大学物理 第五章
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大学物理 第5章刚体定轴转动
赵 承 均
转动平面 某质点所在的圆周平面，称为转动平面。
参考线
转心 矢径
转动平面内任一过转轴的直线，如选 x 轴。
某质点所在的轨迹圆的圆心，称为转心。 某质点对其转心的位矢，称为该质点的矢径。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
显然：转动刚体内所有点有相同的角量，故用角量描述刚体 的转动更方便，只需确定转动平面内任一点的角量即可。 1.角坐标— 描写刚体转动位臵的物理量。 角坐标 转动平面内刚体上任一点 P 到转轴 O 点的连线与 参考线间的夹角 。
赵 承 均
第二类问题：已知J和力矩M：求出运动情况和 b及 F 。
第三类问题：已知运动情况和力矩M，求刚体转动惯量 J 。
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
第一类问题：已知运动情况和 J ，确定运动学和动力学的联 系 例 ：长为 l,质量为 m 的细杆，初始时的角速 度为 ωo ，由于细杆与 桌面的摩擦，经过时间 t 后杆静止，求摩擦力 矩 Mf 。
Fi cos i Fi cos i mi ain mi ri 2 法向：
e i
第一篇
力学
重 大 数 理 学 院
由于法向力的作用线穿过转轴，其力矩为零。可在切向 方程两边乘以 ri ，得到：
Fi e ri sin i Fi i r i sin i mi ri 2
4.角加速度— 描写角速度变化快慢和方向的物理量。 ⑴ 平均角加速度 t
即：刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。
赵 承 均
⑵ 角加速度 ①用平均角加速度代替变化的角加速度； ②令 t 0 取极限；
d d lim 2 t 0 t dt dt
大学物理教程课件第五章
M
dE dE dV Cp = +p 可得： 代入上式 可得： dT dT dT
µ
CV (T2 − T1 )
dV C p = CV + p dT 利用1摩尔理想气体的状态方程 利用 摩尔理想气体的状态方程 PV=RT，将两边求微分并考 ， 虑到此时的P为常量 为常量， 代入上式得： 虑到此时的 为常量，可得 PdV=RdT 或 R=PdV/dT代入上式得： 代入上式得
T1 T2
对于质量为M的工作物质 温度从 升到T 对于质量为 的工作物质,温度从 1升到 2时向外界吸收 的工作物质 温度从T 的热量为： 的热量为： M Q = νC p (T2 − T1 ) = C p (T2 − T1 )
µ
第五章 热力学
对于一般的准静态过程中系统所吸收的热量， 对于一般的准静态过程中系统所吸收的热量，可以通过对 T2 两边求得： 式dQ = νCdT 两边求得： Q = ∫ dQ = ∫ νCdT = νC (T2 − T1 )
在热传递过程中所传递的能量就称为热量。 在热传递过程中所传递的能量就称为热量。 功与热量的异同
1）过程量：与过程有关； ）过程量：与过程有关；
T1 < T2
T1 Q T2
2）等效性：改变系统热运动状态作用相同； ）等效性：改变系统热运动状态作用相同； 1卡 = 4.18 J ， 1 J = 0.24 卡 卡 3）功与热量的物理本质不同 . ）
热力学
相辅相成
气体动理论
第五章 热力学
第一节 热力学第一定律及其对理想气体的应用
