因子分析北京大学公共卫生学院郑迎东多元统计
多元统计分析之因子分析
多元统计分析之因子分析因子分析是一种常用的多元统计分析方法，旨在从大量观测指标中发现其背后的基本因素或维度，以简化数据分析的复杂性，并提供关于样本之间的隐含结构的信息。
本文将对因子分析的概念、原理、步骤以及其在研究中的应用进行详细介绍。
一、概念和原理因子分析是一种研究多个变量之间关系的统计技术，它通过寻找多个变量之间的共同特征，将它们归纳为较少的无关因素或构念。
这些无关因素或构念称为因子，它们是通过将原始变量进行数学转换而得到的。
因子分析通过发现这样的因子，帮助研究者识别数据中潜在的结构和模式。
因子分析的基本原理是假设多个变量之间存在共同的潜在因素，并试图将这些变量映射到较少的综合因素上。
这些潜在因素无法被直接观察到，因此需要通过数学上的推导和计算才能确定它们的存在。
因子分析的目标是找到能够解释原始变量之间的相关性的最小数目的因子。
二、步骤因子分析通常包括以下步骤：1.收集数据：收集包含多个观测指标的数据，这些指标应当反映被研究对象的多个方面。
2.确定分析的类型：根据研究目的和数据特点，确定主成分分析还是常规因子分析。
3.确定因子数目：使用合适的统计方法（如特征值、解释方差等）确定需要提取的因子数目。
4.提取因子：通过数学计算，将原始变量转换为较少的无关因子。
5.因子旋转：为了使因子更易于解释，通常进行因子旋转，以最大化因子之间的独立性并减少因子与原始变量之间的关联性。
6.解释因子：解释提取的因子，确定它们的意义和作用。
7.评估结果：评估因子分析的效果，并根据需要进行调整和修正。
三、应用因子分析广泛应用于社会科学、市场调研、心理学等领域。
以下列举一些常见的应用场景：1.人格特征研究：通过对多个问卷调查指标进行因子分析，识别人格特征的维度和结构。
2.战略管理：通过对市场指标、经济指标等进行因子分析，发现不同因素对企业发展的影响程度，从而制定合理的战略决策。
3.客户满意度调查：通过对客户满意度调查指标进行因子分析，发现影响客户满意度的各因素，并为改善客户满意度提供指导。
多元统计分析因子分析
多元统计分析因子分析多元统计分析是一种综合应用统计学和数学的方法，旨在分析多个变量之间的关系以及它们对其中一或多个隐含变量的影响。
其中，因子分析是多元统计分析中的一种方法，用于识别和解释观测数据中潜在的因子结构。
本文将介绍多元统计分析和因子分析的基本概念、原理和应用。
多元统计分析的基本概念主要包括变量、变量间的关系以及隐含变量。
变量是观测数据中的各个测量指标，可以是定量变量或定性变量。
变量间的关系描述了不同变量之间可能存在的相关性、相互作用关系或影响关系。
隐含变量是观测数据中未直接测量到但对所研究现象具有重要影响的一种潜在因素。
因子分析是一种常用的多元统计分析方法，其原理基于变量内部存在共同的变异性。
该方法尝试将观测数据中的变量通过线性组合转化为较少数量的潜在因子，以解释变量间的共同变异性。
因子分析可以分为探索性因子分析和确认性因子分析两种类型。
探索性因子分析旨在发现潜在因子的结构，确定因子的数目和变量的载荷；而确认性因子分析则是根据先前的理论和假设，验证数据是否符合所设定的因子结构。
因子分析的应用十分广泛。
在社会科学研究中，因子分析可以用于构建问卷调查中的量表，进一步检验其信度和效度。
在经济学领域，因子分析可以用于分析股票市场的主要因子，帮助投资者理解市场波动并制定投资策略。
在教育评价中，因子分析可以用于确定考试的难度、区分度和信度。
此外，因子分析还可以在医学研究中用于测量疾病的风险因素和干预效果。
在进行因子分析时，需要进行一系列的数据预处理步骤。
首先，需要检查数据的完整性，并根据需要进行数据清洗。
然后，可以进行因素提取，即确定因子的数目和每个变量在因子上的载荷。
最后，可以进行因子旋转，以使得因子的解释更为直观。
