四川省南充高级中学2020-2021学年高一下学期阶段性检测数学试卷 含答案
2020-2021学年四川省南充高级中学高一(下)第一次月考数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年四川省南充高级中学高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. cos75°cos15°−sin75°sin15°的值是( )A. 0B. 12C. √32D. −122. 已知数列{a n }的通项公式为a n =3n−1，那么9是它的( )A. 第10 项B. 第4 项C. 第3 项D. 第2 项3. 若sin(π4−x)=−15，则cos(π4+x)的值等于( )A. −15B. 15C. −√245D. √2454. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b =2，A =120°，△ABC 的面积为√3，则△ABC 外接圆的半径为( )A. √3B. 2C. 2√3D. 45. 在△ABC 中，D 为BC 上一点，且BD =2DC ，则AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗−13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 13AB ⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知C =60°，b =√2，c =√3，则sinA =( )A. √6+√24B. √6−√24C. √22D. 127. 数列{a n }中，若a 1=2,a n+1=2a nan +2，则a 7=( )A. 18B. 17C. 27D. 148. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知√3a +2c =2bcosA ，则角B的大小为( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π69. 设α∈(0,π2),β∈(0,π2)，且tanα=1−sinβcosβ，则( )A. 3α−β=π2B. 3α+β=π2 C. 2α−β=π2D. 2α+β=π210. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b 2−c 2=2a 2，cosB =−14，则c a=( )A. 1B. 2C. 3D. 411.已知cosθ+2sinθ=−1，则tan2θ=()A. −247B. 247C. 0或−247D. 0或24712.已知函数f(x)=2√3sin(x2−π3)+2cos x2，函数g(x)=f(x)−m在区间[0,4π]上恰有三个不同的零点x1，x2，x3，则f(x1+x2+x3)=()A. −1B. −√3C. 1D. 2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗与b⃗ 为一组基底，若m a⃗+4b⃗ 与a⃗+2b⃗ 平行，则实数m=______ ．14.已知cosα=−45,α∈(π2,π),则cosα2=______ ．15.如图，AE是底部不可到达的一个烟囱，为测量烟囱的高度，在地面选取D，C两点，使D，C，E三点在同一条直线上，在D，C两点测得顶点A的仰角分别为30o，67o，且D，C两点之间的距离为20米，则烟囱AE的高度为______ 米.(用四舍五入法将结果精确到个位数，参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，√3≈1.73)16.已知平面单位向量e1⃗⃗⃗ ,e2⃗⃗⃗ ，满足|2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |≤√3，设a⃗=e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，b⃗ =2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ ，向量a⃗与b⃗ 的夹角为θ，则sin2θ的最大值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}的通项公式为a n=1+6n(n∈N∗)．(1)判断数列{a n}的单调性，并证明你的结论；(2)若数列{a n}中存在a n=n的项，求n的值．18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =3，再从条件①、条件②这两个条件中选一个条件作为已知，求： (1)sinA 的值；(2)△ABC 的面积和AC 边上的高． 条件①：cosC =23，b =4； 条件②：cosC =23，cosB =19．19. 已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ,sinβ)，−π2<β<α<π2． (1)若OA ⊥OB ，求|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |； (2)设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求α，β的值．20. 已知函数f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx ．(1)若x ∈R ，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在[0,m]上的最小值为2，求实数m 的取值范围．21.余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，在诞生之初，它只是以几何定理的身份出现，直到16世纪，才出现三角形式.17−18世纪，尽管三角形式偶有出现，但人们主要运用韦达定理来解“已知三边求各角”的问题，用正切定理来解“已知两边及其夹角求第三边”的问题.到20世纪，韦达定理销声匿迹，三角形式的余弦定理一统天下.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．(1)证明：正切定理a+ba−b =tanA+B2tan A−B2.(提示：A=A+B2+A−B2，B=A+B2−A−B2)(2)若a2+c2−b2=ac，sinA−sinC=√22，求角A，C．22.为美化环境，拟在正方形ABCD的空地上修建三条直线型道路CP、CQ、PQ，如图所示，将正方形区域分成多个区域，种植不同的花草，设正方形边长为2(单位：百米)，P、Q分别为线段AB、AD上的点(含端点)，其中P，Q两点不重合．(1)若P、Q分别为线段AB、AD的中点，求△CPQ的面积；(2)若∠BCP=π6，求△CPQ面积的最大值，并说明此时Q点的位置；(3)若∠PCQ=π4，求线段PQ的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：cos75°⋅cos15°−sin75°sin15°=cos(75°+15°)=cos90°=0．故选A．由两角和的余弦公式的逆用，再由特殊角的三角函数值，即可得到．本题考查三角函数的求值，考查两角和的余弦公式的运用，考查运算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：∵a n=3n−1=9=32，∴n=3．故选：C．把a n=3n−1中的a n换成9，解出n值即可．本题考查数列的概念及表示法，考查运算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由sin(π4−x)=−15得，√22cosx−√22sinx=−15，则cos(π4+x)=√22cosx−√22sinx=−15，故选：A．根据两角差的正弦函数公式化简sin(π4−x)=−15，再由两角和的余弦函数公式化简cos(π4+x)，对比后即可求值．本题考查两角差的正弦函数公式，两角和的余弦函数公式，以及整体思想．4.【答案】B【解析】解：∵△ABC的面积为√3，∴S=12bcsinA=12×2×c×√32=√3，∴c =2，由余弦定理知，a 2=b 2+c 2−2bccosA =4+4−2×2×2×(−12)=12， ∴a =2√3，由正弦定理知，2R =asinA =√3√32=4，∴R =2． 故选：B ．先由三角形的面积公式可得c =2，再由余弦定理求得a 的值，最后根据2R =asinA ，代入数据进行运算，得解．本题考查解三角形中正弦定理和余弦定理的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：∵BD =2DC ，∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故选：D ．由已知结合向量的线性运算即可求解． 本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．6.【答案】A【解析】 【分析】本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题．由已知结合正弦定理可求B ，然后结合三角形的和差角公式即可求解． 【解答】解：因为C =60°，b =√2，c =√3， 由正弦定理可得，bsinB =csinC ， 故sinB =bsinC c=√2×√32√3=√22，因为c >b ，故C >B ，所以B =45°，则sinA=sin(60°+45°)=√32×√22+12×√22=√2+√64．故选：A．7.【答案】C【解析】解：数列{a n}中，若a1=2,a n+1=2a na n+2，可得1a n+1=12+1a n，所以数列{1an }是等差数列，首项为12，公差为：12，所以1a n =12+(n−1)×12=n2，可得a n=2n，所以a7=27．故选：C．通过数列的递推关系式，取倒数，得到新数列的通项公式，然后推出结果即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，考查计算能力．8.【答案】D【解析】【分析】由已知结合余弦定理对已知进行化简，然后再结合余弦定理即可求解．本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．【解答】解：∵√3a+2c=2bcosA=2b×b2+c2−a22bc =b2+c2−a2c，整理可得，a2+c2−b2=−√3ac，由余弦定理可得，cosB=a2+c2−b22ac =−√32，因为B为三角形的内角，故B=5π6．故选：D．9.【答案】D【解析】解：∵α∈(0,π2),β∈(0,π2)，∴α+β∈(0,π)．∵tanα=1−sinβcosβ，即sinαcosα=1−sinβcosβ，即sin(α+β)=cosα，∴α+β=π2−α，即2α+β=π2，故选：D．由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sin(α+β)=cosα，可得α+β=π2−α，从而得出结论．本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：∵b2−c2=2a2，∴a2+c2=b2−a2，且cosB=−14，∴cosB=a2+c2−b22ac =−a22ac=−a2c=−14，∴ac =12，ca=2．故选：B．根据条件可得出a2+c2=b2−a2，然后根据余弦定理即可求出ac 的值，进而可求出ca的值．本题考查了余弦定理，考查了计算能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：因为cosθ+2sinθ=−1，可得cosθ=−2sinθ−1，又sin2θ+cos2θ=1，∴5sin2θ+4sinθ=0，∴sinθ=0，或−45，∴cosθ=−1，或35，则tanθ=0，或−43，∴tan2θ=2tanθ1−tan2θ=0，或247．故选：D．利用sin 2θ+cos 2θ=1，组成方程组，解出sinθ，cosθ的值，从而求出tanθ，即可得解． 本题主要考查了同角三角函数的基本关系，二倍角的正切公式的应用，考查了转化思想，是基础题．12.【答案】A【解析】解：f(x)=2√3(sin x2cos π3−cos x2sin π3)+2cos x2=√3sin x2−cos x2=2sin(x2−π6)，要使g(x)=f(x)−m 在区间[0,4π]上恰有三个不同的零点，则需函数y =f(x)的图象与直线y =m 有三个不同的交点， 作出函数f(x)的大致图象如下图所示，不妨设x 1<x 2<x 3，由图象可知，x 1=0,x 3=4π,2sin(x 22−π6)=−1，则x 22−π6=7π6，∴x 2=8π3，∴x 1+x 2+x 3=0+8π3+4π=20π3，∴f(x 1+x 2+x 3)=2sin(10π3−π6)=−1．