一、热力学系统 热力学所研究的对象称为热力学系统，简称系统。 热力学所研究的对象称为热力学系统，简称系统。 按系统与外界的相互作用可将系统分为三类： 、 按系统与外界的相互作用可将系统分为三类：1、开放 系；2、封闭系；3、孤立系。 、封闭系； 、孤立系。 热力学平衡态：如果孤立系达到一个各种宏观性质不再随时间 热力学平衡态： 改变的状态，则这种状态就称为热力学平衡态。 改变的状态，则这种状态就称为热力学平衡态。 二．热力学过程 热力学系统的状态随时间的变化叫做热力学过程。 热力学系统的状态随时间的变化叫做热力学过程。 1、如按过程的平衡性质分，热力学过程可分为准静态过程和 、如按过程的平衡性质分， 非准静态过程。 非准静态过程。
大学物理第5章刚体
由转动定律：
l 3 mg 1 2 2 3g M 3 1 2 2 J 4l 2 ml 3
B
例2 如图，质量均为m的两物体A和B。A放在倾角 20 为a的光滑斜面上，通过绕在定滑轮上的细绳与B相 连，定滑轮是质量为m 半径为R的圆盘。求绳中张 力T1和T2以及A和B的加速度aA 、aB 。
解 受力 N , mg , 只有mg产生力矩
系统对0轴的力矩：
N
0
A
30
mg mg
L L M o M 0 A M 0 B mg mg sin 600 2 2 1 1 2 系统对O轴的J： J J A J B ml 2 ml 2 ml 2 3 3 3
F F F11
第一项的方向垂直于轴，对轴力矩为零：
10
将第二项的数值定义为力对轴的力矩，即
M轴
r F
方向平行于轴
二、刚体定轴转动定律 dL 由质点的角动量定理： M r F dt 刚体是 N 个质点组成的特殊质点系:
第 i个质点有
对 N 个质点求和
4. 线量与角量关系
ai
dvi d dri ai ri dt dt dt d ri ( ri ) dt dv d at ri ri 切向分量 dt dt v2 2 法向分量 an ri ri
注意：1.转动定律是力矩的瞬时作用规律，与牛顿第二 定律地位相当。 2.式中力矩、角加速度、转动惯量都是相对同一 转轴而言。
5.3 转动惯量的计算
一、转动惯量的定义 由 M 轴外 J 可知
13
在M相同的条件下，J 越大， 越小，转动状态越难改变。
l 3 mg 1 2 2 3g M 3 1 2 2 J 4l 2 ml 3
B
例2 如图，质量均为m的两物体A和B。A放在倾角 20 为a的光滑斜面上，通过绕在定滑轮上的细绳与B相 连，定滑轮是质量为m 半径为R的圆盘。求绳中张 力T1和T2以及A和B的加速度aA 、aB 。
解 受力 N , mg , 只有mg产生力矩
系统对0轴的力矩：
N
0
A
30
mg mg
L L M o M 0 A M 0 B mg mg sin 600 2 2 1 1 2 系统对O轴的J： J J A J B ml 2 ml 2 ml 2 3 3 3
F F F11
第一项的方向垂直于轴，对轴力矩为零：
10
将第二项的数值定义为力对轴的力矩，即
M轴
r F
方向平行于轴
二、刚体定轴转动定律 dL 由质点的角动量定理： M r F dt 刚体是 N 个质点组成的特殊质点系:
第 i个质点有
对 N 个质点求和
4. 线量与角量关系
ai
dvi d dri ai ri dt dt dt d ri ( ri ) dt dv d at ri ri 切向分量 dt dt v2 2 法向分量 an ri ri
注意：1.转动定律是力矩的瞬时作用规律，与牛顿第二 定律地位相当。 2.式中力矩、角加速度、转动惯量都是相对同一 转轴而言。
5.3 转动惯量的计算
一、转动惯量的定义 由 M 轴外 J 可知
13
在M相同的条件下，J 越大， 越小，转动状态越难改变。
大学物理第5章刚体的定轴转动
d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150
得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标
大学物理 第五章.
