0,,2a a a M M =，得sin 2a a =，所以cos 4a =，无解； ②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M M =，得sin a =③当,2πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[][0,][,2]2,2,1,sin a a a a ππM M a ∈==，由[][]0,,2a a a M M =，得1a =，所以sin 2a =，34πa =； ④当5,4πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[][]0,,2a a a M M =，得12a =，所以sin 2a =98πa =；⑤当5,+4πa ⎡⎤∈∞⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52,3,1,12a a a a ππM M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦由[][]0,,2a a a M M =，得无解，综上，34πa =或98πa =.【变式2】2019-2020年上海市七宝中学高三下三模第11题.用I M 表示函数sin y x =在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足[0,][,2]2a a a M M ≥，则a 的最大值为 .【解析】①当0,4πa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]20,,sin ,sin 22a a a πa M a M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得sin 2sin 2a a ≥，所以1cos 4a ≤，无解； ②当,42ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]2,,sin ,12a a a πa πM a M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得sin 2a ≥，无解；③当,2πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[][0,][,2]2,2,1,sin a a a a ππM M a ∈==，由[0,][,2]2a a a M M ≥，得12sin a ≥，所以1sin 2a ≤，5,6πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； ④当5,4πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]522,,1,sin 22a a a a ππM M a ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦， 由[0,][,2]2a a a M M ≥，得12sin 2a ≥，所以1sin 22a ≤，13,12πa π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；⑤当5,+4πa ⎡⎤∈∞⎢⎥⎣⎦时，[0,][,2]52,3,1,12a a a a ππM M ⎡⎤∈==⎢⎥⎣⎦由[0,][,2]2a a a M M ≥，得无解，综上，513,612ππa ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故a 的最大值为1312π. 二、选择题13.下列各组不等式中，解集完全相同的是（ D ）A.2611x x x x +<++与26x x <+B.2(2)(1)0x x x x-+<与(2)(1)0x x -+< C.(2)(1)01x x x +->-与20x +> D.2232111x x x x x x -+>-+-+与321x x ->+ 14.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“{}n a 是递增数列”是“{}n S 为递增数列”的（ D ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.已知集合,M P 都是非空集合，若命题“M 中的元素都是P 中的元素”是假命题,则下列说法必定为真命题的是（ D ）A.M P =∅B.M 中至多有一个元素不属于PC.P 中有不属于M 的元素D.M 中有不属于P 的元素16.单调递增的数列{}n a 中共有N 项，且对任意,,(1),i j k i j k N ≤<<≤i j a a +，j k a a +和k i a a +中至少有一个是{}n a 中的项，则N 的最大值为（ ）A.9B.8C.7D.6【解析】本题为2016年清华大学自招与领军计划试题.法一：假设0a b c d <<<<是{}n a 中大于0的最大的4项，对于,,b c d 来说， 因为,b d d c d d +>+>，所以b d +和c d +都不是{}n a 中的项， 又由题意得,b c b d ++和c d +中至少有一个是{}n a 中的项， 所以b c +是{}n a 中的项，且b c c +>，所以b c d +=，对于,,a c d 来说，因为,a d d c d d +>+>，所以a d +和c d +都不是{}n a中的项，又由题意得,b c b d ++和c d +中至少有一个是{}n a 中的项， 所以a c +是{}n a 中的项，且a c c +>，所以a c d +=， 所以a d =，矛盾，所以{}n a 中大于0的最多有3项，同理，{}n a 中小于0的最多有3项，加上0，故N 的最大值为7， 此时存在数列{}:3,2,1,0,1,2,3n a ---满足题意，故选C.法二：假设存在三项1,,m N N a a a -为正，则1,N N m N a a a a -++都不是{}n a 中的项， 所以1m N a a -+是{}n a 中的项，且11m N N a a a --+>， 所以1m N N a a a -=-，所以数列{}n a 中最多有3个正项，同理数列{}n a 中最多有3个负项，加上0，故N 的最大值为7， 此时存在数列{}:3,2,1,0,1,2,3n a ---满足题意，故选C.三、解答题17.如图，已知长方体1111ABCD A B C D -中，AB，BC =1AA =.（1）求异面直线1AB 与1BC 所成角的大小； （2）求点C 到平面1ABD 的距离.【解析】（1）连接111,AD B D ，则11AD BC ∥， 所以11B AD ∠即为所求角，或其补角，1AB ==，13AD ==，11B D ==在11B AD ∆中，由余弦定理得22211111111cos 22AB AD B D B AD AB AD +-∠==，所以114πB AD ∠=，即异面直线1AB 与1BC 所成角的大小为4π； （2）1111322ABD S AB AD ∆=⨯==，11222ABC S AB BC ∆=⨯==，1DD =， 设点C 到平面1ABD 的距离为h ，由等体积法，得11C ABD D ABC V V --=，即111133ABD ABC S S h DD ∆∆⨯=⨯，所以h =所以点C 到平面1ABD 18.已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且(cos 2cos )(2)cos c B A a b C -=-.B 1D 1A 1D C 1CBA（1）求ab的值； （2）若3cos ,24C c ==，求ABC ∆的面积. 【解析】（1）由已知及正弦定理得sin (cos 2cos )(2sin sin )cos C B A A B C -=-，得sin()2sin()B C A C +=+，因为A B C π++=，所以sin 2sin A B =，由正弦定理得2ab=； （2）因为3cos ,2,24aC c b===，由余弦定理得222324a b c ab +-=，即222(2)4344b b b +-=，解得b =，所以2a b ==sin C ==所以11sin 22ABC S ab C ∆==⨯=.20. 某供应商为华为公司提供芯片，由以往的经验表明，不考虑其他因素，该芯片次品率p 与日产量x （万枚）间的关系为：1,04,62,4,3x xp x ⎧<≤⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎩，已知每生产1枚合格芯片供应商可盈利30元，每出现1件次品亏损15元.（3）将日盈利额y （万元）表示为日常量x （万枚）的函数；（4）为使日盈利额最大，日产量应为多少万枚？（注：次品率=100%⨯次品数产品总数）.【解析】（1）当4x >时，23p =，所以123015033y x x =⋅⋅-⋅⋅=， 当04x <≤时，16p x=-， 所以21115(921301566)6x x y x x x x x -⎛⎫=-⋅⋅-⋅⋅= ⎪---⎝⎭， 所以()21592,04(6)0,4x x x y x x ⎧-⎪<≤=⎨-⎪>⎩；（2）当04x <≤时，22)15(96x x y x-=-，令[)62,6t x =-∈，则()215962(6)1815(152)t t y t tt⎡⎤---⎣⎦==--，所以15(1545y ≤-=万元， 当且仅当182t t=，即3,3t x ==时取等号，所以为使日盈利额最大，日产量应为3万枚.20.已知双曲线2222:1x y C a b-=过点M ，且右焦点为(2,0)F .（1）求双曲线C 的方程；（2）过点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，交y 轴于点P ，若PA mAF =，PB nBF =，求证：m n +为定值.（3）在（2）的条件下，若点Q 是点P 关于原点O 的对称点，求证：三角形QAB 的面积2310QAB S ∆>； 【解析】（1）由题意得22921,2c a b-==，又222c a b =+，解得223,1a b ==， 所以双曲线C 的方程为2213x y -=； （2）法一：设()()1122,,,,(0,)A x y B x y P t ，由PA mAF =得11211m x mt y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，又点A 在双曲线上，所以2221131m t m m ⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-= ⎪+⎝⎭，整理得226330m m t ---=， 同理，由PB nBF =，得226330n n t ---=，因为,A B 两点不重合，所以m n ≠，所以,m n 是方程226330x x t ---=的两根，所以6m n +=，为定值；法二：设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得直线l 的斜率存在，所以设直线:(2)l y k x =-，所以(0,2)P k -，由2213(2)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(31)121230k x k x k --++=，所以2212122212123,3131k k x x x x k k ++==--，由PA mAF =，PB nBF =得1122(2),(2)x m x x n x =-=-，所以1212211212(2)(2)22(2)(2)x x x x x x m n x x x x -+-+=+=---- 22121222212122()2242(123)6642()4(31)241231x x x x k x x x x k k k +--+-====-++--++-， 所以6m n +=，为定值；（3）在（2）法二的基础上，得(0,2)Q k ，1212122QAB QPB QPA S S S PQ x x k x x ∆∆∆=-=⨯-=-， 所以()()222221212124()44QABS k x x k x x x x ∆⎡⎤=-=+-⎣⎦()22242222222212123144(4812)(31)444313131k k k k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫+-+-=⎢-⎥= ⎪--⎢⎥⎝⎭-⎣⎦()()222222221212(1)4483131k k k kkk++==--，因为直线l 与双曲线C 的右支交于,A B 两点，所以22121222121230,03131k k x x x x k k ++==--＞＞， 所以2310t k =-＞， 所以()()2222222111(1)48(1)(4)334848931QABt t k k t t S t t k ∆++⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭===-22224854484519215139998t t t t t t ++⎛⎫⎛⎫==++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为0t ＞，所以10t＞，所以()222192151925163398983QABS t ∆⎛⎫⎛⎫=+--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， 所以232.31310QAB S ∆>≈>，证毕. 21.若实数列{}n a 满足条件212,1,2,n n n a a a n +++≥=，则称{}n a 是一个“凸数列”.（1）判断数列2n a n n =-+和3()2nn b =是否为“凸数列”?（2）若{}n a 是一个“凸数列”，证明：对正整数,,k m n ，当1k m n ≤<<时，有n m m ka a a a n m m k--≥--；（3）若{}n a 是一个“凸数列”证明：对1i n ≤≤，有111(1)i n iia a a n n++≤-+. 