2021届全国学海大联考新高考模拟试卷(一)理科数学试题

2021届全国学海大联考新高考模拟试卷（一）数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ι卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}12x A y y -==，}4{0|2x B x x -=≤+，则A B =（ ） A. ()0,4 B. ∅C. ()2,-+∞D. [)2,-+∞【答案】C 【解析】 【分析】根据指数型函数的值域化简集合A ，求解不等式化简集合B ，按并集的定义即可求解. 【详解】{}12(0,)x A y y -===+∞，]402{|}(2,4x B x x ≤=+--=， (2,)A B ∴=-+∞.故选：C.【点睛】本题考查集合间的运算，掌握指数函数性质是解题的关键，属于基础题. 2.若复数z 满足211z ii i⋅=++（i 为虚数单位），则在复平面内复数z 对应的点在（ ） A .第四象限 B. 第三象限C. 第二象限D. 第一象限【答案】D 【解析】 【分析】根据复数乘法、除法的运算法则，求出z ，得到z 对应的点的坐标，即可得出结论. 【详解】(12)(1)1321,31z i i i ii z i i i i⋅++-+=+∴===++， 复数z 在复平面内对应的点坐标为(3,1)，在第一象限. 故选：D .【点睛】本题考查复数的代数运算以及几何意义，属于基础题. 3.已知条件1:p k =，条件:q 直线1y kx =+与圆2212x y +=相切，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线1y kx =+与圆2212x y +=相切时k 的值，再由充分必要条件的定义判定，即可得出结论. 【详解】设圆心(0,0)O 到直线1y kx =+距离为d ， 由直线1y kx =+与圆2212x y +=相切， 则d ==，解得1k =±， ∴p 成立则q 成立，q 成立p 不一定成立，所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：A .【点睛】本题考查充分不必要条件的判定以及直线与圆的位置关系，属于基础题.4.若31log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，313bb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133c c -=，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. c a b <<B. c b a <<C. a c b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据已知可得,,a b c 分别为1()3xy =与三个函数1333log ,,y x y x y x ===交点的横坐标，做出函数图象，即可求解结论.【详解】做出函数13331(),log ,,3x y y x y x y x ====的图象，根据图象可得，c b a <<. 故选：B.【点睛】本题考查方程的解与函数图象间的关系，熟练掌握基本初等函数性质是解题关键，属于基础题. 5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”这首歌决的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算.”在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为n a ，则3a =（ ） A. 17 B. 29C. 23D. 35【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得{}n a 为等差数列，由9S ，求出5a ，再结合公差，即可得出结论.【详解】依题意{}n a 为等差数列，且3d =-，199559()9207,232a a S a a +===∴=， 35229a a d ∴=-=.故选：B.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前n 项和以及通项的基本量运算，属于基础题.6.函数2()()1x x x e e f x x --=-的图像大致是（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】判断函数奇偶性、走势，利用排除法快速得出答案.【详解】由题意得，22()()()()11x x x x x e e x e e f x f x x x ------===--即()f x 为偶函数，故排除A ；当,()x f x →+∞→+∞，根据图像走势，排除B,D 故选：C【点睛】解答此类问题可从函数奇偶性、特殊点的值、渐近线和走势等多方面入手，利用排除法快速得到答案.7.已知非等向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且3BC AB =，则ABC 为（ ） A. 等腰非等边三角形 B. 直角三角形C. 等边三角形D. 三边均不相等的三角形【答案】A 【解析】 【分析】 由AB AC ABAC+的几何意义结合已知可得AB AC =，即可得出结论.【详解】不妨设||||AB AC AP AB AC =+， 即AP 为BAC ∠角平分线所在直线上的向量， 又AP BC ⊥，AB AC ∴=，又32BC AB AB =≠，所以ABC 为等腰非等边三角形. 故选：A.【点睛】本题考查三角形形状的判断，掌握向量的几何意义是解题的关键，属于中档题 8.在正方体内随机放入n 个点，恰有m 个点落入正方体的内切球内，则π的近似值为（ ） A.2mnB.2m nC.6m nD.6m n【答案】C 【解析】 【分析】根据几何概型来计算π的近似值，先求出两个图形的体积，求出点落在内切球的概率，根据比例得出π的近似值.