常用的因子旋转方法有正交旋转和斜交旋转两种类型。
正交旋转方法（如Varimax旋转）试图使得因子之间相互独立；而斜交旋转方法（如Oblimin旋转）允许因子之间存在一定的相关性。
总之，多元统计分析和因子分析提供了一种强大的工具，用于探索和解释多个变量之间的关系。
应用多元统计分析北大
8
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第一章 绪 论
§1.1 引言--多元分析的研究 对象和内容
由于大量实际问题都涉及到多个变量，这些 变量又是随机变化，如学生的学习成绩随着被 抽取学生的不同成绩也有变化（我们往往需要 依据它们来推断全年级的学习情况）。所以要 讨论多维随机向量的统计规律性。
两组变量的相关分析
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使用的教材
普通高等教育”十一五”国家级教材
北京大学数学教学系列丛书
本科生 数学基础课教材
应用多元统计分析
(北京大学出版社,高惠璇,2006.10)
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参考书（一）
1. 实用多元统计分析(方开泰,1989,见参考文献[1]) 2. 多元统计分析引论(张尧庭,方开泰, 2003,见[2]) 3. 实用多元统计分析(王学仁,1990 ,见[6]) 4. 应用多元分析(王学民,1999 ,见[8]) 5. 实用统计方法与SAS系统(高惠璇,2001, 见[3]) 6. 多元统计分析(于秀林,1999 ,见[9]) 7. 多元统计方法(周光亚,1988 ,见[28]) 8. 多元分析(英 . M . 肯德 尔,1983 ,见[15]) 9. SAS系统使用手册等资料(1994-1998 ,见[17]-[21])
主成分分析方法为样品排序或多指标系 统评估提供可行的方法.
23
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教育学--
主成分分析在学生学习成绩排序中的应用
这里把12门课的成绩看成12个变量，这些 变量是相关的，有的相关性强些，有的相关 性一般些。用主成分分析方法从12个相关的 变量中可以综合得出几个互不相关的主成分 －－它们是原始变量的线性组合。其中第一 主成分综合原始变量的信息最多（一般在70 ％以上），我们就用第一主成分（即单个综 合指标）替代原来的12个变量；然后计算第 一主成分的得分并进行排序。
基于因子分析法的某医科大学本科招生生源质量评价实证研究
通讯作者!"#$%&!..+/:D4D4-,XX012#
情况"其中 +(*为第 (个地区第 *个指标的权重),(*为第 (个 地区第 *个指标的得分)'(则为每个地区招生生源质量的 综合得分%4& '
根据因子分析的特点"提取相应的公共因子能够达 到简化变量和维数的目的"且不同公因子之间具有不相关 性"每个因子中的指 标 有 高 度 相 关 性' 而 因 子 载 荷 代 表 指 标与因子的相关系数"因此可以根据方差贡献率对生源质 量的函数公式赋予权重来计算生源质量的综合得分"得到
.5-: 年生源质量因子值
,. B503/
,4 50-9
B503/ B505:
50+D B50D.
B504D B50-:
B503- B504-
B5035 B5043
B50:5 B50/+
B50-3
5054
B50-9 B50.D
B5045
505.
B5099 B50.:
B503. B505+
B509- B5059
D
4-05+
+
.5-+ 年
综合得分 排名
-0/-
-4
+0-5
+
B.90./
-+
30/4
--
B50+4
-3
B+09-
-:
4403.
-
-30/.
