2414圆周角(2)教学预案
教学设计4：24.1.4圆周角
24.1.4圆周角教学过程设计其他各角具备什么共同特征？从而引出圆周角定义，并会判断。
板演示，让学生辨析圆周角。
接下来给学生一组辨析题：练习1：判别图7-29中各圆形中的角是不是圆周角，并说明理由．析问题的能力。
活动2：探究圆周角定理，并证明圆周角定理。
问题1：①同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB与圆周角∠ACB的大小关系？②同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与∠ADB，∠AEB的大小关系怎样？问题2：㈠一条弧所对的圆周角有多少个？圆心角呢？圆心与圆周角的位置关系有几种？㈡当圆心在圆周角的教师提出问题，引导学生用度量工具量角器，动手实验进行度量，发现结论。
由学生归纳发现的规律，教师板书：同弧所对的圆周角度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角度数的一半。
教师提问，学生动手画，思考并回答。
教师概括：虽然一条弧所对的圆周角有无数个，但它们与圆心的位置关系，归纳起来却只有三种情况：①圆心在圆周角的一边上、②圆心在圆周角内部、③圆心在圆周角外部．学生亲自动手利用度量工具进行实验，探究得出结论，调动了学生的积极性，培养了他们的归纳能力。
这一过程体现了数学中的分类讨论的思想；在证明中，后两种都化成了第一种情况，这体现数学中从特殊到一般的化归思想.从而让学生学会了一种分析问题解决问题的方式方法。
一边上时，如何证明活动2所发现的结论？㈢对于②③两种情况你也能证明吗？教师引导，学生写出已知，求证，并完成证明。
（1）当圆心在圆周角的一边上时，圆周角与相应的圆心角的关系：（演示图形）观察得知圆心在圆周角上时，圆周角是圆心角的一半.提出必须用严格的数学方法去证明.证明:(圆心在圆周角上)（2）其它情况，圆周角与相应圆心角的关系：当圆心在圆周角外部时（或在圆周角内部时）引导学生作辅助线将问题转化成圆心在圆周角一边上的情况，从而运用前面的结论，得出这时圆周角仍然等于相应的圆心角的结论.证明：作出过C的直径（略）活动三：探索圆周角定理的推论问题1：画一个圆，以B、C为弧的端点能画多少个圆周角？它们有什么关系？问题2：在⊙O中，若= ，能否得到∠C=∠G呢？根据什么？反过来，若∠C=∠G ，是否得到=呢让学生分析、研究，并充分交流．注意：①问题解决，只要构造圆心角进行过渡即可；②若= ，则∠C=∠G；但反过来当∠C=∠G，在同圆或等圆中，可得若= ，否则不一定成立．这时教师要求学生举出反面例子：若∠C=∠G，则≠，从而得到圆周角的又一条性质老师组织学生归纳：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．重视：同弧说明是“同一个圆”；等弧说明是“在同圆或等圆中”．问题：“同弧”能否改成“同弦”呢？同弦所对的圆周角一定相等吗？（学生通过交流获得让学生在同一知识中变换角度思考问题，从不同的方位观察圆心角与圆周角，更深一步理解“同弧”二字的含义，培养了学生思维的深度和广度。
人教版数学九年级上册 24.1.4 圆周角(第二课时)说课课件(共21张PPT)
说课内容
1 2 3 4 5
教材分析 教学目标 重点难点 教学过程 反思生成
教材分析
1. 本节课在教材所处的地位和作用：
圆内接四边形是在研究圆周角之 后的学习内容，从圆内接四边形 的四个角都是圆周角引入，它是 在圆中探求角的相等或互补时常 用的一个重要定理，是学生后续 学习的基础。
教学重点和难点
教学重点
教学难点
圆内接四边形的性质探索及应用
圆内接四边形的性质探索
教法与学法
教法：演示法，引
导启发式教学法
学法：观察、操作与数
学思考归纳相结合；自 主学习与小组合作探究 相结合
教学过程
1
课前热身，引入新知 2 合作探究，获取新知 3 师生合作，应用新知 4 课堂小结，提炼新知 5 课堂检测，体验成功
教学目标
教学目标
知识目标
技能目标
情感目标
通过观察图形认识圆 内接多边形和多边形 的外接圆；探索圆内 接四边形的性质定理 并运用它探求角之间 的关系．
经历圆内接四边形性 质定理的探索过程， 体会从特殊到一般、 数形结合、分类、归 纳、转化等数学思想 方法，发展学生的推 理能力．
鼓励学生敢于实践， 勇于发现，大胆探索， 认识数学的内在联系， 增强学习数学的兴趣。
四边形的外接圆： 图，△ABC是⊙O的 △ABC的外角平分线并
圆内接四边形的性质内：接三角形。 （1）若AD是
交⊙O于点D，连接BD， CD，上述结论还成立吗？
∠BAC的角平分线, 请你补全图形，若结论
交⊙O于点D．
成立，则给出证明；若
求证：BD=CD 结论不成立，则说明理
由。
反思
成功之处：本节课从回顾圆周角定理及推论入手，引入圆
《24.1.4 圆周角》教案、导学案
《24．1.4 圆周角》教案【教学目标】1．掌握圆周角定理及其推论并能应用其进行简单的计算与证明．2．掌握圆内接多边形的有关概念及性质．3．在探索过程中，体会观察、猜想的思维方法，在定理的证明过程中，体会化归和分类讨论的数学思想和归纳的方法．【教学过程】一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第十九届世界杯决赛于2014年在巴西举行，共有来自世界各地的32支球队参加赛事，共进行64场比赛决定冠军队伍．比赛中如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守到圆上C处，依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角定理如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于( )A．25° B．30° C．35° D．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB ＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.