【详解】设正方体的边长为2，则其内切球的半径为1，正方体与其内切球的体积分别为48,3π， 恰有m 个点落入正方体的内切球概率为mn，根据几何概型体积型概率得46,38m mn nππ=∴=⨯.故选：C .【点睛】本题考查模拟方法估计概率的应用问题，利用体积比表示概率，属于基础题. 9.执行如图所示的程序框图，若输出的数3S =，那么判断框内可以填写的是（ ）A. 6?k ≥B. 6?k ≤C. 7?k ≥D. 7?k ≤【答案】C 【解析】 【分析】由程序框图，写出运行结果，根据程序输出结果是3S =，可得判断框内应填入的条件. 【详解】初始0,2,1S m k ===，第一次运行12,,22S m k ===不输出， 第二次运行5,1,32S m k ==-=不输出， 第三次运行3,2,42S m k ===不输出，第四次运行71,,522S m k ===不输出，第五次运行4,1,6S m k ==-=不输出，第六次运行3,2,7S m k ===，停止运行输出3S =， 所以判断框要填7?k ≥. 故选：C.【点睛】本题考查补全循环结构程序框图，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题. 10.已知函数()sin cos f x x x =⋅，给出下列四个说法：①2015364f π⎛⎫=⎪⎝⎭，②函数()f x 的一个周期为2π；③()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；④()f x 的图象关于点（π，0）中心对称；其中正确说法的序号是（ ） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ②③【答案】D 【解析】 【分析】根据函数()f x 的解析式，结合特殊角的三角函数值、函数周期定义、正弦型三角函数的单调性、以及对称中心的定义，逐项判断.【详解】2015551()(335)()6662f f f πππππ=+=+==(2)cos(2)|sin(2)|cos |sin |()f x x x x x f x πππ+=++==，所以②对；313,,()cos sin sin 2,2[,]44222x f x x x x x ππππ⎡⎤∈∴=⋅=∈⎢⎥⎣⎦，此时()f x 单调递减，所以③对；3151(),()42224222f f ππ=-⨯=-=-⨯=-， 35()()44f f ππ≠-，所以④错. 故选：D .【点睛】本题考查三角函数的求值、周期、单调性和对称性的综合应用，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，属于中档题.11.定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≤时，恒有03()()xx f x f '--≥，若()()3g x x f x =，则不等式()()213g x g x >-的解集为（ ）A. 1,15⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,5⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. ()1,1,5⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】考虑用单调性解不等式，求()g x '结合已知，可得()g x 在(,0]-∞上的单调性，再由()g x 的奇偶性得到()g x在R 的单调性，即可求解.【详解】()f x 在R 上是奇函数，()()f x f x ∴-=-， 所以当0x ≤时，恒有()()03xx f x f '+≥， ()()()2323()3[()]03xg x x f x x f x x f x f x '=⨯+⨯'=+'≥， ()g x ∴在(,0]-∞单调递增，()()()()33g x x f x x f x g x -=--==， ()g x ∴是偶函数，()g x ∴在[0,)+∞单调递减，()()213g x g x ∴>-等价于|2||13|x x <-，两边平方得25610x x -+>解得15x <或1x >， 所以不等式的解集为1(,)(1,)5-∞+∞.故选：D.【点睛】本题考查不等式的求解，利用函数导数、单调性、奇偶性是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学计算，属于中档题.12.如图所示是一款热卖的小方凳，其正、侧视图如图所示，如果凳脚是由底面为正方形的直棱柱经过切割后得到，当正方形边长为2cm 时，则切面的面积为（ ）A.2415cm B.2163cm C.2102cm D.283cm 【答案】A 【解析】 【分析】设直棱柱的底面为ABCD ，切面为APFM ，由对称性得BP DM =，连PM ，可得PM BD =， 根据面面平行的性质定理，可得截面APFM 为菱形，过P 点做PE CF ⊥于E ，可证PB EF CE ==，根据已知60NPF ∠=︒，可求出CF ，进而求出AF 即可.【详解】设直棱柱的底面为ABCD ，切面为APFM ，根据对称性BP DM =，AP AM ∴=，在直棱柱中，平面ABP 平面CDMF ，平面ABP 切面APFM AP =， 平面CDMF 切面APFM FM =，APFM ∴，同理PFMA ，切面APFM 为菱形，连,,AF PM BD ，则22PM BD ==，过点P 做PE CF ⊥于E ，则BP CE =，2PE AB ==，Rt ABP Rt PEF ∴≅△△，,2BP EF CF EF ∴=∴=，60,30NPF FPE ∠=︒∴∠=︒，在Rt PEF △中，23tan 303EF PE =︒=， 43,3CF CF AC ∴=⊥， 221623083AF CF AC ∴=+=+=， 所以切面APFM 面积为21123041522()22AF PM cm ⨯⨯=⨯⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查实际应用问题，考查正四棱柱的结构特征以及切面的面积，利用线面关系确定切面的形状特征是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理能力，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在()7121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为________. 