四川省南充高中高2017级2020年2月网上考试数学试卷(文)
2020年四川省南充高中毕业班2月网上考试 文科数学答案
高2017级月考数学试题（文）参考答案一、 选择题1-5：DBADB 6-10:ACDBC 11-12:CA 二、 填空题13: -2 14: 3 15: 2.5 16: π16 三、解答题17题 解：（1）()*164n n n a a n a +-=∈-N Q 1163346224n n n n n n a a a a a a ++----∴=----6312628n n n n a a a a --+=--+ 2(3)(2)n n a a --=--322n n a a -=-32n n a a ⎧⎫-∴⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列………… （5分） （2）由（1）知，322nn n a a -=-，即2111222n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅① 23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，①减②得11231142S 122(22...2)(21)222(21)212n nn n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅-1(32)26n n +=-⋅-.1S (23)26n n n +∴=-⋅+…………………………………………………………………… ( 10分)2111S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），S n ∴单调递增.76S 92611582019=⨯+=<Q ，87S 112628222019=⨯+=>.故使S 2019n <成立的最大自然数6n =.………… ( 12分)18题 （1）由直方图可知：，，．所以这个路段中，轻度拥堵、中度拥堵、严重拥堵路段分别为个，个，个…………（3分）拥堵路段共有个，按分层抽样从个路段中选出个，每种情况分别为：，，，即这三个级别路段中分别抽取的个数为，，．…………（6分）（2）记（Ⅰ）中选取的个轻度拥堵路段为，选取的个中度拥堵路段为，选取的个严重拥堵路段为，则从个路段选取个路段的可能情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种可能，其中至少有个轻度拥堵的有：，，，，，，，，共种可能. …………（10分）所以所选个路段中至少个路段轻度拥堵的概率为…………（12分）19题（1）因为平面平面ABCE，平面平面，平面所以平面ABCE，又因为平面ABCE，所以，B E ，又，满足，所以A B又，所以平面．…………（6分）（2）在棱上存在点G，使得平面，此时点G为的中点．，由Ⅰ知，平面ABCE，所以，又，所以平面，所以CE为三棱锥的高，且，在中，，G为斜边的中点，所以 ，所以 ．故在棱上存在点G ，使得平面，此时三棱锥的体积为． …………（12分）20题 （1）由题意知，任意一点E 到焦点的距离等于到直线x=-2的距离，由抛物线的定义得抛物线标准方程为所以抛物线C 的焦点为()2,0F ，准线l 的方程为：2x =-；…………………………………(4分)（2）设直线AB 的方程为：()2x my m R =+∈，令()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线AB 的方程与抛物线C 的方程228x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x 得28160y my --=，由根与系数的关系得：1216y y =-.…………………………………(6分)直线PB 方程为：228888y x y x --=--，()2222288888888y y xy x y y -+=-+=+-， 当2x =-时，228168y y y -=+，228162,8y N y ⎛⎫-∴- ⎪+⎝⎭，同理得：118162,8y M y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. 228164,8y FN y ⎛⎫-∴=- ⎪+⎝⎭u u u r ，118164,8y FM y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭u u u u r ,()()()()()()21212121211688816816816816168888y y y y y y FN FM y y y y +++----∴⋅=+⨯=++++u u u r u u u u r()()()()()()122121801680161608888y y y y y y +-+===++++，FN FM ∴⊥u u u r u u u u r ，MF NF ∴⊥. …………………………………(12分)21题（1）当e a =时，()e e x t x x =-，'()e e x t x =-，令'()0=t x 则1x = 列表如下：所以()(1)e e 0极小值==-=t x t . …………………………………(4分)（2）设()()()ln e e ln e x F x f x g x x a ax x a =-+-+=-+-+，(1)x ≥1'()e x F x a x=-+，(1)x ≥设1()e xh x a x =-+，2221e 1()e x xx h x x x⋅-'=-=， 由1x ≥得，21,x ≥2e 10->x x ，'()0h x >，()h x 在(1,)+∞单调递增， 即()F x '在(1,)+∞单调递增，(1)1F e a '=+-，①当10e a +-≥，即1a e ≤+时，(1,)x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 在(1,)+∞单调递增，又(1)0F =，故当1x ≥时，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有且只有一个实数解.②当10e a +-<，即1a e >+时，由（1）可知e x ex ≥，所以11'()e ,'()0xa a e e F x a ex a F e a x x e e a a =+-≥+-≥⋅+-=>，又11a e e>+ 故00(1,),()0ax F x e '∃∈=，当0(1,)x x ∈时，()0F x '<，()F x 单调递减，又(1)0F =，故当(]01,x x ∈时，()0F x <，在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1. 又0(,)x x ∈+∞时，()0F x '>，()F x 单调递增，且22()ln 1a a F a e a a a e e a =+-+->-+，令2()1(1)x k x e x x =-+≥，'()()2x s x k x e x ==-，()220'=-≥->x s x e e ，故'()k x 在()1,+∞单调递增，又'(1)0k >1当时，∴>x '()0，>k x ()k x ∴在()1,+∞单调递增，故()(1)0k a k >>，故()0F a >，又0aa x e>>，由零点存在定理可知，101(,),()0x x a F x ∃∈=， 故在()0,x a 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1x . 又在[)01,x 内，关于x 的方程()ln e=()f x x g x a +--有一个实数解1. 综上，1a e ≤+. …………………………………(12分)22题 解：（1）设点M 在极坐标系中的坐标3,2θ⎛⎫⎪⎝⎭，由1sin ρθ=-，得31sin 2θ=-，1sin 2θ=- Q 02θπ≤< ∴76θπ=或116πθ=，所以点M 的极坐标为37,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭或………………… (5分)（2）由题意可设()1,M ρθ，2,2N πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由1sin ρθ=-，得11sin ρθ=-，21sin 1cos 2πρθθ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭.MN ====故54πθ=时，MN 的最大值为1.………………… (10分) 23题 （1）当2x ≥时，()1(2)31f x x x =+--=≥恒成立，∴2x ≥， 当12x -≤<时，()12211f x x x x =++-=-≥，解得12x ≤<， 当1x <-时，()(1)231f x x x =-++-=-≥不成立，无解，综上，原不等式的解集为[1,)+∞． ………………… (5分) （2）由（1）3m =，∴11322a b a b+=++， ∴111[(2)(2)()922a b a b a b a b a b +=++++++122(2)922a b a ba b a b++=++++1(29≥+49=，当且仅当2222a b a b a b a b ++=++，即29a b ==时等号成立，∴+a b 的最小值是49． ………………… (10分)。
2020年四川省南充高中毕业班2月网上考试 理科数学试题
四川省南充高中高2017级2020年2月网上考试数学试卷（文）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 在复平面内，复数Z 满足2)1(Z =-i ，则Z 的共轭复数对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合}|),{(3x y y x A ==，}|),{(x y y x B ==，则B A I 的元素个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 3. 质监部门对2辆新能源汽车和3辆燃油汽车进行质量检测，现从中任选2辆，则选中的2辆都为燃油汽车的概率为（ ）A. 0.3B. 0.4C. 0.5D. 0.6 4. 若)2,0(πα∈，且412cos sin 2=+αα，则αtan =（ ） A.22 B.33 C. 2 D.3 5. 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 与双曲线212222=-b y a x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ） A.x y 3±= B. x y 33±= C.x y 22±= D. x y 2±= 6. 已知向量)2,3(),,1(-==m ,且⊥+)(，则=m （ ）A .8 B. 6 C. -6 D. -87.在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边c b a ,,直接求出三角形的面积。
