名师一号必修第一课时 简单的线性规划问题
合集下载
高一数学《简单的线性规划问题》课件
x y 4 0 例2、已知变量x, y满足 x y 0 ， x 1 y 求 的取值范围. x
y B A
C
x
y B A
C
x
方法小结
非线性目标函数的最值问题的求解 ① 分析目标函数的几何意义 ② 将目标函数化归成具有明显几何 意义的函数
考点讲解
三、含参变量线性规划问题的求解
y
B
A
C
x
方法小结
简单线性规划求解的步骤：
①画 ②作 ③移 ④求
画可行域 作线性目标函数 平移线性目标函数 求目标函数的最值
方法小结
简单线性规划求解需要注意的问题：
① 可行域是否包含边界 ② 目标函数最值与直线截距之间的关系 ③ 目标函数对应直线的斜率与边界线 斜率之间的关系
考点讲解
二、非线性目标函数的最值问题
小结提升
简单的线性规划问题求解的步骤：
画
作
移
求
简单的线性规划的作用：
二元函数的最值问题
简单的线性规划的基本思想：
数形结合
课后作业
作业手册：P263
x y 4 0 例3、已知变量x, y满足 x y 0 ， x 1 z -kx y在点 1,3 取得最大值，求 k的取值范围.
考点讲解
四、线性规划的应用
例5、在平面直角坐标系xOy中，已知平 面区域A= ( x, y ) x y 0, 且x 2, y 0， 则平面区域B ( x, y) ( x y, x y) A 的面积为 ___________ .
简单的线性规划问题
考点分析
线性规划是优化的具体模型之一.考纲要 求 学生能够体会线性规划的基本思想，并能
【新课标必修】简单的线性规划问题(一)教学案例
课题简单的线性规划问题(1)教学目标：1．使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。
教学重点难点：1．重点：用图解法解决简单的线性规划问题；2．难点：准确求得线性规划问题的最优解。
教法与学法：1．教法选择：导发现法、探索讨论法、题组教学法等等启2．学法指导：引导学生进行尝试、猜想、证明、归纳，帮助学生在原有经验上对新知识主动建构，在交流合作中学习。
教学过程：一、设置情境，激发探索概念介绍为解决难点作铺垫引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组：28416412x yxyxy+≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩ (1)（2）画出不等式组所表示的平面区域：如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。
（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把z=2x+3y变形为233zy x=-+，这是斜率为23-，在y轴上的截距为3z的直线。
当z变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点，（例如（1，2）），就能确定一条直线（2833y x=-+），这说明，截距3z可以由平面内的一个点的坐标唯一确定。
人教A版高中数学必修五课件第一课时简单的线性规划问题
③最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可
行域;
④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可
行解.
其中正确命题的序号是
.
解析:因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的
可行解,即满足线性约束条件的解(x,y),它是一个有序
实数对,所以①②③均错,④正确.故填④.
答案:④
3.(2012 年高考浙江卷)设 z=x+2y,其中实数 x,y 满足
新课导入 知识探究 题型探究
达标检测
新课导入——实例引领 思维激活
实例:高二·一班准备举行联欢晚会.班长交给小明的任务是 购买彩球布置装点晚会的会场.班长要求小明最多花100元钱, 且要购买大、小两种彩球,小明经考察计算出大球数不少于10 个,小球数不少于20个,且两种彩球越多越好,已知大球和小球 的单价分别是2元和1元.小明应该怎样设计购买的方案才能达 到最好的效果?
x y 1 0,
x
x
y 0,
2
0,
则
z
的取值范围是
.
y 0,
解析:根据不等式组画出可行域为如图所示的阴影部分,
则 z=x+2y 过点(0,0),( 1 , 3 )时取得最小值和最大值, 22
所以 0≤z≤ 7 . 2
答案:[0, 7 ] 2
课堂小结
1.用图解法求线性目标函数的最值时,要搞清 楚z的含义,z一般与直线在y轴上的截距有关. 2.作不等式组表示的可行域时,注意标出相应 的直线方程,平移直线时,要注意线性目标函 数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比 较,确定最优解.
想一想 (1)何为所谓的购买方案? (即设计出在符合要求的前提下,大球和小球分别应买的个数) (2)设购买大球x个,小球y个,那么变量x,y应受到哪些约束?
