平面几何辅助线添加技法总结与例题详解

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初中平面几何常见添加辅助线的方法

初中平面几何常见添加辅助线的方法

初中平面几何常见添加辅助线的方法平面几何是数学中的一个重要分支,通过在平面上描述和研究几何图形之间的关系和性质。

在解决平面几何问题中,添加辅助线是一种常见且有效的方法,可以帮助我们更好地理解和分析问题。

下面是初中平面几何常见的添加辅助线的方法:1.使用垂直辅助线:垂直辅助线是指与已知线段垂直的辅助线,可以用来分割和构造几何图形。

比如,在矩形中,可以通过连接矩形的对角线来构造一条垂直辅助线,从而将矩形分割为两个等腰直角三角形。

2.使用平行辅助线:平行辅助线是指与已知线段平行的辅助线,可以用来帮助构造平行线段和证明平行性质。

例如,在平行四边形中,可以通过连接相邻顶点和平行线段的端点来构造平行辅助线,从而证明平行四边形的对边相等。

3.使用角平分线:角平分线是指将一个角平分为两个等角的辅助线。

在解决涉及角的等分、相等或相似性质问题时,添加角平分线是非常有用的方法。

例如,在等腰三角形中,可以通过连结底边中点和顶角顶点的直线来构造角平分线,从而证明等腰三角形的顶角相等。

4.使用中线:中线是指连接一个几何图形的两边中点的辅助线。

在解决涉及几何图形的中点、平行四边形和三角形性质问题时,添加中线是一种常见的方法。

例如,在四边形中,可以通过连接相对边的中点来构造中线,从而证明中线互相平分。

5.使用高线:高线是指从多边形的一个顶点向对边所引的垂线。

在解决多边形的高、重心、垂心和外心问题时,添加高线是非常有用的方法。

例如,在三角形中,可以通过从一个顶点向对边引垂线来构造高线,从而证明高线汇聚于三角形的垂心。

6.使用辅助图形:有时,我们可以通过在平面上添加一些辅助图形来辅助解决几何问题。

例如,在求解平行四边形的面积时,可以通过添加一个垂直边和一个三角形来将平行四边形划分为两个高度相等的矩形,从而方便计算面积。

在实际应用中,我们可以根据具体问题的要求来灵活地选择合适的辅助线方法。

添加辅助线不仅可以帮助我们更好地理解和分析问题,还可以提高解题效率和准确性。

初中平面几何中如何针对三角形添加辅助线

初中平面几何中如何针对三角形添加辅助线

‘ .
DBC+ BDM = DM C



2 5。 2. + BD M =4 。 ‘ 5 ,. .
BD M =2 .。 25 BEC= 0 , EBC=2 5 9 。 -2.。



ECB=6 .。 . ECD= 75 , ‘ .
学 中优 良的教 学方法和现代化教学手段有机地结合起来 ,

。 B F D F 2 . ,‘ D D = B - 2 。 .AB F等腰 5 .
‘ M 上 B ,‘ F D .BD= DM 即 BD 2 E . 2 =C
DFC= A BC




。 A= 0 , = 9 。AB AC,. AB ACB 4 。 。 . C= - 5

社会人的过程, 而传统教学中的人与人、 面对面 的心灵交流 是计算机 辅助教学所无法取代的, 因此计算机 只是辅助教 学, 而不是代替教学 , 它可以突破重点难点但 不能代替思 维, 这就要求我们制作的课件要考虑全面 、 周到 , 在实践中 处理好计算机教学“ 辅什么” 怎么辅” 和“ 的问题 , 将传统教



△ CDF △ DM B( 丝 AAS ,‘ F B 即 BD= CF ) .C = D . 2
( 以点 D为顶 点, B为边 , 六) D 在△B C内作 B F D D= E D, F交 B C D C于点 F 过点 F作 ,
F M上B D于 M, 如图七 ) (
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[] 2郭琴. 现代教 育的机遇和挑 战 : 国际互联 网[] J. 电化教学研



‘ E上 C .CF 2 E, B 2 E D F,。 = C 即 D= C .