据说这个问题最早由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式，即))()((c p b p a p p S ---=,其中)(21c b a p ++=.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）在《数学九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是)(41222∆-=a c S ,这个公式中的∆应该是（ ） A. 2)2(c b a ++ B. 2b c a -+ C. 2222b a c -+ D. 2c b a ++ 8. 已知函数21cos sin 3sin )(2++=x x x x f ，则下列结论正确的是（ ） A. )(x f 的最大值为1 B. )(x f 的最小正周期为2πC. )(x f 的图象关于)0,127(π对称D. )(x f 的图象关于3π=x 对称 9. 在直三棱柱111C B A ABC -中，1,AA AC AB AC AB ==⊥,则异面直线B A 1与1AC 所成角的大小为（ ）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°10. 已知函数)(x f 为定义在R 上的奇函数，)2(+x f 是偶函数，且当]2,0(∈x 时，x x f =)(，则)2019()2018(f f +-=( )A. -3B. -2C. -1D. 011. 已知O 为坐标原点，抛物线C:x y 82=上一点A 到焦点F 的距离为6，若P 为抛物线C 准线上的一个动点，则AP OP +的最小值为（ ）A. 4B. 34C. 64D. 36 12.已知函数)(2)1(2)(2R m e m x x f x ∈+++=有两个不同的极值点，则实数m 的取值范围为（ ） A. )1,1-1-(-e B.]0,1[e - C.)1,(e--∞ D.),0(+∞ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-2620y x y x y x ,则y x Z 3+=的最小值为14. 已知函数),()(R b a b ae x f x ∈+=的图像在点))0(,0(f 处的切线方程为12+=x y ,则b a -=15．代号为“狂飙”的台风于某日晚8点在距港口的A 码头南偏东60°的400千米的海面上形成，预计台风中心将以40千米／时的速度向正北方向移动，离台风中心350千米的范围都会受到台风影响，则A 码头从受到台风影响到影响结束，将持续多少小时_______16. 已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，且满足︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为三、解答题（本题共6小题，共70分，请在指定位置写出解答过程）17. （本小题满分12分）设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ，其中11a =. （1）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列；（2）令112n n b a =--，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.18.（本小题满分12分）交通拥堵指数是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数为T ，其范围为[]010，，分别有五个级别：[)02T ∈，畅通；[)24T ∈，基本畅通；[)46T ∈，轻度拥堵；[)68T ∈，中度拥堵；[]810T ∈，严重拥堵．晚高峰时段(2T ≥)，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直方图如图所示． （1）用分层抽样的方法从交通指数在[)46，，[)68，，[]810，的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个级别路段的个数；（2）从（1）中抽出的6个路段中任取2个，求至少有1个路段为轻度拥堵的概率．19.（本小题满分12分）如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，，，垂足为E ，，将沿EC 折起到的位置，如图2所示，使平面平面ABCE ．（1）连结BE ，证明：平面； （2）在棱上是否存在点G ，使得平面，若存在，直接指出点G 的位置不必说明理由，并求出此时三棱锥的体积；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）如图，已知抛物线px y C 2:2=的焦点是F ，准线是l .抛物线上任意一点M 到y 轴的距离比到准线的距离少2（1）写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；（2）已知点()8,8P ，若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点A 、B（均与P 不重合），直线PA 、PB 分别交l 于点M 、N 求证：MF NF ⊥.频率组距交通拥堵指数21.（本小题满分12分）已知函数()(x f x e e =为自然对数的底数），()()g x ax a R =∈．（1）当a e =时，求函数()()()t x f x g x =-的极小值；（2）若当1x …时，关于x 的方程()()f x lnx e g x a +-=-有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做则按所做的第一题计分．22． 在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(文科) (含答案解析)
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数3−ii=()A. 1+3iB. −1−3iC. −1+3iD. 1−3i2.设集合A={1,3，4}，B={2,3，6}，则A∪B等于()A. {3}B. {1,2，3，4}C. {1,2，3，6}D. {1,2，3，4，6}3.现有历史、政治、数学、物理、化学共有5本书，从中任取2本，取出的书至少有一本文科书的概率为()A. 310B. 12C. 710D. 454.已知α∈[π,3π2]，sinα=−35，则tanα=()A. −43B. 43C. −34D. 345.在ΔABC中，AB=3，BC=√13，AC=4，则边AC上的高为()A. 3√22B. 32C. 3√32D. 3√36.已知函数y=2sin(2x+π4)，则它的一条对称轴方程为()A. x=−π8B. x=0 C. x=π8D. x=π47.过圆x2+y2=2外一点P(1,3)向该圆引两条切线，M，N为切点，则MN的直线方程为()A. 2x+y−1=0B. x+3y−2=0C. x+2y−3=0D. 2x−3y+2=08.已知函数f(x)的定义域[−3,+∞)且f(6)=2，f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，若正数a,b满足f(2a+b)<2，则b+3a−2的取值范围是()A. (−∞,−32)∪(3,+∞) B. (−92,3) C. (−∞,−92)∪(3,+∞)D. (−32,3)9. 某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为( )A. 8+4√3π3B. 8+2√3π3C. 4+4√3π3D. 4+8√3π310. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2√2,A =30∘,C =105∘，则a =( )A. 1B. √2C. 2D. √311. 已知正三棱柱ABC −A 1B1C1(底面是正三角形，且侧棱垂直于底面)的底面边长为4，侧棱长为2√3，则该正三棱柱外接球的表面积为( )A.253πB.1003π C. 25π D. 100π12. 如图，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，过F 1的直线与双曲线的左、右两支分别交于A 、B 两点，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率为( )A. √3B. √5C. √7D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|b ⃗ |=1，a ⃗ ⋅b ⃗ =2，则向量(2a ⃗ −b⃗ )⋅b ⃗ =______． 14. 已知某班有女生20人，男生30人，一次考试女生的平均分为75分，全班的平均分为72分，则男生的平均分为______．15. 已知函数f(x)=lnx +x ，则函数y =f(x)图象在点(1,f(1))处的切线方程为______． 16. 过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，若MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线l 的斜率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在等差数列{a n }中，a 2+a 3=7，a 4+a 5+a 6=18．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，求1S 3+1S 6+⋯+1S 3n．18. 某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A ，B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”． (1)在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；(2)由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关． P(K 2≥k 0)0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 k 00.7081.3232.0722.7063.8415.024参考公式：K 2=n(ad−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)(n =a +b +c +d)19.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=PD=2，PA=√6，E为PA的中点，(1)证明：PC//面BCE；(2)求三棱锥P−BCE的体积．20.如图，椭圆C：x24+y23=1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，直线n：x=4与x轴相交于点E，点M在直线n上，且满足BM//x轴．(1)当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)证明：直线AM经过线段EF的中点．21.已知函数f(x)=xlnx+2x−1．(1)求f(x)的极值；(2)若对任意的x>1，都有f(x)−k(x−1)>0(k∈Z)恒成立，求k的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：x2+y2−2y=0，倾斜角为π的直线l过点M(−2,0)，以原6点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．(1)求C1和C2交点的直角坐标；(2)若直线l与C1交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．23.已知函数F(x)=|3x−1|+ax(Ⅰ)当a=3时，解关于x的不等式f(x)≥|x−3|；(Ⅱ)若f(x)≥x−1在R上恒成立，求实数a的取值范围．2【答案与解析】1.答案：B解析：解：3−ii =−i(3−i)−i2=−1−3i，故选：B．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数3−ii，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：D解析：解：由已知集合A={1,3，4}，B={2,3，6}，则A∪B={1,2，3，4，6}；故选D．找出两个集合的公共元素组成的集合．本题考查了集合的并集运算；属于基础题．3.答案：C解析：分析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．历史、政治、数学、物理、化学共有5本书，从中任取两本，基本事件总数有10种，取出的书至少有一本文科书有7种，根据概率公式计算即可．解：历史、政治、数学、物理、化学共有5本书，从中任取两本，基本事件有：(历史，政治)，(历史，数学)，(历史，物理)，(历史，化学)，(政治，数学)，(政治，物理)，(政治，化学)，(数学，物理)，(数学，化学)，(物理，化学)，共10种，取出的书至少有一本文科书有7种情况，∴取出的书至少有一本文科书的概率p=710，故选C．