故选：A ．化简函数f(x)，作出f(x)的大致图象，观察图象可求得x 1，x 2，x 3的值，进而求得f(x 1+x 2+x 3).本题考查函数零点与方程根的关系，考查三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：∵m a ⃗ +4b ⃗ 与a ⃗ +2b ⃗ 平行，∴设m a ⃗ +4b ⃗ =k(a ⃗ +2b ⃗ )， 由∵向量a ⃗ 与b ⃗ 为一组基底，∴{m =k4=2k ，解得：m =2． 故m 的值为：2．利用平面向量共线定理可解决此题．本题考查向量共线定理，考查数学运算能力，属于基础题．14.【答案】√1010【解析】解：∵cosα=−45cosα=2cos2α2−1=−45∴cosα2=±√1010∵α∈(π2,π)∴α2∈(π4,π2)∴cosα2=√1010故答案为：√1010利用余弦函数的二倍角公式即可求得答案．本题考查二倍角的余弦，属于基础题．15.【答案】15【解析】解：由题意可得，∠DAC=67°−37°=30°，根据正弦定理可得，ACsin30∘=DCsin∠DAC，∴AC=200.6×12=503，在△ACE中，AE=AC×sin67°=503×0.92≈15，故答案为：15．结合已知条件，以及正弦定理，即可求解．本题考查解三角形的正弦定理，以及实际应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.【答案】128【解析】解：由题意，|e1⃗⃗⃗ |=|e2⃗⃗⃗ |=1，又|2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ |≤√3，∴(2e1⃗⃗⃗ −e2⃗⃗⃗ )2≤3，即4|e 1⃗⃗⃗ |2+|e 2⃗⃗⃗ |2−4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ ≤3，可得e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ ≥12， 设e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为α，得cosα≥12． 又a ⃗ =e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，b ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ ，∴a ⃗ ⋅b ⃗ =2|e 1⃗⃗⃗ |2+3e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +|e 2⃗⃗⃗ |2=3+3e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =3+3cosα，|a ⃗ |2=(e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )2=|e 1⃗⃗⃗ |2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +|e 2⃗⃗⃗ |2=2+2e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =2+2cosα， |b ⃗ |2=(2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ )2=4|e 1⃗⃗⃗ |2+4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ +|e 2⃗⃗⃗ |2=5+4e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =5+4cosα．∴cos 2θ=(a ⃗ ⋅b ⃗ )2|a ⃗ |2⋅|b ⃗ |2=(3+3cosα)2(2+2cosα)(5+4cosα) =92⋅1+cosα5+4cosα=98⋅(5+4cosα−15+4cosα)=98(1−15+4cosα). ∵cosα≥12，∴cos 2θ≥2728， ∴sin 2θ≤128，即sin 2θ的最大值为128． 故答案为：128．e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为α，由|2e 1⃗⃗⃗ −e 2⃗⃗⃗ |≤√3，得到cosα≥12，分别把a ⃗ ⋅b ⃗ ，|a ⃗ |，|b ⃗ |用含有cosα的式子表示，求出cos 2θ的最小值，则sin 2θ的最大值可求．本题考查平面向量的数量积运算，考查由数量积求夹角，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)根据题意，故数列{a n }是递减数列，证明：数列{a n }中，a n =1+6n ， 则a n+1=1+6n+1，则a n+1−a n =(1+6n+1)−(1+6n )=6n+1−6n =−6n(n+1)<0， 故数列{a n }是递减数列；(2)若a n =n ，即1+6n =n ，变形可得n 2−n −6=0， 解可得：n =3或−2(舍)， 故n =3．【解析】(1)根据题意，由数列的通项公式可得a n+1=1+6n+1，据此可得a n+1−a n 的表达式，分析其符号可得结论；(2)根据题意，若数列{a n }中存在a n =n 的项，则有1+6n =n ，解可得n 的值，即可得答案．本题考查数列的表示方法，涉及数列的通项公式，属于基础题．18.【答案】解：选择条件①：(1)由余弦定理，c 2=a 2+b 2−2abcosC =9+16−2×3×4×23=9，即c =3，∴a =c ，sinA =sinC =√1−cos 2C =√1−49=√53；(2)S △ABC =12absinC =12×3×4×√53=2√5，设AC 边上的高为h ，则12bℎ=2ℎ=2√5， ∴ℎ=√5；选择条件②：(1)在△ABC 中，由cosC =23,cosB =19得，sinC =√53,sinB =4√59，∴sinA =sin(B +C)=sinBcosC +cosBsinC =4√59×23+19×√53=√53； (2)由(1)知sinA =sinC ，∴A =C ，a =c =3， ∴S △ABC =12acsinB =12×3×3×4√59=2√5，且b =2acosC =2×3×23=4，设AC 边上的高为h ，则12bℎ=2ℎ=2√5，解得ℎ=√5．【解析】选择条件①时：(1)根据余弦定理可求出c =3，从而可求出sinA =sinC =√53；(2)根据三角形的面积公式可求出S △ABC =2√5，再根据等积法可求出AC 边上的高； 选择条件②时：(1)根据两角和的正弦公式即可求出sinA =sin(B +C)=√53；(2)可得出A =C ，a =c ，然后根据三角形的面积公式可求出S △ABC =2√5，并求出b =4，然后根据等积法可求出AC 边上的高．本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，两角和的正弦公式，考查了计算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosα,sinα)，OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosβ,sinβ)， 则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2， 故|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2； (2)设OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)，若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则(cosα−cosβ,sinα−sinβ)=(0,1)，即{cosα=cosβsinα−sinβ=1， 又由−π2<β<α<π2，则α=−β，则sinα−sinβ=sinα−sin(−α)=2sinα=1，则α=π6，β=−π6， 故α=π6，β=−π6．【解析】(1)根据题意，由向量的坐标公式可得|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，又由|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，计算可得答案； (2)根据题意，由向量的坐标计算公式可得(cosα−cosβ,sinα−sinβ)=(0,1)，即{cosα=cosβsinα−sinβ=1，结合α、β的范围分析可得答案． 本题考查向量数量积的计算，涉及向量模以及向量的坐标的计算，属于基础题．20.【答案】解：f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx =cos2x +√3sin2x +1=2sin(2x +π6)+1．(1)令−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ， 解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ，∴f(x)的递增区间为[−π3+kπ,π6+kπ]，k ∈Z ． (2)x ∈[0,m]，得[π6,π6+2m]， ∵f(x)在[0,m]上的最小值为2， ∴π6+2m ≤5π6，解得m ∈(0,π3].【解析】首先利用二倍角公式及辅助角公式将f(x)化简成正弦型函数，再利用正弦型函数的单调性解题．该题考查三角函数的二倍角公式及辅助角公式，还考查正弦型函数的单调性及最值，属于中等题型．21.【答案】解：(1)证明：sinA=sin(A+B2+A−B2)=sin A+B2cos A−B2+cos A+B2sin A−B2，sinB=sin(A+B2−A−B2)=sin A+B2cos A−B2−cos A+B2sin A−B2，sinA+sinB=2sin A+B2cos A−B2，sinA−sinB=2cos A+B2sin A−B2，由正弦定理知，a+ba−b =sinA+sinBsinA−sinB，∴a+ba−b =sinA+B2cos A−B2cos A+B2sin A−B2=tanA+B2tan A−B2，∴a+ba−b =tanA+B2tan A−B2；(2)∵a2+c2−b2=ac，∴根据余弦定理，有cosB=a2+c2−b22ac =ac2ac=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3，∴A+C=2π3，C=2π3−A，∴sinA−sinC=sinA−sin(2π3−A)=sinA−√32cosA−12sinA=12sinA−√32cosA=sin(A−π3)=√22，且A−π3∈(−π3,π3)，∴A−π3=π4，A=7π12，C=π12．【解析】(1)可得出sinA+sinB=2sin A+B2cos A−B2，sinA−sinB=2cos A+B2sin A−B2，根据正弦定理可得出a+ba−b =sinA+sinBsinA−sinB，从而得到a+ba−b=tanA+B2tan A−B2；(2)根据条件及余弦定理可求出B=π3，然后根据sinA−sinC=√22，可得出sin(A−π3)=√22，再求出A，C的值．本题考查了正余弦定理，两角和差的正弦公式，弦化切公式，考查了计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)当P、Q分别为线段AB、AD的中点时，S△CPQ=S正方形ABCD −S△CDQ−S△APQ−S△CBQ=4−1−1−12=32，(2)∵Q为线段AD上的点，∴当点Q与点D重合时，点Q到直线CP的距离最远，此时△CPQ面积最大，△CPQ面积的最大值为12×2×2=2．(3)设AP=m，AQ=n，则tan∠BCP=2−m2，tan∠DCQ=2−n2，又∵∠PCQ=π4，∴∠BCP+∠DCQ=π4，∴2−m 2+2−n21−2−m2⋅2−n2=1，化简整理得，n=8−4m4−m，m∈[0,2]，n∈[0,2]，则PQ2=m2+n2=m2+(8−4m4−m)2，令t=4−m，t∈[2,4]，则PQ2=(4−t)2+(−8+4tt )2=(t+8t−4)2，故PQ=|t+8t−4|，t∈[2,4]，∵t+8t∈[4√2,6]，∴PQ∈[4√2−4,2]．【解析】(1)当P、Q分别为线段AB、AD的中点时，S△CPQ=S正方形ABCD−S△CDQ−S△APQ−S△CBQ，(2)当点Q与点D重合时，点Q到直线CP的距离最远，从而求得，(3)设AP=m，AQ=n，由∠BCP+∠DCQ=π4及两角和的正切公式得2−m 2+2−n21−2−m2⋅2−n2=1，从而可得n=8−4m4−m ，m∈[0,2]，n∈[0,2]，从而得到PQ2=m2+n2=m2+(8−4m4−m)2，再化简求解即可．本题考查了学生通过建模解决实际问题能力，同时考查了学生的化简运算的能力，属于中档题．。