【解析】（1）因为222212(2)(2)2(1)2(1)n n n a a a n n n n n n +++-=-+-+++++-+20=-＜，所以数列2n a n n =-+不为“凸数列”，因为+21233339221322224nn n nn n n b b b ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-=+- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13042n⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，所以数列3()2n n b =为“凸数列”；（2）由题意得112(2,3,)k k k a a a k -++≥=，所以11k k k k a a a a +--≥-，而()()()()11211()n m n n n n m m m m a a a a a a a a n m a a ---++-=-++++-≥--，所以1mm m n a a a a n m+-≥--，又()()()()11211()k m k m m m m k m m a a a a a a a a m k a a ---+--=-++++-≤--，所以1m km m a a a a m k --≤--，故n m m k a a a a n m m k--≥--，证毕；（3）①当1i =时，111(1)i n ii a a a nn ++≤-+即21111(1)n a a a n n+≤-+， 由（2）得()1221(1)n a a n a a +-≥--，所以211(1)n na n a a +≤-+，故21111(1)n a a a n n+≤-+，成立； ②当i n =时，111(1)i n i ia a a nn++≤-+即11n n a a ++≤，显然成立， ③当1i n ＜＜时，由（2）得1111n i i a a a a n i i+++--≥-，所以1111()()n i i ia ia n i a n i a +++-≥---，所以111()i n na ia n i a ++≤+-，故111(1)i n i ia a a n n++≤-+成立， 综上所述，对1i n ≤≤，有111(1)i n i ia a a n n++≤-+.。
上海2020-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷(数学学科)参考答案
上海2020-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷数学学科参考答案一. 填空题1. (,3][1,0)-∞--2. 79-3. 24. 3log 1x +（1(0,)3x ∈） 5. 312n n a n n =⎧=⎨≥⎩6. 507. 10108.9. 110. 1}-11. (3--- 12.1288二. 选择题13. B 14. C 15. C 16. B 三.解答题17．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.（1）证明：BE ⊥平面EB 1C 1；（2）若AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）利用长方体的性质，可以知道11B C ⊥侧面11A B BA ，利用线面垂直的性质可以证明出11B C EB ⊥，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出BE ⊥平面11EB C ；（2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为a ，1B B b =，求出相应点的坐标，利用1BE EC ⊥，可以求出,a b 之间的关系，分别求出平面EBC 、平面1ECC 的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角1B EC C --的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角1B EC C --的正弦值. 【详解】证明（1）因为1111ABCD A B C D -是长方体，所以11B C ⊥侧面11A B BA ，而BE ⊂平面11A B BA ，所以11BE B C ⊥又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，111,B C EC ⊂平面11EB C ，因此BE ⊥平面11EB C ； （2）以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2bB C a C a b E a ，因为1BE EC ⊥，所以2210(0,,)(,,)002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅-=⇒-+=⇒=，所以(0,,)E a a ，1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =--==，设111(,,)m x y z =是平面BEC 的法向量，所以111110,0,(0,1,1)0.0.ay az m BE m ax ay az m EC +=⎧⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎩，设222(,,)n x y z =是平面1ECC 的法向量，所以2122220,0,(1,1,0)0.0.az n CC n ax ay az n EC =⎧⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨--=⋅=⎩⎩， 二面角1B EC C --的余弦值的绝对值为122m n m n⋅==⨯⋅，所以二面角1B EC C --=【点睛】本题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.18．在ABC ∆在在在在A在B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ，1）求角B 的大小；，2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3πⅠ(Ⅰ)b =【解析】分析：ⅠⅠⅠ由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得tanB=，则B =π3Ⅰ ⅠⅡ）在△ABC 中，由余弦定理可得b Ⅰ结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()214sin A B -=详解：ⅠⅠ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =Ⅰ 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Ⅰ即π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tanB =又因为()0πB ∈，，可得B =π3Ⅰ ⅠⅡ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2Ⅰc =3ⅠB =π3Ⅰ 有22227b a c accosB =+-=，故b由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =a <c，故cosA =Ⅰ因此22sin A sinAcosA ==Ⅰ212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cos AsinB -=-=1127-= 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得10万元到1000万元的投资收益，讨论了一个对课题组的奖励方案:奖金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%. （1）请分析函数11005x y =-是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因； （2）若华为公司采用模型函数110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩作为奖励函数模型，试确定正整数a 的取值集合.【答案】（1）不符合，原因见解析（2）a 的取值集合为{}910911912，， 【解析】【分析】（1）根据题意，总结奖励模型需要满足的条件①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立；判断单调性及最值，即可求解； （2）由题意，依此判断分段函数的单调性，最大值和()5xf x ≤，即可求解参数范围，由a 为正整数，即可确定取值集合. 【详解】（1）设奖励函数模型为()y f x =，按公司对函数模型的基本要求，函数()y f x =满足:当[10,1000]x ∈时，①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5x f x ≤恒成立.对于函数模型11005x y =-.当[10,1000]x ∈时，11005x y =-是增函数，max1000149()(1000)910055f x f ==-=>所以()9f x ≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.（2）对于函数模型110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，当10100x ≤≤时，()f x 在定义域[10,100]上是增函数，且()9f x ≤恒成立；当1001000x <≤时，10100()101010x a a f x x x ---==+++，只有1000410005110a a --<⎧⎪-⎨≤⎪⎩时，()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；要使()9f x ≤在[10,1000]x ∈恒成立，(1000)9f ≤，即100041000[100,912]5110(1000)9a aa f --<⎧⎪-⎪≤⇒∈⎨⎪≤⎪⎩；要使()5x f x ≤恒成立对[10,1000]x ∈恒成立，即11010010055101001000105x xx x a x x x ⎧-<≤≤⎪⎪⎨-⎪<<≤⎪+⎩，即24050x x a -+≥恒成立，所以910a ≥； 综上所述，910a ≥，所以满足条件的正整数a 的取值集合为{}910911912，，【点睛】本题结合实际问题，考查了（1）函数的单调性，最值和恒成立问题；（2）由函数的单调性最值和不等式确定参数的取值范围；考查计算能力，考查数学建模思想，属于中等题型.20．已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>经过点(2,1)A，离心率为2，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M N 、， （1）求椭圆C 的方程； （2）求BM BN ⋅的取值范围；（3）设直线AM 和AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值.【答案】（1）22163x y+= （2）(2,3] （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据离心率和(2,1)A 代入椭圆方程可求得a 和c ，进而求得b ，方程可得；（2）由题意显然直线l 方程为()3y k x =-，联立直线与椭圆的方程22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222212121860k xk x k +-+-=.因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，∴>0∆，可得11k -<<，再用坐标表示出BM BN ⋅，即可求取值范围. （3）由（2）用坐标表示出AM AN k k +化简即可.【详解】（1）由题意得22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得a =b =∴椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()3y k x =-，由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222212121860k x k x k +-+-=.∵直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ， ∴()()()42221444121862410k kkk ∆=-+-=->，解得11k -<<.设M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则21221212k x x k+=+，212218612k x x k -=+， 又()113y k x =-，()223y k x =-，()()121233BM BN x x y y =--+⋅()()21212139k x x x x =+-++⎡⎤⎣⎦ ()2223333122212k k k +==+++， ∵11k -<<，∴()233232212k <+≤+， ∴BM BN ⋅的范围为(]2,3. （3）由（2）得121211=22AMAN y y k k x x --++--()()()()()()122112312312=22kx k x kx k x x x ---+-----()()()12121212251124=24kx x k x x k x x x x -++++-++()()()()()2222222186511212412=18624412k k k k k k k k k --+⋅+++--++2244=22k k -+- 2=-所以AM AN k k +为定值，=2AM AN k k +- 【点睛】本题考查主要考查椭圆的标准方程求解，运用韦达定理解决直线与椭圆相交问题，椭圆定点问题，考查逻辑推理能力和计算求解能力，综合性较强，有一定难度.21．