4.答案：D解析：由条件利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．解：∵已知α∈[π,3π2]，sinα=−35，∴cosα=√1−sin2α=−45，则tanα=sinαcosα=34，故选：D．5.答案：C解析：本题考查了解三角形的应用.由点B向AC作垂线，交点为D，设AD=x，则CD=4−x，利用勾股定理可知BD=√AB2−AD2=√BC2−CD2，进而解得x的值，再利用勾股定理求得BD．解：由点B向AC作垂线，交点为D．设AD=x，则CD=4−x，∴BD=√9−x2=√13−(4−x)2，解得x=32，因此BD=√9−x2=32√3．故选C．6.答案：C解析：解：由2x+π4=kπ+π2，得x=kπ2+π8(k∈Z)，令k=0，得x=π8，∴它的一条对称轴方程为x=π8，故选：C．利用正弦函数的对称性，可知2x+π4=kπ+π2(k∈Z)，k赋值为0即可求得答案．本题考查正弦函数的对称性，熟练掌握正弦函数的对称轴方程是解决问题的关键，属于基础题．7.答案：B解析：本题考查切线方程，和切点弦方程，基础题． 求出切线方程，得出切点弦方程． 解：M(a,b)，N(m,n)，由y−bx−a ⋅ba =−1， 得：直线PM ：ax +by =2， 同理：直线PN ：mx +ny =2，P(1,3)代入，所以a +3b =2，m +3n =2， 则x +3y −2=0是过M ，N 的直线， 也就是MN 的直线方程， 故选：B ．8.答案：A解析：如图所示，f′(x)≥0在[0,+∞)上恒成立，∴函数f(x)在[−3,0)是减函数，(0,+∞)上是增函数，又∵f(2a +b)<2=f(6)，∴{2a +b >02a +b <6，画出平面区域，令t =b+3a−2表示过定点(2,−3)的直线的斜率如图所示，故选A .9.答案：A解析：本题考查由三视图求空间组合体的体积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于中档题．由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆锥和三棱锥的组合体，计算出底面面积和高，代入锥体体积公式，可得答案．解：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆锥和三棱锥的组合体，半圆锥的底面半径为2，高为√42−22=2√3，三棱锥的底面为边长为4的正三角形，高为2√3，其体积为：1 3×[12×(π×22)+12×(4×2√3)]×2√3．故选A．10.答案：C解析：本题考查正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用正弦定理即可得出．解：∵A=30∘,C=105∘，∴B=45°，∵asinA =bsinB，∴a=bsinAsinB=2√2sin30∘sin45∘=2，故选C．11.答案：B解析：如图，取ΔABC的重心E，ΔA1B1C1的重心E1，取AC中点D，则EE1的中点O是该正三棱柱外接球的球心，OA为球半径，∵正三棱柱ABC−A1B1C1的底面边长为4，侧棱长为2√3，∴OE=√3,AE=BE=23BD=23√42−22=4√33，∴R =OA =√(√3)2+(4√33)2=√253， ∴该正三棱柱外接球的表面积：S =4πR 2=4π×(√253)2=100π3．故选：B ．12.答案：C解析：本题考查双曲线的定义和余弦定理，双曲线离心率的求法，属于中档题．根据双曲线的定义算出△AF 1F 2中，|AF 1|=2a ，|AF 2|=4a ，由△ABF 2是等边三角形得∠F 1AF 2=120°，利用余弦定理算出c =√7a ，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C 的离心率．解：根据双曲线的定义，可得|BF 1|−|BF 2|=2a ，∵△ABF 2是等边三角形，即|BF 2|=|AB|，∴|BF 1|−|BF 2|=2a ，即|BF 1|−|AB|=|AF 1|=2a ，又∵|AF 2|−|AF 1|=2a ，∴|AF 2|=|AF 1|+2a =4a ，∵△AF 1F 2中，|AF 1|=2a ，|AF 2|=4a ，∠F 1AF 2=120°，∴|F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2−2|AF 1|⋅|AF 2|cos120°，即4c 2=4a 2+16a 2−2×2a ×4a ×(−12)=28a 2，解得c =√7a ，由此可得双曲线C 的离心率e =c a =√7．故选C ．13.答案：3解析：本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用属于容易试题．直接利用向量数量积的性质进行求解即可．解：∵|b⃗ |=1，a⃗⋅b⃗ =2，则向量(2a⃗−b⃗ )⋅b⃗ =2a⃗⋅b⃗ −b⃗ 2=4−1=3．故答案为3．14.答案：70分解析：本题主要考查平均分的概念、运算以及应用，根据题意列出关系式可得解．解：设男生的平均分为x，则30x+75×20=(20+30)×72，解得x=70．即男生的平均分为70分．故答案为70分．15.答案：y=2x−1解析：本题考查利用导数计算函数的切线方程，注意导数的几何意义，属于基础题．根据题意，由函数的解析式求出其导数，计算可得f(1)与f′(1)的值，由直线的点斜式方程可得切线的方程，变形即可得答案．+1，解：根据题意，f(x)=lnx+x，则f′(x)=1x+1=2，则f(1)=ln1+1=1，f′(1)=11则切线的方程为y−1=2(x−1)，即y=2x−1；故答案为：y=2x−1．16.答案：±43 解析： 作MB 垂直准线于B ，作NC 垂直准线于C ，作NA 垂直MB 于A ，根据抛物线定义，可得tan∠NMA 就是直线l 的斜率．本题考查了抛物线的定义的应用，利用平面几何知识，结合直线斜率与倾斜角的关系求解，属于中档题．解：如图，作MB 垂直准线于B ，作NC 垂直准线于C ，根据抛物线定义，可得MB =MF ，NC =NF ．作NA 垂直MB 于A ，设FN =m ，则MN =5m ，NA =MF −NF =3m ． 在直角三角形AMN 中，tan∠NMA =AN AM =43，∴直线l 的斜率为±43，故答案为：±43． 17.答案：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意，{a 1+d +a 1+2d =7a 1+3d +a 1+4d +a 1+5d =18，解得a 1=2，d =1， ∴a n =2+(n −1)×1=n +1(2)S 3n =3n(a 1+a 3n )2=3n(2+3n+1)2=9n(n+1)2，∴1S 3n =29n(n +1)=29(1n −1n +1) ∴1S 3+1S 6+⋯+1S 3n =29[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n −1n +1)]=2n 9(n +1)解析：本题考查数列的求和，考查等差数列的通项公式与求和公式，考查裂项法，考查转化与分析运算的能力，属于中档题．(1)由等差数列{a n }中的a 2+a 3=7，a 4+a 5+a 6=18，即可求得其首项与公差，从而可得数列{a n }的通项公式；(2)可先求得S 3n ，再用裂项法即可求得答案．18.答案：解：(1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，记该事件为A ，根据等可能事件的概率得到P(A)=C 52C 62=1015=23；-----------------(4分) (2)由已知数据，填写列联表得甲班 乙班 总计 成绩优秀1 5 6 成绩不优秀19 15 34 总计 20 20 40----------------------(6分)根据列联表中的数据，计算得随机变量K 2的观测值为k =40×(1×15−5×19)220×20×6×34≈3.137，-----------------------(9分)由于3.137>2.706，所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“成绩优秀”与教学方式有关．-----------------------(10分)解析：(1)由题意根据等可能事件的概率计算即可；(2)由已知数据填写列联表，计算得K 2的观测值，对照临界值得出结论．本题考查了古典概型的概率计算问题，也考查了独立性检验的应用问题，是基础题．19.答案：(1)证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ．∵底面ABCD 是菱形，∴OA =OC ，又∵E 为PA 的中点，∴EO//PC ，而PC ⊄平面BED ，EO ⊂平面BED ，∴PC//平面EBD ．(2)∵点E 是PA 的中点，∴V 三棱锥P−BCE ═12V 三棱锥A−PBC .由O 点是AC 的中点，可得V 三棱锥A−PBC =2V 三棱锥A−POB =13×12×OP ×OB ×OA =13×√3×1×√3=1．∴得V 三棱锥P−BCE =12V 三棱锥A−PBC =12解析：(1)如图所示，连接AC 交BD 于点O.由底面ABCD 是菱形，可得OA =OC ，利用三角形的中位线定理可得OE//PC ，再利用线面平行的判定定理即可证明PC//平面EBD ．(2)由于点E 是PA 的中点，可得V 三棱锥P−BCE =12V 三棱锥A−PBC .由O 点是AC 的中点，可得V 三棱锥A−PBC =2V 三棱锥A−POB =13×12×OP ×OB ×OA ，即可得出．题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积计算公式，考查了了推理能力与计算能力，属于中档题 20.答案：解：(1)由c =√4−3=1，∴F(1,0)，∵直线l 与x 轴垂直，∴x =1，由{x =1x 24+y 23=1得{x =1,y =32,或{x =1,y =−32, ∴A(1,32)，M(4,−32)∴直线AM 的方程为y =−x +52．证明(2)设直线l 的方程为x =my +1，由{x 24+y 23=1x =my +1得3(my +1)2+4y 2=12， 即(3m 2+4)y 2+6my −9=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−6m 3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4，∵EF 的中点N(52,0)，点M(4,y 2)，∴NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−52,y 1)═(my 1−32,y 1)，NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,y 2)， ∴NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =my 1y 2−32(y 1+y 2)=−9m 3m 2+4−32×−6m 3m 2+4=0．∴A ，N ，M 三点共线，∴直线AM 经过线段EF 的中点．解析：(1)由题意求出点A ，M 的坐标，即可求出直线AM 的方程，(2)设直线l 的方程为x =my +1，与椭圆联立，根据韦达定理和向量的运算即可证明A ，N ，M 三点共线，可得直线AM 经过线段EF 的中点本题主要考查了椭圆的标准方程．涉及了直线与椭圆的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题21.