高中数学人教A版必修简单的线性规划问题PPT精品课件
普通高中课程标准实验教科书 （人民教育出版社）A版
必修5第三章《不等式》
3.3.2简单的线性规划问题
3.3.2简单的线性规划问题
学习目标： 1.理解线性规划有关概念（约束条件、目规划问题．
位于新疆克拉玛依市的中国石油公司为开 拓市场，深度开发原油，计划生产甲、乙两 种产品．这两种产品都需要两种石油原料， 生产甲产品1工时需要A种原料3kg，B种原料 1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种 原料2kg.现有A种原料1200kg,B种原料800kg. 生产甲产品每工时的利润是30元，生产乙产 品每工时的平均利润是40元.
z 302 402
最优解所对应 的点就是在可 行域内到直线 距离最大的点.
【问题】表示平面区域内任意一点P（x,y）到直 线30x＋40y＝0的距离d .
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或 最小值的问题，称为线性规划问题．
数形 结合
与直线在y轴上的截 距的联系,平移直线.
与点到直线的距离 的联系，运动点.
设工厂生产优质套装x件，生产精品套装y件，
获得利润为Z，则Z = 2x + 3y，求Z的最大值.
x
0
（4
0
） 尝
…
试
1
解 答
…
1
3
4
4
y
Z=2x+3y
1
3
2
6
…
…
0
2
…
…
2
12
1
11
2
14
y 2 x z ,表 示 k 2 ,b z 的 直 线 .
33
33
（4 ）
平 行 移 动 直 线 y2x. 3
必修5第三章《不等式》
3.3.2简单的线性规划问题
3.3.2简单的线性规划问题
学习目标： 1.理解线性规划有关概念（约束条件、目规划问题．
位于新疆克拉玛依市的中国石油公司为开 拓市场，深度开发原油，计划生产甲、乙两 种产品．这两种产品都需要两种石油原料， 生产甲产品1工时需要A种原料3kg，B种原料 1kg；生产乙产品1工时需要A种原料2kg，B种 原料2kg.现有A种原料1200kg,B种原料800kg. 生产甲产品每工时的利润是30元，生产乙产 品每工时的平均利润是40元.
z 302 402
最优解所对应 的点就是在可 行域内到直线 距离最大的点.
【问题】表示平面区域内任意一点P（x,y）到直 线30x＋40y＝0的距离d .
在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或 最小值的问题，称为线性规划问题．
数形 结合
与直线在y轴上的截 距的联系,平移直线.
与点到直线的距离 的联系，运动点.
设工厂生产优质套装x件，生产精品套装y件，
获得利润为Z，则Z = 2x + 3y，求Z的最大值.
x
0
（4
0
） 尝
…
试
1
解 答
…
1
3
4
4
y
Z=2x+3y
1
3
2
6
…
…
0
2
…
…
2
12
1
11
2
14
y 2 x z ,表 示 k 2 ,b z 的 直 线 .
33
33
（4 ）
平 行 移 动 直 线 y2x. 3
简单的线性规划问题课件
目标函数表示点(x，y)与点 M(1,1)的距离的平方．由图可 知，z 的最小值为点 M 与直线 x－y＝1 的距离的平方．即 zmin ＝(|1－12－1|)2＝12.