2020-2021学年四川省南充高级中学高一下学期期末考试数学试卷
南充高中2020级高一下学期末阶段性检测数学试题一、单项选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1. 若b a >，则下列不等式中成立的是（） A.ba 11<B. 33b a >C. 22b a >D. ||b a >2. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且18247=+S a ，则=3a （） A. 2B. 3C. 7D. 93. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，b ＝37，c ＝3，∠B ＝60°，则a 边为（ ） A ．97B ．67C ．9D ．64. 设R y x ∈,，向量)1,(x a =，),2(y b -=，)3,1(-=c ，c a ⊥，c b //，则=+||b a （ ） A. 5B. 102C. 53D. 255．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则n ⊥β B ．若m ⊥α，n ⊥β，n ⊥m ，则α⊥βC ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nD ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4csin C ，cos A =－14， 则bc=（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体（截面过棱的中点）得到的，如果被截正方体的棱长是20cm ，那么石凳的表面积是（ ） A ．1200cm 2B ．C ．D ．8. 已知数列{a n }中，11a =，23122n S n n =-，设11n n n b a a +=，则数列{b n }的前n 项和为（）A.31+n n B. 331nn + C.132n n -- D.3332n n -+-9．如图，己知正方体1111ABCD A B C D -，M ，N 分别是1A D ，1D B 的中点，则（） A ．直线1A D 与直线1D B 垂直，直线//MN 平面ABCD B ．直线1A D 与直线1D B 平行，直线MN ⊥平面11BDD B C ．直线AD 与直线1D B 相交，直线//MN 平面ABCD D ．直线1A D 与直线1D B 异面，直线MN ⊥平面11BDD B 10. 若实数0,0x y >>，且21x y +=，则12y x y y++（） A. 有最大值为73B. 有最小值为122+ C. 有最小值为2D. 无最小值11．已知△ABC 中，B ＝C －，sin A ＝，BC ＝，则△ABC 的面积为（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝n n a 2a 1+，a 1＝1，数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝n1a (n ≥2)；则数 列13n b n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最小值为（ ）A.436B.223C. 213D.294二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 不等式102x x -<+的解集为__________. 14. 若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 15. 已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径. 若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S －ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________.16. 给出以下几个结论：①若等比数列{}n a 前n 项和为3nn S a =+，N n *∈，则实数a =-1；②若数列{}{},n n a b 的通项公式分别为2020(1),n n a a +=-2021(1)2n n b n+-=+，且n n a b <，对任意*n N ∈恒成立，则实数a 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡-23,1；③设在△ABC 中，内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，且2cos 2cos a B b A c -=，则()tan A B -的最大值为33； ④在△ABC 中，三内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，则()22cos cos c a B b A a b -=-. 其中正确结论的序号为. 三、解答题（共70分）17.（10分）已知递增等差数列{}n a ，且13=a ，4a 是3a 和7a 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}nn a 2+的前n 项和n S.18.（12分）已知关于x 的函数()2()3+3()f x x m x m m R =-+∈.（1）若关于x 的方程2()20f x x -=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2,求m 的取值范围；（2）求关于x 的不等式()0f x <的解集.19．（12分）在《九章算术》中，将有三条棱相互平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”．如图所示的五面体是一个羡除，其中棱AB ，CD ，EF 相互平行，四边形ABEF 是梯形．已知CD ＝EF ，AD ⊥平面ABEF ，BE ⊥AF ． （1）求证：DF ∥平面BCE ； （2）求证：平面ADF ⊥平面BCE ．20．（12分）如图在ABC ∆中， 60=∠A ，9||=AB ，4||=AC ，点E 在边AB 上，点F 在AC 的延长线上，EF 交BC 于D ，设x CF =||，y BE =||.（1）若y x =，求||EF 的最小值；（2）若BDE ∆与CDF ∆面积相等，求x y -的最大值.ACEBFDx y21. （12分）如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=，AB BD =，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点． （1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求BF 与平面ABC 所成角的正弦； （3）(文科不做)求二面角B －EF －A 的余弦． 22. （12分）已知数列{}n a 满足：112a =，112n n n a a n++=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 前n 项和n S ； （3）若集合22{|2}n n A n S n nλ+=-≥+为空集，求实数λ的取值范围.答案1-10 BACDB DCAAB 11-12 CD 13．答案：{}21x x -<<14．答案：19- 15.36π 16.①③④17．解析：（1）在递增等差数列{}n a 中，设公差d >0243731a a a a ⎧=⋅⎪∴⎨=⎪⎩⎩⎨⎧=+++=+∴12)6)(2()3(11121d a d a d a d a ⎩⎨⎧=-=231d a 52-=∴n a n（2）)2.....84252(.......1-3-n n n S ++++-++=（））（）（ =21)21(22)523---+-+n n n （=22412-+-+n n n18.解：（1）方程f （x ）﹣2x 2＝0即x 2﹣（m +3）x +m ＝0，方程有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，令g （x ）＝x 2﹣（m +3）x +m ，则g （2）＝4﹣2（m +3）+m ＝﹣2﹣m ＜0，即m ＞﹣2．∴m 的取值范围为（﹣2，+∞）；（2）由3x 2﹣（m +3）x +m ＜0，得（x ﹣1）（3x ﹣m ）＜0．若m ＝3，不等式化为3（x ﹣1）2＜0，x ∈∅； 若m ＜3，则＜1，不等式f （x ）＜0的解集为（）；若m ＞3，则＞1，不等式f （x ）＜0的解集为（1，）． 综上，若m ＝3，不等式f （x ）＜0的解集为∅； 若m ＜3，不等式f （x ）＜0的解集为（）；若m ＞3，不等式f （x ）＜0的解集为（1，）．19.证明：（1）∵AB ，CD ，EF 相互平行，四边形ABEF 是梯形，CD ＝EF ，∴四边形CDFE 是平行四边形，∴DF ∥CE ，∵DF ⊄平面BCE ，CE ⊂平面BCE ，∴DF ∥平面BCE ． （2）∵AD ⊥平面ABEF ，BE ⊂平面ABEF ，∴BE ⊥AD ， ∵BE ⊥AF ，AF ∩AD ＝A ．∴BE ⊥平面ADF ， ∵BE ⊂平面BCE ，∴平面ADF ⊥平面BCE 20.解（1）在AEF ∆中由余下定理可知：60cos )9)(4(2)9()4(222y x y x EF -+--++=，注意到y x =，41694169)25(361153222≥+-=+-=∴x x x EF ， ∴当25==y x 时||EF 由最小值213.（2）BDE ∆与CDF ∆面积相等知：ABC ∆与AEF ∆面积相等，ACEBFD xy∴AEF ∆的面积 60sin 942160sin )9)(4(21⋅=-+=∆y x S AEF ， 36)9)(4(=-+∴y x ，4369+-=∴x y 136213]436)4[(13=-≤+++-=-∴x x x y ，当且仅当4364+=+x x ，即⎩⎨⎧==32y x 时取等，x y -∴的最大值为1.21. （Ⅰ）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠=∴45ADB ∠=，︒=∠90ABD ，AB BD ⊥在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ，且平面ABD 平面BDC ＝BD∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD ． 又90DCB ∠=，∴DC ⊥BC,且ABBC B =∴DC ⊥平面ABC ．（Ⅱ）∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点∴EF//CD ，又由（1）知，DC ⊥平面ABC ， ∴EF ⊥平面ABC ，垂足为点E∴∠FBE 是BF 与平面ABC 所成的角 在图甲中，∵105ADC ∠=,∴60BDC ∠=,30DBC ∠=设CD a = 则2,3BD a BC a ==,a BD BF 222==， 1122EF CD a ==∴在Rt △FEB 中，122sin 2a EF FBE FB a∠==即BF 与平面ABC 所成角的正弦值为24． （Ⅲ）由（Ⅱ）知 FE ⊥平面ABC ，又∵BE ⊂平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴FE ⊥BE ，FE ⊥AE ，∴∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角在△AEB 中，2211722AE BE AC AB BC ===+= ∴2221cos 27AE BE AB AEB AE BE +-∠==-⋅，即所求二面角B －EF －A 的余弦为17-．22.解：（1）由题意得1112n n a n a n++=⋅，当2n ≥时， 121121112()()21212n n n n n n n a a a n n n a a a a a n n ----=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=--，又112a =也满足上式，故2n n n a =；（2）由（1）可得n 23n 123nS (2222)=++++①∴231112122222n n n n nS +-=++++② ①-②，得231111111212222222n n n n n n S +++=++++-=-，所以222n n n S +=-; （3）由（2）可得222n nn S +-=，所以2222222n n n n n S n n n n λλ+++-≥⇔≥++，即22n n nλ+≤. 令()2*()2nn n f n n N+=∈则(1)1f =，3(2)2f =，3(3)2f =，5(4)4f =，15(5)16f =， 因为2211(1)(1)(1)(2)(1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=, 所以，当3n ≥时，(1)()0f n f n +-<，即()()1f n f n +<.因为集合A 为空集，所以()2*2nn n n N λ+≤∈的解为空集，所以23>λ。