探究点二：圆周角定理的推论【类型一】利用圆周角定理的推论求角如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠A ＝30°，则∠B ＝( ) A ．150° B ．75° C ．60° D ．15°解析：因为AB ︵＝AC ︵，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”得到∠B ＝∠C ，因为∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，所以∠A ＋2∠B ＝180°，又因为∠A ＝30°，所以30°＋2∠B ＝180°，解得∠B ＝75°，故选B.方法总结：解题的关键是掌握在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意方程思想的应用．如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD ＝30°，则∠A 的度数为( ) A ．30° B．45° C ．60° D ．75°解析：由BD 是直径得∠BCD ＝90°.∵∠CBD ＝30°，∴∠BDC ＝60°.∵∠A 与∠BDC 是同弧所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC ＝60°.故选C.【类型二】利用圆周角定理的推论求线段长如图所示，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AB ＝10cm ，∠A ＝30°，则BC的长为________．解析：由AB 为⊙O 的直径得∠ACB ＝90°.在Rt △ABC 中，因为∠A ＝30°，所以BC ＝12AB ＝12×10＝5cm.【类型三】利用圆周角定理的推论进行有关证明如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C ，∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题．探究点三：圆的内接四边形及性质【类型一】利用圆的内接四边形的性质进行计算如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，点O 在∠D 的内部，四边形OABC 为平行四边形，则∠OAD ＋∠OCD ＝________度．解析：∵四边形ABCD 是圆内接四边形，∴∠B ＋∠ADC ＝180°.∵四边形OABC 为平行四边形，∴∠AOC ＝∠B .又由题意可知∠AOC ＝2∠ADC .∴∠ADC ＝180°÷3＝60°.连接OD ，可得AO ＝OD ，CO ＝OD .∴∠OAD ＝∠ODA ，∠OCD ＝∠ODC .∴∠OAD ＋∠OCD ＝∠ODA ＋∠ODC ＝∠D ＝60°.【类型二】利用圆的内接四边形的性质进行证明如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E.若BC＝BE.求证：△ADE是等腰三角形．解析：由已知易得∠E＝∠BCE，由同角的补角相等，得∠A＝∠BCE，则∠E ＝∠A.证明：∵BC＝BE，∴∠E＝∠BCE.∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A＋∠DCB＝180°.∵∠BCE＋∠DCB＝180°，∴∠A＝∠BCE.∴∠A＝∠E.∴AD＝DE.∴△ADE是等腰三角形．方法总结：圆内接四边形对角互补.三、板书设计【教学反思】教学过程中，强调圆周角定理得出的理论依据，使学生熟练掌握并会学以致用．在圆中，利用圆周定理及其推论求相关的角度时，注意辅助线的添加及多种可能情况的考虑.《24.1.4 圆周角》教案第1课时圆周角定理及推论【教学内容】1．圆周角的概念．2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弦所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．【教学目标】1．了解圆周角的概念．2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径．4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．【重难点、关键】1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．3．关键：探究圆周角的定理的存在．【教学过程】一、复习引入（学生活动）请同学们口答下面两个问题．1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，•那么它们所对的其余各组量都分别相等．刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天A 要探讨，要研究，要解决的问题．二、探索新知问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门，•设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上，•并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的． 3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半． 下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，•并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=12∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程． 老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角，•那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．