时，
刚体定轴转动的 角动量守恒定律
35
§5.4 刚体的角动量定理及守恒定律
例5.6：如图，质量为M，半径为R的转台，可绕通过中心竖直轴
转动，阻力忽略不计，质量为m的人站在台的边缘，人和台原来都 静止，如果人沿转台的边缘绕行了一周，问相对地面转台转过了多 少角度？
解：把人和转台看做一个系统
系统的角动量守恒 规定：逆时针转动为正方向，以 地面为参考系。 设人的角速度为ω，转台的角速度为Ω。
或
A = ∫ Mdθ = Mθ
42
例5.9：一质量为m，长为 l的匀质杆，两端用绳悬挂杆处于水平 状态，现突然将杆右端的悬线剪断，求(1)此瞬间另一根绳受到 的张力 ;(2)剪断绳子之后任一时刻杆的角速度 ω与转过角度 θ之 间的关系。 解： （1）首先考虑杆绕O点的的转动 根据转动定律： T O
匀变速运动
6
§5.1 刚体及其定轴转动描述
例5.1：一汽车发动机的转速在5s内由200r（转）/min均匀地增加 到3000r（转）/min。（1）求在这段时间内的初角速度、末角速 度和角加速度；（2）求这段时间内转过的角度；（3）发动机轴 上装有一半径为R=0.15m的飞轮，求轮边缘上一点在这第5s末的 切向加速度、法向加速度和总加速度。
24
§5.3 刚体转动的功和能
回顾： 质点 质量 牛顿运动定律
M = Jβ
刚体 转动惯量 转动定律
力做功
力矩做功
25
§5.3 刚体转动的功和能
一、力矩的功
轴
dθ dr α r
α
F 在转动平面内
ω
元功： dA = F • dr = F dr cos α = F ( rdθ ) cos α F ( r cos α )dθ = Mdθ
大学物理第5章
第二节 刚体的定轴转动定律
如图5-9所示，假设一个刚体绕固定轴Oz轴转动，将此 刚体分成许多质元，每个质元都在各自的转动平面上做圆周 运动，它们各自的转动平面不尽相同，各自做圆周运动的圆 心也不相同.但是，这些圆心都在z轴上.在刚体中取一质元i， 其质量为Δmi，离转轴的距离为ri，设该质元受到的合外力为 Fi，来自刚体内其他质元对它的合内力为fi，并假设合外力Fi 和合内力fi都位于质元i所在的转动平面内（都与转轴垂直）. 设质元的加速度为ai，则有
第一节 刚体运动的描述
二、 刚体的定轴转动
定轴转动是刚体转动中最简单的运动形式. 刚体做定轴转动时，刚体上各点都绕同一转轴做圆周运动，而转轴 本身在空间的位置不动，轴上各点始终静止不动.例如，门的开或关、机 器上飞轮的转动等都是定轴转动.如图5-3所示，刚体上P点处任意一个 质元都将在通过该点且与转轴垂直的平面内做圆周运动，该平面称为转 动平面，圆心O点是转轴与转动平面的交点.显然，这种转动平面可以有 无数个，对于刚体的转动而言，它们是等价的，在研究刚体转动时可任 选一个.因此可以看出，刚体的定轴转动实质上就是刚体上各个质元在垂 直于转轴的转动平面内的圆周运动.
第一节 刚体运动的描述
图5- 4 刚体的角量描述
第二节 刚体的定轴转动定律
一、 力对转轴的力矩
对于刚体的定轴转动而言，若 作用在刚体上p点的力F在转动平面 内，力的作用点p相对于转轴的位 矢为r，力臂为d，则力F对转轴的 力矩为
M=r×F 其中，力矩的大小M=Frsin θ 如图5-5所示.
图5- 5 力在转动平面内
第二节 刚体的定轴转动定律
【例5-5】
如图5- 15所示，一个可绕固定轴O自由转动的均质细棒， 质量为m，长度为l，初始时刻处于水平位置.求其自由释放至θ 角时的角加速度和角速度.
