连续谱本征函数的归一化
《量子力学》复习资料提纲
)(Et r p i p Ae-⋅=ρϖηϖψ《量子力学》复习 提纲一、基本假设 1、（1）微观粒子状态的描述 （2）波函数具有什么样的特性 （3）波函数的统计解释2、态叠加原理（说明了经典和量子的区别）3、波函数随时间变化所满足的方程 薛定谔方程4、量子力学中力学量与算符之间的关系5、自旋的基本假设 二、三个实验1、康普顿散射（证明了光子具有粒子性） 第一章2、戴维逊-革末实验（证明了电子具有波动性） 第三章3、史特恩-盖拉赫实验（证明了电子自旋） 第七章 三、证明1、粒子处于定态时几率、几率流密度为什么不随时间变化；2、厄密算符的本征值为实数；3、力学量算符的本征函数在非简并情况下正交；4、力学量算符的本征函数组成完全系；5、量子力学测不准关系的证明；6、常见力学量算符之间对易的证明；7、泡利算符的形成。
四、表象算符在其自身的表象中的矩阵是对角矩阵。
五、计算1、力学量、平均值、几率；2、会解简单的薛定谔方程。
第一章 绪论1、德布洛意假设： 德布洛意关系：戴维孙-革末电子衍射实验的结果： 2、德布洛意平面波：3、光的波动性和粒子性的实验证据：4、光电效应：5、康普顿散射： 附：（1）康普顿散射证明了光具有粒子性（2）戴维逊-革末实验证明了电子具有波动性∑=nnn c ψψ1d 2=⎰τψ（全）()ψψψψμ∇-∇2=**ηϖi j ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(0=⋅∇+∂∂j tϖρ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=),(222t r V H ϖημ)(,)(),(r er t r n tE i n n n ϖϖϖηψψψ-=n n n E H ψψ=（3）史特恩-盖拉赫实验证明了电子自旋第二章 波函数和薛定谔方程1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．波函数统计解释：若粒子的状态用()t r ,ρψ描写，τψτψψd d 2*=表示在t 时刻，空间r ρ处体积元τd 内找到粒子的几率（设ψ是归一化的）。
连续谱本征函数是不能归一化的-
p
x2dxC2
dx
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
量子力学教程(第二版)
在上例中, p 是不能归一化的. 连续谱的本征函数是不能归一化的.
当然,任何真实的波函数都不会是严格的平 面波, 而是某种形式的波包. 它只在空间某有 限区域不为零.
δx x 1 d p e ip x x / 1 d k e ik x x
2 π
2 π
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
量子力学教程(第二版)
结论
在处理具体问题时,如要避免计算过程中出现的平面
波“归一化”困难, 则可以用箱归一化波函数 pn x
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
量子力学教程(第二版) 3.4.3 箱归一化
平面波的“归一化”问题, 还可以采用数学上传统的做法
即先让粒子局限于有限空间 L/2,L/2 中运动 (最
后才让 L ).
此时, 为了保证动量算符
pˆ x i
x
为厄米算符,就要
求波函数满足周期性边条件.
可以看出
只要 L , 动量的可能取值 p pn 就是不连续的.