几何证明例题及常见的添加辅助线方法

几何证明例题及常见的添加辅助线方法

几何证明例题及常见的添加辅助线方法几何证明是数学中的一个重要分支,通过使用几何定理和性质,以及一些常见的辅助线方法,来证明几何命题的正确性。

下面将提供几个几何证明的例题,并介绍一些常见的添加辅助线方法:1.证明等边三角形的高线与垂直平分线重合。

添加辅助线方法:连接等边三角形的顶点与底边的中点,将三角形分为两个等腰三角形。

然后,通过利用等腰三角形的性质,可以证明三角形的高线与垂直平分线重合。

2.证明等腰梯形的对角线垂直。

添加辅助线方法:在等腰梯形的两个腰上各取一个点,使得这两个点与梯形的底边相连,形成两个等边三角形。

通过证明这两个等边三角形的高线与底边的中线相垂直,可以得出对角线垂直的结论。

3.证明一个四边形是平行四边形的充要条件是其对角线互相垂直。

添加辅助线方法:对四边形的两个对角线进行延长,连接延长线的交点与四边形的两个相邻顶点,形成两个三角形。

通过证明这两个三角形是直角三角形,可以得出对角线互相垂直的结论。

4.证明正方形的对角线互相垂直。

添加辅助线方法:连接正方形的相邻顶点,形成两个等腰三角形。

通过证明这两个等腰三角形的高线与底边的中线相垂直,可以得出对角线互相垂直的结论。

5.证明一个三角形的内心到三边的距离和边长的乘积是相等的。

添加辅助线方法:通过从三角形的顶点向内切圆引垂线,连接垂足与内心,形成三个小三角形。

通过证明这三个小三角形是相似三角形,可以得出内心到三边的距离和边长的乘积相等的结论。

以上是几个常见的几何证明例题及其对应的添加辅助线方法。

在几何证明中,添加辅助线是一种常用的方法,可以将原始图形分解成更简单的图形,以便于应用几何定理和性质进行证明。

但需要注意的是,添加辅助线时应选择合适的位置和方式,以确保辅助线的添加不会引入其他不必要的情况,更好地辅助证明目标命题的正确性。

专题04 几何辅助线专题详解(解析版)

专题04 几何辅助线专题详解(解析版)

专题4-几何辅助线专题详解专题4-几何辅助线专题详解 (1)一、辅助线添加策略 (3)策略1 按定义添辅助线 (3)策略2 按基本模型添辅助线 (3)二、添加辅助线的方法及举例 (4)方法1 求角思想及模型 (4)第一类:方程思想求角度 (4)第二类:转化思想求角度 (5)第三类:整体思想求角度 (7)第四类:数学模型—角平分线模型 (8)第五类:数学模型—对顶三角形模型 (9)第六类:分类讨论思想求角度 (9)方法2 关于中点的辅助线 (10)第一类:已知中点 (10)第二类:证中点 (14)方法3 截长补短法 (18)方法4 作垂线构造全等求点的坐标 (20)方法5 关于角平分线的辅助线 (22)第一类:角平分线上的点向两边作垂线 (22)第二类:过边上的点向两边作垂线 (24)第三类:过平分线上的点作一条边平行线构造等腰三角形 (27)第四类:利用角平分线的性质,在角两边截长补短 (28)方法6 等腰三角形的辅助线 (29)第一类:分类讨论思想 (30)第二类:“三线合一”作辅助线 (33)第三类:构造等腰三角形 (35)方法7 等边三角形的辅助线 (44)第一类:构造30°的直角三角形 (44)第二类:作平行线构造等边三角形 (47)第三类:共顶点的等边三角形 (50)一、辅助线添加策略三角形是基础几何图形,是一切几何图形证明的基础。

在求证几何图形时,往往需要添加辅助线构成新图形,进而形成新关系,使分散的条件集中,建立已知与未知的桥梁,把问题转化为常规问题去解决,则是三角形证明中的常规策略。

添加辅助线有二种常见策略:按定义添加辅助线、按基本模型添加辅助线。

策略1 按定义添辅助线(1)角平分线性质:角平分线上的点到两边的距离相等。

利用这个性质,常见辅助线为:取角平分线上一点,向角的两边作垂线。

(2)垂直平分线的性质:垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

利用这个性质,常见辅助线为:取垂直平分线上一点,连接该点与线段的两个端点。

初中几何常见辅助线作法口诀及习题大全

初中几何常见辅助线作法口诀及习题大全

人说几何很困难,难点就在辅助线。

辅助线,如何添?把握定理和概念。

还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。

三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。

也可将图对折看,对称以后关系现。

角平分线平行线,等腰三角形来添。

角平分线加垂线,三线合一试试看。

线段垂直平分线,常向两端把线连。

要证线段倍与半,延长缩短可试验。

三角形中两中点,连接则成中位线。

三角形中有中线,延长中线等中线。

四边形平行四边形出现,对称中心等分点。

梯形里面作高线,平移一腰试试看。

平行移动对角线,补成三角形常见。

证相似,比线段,添线平行成习惯。

等积式子比例换,寻找线段很关键。

直接证明有困难,等量代换少麻烦。

斜边上面作高线,比例中项一大片。

作辅助线的方法一:中点、中位线,延线,平行线。

如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二:垂线、分角线,翻转全等连。

如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生。

其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三:边边若相等,旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。