已知定义在R 上的函数()f x 和数列{}n a 满足下列条件:121,a a a a =≠，当n *∈N 且2n ≥时，1()n n a f a -=且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-，其中a k 、均为非零常数.（1）数列{}n a 是等差数列，求k 的值；（2）令1()n n n b a a n N *+=-∈，若11b =，求数列{}n b 的通项公式；（3）证明:{}n a 数列是等比数列的充要条件是()(1)f x kx k =≠. 【答案】（1）1（2）n b ()1210n ka a -=-≠（3）证明见解析【解析】 【分析】（1）由题意知1()n n a f a -=，11()()()n n n n f a f a k a a ---=-()2n ≥，得()()112n n n n a a k a n a --=-≥-，再由等差数列，即可求解k 值；（2）由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠，因此()()()1111n n n n n n n n b a a f a f a k a a kb +---=-=-=-=，由此可知，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列.（3）先进行充分性证明：若()(1)f x kx k =≠则{}n a 数列是等比数列；再进行必要性证明：若{}n a 数列是等比数列，则()(1)f x kx k =≠.【详解】（1）由已知()1n n a f a -=，()()()()112,3,4,n n n n f a f a k a a n ---=-=⋅⋅⋅， 得()()()()1112,3,4,n n n n n n a a f a f a k a a n +---=-=-=⋅⋅⋅， 由数列{}n a 是等差数列，得()112,3,4,n n n n a a a n a +-=-=-⋅⋅⋅， 所以，()11n n n n a a k a a ---=-，()2,3,4,n =⋅⋅⋅，得1k =.（2）由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠，且当2n >时，()()()111n n n n n n n b a a f a f a k a a +--=-=-=-()1210n k a a -==-≠，所以，当2n ≥时，()()()1111111n n n n n n n n n n n n n n f a f a k a a b a a k b a a a a a a --+-------====---，因此，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列. 故通项公式为()1210n n b ka a -=-≠（3）{}n a 是等比数列的充要条件是()()1f x kx k =≠，充分性证明:若()()1f x kx k =≠，则由已知10a a =≠，()()12,3,4,n n a f a n -==⋅⋅⋅ 得()12,3,4,n n n a ka -==⋅⋅⋅，所以，{}n a 是等比数列. 必要性证明:若{}n a 是等比数列，由（2）知，()()1*21n n b ka a n N-=-∈，()()()12121211n n n b b b a a a a a a --++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-()12n a a n =-≥，()1121n n a a b b b -=+++⋅⋅⋅+.当1k =时，()()()12112n a a a a n n =+--≥.上式对1n =也成立， 所以，数列{}n a 的通项公式为:()()()()*1n a a f a an n N =+--∈.所以，当1k =时，数列{}n a 是以a 为首项，()f a a -为公差的等差数列. 所以，1k ≠.当1k ≠时，()()1121121n n k a a a a n k--=+-≥-. 上式对1n =也成立，所以，()11()1n n k a a f a a k --=+--1()(())11n f a a f a a k a k k---=+---. 所以，()0()1f a aa f a ka k-+=⇒=-.Ⅰ，等式()(1)f x kx k =≠对于任意实数a 均成立.所以()(1)f x kx k =≠.【点睛】本题考查等差数列的定义，利用等比数列定义证明，求解等比数列通项公式及证明，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题.。
2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案
2020-2021上海上海中学高三数学上期中一模试题带答案一、选择题1．已知函数22()()()n n f n n n 为奇数时为偶数时⎧=⎨-⎩，若()(1)n a f n f n =++，则123100a a a a ++++=LA ．0B ．100C ．100-D ．102002．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则 1a ＜1b3．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2B ．-2C ．12D ．12-4．已知,x y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则3x y -的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．165．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．6．已知等比数列{}n a 中，31174a a a =，数列{}n b 是等差数列，且77b a =，则59b b +=（ ） A ．2B ．4C ．16D ．87．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2BCD ．48．,x y 满足约束条件362000x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为 ( )A ．256B ．25C ．253D ．59．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<10．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．511．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．13712．已知正项数列{}n a 中，*12(1)()2n n n a a a n N ++++=∈L ，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n =B ．2n a n =C ．2n na =D ．22n n a =二、填空题13．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，且()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为______.14．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 15．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．16．在无穷等比数列{}n a 中，123,1a a ==，则()1321lim n n a a a -→∞++⋯+=______． 17．已知在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2a b c +=，则C ∠的取值范围为________18．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？19．在△ABC 中，2BC =，7AC =，3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．20．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知,,a b c 分别是ABC △的角,,A B C 所对的边，且222,4c a b ab =+-=． （1）求角C ；（2）若22sin sin sin (2sin 2sin )B A C A C -=-，求ABC △的面积． 23．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =.（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值. 24．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.25．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列且3b =（1）当4A π=时，求ABC ∆的面积S ；（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值．26．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知2223,33A b c a π=+-=． （1）求a 的值；（2）若1b =，求ABC ∆的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：由题意可得，当n 为奇数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-+=--当n 为偶数时，()22()(1)121;n a f n f n n n n =++=-++=+所以()1231001399a a a a a a a ++++=+++L L ()()()2410021359999224610099100a a a ++++=-++++-++++++=L L L ，故选B.考点：数列的递推公式与数列求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数()22(){()n n f n n n =-当为奇数时当为偶数时及()(1)n a f n f n =++分别写出n 为奇数和偶数时数列{}n a 的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列{}n a 前100项的和.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．D解析：D 【解析】 【分析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．解析：A 【解析】 【分析】作出可行域，变形目标函数并平移直线3y x =，结合图象，可得最值． 【详解】作出x 、y 满足0404x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩所对应的可行域（如图ABC V ），变形目标函数可得3y x z =-，平移直线3y x =可知， 当直线经过点(2,2)A 时，截距z -取得最大值， 此时目标函数z 取得最小值3224⨯-=. 故选：A.【点睛】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．5．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 6．D解析：D 【解析】 【分析】利用等比数列性质求出a 7，然后利用等差数列的性质求解即可．等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7， 可得a 72＝4a 7，解得a 7＝4，且b 7＝a 7， ∴b 7＝4，数列{b n }是等差数列，则b 5+b 9＝2b 7＝8． 故选D ． 【点睛】本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．7．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 0B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B -=,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.8．A解析：A 【解析】 【分析】先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123()(23)6a b a b a b+=++，化简变形用基本不等式即可求解。
高三数学上学期期中试题含解析试题_1
