南充高中高2017级高三上期第四次月考(理科数学)

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南充高中高2017级高三上期第四次月考

数学试题（理科）

考试时间：120分钟；命题人：向前君，邓奎

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；

2．请将答案正确填写在答题卡上。

第I卷（选择题)

一、单选题（每小题5分，总分60分）

1．已知集合{}{}

|1

,|20

A y y x

B x x

==+=-≤，则A B=

（）

A．[]1,2B．[]0,2C．(],1

-∞D．[)

2,+∞

2．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，

任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率是（）

A．

2

3B．

1

2C．

1

3D．

1

4

3．使复数z为实数的充分而不必要条件的是（）

A．2z为实数B．z z+为实数C．z z=D．z z=

4．已知样本数据12,,...,n

x x x的平均数是5，则新的样本数据

12

25,25,...,25

n

x x x

+++的平均数

为（）

A．5B．7C．10D．15

5．已知点P是圆()()

22

:3cos sin1

C x y

θθ

--+-=上任意一点，则点P到直线1

x y+=距离

的最大值为（）

A．2B．22C．21+D．22

+

6．4片叶子由曲线2||

y x

=与曲线2

||y x=围成，则每片叶子的面积为（）

A．

3

6

B．

1

3C．

2

3D．

4

3

7．函数()sin(),(0,0)2

f x xω?ω?π

=+><<在一个周期内的图象如

图所示，M、N分别是图象的最高点和最低点，其中M点横坐标为

2

1

，O为坐标原点，且0

OM ON

?=

，则,ω?的值分别是（）

A．,36

2ππ

B．,3π

πC．

4

π

2,D．1,

3

π

8．某程序框图如图所示，其中

2

1

()

g x

x x

=

+

，若输出的

2019

2020

S=，

则判断框内应填入的条件为（）

A．2020?

n

n≤

C．2020?

n>D．2020?

n≥

9．已知平面向量OA

、OB

、OC

为三个单位向量，且0

OA OB

?=

，

若OC xOA yOB

=+

（,x y∈R），则x y+的最大值为（）

A．1B．2C．3D．2

10．若曲线()()2

1x

f x ax e-

=-在点()

()

2,2

f处的切线过点()3,3，则函数()

f x的单调递增区

间为（）

A．()

0,+∞B．(),0

-∞C．()

2,+∞D．(),2

-∞

11．如图，四棱锥P ABCD

-的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面

ABCD，且4

PA=，M是PB上的一个动点，过点M作平面α∥平

面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面α与平面PAD之间的距

离为x，则函数()

y f x

=的图象是（）

A. B. C. D.

12．己知函数()1

x

x

f x

e=-，若关于

x的方程()()

210

f x mf x m

??++-=

??恰有3个不同的实

数解，则实数m的取值集合是（）

A.()()

,22,

-∞+∞

B.1

2,

e

??

-+∞

?

??

C.

1

2,2

e

??

-

?

??

D.

1

2

e

??

-

??

??

第II卷（非选择题）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm，则这个圆心角所在的扇形面积_____cm2．

14.已知向量(2,3),(,1)

a bλ

=--=

，若向量a

与向量b

夹角为钝角，则λ的取值集合为.

15．若函数lg(1),(1)

()sin ,(0)

x x f x x x ?->?=?

2

2

3()c a b =-，且tan 3C =，则角B 的余弦值为

.

三、解答题（共70分.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分）

17.（12分）在数列{}n a 中，已知()

1114

11

,,23log 44n n n n a a b a n N a *+==+=∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（2）设数列{}n c 满足n n n c a b =+，求{}n c 的前n 项和n S .

18.（12分）已知函数()()2

2f x cosx asinx cosx cos x π??

=-+-

???，且()03f f π??

-= ???

．（1）求函数()y f x =的最小正周期；

（2）求()f x 在52,243ππ??

?

???

上的最大值和最小值．19.（12分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．//AB CD ，

AB BC ⊥，22AB CD BC ==，EA EB ⊥.

（1）求证：AB DE ⊥；

（2）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（3）线段EA 上是否存在点F ，使//EC 平面FBD ?

若存在，求出

EF

EA

；若不存在，说明理由．20．

（12分）已知动点M 到定点(1,0)F 的距离比M 到定直线2x =-的距离小1.（1）求点M 的轨迹C 的方程；

（2）过点F 任意作互相垂直的两条直线12l l 和，分别交曲线C 于点,A B 和,K N ．设线段AB ，

KN 的中点分别为,P Q ，求证：直线PQ 恒过一个定点.