其对称中心,因题而异,有时没有中心。

故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似,和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形有关。

在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法:第一,造一个辅助角等于已知角;第二,是把三角形中的某一线段进行平移。

故作歌诀:“造角、平、相似,和差积商见。

”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表)五:两圆若相交,连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦。

初一数学几何题辅助线技巧详解

初一数学几何题辅助线技巧详解

巧添辅助线 解证几何题在几何证明或计算问题中,经常需要添加必要的辅助线,它的目的可以归纳为以下三点:一是通过添加辅助线,使图形的性质由隐蔽得以显现,从而利用有关性质去解题;二是通过添加辅助线,使分散的条件得以集中,从而利用它们的相互关系解题;三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决;值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关;下面我们分别举例加以说明;例题解析一、倍角问题 例1:如图1,在△ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D;求证:∠DBC=12∠BAC.分析:∠DBC 、∠BAC 所在的两个三角形有公共角∠C,可利用三角形内角和来沟通∠DBC 、∠BAC 和∠C 的关系; 证法一:∵在△ABC 中,AB=AC, ∴∠ABC=∠C=12180°-∠BAC=90°-12∠BAC; ∵BD ⊥AC 于D ∴∠BDC=90°∴∠DBC=90°-∠C=90°-90°-12∠BAC= 12∠BAC 即∠DBC=12∠BAC 分析二:∠DBC 、∠BAC 分别在直角三角形和等腰三角形中,由所证的结论“∠DBC= ½∠BAC ”中含有角的倍、半关系,因此,可以做∠A 的平分线,利用等腰三角形三线合一的性质,把½∠A 放在直角三角形中求解;也可以把∠DBC 沿BD 翻折构造2∠DBC 求解;证法二:如图2,作AE ⊥BC 于E,则∠EAC+∠C=90°∵AB=AC ∴∠EAG=12∠BAC ∵BD ⊥AC 于D∴∠DBC+∠C=90°∴∠EAC=∠DBC 同角的余角相等即∠DBC=12∠BAC;证法三:如图3,在AD 上取一点E,使DE=CD 连接BE ∵BD ⊥AC∴BD 是线段CE 的垂直平分线 ∴BC=BE ∴∠BEC=∠C∴∠EBC=2∠DBC=180°-2∠C ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C∴∠BAC=180°-2∠C ∴∠EBC=∠BAC ∴∠DBC=12∠BAC 说明:例1也可以取BC 中点为E,连接DE,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰三例2、如图4,在△ABC 中,∠A=2∠B求证:BC 2=AC 2+AC •AB分析:由BC 2=AC 2+AC •AB= ACAC+AB,启发我们构建两个相似的三角形,且含有边BC 、AC 、AC+AB.又由已知∠A=2∠B 知, 构建以AB 为腰的等腰三角形;证明:延长CA 到D,使AD=AB,则∠D=∠DBA ∵∠BAC 是△ABD 的一个外角 ∴∠BAC=∠DBA+∠D=2∠D ∵∠BAC=2∠ABC∴∠D=∠ABC又∵∠C=∠C ∴△ABC ∽△BDC ∴AC BCBC CD=∴BC 2=AC •CD AD=AB∴BC 2= ACAC+AB=AC 2+AC •AB二、 中点问题例3.已知:如图,△ABC 中,AB=AC,在AB 上取一点D,在AC的延长线上取一点E,连接DE 交BC 于点F,若F 是DE 的中点;求证:BD=CE分析:由于BD 、CE 的形成与D 、E 两点有关,但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形,所以 关系不明显,由于条件F 是DE 的中点,如何利用这个中点条件,把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键; 由已知AB=AC,联系到当过D 点或E 点作平行线,就可以形成新 的图形关系——构成等腰三角形,也就是相当于先把BD 或CE 移动一下位置,从而使问题得解;证明:证法一:过点D 作DG ∥AC,交BC 