七宝中学2021届高三数学上学期期中试题〔含解析〕一. 填空题2{|20}A x x x a =-+=，假设3A ∈，那么集合A 可用列举法表示为________【答案】{3,1}- 【解析】 【分析】将3代入220x x a -+=求出参数a ，再解出二次方程的根，用列举法表示即可 【详解】3A ∈，将3代入220x x a -+=可得：960a -+=，3a =-，原方程为：2230x x --=，解得123,1x x ==-，故集合{1,3}A =- 故答案为：{3,1}-【点睛】此题考察元素与集合的关系，列举法表示集合，属于根底题x 的不等式2420x x -++>的解集为________【答案】(6,7)- 【解析】 【分析】先将不等式转化为二次项系数大于零的不等式，再采用十字相乘法进展求解即可【详解】()()()224204207606,7x x x x x x x -++>⇔--<⇔-+<⇒∈-故答案为：(6,7)-【点睛】此题考察一元二次不等式的解法，在二次项系数大于0的前提下遵循“大于取两边，小于取中间〞原那么，属于根底题21()(1)mf x m x +=-是幂函数，那么(2)f -=________【答案】-32 【解析】 【分析】根据幂函数的根本形式进展求解即可 【详解】21()(1)mf x m x +=-是幂函数，∴11m -=，52,()m f x x ==，那么()5(2)232f -=-=-故答案为：-32【点睛】此题考察幂函数的根本形式，详细函数值的求法，幂函数根本形式为：()af x x =，x 前面的系数必须为1，属于根底题4.(,)2παπ∈，1sin 3α=，那么tan2α=________【答案】7-【解析】 【分析】根据同角三角函数先求出tan α，再用正切的二倍角公式求解即可【详解】(,)2παπ∈，∴由1sin tan 34αα=⇒=-，22tan tan 21tan ααα==-故答案为：7-【点睛】此题考察同角三角函数根本求法，正切角的二倍角公式，属于根底题sin (3sin 4cos )1y x x x =++〔x ∈R 〕的最大值为M ，最小正周期为T ，那么有序数对(,)M T 为_____【答案】(5,)π【解析】 【分析】结合二倍角公式和辅助角公式化简，进一步求值即可 【详解】()21cos255sin (3sin 4cos )1=3sin 4sin cos 132sin 2+1=sin 2222x y x x x x x x x x ϕ-=++++=⋅+-+当()sin 2=1x ϕ-时，max 5y M ==，22T ππ==，故有序数对为(5,)π 故答案为：(5,)π【点睛】此题考察三角函数的化简，辅助角公式的使用，形如：221cos21+cos2sin ,cos 22αααα-==应强化记忆，属于根底题 {}n a 中，假设519a =，935a =，那么10a =________【答案】39 【解析】 【分析】先由95a a -求得公差，再求10a 即可 【详解】数列是等差数列，∴9535194a a d -=-=，4d =，10935439a a d =+=+=故答案为：39【点睛】此题考察等差数列根本量的求解，属于根底题231()21x x f x x m x ⎧≤=⎨-+>⎩的值域为(,3]-∞，那么实数m 的取值范围是________ 【答案】(2,5] 【解析】 【分析】分类讨论，先由1x ≤求出3x 的取值范围，再结合1x >时二次函数的单调性求解值域即可【详解】当1x ≤时，1333x ≤=，()(]0,3f x ∈；当1x >时，()22x m f x -=+是减函数，()(),2f x m ∈-∞-，要满足()(,3]f x ∞∈-，此时应满足(]20,3m -∈ ，即(2,5]m ∈ 故答案为：(2,5]【点睛】此题考察根据分段函数值域求解参数问题，解题关键在于确定在临界点处的取值范围，属于中档题R 上的奇函数()y f x =，当0x >时，2()lg(33)f x x x =-+，那么()f x 在R 上的零点个数为________个. 【答案】5 【解析】 【分析】先求出0x >时2()lg(33)0f x x x =-+=的解，再根据奇函数的性质求出零点个数即可 【详解】当0x >时，令2()lg(33)0f x x x =-+=，即2lg(33)lg1x x -+=，解得121,2x x ==根据奇函数的对称性可得()()()()11220f f f f =--==--=，故341,2x x =-=-也是函数的零点，又()y f x =定义域为R ，所以()00f =，故50x =也是函数的零点，合计5个零点 故答案为：5【点睛】此题考察奇函数的对称性，函数零点个数的求法，属于根底题2{|(8)(1)0,}A x mx m x x Z =--->∈中的元素个数最少时，实数m 的取值范围是_____【答案】[4,2]-- 【解析】 【分析】对m 进展分类讨论，在考虑集合中元素个数最少的条件下，进一步确定参数m 所满足的条件即可【详解】①当0m =时，集合{}1A x Z x =∈<当0m ≠时，令2880mx m x m m--=⇒=+，101x x -=⇒=②当0m >时，8m m +≥81A x Z x x m m ⎧⎫=∈<>+⎨⎬⎩⎭或③当0m <时，8m m +≤-81A x Z m x m ⎧⎫=∈+<<⎨⎬⎩⎭，此时集合A 的元素个数为有限个，而①②两种情况都有无限个元素，故此种条件下符合，[)6,5---，根据对勾函数性质，当且仅当()80,m m m m=<=-A 元素个数最少，需满足865m m -≤+<-，化简得22680580m m m m ⎧++≤⎨++>⎩，即[]4,2m ∈--故答案为：[4,2]--【点睛】此题考察集合的运算，一元二次不等式含参解法，对勾函数性质，属于中档题 ()f x 的定义域为R ，且当[0,1]x ∈时，3()log (32)f x x =-，那么当[2019,2020]x ∈时，()f x 的解析式为________【答案】3()log (24037)f x x =- 【解析】 【分析】根据2T =，需将[2019,2020]x ∈进展区间转化，2020[1,0]x -∈-，结合偶函数，求出()f x 在[]1,0x ∈-的表达式，即可求解【详解】由题可知2T =，当[2019,2020]x ∈，()()2020f x f x =-，令2020[1,0]t x =-∈-； 当[]1,0t ∈-时，[]0,1t -∈，那么3()log (32)f t t -=+，又函数为偶函数， 故()3()log (32)f t f t t -==+，将2020t x =-代入可得()()()()33log 322020log 24037f t x x =+-=-，即()()3log 24037f x x =-故答案为：()()3log 24037f x x =-【点睛】此题考察周期函数解析式的求法，偶函数的性质，解题关键在于将不在符合条件的定义域通过周期代换和奇偶性转化为给定区间或者对称区间，再进一步求解{}n a 的通项公式和为(73)2n n n S +=，*n N ∈，现从前m 项：12,,,m a a a ⋅⋅⋅中抽出一项〔不是1a 也不是m a 〕，余下各项的算术平均数为40，那么抽出的是第________项 【答案】6 【解析】 【分析】 由(73)2n n n S +=可先算出n a ，先令40n a =，算出n ，再结合等差数列的性质进一步判断 【详解】由(73)2n n n S +=得()()()-1-17-132n n n S +=，172(2),n n nS S a n n --==-≥〔验证当1n =时也符合〕故72n a n =-，令72=40n a n =-，得6n =，即640a =，根据等差数列的性质，6111210572a a a a a a a =+=+==+，由题可知，余下各项的算术平均数是40，说明余下每两项的算数平均数只要满足前式性质即可，根据11611S a =得算数平均数为640a =，那么11m =，抽出的是数列的第6项故答案为：6【点睛】此题考察等差数列的性质，可简记为：对于等差数列，(),,,m n p q m n p q a a a a m n p q N ++=+⇒+=+∈，属于根底题()f x 满足22(1)(1)()()4f x f x f x f x +-++-=，那么(1)(2020)f f +的最大值是______【答案】4 【解析】可将x 换为1x +，得出22(2)(2)()()f x f x f x f x +-+=-，令()2()()g x f x f x =-，可得()g x 周期为2，()()(1)(2020)10g g g g +=+ ，再结合根本不等式求解即可【详解】由题意22(1)(1)()()4f x f x f x f x +-++-=，①将x 换为1x +，得出22(2)(2)(1)(1)4f x f x f x f x +-+++-+=，② 由②-①得：22(2)(2)()()f x f x f x f x +-+=-，令()2()()g x f x f x =-，那么()g x 周期为2，所以()(2020)0g g =令0x =，得22(1)(1)+(0)(0)=4f f f f -- 即()()()()222210=(1)(2020)=(1)(1)+(2020)(2020)=(2020)+(1)(2020)1=4g g g g f f f f f f f f ++---+，()22(2020)+(1)4(2020)1f f f f =++令()()2020,1a f b f ==，那么224a b a b +=++，由()()()()22222222a b a b a b a b ++≥+⇒+≥即()242a b a b +++≥，化简得()()420a b a b +-++≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，[]2,4a b +∈-故()()20201a b f f +=+的最大值为4， 故答案为：4【点睛】此题考察复合函数周期性的推导，根本不等式求最值，推理运算才能，属于中档题 二. 选择题13.“x 是1和4的等比中项〞是“2x =〞的〔 〕 A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 即非充分也非毕必要条件【解析】 【分析】将条件“x 是1和4的等比中项〞化简，得2x =±，结合充分必要条件判断即可 【详解】由“x 是1和4的等比中项〞可得242x x =⇒=±，显然在命题“假设x 是1和4的等比中项，那么2x =〞中，结论可以推出条件，条件推不出结论，故为必要非充分条件 应选：B【点睛】此题考察等比中性性质，必要不充分条件，属于根底题14.假设△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 6:7:10A B C =，那么△ABC 〔 〕 A. 一定是钝角三角形 B. 一定是锐角三角形C. 一定是直角三角形D. 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】结合三角形大边对大角原那么和正弦定理，余弦定理判断最大角的余弦值即可 【详解】由sin :sin :sin 6:7:10::6:7:10A B C a b c =⇒=，可令6,7,10a b c ===由大边对大角原那么确定C 最大，由余弦定理2225cos 0228a b c C ab +-==-< 可判断C 为钝角 应选：A【点睛】此题考察正弦定理、余弦定理解三角形的应用，三角形形状的判断，属于根底题 ()f x 为R 上的单调函数，1()f x -是它的反函数，点(2,3)A -和点(2,1)B 均在函数()f x 的图像上，那么不等式1|(3)|2x f -<的解集为〔 〕 A. (0,1) B. (1,3)C. (1,1)-D. (0,3)【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 给出的两点确定单调性，再由()f x 与1()f x -的对应关系进一步求解即可 【详解】由311222AB k -==---和()f x 为R 上的单调函数，可得()f x 为R 上的单调递减函数， 那么1()f x -在定义域内也为单调递减函数；原函数过点(2,3)A -和点(2,1)B ，那么1()f x -过()()1,2,3,2- 那么11|(3)|22(3)2133x x x f f --<⇔-<<⇔<<，解得(0,1)x ∈ 应选：A【点睛】此题考察原函数与反函数的性质，原函数假设单调，那么原函数与反函数单调性一样，原函数定义域〔值域〕与反函数值域〔定义域〕一样，属于中档题16.如图，△ABC 的周长为k ，在AB 、AC 上分别取点M 、N ，使MN ∥BC ，且与△ABC 的内切圆相切，那么MN 的最大值为〔 〕A.6kB.8k C.9k D.12k 【答案】B 【解析】 【分析】可设BC x =，MN y =，由AMNABC ∆∆和切线长定理可代换出x 与y 的关系，最终将y 代换成关于x 的二次函数，再求最值即可【详解】设BC x =，MN y =，,,D E F 分别为三个边的切点，那么,,,BE BD CF CD ME MG NF NG ====那么AMN ∆周长为2AE AF k x +=-2==AMN MN k x y ABC BC k x ∆-=∆周长周长，那么()22248x k x k ky x k k -⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭当4k x =时，y 有最大值8k应选：B【点睛】此题考察三角形中线段最值的求解，相似三角形，二次函数求最值，解题关键是代换出线段与周长关系，属于中档题 三. 解答题sin ()2xf x =，将函数()y f x =的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的12，然后向左平移6π3()y g x =的图像.〔1〕当[0,]2x π∈时，求()g x 的值域；〔2〕锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设3()f A =，4a =，5b c +=，求△ABC 的面积.【答案】〔1〕[0,12+；〔2【解析】【分析】〔1〕现根据平移法那么求得()g x ，再求()g x 值域即可；〔2〕由()f A =求得A ，再结合正弦的面积公式，余弦定理联立求解，即可求得面积. 