圆各种定理详细图解
平面几何中的圆及其相关定理
平面几何中的圆及其相关定理圆是平面上最基本的几何形状之一，它具有许多特殊的性质和定理。
本文将介绍圆的定义、圆心角定理、弧长定理以及切线定理等相关内容。
一、圆的定义圆是平面上所有到一个固定点距离相等的点的集合。
这个点被称为圆心，到圆心的距离称为半径。
圆的符号通常用字母"〇"来表示。
二、圆心角定理圆心角是以圆心为顶点的角。
圆心角定理指出，在同一个圆中，不论圆心角所对的弧长长短如何，其对应的圆心角大小都相等。
也就是说，对于同一圆上的两个弧所对应的圆心角相等。
三、弧长定理弧是由圆上的两个点所确定的一段弧线。
弧长是弧所对的圆心角的一部分，它等于整个圆的周长乘以圆心角所占的比例。
弧长定理可以表示为：弧长 = (圆的周长 / 360°) ×圆心角的度数。
四、切线定理在圆上，从切点引出的切线与半径垂直。
根据切线定理，切线与半径的垂直关系可以推导出许多重要的定理和性质。
切线定理的一个重要应用是圆的切线与半径之间的关系。
如果从圆的外部点引出两条切线，并连接切点和该点，那么连接两个切点所得的线段垂直于两个切线的连线，并且等于两个切线的长度之和。
五、圆的相交定理当两个圆相交时，有以下几种可能的情况：内切、外切、相交和包含。
内切是指两个圆的内部都有公共的一部分；外切是指两个圆的外部都有公共的一部分；相交是指两个圆的内部和外部都有公共的一部分；包含是指一个圆的内部包含了另一个圆。
根据圆的相交定理，当两个圆相交时，连接两个圆的圆心与两个切点，可以得到一条直线。
此直线称为两个圆的公共弦，对于内切和外切的情况，公共弦也是切线。
六、圆内接四边形定理圆内接四边形是指一个四边形的四个顶点都在同一个圆上。
根据圆内接四边形定理，一个四边形是圆内接四边形的充分必要条件是对角线互相垂直，即两对对角线的交点构成的四个角互为直角。
结论通过对平面几何中的圆及其相关定理的介绍，我们了解到圆与圆心角的关系、弧长定理、切线定理、圆的相交情况以及圆内接四边形的定理。
圆的几个定理
圆的几个定理
圆的定理是数学中关于圆的性质和关系的重要定理，下面将从不同角度介绍几个与圆相关的定理。
一、切线定理
圆的切线是指与圆相切于一点的直线。
切线定理是指通过圆外一点可以作唯一的一条切线。
这个定理可以用来解决很多实际问题，比如求解一个物体沿圆形路径的最短路线等。
二、切割圆定理
切割圆定理是指将一个圆分成两个或多个部分的直线或弧线，那么这些部分的面积之和等于整个圆的面积。
这个定理可以应用于计算圆的面积，以及解决一些与圆相关的几何问题。
三、圆的内切定理
圆的内切定理是指一个圆可以内切于一个三角形的三条边，而且这个圆的圆心与三角形的三条边的交点共线。
这个定理可以用来确定三角形的内切圆的圆心和半径，以及解决一些与内切圆相关的几何问题。
四、圆的外切定理
圆的外切定理是指一个圆可以外切于一个三角形的三条边，而且这个圆的圆心与三角形的三条边的交点共线。
这个定理可以用来确定三角形的外切圆的圆心和半径，以及解决一些与外切圆相关的几何
问题。
五、圆的相似定理
圆的相似定理是指两个圆的半径成正比时，这两个圆是相似的。
这个定理可以用来解决一些与相似圆相关的几何问题，比如求解相似圆的半径比、面积比等。
以上是关于圆的几个定理的介绍。
希望通过这些定理的应用，能够帮助读者更好地理解和应用圆的性质和关系，解决实际问题。
与圆有关的几何定理课件
在物理学中，圆定理也被广泛 应用，如机械运动、光学、电 磁学等。
05
圆的拓展知识
圆与正多边形的联系
01
正多边形内切于圆
正多边形的各顶点均位于同一个圆上，且各边中点也位于该圆上。
02 03
正多边形外接于圆
正多边形的各边的垂直平分线均交于一点，该点称为正多边形的中心， 而以该点为圆心、半径等于正多边形边长的一半的圆称为正多边形的外 接圆。
切线长定理
总结词
切线长定理是关于圆的切线的性质和 关系的定理。
详细描述
切线长定理表明，如果一条直线与圆 相切于两点，则这两点处的切线长度 相等。此外，切线长定理还表明，两 个切点之间的连线段垂直于经过这两 点的切线。
圆周角定理
总结词
圆周角定理是关于圆周角和圆心角之间关系的定理。
详细描述
圆周角定理表明，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。这个定 理在证明圆的性质和解决与圆有关的问题时非常有用。
圆心到圆上任一点的距离相等
总结词
圆心到圆上任一点的距离都等于半径。
详细描述
在几何学中，圆心到圆上任一点的距离都等于半径，这是圆的基本性质之一。 这个性质说明了圆是一个等距曲线，即所有到圆心的距离相等的点都在圆上。
圆心到圆上任一点的连线段为圆的半径