答案：解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=lnx +3，令f′(x)=0，解得x =e −3，当x ∈(0,e −3)时，f′(x)<0，函数f(x)递减；当x ∈(e −3,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)递增；故f(x)的极小值为f(e −3)=−e −3−1，无极大值；(2)原式可化为k <f(x)x−1=xlnx+2x−1x−1， 令g(x)=xlnx+2x−1x−1(x >1)，则g′(x)=x−2−lnx (x−1)2， 令ℎ(x)=x −2−lnx(x >1)，则ℎ′(x)=1−1x >0，故ℎ(x)在(1,+∞)上递增，且ℎ(3)=1−ln3<0；ℎ(4)=2−ln4>0；故存在唯一的x 0∈(3,4)，使得ℎ(x 0)=0，即lnx 0=x 0−2，且当x ∈(1,x 0)时，ℎ(x)<0，g′(x)<0，g(x)递减；当x ∈(x 0,+∞)时，ℎ(x)>0，g′(x)>0，g(x)递增；故g(x)min =g(x 0)=x 0+1，故k <x 0+1∈(4,5)，所以整数k 的最大值为4．解析：(1)求导判断函数的单调性，由极值定义得解；(2)问题转化为k <f(x)x−1=xlnx+2x−1x−1在(1,+∞)上恒成立，构造函数g(x)=xlnx+2x−1x−1(x >1)，利用导数求函数g(x)的范围，进而得到实数k 的范围，由此得到答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分离参数法及转化思想，考查逻辑推理能力，属于常规题目．22.答案：解：(1)曲线C 2的极坐标方程为，化为直角坐标系的方程为x +y −2=0，联立{x +y −2=0x 2+y 2−2y =0, 消去x 得，y 2−3y +2=0，解得y =1或2，故C 1和C 2交点的坐标为(0,2)，(1,1)．(2)依题意，直线l 的参数方程为为参数)，把直线l 的参数方程{x =−2+√32t y =12t 代入x 2+y 2−2y =0， 得(−2+√32t)2+(12t)2−t =0， 即t 2−(2√3+1)t +4=0，设A ，B 对应得参数分别为t 1,t 2，则t 1+t 2=2√3+1，t 1·t 2=4．易知点M 在圆x 2+y 2−2y =0外，所以|MA|+|MB|=|t 1+t 2|=2√3+1．解析：本题主要考查由直线极坐标方程求直角坐标方程，由直线直角坐标方程求其参数方程，考查参数的几何意义，属于中档题．(1)将曲线C 2的极坐标方程化成直角坐标方程，联立方程即可求解；(2)通过设直线l 的参数方程，联立方程，利用参数的几何意义求解．23.答案：解：(Ⅰ)当a =3时，关于x 的不等式f(x)≥|x −3|即|3x −1|+3x ≥|x −3|， 即|3x −1|−|x −3|+3x ≥0． ∴{x ≥33x −1−(x −3)+3x ≥0①，或{13≤x <33x −1−(3−x)+3x ≥0②，或 {x <131−3x −3+x +3x ≥0． 解①求得x ≥3，解②求得47≤x <3，解③求得x ∈⌀．综上可得，不等式的解集为[47,+∞)．(Ⅱ)若f(x)≥x −12在R 上恒成立，即|3x −1|+ax ≥x −12在R 上恒成立，即|3x −1|+12≥(1−a)x ．故函数ℎ(x)=|3x −1|+12的图象应该在直线y =(1−a)x 的上方或重合．如图所示：∴0≤1−a≤3，或−3≤1−a<0，解得−2≤a≤1，或1<a≤4，即a的范围是[−2,4]解析：(Ⅰ)当a=3时，关于x的不等式即|3x−1|−|x−3|+3x≥0，转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)由题意可得函数ℎ(x)=|3x−1|+1的图象应该在直线y=(1−a)x的上方或重合，可得0≤1−2a≤1，或−2≤1−a<0，由此求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，很熟的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
南充高中高2017级高三第三次月考(文科数学参考答案)
分
19、（I）证明：在 ABC 中， AC 2 AB2 BC 2 2AB BC cos 60 3 ，所以 AC 2 AB2 BC 2 ，由
勾股定理知： ACB 90 ，故 BC AC .......................................................3 分
南充高中 2019－2020 学年度上期
高 2017 级第三次月考数学试卷（文）参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
C
A
B
D
B
A
C
D
D
C
A
二、填空题
13、 3
14、 2
15、10
16、12
三、解答题
17、解：（I）由图易知： A 2,T 4 ,故 2 1 ，则 f (x) 2sin( 1 x ) ............................2 分
3
3
S 1 ab sin C 1 16 3 4 3 （当且仅当 a b 4 3 时取等）.
2
23 2 3
3
综上 ABC 面积最大值为 4 3 ，此时 a b 4 3 ......... 12 分
3
3
18、（I）根据题意知：销售额和利润资料散点图如右图
由散点图可得连个变量符合正相关....................3 分
AC
)
EC
] 1 2
32 32
...................................................9 分
四川省南充高级中学2020届高三2月线上月考数学(文)试题含答案
2017级⾼三寒假⾼考数学试卷（⾼）⾼、选择题（本题共12⾼题，每⾼题5分，共60分）1.在复平⾯内，复满，的共轭复数对应的点位于（）A.第⾯象限B.第⾯象限C.第三象限D. 第四象限2.已知集，，的元素个数是（）A.4B.3C.2D.13.质监部⾯对2辆新能源汽⾯和3辆燃油汽⾯进⾯质量检测，现从中任选2辆，则选中的2辆都为燃油汽⾯的概率为（）A.0.3B.0.4C.0.5D.0.64. 若，且，=（）A. B. C. D.5.已知椭圆与双曲线的焦点相同，则双曲线的渐近线⾯程为（）A. B. C. D.6.已知向, ，则A.8B.6C.-6D.-87.在解三⻆形的问题中，其中⾯个⾯较困难的问题是如何由三⻆形的三边直接求出三⻆形的⾯积。
据说这个问题最早由古希腊数学家阿基⾯德解决的，他得到了海伦公式，即,其中.我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）在《数学九章》⾯⾯给出了⾯个等价解法，这个解法写成公式就是,这个公式中应该是（）A. B. C. D.8.已知函数，则下列结论正确的是（）A. 的最⾯值为1B. 的最⾯正周期为2C. 的图象关于对称D. 的图象关于对称9.在直三棱中，,则异⾯直与所成⻆的⾯⾯为（）A.30°B.60°C.90°D.120°10.已知函为定义在R上的奇函数是偶函数，且时，则=()A.-3B.-2C.-1D.011.已知O为坐标原点，抛物线上⾯点A到焦点F的距离为6，若P为抛物线C准线上的⾯个动点，则的最⾯值为（）A.4B.C.D.12.已知函数有两个不同的极值点，则实的取值范围为（）A. B. D.⾼、填空题（本题共4⾼题，每⾼题5分，共20分）13.已知实满⾯不等式组,的最⾯值为14.已知函的图像在处的切线⾯程,=15．代号为“狂飙”的台⾯于某⾯晚8点在距港⾯的A码头南偏东60°的400千⾯的海⾯上形成，预计台⾯中⾯将以40千⾯／时的速度向正北⾯向移动，离台⾯中⾯350千⾯的范围都会受到台⾯影响，则A码头从受到台⾯影响到影响结束，将持续多少⾯时16.已知所在的平⾯与矩形所在的平⾯互相垂直，且满，则多⾯的外接球的表⾯积为三、解答题（本题共6⾼题，共70分，请在指定位置写出解答过程）17.（本⾯题满分12分）设数列满⾯，其中.（1）证明：是等⾯数列；，求使成⾯的最⾯⾯然数n 的值.（2）令，设数列的前n 项和为， ， 18.（本⾯题满分12分）交通拥堵指数是综合反映道路⾯畅通或拥堵的概念，记交通拥堵指数，其范围为，分别有五个级别畅通基本畅通轻度拥堵中度 拥堵严重拥堵．晚⾯峰时段( )，从某市交通指挥中⾯选取了市区个交通路段，依据其交通拥堵指数数据绘制的直⾯图如图所示．（1）⾯分层抽样的⾯法从交通指数在 级别路段的个数；的路段中共抽取6个路段，求依次抽取的三个 （2）从（1 ）中抽出的6个路段中任取2个，求⾯少有1个路段为轻度拥堵的概率．.本⾯题满分12分）如图1所示，在等腰梯形ABCD 中，， ，垂⾯为E ， ，将沿EC 折起到 的位置，如图2所示，使平⾯平⾯ABCE ．（1）连结BE ，证明平⾯ ； （2）在上是否存在点G ，使得 平面若存在，直接指出点G 的位不必说明理，并求出此 时三棱的体积；若不存在，请说明理由．（本⾯题满分12分）如图，已知抛物线的焦点是， 准线.抛物线上任意⾯点M 到y 轴的距离⾯到准线的距离少2 （1）写出焦的坐标和准的⾯程；（2）已知，若过点 的直线交抛物于不同的两点A 、B（均不.直线PA,PB 分别交准线于点M,N,求证21.（本⾯题满分12分）已知函数为⾯然对数的底数），．（1）当时，求函数的极⾯值；（2）若当时，关的⾯程有且只有⾯个实数解，求实的取值范围．选考题：共10分．请考⾼在第22、23题中任选⾼题作答．如果多做则按所做的第⾼题计分．22．在新中国成周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着⾯颗红⾯，以此表达对祖国的热爱之情. 在数学中，有多种⾯程都可以表示⾯型曲线，其中有著名的笛卡尔⾯型曲线.如图，在直⻆坐标系中，以原点为极点轴正半轴为极轴建⾯极坐标系。
四川省南充高级中学2020届高三数学上学期期末考试试题文
南充高中2016-2017学年上学期期末考试高三数学(文科)试卷(时间:120分钟满分:I50分)注意事项：1.考生将自己的姓名、准考证号及所有的答案均填写在答题卷上.2.答题要求见答题卷上的“填涂样例”和“注意事项”。
参考公式：第I 卷(选择题共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}{}1,3,5,7,9,1,3,9A B ==则A C B =2.已知i 是虚数单位，复数1(1)()Z m m i m R =-++∈其中是纯虚数，则m =.A -1 .B 1 .C 1± .D 0 3. “1x <-”是“21x >”的 .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件.C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件4.在下列函数中，最小值为2的是5.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的斜边长为2，那么这个几何体的体积是6.如图，该程序运行后输出的结果为.A 6 .B 8 .C 10 .D 127.若函数()y f x =的最小正周期为π，且图象关于点(,0)3π,对称则()f x 的解析式可以是8.已知空间两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ， 则下列命题中正确的命题是 .A 若,,,m n αβαβ⊥⊥则m n ⊥ .B 若,,,m n αβαβ⊥⊥⊥则m n ⊥.C 若,,,m n αβαβ则m n .D 若,,,m n αβαβ⊥⊥，则m n9. 圆222210x y x y +--+=上的点到直线40x y +-=的最大距离与最小距离的差为10.在正方形ABCD 中，(2,2),(,)(0)AB AD a b b ==>，则BD =11.函数()f x 是定义城为R 的奇函数，且当0x ≥时. ()2xf x x a =-+，则函数()f x 的零点个数是 .A 1 .B 2 .C 3 .D 412.如图，矩形n n n n A B C D 的一边n n A B 在x 轴上，另外两个顶点n C 、n D 在函数1()(0)2f x x x x=+>的图象上，若点n B 坐标为 (,0)()n n N *∈，记矩形n n n n A B C D 的周长为n a ，则12310a a a a ++++= 第II 卷(非选择题共90分)二.填空题:（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置上)13.在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，1,3,30b c B ︒===，则_______a =14.已知正数,x y 满足24,x y +<则11y x ++的取值范围是_________。