大学物理第五章
大学物理第五章在大学物理的学习中，第五章往往是一个关键且充满挑战的部分。
它可能涵盖了诸如热力学、电磁学或者光学等重要的物理领域。
假设这第五章的主题是热力学。
热力学是研究热现象中能量转化规律的科学，它与我们的日常生活和众多工业应用息息相关。
首先，我们来了解热力学的基本概念。
温度，这是我们日常生活中经常提到的词汇，但在热力学中，它有着精确的定义和严格的度量标准。
温度反映了物体内部分子热运动的剧烈程度。
热量，是在热传递过程中传递的能量。
而内能，则是物体内部所有分子的动能和势能的总和。
热力学第一定律是这一章的核心内容之一。
它指出，能量是守恒的，在一个封闭系统中，外界对系统所做的功与系统从外界吸收的热量之和等于系统内能的增量。
这个定律就像是一个严格的财务管理员，确保能量的收支平衡。
比如说，当我们给一个气体容器加热并且推动活塞对气体做功时，气体的内能就会增加。
热力学第二定律则为我们揭示了热过程的方向性。
热量不能自发地从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。
这就好像水总是从高处往低处流，如果要让水从低处往高处流，就必须借助外界的力量，比如水泵。
这个定律在很多实际应用中都有着重要的意义，比如在设计热机和制冷设备时。
热机是将热能转化为机械能的装置。
蒸汽机、内燃机等都是常见的热机。
热机的效率是一个关键的指标，它取决于热机的工作过程和所使用的工作物质。
卡诺循环为我们提供了一种理想的热机循环模式，通过对卡诺循环的研究，我们可以了解到如何提高热机的效率。
制冷机则是与热机相反的装置，它通过消耗外界的功，将热量从低温物体传递到高温物体。
常见的制冷机有电冰箱和空调。
在学习热力学第五章的过程中，我们还会接触到熵这个重要的概念。
熵可以用来描述系统的混乱程度或者无序程度。
一个孤立系统的熵总是趋向于增加，这意味着系统会朝着更加无序的方向发展。
热力学第五章的知识不仅在理论上具有重要意义，在实际生活中也有着广泛的应用。
例如，在能源的开发和利用中，我们需要了解热力学定律来提高能源的利用效率，减少能源的浪费。
大学物理课件Chapter5
称为能流密度
u
J
u
u
波的强度
I J 1
T
u
Jdt
T
dt u
T0
T0
对于平面简谐波：
1
I 2 A2u
2
单位：Wm2
球面简谐波的波表达式：
r2 r1 O
I1
1 2
A12 2u
I2
1 2
A22 2u
在无吸收时，通过两球面的能流相等
I14pr12 I2 4pr22
A1 r2 A2 r1
解： kr r
1
2
1
2
1 2 2k 1π
r r 2n
1
2
2
2k 1π 2π n 2k 1 2nπ
干涉相消
[例题5-8]两相干波源P、Q，初相位相同，振幅相等，P、 Q间距为1.5个波长， R为PQ连线上任一点，求R点振动的 振幅
t 时刻波阵面
子波源
子波 t+t 时刻波阵面
子波源 子波
用惠更斯原理解释波的衍射 波传播过程中当遇到障碍物时，能绕过障碍物的边 缘而传播的现象——衍射。
阴影区
a
（1）a <<
阴影区
（2）a ~
用惠更斯原理解释波的折射
用作图法求出折射波的传播方向
BC=u1(t2-t1) AD=u2(t2-t1)
y A0r0 cos(t kr)
r
5.3.3 声波 声强级
· I (W / m2) I上=1
1. 正常人听声范围
频率范围：20 20000Hz
·
I0=10-12W/m2
2. 声强级
o 20 1000 20000 (Hz)
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外力
内力
合外力的 力矩
内力的 合力矩
12
§5.2 转动定律
M ij
O 内力的合力矩 为零
rj
M ji
d
F ri ij
j F i ji
13
§5.2 转动定律
刚体力矩的大小：
2 M = ∑ ∆m j rj × a j = ∑ ∆m j rj a jt = ∑ ∆m j rj β
解： 确立研究对象
刚体： m；质点： m1和m2 用隔离法对物体进行受力和运动分析， 如下图所示
20
§5.2 转动定律
21
§5.2 转动定律
列方程 解方程
a= m2 − m1 g m1 + m2 + m / 2 m2 − m1 g (m1 + m2 + m / 2) R m1 (2m2 + m / 2) g m1 + m2 + m / 2 m1 (2m1 + m / 2) g m1 + m2 + m / 2
总功：A = ∫ dA = ∫ Mdθ = M (θ 2 − θ1 )
θ1
26
θ2
§5.3 刚体转动的功和能
A = ∫ dA = ∫ Mdθ
θ1 θ2
A=
θ2
M = Jβ
Jβ dθ ∫ θ
1
dω A= ∫J dθ dt θ1
θ2
dω β= dt
1 1 2 2 A = ∫ Jωdω = Jω2 − Jω1 2 2 ω1
§5.2 转动定律
转动惯量的计算 例5.2：求质量为m，长为l的均匀细杆，对下列转轴求其转动惯量。 （1）轴过杆的中心，并与杆垂直；（2）轴通过杆的一端，并与 杆垂直。
解：（1）如图建立坐标系并取质元
杆的线密度 质元的质量 转动惯量
16
（2）如图建立坐标系并取质元 线密度和质元的选取同（1）
小结：同一刚体绕不同位置的转轴转动时，其转动
M + 2m M + 2m ω人台dt = ∫ − Ωdt = − Ωdt ∫ ∫ 2m 2m 0 0 0
t t t
=2Π
转台相对 地面转过 的角度?
