四川省成都市蓉城名校联盟2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题(pdf版)
蓉城名校联盟2019~2020学年度上期高中2019级期末联考
数学
考试时间共120分钟，满分150分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{|15,}A x x x =-≤≤∈N ，{
}
|28x
B x =≤，则A B ?=（ ） A ．{1,0,1,2,3}-
B ．{0,1,2,3}
C ．[1,3]-
D ．[0,3]
2.设向量(12,)b n =r ，(1,2)c =-r ，若b c r r P ，则n =r
（ ）
A ．6
B ．6-
C ．24
D ．24-
3.已知函数26
()3(1)x f x a a -=+>的图象过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则tan θ的值为（ ） A ．
43
B ．
34
C ．
45
D ．
35
4.设sin48a =?，cos41b =?，tan46c =?，则下列结论成立的是（ ） A ．b a c << B ．c a b << C ．a b c <<
D ．b c a <<
5.函数(
)
2
()ln 421f x x x =--的单调递减区间为（ ） A ．(,2)-∞
B ．(,3)-∞-
C ．(2,)+∞
D ．(7,)+∞
6.若12
()(lg 1)m f x m x -=+为幂函数，则(3)f =（ ）
A ．9
B ．
19
C D ．
3
7.已知函数()sin (0)6f x x πωω??
=-
> ??
?的最小正周期为π，则54
f π
??
= ???
（ ） A ．1 B ．
12
C ．0
D
．
2
8.ABC △中，D 为BC 边上一点，且5BC BD =，若AD mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r
，则2n m -=（ ）
A ．
2
5
B ．35
-
C ．25
-
D ．
35
9.已知函数()f x 的定义域为(1,4)，则函数(
)12()log x g x f x -=+ ）
A ．(1,3)
B ．(0,2)
C ．(1,2)
D ．(2,3)
10.已知函数()sin(5)(0)f x x ??π=+剟为偶函数，则函数1()2cos 23g x x ??
?=- ??
?
在50,12
π?????
?
上的值域
为（ ） A
．[-
B ．[1,2]-
C ．[2,2]- D
．[
11.函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
12.已知函数222,0
()|ln |,0x kx k x f x x x ?++=?>?
?，若关于x 的不等式()f x k ?的解集为[,][,]m n a b ?，且n a <，
127
232
mn ab k +-<
，则实数k 的取值范围为（ ） A ．54,167??
???
B ．14,87?? ???
C ．15,88?? ???
D ．14,27??????
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
若向量a =r ，b r 为单位向量，a r 与b r 的夹角为3
π，则a b ?=r r ______.
14.已知一个扇形的面积为2
6cm π，弧长为2cm π，圆心角为θ，则函数()tan(2)f x x θ=+
的单调递增区
间为______.
15.奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立，且01x 剟时，()21x
f x =-，则()2lo
g 11f =
______.
16.函数251612()sin (0)236x x f x x x x ππ-+??
=
--> ???
的最小值为_______. 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.求下列表达式的值. （1）2
02
ln 2lg5lg (lg31)5
e +++-； （2）已知：1
sin 2
α=，sin cos 0αα?<. 求：
sin(2)cos()sin()
sin 2cos 22παπαπαππαα-+--+????++- ? ?????
的值.
18.如图，平行四边形OABC 的一边OA 在x 轴上，点(4,0)A ，(1,2)C ，P 是CB 上一点，且CP CB λ=u u u r u u u r
.
（1）当1
2
λ=
时，求点P 的坐标； （2）连接AP ，当A 为何值时，OP AP ⊥.
19.已知定义在R 上的函数1
()(0)1
x x
a f x a a -=>+. （1）判断函数的奇偶性，并加以证明；
（2）当2a =时，判断函数()f x 的单调性并加以证明；并求()10f x m +-=在[1,2]-上有零点时，m 的取值范围.
20.某同学学习习惯不好，把黑板上老师写的表达式忘了，记不清楚是
()sin()0,0,02f x A x A πω?ω???=->> ???剟还是()cos()00,02f x A x A πω?ω??
?=->> ??
?剟 .
翻
出草稿本发现在用五点作图法列表作图时曾算出过一些数据（如下表）.
（1）请你帮助该同学补充完表格中的数据，写出该函数的表达式()f x ，并写出该函数的最小正周期； （2）若利用sin y x =的图象用图象变化法作()y f x =的图象，其步骤如下：（在空格内填上合适的变换方法）
第一步：sin y x =的图象向右平移?=_____得到1y =_____的图象； 第二步：1y 的图象（纵坐标不变）______得到2y =_____的图象； 第三步：2y 的图象（横坐标不变）_____得到()f x 的图象.
21.已知：向量(2,)a m m =r ，(sin cos ,2sin cos )b θθθθ=+r
.
（1）当1m =，2
π
θ=
时，求||a b -r r 及a r 与b r
夹角的余弦值；
（2）若给定sin cos [θθ+∈，0m ?，
函数()sin cos f a b θθθ=?++r r
的最小值为()g m ，求()g m 的表达式.
22.已知：函数()f x =
()m ∈R .
（1）若()f x 的定义域为R ，求m 的取值范围；
（2）设函数()()g x f x x =-，若(ln )0g x ?，对于任意2
,x e e ??∈??总成立.求m 的取值范围.
蓉城名校联盟2019~2020学年度上期高中2019级期末联考
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
14.5,212212k k ππππ??
-+
???