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷(文科)(含答案解析)
2020年四川省南充市高考数学二诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数i+1i=()A. −2iB. 0C. 12i D. 2i2.已知集合A={1,3，√m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=()A. 0或√3B. 0或3C. 1或√3D. 1或33.3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是()A. 12B. 14C. 15D. 1104.已知tanα=−12,π2<α<π，则sinα=()A. 2√55B. −√55C. −2√55D. √555.如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈=10尺)，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子三尺远，问折断处离地面的高？()A. 4.55尺B. 5.45尺C. 4.2尺D. 5.8尺6.若函数y=2sin(2x+φ)的图象过点(π6,1)，则它的一条对称轴方程可能是()A. x=π6B. x=π3C. x=π12D. x=5π127.过圆x2+y2=4外一点M(4,−1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是()A. 4x−y−4=0B. 4x+y−4=0C. 4x+y+4=0D. 4x−y+4=08.定义在R上的函数f(x)满足f(4)=1，f′(x)为f(x)的导函数，已知y=f′(x)的图象如图所示，若两个正数a，b满足f(2a+b)<1,则b+1a+1的取值范围是()A. (15,13) B. (−∞,13)∪(5,+∞)C. (13,5) D. (−∞,3)9.一个空间几何体的正视图是长为4，宽为√3的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 4√33B. 4√3 C. 2√33D.2√310. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(2a −b)cosC =ccosB ，则内角C =( )A. π6B. π4C. π3D. π2 11. 正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成60°角，则正三棱锥的外接球的体积为( )A. 4πB. 16πC. 16π3D.32π312. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左、右焦点．若双曲线上存在点M ，使∠F 1MF 2=60°，且|MF 1|=2|MF 2|，则双曲线离心率为( )A. √2B. √3C. 2D. √5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ ,b ⃗ 满足(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(a ⃗ −b ⃗ )=−6，且|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=2，则cos <a ⃗ ，b ⃗ >=______．14. 一次考试后，某班全班50个人数学成绩的平均分为正数M ，若把M 当成一个同学的分数，与原来的50个分数一起，算出这51个分数的平均值为N ，则MN =______．15. 已知函数f(x)=alnx −bx 2图象上一点(2,f(2))处的切线方程为y =−3x +2ln2+2，则a +b =______．16. 已知F 是抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点，过F 作直线与C 相交于P ，Q 两点，且Q 在第一象限，若2PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线PQ 的斜率是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 等差数列{a n }中，a 1=1，a 6=2a 3．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =2a n ，记S n 为数列{b n }前n 项的和，若S m =62，求m ．18. 为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援，现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米． (1)求出易倒伏玉米茎高的中位数m ；的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，K 3.841 6.635 10.82819. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =120°，PA =2，PB =PC =PD ，E 是PB 的中点． (1)证明：PD//平面AEC ；(2)设F 是线段DC 上的动点，当点E 到平面PAF 距离最大时，求三棱锥P −AFE 的体积．20. 设点F 1(−c,0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2+y 24=1(a >2)的左，右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为3．(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，直线l ：x =5与x 轴交于点E ，过点F 2且斜率k ≠0的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 2的中点，直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l ．21. 已知两数f(x)=lnx +kx ．(1)当k =−1时，求函数f(x)的极值点；(2)当k =0时，若f(x)+bx −a ≥0(a,b ∈R)恒成立，求e a−1−b +1的最大值．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =3−√22ty =√5+√22t(t 为参数).在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为ρ=2√5sinθ． (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若点P 坐标为(3,√5)，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，求|PA|+|PB|的值．23. 设函数f(x)=|x −1|+|x −a|，a ∈R ．(1)当a =4时，求不等式f(x)≥5的解集；(2)若f(x)≥4对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：i+1i =i+ii⋅i=i−i=0故选：B．直接对复数的分母、分子同乘i，然后化简即可求出所求．本题主要考查了复数代数形式的混合运算，解题的关键i2=−1，属于容易题．2.答案：B解析：解：A∪B=A⇔B⊆A．∴{1,m}⊆{1,3，√m}，∴m=3或m=√m，解得m=0或m=1(与集合中元素的互异性矛盾，舍去)．综上所述，m=0或m=3．故选：B．由两集合的并集为A，得到B为A的子集，转化为集合间的基本关系，再利用子集的定义，转化为元素与集合，元素与元素的关系．此题考查了并集及其运算，以及集合间的包含关系，是一道基础题．3.答案：D解析：解：从中任意取出2本共有10种，取出的书恰好都是数学书有1种，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率为110，故选：D．求出总的事件个数，再求出符合题意的事件，求出概率．本题考查概率，属于基础题．4.答案：D解析：解：已知tanα=−12，∴cos2α=11+tan2α=45，∴sin2α=15．又π2<α<π，∴sinα=√55，故选：D．利用同角三角函数的基本关系，求出cos2α和sin2α的值，再由π2<α<π，求出sinα的值．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，是一道基础题．5.答案：A解析：解：如图，已知AC+AB=10(尺)，BC=3(尺)，AB2−AC2=BC2=9，所以(AB+AC)(AB−AC)=9，解得AB−AC=0.9，因此{AB +AC =10AB −AC =0.9，解得{AB =5.45AC =4.55，故折断后的竹干高为4.55尺， 故选：A ．由题意可得AC +AB =10(尺)，BC =3(尺)，运用勾股定理和解方程可得AB ，AC ，即可得到所求值．本题考查三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 6.答案：B解析：解：∵函数y =2sin(2x +φ)的图象过点(π6,1)，∴1=2sin(2×π6+φ)，∴φ=2kπ+π6或2kπ+5π6(k ∈z)①．又∵对称轴方程为：2x +φ=k′π+π2，∴x =k′π2+π2−φ(k′∈z)②．将①代入②得 x =k′π2−kπ+π3(,k′∈z,k ∈z)．当k′=0，k =0时，x =π3． 故选：B ．由于函数过点(π6,1)，代入函数得φ=2kπ+π6或2kπ+5π6，又可知对称轴方程为x =k′π2+π2−φ，将φ代入对称轴方程，对k ，k′赋值即可得出答案．本题考察三角函数图象和性质，属于中档题． 7.答案：A解析：解：设切点是P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)， 则以P 为切点的切线方程是：x 1x +y 1y =4， 以Q 为切点的切线方程是：x 2x +y 2y =4，∵点M(4,−1)在两条切线上，则4x 1−y 1=4，4x 2−y 2=4 ∴点P 、Q 的坐标满足方程：4x −y =4∴过两切点P 、Q 的直线方程是：4x −y −4=0． 故选：A ．设切点是P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2)，则以P 为切点的切线方程是：x 1x +y 1y =4，以Q 为切点的切线方程是：x 2x +y 2y =4，由此能求出过两切点P 、Q 的直线方程．本题考查经过两个切点的直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的切线方程的性质的合理运用．8.答案：C解析：解：由图可知，当x >0时，导函数f′(x)>0，原函数单调递增∵两正数a，b满足f(2a+b)<1，∴0<2a+b<4，∴b<4−2a，由0<b<4−2a，可得0<a<2，画出可行域如图．k=b+1表示点Q(−1,−1)与点P(x,y)连线的斜率，a+1当P点在A(2,0)时，k最小，最小值为：1；3当P点在B(0,4)时，k最大，最大值为：5．取值范围是C．故选C．先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围得到答案．本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．9.答案：B解析：解：由题意可知，三视图复原的几何体是放倒的正三棱柱，如图所示：，正三角形的边长为2，高为√3，正三棱柱的高为4，×2×√3×4=4√3，所以正三棱柱的体积为：12故选：B．通过三视图复原的几何体的特征，结合三视图的数据，求出几何体的体积即可．本题主要考查了根据三视图还原实物图，考查了几何体体积的求法，是基础题．10.