z 的最大值为点 M(1,1)与点 B(2,0)的距离的平方： 即 zmax＝(1－2)2＋(1－0)2＝2. ∴z 的取值范围为[12，2]．
x＋y≤6 若变量 x、y 满足约束条件x－3y≤－2
x≥1
，则 z＝2x＋3y
的最小值为( )
A．17
B．14
C．5
D．3
[答案] C
[解析] 作出可行域(如图阴影部分所示)． 作出直线 l：2x＋3y＝0. 平移直线 l 到 l′的位置，使直线 l 通过可行域中的 A 点(如 图) 这时直线在 y 轴上的截距最小，z 取得最小值．
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴 上的截距为 z，随 z 变化的一族平行直线．
由图可看出，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截 距 z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
解方程组3x－x＋45y＋y－32＝5＝0 0 ，得 A 点坐标为(5,2)， 解方程组xx－＝41y＋3＝0 ，得 B 点坐标为(1,1)， 所以 zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问 题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解(x，y)叫做 可行解 ； 由所有可行解组成的集合叫做 可行域 ；使目标函数取得最大值 或最小值的可行解叫做 最优解．
(2013·福建文，6)若变量 x、y 满足约束条件xx＋ ≥y1≤2 y≥0
，则 z
温故知新
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品 1 t 需耗 A 种 矿石 10 t、B 种矿石 5 t、煤 4 t；生产乙种产品 1 t 需耗 A 种矿石 4 t、B 种矿石 4 t、煤 9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 300 t、B 种矿石不超过 200 t、煤不超过 360 t．列 出满足生产条件的关系式，并画出平面区域．
z 的最大值为点 M(1,1)与点 B(2,0)的距离的平方： 即 zmax＝(1－2)2＋(1－0)2＝2. ∴z 的取值范围为[12，2]．
x＋y≤6 若变量 x、y 满足约束条件x－3y≤－2
x≥1
，则 z＝2x＋3y
的最小值为( )
A．17
B．14
C．5
D．3
[答案] C
[解析] 作出可行域(如图阴影部分所示)． 作出直线 l：2x＋3y＝0. 平移直线 l 到 l′的位置，使直线 l 通过可行域中的 A 点(如 图) 这时直线在 y 轴上的截距最小，z 取得最小值．
把 z＝2x＋y 变形为 y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在 y 轴 上的截距为 z，随 z 变化的一族平行直线．
由图可看出，当直线 z＝2x＋y 经过可行域上的点 A 时，截 距 z 最大，经过点 B 时，截距 z 最小．
解方程组3x－x＋45y＋y－32＝5＝0 0 ，得 A 点坐标为(5,2)， 解方程组xx－＝41y＋3＝0 ，得 B 点坐标为(1,1)， 所以 zmax＝2×5＋2＝12，zmin＝2×1＋1＝3.
(2)求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问 题，称为线性规划问题；满足线性约束条件的解(x，y)叫做 可行解 ； 由所有可行解组成的集合叫做 可行域 ；使目标函数取得最大值 或最小值的可行解叫做 最优解．
(2013·福建文，6)若变量 x、y 满足约束条件xx＋ ≥y1≤2 y≥0
，则 z
温故知新
某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品 1 t 需耗 A 种 矿石 10 t、B 种矿石 5 t、煤 4 t；生产乙种产品 1 t 需耗 A 种矿石 4 t、B 种矿石 4 t、煤 9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 300 t、B 种矿石不超过 200 t、煤不超过 360 t．列 出满足生产条件的关系式，并画出平面区域．
简单的线性规划问题(第1课时)课件2
x＋2y 8
x 2 y 8
4 4y x
16 12
x y
4 3
x 0
x
0
y 0
y 0
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影部 分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生产安排。
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获 利3万元，采用那种生产安排利润最大？
0.06 0.06
174xx174
y y
6 6
x 0
x 0
y 0
y 0
目标函数为：z＝28x＋21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y 4 x z
它表示斜率为 4
3 28
3
随z变化的一组平行直
线系
6/7 y
z 28 是直线在y轴上 5/7 M
为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值
问题，统称为线性规划问题。y
满足线性约可束行的域解 4 3
最优解
（x，y）叫做可行解。
由所有可可行行解解组成
的集合叫做可行域。
o
4
8x
使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫
做这个问题的最优解。
三、例题
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
把z＝2x＋3y变形为
y
y 2 x z
4
3
3
3
它表示斜率为
2 3
的
M
直线系，z与这条直线
的截距有关。
o
4
8x
如图可见，当直线经过可行域上的点M时，截距
最大，即z最大。
高中数学 同步教学 简单的线性规划问题
x (1)
2
率的 2 倍,
因为 kQA= 7 ,kQB= 3 ,所以 z 的取值范围是[ 3 , 7 ].
48
42
方法技巧 与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数 的最值问题的求解,一般要结合给定代数式的几何意义来完成.
常 见 代 数 式 的 几 何 意 义 :(1) x2 y2 表 示 点 (x,y) 与 原 点 (0,0) 的 距
4.给定下列命题:在线性规划中,
①最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值;
②最优解指的是目标函数的最大值或最小值;
③最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域;
④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
其中正确命题的序号是
.
解析:因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解,即满足 线性约束条件的解(x,y),它是一个有序实数对,所以①②③均错,④正确. 故填④. 答案:④
变式探究:在本例的约束条件下,求z=x2+y2+2x的最大值与最小值.