9
-50.3
D
基于因子分析的对临床导师学术影响力的评价研究
基础医学与临床Basic&Clinical MedicineMay2021 Vol.41No.52021年5月第41卷第5期文章编号：1001-6325(2021)05-0767-05医学教育基于因子分析的对临床导师学术影响力的评价研究常星，贾雪妍，朱东伟，罗林枝*(中国医学科学院北京协和医学院北京协和医院教育处，北京100730)摘要：目的建立导师的学术影响力评价模型,为导师队伍建设提供参考。
方法在文献综述的基础上遴选评价指标，抽选62位博士生导师,采用因子分析的方法对导师的学术情况构建评价模型。
结果导师学术影响力评价主要依靠科学研究产出因子、投入因子和学术著作因子等3个公因子的方差贡献率达到75.25%；导师的学术影响力得分差异显著，总体上导师们的学术投入大于学术产出。
结论因子分析可以用于构建导师的学术影响力评价模型;同时，评价导师的学术影响力对于高层次导师的选拔和导师队伍的建设有非常重要的意义。
关键词：导师评价;学术影响力；因子分析中图分类号:G643文献标志码:AEvaluation of scientificimpact for clinical supervisors based on Factor AnalysisCHANG Xing,JIA Xue-yan,ZHU Dong-wei,LUO Lin-zhi*(Department of Education,Peking Union Medical College Hospital,CAMS&PUMC,Beijing100730,China)Abstract:Objective To establish an evaluation model of scientific impact of supervisors and provide reference for the construction of supervisor team.Methods Based on the literature review,a series of evaluation index were selected；and62supervisors for doctor degree from a well-known hospital in China were selected.Their academic conditions were evaluated by Factor Analysis.Results The evaluation of supervisors5scientific impact mainly determined by three common factors including research output factor,research input factor and academic publication factor.The total variance contribution rate of three factors reached75.25%.There were significant differences in the scientific impact of supervisor.Totally,superisors9research input was greater than their research output.Conclusions Factor Analysis can be used to construct the evaluation model of supervisors scientific impact.At the same time,it is of great significance to evaluate the scientific impact of supervisor for the selection of high-level mentors and the construction of supervisor team・Key words:supervisor's evaluation；scientific impact；Factor Analysis作为研究生的第一负责人，研究生导师(supervisor)学术能力的高低与研究生科学研究(简称科研)能力的培养质量息息相关。
多元统计分析中的因子分析法的应用
多元统计分析中的因子分析法的应用多元统计分析是一种研究多个变量在一起的统计方法，因子分析是其中的一种方法，它被广泛应用于社会科学、心理学、市场研究和生物医学等领域。
本文将介绍因子分析法的基本概念、应用场景、步骤、优缺点以及其未来的发展趋势。
一、基本概念因子分析法是一种通过变量间的相关关系来推导出隐藏变量的分析方法，它是一种将多个变量归类并简化数据的技术。
它可以通过避免多个变量共线性的风险，减小提取样本信息损失，使得数据集变得更加容易理解和解释。
在因子分析中，我们将多个观察变量归纳为较少数量的因子，每一个因子代表一个经验观察变量。
这些因子可以通过解析方差或者协方差矩阵，来确定它们之间的因果关系。
例如，在市场调查中，我们可能收集到了许多关于产品质量、价格、宣传等方面的数据，通过因子分析，我们可以将这些数据归为一个“产品满意度”因子。
二、应用场景因子分析法可以应用于以下领域：1.市场调查：通过因子分析法分析出消费者对产品品质、价格、服务等因素的偏好，帮助企业制定产品营销策略。
2.心理学：通过因子分析法研究情绪、人格、智力等心理特征，揭示内心因素对个人行为的影响。
3.社会科学：通过因子分析法研究社会现象，例如，通过因子分析判断城市居民对住房品质的不同需求，帮助政府进行城市规划。
三、步骤因子分析法的步骤主要包括：1.文件准备：准备数据，并对数据进行必要的清洗和预处理。
2.确定因子数：确定需要提取的潜在因子的数量。
3.提取因子：使用方差分析或最大相似函数提取因子。
4.解释因子：确定因子与每个观测变量之间的相关性，根据它们的关系将它们标识为特定的因素。