【详解】〔1〕sin ()2xf x =，将函数()y f x =的图像上每个点的纵坐标扩大到原来的2倍，得()sin f x x =；再将图像上每个点的横坐标缩短到原来的12，得到()sin 2f x x =；然后向左平移6π个单位，得到()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当[0,]2x π∈，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 23x π⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()sin 20,2213g x x π⎡⎛⎫=+++⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦〔2〕sin ()23A f A A π==⇒=或者23π〔由题意三角形为锐角三角形，故舍去23π〕， 1sin 2ABC S bc A ∆=，①()222222cos 22b c bc a b c aA bcbc+--+-==，②又4a =，5b c +=，代入①②得bc =3,那么ABC S ∆ 【点睛】此题考察三角函数的化简、值域求解，三角函数图像平移法那么，正弦定理余弦定理结合求面积，属于根底题()2x f x k =+〔k 为常数〕，(,2)A k -是函数1()y f x -=图像上的点.〔1〕务实数k 的值及函数1()y f x -=的解析式；〔2〕将1()y fx -=按向量(2,0)a =平移，得到函数()y g x =的图像，假设不等式1()f x g m --≤有解，试务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕2k =-，12()log (2)f x x -=+；〔2〕32m ≥. 【解析】 【分析】〔1〕由原函数与反函数的对应关系知()2,k -过原函数，代入()2x f x k =+即可求得k 值，进一步求得1()y fx -=的解析式〔2〕先根据向量平移法那么求得()g x ，原式1()f x g m --≤有解可转化为22log (2)log x m +-≤有解，再由根本不等式求解即可【详解】〔1〕由题知，反函数过(,2)A k -，那么原函数过()2,k -，2(2)22f k k k =+=-⇒=-，那么()22xf x =-，由()22222log 2x x y y x y =-⇒=+⇒=+，即12()log (2)f x x -=+〔2〕12()log (2)f x x -=+按向量(2,0)a =平移得2()log g x x =，那么1()f x g m --≤有解⇔22log (2)log x m +-()0x >有解，即2222log (2)log log log x +-==≥1x =时等号取到〕，223log log 2≥=，要使1()fx g m --≤有解，那么32m ≥【点睛】此题主要考察原函数与反函数的性质，反函数的求法，含参不等式有解的求法，根本不等式求最值，属于中档题19.大店创业专卖某种文具，他将这种文具以每件2元的价格售出，开场第一个月就到达1万件，此后每个月都比前一个月多售出1.5万件，持续至第10个月，在第11个月出现下降，第11个月出售了13万件，第12个月出售了9万件，第13个月出售了7万件，另据观察，第18个月销量仍比上个月低，而他前十个月每月投入的本钱与月份的平方成正比，第4个月本钱为8000元，但第11个月起每月本钱固定为3万元，现打算用函数2()f x ax bx c =++〔0a ≠〕或者()x f x km n =+〔0k ≠，0m >，1m ≠〕来模拟销量下降期间的月销量. 〔1〕请判断销量下降期间采用哪个函数模型来模拟销量函数更合理，并写出前20个月销量与月份x 之间的函数关系式；〔2〕前20个月内，该网店获得的月利润的最高纪录是多少，出如今哪个月？ 【答案】〔1〕()x f x km n =+更合理，141.50.5,110()25,11xx x f x x N x +--≤≤⎧=∈⎨+≥⎩，；〔2〕24万，第10个月 【解析】 【分析】〔1〕分别采用待定系数法，算出2()f x ax bx c =++和()x f x km n =+表达式，再检验18x =时是否符合题设即可〔2〕列出利润()w x 关于x 的表达式，根据函数性质分别计算两分段函数的利润最大值，即可求解【详解】〔1〕假设从第11个月开场，月销量符合2()f x ax bx c =++的变化趋势，那么()()()11,13,12,9,13,7均在()f x 上，即1211113114412927169137189a b c a a b c b a b c c ++==⎧⎧⎪⎪++=⇒=-⎨⎨⎪⎪++==⎩⎩，22()1789f x x x =+-，对称轴为272x =，当14x ≥时，不符合题意，故此模型舍去； 假设从第11个月开场，月销量符合()x f x km n =+的变化趋势，那么()()()11,13,12,9,13,7均在()f x 上，即1411121321319275k km n km n m km n n ⎧=⎧+=⎪⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪+=⎩=⎪⎩，1425()x f x -=+，当17x =时，14174125)8(17f -+==，141886(181)125f -+==，()()1817f f <， 故()x f x km n =+更合理，此时1425()x f x -=+，11x ≥；由题知前10个月符合一次函数模型，设() 1.5f x x b =+，将()1,1代入，解得0.5b =，那么() 1.50.5f x x =+，110x ≤≤，故 141.50.5,110()25,11x x x f x x N x +--≤≤⎧=∈⎨+≥⎩，〔2〕设前10个月本钱〔万元〕与月份的关系为()2h x nx =，将()4,0.8代入解得120n =，那么()220x h x =，前10个月利润可表示为()()()()()22121.50.530442020x w x f x h x x x =-=--=--+，当10x =时取到最大值，()max 24w x =；当11x ≥时，1425()x f x -=+单调递减，第11个月利润有最大值， ()max =132323w x ⨯-=；故月利润最高记录为24万元，出如今第10个月.【点睛】此题考察函数拟合模型的实际应用，分段函数的求法，实际问题中的利润最大值问题，运算才能，属于中档题20.{}n a 是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，4224S S =+，219b =，249T =. 〔1〕求公差d 的值；〔2〕假设对任意的*n N ∈，都有7n S S ≥成立，求1a 的取值范围； 〔3〕假设11a =，判别2202012n nS T -=-是否有解，并说明理由.【答案】〔1〕1d =；〔2〕[7,6]--；〔3〕无解，理由见解析 【解析】【分析】〔1〕由4224S S =+化简即可求得；〔2〕由〔1〕0d >，7n S S ≥可知，780,0a a ≤≥，再解1a 范围即可；〔3〕由219b =，249T =可求得11313b q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，进而求得11=123n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，同时11a =可求得()12n n n S +=，设2()12n n f n S T =--，可证2()12n nf n S T =--单调递增，通过对n 赋值可判断不存在n 值，使2202012n nS T -=-有解【详解】〔1〕()4211432442242S S a d a d ⨯=+⇔+=++，化简得1d = 〔2〕10d =>，7n S S ≥，780,0a a ∴≤≥，即11160[7,6]70a d a a d +≤⎧⇒∈--⎨+≥⎩ 〔3〕等比数列满足219b =，249T =，即1111949b q b b q ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得11313b q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1113311=112313nn n T ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎛⎫⎝⎭∴=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11a =，那么()()()1111222n n n d n n n n S na n --+=+=+= 2223121112123nnnT ==⋅-⎡⎤⎛⎫-⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，假设2()12n n f n S T =--，即()1()232n n n f n +=⋅- ()()112(1)232n n n f n ++++=⋅-，()()()1121(1)()2323431022n n n n n n n f n f n n ++++⎡⎤+-=⋅--⋅-=⋅-->⎢⎥⎣⎦，n N +∈，那么()1()232n n n f n +=⋅-为单调递增函数，()6671(6)23=14372f ⨯+=⨯-， ()7771(7)23=43462f ⨯+=⨯-，即(6)2020(7)f f <<，∴不存在正整数n ，使2202012n nS T -=-有解【点睛】此题考察等差数列、等比数列根本量的求解，前n 项和公式，函数的单调性，逻辑推理才能，属于中档题21.012,,,,n a a a a ⋅⋅⋅为正整数且0121n a a a a >>>⋅⋅⋅>>，将等式123011111(1)(1)(1)(1)2(1)n a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅+-=-记为()*式. 〔1〕求函数1()1f x x=-，[2,)x ∈+∞的值域； 〔2〕试判断当1n =时〔或者2时〕，是否存在0a ，1a 〔或者0a ，1a ，2a 〕使()*式成立，假设存在，写出对应0a ，1a 〔或者0a ，1a ，2a 〕，假设不存在，说明理由； 〔3〕求所有能使()*式成立的i a 〔0i n ≤≤〕所组成的有序实数对012(,,,,)n a a a a ⋅⋅⋅. 【答案】〔1〕1[,1)2；〔2〕不存在，理由见解析；〔3〕(24,4,3,2)和(60,5,3,2).【解析】 【分析】〔1〕先判断1()1f x x=-的单调性，再根据定义域进一步求值域； 〔2〕由题干和〔1〕知，2101a a a <<<时，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，结合()*式判断可确定不存在；〔3〕可通过试值法，先确定32a =，再通过试值法进一步确定23a =，最终锁定101121+66a a =>， 那么136a <<，分别讨论14a =和15a =进一步确定0a 即可 【详解】〔1〕设122x x ≤<，221()1f x x =-，111()1f x x =-，()()21211212110x x f x f x x x x x --=-=> 故1()1f x x=-在[2,)x ∈+∞上单增，()()min 112122f x f ==-=，当x →+∞时，1()11f x x=-→，那么()1[,1)2f x ∈〔2〕由〔1〕知，设()11n nf a a =-为单调递增函数，那么2101a a a <<<时，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，当1n =时，101111a a -<-，所以()*式不成立； 当2n =时，210111(1)(1)(1)a a a -<-<-，210111(1)(1)2(1)a a a -+-<-，()*式也不成立，故当1n =时〔或者2时〕，不存在0a ，1a 〔或者0a ，1a ，2a 〕使()*式成立 〔3〕由()111,12n n f a a ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭得，123011111(1)(1)(1)(1)2(1)22n n a a a a a <-+-+-+⋅⋅⋅+-=-<，即4n <，又由〔2〕可知，1,2n n ==()*式不成立，故要使()*式成立，只能取3n =，当3n =时12301111(1)(1)(1)2(1)a a a a -+-+-=-，即012321111a a a a +=++，由题012,,,,n a a a a ⋅⋅⋅为正整数且0121n a a a a >>>⋅⋅⋅>>， 假设33a =，否那么原式为右边至多为1111345++<，()*式不成立那么32a =，同理23a =，否那么原式右边至多为1111245++<，因此可得012111132a a +=++，化简得101121+66a a =>，所以136a <<，当14a =时0=24a ；当15a =时，0=60a综上所述，012(,,,,)n a a a a ⋅⋅⋅的所有可能解为：()24,4,3,2或者()60,5,3,2【点睛】此题考察函数单调性的证明，放缩法的应用，试值法求解详细数值，对于逻辑推理才能有较高要求，属于难题。
上海市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析
【答案】 (1, 3)
【解析】 【分析】 利用直线的法向量的意义即可得Байду номын сангаас． 【详解】由直线方程 x＝3y+1，可得斜率 k 1 ．
3 ∴直线的法向量可以取（1，﹣3）． 故答案为：（1，﹣3）． 【点睛】本题考查了直线的法向量的求法，属于基础题． 2.函数 y log2 (x 3) 的反函数为________. 【答案】 f 1(x) 2x 3 【解析】 【分析】 利用反函数定义直接求解即可． 【详解】∵ y log2 (x 3) ∴ x 3 2y ，即 x 2y 3 ∴函数 y log2 (x 3) 的反函数为 f 1(x) 2x 3 故答案为： f 1(x) 2x 3 【点睛】本题考查了反函数的求法，考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
3.已知 (1 ax)7 的展开式中，含 x3 项的系数等于 280，则实数 a ________.