解:z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1 表示可行域内任意一点(x,y)与点 D(-1,0)距离的平方减去 1,
如图所示,过 D 作 AB 的垂线 DP,垂足为 P,所以|DP|= | 1 0 4 | = 5 = 5 2 ,
(2)简单线性规划问题的解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤 可概括为“画、移、求、答”,即: ① 画 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 画 出 可 行 域 和 直 线 ax+by=0( 目 标 函 数 为 z=ax+by); ②移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点; ③求:求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或 最小值; ④答:给出正确答案.
高中数学《简单的线性规划问题 》课件
11
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
拓展提升 解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解 z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域 的边界线交点处或边界线上取得．在解题中也可由此快速找 到最大值点或最小值点．
12
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
27
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
x≥0，
【跟踪训练 3】 记不等式组x＋3y≥4， 3x＋y≤4
所表示的平
面区域为 D，若直线 y＝a(x＋1)与区域 D 有公共点，则 a 的 取值范围是___12_，__4_ _．
28
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
24
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
探究3 已知目标函数的最值求参数 例 3 已知变量 x，y 满足约束条件 1≤x＋y≤4，－2≤x －y≤2.若目标函数 z＝ax＋y(其中 a>0)仅在点(3,1)处取得最 大值，则 a 的取值范围为__a_>_1____．
解析 由约束条件画出可行域(如图)． 点 C 的坐标为(3,1)，z 最大时，即平移 y＝－ax 时，使 直线在 y 轴上的截距最大， ∴－a<kCD，即－a<－1，∴a>1.
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
(3)(教材改编 P89 例 6)某公司招收男职员 x 名，女职员 y
5x－11y≥－22， 名，x 和 y 需满足约束条件22xx≤＋131y≥，9，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.3.2 简单的线性规划问题 第一课时 简单的线性规划问题
第1页 共 47 页
自学导引 (学生用书P71) 1.了解线性规划的意义. 2.会求一些简单的线性规划问题.
第2页 共 47 页
课前热身 (学生用书P71) 线性规划中的基本概念
第3页 共 47 页
名称 约束条件 线性约束条 件 目标函数
线性目标函 数 可行解 可行域 最优解 线性规划问 题
意义 变量x,y满足的一组条件 由x,y的____一__次____不等式(或方程)组成的不 等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析 式 目标函数是关于x,y的____一__次____解析式
满足线性约束条件的__解__(_x_,_y_)_ 所有可行解组成的___集__合________ 使目标函数取得最大值或最小值的__可__行__解__ 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值 或最小值问题
易错探究 (学生用书P73)
某 公 司 招 聘 男 职 员 x名 ,女 职 员 y名 ,x和 y需 满 足 约 束 条 件
数为z=ax+by); (2)移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或
最小值的点;
第7页 共 47 页
(3)求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大 值和最小值;
(4)答:给出正确答案.
第8页 共 47 页
典例剖析 (学生用书P71) 题型一 求线性目标函数的最值
第17页 共 47 页
题型三 已知目标函数的最值求待定系数 例3:已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2,若目标函
数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值,求a的取值 范围. 分析:先画出可行域,利用数形结合求解.
第18页 共 47 页
解:由约束条件画出可行域,如图所示. 点C的坐标为(3,1),z最大时,即平移y=-ax时使直线在y轴上的
截距最大,∴y=-ax的斜率要小于直线CD:x+y-4=0的斜率. 即-a<kCD,即-a<-1,∴a>1.
第19页 共 47 页
规律技巧:这是一道线性规划的逆向思维问题,解答此类问题 必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界 取得,运用数形结合的思想方法求解.同时,要注意边界直线 斜率与目标函数斜率关系.
(6)可行解:满足线性约束条件的解(x,y). (7)可行域:所有可行解组成的集合. (8)最优解:使目标函数取得最值的可行解.
第6页 共 47 页
2.线性规划问题的图解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最
优解的步骤概括为“画､移､求､答”,即: (1)画:在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=0(目标函
第12页 共 47 页
变 式 训 练 1:(2008天 津 )设 变 量 x,y满 足 约 束 条 件 :
xyx≤ 1xy≥ 0 2y≥ 1,则 z5xy的 最 大 值 为
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:作出可行域如下图所示:
由z=5x+y得y=-5x+z,目标函数在点(1,0)处取最大值,即 z=5×1+0=5.
答案:D
第13页 共 47 页
题型二 求解非线性目标函数的最值
x y 2≥ 0,
例 2 :已 知
x
y 4≥ 0,
求
:
2 x y 5≤ 0 ,
1 z y 的 最 大 值 和 最 小 值 ;
x
2 z x 2 y 2的 最 大 值 .