4πm ϕ = ∫ Ωdt = − M + 2m 0
t
38
例5.7：如图，质量为M，长为l的均匀细杆，可绕过O端的水
平轴在竖直平面内自由转动，在杆自由下垂时，质量为m的小 球在离杆下端距离为a处垂直打击细杆，设小球在碰撞后速度为 零，因而自由下落，细杆被碰撞后最大偏转角为θ，求小球击 中细杆前的速度。
例5.5：如图，一根长为l，质量为m的均匀细杆OA，可绕通过
其端点且与杆垂直的水平轴在竖直平面内转动，杆与轴之间的摩 擦可忽略。若杆从水平位置开始自由下滑，求杆摆到竖直位置时 端点A的速度。
解：
选取系统：地球和杆 受力分析：只受重力 系统机械能守恒
32
选取零势能：以杆所在的水平位置 初始的机械能: 杆竖直时的机械能:
时，
刚体定轴转动的 角动量守恒定律
35
§5.4 刚体的角动量定理及守恒定律
例5.6：如图，质量为M，半径为R的转台，可绕通过中心竖直轴
转动，阻力忽略不计，质量为m的人站在台的边缘，人和台原来都 静止，如果人沿转台的边缘绕行了一周，问相对地面转台转过了多 少角度？
解：把人和转台看做一个系统
系统的角动量守恒 规定：逆时针转动为正方向，以 地面为参考系。 设人的角速度为ω，转台的角速度为Ω。
可看成全部质量集中在刚体质心上的质点的运动
2
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
3
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
4
§5.1 刚体及其定轴转动描述
刚体定轴转动
特点：每个质元都具有相同 的角位移、角速度和角加速度 角速度： 方向：右手螺旋法则 角加速度：β = dω = d θ 2
3 g sin θ ∴ω = l
解法二：根据转动定律： O
m，l
θ
ω l 1 2 dω mg mg cos θ = Jβ = ml 2 3 dt 1 dω dθ = ml 2 • θ ω 3 dt dθ l 1 2 mg cos θdθ = ml ωdω 1 2 dω 3 2 = ml ω 0 0 3 dθ
M
F
θ *
P
z
O
M = M1 + M 2 + M 3 +
d
r
10
§5.2 转动定律
质点的力矩
2 a = rβet + rω en
力矩大小
M
O
z
r
Ft
m
→ F (a)
θ
Fn
M = mr β
2
方向满足右手螺旋法则
11
§5.2 转动定律
回顾: 刚体→质点系
2
2
总加速度与切向的夹角：
8
§5.2 转动定律
对固定转轴的力矩：
外力在平面内 外力不在平面内
定义：力的大小F与O点到F作
用线间垂直距离d（力臂）的乘 积。
定义：力在垂直于转轴的平面内
的大小F⊥与O点到 F⊥作用线间 垂直距离d（力臂）的乘积。
9
§5.2 转动定律
力矩的方向 右手螺旋法则 合力矩等于各分力矩的矢 量和
FT 2 R − FT 1 R = Jβ
β=
FT 1 =
a = Rβ
FT 2 =
思考题：如果不考虑定滑轮质量，以上结果又将如何？
22
小结
• 主要内容： 一个定律：转动定律 三个概念：刚体 转动惯量
M = Jβ
力矩
23
§5.3 刚体转动的功和能
• 主要内容： 二个定理：动能定理和角动量定理 二个定律：角动量守恒和机械能守恒定律 四个概念：力矩的功、动能和势能、角动量
dm = σds = σ 2πrdr
面元所受摩檫力矩
dM = µ ( dm ) gr
摩擦力矩 角动量定理:
2 µmg M = ∫ dM = R2
2 ∫0 r dr = 3 µmgR 3 Rω 0 − Mt = 0 − Jω 0 → t = 4 µg
R 2
41
（2）由转动的动能定理
1 1 2 2 2 A = 0 − Jω 0 = − mR ω 0 2 4
第五章 刚体的定轴转动