【答案】2 【解析】 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 3，求得 r 的值，即可求得展开式中的 含 x3 项的系数，再根据含 x3 项的系数等于 280，求得实数 a 的值．
x
x
∴a4
故答案 为： (, 4]
【点睛】本题考查二次不等式在闭区间上恒成立问题，考查参变分离及均值不等式，属于常 考题型. 8.袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的 概率为________.
-4-
4
【答案】
7
【解析】
【分析】
基 本 事 件 总 数 n C94 126 ， 其 中 三 种 颜 色 的 球 都 有 包 含 的 基 本 事 件 个 数
2022-2023年上海市七宝中学高三上学期期中数学试卷及答案
2022-2023 年七宝中学高三上期中一、填空题1.函数()3cos 21f x x =+最小值为_______________.2.函数()f x =_______________. 3.若{}222A y y x x ==−+，且a A ∈，则12a +的取值范围是______. 4.3位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加志愿者服务活动，则周六没有同学参加活动的概率为________5.若52ax ⎛+ ⎝的展开式中的常数项为52−，则实数a 的值为________.6.函数lgsin y x =的单调递增区间是___________7.函数()cos f x x ω=()0,Z x ω>∈的值域中仅有5个不同的值，则ω的最小值为 __．8.设()cos 2cx f x ax bx =++（x R ∈），,,a b c R ∈且为常数，若存在一公差大于0的等差数列{}n x （*n ∈N ），使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组a 、b 、c 的值__________．（答案不唯一，一组即可）9.已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）两点均在双曲线Γ：2221x y a−=（a ＞0）的右支上，若1212x x y y >恒成立，则实数a 的取值范围为 __．10.已知函数f (x )=-x 2+x +m +2，若关于x 的不等式f (x )≥|x |的解集中有且仅有1个整数，则实数m 的取值范围为____________ .11.已知数列{}n a 满足2*11()n n n a a a n N +=−+∈，设12111n n S a a a =++，且10910231a S a −=−，则数列{}n a 的首项1a 的值为______．12.若对任意(1,)x ∈+∞，不等式1(ln 1)ln x x a x e x a−+−>恒成立，则a 范围__________． 二、选择题13.已知数据1x ,2x ,3x ，n x ⋅⋅⋅是上海普通职n (3n ≥，n N *∈)个人年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确（ ）A .年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B .年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C .年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D .年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差可能不变14.将函数sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像上的各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿着x 轴向右平移6π个单位，得到的函数的一个对称中心可以是（） A .,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭B .,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭C . 5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭D .,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭15.双曲线2213x y −=绕坐标原点O 逆时针旋转α后可以成为函数()f x 的图像,则α的角度可以为（ ）A .30°B .45°C .60°D .90°16.定义域为R 的函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()f x x =，且对任意x ∈R 只有()()2f x f x +=−，()()()2025,0log ,0f x x g x x x ⎧≥⎪=⎨−−<⎪⎩，则方程()()0g x g x −−=实数根的个数为（）A .2024B .2025C .2026D .2027三、解答题17.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的封闭图形.（1）设1BC =，2AB =，求这个几何体的表面积；（2）设G 是弧DF 的中点，设P 是弧CE 上的一点，且AP BE ⊥.求异面直线AG 与BP 所成角的大小.18. 了解某城中村居民收入情况，小明利用周末时间对该地在岗居民月收入进行了抽样调查，并将调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据直方图估算：（1）在该地随机调查一位在岗居民，该居民收入在区间[)1000,1500内的概率；（2）该地区在岗居民月收入的平均数和中位数；19.设函数()()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<，该函数图像上相邻两个最高点之间的距离为4π，且()f x 为偶函数.（1）求ω和ϕ的值；（2）在ABC 中，角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，若()2cos cos −=a c B b C ，求()()22fA f C +的取值范围. 20.从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14. (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为n a 万元，旅游业总收入为n b 万元，写出,n na b 表达式；(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？21.令()()(){}()()()()()()(),max ,R ,f x f x g x H x f x g x x g x f x g x ⎧≥⎪==∈⎨<⎪⎩. （1）若()212f x x =−，()22g x x x =−，试写出()H x 的解析式并求()H x 的最小值； （2）已知()f x 是严格增函数，()g x 是周期函数，()h x 是严格减函数，x ∈R ，求证：()()(){}max ,G x H x h x =是严格增函数的充要条件：对任意的x ∈R ，()()f x g x ≥，()()f x h x ≥.参考答案一、填空题1.2−2. (]3,1−3. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦4. 185. 12−6. π2π,2π2k k k Z7. 29π或29π8.1,0,1a b c ===9. [)1,+∞10. [)2,1−−11.3212.[)1,+∞二、选择题13.B 14. D 15. C 16. D三、解答题17.（1）42π+（2）6π18.（1）0.1（2）平均数为2400，中位数为240019.（1）1,22πωϕ== （2）5,32⎛⎤ ⎥⎝⎦20.（1）4540001,1600154n n n n a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯−=⨯−⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）至少经过5年21.（1）()22212,3112,132,1x x x H x x x x x x ⎧−<−⎪⎪⎪=−−≤≤⎨⎪−>⎪⎪⎩，()H x 的最小值为1−（2）证明略。
2020-2021学年上海上海高三上数学期中试卷
2020-2021学年上海上海高三上数学期中试卷一、选择题1. 已知a，b都是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解．【解答】解：a，b都是实数，a>b，不能推出a2>b2，如−2>−3，但(−2)2<(−3)2，充分性不成立；a2>b2，不能推出a>b，如(−3)2>(−2)2，但−3<−2，必要性不成立．所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也又不必要条件．故选D．2. 等差数列{a n}中，已知a1=13，a2+a5=4，a n=33，则n的值为（）A.48B.49C.50D.51【答案】C【考点】等差数列的通项公式【解析】先由等差数列的通项公式和已知条件解出d，进而写出a n的表达式，然后令a n=33，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，∵a1=13，a2+a5=4，∴13+d+13+4d=4，即23+5d=4，解得d=23．∴等差数列{a n}的通项公式为a n=13+23(n−1)=23n−13，令a n=33，即23n−13=33，解得n=50．故选C．3. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A.y=tan xB.y=3xC.y=x 13 D.y=lg|x|【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：A，y=tan x是奇函数，在(kπ−12π,kπ+12π)，k∈Z上单调递增，但是在整个定义域内不是单调递增函数，故A错误；B，f(−x)=3−x=13x≠−f(x)，不是奇函数，故B错误；C，f(−x)=(−x)13=−x13=−f(x)，是奇函数，根据幂函数的性质可知，函数y=x13在R上单调递增，故C正确；D，f(−x)=lg|−x|=lg|x|=f(x)，所以y=lg|x|是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选C.4. 如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点、角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f(x)，则y=f(x)在区间[0,π]上的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】B【考点】函数的图象与图象变化【解析】此题暂无解析【解答】解：当0≤x≤π2时，OM=1⋅cos x=cos x，则点M到直线OP的距离f(x)=OM⋅sin x=cos x sin x=12sin2x；当π2<x≤π时，OM=1⋅cos(π−x)=−cos x，则点M到直线OP的距离f(x)=OM⋅sin x=−cos x sin x=−12sin2x；综上所述，y=f(x)在[0，π]上的解析式为：f(x)=|12sin2x|，由正弦函数的性质可得：f(x)max=12.