答案：C解析：解：由正弦定理得：2sinAcosC−sinBcosC=sinCcosB，即2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB，即2sinAcosC=sin(B+C)=sinA，由于sinA≠0，，故cosC=12又0<C<π，．所以C=π3故选：C．由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得2sinAcosC=sinA，结合sinA≠0，可求cos C，根据范围0<C<π，可求C的值．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于基础题．11.答案：D解析：解：如图所示，过A作AE⊥平面BCD，垂足为E，则E为三角形BCD的外心，由题意可知，BE=√3，因为侧棱与底面成60°角，即∠ABE=60°，所以AE=3，Rt△OBE中，R2=3+(3−R)2，解可得R=2，则正三棱锥的外接球的体积V=4πR33=32π3．故选：D．由已知及线面角可求BE，AE，然后结合球的性质可求R，结合球体积公式可求．本题主要考查了三棱锥的外接球的体积的求解，解题的关键是球心的确定，属于中档试题．12.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．由双曲线的定义知|MF1|=4a，|MF2|=2a，由余弦定理得c=√3a，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵点M在双曲线x2a2−y2b2=1上，且|MF1|=2|MF2|，∴由双曲线的定义知|MF1|=4a，|MF2|=2a，又∵∠F1MF2=60°，∴在△MF1F2中，由余弦定理得：16a2+4a2−2⋅4a⋅2a⋅cos60°=4c2，解得c=√3a，∴e=ca=√3．故选：B．13.答案：12解析：解：根据题意，向量a⃗,b⃗ 满足(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=−6，且|a⃗|=1，|b⃗ |=2，则有(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=−7+2cos<a⃗，b⃗ >=−6，解可得：cos<a⃗，b⃗ >=12；故答案为：12根据题意，由数量积的计算公式可得(a⃗+2b⃗ )⋅(a⃗−b⃗ )=a⃗2+a⃗⋅b⃗ −2b⃗ 2=−7+2cos<a⃗，b⃗ >=−6，变形分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题． 14.答案：1解析：解：全班50个人数学成绩的平均分为正数M ， 把M 当成一个同学的分数，则班中有51名同学，总成绩为51M ， 这51人的平均分为N =51M 51=M ，所以MN =1．故答案为：1．全班50个人的平均分为M ，把M 当成一个同学的分数，则班中有51人，计算这51人的平均值N ，求出M N 的值即可．本题考查了平均数的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 15.答案：3解析：解：将x =2代入切线得f(2)=2ln2−4． 所以2ln2−4=aln2−4b①， 又f′(x)=ax −2bx ， ∴f′(2)=a 2−4b =−3②，联立①②解得a =2，b =1． 所以a +b =3． 故答案为：3．将(2,f(2))代入切线求出f(2)，再将切点坐标代入f(x)得方程①，再对原函数求导，进一步求出切点处导数并令其为−3，得方程②，联立①②求出a ，b 即可解决问题．本题考查了导数的几何意义，本题的关键在于利用切点满足曲线与切线方程，切点处的导数等于切线斜率列方程求解，注意计算要准确．属于基础题． 16.答案：2√2解析：解：过点P ，Q 分别作抛物线的准线l ：x =−1的垂线，垂足分别是P 1、Q 1，由抛物线的定义可知，|Q 1Q|=|QF|，|P 1P|=|FP|， 设|PF|=k(k >0)，2PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|FQ|=2k ，|PQ|=3k ，又过点Q 作QR ⊥P 1P 于点R ， 则在直角△PRQ 中，|RR|=k ，|PQ|=3k ， |QR|=2√2k ，由∠PQR 与直线QP 的倾斜角相等，则直线PQ 的斜率k =tan∠QPR =2√2， ∴直线PQ 的斜率是2√2， 故答案为：2√2．过点P，Q分别作抛物线的准线l：x=−p的垂线，垂足分别是P1、Q1，由抛物线的|Q1Q|=|QF|定2义可知，|P1P|=|FP|，设|QF|=k(k>0)，则|FP|=2k，在直角△PRQ中求解直线PQ的倾斜角即可求得直线PQ斜率．本题考查抛物线的简单几何性质及抛物线定义的应用，考查数形结合思想以及计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则a n=1+(n−1)d，∵a6=2a3，∴1+5d=2(1+2d)，解得d=1，∴a n=n，n∈N∗．(2)由(1)知，b n=2n=2⋅2n−1，∴数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，=2n+1−2，∴S n=2−2n+11−2由S m=62，可得2m+1−2=62，解得m=5．解析：本题第(1)题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据等差数列的通项公式代入a6=2a3，可得关于公差d的方程，解出d的值，即可得到数列{a n}的通项公式；第(2)题先根据第(1)题的结果计算出数列{b n}的通项公式，可发现数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式可得S n的表达式，代入S m=62进行计算可得m的值．本题主要考查等差数列和等比数列基本量的计算．考查了转化思想，方程思想，指数的运算，逻辑思维能力和数学运算能力．本题属中档题．=190；18.答案：解：(1)m=190+1902(2)抗倒伏易倒伏矮茎154高茎1016(3)由于k2=45×(15×16−4×10)2=7.287>6.635，19×26×25×20因此可以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关．解析：(1)根据茎叶图可求易倒伏玉米茎高的中位数；(2)根据茎叶图的数据，即可完成列联表：(3)计算K的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论．本题主要考查了中位数的求法，考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．19.答案：(1)证明：连接DB与AC交于O，连接OE，∵ABCD是菱形，∴O为DB的中点，又∵E为PB的中点，∴PD//OE，∵PD⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，∴PD//平面AEC ；(2)解：取BC 中点M ，连接AM ，PM ，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°，且PC =PB ，∴BC ⊥AM ，BC ⊥PM ，又AM ∩PM =M ，∴BC ⊥平面APM ，又AP ⊂平面APM ，∴C ⊥PA ．同理可证：DC ⊥PA ，又BC ∩DC =C ，∴PA ⊥平面ABCD ，则平面PAF ⊥平面ABCD ，又平面PAF ∩平面ABCD =AF ，∴点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，过B 作直线AF 的垂线段，在所有垂线段中长度最大为AB =2，∵E 为PB 的中点，故点E 到平面PAF 的最大距离为1，此时，F 为DC 的中点，即AF =√3，∴S △PAF =12PA ⋅AF =12×2×√3=√3， ∴V p−AFE =V E−PAF =13×√3×1=√33．解析：(1)连接DB 与AC 交于O ，连接OE ，由三角形中位线定理证明PD//OE ，再由线面平行的判定可得PD//平面AEC ；(2)取BC 中点M ，连接AM ，PM ，证明PA ⊥平面ABCD ，则平面PAF ⊥平面ABCD ，又平面PAF ∩平面ABCD =AF ，可得点B 到直线AF 的距离即为点B 到平面PAF 的距离，过B 作直线AF 的垂线段，在所有垂线段中长度最大为AB =2，由此可得点E 到平面PAF 的最大距离为1，求得AF ，则三棱锥P −AFE 的体积可求．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．20.答案：解：(1)设P(x,y)，则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c −x,−y),PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c −x,−y)，所以PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2+y 2−c 2=a 2−4a 2x 2+4−c 2， 因为a >2，x ∈[−a,a]．所以当x =0时，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 值最小，所以4−c 2=3，解得c =1，(舍负)所以a 2=5，所以椭圆C 的方程为x 25+y 24=1，(2)设直线l 1的方程为y =k(x −1)，k ≠0，联立{y =k(x −1)x 25+y 24=1，得(4+5k 2)x 2−10k 2x +5k 2−20=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=10k 24+5k 2,x 1x 2=5k 2−204+5k 2， 设N(5,y 0)，因为A ，M ，N 三点共线，又M(3,0)所以−y 13−x 1=y 02，解得y 0=2y 1x 1−3．而y 0−y 2=2y 1x 1−3−y 2=2k(x 1−1)x 1−3−k(x 2−1)=3k(x 1+x 2)−kx 1x 2−5kx 1−3=3k⋅10k 24+5k 2−k⋅5k 2−204+5k 2−5k x 1−3=0所以直线BN//x 轴，即BN ⊥l ．解析：(1)设P(x,y)，求出PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的表达式，利用最小值，转化求解即可．(2)设直线l 1的方程为y =k(x −1)，k ≠0，联立{y =k(x −1)x 25+y 24=1，得(4+5k 2)x 2−10k 2x +5k 2−20=0．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，通过韦达定理，设N(5,y 0)，因结合A ，M ，N 三点共线，解得y 0=2y 1x 1−3．计算y 0−y 2=0，即可说明直线BN//x 轴，即BN ⊥l ．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题． 21.答案：解：(1)f′(x)定义域为(0,+∞)，当k =−1时，f(x)=lnx −x,f′(x)=1x −1， 令f′(x)=0得x =1，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，所以f(x)有唯一的极大值点x =1，无极小值点．(2)当k =0时，f(x)+b x −a =lnx +b x −a ．若f(x)+b x −a ≥0,(a,b ∈R)恒成立，则lnx +b x −a ≥0(a,b ∈R)恒成立，所以a ≤lnx +b x 恒成立，令y =lnx +b x ，则y′=x−bx 2，由题意b >0，函数在(0,b)上单调递减，在(b,+∞)上单调递增，所以a ≤lnb +1，所以a −1≤lnb所以e a−1≤b ，所以e a−1−b +1≤1，故e a−1−b +1的最大值为1．解析：(1)把k =−1代入后对函数求导，然后结合导数与单调性及极值关系即可求解；(2)由已知不等式恒成立，分离参数a 可得a ≤lnx +b x 恒成立，构造函数，转化为求解相应函数的范围，结合导数可求．