2020-2021学年四川省南充高级中学高一下学期入学考试化学试卷
C.线段Ⅲ代表Fe2+的变化情况D.原混合溶液中n(FeBr2)=4mol
12．将15.2 g铜和镁组成的混合物加入250 mL4.0 mol • L－1的稀硝酸中，固体完全溶解，生成的气体只有NO。向所得溶液中加入1.0 L NaOH溶液，此时金属离子恰好沉淀完全，沉淀质量为25.4 g，下列说法不正确的是（）
D．位于同一周期的甲、乙两种元素，甲位于第ⅠA族，原子序数为x，乙位于第ⅢA族，则乙原子序数可能为x＋19
8．下列各实验相应操作、实验现象及原因解释或推论合理的是()
选项
操作
现象
解释或推论
A
铁片投入浓硫酸
无明显变化
常温下铁不与浓硫酸反应
B
将浓硫酸滴到白纸上
白纸变黑
浓硫酸强氧化性导致纸张中的纤维素炭化
10．70.4 mg铜跟适量的浓硝酸反应，铜完全反应后，共收集到22.4 mL(标准状况)气体，反应消耗的HNO3的物质的量可能是()
A.3.2×10－3molB.1.6×10－3molC.2.2×10－3molD.2.4×10－3mol
11．已知：还原性强弱：I－＞Fe2+＞Br－，向仅含Fe2+、I－、Br－的溶液中通入适量氯气，溶液中这三种离子的物质的量随消耗氯气物质的量的变化如图所示。下列说法中正确的是（）
硫酸 化学纯(CP)
(500 mL)
品名：硫酸
化学式：H2SO4
相对分子质量：98
密度：1.84 g·cm－3
质量分数：98%
3．如图是硫酸试剂瓶标签上的部分内容。据此下列说法中，正确的
是()
A.该硫酸可以用来干燥硫化氢气体
B.若需190 mL 4.6 mol·L－1的稀硫酸需取该硫酸62.5 mL进行配制
四川省南充市2020-2021学年高一下学期期末数学试题
A． 3
B． 2 3
C． 3 3
D． 4 3
2． cos 72cos12 + sin 72sin12 = （ ）
A． cos84
B． sin 84
C． 0
D． 1 2
3．设 b a ， d c ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． a − c b − d
B． ac bd
C． a + c b + d
13． sin15cos15 = ______.
14．等比数列an 中， a3 = 12 ， a5 = 48 ，则 a7 = ______.
3
D
2
15．在△ABC 中， cos C = 5 ， BC = 1， AC = 5 ，则 AB = ______. 25
16．已知正三棱锥 S − ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，棱锥的底面是边长为 2 3 的正三角形，侧棱长为
A．-2
B．0
C．3
D．6
6．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 B = 45 ，C = 60 ，c = 1，则△ABC 的最短边的边
长等于
A． 3 2
B． 1 2
C． 6 2
D． 6 3
7．不等式 x2 − 2x −5 2x 的解集是
A．x x 5或x −1
B．x x 5或x −1
2 5 ，则球 O 的表面积为______.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必 须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17．（本题满分 12 分）
已知等差数列an 的前三项依次为 a，4， 3a .
四川省南充市2020-2021学年高一下学期教学质量监测(期末)数学试卷 Word版含解析
四川省南充市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.棱长为1的正四面体的表面积为（）A. B. C. D.2. （）A. B. C.0 D.3.设，，则下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D.4.下列说法中，错误的是（）A.平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交5.设是等差数列的前项和，，，则（）A.-2B.0C.3D.66.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，，则最短边的长等于（）A. B. C. D.7.不等式x2－2x－5>2x的解集是()A.{x|x≥5或x≤－1}B.{x|x>5或x<－1}C.{x|－1<x<5}D.{x|－1≤x≤5}8.利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是（）A. ①②B. ①C. ③④D. ①②③④9.已知，则（）A. B. C. D.10.已知函数，设，，，则（）A.B.C.D.11.将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，则折起后的直线与所成的角为（）A.0°B.30°C.45°D.60°12.在中，，的面积为2，则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. ________．14.等比数列中，若，，则________.15.在中，，，，则________.16.已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为________．三、解答题（本大题共70分）17.已知等差数列的前三项依次为a，4，．（1）求a；（2）记为的前n项和，若，求k．18.已知函数．（1）若有一个零点为，求a；（2）若当时，恒成立，求a的取值范围．19.如图，在三棱锥中，平面平面，且是正三角形，点O是的中点，点D是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．20. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求；（2）若，的周长为，求的面积．21.已知数列的前n项和，数列满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）设，数列的前n项和为，求满足的n的最大值．22.比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小．23.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，试判断的形状.答案解析部分四川省南充市2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷一、单选题1.棱长为1的正四面体的表面积为（）A.B.C.D.2. （）A.B.C.0D.3.设，，则下列不等式中一定成立的是（）A.B.C.D.4.下列说法中，错误的是（）A.平行于同一直线的两个平面平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.一个平面与两个平行平面相交，交线平行D.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交5.设是等差数列的前项和，，，则（）A.-2B.0C.3D.66.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，，则最短边的长等于（）A.B.C.D.7.不等式x2－2x－5>2x的解集是()A.{x|x≥5或x≤－1}B.{x|x>5或x<－1}C.{x|－1<x<5}D.{x|－1≤x≤5}8.利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论，正确的是（）A. ①②B. ①C. ③④D. ①②③④9.已知，则（）A.B.C.D.10.已知函数，设，，，则（）A.B.C.D.11.将正方形沿对角线折起，并使得平面垂直于平面，则折起后的直线与所成的角为（）A.0°B.30°C.45°D.60°12.在中，，的面积为2，则的最小值为（）A. B. C. D.二、填空题13. ________．14.等比数列中，若，，则________.15.在中，，，，则________.16.已知正三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，棱锥的底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则球O的表面积为________．三、解答题17.已知等差数列的前三项依次为a，4，．（1）求a；（2）记为的前n项和，若，求k．18.已知函数．（1）若有一个零点为，求a；（2）若当时，恒成立，求a的取值范围．19.如图，在三棱锥中，平面平面，且是正三角形，点O是的中点，点D是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：．20. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求；（2）若，的周长为，求的面积．21.已知数列的前n项和，数列满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）设，数列的前n项和为，求满足的n的最大值．22.比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小．23.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，试判断的形状.答案解析部分一、单选题1.【答案】A【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积【解析】【解答】如图，由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，所以，所以可知，正四面体的表面积为。
四川省南充高级中学2020-2021学年高一下学期阶段性检测数学试卷 含答案
南充高中高2020级阶段性检测数 学 试 题第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）1．已知集合{lg 0}A xx =≤∣，集合{(2)(21)0}B x x x =-+≤∣，则A B =（ ）A ．112xx ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭∣ B ．122x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭C ．112xx ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭∣ D ．{01}x x <≤∣ 2．如果角α的终边过点(1,3-，则sin α的值等于（ ） A ．12B ．12-C ．3D ．33-3．已知函数()()0.52,2log 1,2x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，则()3=f f -⎡⎤⎣⎦（ ） A ．2B ．2-C ．12-D ．124． 已知()222f x x +=-，且()4f a =，则a =（ ） A ．10B ．6C ．5D ．35．设()0.61.31,tan 130,log 0.43a b c -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．a b c <<6．已知32xyt ==，且112x y+=，则t =（ ）A ．26B ．6C ．36D ．67．已知菱形ABCD 的边长为2，2,120EC BE ABC =∠=︒，则AE BD ⋅的值为（ ） A ．43B ．43-C ．23D ．23-8．已知函数()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若()f x 在区间π,3m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，则 m 的最小值是（ ）． A ．π2B ．π3C ．6π D ．π129．下列式子结果为3的是（ ） ①tan 25tan353tan 25tan35++；②()2sin35cos 25cos35cos65+；③1tan151tan15︒︒+-；④1tan151tan15︒︒-+. A ．