CC（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD的同侧，那么∠ABC=12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD-∠CBO=12∠AOD-12∠COD=12∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ，•同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．进一步，我们还可以得到下面的推导：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．例1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系？为什么？分析：BD=CD ，因为AB=AC ，所以这个△ABC 是等腰，要证明D 是BC 的中点，•只要连结AD 证明AD 是高或是∠BAC 的平分线即可．解：BD=CD理由是：如图24-30，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 三、巩固练习1．教材P92 思考题． 2．教材P93 练习． 四、应用拓展例2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别设为a ，b，c ，⊙O 半径为R ，求证：sin a A =sin b B =sin c C =2R ． 分析：要证明sin a A =sin b B =sin c C =2R ，只要证明sin a A =2R ，sin b B =2R ，sin cC =2R ，即sinA=2a R ，sinB=2b R ，sinC=2cR，因此，十分明显要在直角三角形中进行．证明：连接CO 并延长交⊙O 于D ，连接DB ∵CD 是直径 ∴∠DBC=90° 又∵∠A=∠D在Rt △DBC 中，sinD=BC DC ，即2R=sin aA同理可证：sin b B =2R ，sin cC=2R∴sin a A =sin b B =sin c C=2R 五、归纳小结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆周角的概念；2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都相等这条弧所对的圆心角的一半；3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．第2课时 圆内接四边形的性质及圆周角定理的综合运用【教学目标】1.知道圆内接多边形和多边形的外接圆的意义，知道圆内接四边形的对角互补，会简单运用这个结论.2.培养演绎推理能力和识图能力. 【教学重点和难点】1.重点：圆内接四边形的对角互补.2.难点：结论的证明. 【教学过程】（一）基本训练，巩固旧知 1.填空：如图， x= °.2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°， 则∠DBC= °，∠BDC= °， ∠BCD= °.3.用三角尺画出下面这个圆的圆心.（二）创设情境，导入新课 （师出示下面的板书）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.师：（指准板书）前面我们学习了圆周角定理和它的两个结论，本节课我们要学习什么？我们要学习圆周角定理的第三个推论（板书：推论3）.师：推论3怎么说？让我们先来看下面的问题. （三）尝试指导，讲授新课 （师出示下图）x 50︒40︒ABCDOABCD.师：（指准图）这是四边形ABCD，这个四边形有一个特点，什么特点？（稍停）这个四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上，我们把这个四边形叫做圆内接四边形（板书：四边形ABCD叫做圆内接四边形），我们还把⊙O 叫做四边形ABCD的外接圆（板书：⊙O叫做四边形ABCD的外接圆）.师：（出示圆内接三角形图片，并指准）这是一个三角形，这个三角形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个三角形叫做圆内接三角形，把这个圆叫做这个三角形的外接圆.师：（出示圆内接五边形图片，并指准）这是五边形，这个五边形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个五边形叫做圆内接五边形，把这个圆叫做这个五边形的外接圆.师：（出示圆内接五边形图片，并指准）一般地说，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.师：知道了圆内接多边形的概念，（指黑板上的圆内接四边形）现在我们还是回来看圆内接四边形.师：圆内接四边形有一个重要的性质，什么性质？圆内接四边形的对角互补（板书：圆内接四边形的对角互补）.师：圆内接四边形的对角互补，什么意思？（指准图）就是说，∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，（板书：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）.师：用圆周角定理可以推出这个结论，怎么推？大家自己先想一想（让生思考片刻）.师：我们一起来证明，（指板书）先证明∠A+∠C=180°.师：怎么证明∠A+∠C=180°？连结OB，OD（边讲边用虚线连结OB，OD）.师：（把BAD描成红色，并指准）这条红弧所对的圆周角是哪个？生：（齐答）∠C.师：红弧所对的圆周角是∠C（边讲边用红笔标∠C），那红弧所对的圆心角是哪个？生：（齐答）∠BOD.师：红弧所对的圆心角是∠BOD （边讲边用红笔标∠BOD ）. 师：（把BCD 描成黄色，并指准）这条黄弧所对的圆周角是哪个？ 生：（齐答）∠A.师：黄弧所对的圆周角是∠A （边讲边用红笔标∠A ），那黄弧所对的圆心角是哪个？生：……师：（指准图）黄弧所对的圆心角是这个角（边讲边用黄笔标这个角）. 师：（指准图）根据圆周角定理，∠A 等于这个圆心角的一半，∠C 等于这个圆心角的一半，所以∠A+∠C 等于这个角加上这个角的一半.