3.4 连 续 谱 本 征 函 数 的 归 一 化
量子力学教程(第二版)
此时, 与 p n 相应的动量本征态取为
pn
x1eipnx/ L
1ei2nx/L L
利用正交归一化条件
dx x L/2
在量子态 之下, 力学量 A 的平均值由下式确定,
A,Aˆ
力学量之间的关系通过相应的算符之间的关系反 映出来. 例如两个力学量 A 与 B 可以同时具有确 定的观测值的必要条件, 在一般情况下,为 Aˆ , Bˆ 0. 反同之时测, 若定. Aˆ, Bˆ 0,则一般说来, 力学量 A 与 B 不能
量子力学内容提要
1.状态和波函数1．量子力学中用波函数描写微观体系的状态。
2．τψτψψd d 2*=是状态用ψ描写的粒子在体积元τd 内的几率（设ψ是归一化的）。
3．态叠加原理：设 n ψψψ,,21是体系的可能状态，那么，这些态的线性叠加∑=nnnc ψψ也是体系的一个可能状态。
4．波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出：ψψμψ),(t r V t i+∇2-=∂∂22当势场)(rV 不显含t 时，其解是定态解)(,)(),(r e r t r Et iψψψ-=满足定态薛定谔方程ψψψμψE t r V H =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇2-=22),(定态薛定谔方程即能量算符的本征方程。
5．波函数的归一化条件：1d 2=⎰τψ（全）。
相对几率分布：)(~)(r c rψψ，波函数常数因子不定性；相位因子不定性。
6．波函数一般应满足三个基本条件：连续性，有限性，单值性。
7．几率流密度()ψψψψμ∇-∇2=**i j 与几率密度ψψρ*=满足连续性方程0=⋅∇+∂∂j tρ2．一维运动1．一维无限深方势阱 ⎩⎨⎧≥≤∞<<=ax x a x x V 或0,0,0)(本征值 ,3,2,1,22222==n a n E n μπ本征函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≥0≤0<<02=ax x a x axn a n 或,,sin πψ若 ⎪⎩⎪⎨⎧≥∞<=ax a x x V ,,0)(则本征值 22228=a n E n μπ本征函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≥0<21=a x a x n axn a n ,,sin 为偶数，πψ ⎪⎩⎪⎨⎧≥0<21=ax a x n axn a n ,,cos 为奇数，πψ2．三维无限深方势阱 ⎩⎨⎧∞<<0<<0<<00=其余,,,,c z b y a x V本征值 ,,,,321=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++2=32122322222122321n n n c n b n a n En n n 、、μπ 本征函数 ⎪⎩⎪⎨⎧08=321321阱外阱内,,sin sin sin )(cx n b xn a x n abc r n n n πππψ3．一维谐振子 2221=x V μω本征值 ,,,210=⎪⎭⎫ ⎝⎛21+=n n E n，ω本征函数 )(x H eN n x n n αψα2-212=ωμαπα=2=,!n Nnn⎥⎦⎤⎢⎣⎡21+-2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21++21=1+1-1+1-n n n n n n n n dx dn n x ψψαψψψαψ宇称 )()()(x x n n nψψ1-=-4．势垒贯穿方形势垒 ⎩⎨⎧≥0≤0<<0=0ax x a x V V 或,,当 1>>-20)(E V aμ时，透射系数为)(E V ae T T -22-00=μ任意形状的势垒)(x V ，透射系数为dxE x V b a eT T ⎰=0-22-0))((μ5．δ势 )()()(0>±=γδγx x V跃变条件 )()()(02±=0'-0'2-+ψγμψψ6．束缚态、非束缚态及其能级特点 7．简并、简并度3．力学量和算符1．在量子力学中，力学量用算符表示。