21.（12分）已知函数()222x

x f x e

ae ax =--，其中0a >．

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()(0)0f ，处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 有唯一零点，求a 的值．

（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（10分）

在极坐标系中，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系xOy .（1）求1C 和2C 的参数方程；（2）已知射线1:(0)2

l π

θαα=<<

，将1l 逆时针旋转6

π得到2:6

l π

θα=+

，且1l 与1C 交于,O P

两点，2l 与2C 交于,O Q 两点，求OP OQ ?取得最大值时点P 的极坐标.23．【选修4—5：不等式选讲】（10分）已知函数()214f x x x =++-（1）解不等式()6f x ≤；

（2）若不等式2

()48f x x a a +-<-有解，求实数a 的取值范围.

南充高中高2017级高三上期第四次月考

数学试题（理科）参考答案

1．A2．B3．D4.D5．D6．B7．A8．A9．B10．A11．D12．C 13．4

14

15．4

16

17．

（12分）（1）∵114n n a a +=,11,4a =∴数列{}n a 是首项为14，公比为1

4

的等比数列，∴()

1

*111444n n

n a n N -??

??

=

?=∈ ? ???

??

.………………………（3分）∵14

3log 2n n b a =-,

∴1413log 232

4n

n b n ??

=-=- ???

…………………….(6分)

（2）由（1）知，14n

n a ??

= ???，32n b n =-()

*n N ∈，∴1324n

n n n c a b n ?+?=+=- ???

.

所以()231111147324444n n

n S ??

????????=+++++++++-?? ? ? ???

?????????? ……..(7分)()21114413211311234214

n

n n n n n ?????-?? ?????+-?-??????=+=?-+

?? ???????-，……(12分)所以211133342n

n n n

S -??=-?+ ???，……………….(12分)

18．（12分）解：()()()2

12f x cosx asinx cosx cos x π??

=-+- ?

??

221

222

asinxcosx cos x sin x asin x cos x =-+=

-．…………(1分)()03f f π??

-= ???

，1221sin()cos()1,23342

a ππ---=-+=

-a ∴=．..(3分)

则(

)22226f x x cos x sin x π?

?=

-=- ??

?．………(5分)

所以函数()y f x =的最小正周期T π=；…………..(6分)

()522,243x ππ??∈?

?? ，72,646x πππ??∴-∈????

，……..(8分)则12,162sin x π?

???

-∈- ????

???

，()[]1,2f x ∈-．………(10分)则当23x π=

时，()1min f x =-，当3

x π

=时，()2max f x =．…（12分）19．（1）证明：取AB 中点O ，连接EO ，DO ．

因为EB=EA ，所以EO ⊥AB ．因为四边形ABCD 为直角梯形，AB=2CD=2BC ，AB ⊥BC ，所以四边形OBCD 为正方形，所以AB ⊥OD 因为EO∩OD=O 所以AB ⊥平面EOD 因为ED ?平面EOD 所以AB ⊥ED ．……(4分)

（2）解：因为平面ABE ⊥平面ABCD ，且EO ⊥AB ，平面ABE∩平面ABCD=AB 所以EO ⊥平面ABCD ，因为OD ?平面ABCD ，所以EO ⊥OD ．由OB ，OD ，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O ﹣xyz ．因为△EAB 为等腰直角三角形，所以OA=OB=OD=OE ，设OB=1，所以O （0，0，0），A （﹣1，0，0），B （1，0，0），C （1，1，0），D （0，1，0），E （0，0，1）．所

以()11

1EC =- ，，，平面ABE 的一个法向量为()010OD =

，，．设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ，

所以3EC OD sin cos EC OD EC OD θ?=?== ，＞，即直线EC 与平面ABE

所成角的正弦值为

3

..(8分)（3）解：存在点F ，且1

3EF EA =时，有EC ∥平面FBD ．证明如下：由111033

3EF EA ??==-- ??? ，，

12033F ??- ???，，，所以42033FB ??=- ??? ，．设平面FBD 的法向量为v

=（a ，b ，c ），则有00v BD v FB ??=???=??

所以0

42

03

3a b a c -+=???-=??取a=1，得v

=（1，1，2）．因为EC v ? =（1，1，﹣1）?（1，1，2）=0，且

EC ?平面FBD ，所以EC ∥平面FBD ．即点F 满足

1

3

EF EA =时，有EC ∥平面FBD ．……..(12分)20解：

（Ⅰ）由题意可知：动点M 到定点()1,0F 的距离等于M 到定直线1x =-的距离.根据抛物线的定义可知，点M 的轨迹C 是抛物线.∵2p =，∴抛物线方程为：24y x =………..(4分)

（Ⅱ）设,A B 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则点P 的坐标为1212,22x x y y ++??