本题主要考查了利用导数求解函数的极值，证明不等式，体现了转化思想的应用，属于中档试题．22.答案：解：(Ⅰ)由{x =3−√22t y =√5+√22t得直线l 的普通方程为x +y −3−√5=0--------2分 又由ρ=2√5sinθ得ρ2=2√5ρsinθ，化为直角坐标方程为x 2+(y −√5)2=5；---------5分 (Ⅱ)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得(3−√22t)2+(√22t)2=5，即t 2−3√2t +4=0 设t 1，t 2是上述方程的两实数根，所以t 1+t 2=3√2又直线l 过点P(3,√5)，A 、B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，所以|PA|+|PB|=|t 1|+|t 2|=t 1+t 2=3√2.------------------10分．解析：(Ⅰ)先利用两方程相加，消去参数t 即可得到l 的普通方程，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的直角坐标方程． (Ⅱ)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，利用参数的几何意义，求|PA|+|PB|的值． 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．23.答案：解：(1)当a =4时，不等式f(x)≥5，即|x −1|+|x −4|≥5，等价于{x <1−2x +5≥5，或{1≤x ≤43≥5，或 {x >42x −5≥5， 解得：x ≤0或x ≥5．故不等式f(x)≥5的解集为{x|x ≤0，或x ≥5 }. …(5分)(2)因为f(x)=|x −1|+|x −a|≥|(x −1)−(x −a)|=|a −1|.(当x =1时等号成立)所以：f(x)min =|a −1|.…(8分)由题意得：|a −1|≥4，解得 a ≤−3，或a ≥5. …(10分)解析：(1)不等式即|x −1|+|x −4|≥5，等价于{x <1−2x +5≥5，或{1≤x ≤43≥5，或 {x >42x −5≥5，分别求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．(2)因为f(x)=|x −1|+|x −a|≥|a −1|，由题意可得|a −1|≥4，与偶此解得 a 的值． 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题。
四川省南充高级中学高2017级高二下数学试卷(十三)
四川省南充高级中学高2017级高二下数学试卷（十三）一．选择题（共12小题）1．若集合{|3}A x x =<，{2}B x =，则(A B = )A ．{|3}x x <B ．{|03}x x <…C ．{|03}x x <<D ．{|4}x x …2．已知复数z 满足32(i z i i =+是虚数单位），则(z = ) A ．23i +B ．23i -C ．23i -+D ．23i --3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值等于( )A ．1111238+++⋯+ B ．1111237+++⋯+ C ．11111238++++⋯+ D ．11111237++++⋯+ 4．两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上．若圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和，且该球的表面积为16π，则圆柱的体积为( ) A ．2πB ．83πC ．6πD ．8π5．在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众A 、B 、C 做了一项预测： A 说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”． B 说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”． C 说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”． 比赛结果出来后，发现A 、B 、C 三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．如图，为了测量某湿地A ，B 两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C ，D ，E ．从D 点测得67.5ADC ∠=︒，从C 点测得45ACD ∠=︒，75BCE ∠=︒，从E 点测得60BEC ∠=︒．若测得DC =CE =位：百米），则A ，B 两点的距离为( )3题图4题图6题图AB．C ．3 D．7．曲线11cos :(sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）上的点到曲线212:(112x t C t y t⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）上的点的最短距离为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2*119()2n n n nS S n N +-+=∈，若1011a a <，则n S 取最小值时n 的值为()A ．10B ．9C ．11D ．129．已知F 是抛物线24x y =的焦点，点P 在抛物线上，点(0,1)A -，则||||PF PA 的最小值是( ) ABC ．1D ．1210．已知正数a ，b 满足221a b ab +=+，则1)2a b +的最大值为( ) A．B ．2CD ．111．已知AB 是椭圆221255x y +=的长轴，若把线段AB 五等份，过每个分点作AB 的垂线，分别与椭圆的上半部分相交于C ，D ，E ，G 四点，设F 是椭圆的左焦点，则||||||||FC FD FE FG +++的值是( ) A ．15B ．16C ．18D ．2012．已知函数1()ax f x xe lnx ax -=--，21(,]a e∈-∞-，函数()f x 的最小值M ，则实数M 的最小值是( ) A ．1-B ．1e-C ．0D ．31e -二．填空题（共4小题）13．若向量(1,2)a x =+和向量(1,2)b =-垂直，则||a b -= ．14．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:4:3，现按年级用分层抽样的方法抽取若千人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为 ．15．已知双曲线2222(0,0)x y l a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且垂于x 轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，2AF ，2BF 分别交y 轴于P ，Q 两点，若2PQF ∆的周长为8，则ab 取得最大值时，该双曲线的离心率是 ．16．已知函数(),(0,)2x e axf x x x =-∈+∞，当21x x >时，不等式1221()()0f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 三．解答题（共8小题）17．设数列{}n a 满足123232(*)n n a a a na n N ⋯=∈（1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列122n n a +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和nS18．（文）某高校共有10000人，其中男生7500人，女生2500人，为调查该校学生每则平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集200位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．调查部分结果如下22⨯列联表：（1）完成上述每周平均体育运动时间与性别的22⨯列联表，并判新是否有95%把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”；（2）已知在被调查的男生中，有5名数学系的学生，其中有2名学生每周平均体育运动时间超过4小时，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰有1人“每周平均体育运动时间超过4小时”的概率． 附．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．（理）某大型工厂招聘到一大批新员工．为了解员工对工作的熟练程度，从中随机抽取100人组成样本，并统计他们的日加工零件数，得到以下数据；（1）已知日加工零件数在[80，120)范围内的5名员工中，有3名男工，2名女工，现从中任取两名进行指导，求他们性别不同的概率；（2）完成频率分布直方图，并估计全体新员工每天加工零件数的平均数（每组数据以中点值代替）；19．（理）如图，四边形ABCD 和三角形ADE 所在平面互相垂直，//AB CD ，AB BC ⊥，60DAB ∠=︒，4AB AD ==，AE DE ⊥，AE DE =，平面ABE 与平面CDE 交于EF ．（Ⅰ）求证：//CD EF ；（Ⅱ）若EF CD =，求二面角A BC F --余弦值；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点M 使得AM EM ⊥？若存在，求BM 的长；若不存在，说明理由．（文）．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PA PB PD ==．（1）求证：PD AB ⊥； （2）若6AB =，8PC =，E 是BD 的中点，求点E 到平面PCD 的距离．20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）不过原点的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若三直线OM 、l 、ON 的斜率与1k ，k ，2k 点成等比数列，求直线l 的斜率及22||||OM ON +的值．21．已知函数21()(1)()2f x lnx ax a x a R =+-+∈．（Ⅰ）当1a …时，函数()f x 在区间[1，]e 上的最小值为5-，求a 的值； （Ⅱ）设3211()()(1)22g x xf x ax a x x =-++-，且()g x 有两个极值点1x ，2x ．()i 求实数a 的取值范围； ()ii 证明：212x x e >．22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,(x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4πρθ-=（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．四川省南充高级中学高2017级高二下数学试卷（十三）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．B ．2．A ．3．D ．4．C ．5．A ．6．C ．7．A ．8．A ．9．A ． 10．【解答】解：令a x y =-，b x y =+，(0)x y >>，则221a b ab +=+化为22()()()()1x y x y x y x y -++=-++，即2231()x y x y +=>，令cos x α=，y ，0x y >>，cos 0α∴>>，103απ∴<<，则1)21)()2()1)3)z a b x y x y x y =+=-++=-1)cos 3)α=-5)12πα=+，103απ<<，∴55312124πππα<+<，当5sin()112πα+=时有最大值A ． 