这个角加上这个角等于360°，所以∠A+∠C 等于360°的一半，等于180°.师：同样道理可以证明∠B+∠D=180°.师：（指板书）推论3是一个很有用的结论，下面就请同学们利用这个结论来做几个练习.（四）试探练习，回授调节4.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠A=60°， 填空：(1)∠BCD= °； (2)∠DCE= °； (3)∠B+∠D= °.5.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∠BOD=100°， 则∠BAD= °， ∠BCD= °.（五）尝试指导，讲授新课 师：下面我们来看一道例题. （师出示例题）例 求证：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.（师画出图形写出已知求证，然后让生说证明思路，最后师写出证明过程，图形、已知、求证及证明过程如下）E.D CBAOA BOC D已知：如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形. 求证：∠DCE=∠A.证明：∵∠DCE+∠BCD=180°， 又∵∠A+∠BCD=180°， ∴∠DCE=∠A.（六）归纳小结，布置作业师：（指准板书）本节课我们学习了圆周角定理的推论3，圆内接四边形的对角互补；还学习了一个例题，利用推论3证明了圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.这个结论像别的定理、推论一样可以在做题的时候直接拿来用.（作业：P 88习题6.7.） 课外补充作业6.如图，∠A=30°，∠ABC=50°，则∠E= °， ∠D= °，∠ACB= °. 四、板书设计《24.1.4 圆周角》教案EDAOB C.ABCDE5、几何语言：∵四边形ABCD 内接于⊙O ∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180° 三、应用举例：例1、若四边形ABCD 为圆内接四边形，则下列选项可能成立的是（ ）A.∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D=1﹕2﹕3﹕4B.∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D=2﹕1﹕3﹕4C.∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D=3﹕2﹕1﹕4D.∠A ﹕∠B ﹕∠C ﹕∠D=4﹕3﹕2﹕1例2、如图，点C 、D 是⊙O 上不与点A 、B 重合的两点，（1）若∠AOB=70°，则∠ACB= ° （2）若∠ACB=130°，求∠AOB 的度数. （写出推理过程）练习：1、如图1，四边形ABCD 内接于⊙O ， 则∠A+∠C= °，∠B+∠ADC= °， 若∠B=80°，则∠ADC= ，∠CDE= ；2、如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠AOC=100°，则∠B= ， ∠D= ；3、四边形ABCD 内接于⊙O ，∠A ：∠C=1:3，则∠A= ；4、如图3，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，∠B=75°，则∠C= °。
九上数学《24.1.4圆周角——圆周角定理及其推论（教学设计）》（推荐五篇）
九上数学《24.1.4圆周角——圆周角定理及其推论（教学设计）》（推荐五篇）第一篇：九上数学《24.1.4 圆周角——圆周角定理及其推论(教学设计)》24.1.4 圆周角——圆周角定理及其推论一、新课导入 1.导入课题：情景：如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB.问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下个定义吗？由此导入课题.（板书课题）2.学习目标：(1)知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它.(2)探究并掌握圆周角定理及其推论.(3)体会“由特殊到一般”“分类” “化归”等数学思想.3.学习重、难点：重点：圆周角定理及其推论.难点：圆周角定理的证明与运用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第85页到第86页倒数第6行之前的内容.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：完成探究提纲.（4）探究提纲： 1）圆周角的概念①顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.②判别下列各图中的角是不是圆周角，并说明理由.② 猜一猜：一条弧所对的圆周角与圆心角有何数量关系？②量一量：用量角器量一量圆心角∠AOB和圆周角∠ACB.a.如图，∠ACB=∠AOB.b.你可以画多少个AB所对的圆周角？这些圆周角与∠AOB之间有什么数量关系？可以画无数个.这些圆周角都等于∠AOB的一半.③想一想：在⊙O 中任画一个圆周角∠BAC，圆心O与∠BAC可能会有几种位置关系？有3种位置关系.③ 证一证：a.当圆心O在∠BAC的一条边上时(如图1）:b.当圆心O在∠BAC的内部时(如图2）：作直径AD，同a，得.c.当圆心O在∠BAC的外部时(如图3）.作直径AD,同a,得⑤归纳：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.自学：学生可根据自学指导自主学习，相互交流.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生能否探究、归纳和证明圆周角定理.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内交流、研讨.4.强化：（1）圆周角定理的内容.（2）证明圆周角定理所体现的数学思想.