5.旋转因子：如果因子过于复杂，则需要使用因子旋转技术来简化分析结果并使其结果更加可解释。
四、优缺点优点：1.简化数据：因子分析法可以帮助研究人员发现数据中的潜在因素，从而简化数据。
2.提高解释性：因子分析法可以提高数据的解释能力。
3.可视化数据：因子分析法可以通过可视化的方法来展示数据，使分析结果更加直观。
学术研究中的因子分析方法
学术研究中的因子分析方法摘要：本文对学术研究中的因子分析方法进行了深入探讨。
首先，我们阐述了因子分析的基本原理，然后详细介绍了其应用范围和优势，接着讨论了实施因子分析过程中可能遇到的问题和解决方法。
最后，我们总结了因子分析方法在学术研究中的重要性和应用前景。
一、引言因子分析是一种统计技术，用于识别数据中的潜在因子或结构。
在学术研究中，因子分析被广泛应用于社会科学、心理学、教育学等领域，以揭示数据中的共性关系和结构。
随着数据量的不断增加和研究领域的不断拓展，因子分析方法在学术研究中的作用越来越重要。
二、因子分析的基本原理因子分析的基本思想是通过测量数据的变量之间的相关系数矩阵，找出隐藏在数据中的一组公共因子（即潜在因子或因子），以及变量特异因子（即表示每个变量独特的变异来源）。
这种方法能够识别数据中的复杂结构，揭示变量之间的关系。
三、应用范围和优势1.数据结构分析：因子分析能够有效地分析多变量数据，如问卷调查、实验数据等，以揭示数据中的潜在结构。
2.变量关系揭示：通过因子分析，可以发现变量之间的共性关系，从而为研究提供新的视角和思路。
3.简化数据结构：通过因子分析，可以将原始变量简化为一组公共因子的表示，从而简化数据结构，提高数据分析的效率。
四、实施过程中可能遇到的问题及解决方法1.因子数量确定：在因子分析中，如何确定最佳的因子数量是一个重要的问题。
常用的解决方法包括采用适当的方法（如主成分分析法）来确定因子的数量，或者采用交叉验证方法来选择最佳的因子数量。
2.因子解释困难：由于因子分析的结果是基于统计模型和假设的推断，因此在某些情况下，可能难以对因子的含义进行解释。
这时，可以采用其他方法（如探索性因子分析、结构方程模型等）来辅助解释。
3.误差项建模：在因子分析中，误差项建模是一个关键问题。
为了保证模型的准确性，需要选择合适的误差项模型，并对其进行适当建模和评估。
五、结论综上所述，因子分析方法在学术研究中具有广泛的应用范围和优势。
统计学中的多元数据分析方法
统计学中的多元数据分析方法统计学中的多元数据分析方法是指通过收集和分析多个变量之间的关系来揭示数据的复杂性和内在规律。
多元数据分析方法广泛应用于社会科学、工程、医学等领域，可以帮助研究人员更深入地理解数据，并做出准确的预测和决策。
本文将介绍几种常见的多元数据分析方法。
一、主成分分析（PCA）主成分分析是一种降维技术，旨在将原始数据转换为较少的维度，同时保留尽可能多的信息。
在主成分分析中，我们通过找到与原始数据中方差最大的方向来实现降维。
这些方向被称为主成分，它们可以解释原始数据的大部分方差。
主成分分析可以帮助我们发现数据中的重要特征，并简化数据的复杂性。
二、因子分析（FA）因子分析是一种统计方法，旨在揭示观测数据背后潜在的构造和维度。
通过因子分析，我们可以将一组相关的观测变量归纳为更少的无关潜在因子。
这些潜在因子可以反映出数据背后的结构和关系。
因子分析可以帮助我们理解多个变量之间的关系，并提供一种简化数据的方式。
三、聚类分析（Cluster analysis）聚类分析是一种将相似观测对象归为一组的统计方法。
在聚类分析中，我们根据观测对象之间的相似性或距离进行分类。
具有高相似性的观测对象将被分配到同一聚类中。
聚类分析可以帮助我们识别数据中的群组和模式，从而更好地理解数据的结构和特征。
四、判别分析（Discriminant analysis）判别分析是一种分类方法，旨在通过已知类别的样本数据来预测新样本的分类。
判别分析通过在特征空间中找到不同类别之间的最佳分隔准则来实现分类。
判别分析可以帮助我们预测和解释分类变量，并评估不同变量对分类的影响。
五、回归分析（Regression analysis）回归分析是一种用于建立变量间关系模型的方法。
通过回归分析，我们可以建立预测变量和响应变量之间的关系，并通过该关系进行预测。
回归分析可以帮助我们理解变量之间的因果关系，并进行预测和决策。
综上所述，统计学中的多元数据分析方法提供了一种强大的工具来处理复杂的多变量数据。
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因子分析的发展
• 起源于心理学 Spearman的“智力结构”理论（1904） 一般能力 / 特殊能力 Pearson：主因子法 Thurstone：公因子数目 / 简单结构
验证性因子分析
因子模型
x1 a11 f1 a12 f2 ... a1k fk v1u1
握力 .019 -.032
1.000 .535 .264
背力 .042 -.093 .535
1.000 .207
身高 -.025 -.097 .264 .207 1.000
公因子方差Hi2
Communalities
单脚 站立 反应 时1 握力 背力 身高
In iti a l 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000
常用的因子斜交旋转方法
牺牲因子间的独立性，获得更好的因子解释。 • 负荷矩阵（模式矩阵 factor pattern）和结构矩阵（factor structure）
S=BW S 结构矩阵（元素为因子和变量之间的相关系数） B模式矩阵即旋转后的负荷阵 W 因子间的相关阵
因子得分
• 因子（潜变量）在理论一般不能表示成原始变量（可观测变量）的线性组合，但实际 可以用线性模型（回归模型）来估计因子得分。
Extra cti on .596 .560 .707 .663 .324
Extraction Method: Principal Component Analysis.