于点G 如上图 ∴∠DGB=∠ACB, ∠DGF=∠FCE ∵AB=AC ∴∠B=∠ACB ∴∠B=∠DGB ∴BD=DG ∵F 是DE 的中点 ∴DF=EF在△DF G 和△DEFC 中,DFG= EFC DGF= FCE DF=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△DF G ≌EFC∴DG=CE ∴BD=CEABCEGDFCAB证法二:如图,在AC 上取一点H,使CH=CE,连接DH ∵F 是DE 的中点∴CF 是△EDH 的中位线 ∴DH ∥BC∴∠ADH=∠B, ∠AHD=∠BCA ∵AB=AC ∴∠B=∠BCA∴∠ADH=∠AHD ∴AD=AH ∴AB-AD=AC-AH ∴BD=HC∴BD=CE说明:本题信息特征是“线段中点”;也可以过E 作EM ∥BC,交AB 延长线于点G,仿照证法二求解;例4.如图,已知AB ∥CD,AE 平分∠BAD,且E 是BC 的中点 求证:AD=AB+CD证法一:延长AE 交DC 延长线于F ∵AB ∥CD ∴∠BAE=∠F, ∠B=∠ECF ∵E 是BC 的中点 ∴BE=CE 在△ABE 和△CEF 中BAE= F B= ECF BE=CE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△ABE ≌△CEF ∴AB=CF∵AE 平分∠ABD ∴∠BAE=∠DAE ∴∠DAE=∠F ∴AD=DF ∵DF=DC+CF CF=AB ∴AD=AB+DC证法二:取AD 中点F,连接EF ∵AB ∥CD,E 是BC 的中点 ∴EF 是梯形ABCD 的中位线∴EF ∥AB , EF=12AB+CD∴∠BAE=∠AEF ∵AE 平分∠BAD ∴∠BAE=∠FAE ∴∠AEF=∠FAE ∴AF=EF ∵AF=DF∴EF=AF=FD=12AD ∴12 AB+CD= 12ADAB CD HEF A B CEFDA BCEF三.角平分线问题例5.如图1,OP 是∠MON 的平分线,请你利用图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形;请你参考这个全等三角形的方法,解答下列问题;(1) 如图2,在△ABC 中,∠ACB 是直角,∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线,AD 、CE相交于点F,请你判断并写出EF 与FD 之间的数量关系;(2) 如图3,在△ABC 中,如果∠ACB 不是直角,而1中的其他条件不变,请问,你在1中所得的结论是否仍然成立 若成立,请证明;若不成立,请说明理由;(3)分析:本题属于学习性题型;这类题型的特点是描述一种方法,要求学生按照指定的方法解题;指定方法是角平分问题的“翻折法”得全等形;解:1EF=FD2答:1结论EF=FD 仍然成立理由:如图3,在AC 上截取AG=AE,连接FG 在△AEF 和△AGF 中,AE=AG EAF= FAG AF=AF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△AEF ≌△AGF由∠B=60°,AD 、CE 分别是∠BAC ∠BCA 的平分线 可得∠FAG+∠FCA=60° ∴∠EFA=∠GFA=∠DFC=60° ∴∠GFC=60°在△CFG 和△CFD 中GFC= DFC CF=CF DCE= ACE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△CFG ≌△CFD ∴FG=FD 又因为EF=GF ∴EF=FD说明:学习性问题是新课程下的新型题,意在考查学生现场学习能力和自学能力;抛开本题要求从角平分线的角度想,本题也可以利用角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”达到求解的目的;解法二:2答1中的结论EF=FD 仍然成立;理由:作FG ⊥AB 于G,FH ⊥AC 于H,FM ⊥BC 于M ∵∠EAD=∠DAC ∴FG=FH∵∠ACE=∠BCE ∴FH=FG∵∠B=60° ∴∠DAC+∠ACE=60° ∴∠EFD=∠AFC=180°- 60°=120°在四边形BEFD 中 ∠BEF+∠BDF=180°∵∠BDF+∠FDC=180° ∴∠FDC =∠BEF 在△EFG 和△DFM 中FDC = BEF EGF= DMF=90FG=FM ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴EFG ≌△DFM ∴EF=DF四、线段的和差问题例6 如图,在△ABC 中,AB=AC,点P 是边BC 上一点,PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M,试探究线段PD 、PE 、CM 的数量关系,并说明理由;分析:判断三条线断的关系,一般是指两较短线段的和与较长线段的大小关系,通过测量猜想PD+PE=CM.