（3）练习：如图，OA,OB,OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC.求证：∠ACB=2∠BAC.证明：∵∠ACB=∠AOB,∠BAC=∠BOC,∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=2∠BAC.1.自学指导：（1）自学内容：教材第86页最后5行至第87页例4.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：完成探究提纲.（4）探究提纲：①探究图中∠ACB，∠ADB和∠AEB的数量关系.1212a.如图1，∵∠ACB=∠AOB,∠ADB=∠AOB,∠AEB=∠AOB，∴∠ACB = ∠ADB = ∠AEB.即同弧所对的圆周角相等.b.如图2，AB=AE,∵AB=AE,∴∠AOB = ∠AOE.∵∠ACB=∠AOB, ∠ADE=∠AOE, ∴∠ACB = ∠ADE.即等弧所对的圆周角相等.c.由此可得，同弧或等弧所对的圆周角相等.d.练习：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把四个内角分成8个角，1212121212这些角中哪些是相等的角？∠1=∠4，∠2=∠7，∠3=∠6，∠5=∠8 ②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.为什么？因为半圆（或直径）所对的圆心角是180°，所以它所对的圆周角是90°，即直角.90°的圆周角所对的圆心角是180°，所以它所对的弦是直径.④ 如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？第二个工件是合格的.因为半圆所对的圆周角为直角.④如图, ⊙O 的直径AB为10cm,弦AC为6cm, ∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC，BD的长.∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴在RtςACB中，BC=AB2-AC2=102-62=（.8cm）同理∠ADB=90°，又CD是∠ACB的平分线，∴∠DCA=∠DCB=∠ACB=45°, ∴∠DBA=∠DAB=45°,∴AD=B D.在RtςADB中，AD2+BD2=AB2,∴BD=1AB2=52cm.212⑤ 如图，你能设法确定一个圆形片的圆心吗？你有多少种方法？能，方法很多，例如：利用三角尺的直角可以找出两条直径（90°的圆周角所对的弦是直径），两直径交点就是圆心.2.自学：学生可在自学指导的指引下自主学习，相互交流.3.助学：（1）师助生：①明了学情：关注学生是否会完成任务.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：小组内交流、研讨.4.强化：（1）常规辅助线：遇直径，想直角.（2）点一名学生口答探究提纲中的问题②，点两名学生板演问题④，并点评.1.自学指导：（1）自学内容：教材第87页“思考”到第88页“练习”之前的内容.（2）自学时间：7分钟.（3）自学方法：阅读课文，完成自学参考提纲.（4）自学参考提纲：①什么叫圆内接多边形和多边形的外接圆？如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.ς和BCDς所对的圆心角，②在图中标出BAD这两个圆心角有什么关系？∠BAD+∠BCD＝ 180 度，同理可得：∠ABC+∠ADC＝ 180 度.③圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.④练习：a.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BAD＝50°，∠BCD＝130°.b.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E 为CD延长线上一点.若∠B=110°，求∠ADE的度数.∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC=180°，又∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ADE=∠B=110°.c.求证：圆内接平行四边形是矩形.∵圆内接四边形对角互补，而平行四边形对角相等，∴圆内接平行四边形四个角都是直角.∴圆内接平行四边形是矩形.d.已知：如图，两个等圆⊙O1和⊙O2都经过A，B两点，经过点A的直线与两圆分别交于点C，D，经过点B的直线与两圆分别交于点E，F．若CD∥EF，求证：四边形EFDC是平行四边形.连接AB.∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，∴∠C+∠ABE=180°.又∵四边形ABFD是⊙O2的内接四边形.∴∠D+∠ABF=180°.又∵∠ABE+∠ABF=180°.∴∠C+∠D=180°.∴CE∥DF.又∵CD∥EF，∴四边形EFDC是平行四边形.2.自学：学生可结合自学指导自主学习.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生自学提纲的答题情况.②差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导.（2）生助生：生生互动，交流研讨.4.强化：（1）圆内接四边形的性质.（2）让学生完成自学参考提纲中的第④题，并点评.（3）练习：圆内接四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度数的比是2∶3∶6，求四边形ABCD各内角的度数.解：∵∠A∶∠C＝2∶6,∠A+∠C＝180°, ∴∠A＝45°，∠C＝135°.又∠A∶∠B＝2∶3, ∴∠B ＝67.5°，∠D＝180°-∠B＝112.5°.三、评价1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？在哪些方面还感到比较困难？