总结词
圆心到圆上任一点的连线段是圆 的半径。
详细描述
在几何学中，通过圆心并与圆相 交的线段被称为圆的半径。这个 性质说明了半径是从圆心出发， 通过圆上任意一点的线段。
02
圆的定理
垂径定理
总结词
垂径定理是圆几何中的基本定理之一，它描述了通过圆心的直径将圆分成两个相 等的部分。
初三《圆》知识点及定理
高图教育数学教研组卢老师专用《圆》知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充） 2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；四、圆与圆的位置关系外离（图 1）无交点d R r ；外切（图 2）有一个交点d R r ；相交（图 3）有两个交点R r d R r ；内切（图 4）有一个交点d R r ；内含（图 5）无交点d R r ；d dR r R r图 1图 23、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
dR r图3d rRdR图4r二、点与圆的位置关系1、点在圆内d r点 C 在圆内；2、点在圆上d r点 B 在圆上；A d3、点在圆外d r点 A 在圆外；r OBd三、直线与圆的位置关系C1、直线与圆相离d r无交点；2、直线与圆相切d r有一个交点；3、直线与圆相交d r有两个交点；rd d=r r d图 5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论 1：（ 1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即：①AB是直径②AB CD③CE DE④ 弧BC弧BD⑤ 弧AC弧 AD中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。
数学圆知识点总结图文
数学圆知识点总结图文圆是平面上到定点的距离不大于定长的点的集合，其中定点称为圆心，定长称为半径。
圆的直径是由圆心穿过圆上一点并且与圆相交的线段的两端点组成，直径的长度等于半径长度的两倍。
圆的性质：1. 圆的周长公式：C=2πr，其中 r 为圆的半径，C 为圆周的长度。
2. 圆的面积公式：A=πr²，其中 r 为圆的半径，A 为圆的面积。
3. 弧长与扇形面积：圆的周长也称为圆的弧长，根据圆的性质，圆的周长与圆的面积之间存在一定的比例关系：一个圆的圆心角所对的弧所对应的圆是圆的周长的多少分之多少，所以圆的弧长也可以用来求圆的扇形面积。
4. 弧度制：圆的周长等于2πr，我们可以用圆的半径作为角度的一个单位，定义一个完整圆的周长等于圆周的角度为 360°，所以我们定义一个弧度＝半径的长度。
5. 切线和切点：在圆上的一点上可以作至多两个切线，同时，在同一个圆上，两个切点构成一对对称轴。
6. 直径和半径的关系：直径的长度等于半径的长度的两倍。
7. 弦和弦长：圆上的弦是圆上两个点之间的线段，而这段线段的长度就是弦长。
8. 内接四边形：内切于圆的四边形称为内接四边形，在内接四边形中，相邻两条边的和等于另外两条边的和，也就是说，相邻两条边相等。
9. 弧与圆心角：一个圆的周长也可以称为圆的弧长，一条切线与半径所夹的角就是等于它所对应的圆弧的角，这个角称为圆心角。
10. 圆锥曲线：圆锥曲线是一种经常被用来描述物理定律的曲线，其中圆是最简单的一种。
圆的定义可以被一组关于圆心和半径的方程来描述，其中的点被定义为满足这组方程的点。
11. 圆锥截线：直线直接经过球面内部一点并且与球面相交的弧的两端点构成，这个线段就称为圆锥截线，一个圆锥截线具有和球面具有相同圆心和半径。
12. 弧度与角度：弧度是圆周上的弧与圆心所夹得的角。
13. 切线和切点：在圆上的一点上可以作至多两个切线，同时，在同一个圆上，两个切点构成一对对称轴。
各种圆定理总结（包括托勒密定理、塞瓦定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆）
各种圆定理总结（包括托勒密定理、塞⽡定理、西姆松定理、梅涅劳斯定理、圆幂定理和四点共圆）托勒密定理⼀些圆定理.doc定理图定理的内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对⾓线的乘积。
原⽂：圆的内接四边形中，两对⾓线所包矩形的⾯积等于⼀组对边所包矩形的⾯积与另⼀组对边所包矩形的⾯积之和。