【答案】85- 【解析】 【分析】求出()721x -展开式中的常数项和2x 项分别与1x x ⎛⎫+⎪⎝⎭中的1,x x 相乘即可. 【详解】()721x -展开式通项为777177(2)(1)(1)2k k k k k k kk T C x C x ---+=-=-⨯0,1,27k =，所以常数项为1-，含2x 的项为52227284C x x -⨯=-，所以()7121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为85-. 故答案为：85-【点睛】本题考查二项展开式定理，掌握二项展开式通项是解题的关键，属于基础题. 14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若11a =，121n n a S +=+()n N *∈，则3456a a a a +++=__________.【答案】360 【解析】 【分析】根据递推公式，当1n =求出2a ，当2n ≥，求出1,n n a a +关系，即可求解. 【详解】11a =，121n n a S +=+()n N *∈，∴当1n =时，21213a a =+=，当2n ≥时，121n n a S +=+，121n n a S -=+两式相减得，112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-=∴=≥，又213a a =，{}n a ∴是1为首项公比为3的等比数列，13n n a -∴=， 345692781243360a a a a ∴+++=+++=.故答案为：360.【点睛】本题考查数列的前n项和与通项关系，还考查运算求解能力及化归与转化思想，属于基础题.15.若实数, x y满足不等式1520xx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则1yx+的最大值为___________.【答案】2【解析】【分析】做出满足条件的可行域，根据斜率的几何意义，利用图形转化为求可行域内的点与点(1,0)B-连线斜率的最大值.【详解】做出满足1520xx yx y≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩的可行域，如下图阴影部分，1yx+几何意义为可行域内的点与点(1,0)B-连线的斜率，根据图形，当直线为BA时，斜率最大，联立15xx y=⎧⎨+=⎩，解得max(1,4),()21yAx∴=+.故答案为：2.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，运用斜率的几何意义求目标函数的最值，属于基础题.16.若点P是曲线21:16C y x=上的动点，点Q是曲线222:(4)9C x y-+=上的动点，点O为坐标原点，则PQOP的最小值是___________.【答案】8【解析】 【分析】曲线222:(4)9C x y -+=圆心2(4,0)C 是抛物线焦点F ，半径为3，所以||3||PQ PF OP OP -≥，转化为求||3||PF OP -的最小值，设(,)P x y ，利用焦半径公式和抛物线方程将||3||PF OP -表示为x 的函数，化简运用二次函数的最值，即可求解.【详解】抛物线21:16C y x =的焦点为(4,0)F ，曲线222:(4)9C x y -+=圆心(4,0)F ，半径为3，||3,,,||PQ PF P Q F OP OP -∴≥三点共线时等号成立，设(,),0P x y x >，则||3||PF OP -====11t x =+，则01t <<，||3||PF OP -==， 当715t =，即87x =时，||3||PF OP -取得最小值为8，所以87x =时，PQ OP取得最小值为8.【点睛】与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线定义有关，利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简，“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦半径有关问题的重要途径.属于中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题，共60分.17.在三角形ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()22cos 2cos 2Ca abc A -=-. （1）求角A 的大小； （2）若a =2b c -的取值范围.【答案】（1）3A π=；（2）(.【解析】 【分析】（1）利用二倍角余弦公式和正弦定理将条件等式转化为角的关系，再由两角和差公式化简，求出cos A ，即可求解；（2）由,A a 和正弦定理，将,b c 用B 角表示，再化为正弦型函数，结合B 角范围，即可得出结论. 【详解】（1）由()22cos2cos 2Ca abc A -=-，点cos (2)cos a C b c A =-， 由正弦定理得sin cos 2sin cos sin cos A C B A C A =-，sin cos sin cos sin()sin 2sin cos A C C A A C B B A +=+==，10,sin 0,cos 2B B A π<<∴≠=， 0,3A A ππ<<∴=；（2）由正弦定理得2sin sin sin b c aB C A====， 22sin ,2sin 2sin(),033b Bc C B B ππ===+<<，24sin 2sin()3sin 3b c B B B B π-=-+=∴1cos ))226B B B π=-=-， 210,,sin()1366226B B B πππππ<<∴-<-<-<-<，2b c -<∴2b c -的取值范围是(.