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、小组探究协作情况以及存在的问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：（1）这节课首先是类比圆心角得出圆周角的概念.在探究圆周角与圆心角关系过程中，要求学生学会使用分类讨论以及转化的数学思想解决问题，同时也培养了学生勇于探究的精神.其次，本节课还学习了圆内接四边形定义及圆内接四边形的性质，通过例题和习题训练，可以使学生在解答问题时灵活运用前面的一些基础知识，从中获取成功的经验，建立学习的自信心.（2）圆周角定理的证明分了三种情况探讨，这里蕴含着重要的数学思想——分类思想，教材中多处闪烁着分类思想的光环:三角形分类、方程的分类等，故教学过程中要整理相互交融的知识结构，加强分类思想的渗透.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（80分）1.(10分)下列四个图中，∠x是圆周角的是（C）2.(10分)如图,⊙O中，弦AB、CD相交于E点，且∠A=40°，∠AED=75°，则∠B=（D）A.15°B.40°C.5°D.35°3.(10分)如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= 80°.4.(10分)如图，点B、A、C都在⊙O上，∠BOA＝110°，则∠BCA＝125°.5.(10分)如图，⊙O中，弦AD平行于弦BC，∠AOC=78°，求∠DAB的度数．解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠B.又∵∠B=∠AOC=39°.∴∠DAB=39°.6.(10分)如图，⊙O的半径为1，A,B,C是⊙O上的三个点，且12∠ACB=45°，求弦AB的长.解：连接OA、OB.∵∠BCA=45°,∴∠BOA=2∠BCA=90°.又OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形.∴AB=OA2+OB2=2OA2=2OA=2.7.(10分)如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论.解：△ABC是等边三角形.证明如下：∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形.8.(10分)如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC=BE．求证：△ADE是等腰三角形．证明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠BCE.∵BC=BE,∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E, ∴AD=DE, ∴△ADE是等腰三角形.二、综合应用（10分）9.(10分)如图，已知EF是⊙O的直径，把∠A为60°的直角三角板ABC的一条直角边BC放在直线EF上，斜边AB与⊙O交于点P，点B与点O重合；将三角形ABC沿OE方向平移，使得点B与点E重合为止．设∠POF=x°，则x的取值范围是30≤x≤60 ．三、拓展延伸（10分）ς10.(10分)如图，BC为半圆O的直径，点F是BCς上的中点，上一动点（点F不与B、C重合），A是BF设∠FBC=α，∠ACB=β．（1）当α=50°时，求β的度数;（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明.解：（1）连接OA，交BF于点M.ς上的中点，∴OA垂直平分BF.∵A是BF∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C=∠AOB=×40°=20°, 即β=20°.（2）β=45°-α.证明：由（1）知∠BOM＝90°-α.又∠C＝β＝∠AOB, ∴β＝（90°-α）＝45°-α.121212121212第二篇：圆周角定理课题名称：圆周角定理一、概述：《圆周角定理》是课程标准高中选修4-1第二章第2.1节的内容，是学生在初中已经初步掌握圆与直线的关系的基础上再深入研究圆与直线的一节起始课，它是解决圆内有关角的问题的基础，也为学习有关圆的内接四边形的角的关系做准备。
九年级数学上册24.1.4圆周角教案新版新人教版
24.1.4 圆周角一、教学目标1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题.3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”.二、课时安排1课时三、教学重点理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题. 四、教学难点了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”.五、教学过程（一）导入新课问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？问题2 如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?（二）讲授新课活动1：小组合作探究1：圆周角的定义定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.探究2; 圆周角定理及其推论如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.探究3：如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.(1)完成下列填空：∠1= . ∠2= . ∠3=.∠5= . （2）若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？（3）若AC是半圆，∠ADC= ，∠ABC= .探究4:四、圆内接四边形若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系为 .