质点
力学模型：
刚体 受力时形状和大小均不改变的物体 研究方法：假定为多个质点或小质量元构成的质点系
• 主要内容： 一个定律：转动定律 三个概念：刚体、转动惯量、力矩
1
刚体的运动：平动（translation）和转动（rotation）
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同． 特点：各点运动 状态一样，如： v、a 等都相同． 刚体平动 质点运动
M = Jβ
m，l
C mg
l ∴ β = 3g 1 2 其中 J = ml , M = mg 2l 3 2
再考虑质心平动，根据质心运动定律：
mg − T = mac
其中
l 3 ac = β = g 2 4
1 ∴T = mg − mac = mg 4
43
(2) 解法一:据刚体机械能守恒定律
l 1 2 - mg sin θ + Jω = 0 2 2
24
§5.3 刚体转动的功和能
回顾： 质点 质量 牛顿运动定律
M = Jβ
刚体 转动惯量 转动定律
力做功
力矩做功
25
§5.3 刚体转动的功和能
一、力矩的功
轴
dθ dr α r
α
F 在转动平面内
ω
元功： dA = F • dr = F dr cos α = F ( rdθ ) cos α F ( r cos α )dθ = Mdθ
刚体各部分角加速度相等
M = (∑ ∆m j rj ) β
2
定义：转动惯量
M = Jβ
刚体绕定轴转 动的转动定律
14
§5.2 转动定律
理解： 1、 转动惯量是描述刚体转动惯性大小的量度； 2、rj为质元j到转轴的垂直距离； 3、转动惯量的大小不仅与刚体的质量有关， 而且和质量相对于轴的分布有关。
15
A’
d
O’
19
§5.2 转动定律
例5.4：如图是阿特武德机的示意图。一轻绳跨过一定滑轮，绳
两端分别悬挂质量为m1和m2的两个物体（m1<m2），滑轮可看作 密度均匀的圆盘，半径为R，质量为m，转轴对滑轮的摩擦可忽略， 绳子不可伸长，绳子与滑轮间无相对滑动，求物体m1和m2的加速 度、滑轮的角加速度和绳中的张力。
惯量是不同的。
17
§5.2 转动定律
例5.3：求质量为m，半径为R，密度均匀的圆盘，对过圆心且与
盘垂直的转轴的转动惯量。
解：如图建立坐标系，并把
圆盘分成许多宽度很小的圆环 作为质量元。 面密度 质量元 转动惯量
18
§5.2 转动定律
平行轴定理：
J = J c + md 2
A O
JC为通过质心的转动惯量
vt
各质元转动 角速度相同
ω
30
§5.3 刚体转动的功和能
质点系功能原理对刚体仍成立：
A外 + A内非 = E 2 − E1
系统机械能包括刚体重力势能、刚体 平动动能及刚体定轴转动动能 当
A外 + A内非 = 0 时，系统机械能守恒
E 2 − E1 = 0，即E 2 = E1
31
内力
合外力的 力矩
内力的 合力矩
12
§5.2 转动定律
M ij
O 内力的合力矩 为零
rj
M ji
d
F ri ij
j F i ji
13
§5.2 转动定律
刚体力矩的大小：
2 M = ∑ ∆m j rj × a j = ∑ ∆m j rj a jt = ∑ ∆m j rj β
解： 确立研究对象
刚体： m；质点： m1和m2 用隔离法对物体进行受力和运动分析， 如下图所示
20
§5.2 转动定律
21
§5.2 转动定律
列方程 解方程
a= m2 − m1 g m1 + m2 + m / 2 m2 − m1 g (m1 + m2 + m / 2) R m1 (2m2 + m / 2) g m1 + m2 + m / 2 m1 (2m1 + m / 2) g m1 + m2 + m / 2
总功：A = ∫ dA = ∫ Mdθ = M (θ 2 − θ1 )
θ1
26