分析:在CM 上截取MQ=PD,得□PQMD,再证明CQ=PE 答:PD+PE=CM证法一:在CM 上截取MQ=PD,连接PQ. ∵CM ⊥AB 于M, PD ⊥AB 于D∴∠CMB=∠PDB=90°∴CM ∥DP∴PQ ∥AB∴∠CQP=∠CMB=90°∠QPC=∠B ∵AB=AC ∴∠B=∠ECP ∴∠QPC=∠ECP ∵PE ⊥AC 于E ∴∠PEC=90°在△PQC 和△PEC 中PQC= PEC QPC= ECP PC=PC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△PQC ≌△PEC ∴QC=PE ∵MQ=PD ∴MQ+QC=PD+PE ∴PD+PE=CM分析2:延长DF 到N 使DN=CM,连接CN,得平行四边形DNCM, 再证明PN=PE证法2:延长DF 到N,使DN=CM,连接CN同证法一得平行四边形DNCM,及△PNC ≌△PEC ∴PN=PE ∴PD+PE=CM分析3:本题中含有AB=AC 及三条垂线段PD 、DE 、CM, 且PABPACABCSSS+=,所以可以用面积法求解;证法三:连接AP,∵PD ⊥AB 于D,PE ⊥AC 于E,CM ⊥AB 于M ∠PQC=∠PEC ∠QPC=∠ECP PC=PC ∴121212ABPACPABCS AB PD S AC PE SAB CM =•=•=• ∵AB=AC 且PABPACABCSSS+=∴1112220AB PD AB PE AB CM AB PD PE CM•+•=•≠∴+= 说明:当题目中含有两条以上垂线段时,可以考虑面积法求解;FEDCBA五、垂线段问题例7 在平行四边形ABCD 中,P 是对角线BD 上一点,且,,PE AB PF BC ⊥⊥垂足分别是E 、F求证:AB PF BC PE=分析:将比例式AB PF BC PE=转化为等积式AB PE BC PF •=•,联想到AB PE BC PF•=•1122, 即△PAB 与△PBC 的面积相等,从而用面积法达到证明的目的;证明:连接AC 与BD 交于点O,连接PA 、PC 在平行四边形ABCD 中,AO=COAOBBOCSS∴=同理,AOPCOP AOBAOPBOCCOPPAB PBCS S SS SSSS=∴-=-=∵,,PE AB PF BC ⊥⊥,11221122PAB PBC SAB PE S BC PF AB PE BC PF AB PE BC PF AB PFBC PE∴=•=•∴•=•∴•=•∴=例8求证:三角形三条边上的中线相交于一点;分析:这是一个文字叙述的命题;要证明文字命题,需要根据题意画出图形,再根据题意、结合图形写出已知、求证;已知:△ABC 中,AF 、BD 、CE 是其中线; 求证:AF 、BD 、CG 相交于一点;分析:要证三线交于一点,只要证明第三条线经过另两条线的交点即可;FED CBAP,ABDCBDAGDCGD AGBCGBCGBAGCAGBAGCAD DC SSSSS S SSSS=∴==∴==∴=同理,作BM ⊥AF ,于M,CN ⊥AF ,于N则,11221122AGB AGC SAG BM S AG CN AG BM AG CN BM CN=•=•∴•=•∴= 在△BMF ,和△CNF ,中 BF MCF N BMF CNF BM CN ''∠=∠⎧⎪''∠=∠⎨⎪=⎩∴△BMF ≌△CNF ∴''BF CF =∴AF ,是BC 边上的中线 又∵AF 时BC 边上的中线∴AF 与AF ,重合 即AF 经过点D∴AF 、BD 、CE 三线相交于点G因此三角形三边上的中线相交于一点;六、梯形问题例9.以线段a=16,b=13为梯形的两底,以c=10为一腰,则另一腰长d 的取值范围是_ 分析:如图,梯形ABCD 中,上底b=13,下底a=16,腰AD= c=10,过B 作BE ∥AD,得到平行四边形ABED,从而得AD=BE=10,AB=DE=13 所以EC=DC-DE=16-13=3. 所以另一腰d 的取值范围是 10-3<d <10+3 答案:7<d <13例10.如图,已知梯形ABCD 中,AB ∥DC,高AE=12,BD=15,AC=20,求梯形ABCD 的面积;分析:已知条件中给出两条对角线的长,但对角线位置交错,条件一时用不上;另外,求梯形面积只要求出上、下底的和即可,不一定求出上、下底的长,所以考虑平移腰;解:解法一:如图,过A 作AF ∥BD,交CD 延长线于FD CE B A//,AB FCFD AB AF BD FC AB DCAE FC AEF AEC ∴∴===∴=+⊥∴∠=∠=ABDF 1590。