量子力学讲义4-2(最新版)
ψ = ∑Cnϕn + ∫ Cλϕλ dλ
n
(36)
2
< A >= ∑ f n Cn + ∫ fλ Cλ d λ
2 n
(37)
∑C
n
2 n
+ ∫ Cλ d λ = 1
2
(38)
而封闭性关系此时可表为
* * ϕn (r )ϕn (r ' ) + ∫ ϕλ (r ' )ϕλ (r )d λ = δ (r − r ' ) ∑ n
*
(27) (28)
对完备系 {ϕn (r )} 有
ψ (r ) = ∑Cnϕn = ∑< ϕn ,ψ > ϕn
n n
* = ∑[∫ϕn (r ' )ψ (r ' )dr ' ]ϕn (r ) n ' * = ∫ dr ψ (r ' )[∑ϕn (r ' )ϕn (r )] n ' = ∫ dr ψ (r ' )δ (r − r ' )
λ 2 即 lˆ 2 的本征值, 需由本征方程确定, 其中
(17)
代入 Y (θ,ϕ) = Θ(θ )ψ (ϕ) , 方程左右乘 可得
2
sin 2 θ (− ), Θψ
sinθ d dΘ 1 dψ 2 2 ≡ µ (18) (sinθ ) + λ sin θ = − 2 dθ Θ dθ ψ dϕ
其中左边仅与 θ 有关,右方仅与 ϕ有关, 故 2 恒等于一常数 µ ,从而可分离成两个方程:
就可得出
1 ˆ ˆ ( ∆ A) ⋅ ( ∆ B ) ≥ [ A, B ] 2
2 2
(9)
(10)
曾谨言量子力学第3章
即
则O+和O-均是厄米算符。
定理： 在体系的任何状态下，厄米算符的平均值必为实数。 证明：
ˆ ( , A ˆ ) ( A ˆ , ) ( , A ˆ ) A ˆ A
ˆ A ˆ A
(41)
Note: 所有力学量的算符均是厄米算符 性质： (1) 两个厄米算符之和仍是厄米算符 (2)两个厄米算符之积不一定是厄米算符 (3)无论厄米算符A,B是否对易，算符
1 ˆ ˆ ˆˆ 1 ˆ ˆ ˆˆ ( AB BA), ( AB BA) 均是厄米算符 2 2i
（4）任何算符总可分解为两个厄米算符的线性组合
球坐标系下的角动量算符 r x 2 y 2 z 2 x r sin θ cosφ 2 2 y r sin θ sin φ , θ arctan( x y / z ) z r cosθ φ arctan(y / x ) ˆ l x i sin φ θ cotθ cosφ φ ˆ l y i cosφ θ cotθ sin φ φ ˆ l z i φ 2 1 1 ˆ2 2 l sin θ θ sin θ θ sin 2 θ φ 2
如 算符A 则
ˆ ˆ p (i) i p
的厄米共轭算符A+定义为
ˆ φ ) ( A ˆ ψ ,φ ) (ψ , A
(41)
~ ˆ φ ) (A ˆ ψ , φ ) (φ , A ˆ ψ ) (φ , A ˆ ψ ) (ψ , A ˆ φ) (ψ , A
第8讲 测不准关系的严格证明
第八讲 连续谱本征函数的归一化 测不准关系的严格证明 共同本征函数
1
第8讲目录
一、连续谱本征函数 二、连续谱本征函数的归一化与δ函数 三、不确定度（测不准）关系的严格证明 四、共同本征函数 五、习题
2
一、连续谱本征函数（1）
1、动量
x 分量的本征值与本征函数
设本征值与本征函数为 px 和 ，本征方程为： i p x C exp( ip x x / ) x 若 x (,) ，则 px (,) ，为连续变化：
ˆ iB ˆ d 0 A
2
ˆ iB ˆ iB ˆ )* (A ˆ ) d 0 I ( ) (A
ˆ )* A ˆ i ( A ˆ )* B ˆ d [ 2 ( A
ˆ (B ˆ )* A ˆ )* B ˆ )] i ( B
1 (1) (ax) ( x); (2) ( x) ( x); |a| (3) ( x)dx ( x)dx 1 ( 0); (亦可作为定义 )
(4) f ( x) ( x a)dx f (a);
(5) x ( x) 0
9
三、不确定度（测不准）关系的严格证明(1)