θ2
§5.3 刚体转动的功和能
A = ∫ dA = ∫ Mdθ
θ1 θ2
A=
θ2
M = Jβ
Jβ dθ ∫ θ
1
dω A= ∫J dθ dt θ1
θ2
dω β= dt
1 1 2 2 A = ∫ Jωdω = Jω2 − Jω1 2 2 ω1
§5.2 转动定律
转动惯量的计算 例5.2：求质量为m，长为l的均匀细杆，对下列转轴求其转动惯量。 （1）轴过杆的中心，并与杆垂直；（2）轴通过杆的一端，并与 杆垂直。
解：（1）如图建立坐标系并取质元
杆的线密度 质元的质量 转动惯量
16
（2）如图建立坐标系并取质元 线密度和质元的选取同（1）
小结：同一刚体绕不同位置的转轴转动时，其转动
M + 2m M + 2m ω人台dt = ∫ − Ωdt = − Ωdt ∫ ∫ 2m 2m 0 0 0
t t t
=2Π
转台相对 地面转过 的角度?
4πm ϕ = ∫ Ωdt = − M + 2m 0
t
38
例5.7：如图，质量为M，长为l的均匀细杆，可绕过O端的水
平轴在竖直平面内自由转动，在杆自由下垂时，质量为m的小 球在离杆下端距离为a处垂直打击细杆，设小球在碰撞后速度为 零，因而自由下落，细杆被碰撞后最大偏转角为θ，求小球击 中细杆前的速度。
例5.5：如图，一根长为l，质量为m的均匀细杆OA，可绕通过
其端点且与杆垂直的水平轴在竖直平面内转动，杆与轴之间的摩 擦可忽略。若杆从水平位置开始自由下滑，求杆摆到竖直位置时 端点A的速度。
解：
选取系统：地球和杆 受力分析：只受重力 系统机械能守恒
32
选取零势能：以杆所在的水平位置 初始的机械能: 杆竖直时的机械能:
时，
刚体定轴转动的 角动量守恒定律
35
§5.4 刚体的角动量定理及守恒定律
例5.6：如图，质量为M，半径为R的转台，可绕通过中心竖直轴
转动，阻力忽略不计，质量为m的人站在台的边缘，人和台原来都 静止，如果人沿转台的边缘绕行了一周，问相对地面转台转过了多 少角度？
解：把人和转台看做一个系统
系统的角动量守恒 规定：逆时针转动为正方向，以 地面为参考系。 设人的角速度为ω，转台的角速度为Ω。
可看成全部质量集中在刚体质心上的质点的运动
2
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
3
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
4
§5.1 刚体及其定轴转动描述
刚体定轴转动
特点：每个质元都具有相同 的角位移、角速度和角加速度 角速度： 方向：右手螺旋法则 角加速度：β = dω = d θ 2
3 g sin θ ∴ω = l
解法二：根据转动定律： O
m，l
θ
ω l 1 2 dω mg mg cos θ = Jβ = ml 2 3 dt 1 dω dθ = ml 2 • θ ω 3 dt dθ l 1 2 mg cos θdθ = ml ωdω 1 2 dω 3 2 = ml ω 0 0 3 dθ
M
F
θ *
P
z
O
M = M1 + M 2 + M 3 +
d
r
10
§5.2 转动定律
质点的力矩
2 a = rβet + rω en
力矩大小
M
O
z
r
Ft
m
→ F (a)
θ
Fn
M = mr β
2
方向满足右手螺旋法则
11
§5.2 转动定律
回顾: 刚体→质点系
2
2
总加速度与切向的夹角：
8
§5.2 转动定律
对固定转轴的力矩：
外力在平面内 外力不在平面内
定义：力的大小F与O点到F作
用线间垂直距离d（力臂）的乘 积。
定义：力在垂直于转轴的平面内
的大小F⊥与O点到 F⊥作用线间 垂直距离d（力臂）的乘积。
9
§5.2 转动定律
力矩的方向 右手螺旋法则 合力矩等于各分力矩的矢 量和