R*
Reproduced Correlations
Reproduced Correlation
单脚 站立 反应 时1 握力 背力 身高
• 因子得分的意义
因子分析实例
数据来自2000年全国体质调研，北京、男20-30岁组
Correlation Matrix
Co rre l a ti o n
单脚 站立 反应 时1 握力 背力 身高
单脚 站立 1.000 -.147 .019 .042 -.025
反应 时1 -.147 1.000 -.032 -.093 -.097
x2
a21 f1 a22 f2 ... a2k fk v2u2 ...
xm am1 f1 am2 f2 ... amk fk vmum
因子模型矩阵表示
x1
a11
a12
...
a1k
f1
v1
0 u1
x2 a21 a22 ... a2k f2 ... ...
负荷矩阵的每行至少有一个0 对于每个原始变量x，在少数公因子上的
负载较大而在其余的公因子上负载接近0
常用的因子正交旋转方法
• 正交旋转（寻找正交矩阵） varimax（方差最大法）：使因子载荷矩阵的（标度）列元素的平方的方差和达到最大 。有利因子解释 quartimax（四次方最大法）：使因子载荷矩阵的（标度）行元素的平方的方差和达到 最大。有利原始变量解释 equimax（等量最大法）：前二种方法的妥协结果。
假设检验，如回答公因子是否“显著”的问题。
因子个数的确定原则
• 不大于（实际上远远少于）原变量的个数 • 研究者事先确定 • 从R*的特征值出发
看累积比例 看特征值大小（大于1准则） 看特征值的变化速率（碎石图） • 假设检验（仅适用ML估计）
碎石图
因子旋转
• 因子负荷矩阵不是唯一的 • 一般要求因子满足“简单结构原理”
单脚 站立 .596b
-.567
反应 时1 -.567 .560b
-.0பைடு நூலகம்0
-.074
.024
-.141
-.005
-.078
Extraction Method: Principal Component Analysis. b. Reproduced communalities
握力 -.050 -.074 .707b .680 .478
背力 .024 -.141 .680 .663b .463
身高 -.005 -.078 .478 .463 .324b
R*的特征值
Total Variance Explained
Initial Eigenvalues
Component 1
Total % of Variance Cumulative %
V diag(v12,...,vm2 )
因子载荷（负荷）矩阵的统计意义
• A的元素aij是xi与fj之间的相关系数 • A的行元素平方和体现原始变量对公因子的依赖程度（xj，xj*） • A的列元素平方和体现公因子fj对x的贡献
1 r12 ... r1p
R
r21
1
...
r2
p
... ... ... ...
... xm
am1
...
...
am2 ... amk fk
0
vm um
x Af vu
因子模型假设
E(f ) 0
VEa(ur()f)
0
I
Var(u) I
cov(f,u) E(fu) 0
因子模型的性质
H
2 i
ai21
ai22
...
ai2k
H
2 i
vi2
1
R R* V , R* AA,
rp1 rp2 ...
1
R
r11 r21
...
r12 r22 ...
... ...
r1 r2
p p
... ...
rp1
rp 2
...
rpp
V
2 1
...
0
0
2 p
因子模型的参数估计
• 主因子法：对R*进行分解（SMC） • 主成分法：用R代替R*（默认的方法） • ML：精度较高的估计，计算量大。如果样本来自多维正态总体，则能给出关于模型的
因子分析
Factor Analysis
外显变量和潜变量
外显变量 潜变量
上课迟到早退
按时完成作业
学
习态度
自觉复习功课
坚持朗诵课文
作文
词汇 言语表达能力
口语
因子分析
• 因子分析可以看成是主成份分析的一种推广。它的基本目的是用少数几个因子F1、F2 、…去描述许多变量之间的关系。被描述的变量X1、X2…是可以观测的随机变量，即 显在变量，而这些因子F1、F2、…是不可观测的潜在变量。
1.720
34.390
34.390
2
1.131
22.618
57.009
3
.908
18.167
75.176
4
.785
15.691
90.867
5
.457
9.133
100.000
Extraction Method: Principal Component Analysis.