故选B.二、填空题lim n→∞nn+1=________.【答案】1【考点】极限及其运算【解析】直接利用极限的运算求解即可. 【解答】解：limn→∞n n+1=limn→∞n+1−1 n+1=limn→∞(1−1n+1)=lim n→∞1−lim n→∞1n +1=1.故答案为：1.若函数f (x )=sin ax (a >0)的最小正周期为4π，则实数a =________.【答案】12【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】直接利用公式求解即可.【解答】解：∵ 函数f (x )=sin ax (a >0)的最小正周期为4π，∴ T =2πa=4π， 解得a =12.故答案为：12.已知f(x)=√x −3+4(x ≥3)，则f −1(5)=________．【答案】4【考点】反函数【解析】因为反函数的自变量是原函数的函数值，所以令f(x)=√x −3+4=5可得x =4，进而得到答案．【解答】解：因为反函数的自变量是原函数的函数值，所以令f(x)=√x −3+4=5可得x =4，所以f −1(5)=4．故答案为：4．方程lg (x −3)+lg x =1的解x =________．【答案】5【考点】对数的运算性质【解析】在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一元二次方程得答案．【解答】解：由lg (x −3)+lg x =1，即lg x(x −3)=1得：{x −3>0，x >0，lg x(x −3)=1，即{x >3，x(x −3)=10，解得：x =5.故答案为：5．已知cos α=−35，α∈(π2,π)，则sin 2α=________．【答案】−2425【考点】二倍角的正弦公式同角三角函数间的基本关系 【解析】直接利用同角三角函数的基本关系式求解正弦函数值，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：由题可得cos α=−35，α∈(π2,π)，所以sin α=√1−cos 2α=√1−(−35)2=45，所以sin 2α=2sin αcos α=2×45×(−35)=−2425．故答案为：−2425．方程sin x =cos x ，x 在[0, 2π)上的解集为________．【答案】{π4，5π4} 【考点】同角三角函数间的基本关系函数的求值【解析】方程sin x =cos x ，即 tan x =1，当 x 在[0, 2π)上时，x =π4，或 x =5π4．【解答】解：方程sin x =cos x ，即 tan x =1，当x 在[0, 2π)上时，x =π4或 x =5π4， 故答案为：{π4，5π4}．若正项等比数列{a n}满足：a3+a5=4，则a4的最大值为________．【答案】2【考点】等比中项基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用数列{a n}是各项均为正数的等比数列，可得a3a5=a42，再利用基本不等式，即可求得a4的最大值．【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a3a5=a42.∵等比数列{a n}各项均为正数，∴4=a3+a5≥2√a3a5=2√a42=2a4，当且仅当a3=a5=2时，取等号，∴a4≤2，a4的最大值为2．故答案为：2．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，在区间(0,+∞)上单调递减，且f(2)=0，则不等式f(x)<0的解集为________.【答案】(−2,0)∪(2,+∞)【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质【解析】通过奇函数的f(0)=0和f(2)=0确定函数的单调性，进而画出函数的图像，根据图像直接写出f(x)<0的解.【解答】解：f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)=0，且f(2)=0，所以f(−2)=−f(2)=0，f(x)在(0,+∞)上单调递减，则f(x)在(−∞,0)上单调递减，可得函数图象草图如图，则不等式f(x)<0的解集为(−2,0)∪(2,+∞).故答案为：(−2,0)∪(2,+∞).函数f(x)=|x−2|−ln x在定义域内的零点的个数为________．【答案】2【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x−2|，y2=ln x(x>0)的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数．【解答】解：由题意，函数f(x)的定义域为(0, +∞)，由函数零点的定义，f(x)在(0, +∞)内的零点即是方程|x−2|−ln x=0的根．令y1=|x−2|，y2=ln x(x>0)，在一个坐标系中画出两个函数的图象如图，由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数f(x)有两个零点．故答案为：2.已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A−sin2C)=(√2a−b)sin B（其中a，b分别是∠A，∠B的对边），那么∠C的大小为________．【答案】45∘【考点】正弦定理余弦定理【解析】先利用正弦定理，将边转化为角，再利用三角形的内角和及和角的三角函数，变形展开，化简即可得到结论．【解答】解：∵△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A−sin2C)=(√2a−b)sin B，由正弦定理可得，a sin A −c sin C =(√2a −b)sin B ，a 2−c 2=√2ab −b 2，∴ cos C =a 2+b 2−c 22ab =√22， ∴ ∠C =45∘.故答案为：45∘．把数列{a n }的所有项按照从小到大的原则写成如图所示的数表：其中，a n =2n −1，且第k 行有2k−1个数，第t 行的第s 个数（从左数起）记为A(t, s)，则A(8, 18)=________．【答案】289【考点】等比数列的前n 项和【解析】跟据第k 行有2k−1个数知每行数的个数成等比数列，要求A(t, s)，先求A(t, 1)，就必须求出前t −1行一共出现了多少个数，根据等比数列求和公式可求，而由a n =2n −1可知，每一行数的分母成等差数列，可求A(t, s)，令t =8，s =18，可求A(8, 18)【解答】解：由第k 行有2k−1个数，知每一行数的个数构成等比数列，首项是1，公比是2， ∴ 前k −1行共有1−2k−11−2=2k−1−1个数，∴ 第k 行第一个数是A(k, 1)=2×2k−1−1=2k −1，∴ A(k, s)=2k −1+2(s −1)，∴ A(8, 18)=28−1+2(18−1)=289.故答案为：289．设函数y =f (x )的定义域为D ，如果存在非零常数T ，对于任意x ∈R ，都有f (x +T )=T ⋅f (x )，则称函数y =f (x )是“似周期函数”，非零常数T 为函数y =f (x )的“似周期”，现有下面四个关于“似周期函数”的命题：(1)如果“似周期函数”y =f (x )的“似周期”为−1，那么它是周期为2的周期函数；(2)函数f (x )=x 是“似周期函数”；(3)函数f (x )=(12)x是“似周期函数”；(4)如果函数f (x )=cos ωx 是“似周期函数”，那么“ω=kπ， k ∈Z .其中真命题的序号是________.【答案】(1)，(3)，(4)【考点】命题的真假判断与应用函数的周期性函数新定义问题【解析】对于①，如果“似周期函数y=f(x)的“似周期”为−1，则f(x−1)=−f(x)，即f(x−1)=−f(x)=−(f(x+1))=f(x+1)，至此可以判断其正误；接下来利用“似周期函数”的定义分析判断其它小题的正误，问题即可解答．【解答】解：对于(1)：根据题意有f(x−1)=−f(x)，令x=x+1可得有f(x)=−f(x+1)，两式联立得f(x−1)=f(x+1)，因此f(x)是周期为2的周期函数，故此命题正确；对于(2)：假设f(x)=x是似周期函数，则对任意x∈D，存在T满足x+T=Tx，令x=1，显然此式不成立，故此命题错误；对于(3)：对任意x∈D，存在T满足2−(x+T)=T⋅2−x，化简得2−T=T，利用零点存在性定理或者画出函数y=2−x与y=x观察交点个数，显然此方程有唯一解，故此命题正确；对于(4)：如果函数f(x)=cosωx是“似周期函数”，则有cos[ω(x+T)]=T cosωx对任意x∈D恒成立，观察左右两个函数的值域，故必有T=±1即cos[ω(x+T)]=cos(ωx+ωT)=±cosωx，两边平方得cos2(ωx+ωT)=cos2ωx，即cos(2ωx+2ωT)+12=cos2ω+12，因此cos(2ωx+2ωT)=cos2ωx，根据诱导公式，有2ωT=2kπ，结合T=±1，所以ω=kπ(k∈Z)，故此命题正确.故答案为：(1)，(3)，(4).三、解答题已知集合A是函数y=√2−x2+x+2−1的定义域，集合B={x|x−ax−1<0，x∈R}．(1)若a=3，求A∩B；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)由二次根式有意义的条件可知集合A满足2−x2+x+2−1≥0，即−x2+x+2≥0，即(x−2)(x+1)≤0，解得−1≤x≤2，所以集合A=[−1,2]；当a=3时，由集合B可得，x−3x−1<0，即(x−3)(x−1)<0，解得1<x<3，所以集合B=(1,3).A∩B=(1,2].(2)x−a x−1<0，即(x −a)(x −1)<0，当a <1时，B =(a,1) ；当a =1时，B =⌀；当a >1时，B =(1,a ).因为B ⊆A ，所以{a <1，a ≥−1或a =1或{a >1，a ≤2，所以−1≤a <1或a =1或1<a ≤2，所以−1≤a ≤2.【考点】函数的定义域及其求法交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由二次根式有意义的条件可知集合A 满足2−x 2+x+2−1≥0，即−x 2+x +2≥0，即(x −2)(x +1)≤0，解得−1≤x ≤2，所以集合A =[−1,2]；当a =3时，由集合B 可得，x−3x−1<0，即(x −3)(x −1)<0，解得1<x <3，所以集合B =(1,3).A ∩B =(1,2].(2)x−a x−1<0，即(x −a)(x −1)<0，当a <1时，B =(a,1) ；当a =1时，B =⌀；当a >1时，B =(1,a ).因为B ⊆A ，所以{a <1，a ≥−1或a =1或{a >1，a ≤2，所以−1≤a <1或a =1或1<a ≤2，所以−1≤a ≤2.设函数f (x )=4x −1(x ≥0)的反函数为f −1(x )，g (x )=log 4(3x +1).(1)求f −1(x )；(2)设函数ℎ(x )=g (x )−f −1(x )，判断函数ℎ(x )在区间(0,+∞)上的单调性并用定义证明．