①② B ．③C ．①②③D ．②③④10．设()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在(),0-∞上是减函数，又()40f -=，则不等 式()()440f x f x x+--->的解集是（ ）A ．()0,4B ．()8,4--C ．()()4,00,4-D ．()()8,40,4--11．如图，直线x t =与函数()3log f x x =和()3log 1g x x =-的图象分别交于点A ，B ， 若函数()y f x =的图象上存在一点C ，使得为等边三角形，则t 的值为（ ） A ．322B ．3332C ．3334D ．33312．已知函数12,0()21,0x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩，关于x 的方程23())0()(f f x a x a -+=∈R 有8个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A ．13(3,)4B ．(2,3)C ．4(,4)3D ．92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分） 13．边长为2的等边的外接圆的面积________. 14212sin 40cos 40cos 401sin 50---为_______.15．计算：()()1132540282.25+9.621log log 572-⎛⎫--+ ⎝⎭⋅⎪=_________．16．已知210()log 2sin 1,(2021)1,(2021)310x f x x f m f n x -⎛⎫=+--=-=- ⎪+⎝⎭，则m n +的值为_______． 三、解答题（70分）17．（本小题10分）已知函数()1xf x a =-（0a >，且1a ≠）满足()()1124f f -=.（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）解不等式()0f x >.18．（本小题12分）已知0x π-<<，1sin cos 5x x +=. （1）求sin cos x x -的值；（2）求22sin cos 2sin 1tan x x xx+-的值.19．（本小题12分）已知点A （2，3），B （6，1），O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点. （1）若AP ⊥BP ，求点P 的坐标；（2）当AP BP ⋅取最小值时，求向量AP 与BP 的夹角的余弦值.20．（本小题12分）已知函数21()3sin cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. （1）若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，求实数的取值范围； （2）若先将()y f x =的图像上每个点横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移6π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，求函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点之和.21．（本小题12分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼O 为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径OM ＝R ，∠MOP ＝45°，OB 与OM 之间的夹角为θ.（1）将图书馆底面矩形ABCD 的面积S 表示成θ的函数；（2）若R ＝45 m ，求当θ为何值时，矩形ABCD 的面积S 最大？最大面积是多少？(取2＝1.414)22.（本小题12分）已知函数()sin()2xf x x R π=∈.任取t R ∈，若函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-.（1）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当[]2,0t ∈-时，求函数()g t 的解析式； （3）设函数()2x kh x -=，()28H x x x k k =-+-，其中实数k 为参数，且满足关于t 的5()0g t -≤有解.若对任意[)14,x ∈+∞，存在(]2,4x ∈-∞，使得21()()h x H x =成立，求实数k 的取值范围.绝密★启用前2021年3月15日考试答案参考答案1．D 2．C 3． B 4．C()222f x x +=-，且()4f a =，所以，2224x a x +=⎧⎨-=⎩，解得35x a =⎧⎨=⎩. 5．C0.60.6133a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，又指数函数3xy =是单调递增函数，0.60.533∴>=，即a >tan y x =在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增， ()()tan 130tan 18050tan50b =-=--=，所以tan 45tan 50tan 60<<，即1b <<对数函数 1.3log yx =是单调递增函数，1.3 1.3log 0.4log 10c ∴=<=，即0c <c b a ∴<<，6．B 解：根据题意，320x y t ==>，则有3log x t =，2log y t =，则11log 3,log 2t t x y==，又112x y +=，即log 3log 2log 62t t t +==，所以26t =，解得t =0t >，所以t =7．B 【详解】因为2EC BE =，所以13BE BC =， 因为13AE AB BE BA BC =+=-+，BD BA AD BA BC =+=+， 所以()13AE BD BA BC BA BC ⎛⎫⋅=-+⋅+ ⎪⎝⎭，222133BA BA BC BC =--⋅+，2221222cos120233=--⨯⨯⨯+⨯，43=-，8． B 解：()f x 在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为32，sin(2)6x π∴-在区间,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，52()366πππ⨯--=-，262m ππ∴-，3m π∴，m ∴的最小值是3π．9．C 解：对于①，由于()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-，所以tan 25tan353tan 25tan35++()()tan 25351tan 25tan353tan 25tan35tan 25353⎡⎤=+-+=+=⎣⎦；对于②，由于cos 65sin 25=， 所以()()2sin35cos 25cos35cos652sin35cos 25cos35sin 252sin 603+=+==；对于③，因为tan 451=， 1tan15tan 45tan15tan 6031tan151tan 45tan15︒︒︒︒︒︒++===--； 对于④，因为tan 451=， 1tan15tan 45tan153tan 301tan151tan 45tan153︒︒︒︒︒︒-+-===+； 10．B 因为()f x 是R 上的奇函数，则()00f =，由于函数()f x 在(),0-∞上是减函数，则该函数在()0,∞+上也为减函数，()40f -=，则()()440f f =--=，作出函数()f x 的大致图象如下图所示：由()()440f x f x x +--->，可得()240f x x+>，由()400f x x ⎧+>⎨>⎩，可得440x x +<-⎧⎨>⎩或0440x x <+<⎧⎨>⎩，此时x ∈∅；由()400f x x ⎧+<⎨<⎩，可得4400x x -<+<⎧⎨<⎩或440x x +>⎧⎨<⎩，解得84x -<<-.因此，不等式()()440f x f x x+--->的解集是()8,4--.故选：B. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦； （2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 11．C 由題意()3,log At t ，()3,log 1B t t -，1AB =.设()3,log C x x ，因为ABC 是等边三角形，所以点C 到直线AB 的距离为32，所以3t x -=，3x t =-. 根据中点坐标公式可得33333log log 131log log log 223t t t t ⎛⎫+--==-= ⎪ ⎪⎝⎭， 所以33t -=，解得333t +=.故选：C 12．D 【详解】令()t f x =，由()()230f f x a x -+=，得220t t a -+=，设关于t 的二次方程220t t a -+=的两根分别为1t 、2t ， 如下图所示：由于关于x 的方程()()()230f f x a x a R -+=∈有8个不等的实数根，则112t <<，212t <<，设()23g t t t a =-+，则()()940120220a g a g a ⎧∆=->⎪=->⎨⎪=->⎩，解得924<<a .因此，实数的取值范围是92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D.13．4π314．1依题意(22cos 401sin 50cos 40cos 50=---cos 40sin 40cos 40sin 401cos 40cos50cos 40sin 40--===--. 15．34【详解】原式12()25232111log 2log 52322⨯-⎛⎫=+--⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭2211334=+--34=. 16．【答案】4042【分析】计算()()2f x f x +-=-，得函数()f x 图象关于点(0,1)-对称，然后由对称性可得m n +值． 【详解】∵221010()()log 2sin 1log 2sin()121010x x f x f x x x x x ---⎛⎫⎛⎫+-=+-++--=- ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭,∴()f x 的图像关于点()0,1-对称，()()202120212f m f n -+-=-∴()2021,1m -和()2021,3n --关于点()0,1-对称，∴202120210m n -+-=∴4042m n +=． 故答案为：4042． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的对称性，利用对称性求得参数值，若()()2f a x f a x b ++-=，则函数()f x 的图象关于点(,)a b 对称，本题也可构造奇函数求解：210()()1log 2sin 10x g x f x x x -⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭是奇函数，由此求解．17．（Ⅰ）12（Ⅱ）(),0-∞ 【详解】（Ⅰ）∵()1xf x a =-（0a >，且1a ≠），∴()()()()221211f f a a a a -=---=-.由214a a -=，解得12a =.∴的值为12. （Ⅱ）不等式()0f x >即1102x⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴121x ⎛⎫ ⎪⎭>⎝.即01122x ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(),-∞+∞上单调递减，∴0x <.∴不等式()0f x >的解集为(),0-∞.18．（1）75-；（2）24175-. （1）由1sin cos 5x x +=，两边平方得221sin 2sin cos cos 25x x x x ，整理得242sin cos 25x x =-.所以()249sin cos 12sin cos 25x x x x -=-=，由0x π-<<，∴sin 0x <，又12sin cos 025x x =-<，∴cos 0x >，∴sin cos 0x x -<， 故7sin cos 5x x -=-.（2）原式()()2412sin cos sin 2sin cos cos sin 24255sin 7cos sin 1751cos 5x x x x x x x x x x x-⨯++====---. 