ˆ x ，有 x px ， ˆ 和B ˆ 为厄 问题：对于 x ˆ 和p A
米算符，则 A B ? ， 结论为：A B [ A ˆ, B ˆ] 2 【证明】：设任意波函数 以及任意实数 做积分： I ( )
3、连续谱本征函数的归一化(1)
ipx x / )，若取：C 动量本征态为 p C exp(
量子力学井孝功答案
量子力学井孝功答案【篇一：量子力学教学大纲2012.2】>课程名称：量子力学（quantum mechanics）《量子力学》教学大纲课程类别适用专业专业基础课物理学，电子科学与技术开课学期6学分4总学时68理论学时68与其他课程的联系：本课程的先修课程有《数学物理方法》、《原子物理学》建议教材主要参考书周世勋编，陈灏修订高等教育出版社《量力力学教程》，高等教育出版社 [1] 《量子力学》井孝功哈尔冰工业大学出版社[2] 《量子力学》张永德科学出版社[3] 《量力力学教程》曾谨言编科学出版社，2003年。
一、课程的性质、地位和任务量子力学是近代物理学的两大支柱之一，是描述微观世界运动规律的基本理论。
凡是实际涉及微观粒子（比如原子、分子、电子等）的各门学科及新兴技术，都必须掌握量子力学。
量子力学也是高等师范学校物理系各专业的基础理论课，是在普通物理学的基础上阐述量子力学的基本概念和基本理论。
量子力学是从事当代科学和技术研究的基础之一。
本课程讲授量子力学的基本概念、理论和数学方法。
要求学生熟悉量子理论的物理图像，掌握基本概念，能应用相应的数学方法求解简单的量子体系（如一维问题、中心力场等），同时为后续的专业课程学习打下坚实的量子物理基础。
二、课程章节的教学内容及学时分配1、教学内容第一章绪论 (4学时)第一节经典物理学的困难第二节光的波粒二象性第三节原子结构的玻尔理论第四节微粒的波粒二象性第二章波函数和薛定谔方程（10学时）第一节波函数的统计解释第二节态迭加原理第三节薛定谔方程第四节粒子流密度和粒子数守恒定律第五节定态薛定谔方程第六节一维无限深势阱第七节线性谐振子第八节势垒贯穿第三章量子力学中的力学量（16学时）第一节表示力学量的算符第二节动量算符和角动量算符第三节电子在库仑场中的运动第四节氢原子第五节厄密算符本征函数的正交性第六节算符与力学量的关系第七节算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系第八节力学量平均值随时间的变化守恒定律第四章态和力学量的表象（10学时）第一节态的表象第二节算符的矩阵表示第三节量子力学公式的矩阵表述第四节幺正变换第五节狄喇克符号第六节线性谐振子与占有数表象第五章微扰理论（10学时）第一节非简并定态微扰理论第二节简并情况下的微扰理论第三节氢原子的一级斯塔克效应第四节变分法第五节氦原子基态（变分法）第六节与时间有关的微扰理论*第七节跃迁几率*第八节光的发射和吸收*第九节选择定则第六章散射（自学）第一节碰撞过程散射截面第二节辏力场中的弹性散射（分波法）第三节方形势阱与势垒所产生的散射第四节玻恩近似第五节质心坐标系与实验室坐标系第七章自旋与全同粒子（16学时）第一节电子自旋第二节电子的自旋算符和自旋函数第三节简单塞曼效应第四节两个角动量的耦合第五节光谱的精细结构第六节全同粒子的特性第七节全同粒子体系的波函数泡利原理第八节两个电子的自旋函数 *第九节氦原子（微扰法）*第十节氢分子（海特勒-伦敦法）化学键第八章量子力学若干进展（2学时）第一节朗道能级第二节阿哈罗诺夫－玻姆效应第三节贝利相位 2、学时分配三、教学章节教学目的、基本内容要求、重点和难点第一章绪论1、教学目的通过本章的学习，使学生了解量子力学建立的必要性和基础，了解量子力学在有关学科中的应用。
SpectralNormalization谱归一化-原理及实现
SpectralNormalization谱归⼀化-原理及实现//⼀、谱范数及其计算⽅法见我的这篇blog//⼆、谱归⼀化提出背景谱归⼀化由论⽂《Spectral Normalization For Generative Adversarial Networks》提出。
原⽣ GAN 的⽬标函数等价于优化⽣成数据的分布和真实数据的分布之间的 J-S 散度 (Jensen–Shannon Divergence)。