【点睛】本题考查正弦定理、三角恒等变换解三角形，考查计算求解能力，属于中档题.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，14AC CC ==，2BC =，D 为棱11A C 上的动点.（1）若D 为11A C 的中点，求证：1//BC 平面1ADB ；（2）若平面11A ACC ⊥平面ABC ，且1160AAC ∠=︒是否存在点D ，使二面角11B AD C --的平面角的余弦311A D C D 的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）113A DC D=. 【解析】 【分析】（1）连1A B 交1AB 与E ，连DE ，E 为1A B 中点，结合已知可得1DE BC ，即可证明结论；（2）根据已知可得BC ⊥平面11A ACC ，以C 为坐标原点建立空间直角坐标系，由已知确定111,,,A A B C 坐标，假设满足条件的点D 存在，设111(01)A D AC λλ=≤≤，求出平面1AB D 的法向量坐标，取平面1AC D 一个法向量为(0,0,1)n =，按照空间向量的面面角公式，建立λ的方程，求解即可得出结论. 【详解】（1）连1A B 交1AB 与E ，连DE ， 四边形11AA B B 为平行四边形，E ∴为1A B 中点， 又D 为11A C 的中点，1,DEBC DE ∴⊂平面1ADB ，1BC ⊄平面1ADB ，1//BC ∴平面1ADB ；（2）1,AC CC ∴=平行四边形11AAC C 为菱形，11AC AC ⊥，又平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，,AC BC BC ⊥∴⊥平面11A ACC ，过点C 作1C A 的平行线CP ，即1,,CA CP CB 两两互相垂直，以C 为坐标原点，以1,,CA CP CB 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，111160,4,AAC AC AC ∠=︒∴==，故11(0,0,0),2,0),2,2)C A C B -- 111(23,2,0),(0,4,2)AC AC AB ==--=-， 假设存在点D ，使二面角11B AD C --设111(,2,0),01A D AC λλλ==--≤≤， 11(2),2(1),0)AD AA A D λλ=+=--+，平面1AC D 一个法向量为(0,0,1)n =， 设平面1AB D 的法向量为(,,)m x y z =，100AD m AB m ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即)2(1)0420x y y z λλ⎧--+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x λ=+，则),)yz λλ=-=-，(1,3(1),))m λλλ∴=+--由cos ,4m n <>==， 整理得2249(1)(1),771λλλλ-=+∴-=+或771λλ-=--， 解得4(13λλ=>舍去）或34λ=， 111113,34A D A D AC C D∴=∴=， ∴满足条件的点D 存在，且113A DC D=.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行，以及空间向量二面角公式的应用，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.19.已知圆C ：()22232x y ++=，点()2,0D ，点P 是圆C 上任意一点，线段PD 的垂直平分线交线段CP于点Q .（1）求点Q 的轨迹方程.（2）设点(0,2)A ，,M N 是Q 的轨迹上异于顶点的任意两点，以MN 为直径的圆过点A .求证直线MN 过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）22184x y +=；（2）直线MN过定点2(0,)3-，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得||||42CQ QD +=Q 的轨迹为椭圆，即可求出方程；（2）设直线MN 方程为y kx m =+，与椭圆方程联立，得到,M N 两点横坐标的关系，再由已知可得AM AN ⊥，利用0AM AN ⋅=和,M N 两点横坐标的关系，整理出,m k 关系或求出m 为定值，即可求出结论.【详解】（1）圆C ：()22232x y ++=，得圆心(2,0)C -，半径42r =PD 的垂直平分线交线段CP 于点,Q QP QD ∴=，||||||||||424||QC QD QC QP CP r CD ∴+=+===>=， ∴点Q 的轨迹为椭圆，且焦点在x 轴，22,2a c ∴==，2222,4a b a c ∴==-=，∴点Q 的轨迹方程为22184x y +=；（2）依题意直线MN 斜率存在，设其方程为,2y kx m m =+≠±，联立2228y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得，222(12)4280k x kmx m +++-=， 222222168(4)(21)8(84)0k m m k k m ∴∆=--+=-+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则2121222428,1212km m x x x x k k-+=-=++， 以MN 为直径的圆过点A ，,0AM AN AM AN ∴⊥∴⋅=，12121212(2)(2)(2)(2)AM AN x x y y x x kx m kx m ⋅=+--=++-+-221212(1)(2)()(2)0k x x k m x x m =++-++-=，2222,2(2)(1)4(2)(12)0m m k mk m k ≠∴++-+-+=，整理得2320,3m m +=∴=-，此时>0∆恒成立， 所以直线MN 过定点2(0,)3-.