19．（1）(3,0)或(5,0)；（2）. 解：根据题意，设点P (x ,0)，又A (2,3)，B (6,1)，得AP =(x -2,-3)，BP =(x -6,-1)， （1）由AP ⊥BP ，即AP BP ⋅=(x -2)(x -6)+(-3)×(-1)＝x 2-8x +15＝0，解得x ＝3或x ＝5， ∴P 的坐标为(3,0)或(5,0)；（2）由AP BP ⋅=(x -2)(x -6)+(-3)×(-1)＝x 2-8x +15＝(x -4)2-1， 当x ＝4时，AP BP ⋅取得最小值-1，此时AP =(2,-3)，BP=(-2,-1)，|AP |=|BP |=，∴AP 与BP 夹角的余弦值为：cosθ|||6513|AP BP AP BP ⋅===-. 20．（1）1a ≤-，（2）6π 解：（1）21()cos cos 22f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭21cos (2sin 1)2x x x =+-31sin 2cos 2sin(2)226x x x π=-=-， 若对任意,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，都有()f x a ≥成立，则只需min ()f x a ≥即可， 因为,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以552[,]666x πππ-∈-，所以当262x ππ-=-即π6x =-时，()f x 取得最小值为1-，所以1a ≤-， （2）先将()f x 的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得sin()6y x π=-的图像，然后再向左平移6π个单位得到函数()sin g x x =的图像， 函数1()3y g x =-在区间[],3ππ-内的所有零点，即1sin 3x =的实数根，它的实数根共4个，设为1234,,,x x x x ，则根据对称性可知这4个根关于直线32x π=对称，所以1234342x x x x π+++=，所以12346x x x x π+++=21．（1）S ＝2R 2sin (2)4πθ+－R 2，θ∈(0,)4π；（2）当θ＝8π时，矩形ABCD 的面积S 最大，最大面积为838.35 m 2.解：（1）由题意，可知点M 为PQ 的中点，所以OM ⊥AD .设OM 与BC 的交点为F ，则BC ＝2R sin θ，OF ＝R cos θ，所以AB ＝OF －12AD ＝R cos θ－R sin θ.所以S ＝AB ·BC ＝2R sin θ(R cos θ－R sin θ)＝R 2(2sin θcos θ－2sin 2θ)＝R 2(sin 2θ－1＋cos 2θ)＝2R 2sin (2)4πθ+－R 2，θ∈(0,)4π.（2）因为θ∈(0,)4π，所以2θ＋4π∈3(,)44ππ，所以当2θ＋42ππ=，即θ＝8π时，S 有最大值.S max ＝(2－1)R 2＝2－1)×452＝0.414×2 025＝838.35(m 2).故当θ＝8时，矩形ABCD 的面积S 最大，最大面积为838.35 m 2.。
四川省南充市高一下学期期中数学试题(解析版)
高一级数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮㲾干净后，再选涂其他答案标号.回答非选挂题时，将答㭉写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.第I 卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 下列与角的终边相同的角的表达式中正确的是（ ） 45︒A. （） B. （） 2π45k +︒Z k ∈π3604k ⋅︒+Z k ∈C. （） D. （） 36045k ⋅︒+︒Z k ∈5ππ4k +Z k ∈【答案】C 【解析】【分析】根据终边相同的角的表示方法以及角度和弧度的应用，一一判断各选项，可得答案. 【详解】对于A ，B ，终边相同的角的表达式中弧度与角度混用，不正确； 又与角的终边相同的角的表达式可以为（）或（）， 45︒36045k ⋅︒+︒Z k ∈π2π4k +Z k ∈对于，令，表示的角为与角的终边不相同，故C 正确，D 错误， 5ππ4k +0k =5π445︒故选：C2. 如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心， 则下列判断错误的是A.B. ∥ AB OC =AB DEC.D.AD BE = AD FC = 【答案】D 【解析】【详解】根据正六边形的性质及向量相等的概念易知，∥且，∴选项A 、AB OC = AB DE AD BE =B 、C 正确，故选D3. 下列求值正确的是（ ）A. B. 5sin4π=5cos4π=C. D. 7sin 4π=7cos4π=【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式计算.【详解】， πππsinsin(πsin 4445=+=-=5πππcos cos(πcos 444=+=-=， 7πππsinsin(2π)sin 444=-=-=7πππcos cos(2πcos 444=-==故选：D ．4. 已知角的终边经过点，且，则的值是（ ） α(8,)P m -3tan 4α=-cos αA.B. C. D.3535-45-45【答案】C 【解析】【分析】由可得，再根据余弦函数的定义求解即可. 3tan 4α=-6m =【详解】解：因为， 3tan 84m α=-=-所以，6m =所以. 84cos 105α==-=-故选：C.5. 下列函数不是奇函数的是（ ） A. B. sin y x x =+sin cos y x x =C. D.22cos sin y x x =-2tan 1tan xy x=-【答案】C 【解析】【分析】根据函数奇偶性的定义，结合三角函数的性质即可化简求值.【详解】对于A , 定义域为,所以为奇函数，R ()()()sin ,f x x x f x =+---=-()f x 对于B ，定义域为，且，所以为奇函数， R ()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -==-=---()f x 对于C ，定义域为，且，所以为偶函数，R ()()()()2222cos sin cos sin f x x x x x f x -=-=---=()f x 对于D ，定义域满足且，所以且， tan 1x ≠±ππ,Z 2x k k ≠+∈ππ,Z 4x k k ≠±+∈ππ,Z 2x k k ≠+∈故定义域为或或,故定义域ππππ24x k x k ⎧-+<<-+⎨⎩ππππ44k x k +<<+-ππππ,Z 42k x k k ⎫+<<+∈⎬⎭关于原点对称，且，所以为奇函数， ()()()()22tan tan 1tan 1tan x xf x f x x x=-----==--故选：C6. 先将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所有点πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），所得函数的解析式为（ ） 12A. B. 1πsin 426y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C. D. π2sin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2sin 46y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据图象的伸缩变换即可求解. 【详解】将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变,得到πsin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再将所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变得到， πsin 6y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：B7. 已知，则（ ）π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin 2α=A. B.C. D. 134-341-【答案】B 【解析】【分析】据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.【详解】， π2sin(4αα=+, )22cos )cos sin αααα=+-，1(cos sin )(cos sin 02αααα∴+--=又，则，即π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 0,cos 0αα>>cos sin 0αα+>所以， 1cos sin 2αα-=因为，所以，. π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2(0,π)α∈sin 20α>由平方可得，即，符合题意. 1cos sin 2αα-=11sin 24α-=3sin 24α=综上，. 3sin 24α=故选：B.8. 已知函数在区间上单调，且在区间()()ππsin 033f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内恰好取得一次最大值，记的最小正周期为T ，则当取最大值时，的值为[]0,2π2()f x ω3T f ⎛⎫⎪⎝⎭（ ）A. 1B.C.D.1-【答案】C 【解析】【分析】化简得,结合已知可得，可解得，结()2sin (0)f x x ωω=>ππ3ππ,,2242ωω⎡⎤⎡⎤-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦203ω<≤合正弦函数的性质可得列不等式，得的范围，进而得解． ω【详解】， ππ()sin 33f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin (0)x ωω=>由，可得 ππ2π2π,Z 22k x k k ω-≤≤+∈2ππ2ππ,Z 22k k x k ωωωω-≤≤+∈∴是函数含原点的递增区间． ππ,22ωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦又∵函数在上递增， 3ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∴， ππ3ππ,,2242ωω⎡⎤⎡⎤-⊇-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴得不等式组：，且， π3π24ω-≤-ππ22ω≤又∵， 0ω>∴， 203ω<≤又函数在区间上恰好取得一次最大值，[0,2π]根据正弦函数的性质可知， 52π<44T T ≤所以且， 12π2π4ω⨯≤52π2π4ω⨯>可得．15,44ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以，12,43ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，， 23ω=2π3πT ω==所以， ()2ππ2sin 33T f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故选：C.二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 给出下列命题正确的是（ ） A. 平面内所有的单位向量都相等B. 长度相等且方向相反的两个向量是相反向量C. 若满足，且同向，则,a b a b > ,a b a b > D. 若四边形满足，则四边形是平行四边形 ABCD AB DC =ABCD 【答案】BD 【解析】【分析】根据单位向量以及相反向量可判断AB ，由向量以及相等向量可判断AD. 【详解】对于A,单位向量是模长相等，方向不一定相同，故A 错误，对于B ，由相反向量的定义可知长度相等方向相反的两个向量是相反向量，故B 正确， 对于C ，向量不可以比较大小，故C 错误,对于D ，，则，且,故为平行四边形，故D 正确， AB DC =AB DC = //AB CD 故选：BD10. 