⽽由于⼆者间⼏乎不可能有不可忽略的重叠，所以⽆论它们相距多远JS散度都是常数log2，最终导致⽣成器的梯度（近似）为0，梯度消失。
也就是说判别器训练越好，⽣成器梯度消失越严重。
WGAN使⽤性质优良的 Wasserstein distance 代替原⽣ GAN 中的 J-S 散度。
然后利⽤KR对偶原理将 Wasserstein distance的求解问题转换为求解最优的利普希茨连续函数的问题。
为了使得判别器 D 满⾜利普希茨连续性，作者使⽤“梯度裁剪”将过⼤的参数直接裁剪到⼀个阈值以下。
“梯度裁剪”技术从每层神经⽹络的参数矩阵的谱范数⾓度，引⼊利普希茨连续性约束，使神经⽹络对输⼊扰动具有较好的⾮敏感性，从⽽使训练过程更稳定，更容易收敛。
(深度学习模型存在“对抗攻击样本”，⽐如图⽚只改变⼀个像素就给出完全不⼀样的分类结果，这就是模型对输⼊过于敏感的案例。
)我们可以这样理解：局部最⼩点附近如果是平坦（flatness）的话（斜率有约束），那么其泛化的性能将较好，反之，若是不平坦（sharpness）的话，稍微⼀点变动，将产⽣较⼤变化，则其泛化性能就不好，也就不稳定。
Spectral Norm使⽤⼀种更优雅的⽅式使得判别器 D 满⾜利普希茨连续性，限制了函数变化的剧烈程度，从⽽使模型更稳定。
//三、Lipschitz 连续性Lipschitz 条件限制的是函数变化的剧烈程度，即函数的最⼤梯度。
K-Lipschitz表⽰函数的最⼤梯度为K，K称为Lipschitz constant（Lipschitz常量）。
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包头师范学院本科毕业论文论文题目：连续谱本征函数的归一化院系：物理科学与技术学院专业：物理学姓名：赵德胜学号：0809320046指导教师：林海二〇一二年四月内容摘要根据波函数统计诠释,波函数应满足归一化条件.从三种情况讨论波函数的归一化问题.对于分立谱要对其进行归一化，而对于连续谱要对其进行归一化，实则就是他们所选的”归一化”标准不同，但他们之间又有很多微妙的差别和联系，在具体的解决问题时可以体现出来。
波函数（也可称概率幅）是描写粒子体系的量子状态的函数，是概率波，所以对其归一化的研究是非常有意义的。
关键词：波函数；归一化；概率密度；本征函数；边界条件AbstractAccording to the statistical interpretation wave function, wave function should meet the normalization conditions. From three of the wavelet function to discuss a normalized problem.For division spectrum in its normalization, while for the continuous spectrum in its return change, actually is they selected "normalization" standard between different, but they have a lot of subtle differences and connections, in specific solutions can be reflected. Wave function (can say that probability amplitude) is a description of the quantum state of the particle systems is probability wave function, so for its normalization research is very significant.Key words: Wave function；Normalization；Probability density；Eigen function；Boundary conditions目录引言 (1)1.