【点睛】本题考查定义法求椭圆轨迹方程、直线与椭圆的位置关系、证明直线过定点等知识，要掌握根与系数关系设而不求方法解决相交弦问题，意在考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20.自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护.以下是湖南省2020年1月23日-31日这9天的新增确诊人数.经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.（1）将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x ，每天新增确诊人数作为变量y ，通过回归分析，得到模型ˆˆˆln yb x a =+用于对疫情进行分析.对上表的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：()()()()99911115,42.2,ln 1.42,384,ln ln 100.869i i i i ii i i x y x x x y y x xy y ======--=--=∑∑∑，()()99221160,ln ln 4.1,ln10 2.3i i i i x x x x==-=-==∑∑.根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到0.1），并依据该模型预测第10天新增确诊人数.（2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为X ，求X k =最有可能（即概率最大）的值是多少. 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v …，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii ni i u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑. 【答案】（1）回归方程为ˆ24.6ln 7.3y x =+，估计第10天新增确诊人数为64人；（2）3k =.【解析】 【分析】（1）由模型ˆˆˆln yb x a =+，根据提供公式，结合数据()()91ln ln 100.86iii x x y y =--=∑，()921ln ln 4.1ii x x =-=∑，求出b ，利用(ln ,)x y 回归方程上求出a ，将10x =代入回归方程，即可估算结论；（2）根据已知可得余下的人员中被感染的人数为X ，服从二项分布(11,0.3)XB ，由()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩，且110,k k N ≤≤∈，即可求出X k =最有可能（即概率最大）的值.【详解】（1）()()()91921ln ln 100.8624.6l ˆˆˆl , 4.1n n ln iii i i b x x y y a xyb x x ==--====+∴-∑∑， 24.6ln 42.224.6 1.427.3a y x =-⨯=-⨯≈，∴回归方程为ˆ24.6ln 7.3yx =+， 当10x =时，ˆ24.6ln107.324.6 2.37.363.8864y=⨯+=⨯+=≈， ∴估计第10天新增确诊人数为64人；（2）设余下11人中被感染的人数为X ，则(11,0.3)XB ，1111()0.30.7kk k P X k C -∴==⋅，要使()P X k =最大，需()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩，111112111111111011110.30.70.30.70.30.70.30.7k k k k k k k k k k k kC C C C -----++-⎧⋅≥⋅∴⎨⋅≥⋅⎩ 即0.30.7!(11)!(1)!(12)!0.70.3!(11)!(1)!(10)!k k k k k k k k ⎧≥⎪---⎪⎨⎪≥⎪-+-⎩，3.60.30.70.70.7 3.30.3k kk k -≥⎧⎨+≥-⎩得2.6 3.6,,3k k N k ≤≤∈∴=，所以X k =最有可能（即概率最大）的值为3k =.【点睛】本题考查回归方程及其应用、二项分布的随机变量概率最大值，考查计算求解能力，属于中档题.21.已知函数()cos xf x ae x =-,2a R x π⎛⎫∈>-⎪⎝⎭. （1）证明：当1a =时，()f x 有最小值，无最大值； （2）若在区间,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上方程()0f x =恰有一个实数根，求α的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）43412{}[,0]{}22e e eπππ--. 【解析】 【分析】（1）当1a =，求()f x '，进而求出单调区间，极小值，即可证明结论； （2）分离参数转化为()cos 2x x a x e ππ=-<<，令)(2)(cos x x g x x e ππ-=<<，求y a =与()g x 只有一个交点时，a 的范围，通过求导求出()g x 在,2ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调区间，作出图象，数形结合即可求解. 