若角是的三个内角,则下列等式中一定成立的是（ ） ,,A B C ABC A A. B. ()sin sin A B C +=()cos cos A B C +=C. D.cossin 22A B C+=()tan 2tan A B C A ++=【答案】AC 【解析】【分析】利用三角形的内角和为和诱导公式求解即可. π【详解】因为,πA B C ++=所以,故A 正确;()()sin sin π=sin A B C C +=-,故B 错误;()()cos cos πcos A B C C +=-=-,故C 正确; πcoscos sin 2222A B C C +⎛⎫=-= ⎪⎝⎭当时,选项D 不正确; π2A =故选:AC11. 已知，且，函数tan 2θ=)ππsin cos sin cos tan 22θθθθϕϕ⎛⎫+=--<< ⎪⎝⎭，则下列结论中正确的是（ ）()()2sin cos sin 2f x x x x ϕ=-+A. 点是函数图像的一个对称中心 2π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x B. 直线是函数图像的一条对称轴 2π3x =()f x C. 函数在区间上单调递减 ()f x ππ,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦D. 若，则函数的值域为 π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x ⎡⎢⎣【答案】AC 【解析】【分析】先利用弦化切的思想，求出，由此求出的值，然后利用三角恒等变换化简函数的tan ϕϕ()f x 解析式，再利用正弦函数的性质求解即可．【详解】：因为，由，tan 2θ=sin cos cos )tan θθθθϕ+=-可得tan ϕ====而 ，所以 ， ππ22ϕ-<<π3ϕ=于是 ()()π2sin cos sin 2sin 2sin 23f x x x x x x ϕ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭11sin 2sin 22sin 2222x x x x x =-=- . πsin 23x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，点是函数图像的一个对称中心， 2π2ππsin 2sin π0333f ⎛⎫⎛⎫=⨯-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x 直线不是函数图像的对称轴，A 选项正确，B 选项错误； 2π3x =()f x 时，，是正弦函数的单调递减区间，所以在ππ,26x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦π4π2π2,333x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦4π2π,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()f x 区间上单调递减，C 选项正确； ππ,26⎡⎤--⎢⎥⎣⎦当时，有， ， π02x ≤≤ππ2π2333x -≤-≤πsin 213x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭则的值域为，D 选项错误． ()f x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：AC12.已知函数，则（ ）()sin cos ex xf x -=A. 是周期函数 ()f x B. 是偶函数 ()f x C. 在上单调递增 ()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭D. 若，使得成立，则π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()4f x a f π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭e 1a ≤-【答案】BCD 【解析】【分析】对选项A ，根据是周期为的周期函数，是关于轴对称的函数，不是周cos y x =πsin y x =y 期函数，即可判断A 错误，对选项B ，根据偶函数的定义即可判断B 正确，对选项C ，根据复合函数的单调性即可判断C 正确，对选项D ，根据题意得到，再结合单调性即可判断D 正()max π4f x f a ⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭确.【详解】对选项A ，设，则，()sin cos g x x x =-()()e g xf x =因为是周期为的周期函数，cos y x =π是关于轴对称的函数，不是周期函数，sin y x =y 所以不是周期函数，即不是周期函数，故A 错误. ()sin cos g x x x =-()f x 对选项B ，的定义域为R ，，()sin cos ex xf x -=()()()sin cos sin cos eex x x xf x f x -----===所以是偶函数，故B 正确. ()f x 对选项C ，，， π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin cos e x xf x -=因为，在为增函数， sin y x =cos y x =-π0,2⎛⎫⎪⎝⎭所以在为增函数，即在上单调递增，sin cos y x x =-π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()sin cos e x xf x -=π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭故C 正确.对选项D ，，使得成立，π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦()π4f x a f ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭即， ()max π4f x f a ⎛⎫≥+⎪⎝⎭因为在上单调递增，()sin cos ex xf x -=π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以，即，，故D 正确. ππ24f f a ⎛⎫⎛⎫≥+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭e 1a ≥+e 1a ≤-故选：BCD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.化简得______. AB AC BD CD -+-【答案】【解析】【分析】根据平面向量的加法和减法法则计算．【详解】．AB AC BD CD -+- 0AB BD DC CA =+++=故答案为：．【点睛】本题考查平面向量的加法法则和减法法则，解题时注意减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．14. 已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为__________. 60,αα= 6πl =【答案】 54π【解析】【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解. 【详解】由弧长公式可得，所以扇形面积为， π6π183l r r =⇒==116π1854π22S lr ==⨯⨯=故答案为： 54π15. 若，则__________. ()ππ3π50,0,cos ,sin 225413αβαββ⎛⎫<<<<+=-= ⎪⎝⎭cos sin -=αα【解析】【分析】根据求解即可.()ππcos sin 44ααααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦【详解】因为，所以， ππ0,022αβ<<<<πππ0π,444αββ<+<-<-<因为， ()3π5cos ,sin 5413αββ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭所以，，()4sin 5αβ+==π12cos 413β⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以πππcos sin cos cos sin sin 444ααααα⎫⎛⎫-=-=+⎪ ⎪⎭⎝⎭()()()πππcos cos sin sin 444αββαββαββ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.31245513513⎫=⨯+⨯=⎪⎭ 16. 如图，已知直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和，点、分别12//l l A 1l 2l A 1l 2l 34B C 是直线、上的动点，使得.过点作直线，交于点，交于点，设1l 2l AB AC ⊥A 1DE l ⊥1l D 2l E，则的面积最小值为__________.ACE θ∠=ABC A ABC SA【答案】 12【解析】【分析】计算得出，，利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可求得4sin AC θ=3cos AB θ=的最小值.ABC S A 【详解】因为直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和， 12//l l A 1l 2l A 1l 2l 34过点作直线，交于点，交于点，则，，且， A 1DE l ⊥1l D 2l E 3AD =4AE =π2CAE θ∠+=又因为，则，故，且， AB AC ⊥π2BAD CAE ∠+∠=BAD θ∠=π02θ<<在中，，则，Rt ACE A sin AE AC θ=4sin sin AE AC θθ==在中，，则，Rt △ABD cos AD AB θ=3cos cos AD AB θθ==所以，，11341222cos sin sin 2ABC S AB AC θθθ=⋅=⨯⨯=△因为，则，故当时，即当时，取最小值，且最小值为.π02θ<<02πθ<<π22θ=π4θ=ABC S A 12故答案为：.12第II 卷四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知. ()()()()()cos 2πsin tan πcos π3ππsin cos 22f θθθθθθθ--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）化简；()fθ（2）若为第四象限角，且的值. θcos θ=()f θ【答案】（1）()sin fθθ=（2） ()fθ=【解析】【分析】（1）利用诱导公式和同角三角函数的关系化简； （2）利用同角三角函数的关系求值. 【小问1详解】 由三角函数诱导公式知：. ()()()()()()()()()cos 2πsin tan πcos πcos sin tan cos cos tan sin 3ππcos sin sin cos 22f θθθθθθθθθθθθθθθθ--+---====--⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】为第四象限角，且θcos θ=sin θ===可得()sin fθθ==18. 在中，为的中点，在上取点，使，与交于，设OBC △ABC OB D 13DB OB =DC OA E .,OA a OB b ==（1）用表示向量及向量； ,a bOC DC（2）若，求的值.OE OA λ=λ【答案】（1）2,OC a b =- 523DC a b =-（2）4=5λ【解析】【分析】（1）利用向量的加减运算，用表示向量及向量；,a bOC DC （2），由三点共线知，可得的值. 342OE OA OD OC λλλ==+ ,,D E C 3142λλ+=λ【小问1详解】是的中点，，则A BC 13DB OB =，()2222OC OB BC OB BA OB OA OB OA OB a b =+=+=+-=-=- .22522333DC OC OD OC OB a b b a b =-=-=--=- 【小问2详解】，()3322242OE OA OB OC OD OC OD OC λλλλλ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭由三点共线知，所以.,,D E C 3142λλ+=4=5λ19. 