什么是归一化 (2)2.表同态的不同波函数的归一化 (3)3.连续谱本征函数的“归一化” (4)4.箱式归一化 (5)5.总结 (7)参考文献 (8)致谢 (9)引言与经典物理不同 ,在量子力学中是用波函数来描述微观粒子运动状态的.但并不是所有的波函数都有意义 ,只有那些满足波函数标准条件的函数才能用来描述微观粒子的运动状态. 根据波函数的统计诠释 ,量子力学对波函数Ψ(r,t)提出的要求之一便是一个真实的波函数需要满足归一化条件(平方可积),即|Ψ(r,t) |23d r = 1,量子力学理论体系是在几个基本假定的基础上建立起来的.将有关的基本假定概述如下:量子力学体系的状态由一个波函数描写,力学量用厄密算符表示.力学量算符的本征函数组成一个完备系,且可以构成一个正交归一的完备系.量子力学体系的任一状态波函数Ψ均可按上述的正交归一完备函数系展开.当体系处于Ψ态时,测量力学量 F 得到的结果必为 F 的某个本征值,得到此结果的概率 (或概率密度)为上述展开式中相应本征函数的系数的模平方.总的概率当然应该等于1,于是就要求把本征函数和状态波函数归一化,这就是归一化的物理意义.可见,波函数的归一化问题在量子力学中的地位是多么重要. 本文便从以下几种情况讨论波函数的归一化问题.一、什么是归一化由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的概率总和等于一，因而粒子在空间各点出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小。
如果把波函数在空间个点的振幅同时加大一倍，并不影响粒子在空间各点的概率，换句话说，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
量子力学中的波函数的这种性质是其他波动过程（如声波、光波等等）所没有的。
对于声波、光波等，体系的状态随振幅的大小而改变，如果把各处振幅加大为二倍，那么声或光的轻度到处都加大为四倍，这就完全是另一个态了。
[1]下面用数学来表达波函数的这种性质，设波函数),,,(t z y x ψ描写粒子的状态，在空间一点过（x,y,z ）和时刻t ，波的强度是ψψψ*=2，*ψ表示ψ的共轭复数。
以dW （x ，y ，z ，t ）表示在时刻t 、在坐标x 到x+dx 、y 到y+dy 、z 到z+dz 的无限小区域内找到粒子的概率，则dW 除了和这个区域的体积dxdydz d =τ成比例外，也和在这个区域内没一点找到粒子的概率成比例。
按照波函数的统计解释，在这个区域内一点找到粒子的概率与2t)z,y,(x, ψ成比例，所以dW （x ，y ，z ，t ）=τψd C 2t)z,y,(x, ，始终C 是比例常数。
以体积τd 除概率dW ，得到在时刻t 、在（x ，y ，z ）点伏击单位体积内找到粒子的概率，我们成这个概率为概率密度，并以),,,(t z y x w 表示：2),,,(),,,(),,,(t z y x C d t z y x dW t z y x w ψτ==。
将上式对整个空间积分，得到粒子在整个空间中出现的概率，由于粒子存在于空间中，这个概率等于1，所以有1t)z,y,(x, 2=⎰∞τψd C ，式中积分号下的无穷大表示对整个空间积分。
由1t)z,y,(x, 2=⎰∞τψd C 式有⎰∞=τψd C 21前面曾提到，波函数乘上一个常数后，并不改变在空间各点找到粒子的概率，即不改变波函数所描写的状态。
现在把⎰∞=τψd C 21式所确定的C 开方后乘ψ，并以ψ表示所得出的函数：t)z,y,(x, ψ=t)z,y,(x, ψC 。
则波函数ψ和ψ所描写的是同一个状态。
于是，由dW （x ，y ，z ，t ）=τψd C 2t)z,y,(x, ，在t 时刻、在（x ，y ，z ）点附近体积元τd 内找到粒子的概率是dW （x ，y ，z ，t ）=τd 2t)z,y,(x, ψ，概率密度是w （x ，y ，z ，t ）=2t)z,y,(x, ψ。
而1t)z,y,(x, 2=⎰∞τψd C 式改写为1t)z,y,(x, 2=ψ⎰∞τd 。