从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及⼀系列的三⾓恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．定理的提出⼀般⼏何教科书中的“托勒密定理”，实出⾃依巴⾕(Hipparchus)之⼿，托勒密只是从他的书中摘出。
证明⼀、（以下是推论的证明，托勒密定理可视作特殊情况。
）在任意四边形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ACD因为△ABE∽△ACD所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)⽽∠BAC=∠DAE，，∠ACB=∠ADE所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2)(1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC⼜因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD是某圆的内接四边形时，等号成⽴，即“托勒密定理”）所以命题得证复数证明⽤a、b、c、d分别表⽰四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。
⾸先注意到复数恒等式：(a ? b)(c? d) + (a? d)(b? c) = (a? c)(b? d) ，两边取模，运⽤三⾓不等式得。
等号成⽴的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐⾓相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。
四点不限于同⼀平⾯。
平⾯上，托勒密不等式是三⾓不等式的反演形式。
⼆、设ABCD是圆内接四边形。
在弦BC上，圆周⾓∠BAC = ∠BDC，⽽在AB上，∠ADB = ∠ACB。
圆的各种定理
圆的各种定理一、垂径定理1. 定理内容- 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
- 用符号语言表示：设圆O中，直径CD⊥弦AB于点E，则AE = BE，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。
2. 推论- 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
- 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
- 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
二、弧、弦、圆心角定理1. 定理内容- 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
- 符号语言：在⊙ O中，若∠ AOB=∠ COD，则widehat{AB}=widehat{CD}，AB = CD。
2. 推论- 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
- 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
三、圆周角定理1. 定理内容- 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
- 符号语言：在⊙ O中，∠ BAC是widehat{BC}所对的圆周角，∠ BOC是widehat{BC}所对的圆心角，则∠ BAC=(1)/(2)∠ BOC。
2. 推论- 同弧或等弧所对的圆周角相等。
- 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90^∘的圆周角所对的弦是直径。
- 圆内接四边形的对角互补。
即四边形ABCD内接于⊙ O，则∠ A+∠ C = 180^∘，∠ B+∠ D=180^∘。
四、切线的性质定理1. 定理内容- 圆的切线垂直于经过切点的半径。
- 符号语言：直线l是⊙ O的切线，切点为A，则OA⊥ l。
五、切线的判定定理1. 定理内容- 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
- 符号语言：点A在⊙ O上，OA是半径，直线l⊥ OA于点A，则直线l是⊙O的切线。
六、切线长定理1. 定理内容- 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
圆的有关定理暨图示.