，k Z ∈ 15.511- 16.52
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）原式2ln 2lg5lg2lg51e =++-+
2lg5lg21=+++
4=
（2）1
sin 2
α=
Q ，sin cos 0αα<
，cos 0cos αα∴
原式sin()cos()sin()
cos()2sin()
ααααα---+=
+
2cos 3cos 2sin ααα?-- -==
=+ 18.解：设点(,)P x y ，(1,2)C Q ，(4,0)A
又平行四边形OABC ，(4,0)OA CB ==u u u r u u u r
由CP CB λ=u u u r u u u r
，即(1,2)(4,0)x y λ--= 14x λ∴=+，2y =
（1）当1
2
λ=
时，即：3x =，2y = (3,2)P ∴
（2）(14,2)OP λ=+u u u r ，(43,2)AP λ=-u u u r
由OP AP ⊥，0OP AP ∴?=u u u r u u u r
即(41)(43)40λλ+-+=，2
16810λλ-+=
410λ-=，14
λ=
19.解：（1）当1a =时，()0f x =，()f x 既为奇函数又为偶函数
②当1a ≠时，1
()(0)1
x x a f x a a -=>+为奇函数
证明：1111()()01111x x x x
x x x x
a a a a f x f x a a a a
------+-=+=+=++++ ()f x ∴为奇函数
（2）当2a =时，21
()21
x x f x -=+为增函数
证明：任取21x x >，
则()()2121212121
2121
x x x x f x f x ---=-
++ ()()
2121122121
222122212121x x x x x x x x x x +++---+-+=++ ()
()()
21212222121x x x x -=
++
21x x >Q ，21220x x >>
()f x ∴在R 上为增函数
21()21x x f x -∴=+在[1,2]-上的值域为：13,35??
-????
要使()10f x m +-=在[1,2]-上有零点，则28,35m ??
∈????
20.解：（1）
()3sin 26f x x π?
?=- ??
? 最小正周期T π=
（2）第一步：sin y x =的图象向右平移6
π
?=
（个单位长度）得到1sin 6y x π??
=-
??
?
的图象. 第二步：1y 的图象（纵坐标不变）横坐标变为原来的
12倍得到2sin 26y x π?
?=- ??
?的图象.
第三步：2y 的图象（横坐标不变）纵坐标变为原来的3倍得到()f x 的图象 21.解：（1）当1m =，2
πθ=
时，(2,1)a =r ，(1,0)b =r
(1,1)a b -=r r
，||a b ∴-=r r
cos ,||||a b a b a b ?<>===?r r
r r r r （2）()sin cos f a b θθθ=?++r r
2(sin cos )2sin cos sin cos m m θθθθθθ=++++
令sin cos t θθ+=，则2
2sin cos 1t θθ?=-
，[t ∈
设22
()2(21)h t mt mt m t mt m t m =+-+=++-
，[t ∈ ①当0m =时，()h t t =
，min ()(h t h == ②当0m <时，函数()h t 的对称轴为112t m ??=-+
??
?（或21
2m t m
+=-） 当1102m ?
?-+
> ??
?（或2102m m +-
>），即1
02
m >>-时，
min ()((1h t h m ==-当1102m ??-+
??
??（或2102m m +-?），即1
2
m -?时，
min ()1)h t h m ==+
1(102
()1(12
m m g m m m ?---
????
22.解：（1）函数()f x 的定义域为R ，即2
10mx mx -+…
在R 上恒成立
当0m =时，10≥恒成立，符合题意 当0m ≠时，必有0
040
m m >??
????
综上：m 的取值范围是[0,4]
（2
）()()g x f x x x =-=Q
(ln )0g x ∴?，对任意2,x e e ??∈??总成立，
等价于220(ln )ln 1(ln )m x m x x -+剟在2
,x e e ??∈??总成立
即：222(ln )ln 10(ln )ln 1(ln )
m x m x m x m x x ?-+?-+?…?(*)在2
,x e e ??∈??
上恒成立 设：ln t x =，因为2,x e e ??∈??，所以[1,2]t ∈，
不等式组(*)化为()()222
101m t t m t t t
?-+?
?-+??…?
[1,2]t ∈时，20t t -…（当且仅当1t =时取等号） 1t =时，不等式组显然成立
当(1,2]t ∈时，()()22222
211011m m t t t t
t m t t t m t t ??-?-+???-???--+????-??
……??恒成立 22
111
211
24
t t t -
=--??--+ ????，即12m - (22111)
1t t t t t t -+==+-在(1,2]上递减，所以11t
+的最小值为32，32m ? 综上所述，m 的取值范围是13,22??
-????.
解析：
12.易知当0k >，0x ?时，2
2227()224k f x x kx k x k ?
?=++=++ ??
?，
()f x 的图象如图所示.
当直线y k =在图中1l 的位置时，
22724k k k <<，得1427
k <<， ,m n 为方程2220x kx k k ++-=的两根，
即2
2
20x kx k k ++-=的两根， 故2
2mn k k =-； 而1ab =
则2211327
212122232
mn ab k k k k k k +-
=-+-=-+<
， 即2
644850k k -+<，解得1588k <<，所以1427
k <<；
当直线y k =在图中2l 的位置时，2
2k k ?且0k >，得1
02
k
；此时0n = 则112712232mn ab k k +-
=-<，得51
162
k <≤.
所以，k 的取值范围是54,167??
???
.
16.2
251616()533x x g x x
x x -+==+-=+…，当4x =时，()3g x =； 因为121sin 2362x ππ??-
-- ???…，所以5()2f x …；而5(4)2f =，所以min 5
()2
f x =.