活动2：探究归纳圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论1：同弧所对的圆周角相等推论2：等弧所对的圆周角相等推论3：半圆（或直径）所对的圆周角是直角.反之，直角所对的弦是直径.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.（三）重难点精讲例：如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm.（1）求DC的长；（2）若∠ADC的平分线交⊙O于B, 求AB、BC的长．解：(1)∵AC 是直径， ∴ ∠ADC =90°. 在Rt△ADC 中，22221068;DC AC AD =-=-=(2)∵ AC 是直径, ∴ ∠ABC =90°. ∵BD 平分∠ADC, ∴∠ADB=∠CDB.又∵∠ACB =∠ADB , ∠BAC =∠BDC . ∴ ∠BAC =∠ACB, 在Rt△ABC 中，AB 2+BC 2=AC 2，221052(cm).22AD BC AC ∴==== 归纳：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.（四）归纳小结 1、圆周角的定义； 2、圆周角定理及证明； 3、圆周角定理及推论的运用。
人教版九年级上册24.1.4圆周角教学设计
人教版九年级上册24.1.4圆周角教学设计一、教学目标1.知道圆周角的定义2.能够计算圆周角的度数3.熟悉圆周角在实际应用中的运用二、教学重点1.圆周角的定义2.计算圆周角的度数三、教学难点1.熟悉圆周角在实际应用中的运用四、教学方法1.讲解：通过讲解圆周角的定义和计算方法，让学生掌握基本概念和方法。
2.实验：通过展示圆形物品，让学生亲身体验圆周角的度数。
3.案例分析：通过实例分析，帮助学生了解圆周角在实际应用中的运用。
五、教学过程1. 导入新知识通过展示圆形物品，如扇形、轮胎等，让学生感受圆形的特征，并引入圆周角的概念。
2. 讲解圆周角的定义让学生掌握圆周角的定义：圆周角是指夹在圆内的两条弧所对的角。
3. 讲解圆周角的计算方法1.讲解圆周角的度数：圆的周长为360度，因此圆周角所对的弧长与圆周长的比例为所对的角与360度的比例。
2.计算圆周角的度数：根据所对弧的长度与圆周长的比例以及圆周的度数制求得圆周角的度数。
4. 实验展示通过展示圆形物品，让学生通过手动旋转掌握圆周角的度数，并在班级中交流讨论。
5. 案例分析1.讲解圆周角在电子产品外观设计中的应用。
2.讲解圆周角在建筑、机器等领域中的应用。
六、教学评价通过布置作业，检测学生对圆周角的掌握程度，并通过课堂互动，了解学生对圆周角在实际应用中的理解情况。
七、板书设计1.圆周角的定义：夹在圆内的两条弧所对的角。
2.圆周角的计算方法：所对弧长与圆周长的比例。
八、课堂设计本节课内容较为抽象，需要通过实物展示和案例分析来帮助学生掌握基本概念和方法。
同时，教师还需要与学生进行及时互动，以确保学生的参与度和掌握程度。
24.1.4圆周角教案
五亩一中九年级数学学科电子教案设计主备教师：张建平副备教师：10月20 日24.1圆周角一、学习目标：1. 了解圆周角的概念。
2. 理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，•都等于这条弧所对的圆心角的一半。
3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90•°的圆周角所对的弦是直径。
二、学习重点、难点：1. 重点：探索圆周角与圆心角的关系，发现圆周角的性质和直径所对圆周角的特征。
2. 难点：发现并论证圆周角定理。
三、学习过程：（一）温故知新：1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？（二）自主学习：自学教材P84---P86，思考下列问题：1.什么叫圆周角？圆周角的两个特征：。
2.在下面空里作一个圆，在同一弧上作一些圆心角及圆周角。
通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．（1）一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？（2）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？（3）同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？3.默写圆周角定理及推论并证明。
4.能去掉“同圆或等圆”吗？若把“同弧或等弧”改成“同弦或等弦”性质成立吗？5.教材84页思考？在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？（三）合作探究：例1、如又图⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长。
例2、如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？（四）巩固练习：1．如图，点A，B，C，D在同一圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些角是相等的角？2.求证：如果直角三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（提示：作出以这条边为直径的圆）（五）达标训练1．如图1，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）．A．140°B．110°C．120°D．130°1．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠22．如图3，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（）A．100°B．110°C．120°D．130°3．半径为2a的⊙O中，弦AB的长为2 a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．（六）拓展创新1．如图，已知AB=AC，∠APC=60°（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．。