【答案】解：(1)因为x≥0，所以y=f(x)=4x−1≥0，所以4x=y+1，所以x=log4(y+1)，所以f−1(x)=log4(x+1)(x≥0)．(2)ℎ(x)=log4(3x+1)−log4(x+1)=log4(3x+1x+1)在区间(0,+∞)上单调递增.证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，ℎ(x1)=log43x1+1x1+1+，ℎ(x2)=log4(3x2+1x2+1)，则3x1+1x1+1−3x2+1x2+1=3x1x2+3x1+x2+1−3x1x2−3x2−x1−1(x1+1)(x2+1)=2(x1−x2)(x1+1)(x2+1)，因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+1>0，x2+1>0所以0<3x1+1x1+1<3x2+1x2+1，所以log4(3x1+1x1+1)<log4(3x2+1x2+1)，即ℎ(x1)<ℎ(x2)．所以函数ℎ(x)在区间(0,+∞)上单调递增．【考点】反函数复合函数的单调性函数单调性的判断与证明【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为x≥0，所以y=f(x)=4x−1≥0，所以4x=y+1，所以x=log4(y+1)，所以f−1(x)=log4(x+1)(x≥0)．(2)ℎ(x)=log4(3x+1)−log4(x+1)=log4(3x+1x+1)在区间(0,+∞)上单调递增.证明：任取x1，x2∈(0,+∞)，且x1<x2，ℎ(x1)=log43x1+1x1+1+，ℎ(x2)=log4(3x2+1x2+1)，则3x1+1x1+1−3x2+1x2+1=3x1x2+3x1+x2+1−3x1x2−3x2−x1−1(x1+1)(x2+1)=2(x1−x2)(x1+1)(x2+1)，因为0<x1<x2，所以x1−x2<0，x1+1>0，x2+1>0所以0<3x1+1x1+1<3x2+1x2+1，所以log4(3x1+1x1+1)<log4(3x2+1x2+1)，即ℎ(x1)<ℎ(x2)．所以函数ℎ(x)在区间(0,+∞)上单调递增．如图，现在要在一块半径为1米，圆心角为π3的扇形纸板AOB上剪出一个矩形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP=θ，矩形MNPQ的面积为S．(1)求S关于θ的函数关系式；(2)求S的最大值及相应θ的值．【答案】解：(1)由题可得PN=OP⋅sinθ=sinθ，tan∠AOB=tanπ3=√3，MN=ON−OM=OP⋅cosθ−QM tan∠AOB=cosθ−√33sinθ，所以S=sinθ(cosθ−√33sinθ)(0<θ<π3).(2)S=sinθ(cosθ−√33sinθ)=sinθcosθ−√33sin2θ=12sin2θ−√3(1−cos2θ)6=12sin2θ+√36cos2θ−√36=√33(√32sin2θ+12cos2θ)−√36=√33sin(2θ+π6)−√36，因为0<θ<π3，所以π6<2θ+π6<5π6，当2θ+π6=π2即θ=π6时S取得最大值，S max=√36.答：当θ=π6时，矩形MNPQ的面积最大值为√36.【考点】在实际问题中建立三角函数模型任意角的三角函数二倍角的余弦公式二倍角的正弦公式两角和与差的正弦公式三角函数的最值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题可得PN=OP⋅sinθ=sinθ，tan∠AOB=tanπ3=√3，MN=ON−OM=OP⋅cosθ−QM tan∠AOB=cosθ−√33sinθ，所以S=sinθ(cosθ−√33sinθ)(0<θ<π3).(2)S=sinθ(cosθ−√33sinθ)=sinθcosθ−√33sin2θ=1sin2θ−√3(1−cos2θ)=12sin2θ+√36cos2θ−√36=√33(√32sin2θ+12cos2θ)−√36=√33sin(2θ+π6)−√36，因为0<θ<π3，所以π6<2θ+π6<5π6，当2θ+π6=π2即θ=π6时S 取得最大值， S max =√36. 答：当θ=π6时，矩形MNPQ 的面积最大值为√36.已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n −a n (n ∈N ∗). (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值；(2)设b n =a n −1，求证：数列{b n }是等比数列；(3)设c n =b n ⋅(n −n 2)(n ∈N ∗)，如果对任意n ∈N ∗，都有c n <t5，求正整数t 的最小值． 【答案】(1)解：当n =1时，可得S 1=a 1=1−a 1，整理得2a 1=1，解得a 1=12； 当n =2时，可得S 2=12+a 2=2−a 2，整理得2a 2=32，解得a 2=34； 当n =3时，可得S 3=12+34+a 3=3−a 3，整理得2a 3=74，解得a 3=78；当n =4时，可得S 4=12+34+78+a 4=4−a 4，整理得2a 4=158，解得a 4=1516. 所以a 1=12，a 2=34，a 3=78，a 4=1516．(2)因为S n =n −a n ，所以n ≥2时， S n−1=(n −1)−a n−1，所以n ≥2时， a n =S n −S n−1=1−a n +a n−1， 得a n =12a n−1+12，所以n ≥2时， a n −1=12a n−1−12=12(a n−1−1)，即n ≥2时， b n =12b n−1 ， b 1=a 1−1=−12≠0，所以数列{b n }是等比数列，且首项为−12，公比为12． (3)由(2)可得， b n =−12n ，所以 C n =b n ⋅(n −n 2)=n 2−n 2n，所以C n+1−C n=(n +1)2−(n +1)2n+1−n 2−n 2n=n(3−n)2n+1，所以C 1<C 2<C 3=C 4>C 5>⋯ 所以C n 有最大值C 3=C 4=34． 对任意n ∈N ∗，都有C n <t 5，当且仅当34<t 5，即t >154时，正整数t 的最小值是4．【考点】数列递推式数列与不等式的综合 【解析】 【解答】(1)解：当n =1时，可得S 1=a 1=1−a 1，整理得2a 1=1，解得a 1=12； 当n =2时，可得S 2=12+a 2=2−a 2，整理得2a 2=32，解得a 2=34； 当n =3时，可得S 3=12+34+a 3=3−a 3，整理得2a 3=74，解得a 3=78；当n =4时，可得S 4=12+34+78+a 4=4−a 4，整理得2a 4=158，解得a 4=1516. 所以a 1=12，a 2=34，a 3=78，a 4=1516．(2)因为S n =n −a n ，所以n ≥2时， S n−1=(n −1)−a n−1，所以n ≥2时， a n =S n −S n−1=1−a n +a n−1， 得a n =12a n−1+12，所以n ≥2时， a n −1=12a n−1−12=12(a n−1−1)， 即n ≥2时， b n =12b n−1 ， b 1=a 1−1=−12≠0，所以数列{b n }是等比数列，且首项为−12，公比为12．(3)由(2)可得，b n=−12n，所以C n=b n⋅(n−n2)=n2−n2n，所以C n+1−C n=(n+1)2−(n+1)2n+1−n2−n2n=n(3−n)2n+1，所以C1<C2<C3=C4>C5>⋯所以C n有最大值C3=C4=34．对任意n∈N∗，都有C n<t5，当且仅当34<t5，即t>154时，正整数t的最小值是4．已知函数f(x)=x|x−a|的定义域为D，其中a为常数．(1)若D=R，且f(x)是奇函数，求a的值；(2)若a≤−1，D=[−1,0]，函数f(x)的最小值是g(a)，求g(a)的最大值；(3)若a>0，在[0,a]上存在n个点x i(i=1，2，⋯，n，n≥3），满足x1=0，x n=a，x1<x2<⋯<x n，使得|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋯+|f(x n−1)−f(x n)|= 8，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(x)+f(−x)=0对任意x∈R恒成立，所以x|x−a|=−(−x)|−x−a|=x|x+a|，即|x2−ax|=|x2+ax|即ax=0对任意x∈R恒成立，所以a=0.(2)f(x)=x|x−a|={(x−a2)2−a24，x≥a，−(x−a2)2+a24，x<a，因为a≤−1，所以[−1,0]⊆[a,+∞），所以f(x)=(x−a2)2−a24，x∈[−1,0]．①当−2≤a≤−1时，−1≤a2≤−12，f(x)在[−1,a2]上单调递减，在[a2,0]上单调递增，[f(x)]min=−a24．②当a<−2时，a2<−1，f(x)在[−1,0]上单调递增，[f(x)]min=f(−1)=a+1．综上所述，g(a)={−a24，−2≤a≤−1，a+1，a<−2，若−2≤a≤−1，则−1≤g(a)≤−14；若a<−2，则g(a)<−1，所以当a=−1时，[g(a)]max=−14．(3)因为a>0，且f(x)在[0,a2]上单调递增，在[a2,a]上单调递减，所以f(x)max=f(a2)，f(x)min=f(0)，而|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋯+|f(x n−1)−f(x n)|≤2[f(x)max−f(x)min]，要使满足条件的点存在，必须且只需2[f(a2)−f(0)]≥8，即a 22≥8，解得a≥4．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明函数的最值及其几何意义函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为f(x)是奇函数，所以f(x)+f(−x)=0对任意x∈R恒成立，所以x|x−a|=−(−x)|−x−a|=x|x+a|，即|x2−ax|=|x2+ax|即ax=0对任意x∈R恒成立，所以a=0.(2)f(x)=x|x−a|={(x−a2)2−a24，x≥a，−(x−a2)2+a24，x<a，因为a≤−1，所以[−1,0]⊆[a,+∞），所以f(x)=(x−a2)2−a24，x∈[−1,0]．①当−2≤a≤−1时，−1≤a2≤−12，f(x)在[−1,a2]上单调递减，在[a2,0]上单调递增，[f(x)]min=−a24．②当a<−2时，a2<−1，f(x)在[−1,0]上单调递增，[f(x)]min=f(−1)=a+1．综上所述，g(a)={−a24，−2≤a≤−1，a+1，a<−2，若−2≤a≤−1，则−1≤g(a)≤−14；若a<−2，则g(a)<−1，所以当a=−1时，[g(a)]max=−14．(3)因为a>0，且f(x)在[0,a2]上单调递增，在[a2,a]上单调递减，所以f(x)max=f(a2)，f(x)min=f(0)，而|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+⋯+|f(x n−1)−f(x n)|≤2[f(x)max−f(x)min]，要使满足条件的点存在，必须且只需2[f(a2)−f(0)]≥8，即a 22≥8，解得a≥4．。