11． D ．12．【解答】解：函数1()ax f x xe lnx ax -=--，21(,]a e ∈-∞-，11111()(1)()ax ax ax g x e axe a ax e x x---∴'=+--=+-， 由110ax e x --=，解得：1lnx a x -=，设1()lnx p x x -=，则22()lnx p x x-'=，当2x e >时，()0p x '>，当20x e <<，()0p x '<， 从而()p x 在2(0,)e 上单调递减，在2(e ，)+∞上单调递增，221()()mi n p x p e e ==-，当21a e -…，1lnx a x -…，即110ax e x --…，在1(0,)a -上，10ax +>，()0g x '…，()g x 单调递减，在1(a -，)+∞上，10ax +<，()0g x '…，()g x 单调递增，1()()min g x g M a ∴=-=，设1(0t a =-∈，2]e ，2()1t M h t lnt e ==-+，2(0)t e <…，211()0h t e t'=-…，()h x 在，(0∈，2]e 上单调递减，2()()0h t h e ∴=…，M ∴的最小值为0．故选：C ． 二．填空题（共4小题） 13．5．14．55．15．【解答】解：由2P Q F ∆的周长为8，PQ 为三角形2ABF 的中位线，可得2ABF ∆的周长为16，22||||||16AF BF AB ++=，22||||||4AF BF AB a +-=，22||b AB a =，∴24164b a a=-，2(4)b a a ∴=-，223(4)y a b a a ∴==-，24(3)y a a ∴'=-，03a <<，0y '>，3a >，0y '<，3a ∴=时，22y a b =取得最大值，此时ab 取得最大值，b =c ∴==c e a ∴=， 16．(-∞，]e ． 三．解答题（共8小题）17．【解答】解：（1）{}n a 满足123232(*)n n a a a na n N ⋯=∈可得1n =时，12a =，2n …时，11212(1)2n n a a n a --⋯-=，又123232(*)n n a a a na n N ⋯=∈相除可得2n na =，即2n a n =，上式对1n =也成立，则{}n a 的通项公式为2n a n=； （2）1222n n nn n a ++=+，设212222n n H n =++⋯+，231212222n n H n +=++⋯+， 相减可得12422nn n H n +-=++⋯+-12(12)212n n n +-=--，化简可得12(1)2n n H n +=+-．则前n 项和1(1)2(1)22n n n n T n ++=+-+．18．（文）【解答】解：（1）收集女生人数为25002005010000⨯=，男生人数为20050150-=，即应收集50为女生，150位男生的样本数据，22200(353020115)50005.22 3.8411505014555957K ⨯-⨯∴==≈>⨯⨯⨯，所以有95%把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”（2）设i a 表示每周平均体育运动时间超过4小时的学生，1i =，2，j b 表示每周平均体育运动时间不超过4小时的学生，1j =，2，3，从5名数学系学生任取2人的可能结果构成基本事件，1{(a Ω=，2)a ，1(a ，1)b ，1(a ，2)b ，1(a ，3)b ，2(a ，1)b ，2(a ，2)b ，2(a ，3)b ，1(b ，2)b ，1(b ，3)b ，2(b ，3)}b ，Ω由10个基本事件组成，且这些基本事件是等可能的，设A 表示“2人中恰有一人每周平均体育运动时间超过4小时”，则1{(A a =，1)b ，1(a ，2)b ，1(a ，3)b ，2(a ，1)b ，2(a ，2)b ，2(a ，3)}b ，A 由6个基本事件组成，由古典概型得，P （A ）63105==． （理）【解答】解：（1）记3名男工分别为a ，b ，c ，2名女工分别为e ，从中任取两名进行指导，不同的取法有10种，分别为ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，ed ，ec ，de ，他们性别不同包含的基本事件有6种，分别为：ad ，ae ，bd ，be ，ed ，ce ，∴他们性别不同的概率为63105p ==． （2）频率分布直方图如下：估计全体新员工每天加工零件数的平均数为：1(100514010180252202030020)220100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 19．（理）【解答】（Ⅰ）证明：//AB CD ，AB ⊂平面ABE ，CD ⊂/平面ABE ，//CD ∴平面ABE ，又CD ⊂平面CDE ，平面CDE ⋂平面ABE EF =，//CD EF ∴．（Ⅱ）取AD 的中点N ，连接EN ，BN ．AE DE =，EN AD ∴⊥．又平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE ⋂平面ABCD AD =，EN ⊂平面ADE ，EN ∴⊥平面ABCD ．122AN AD ==，4AB =，60DAB ∠=︒，BN ∴=222AN BN AB ∴+=，即A N B N⊥．ADE ∆是等腰直角三角形，4AD =，2EN ∴=，以N 为原点建立空间直角坐标系N xyz -，如图所示，则(0N ，0，0)，(0B，，0)，(3C -0)，(1F -2)．∴(1,3,2),(3,BF BC =--=-，设平面BCF 的法向量为(n x =，y ，)z ，则0,0,n BF n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩即20,30.x z x ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩令y =1x =-，1z =．于是(n =-．又平面ABCD 的法向量为(0,0,2)NE =， cos n ∴<，||||2n NE NE n NE >===⨯．由题知二面角A BC F --为锐角，所以二面角A BC F --．（Ⅲ）不存在满足条件的点M ，使AM EM ⊥，理由如下：若AM EM ⊥，则0AM EM =．因为点M为线段BC 上的动点，设(01)CM tCB t =剟．则(33M t -，0)，∴(35AM t =-，+，0)，(33EM t =-，2)-，2(33)(35)0t t ∴--++=，化简得：22330t t -+=，方程无实根．所以线段BC上不存在点M ，使AM EM ⊥．（文）【解答】（1）证明：由于四边形ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，所以ABD ∆是正三角形．设AB 的中点为K ，连接PK ，DK ，如图所示，则AB DK ⊥，又P A P B=，所以AB PK ⊥．又PK ，DK 相交于K ，所以AB ⊥平面PKD ．又PD ⊂平面PKD ，所以AB PD ⊥．（2）解：由（1）可知，AB ⊥平面PKD ．又//AB CD ，所以CD ⊥平面PKD ．又CD ⊂平面PDC ，所以平面PDC ⊥平面PKD ，设点E 到平面PCD 的距离为h ，则由于2BD ED =，得点B 到平面PCD 的距离为2h ．由于//KB 平面PCD ，所以K ，B 两点到平面PCD 的距离均为2h ．所以点K 到直线PD 的距离就是2h ．设ABD ∆的中心为H ，则PH ⊥平面ABD．4HC HE ==，在r t P H C ∆中，4PH ==，在R t P ∆中，4PH =，DH =，所以PD ．由2D H H K =，得点H 到直线PD 的距离为43h，即433h PH HD PD ==，得h =E 到平面PCD20．【解答】解：（1）依题意得c ，c a =2a =，又223a b -=得1b =，∴椭圆C 的方程为2214x y +=．（2）设直线l 的方程为y kx m =+，(0)m ≠，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，由2214y k x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=，122814kmx x k -∴+=+，21224(1)14m x x k -=+．由题设知22212121212121212()()()y y kx m kx m km x x m k k k k x x x x x x ++++====+，212()0km x x m ∴++=，22228014k m m k∴-+=+， 0m ≠，214k ∴=，12k =±此时2221228()()414km x x m k-+==+，221224(1)2(1)14m x x m k -==-+， 则2222222222222221122112212121211333||||11()2[()2]2[44(1)]2544444OM ON x y x y x x x x x x x x x x m m +=+++=+-++-=⨯++=⨯+-+=⨯--+=，故直线l 的斜率为12k =±，22||||5OM ON +=．21．【解答】解：1(1)(1)()()(1)x ax I f x ax a x x--'=+-+=，()y f x ∴=在[1，]e 上是单调递增的， ∴()(1)152min af x f ==--=-，8a ∴=． 322111()()()()(1)(1)222II i g x xf x ax a x x xlnx a x x =-++-=-+-．()(1)g x lnx a x ∴'=-+．∴方程(1)0lnx a x -+=有两个不同实根1x ，2x ，得1lnx a x +=．令()lnx h x x =，∴21()lnxh x x-'=．()y h x ∴=在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减．∴()1,x e y h x e=-时取得最大值为．又h （1）0=，∴当01x <<，()0h x <，当1x >时，()0h x >．∴1101,11a a e e<+<-<<-即． ()ii 由()i 可知，1122(1)(1)lnx a x lnx a x =+⎧⎨=+⎩，两式相加，得1212()(1)()ln x x a x x =++--（1）两式相减，得2211(1)()xln a x x x =+---（2），(1)(2)，得12122211()ln x x x x x x x ln x +=-，不妨设21x x >，要证：212x x e >，只需证21212211()2x x xln x x ln x x x +=>- 即证22211212112(1)2()1x x x x x ln x x x x x -->=++，令21,1x t t x =>，则只需证2(1),11t lnt t t ->>+令2(1)4()2,111t F t lnt lnt t t t -=-=+->++22214(1)()0(_1)(1)t F t t t t t -'=-=>+．()(1y F t ∴=，)+∞，F （1）0=，()F t F ∴>（1）0=，∴2(1)1t lnt t->+，∴212x x e >． 22．【解答】解：（1）由曲线1C的参数方程cos ,(x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）消去参数得，2222cos sin 13y x αα+=+=，即1C 的普通方程为：2213y x +=．）曲线2C的极坐标方程为sin()4πρθ-=可化为：)ρθθ=由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可得2C 的直角坐标方程为直线40..x y -+=（2）设(cos )P αα，则点P 到直线2C的距离为d =（7分）|2cos()4|πα++．当cos()13πα+=-时，||PQ23πα=，故13(,)22P -．。