分 析 :点 x,y在 可 行 域 内 ,y表 示 可 行 域 内 的 点 与 47 页
(2)z=x2+y2表示可行域内的点到定点(0,0)的距离的平方,因此 最大值为
z=|OC|2=72+92=130. 规律技巧:对于非线性目标函数的最值问题,一般按目标函数
的几何意义求解.
第16页 共 47 页
变 式 训 练 2:已 知 变 量 x,y满 足 3x x 5 y4 y 2 5 ≤ 3 ≤ 0,0 x ,≥ 1 ,设 zx y, 求 z的 最 大 值 和 最 小 值 . 解:可行域如图所示. z为可行域内的点与原点连线的斜率, ∴z在A点取得最大值,在C点取得最小值.
x 连 线 的 斜 率 ,而 x2y2则 表 示 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 也 就 是 利 用 几 何 意 义 解 答 .
第14页 共 47 页
解:作出可行域,如图所示A1,3,B3,1,C7,9.
1z y表示可行域内的点x,y与定点0,0连线的斜率,
x
kOA
3,kOB
1, 3
z y的最大值为3,最小值为1.
第20页 共 47 页
解:画出可行域,如图所示. 由z=y-ax得y=ax+z,则z为直线y=ax+z在y轴上的截距,由于函
数z=y-ax仅在点(5,3)处取得最小值,如图所示,直线y=ax+z 过点P(5,3),且直线y=ax+z的斜率a大于直线x-y=2的斜率, 所以a>1.
第21页 共 47 页
距为-z的直线,当z变化时,可以得到一组平行直线,直线l与 该阴影区域的交点满足不等式组.而且当截距-z最大时,z取 最小值;当截距-z最小时,z取得最大值.
第11页 共 47 页
规律技巧:求线性目标函数的最值的步骤:①画出线性约束条 件表示的可行域;②构造直线f(x,y)=0;③平移直线得最优解; ④得出结论.
第9页 共 47 页
3x 8y 15≥0, 例1:已知x, y满足5x 3y 6≤0,
2x 5y 10≥0. 求z x y的最大值和最小值.
分析:由于所给约束条件及目标函数均为关于x,y的一次 式,所以此问题是简单线性规划问题,使用图解法求解.
第10页 共 47 页
解:作出不等式组表示的可行域,如下图阴影部分. 将目标函数z=x-y变形为直线l:y=x-z.这是斜率为1,在y轴上截
第4页 共 47 页
名师讲解 (学生用书P71) 1.线性规划的有关概念
1约束条件:由未知数x,y的不等式(或方程)组成的不等式,
2xy10, 组成为x,y的约束条件,如:不等式组xx≥ 2 0,y2≤1,
y≥0, 就是一个关于x、y的约束条件.
第5页 共 47 页
(5)线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最值 问题.
第1页 共 47 页
自学导引 (学生用书P71) 1.了解线性规划的意义. 2.会求一些简单的线性规划问题.
第2页 共 47 页
课前热身 (学生用书P71) 线性规划中的基本概念
第3页 共 47 页
名称 约束条件 线性约束条 件 目标函数
线性目标函 数 可行解 可行域 最优解 线性规划问 题
意义 变量x,y满足的一组条件 由x,y的____一__次____不等式(或方程)组成的不 等式组 欲求最大值或最小值所涉及的变量x,y的解析 式 目标函数是关于x,y的____一__次____解析式
满足线性约束条件的__解__(_x_,_y_)_ 所有可行解组成的___集__合________ 使目标函数取得最大值或最小值的__可__行__解__ 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值 或最小值问题
易错探究 (学生用书P73)
某 公 司 招 聘 男 职 员 x名 ,女 职 员 y名 ,x和 y需 满 足 约 束 条 件
数为z=ax+by); (2)移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或
最小值的点;
第7页 共 47 页
(3)求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大 值和最小值;
(4)答:给出正确答案.
第8页 共 47 页
典例剖析 (学生用书P71) 题型一 求线性目标函数的最值
第17页 共 47 页
题型三 已知目标函数的最值求待定系数 例3:已知变量x,y满足约束条件1≤x+y≤4,-2≤x-y≤2,若目标函
数z=ax+y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值,求a的取值 范围. 分析:先画出可行域,利用数形结合求解.