设函数，图象的一条对称轴是直线. ()()()sin 2π0f x x ϕϕ=+-<<()y f x =π8x =（1）求；ϕ（2）求函数在上的单调增区间. ()y f x =ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（1） 3π4ϕ=-（2）单调增区间为，. π3π,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据为函数的一条对称轴得到，解得，再根据的取值范π8x =()πππZ 42k k ϕ+=+∈ϕϕ围，即可得解；（2）解法一：首先求出解析式，再根据正弦函数的性质求出函数上的单调递增区间，再与所给定义域R 求交集；解法二：由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. x 3π24x -【小问1详解】 因为是函数图象的对称轴， π8x =()y f x =所以，所以，解得. πsin 218ϕ⎛⎫⨯+=± ⎪⎝⎭()πππZ 42k k ϕ+=+∈()ππZ 4k k ϕ=+∈又因为，所以. π0ϕ-<<3π4ϕ=-【小问2详解】解法一：由（1）知，则.3π4ϕ=-()3πsin 24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由，得， ()π3ππ2π22πZ 242k x k k -≤-≤+∈()π5πππZ 88k x k k +≤≤+∈即在上的单调递增区间为， ()f x R ()π5ππ,πZ 88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，当时，可得，,ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 0k =π5π88ππ22x x ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩ππ82x ≤≤当时，可得，1k =-7π3π88ππ22x x ⎧-≤≤-⎪⎪⎨⎪-≤≤⎪⎩π3π28x -≤≤-所以函数在上的单调增区间为，.()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π3π,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦解法二：，，,ππ22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 3π7ππ2,444x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦要函数在上的单调递增， ()3πsin 24f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦或， 3π7π3π2,442x ⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦3πππ2,424x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦解得或，π3π,28x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦ππ,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以函数在上的单调增区间为，.()f x ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π3π,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦20. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，且Ox α()0ββαπ<<<,P Q ，已知点的坐标为.OP OQ ⊥P 3,5m ⎛⎫- ⎪⎝⎭（1）求；tan β（2）求函数的最小值. ()()()()sin cos sin sin2R f x x x x x αβ=+-+∈【答案】（1）； 3tan 4β=（2）. ()min 54f x =-【解析】【分析】（1）利用三角函数定义，结合诱导公式、同角公式求解作答.（2）由（1）求出，换元结合二倍角的正弦转化为二次函数求解作答. ()sin 1αβ-=【小问1详解】由三角函数定义，得，而，则，3cos 5α=-0πα<<4sin 5α==由，得，即，OP OQ ⊥π2αβ-=π2βα=-于是， π3π4sin sin(cos ,cos cos(sin 2525βααβαα=-=-==-==所以.sin 3tan cos 4βββ==【小问2详解】 由，得， π2αβ-=()sin 1αβ-=则函数， ()()()sin cos sin sin2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x αβ=+-+=++令，πsin cos [4t x x x =+=+∈有，即， ()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+22sin cos 1x x t =-令，显然函数在上单调递减，在上单调递增， 2215()1()24g t t t t =+-=+-()g t 1[]2-1[2-所以. min 15()()24f xg =-=-21. 已知函数. ()44πsin 2sin cos 1,R 6f x x x x x ⎛⎫=++-+∈ ⎪⎝⎭（1）求函数的最小正周期以及函数在上的值域；()f x ()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）已知为锐角，且，求的值.α()43fα=πsin 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】（1），πT =1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2 【解析】【分析】（1）利用两角和的正弦公式、倍角公式、辅助角公式化简函数解析式，由周期公式求最小正周期，由定义区间用整体代入法求值域； （2）可解得，同角三角函数的关系求出，由()43fα=π1sin 263⎛⎫-= ⎪⎝⎭απcos 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭，两角和的正弦公式可解.πππsin 2sin 2663⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦αα【小问1详解】 因为 ()()()2222πsin 2sin cos sin cos 16f x x x x x x ⎛⎫=+++-+ ⎪⎝⎭ππsin2coscos2sin cos2166x x x =+-+， 11πcos2cos21cos21sin 21226x x x x x x ⎛⎫=+-+=-+=-+ ⎪⎝⎭故数的最小正周期， ()f x 2ππ2T ==πππ5π0,,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以，则， π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1πsin 216,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎪⎣⎛⎫- ⎝⎭⎦+故函数的值域为.()f x 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【小问2详解】 由，得 ()π4sin 2163f⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ααπ1sin 263⎛⎫-= ⎪⎝⎭α又因为为锐角，所以， αππ5ππ112,,sin 2666632⎛⎫⎛⎫-∈--=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα，所以， ππ20,66⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭απcos 26⎛⎫-= ⎪⎝⎭α所以 πππππππsin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 6636363⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦αααα1132=⨯+=22. 已知函数的部分图像如图所示，且，()()ππsin 0,0,22f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭()0,1D -的面积等于.ABC A π2（1）求函数的解析式； ()f x （2）将图像上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图像，若对于任意的()f x π4()y g x =，当时，恒成立，求实数的最大值.[]12,π,x x m m ∈-12x x >()()()()1212f x f x g x g x -<-m 【答案】（1）()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）13π24【解析】【分析】（1）的面积求出，即，可求出，图像过点，求出，可得函数解析ABC A BC 2Tω()0,1D -ϕ式；（2）由函数图像的平移，求出解析式，设，化简函数解析式，依题意()g x ()()()hx f x g x =-()h x在区间上单调递减，利用正弦型函数的单调性求的最大值. []π,m m -m 【小问1详解】 由题意可得，2A =， 11π2222ABC A S BC y BC =⋅=⋅=A 所以，由解得，所以， 2ππ222T BC ===ω0ω>2ω=()()2sin 2x x f ϕ=+图像过点，则，又因为，所以， ()0,1D -()2sin 1f x ϕ==-ππ22ϕ-<<π6ϕ=-所以，()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【小问2详解】由题意可得， ()πππ2sin 22cos 2466g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦设 ()()()ππ2sin 22cos 266h x fx g x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ5π22,6412x x ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当时，恒成立，[]12,π,x x m m ∈-12x x >()()()()1212f x f x g x g x -<-即恒成立，即恒成立，()()()()1122f x g x f x g x -<-()()12h x h x <在区间上单调递减，()h x ∴[]π,m m -令，解得， π5π3π2π22π2122k x k +≤-≤+11π23πππ,Z 2424k x k k +≤≤+∈因为，所以，则， πm m -<π2m >ππ2m -<故，解得，11ππ2423π24m m ⎧-≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩π13π224m <≤所以最大值为. m 1324π。
【数学】四川省南充高级中学2020-2021学年高一下学期阶段性检测试卷(解析版)
函数 在区间 内的所有零点，即 的实数根，它的实数根共4个，设为 ，则根据对称性可知这4个根关于直线 对称，
所以 ，所以
21．【解】（1）由题意，可知点M为PQ的中点，所以OM⊥AD.
整理得 .所以 ，
由 ，∴ ，又 ，
∴ ，∴ ，故 .
（2）原式 .
19．【解】根据题意，设点P(x,0)，
又A(2,3)，B(6,1)，得 (x-2,-3)， (x-6,-1)，
（1）由 ⊥ ，即 (x-2)(x-6)+(-3)×(-1)＝x2-8x+15＝0，
解得x＝3或x＝5，∴P的坐标为(3,0)或(5,0)；
三、解答题（70分）
17．（本小题10分）已知函数 （ ，且 ）满足 .
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）解不等式 .
18．（本小题12分）已知 ， .
（1）求 的值；
（2）求 的值.
19．（本小题12分）已知点A（2，3），B（6，1），O为坐标原点，P为x轴上一动点.
（1）若 ⊥ ，求点P的坐标；
（2）当 取最小值时，求向量 与 的夹角的余弦值.
四川省南充高级中学2020-2021学年
高一下学期阶段性检测试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．已知集合 ，集合 ，则 （）
A． B．
C． D．
2．如果角 的终边过点 ，则 的值等于（）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，则 （）
A． B． C． D．
对于③，因为 ， ；
对于④，因为 ， ；