圆形的几何定理角定理一、圆上任意一段弧所对的圆心角等于所对的圆周角的两倍。
即。
(i(ii(iii【简写：圆心角两倍于圆周角】定理二、半圆上的圆周角是一直角。
若是一条直径，则。
定理三、于同一弓形内的圆周角皆相等。
若是一条弦，则。
【简写：半圆上的圆周角】【简写：同弓形内的圆周角】定理四、圆内接四边形的两个对角互补。
即。
及。
【简写：圆内接四边形对角】定理五、圆内接四边形任何一个外角与其内对角相等。
即。
【简写：圆内接四边形外角】弦定理六由圆心画一垂直线至任何一条弦会平分定理七由圆心画一条直线至弦的中点，则该直线必与该弦互相垂直。
即若，该弦。
即若，则。
【简写：圆心至弦的垂线平分弦】则。
【简写：圆心至弦中点的联机垂直弦】定理八若某圆内的两条弦相等，则该两条弦与圆心的距离相等。
即若，则。
【简写：等弦与圆心等距】定理九若两条弦与圆心等距，则该两条弦的长度相等。
即若，则。
【简写：与圆心等距的弦等长】弧定理十、相等的圆心角所对的弧及弦相等。
即若，则、。
【简写：等角对等弦】、【简写：等角对等弧】定理十一、相等的弧所对的圆心角及弦相等。
即若，则、。
【简写：等弧对等角】、【简写：等弧对等弦】定理十二、相等的弦所对的圆心角及弧长相等。
即若，则、。
【简写：等弦对等角】、【简写：等弦对等弧】定理十三、弧长与所对的圆心角(圆周角成比例。
即。
【简写：弧长与圆心角成比例】 【简写：弧长与圆周角成比例】切线定理十四、为圆心，为圆周上的点，为直线。
若为圆在点的切线，则。
定理十五、为圆心，为圆周上的点，为直线。
若，则为圆在点的切线。
【简写：切线半径】【简写：切线半径的逆定理】定理十六、若从圆外的一点分别作两条与圆切于和的切线和，而为圆心，则(a(b(c【简写：切线性质】定理十七、若为圆在点上的切线而为弦，则则【简写：交错弓形的圆周角】定理一、【圆心角两倍于圆周角】定理二、【半圆上的圆周角】定理三、【同弓形内的圆周角】定理四、【圆内接四边形对角】定理五、【圆内接四边形外角】定理六、【圆心至弦的垂线平分弦】定理七、【圆心至弦中点的联机垂直弦】定理八、【等弦与圆心等距】定理九、【与圆心等距的弦等长】定理十、【等角对等弦】定理十一、【等弧对等角】定理十二、【等弦对等弧】定理十三、【弧长与圆心角成比例】定理十四、【切线半径】定理十五、【切线半径的逆定理】定理十六、【切线性质】定理十七、【交错弓形的圆周角】。
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圆的各种规律定理
仅包含初三上学期的内容
【1】
HG=FE
OK=OJ
弧HG=弧FE
∠FOE=∠HOG
有一得四
【2】
垂径定理
AN 过圆心
NA 垂直平分KL
弧NK=弧NL
弧KA=弧AL
有二得四
【3】
∠S=∠W=∠X=∠T=21∠AOB
①∠C=∠H
②FG=DE
③弧FG=弧DE ①→②③
③→①①
K、L、N在圆上：
∠K=90°
∠L=90°
∠N=90°
JM是直径
有一得四
PQ∥SR ↔弧AD=弧BC
由VZYW是⊙O的内接四边形可得：
∠2，∠3互补
∠4，∠5互补
∠1=∠2
AB⊥CD
B为切点
AB过圆心
有二得三
由PA、PB切⊙O可直接得：
IH=IE
IK平分∠EIH
可间接证得：
IK垂直平分EH
IK平分优弧劣弧EH
EH垂直OI
△EGO≌△HGO
△EGI≌△HGI
△EIO≌△HIO
△EIO、△HIO中可以使用摄影定理
O、E、I、H四点共圆，圆心在IO中点
OP切⊙O →∠1=∠2
圆幂定理
SR为直径，WZ⊥SR时：SX·XR=WX ²（相交弦定理）
任何时候：HY·Y A=WY·YZ（相交弦定理）
SU·BU=UZ·UW（割线定理）
UV切⊙O时：UV ²=UZ·UW（切割线定理）
A
△ABC 内心为O ，⊙O 为内切圆 HFG 为切点，则可间接证得： ABC ABC ABC ABC ABC C S AD C D C H AC C 三角形三角形三角形三角形三角形•======
=2r -2
GC FC C -2AG A -2
HF HD
当∠D=90°时，可间接证得 AC C ABC -2
r 三角形=
更新到2011.10.27 李晔洲。