第18页 共 47 页
解:由约束条件画出可行域,如图所示. 点C的坐标为(3,1),z最大时,即平移y=-ax时使直线在y轴上的
截距最大,∴y=-ax的斜率要小于直线CD:x+y-4=0的斜率. 即-a<kCD,即-a<-1,∴a>1.
第19页 共 47 页
规律技巧:这是一道线性规划的逆向思维问题,解答此类问题 必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界 取得,运用数形结合的思想方法求解.同时,要注意边界直线 斜率与目标函数斜率关系.
(6)可行解:满足线性约束条件的解(x,y). (7)可行域:所有可行解组成的集合. (8)最优解:使目标函数取得最值的可行解.
第6页 共 47 页
2.线性规划问题的图解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最
优解的步骤概括为“画､移､求､答”,即: (1)画:在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=0(目标函
第12页 共 47 页
变 式 训 练 1:(2008天 津 )设 变 量 x,y满 足 约 束 条 件 :
xyx≤ 1xy≥ 0 2y≥ 1,则 z5xy的 最 大 值 为
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:作出可行域如下图所示:
由z=5x+y得y=-5x+z,目标函数在点(1,0)处取最大值,即 z=5×1+0=5.
答案:D
第13页 共 47 页
题型二 求解非线性目标函数的最值
x y 2≥ 0,
例 2 :已 知
x
y 4≥ 0,
求
:
2 x y 5≤ 0 ,
1 z y 的 最 大 值 和 最 小 值 ;
x
2 z x 2 y 2的 最 大 值 .
分 析 :点 x,y在 可 行 域 内 ,y表 示 可 行 域 内 的 点 与 47 页
(2)z=x2+y2表示可行域内的点到定点(0,0)的距离的平方,因此 最大值为
z=|OC|2=72+92=130. 规律技巧:对于非线性目标函数的最值问题,一般按目标函数
的几何意义求解.
第16页 共 47 页
变 式 训 练 2:已 知 变 量 x,y满 足 3x x 5 y4 y 2 5 ≤ 3 ≤ 0,0 x ,≥ 1 ,设 zx y, 求 z的 最 大 值 和 最 小 值 . 解:可行域如图所示. z为可行域内的点与原点连线的斜率, ∴z在A点取得最大值,在C点取得最小值.
x 连 线 的 斜 率 ,而 x2y2则 表 示 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 也 就 是 利 用 几 何 意 义 解 答 .
第14页 共 47 页
解:作出可行域,如图所示A1,3,B3,1,C7,9.
1z y表示可行域内的点x,y与定点0,0连线的斜率,
x
kOA
3,kOB
1, 3
z y的最大值为3,最小值为1.
第20页 共 47 页
解:画出可行域,如图所示. 由z=y-ax得y=ax+z,则z为直线y=ax+z在y轴上的截距,由于函
数z=y-ax仅在点(5,3)处取得最小值,如图所示,直线y=ax+z 过点P(5,3),且直线y=ax+z的斜率a大于直线x-y=2的斜率, 所以a>1.
第21页 共 47 页
距为-z的直线,当z变化时,可以得到一组平行直线,直线l与 该阴影区域的交点满足不等式组.而且当截距-z最大时,z取 最小值;当截距-z最小时,z取得最大值.
第11页 共 47 页
规律技巧:求线性目标函数的最值的步骤:①画出线性约束条 件表示的可行域;②构造直线f(x,y)=0;③平移直线得最优解; ④得出结论.
第9页 共 47 页
3x 8y 15≥0, 例1:已知x, y满足5x 3y 6≤0,
2x 5y 10≥0. 求z x y的最大值和最小值.
分析:由于所给约束条件及目标函数均为关于x,y的一次 式,所以此问题是简单线性规划问题,使用图解法求解.
第10页 共 47 页
解:作出不等式组表示的可行域,如下图阴影部分. 将目标函数z=x-y变形为直线l:y=x-z.这是斜率为1,在y轴上截
第4页 共 47 页
名师讲解 (学生用书P71) 1.线性规划的有关概念
1约束条件:由未知数x,y的不等式(或方程)组成的不等式,
2xy10, 组成为x,y的约束条件,如:不等式组xx≥ 2 0,y2≤1,
y≥0, 就是一个关于x、y的约束条件.
第5页 共 47 页
(5)线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最值 问题.