满足上式的波函数成为归一化波函数，上式成为归一化条件，吧ψ换成ψ的步骤成为归一化，使ψ换成ψ的常数C 成为归一化因子。
二、表同态的不同波函数的归一化如果粒子可以处于用波函数Ψ1(r ,t)和Ψ2(r ,t)=A Ψ1(r,t) 描述的状态(其中A 为任意复常数) ,分别用1ω(r ,t)和2ω(r,t) 来表示两者坐标的取值概率密度,则有2ω(r ,t)=τd 2222t ),r ( Ψt ),r ( Ψ ⎰= τd A A 212212t ),r ( Ψt ),r ( Ψ ⎰=1ω(r ,t) 显然,两者给出的坐标的取值概率密度是完全相同的. 即两个相差一个复常数的波函数描述的是同一个状态. 在这一点上,概率波与经典波有着本质的差别. 一个经典波的波幅若增大一倍,则相应的波的能量将为原来的四倍, 因而代表完全不同的波动状态. 经典波根本谈不上归一化,而概率波却可以进行归一化. 那么,如何对该波函数进行归一化呢?我们可以根据波函数所特有的这个性质,去选择一个恰当常数因子.又由于12=δi e(δ为实常数),如果2t),r ( Ψ =1对整个空间积分为1,则2t), r Ψ( δi e 对整个空间积分也等于1,也就是说波函数可以相差一个复常数因子.这样,我们可以利用t),r ( Ψ 来构造一个新的波函数φ(r ,t)=c(t)Ψ(r,t) 式中c (t)是任意一个只与时间相关的函数. 全新波函数φ(r ,t) 满足1t),r ( 2=⎰τφd 则利用构造的波函数可以得到归一化常数c (t)=δτψi e d 212]t),r ( [-⎰ ,其中δ称为相因子,通常选为零.至此,该类波函数归一化完毕,此时坐标r的概率密度ω(r ,t)=2t),r (φ.[2]三、连续谱本征函数的“归一化”并不是所有的波函数都可以按⎰|Ψ(r,t) |2 τd = 1的要求归一化。
这种归一化条件要求波函数绝对值平方2t), r Ψ( 在整个空间是可以积分的波函数⎰|Ψ(r ,t) |2τd 是有限的。
如果合格条件不被满足，即⎰|Ψ(r ,t) |2 τd 发散，此时，归一化常数c （t ）等于零零,显然这种归一化是没有意义的. 以动量本征态为例,粒子的本征态为p 的本征函数为r p i p ce r ⋅=)(ψ，p 为可以取全空间中连续变化的一切实数值. 不难看出,只要c ≠ 0, ⎰|p ψ (r )|2τd =2c 。
⎰∞=τd 即)(r pψ是不能归一化的. 讨论至此, 连续谱本征函数的“归一化”似乎不可能实现了, 不过如果在数学上不过分严格要求,引用Dirac 的δ函数,该“归一化”问题便迎刃而解了. 仍以动量本征态为例,本征值p 的本征函数r p i p ce r ⋅=)(ψ，式中c 是归一化常数. 为了确定c 的数值,计算积分dxdydz z p p y p p x p p i c d r r z z y y x x pp ]})()()[(exp{)()(2-+-+-⎰⎰⎰=ψψ'∞∞-∞∞-∞∞-*'⎰hv v τ因为⎰∞∞-''-=-)(2])[(exp x x x x p p dx x p p iδπ式中)(x x p p '-δ是以)(x x p p '-为宗量的δ函数.[3]所以有)()2()()()()2()()(3232p p c p p p p p p c d r r z z y y x x p p '-=---=ψψ'*'∞⎰ δπδδδπτ因此，如果去23)2(-= πc ，则)(r pψ归一化为δ函数，)()()(p p d r r p p '-=ψψ⎰*'∞ δτ )(r pψ=)exp()2(123r p i⋅π)(r pψ不是按归一化条件(平方可积) 要求的那样归一化为1, 而是归一化为δ函数, 这是由于)(r pψ所属的本征值p 可以取任意值, 动量的本征谱组成连续谱的缘故.可见,无论力学量的本征值组成分立谱还是连续谱, 本征函数和状态波函数都应该是归一化的,也是可以归一化的,其物理意义是一样的,都表示测量力学量得到所有各种可能的结果的总概率等于1,只是数学表达的形式有所不同.同样,坐标本征态也是不能归一化的,也可类似处理,用δ函数来表述其“归一化”,这里就不再赘述了。