【详解】（1）当1a =时，()cos ,()sin xxf x e x f x e x =-'=+， 当(0,),()1sin 0x f x x ∈+∞'>+>恒成立，当(,0)2x π∈-，()f x '单调递增，2()10,(0)102f ef ππ-'-=-<'=>，所以存在的0(,0)2x π∈-，使得0()0f x '=，()f x 在0(,)2x π-单调递减，在0(,)x +∞单调递增，当0x x =时，()f x 取得极小值，也是最小值， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以()f x 有最小值0()f x ，无最大值； （2）方程()cos 0()2xf x ae x x ππ=-=-<<恰有一实根，()2cos x x x a e ππ-⇔<<=恰有一实根， y a ⇔=与)(2)(cos x x g x x e ππ-=<<恰有一个公共点，4(),,2xx g x x e πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭'=∈- ⎪⎝⎭， 令()0,4g x x π'==-或34x π=， 当3(,)(,)244x ππππ∈--时，()0g x '>， 当3(,)44x ππ∈-时，()0g x '<， ()g x ∴在(,)24ππ--上单调递增，在3(,)44ππ-上单调递减，在3(,)4ππ上单调递增，即极大值为4()42g e ππ-=， 极小值为431()()0,()422g g g eeππππ=-==-，做出()g x 在(,)2ππ-上的图象，如下图所示，又y a =与)(2)(cos x x g x x e ππ-=<<恰有一个公共点， a ∴的取值范围是434212{}[,0]{}2e e e ππ--.【点睛】本题考查函数导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、方程的根等知识，注意分离参数在解题中的应用，也考查数形结合思想以及直观想象、逻辑推理和数学计算能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2211222x t y t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩（t 为参数，t R ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=，()02θπ≤≤.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）射线l 的极方程为()0,0θααπρ=≤≤≥，若射线l 与曲线1C ，2C 分别交于异于原点的,A B 两点，且4OA OB =，求α的值.【答案】（1）2cos 2sin ρθθ=；（2）3πα=或23πα=. 【解析】【分析】（1）消去1C 方程中的参数化为普通方程，再由cos ,sin x y ρθρθ==化为极坐标方程；（2）将()0,0θααπρ=≤≤≥代入11,C C 极坐标方程，由已知0ρ≠，利用4A B ρρ=，建立α方程，求解即可.【详解】（1）曲线1C 的参数方程为2211222x t y t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩（t 为参数，t R ∈）， 消去参数t 得曲线1C 的普通方程为212y x =， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入212y x =得222sin cos ρθρθ=， 0ρ∴=或2cos 2sin ρθθ=，2cos 2sin ρθθ=包含0ρ=，1C ∴的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=；（2）射线l 与曲线1C ，2C 分别交于异于原点的,A B 两点，设,A B 的极坐标方程为(,),(,),0,0A B A B B ραραρρ≠≠，则2cos 2sin ,2sin ,(0,)A B ρααρααπ==∈， 依题意22sin cos 0,4,42sin cos A B ααρραα≠=∴=⨯， 又1sin 0,cos ,(0,)2αααπ≠∴=±∈， 3πα∴=或23πα=. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、直角坐标方程与极坐标方程互化，以及极坐标方程的求解，考查数学计算能力，属于中档题.23.若不等式13x m x +++≤的解集非空.（1）求实数m 的取值范围；（2）设m 的最大值为M ，若b a R +∈、，且a b M +=，求2211a b b a +++的最小值. 【答案】（1）[2,4]-；（2）83. 【解析】【分析】（1）只需min 1)3(x m x +++≤，根据绝对值不等式性质求出min (1)x m x +++，即可求解；（2）由（1）得4a b M +==，将所求式子化为221()[(1)(1)]611a b a b b a ++++++，利用基本不等式，即可求解.【详解】（1）1|()(1)||1|x m x x m x m +++≥+-+=-不等式13x m x +++≤的解集非空，|1|3m ∴-≤， 313,24m m -≤-≤∴-≤≤，m ∴的取值范围是[2,4]-；（2）由（1）得4,4M a b =∴+=，又,a b R +∈，22221()[(1)(1)]11611a b a b a b b a b a +=++++++++ 22221(1)(1)[]611a ab b a b b a ++=+++++ 222118(2)()663a b ab a b ≥++=+= 当且仅当2a b ==时，等号成立,2211a b b a ∴+++的最小值为83. 【点睛】本题考查运用绝对值三角不等式求最小值，以及利用基本不等式求最值，需要注意考虑最值等号成立的条件，考查计算求解能力，属于中档题.。