《2414圆周角定理》教学设计与反思
《24.1.4圆周角定理》教学设计与反思一、教学目标1．理解圆心角、圆周角定理1．通过观察、动手操作培养学生发现问题、解决问题的能力．2．锻炼学生的逻辑思维能力，体验分类讨论的数学思想方．二、教学手段：多媒体教学（电子白板）三、复习有关问题1、圆心角定义2、弦，弧、圆心角的三者关系3、外角的性质四、新授内容1、引入足球射门的位置最佳问题作为情景创设活动策略：出示幻灯片，让学生理解在这几个点射门在那个位置较好，让学生分组测量这些角的大小，并发现其中的关系，2、给出圆周角定义，同时提示强调两个基本特征3、利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题1、问题2中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧所对的圆心角与圆周角、同弧所对的圆周角之间的大小关系．教师引导学生进行探究．引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．探究：现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．1．）一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．）同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．）同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．4、引导学生证明圆心角与圆周角关系，圆周角与圆周角关系5、反馈练习P86第一题及补充习题补充练习：（1）如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？（2）一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？6、小结作业五、教后反思：本节课主要讲述了圆周角定义及定理，其定义是在圆心角定义基础上结合示意图构造出来的，对定义的理解从教学实际来看学生们掌握的都较好，对圆周角定理在证明过程中所应用的分类讨论、转换化归思想略显难度，第一种情况证明后，证明第二、第三种情况时辅助线的添加问题学生思考、运用起来较为困难，在今后的教学中应多注意激发学生自己先划分圆心与圆周角的位置关系，而后用分组讨论的办法来让学生自行解决第二、第三种情况的证明，注意适时引导学生运用由特殊到一般的转化方法（即连接圆周角顶点与圆心并延长），可以收到较好地教学效果。
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课题
教 学 目 标
重点
24.1.4 圆周角（2）
备课人 侯淑芹
1. 知识与技能：1．能说出圆内接多边形的概念。
2.记住圆内接四边形的性质，并能运用性质进行相关计算和证明。
2.过程与方法：经历探索圆内接四边形的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种
方法。
3.情感态度与价值观：激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望。
探索，感 1. 圆内接多边形的概念：
知新知： 请同学们认真阅读课本 85 页最后一
（8′） 段—86 页例 2 以上内容，划出圆内
接多边形的概念并完成下列问题做圆内接多边形，这个
圆叫做这个多边形的
_____________。
（2）圆内接四边形的对角
__________。
四、尝试 应用，针 对训练 （5′）
在⊙O 中，∠CBD=30°，∠BDC=20°, 求∠A。
五、深化 问题，拓 展提高 （7′）
1.练习册 52 页轻松尝试 3 题 2.能力提升 52 页 1. 2. 8 题
六、回顾 反思，强 化小结 （4′）
本节课我们学习了哪些知识？
1 题独立完成
对展示同学给予鼓
（3）如图 1，四边形 ABCD 内接于⊙
O ， 则 ∠ A+ ∠ C=__ ， ∠ B+ ∠
ADC=_____;
若∠B=80 度， 则∠ADC=______ ∠
CDE=______
学生有效活动设计
学生认真阅读课本，独 立完成
对学生自学知识的基础 检测，对出现的问题作 为下一个环节讨论的重 点
有效反馈评价设计
圆内接四边形的性质及其应用
难点 圆内接四边形的性质及其应用
关键 １.具体问题帮助学生理解；２.猜想法思想渗透
教法 讲授、问题教学 学法 练习、讨论 第 2 周第 3 课时
总第（ 9）节
课型
新课
教学工具 导学案
教学日期
月日
内容与 时间
教师有效问题设计
一、出示 学生齐读目标
目标（
1′）
二、自主 概念认识：
A
100 D
O
B
C
三、合作 探究，感 悟升华 （15′）
如图，四边形 ABCD 是圆 O 的内接四 边形，∠A 与∠C 有什么关系呢？∠ B 与∠D 呢？你能证明你的结论吗？
结论：圆内接四边形的对角_______
让学生大胆猜想得出结 论，学生先自主、再合 作，完成证明过程
教师巡视，指出发 现的问题，强调易 错点
找（举手的）学生 回答。 表扬表达好的同学 小组汇报答案、教 师肯定做得好的学 生教师提问学生， 关注语言准确性。
1
(4)如图 2，四边形 ABCD 内接于⊙O， ∠ AOC=100 度 则 ∠ B=______ ∠ D=______
A
80
B
D E
C
找举手的基础稍差 的学生回答，并对 正确的回答及时肯 定，表扬
励
教师巡视，解决同
学的疑问，肯定表
扬做的好的同学
学生总结、归纳、发言、 帮助学生养成系统
体会、反思
整理知识的习惯
2
七、当堂 训练，分 层达标 （10′）
板 书 设 计
二 次 设 计
作 业 批 改 记 录
教 学 反 思
独立完成
教师巡回辅导，对 于共性问题做好补 教 课堂面批 对于共性问题做好 补教
3