FT 2 R − FT 1 R = Jβ
β=
FT 1 =
a = Rβ
FT 2 =
思考题：如果不考虑定滑轮质量，以上结果又将如何？
22
小结
• 主要内容： 一个定律：转动定律 三个概念：刚体 转动惯量
M = Jβ
力矩
23
§5.3 刚体转动的功和能
• 主要内容： 二个定理：动能定理和角动量定理 二个定律：角动量守恒和机械能守恒定律 四个概念：力矩的功、动能和势能、角动量
dm = σds = σ 2πrdr
面元所受摩檫力矩
dM = µ ( dm ) gr
摩擦力矩 角动量定理:
2 µmg M = ∫ dM = R2
2 ∫0 r dr = 3 µmgR 3 Rω 0 − Mt = 0 − Jω 0 → t = 4 µg
R 2
41
（2）由转动的动能定理
1 1 2 2 2 A = 0 − Jω 0 = − mR ω 0 2 4
第五章 刚体的定轴转动
质点
力学模型：
刚体 受力时形状和大小均不改变的物体 研究方法：假定为多个质点或小质量元构成的质点系
• 主要内容： 一个定律：转动定律 三个概念：刚体、转动惯量、力矩
1
刚体的运动：平动（translation）和转动（rotation）
平动：刚体中所 有点的运动轨迹都保 持完全相同． 特点：各点运动 状态一样，如： v、a 等都相同． 刚体平动 质点运动
M = Jβ
m，l
C mg
l ∴ β = 3g 1 2 其中 J = ml , M = mg 2l 3 2
再考虑质心平动，根据质心运动定律：
mg − T = mac
其中
l 3 ac = β = g 2 4
1 ∴T = mg − mac = mg 4
43
(2) 解法一:据刚体机械能守恒定律
l 1 2 - mg sin θ + Jω = 0 2 2
24
§5.3 刚体转动的功和能
回顾： 质点 质量 牛顿运动定律
M = Jβ
刚体 转动惯量 转动定律
力做功
力矩做功
25
§5.3 刚体转动的功和能
一、力矩的功
轴
dθ dr α r
α
F 在转动平面内
ω
元功： dA = F • dr = F dr cos α = F ( rdθ ) cos α F ( r cos α )dθ = Mdθ
刚体各部分角加速度相等
M = (∑ ∆m j rj ) β
2
定义：转动惯量
M = Jβ
刚体绕定轴转 动的转动定律
14
§5.2 转动定律
理解： 1、 转动惯量是描述刚体转动惯性大小的量度； 2、rj为质元j到转轴的垂直距离； 3、转动惯量的大小不仅与刚体的质量有关， 而且和质量相对于轴的分布有关。
15
A’
d
O’
19
§5.2 转动定律
例5.4：如图是阿特武德机的示意图。一轻绳跨过一定滑轮，绳
两端分别悬挂质量为m1和m2的两个物体（m1<m2），滑轮可看作 密度均匀的圆盘，半径为R，质量为m，转轴对滑轮的摩擦可忽略， 绳子不可伸长，绳子与滑轮间无相对滑动，求物体m1和m2的加速 度、滑轮的角加速度和绳中的张力。
惯量是不同的。
17
§5.2 转动定律
例5.3：求质量为m，半径为R，密度均匀的圆盘，对过圆心且与
盘垂直的转轴的转动惯量。
解：如图建立坐标系，并把
圆盘分成许多宽度很小的圆环 作为质量元。 面密度 质量元 转动惯量
18
§5.2 转动定律
平行轴定理：
J = J c + md 2
A O
JC为通过质心的转动惯量
vt
各质元转动 角速度相同
ω
30
§5.3 刚体转动的功和能
质点系功能原理对刚体仍成立：
A外 + A内非 = E 2 − E1
系统机械能包括刚体重力势能、刚体 平动动能及刚体定轴转动动能 当
A外 + A内非 = 0 时，系统机械能守恒
E 2 − E1 = 0，即E 2 = E1
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