???

.由题意可设直线1l 的方程为()()10y k x k =-≠.由()2

41y x

y k x ?=??=-??

，得

()

2222240k x k x k -++=.………..(6分)

()

24224416160k k k ?=+-=+>.因为直线1l 与曲线C 于,A B 两点，所以

()1212122442,2x x y y k x x k k +=++=+-=.所以点P 的坐标为2221,k k ?

?+ ???.………..(7分)

由题知，直线2l 的斜率为1k

-

，同理可得点Q 的坐标为()

2

12,2k k +-.………..(8分)当1k ≠±时，有222112k k +≠+，此时直线PQ 的斜率2222221112PQ k

k k k k k

k

+==-+--.…..(9分)所以，直线PQ 的方程为()

2

2

2121k y k x k k

+=---，整理得()230yk x k y +--=.于是，直线PQ 恒过定点()3,0E ；……(10分)

当1k =±时，直线PQ 的方程为3x =，也过点()3,0E .………..(11分)综上所述，直线PQ 恒过定点()3,0E .………..(12分)21．1．

（Ⅰ）当1a =时，()2e 2e 2x

x f x x =--.

()22e 2e 2x x f x '∴=--.()0002e 2e 22f '∴=--=-.……(2分)

又()0

0e 2e 01f =--=-，

∴曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为()12y x --=-，即210x y ++=.……(4分)

（Ⅱ）()22e

2e 2x

x f x a a '=--=()22e e x x a a --.令()e 0,x t =∈+∞，则

()()()22f x g t t at a '==--.0a > ，∴函数()y g t =在()0,∞+仅有一个零点.

∴存在()00,t ∈+∞，使得()00g t =.即存在0x 满足00e x t =时，()00f x '=.∴当()00,t t ∈，即()0,x x ∈-∞时，()0f x '<.()f x ∴在()0,x -∞上单调递减；当()0,t t ∈+∞，即()0,x x ∈+∞时，()0f x '>.()f x ∴在()0,x +∞上单调递增.……(7分)

又当x →-∞时，2e 2e 0x x a -→，2ax -→+∞，()f x ∴→+∞；当0x >时，e x x >，()22e

2e 2e x

x x f x a ax ∴=-->()2e 2e e e 4x x x x a a a --=-.

当x →+∞时，()

e e 4x x a -→+∞，∴当x →+∞时，()

f x →+∞.

∴由题意，函数()f x 有唯一零点时，必有()00200e 2e 20x x f x a ax =--=.①……(9分)

又002e e 0x x a a --=，②由①②消去a ，得00e 210x

x +-=.

令()e 21x

h x x =+-.()e 20x

h x '=+>Q ，()h x ∴单调递增.

又()00h =，∴方程00e 210x

x +-=有唯一解00x =.……(11分)

将00x =代入002e e 0x x a a --=，解得1

2

a =

.∴当函数()f x 有唯一零点时，a 的值为

1

2

.……(12分)22．

（Ⅰ）在直角坐标系中，曲线1C 的直角坐标方程为()2

224x y -+=所以1C 参数方程为22(2x cos y sin α

αα=+??

=?

为参数）..………..(2分)曲线2C 的直角坐标方程为()2

224x y +-=.

所以2C 参数方程为2(22x cos y sin β

ββ=??

=+?

为参数）.………..(4分)（Ⅱ）设点P 极坐标为()1,ρα,即14cos ρα=,.………..(5分)点Q 极坐标为2,6πρα??+ ??

?,即24sin 6πρα?

?=+ ???

..………..(6分)

则

124cos 4sin 6OP OQ πρραα?

??==?+ ??

?116cos cos 22ααα??=?+ ? ???

8sin 246πα?

?=++ ???.………..(8分)

70,.2,2666ππππαα??

??∈∴+∈ ? ?

??

?? 当2,626πππαα+

==时OP OQ ?取最大值，此时P

点的极坐标为6π?

? ??

?…(10分)

23．（1）由已知得13321()542334x x f x x x x x ?

-+<-??

?

=+-≤≤?

?

->???

，，，;当21x <-时，3361x x -+≤?≥-112x ∴-≤<-;当142x -≤≤时，561x x +≤?≤1

1

2

x ∴-≤≤当4x >时，3363x x -≤?≤舍,综上得()6f x ≤的解集为[]1,1-……(5分)（2）()421289f x x x x +-=++-≥2

()48f x x a a +-<- 有解

289a a ∴->，(9)(1)0a a -+>1a ∴<-或9

a >a ∴的取值范围是(),1(9,)-∞-+∞ .……(10分)