初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题

初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题

初中数学】几何题,辅助线的添加方法和典型例题初中数学:几何题型,辅助线的画法和典型例题1.倍长中线法已知在△ABC中,D是BC中点,DE⊥DF,需要判断BE+CF与EF的大小关系,并证明结论。

思路点拨:利用倍长中线法,倍长过中点的线段DF使DG=DF,再证明△XXX≌△EDF,△FDC≌△GDB,将BE、CF与EF线段转化到△BEG中,利用两边之和大于第三边证明。

解析:连接BG、EG,因为D是BC中点,所以BD=CD。

又因为DE⊥DF,在△XXX和△EDF中,ED=ED,∠XXX∠EDF,DG=DF,因此△XXX≌△EDF(SAS),所以EG=EF。

在△XXX与△GDB中,CD=BD,∠1=∠2,DF=DG,因此△FDC≌△GDB(SAS),所以CF=BG。

因为BG+BE>EG,所以BE+CF>EF。

结论得证。

总结升华:有中点的时候作辅助线可以考虑倍长中线法(或倍长过中点的线段)。

变式:已知CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线,且∠ACB=∠ABC,需要证明CD=2CE。

解析:连接BF,延长CE至F使EF=CE。

因为EC为中线,所以AE=BE。

在△AEC与△BEF中,AE=BE,∠AEC =∠BEF,CE=EF,因此△AEC≌△BEF(SAS)。

所以AC =BF,∠A=∠FBE。

又因为∠ACB=∠ABC,∠XXX∠ACB+∠A,∠XXX∠ABC+∠A,所以AC=AB,∠XXX∠XXX。

因此AB=BF,BC为△ADC的中线,所以AB=BD,即BF=BD。

在△FCB与△DCB中,∠XXX∠DBC,BC=BC,因此△FCB≌△DCB(SAS),所以CF=CD。

结论得证。

2.以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形已知在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2,需要证明XXX。

解析:在AB上截取AE=AC,连接CE,作角ACE的平分线交AB于D,连接CD。

因为∠C=2∠B,所以∠ACE=∠XXX∠B,∠XXX∠A=∠1=∠2,所以△AED≌△ACD (SAS),因此ED=CD。

浅谈初中平面几何常见添加辅助线的方法

浅谈初中平面几何常见添加辅助线的方法

浅谈初中平面几何常见添加辅助线的方法一、 过分点添平行线相似形是初中数学的重要内容,由于近年来各地的中考试题向重视学生能力方面快速倾斜,我们在学习相似形内容时,不仅需要掌握相似形的一些基本概念、性质和基本题形,还需要灵活运用所学相似形的基本知识进行补充、延伸、拓宽。

这里,笔者通过大量的习题研究证明一些线段成比例的题型中,发现了过分点添平行线的一种比较好的添线方法,现说明如下:在证明一些线段成比例的题型中,若图形中未出现相似三角形中的基本题型:A 字型与X 型,通常需要通过找一些分点添平行线去构造这些基本题型。

而且找分点还是有规律可循。

通常可把条件中出现的已知比例或分点的线段和结论中所要证明的线段所在的直线称为热线,把几条热线的交点称为热点。

那么过分点添平行线即可实际操作为过热点添热线的平行线。

以下举一道例题加以说明:例:点D 是三角形ABC 边AC 上的中点,过D 的直线交AB 于点E ,交BC 的延长线于点F ,求证:。

BFCF EB AE = 分析:条件中出现已知中点的线段是AC 、结论中有关的线段落在AB 和BF 上,所以本题中的热线为AC 、AB 和BF ,这三条线段的交点分别为A 点、B 点和C 点,此三点即为三个热点。

所以本题的证明方法主要有三种。

解法一:过热点A 作热线BF 的平行线,交FE 的延长线于点G ,那么就有。

BFAG EB AE = 只要证得AG=CF 即可。

证明:过点A 作BF 的平行线,交FE 的延长线于点G 。

∵AG ∥BF ∴BF AG EB AE = DCAD CF AG = 又 ∵D 为AC 的中点,∴AD=DC∴AG=CF ∴BFCF EB AE = 解法二:过热点B 作热线AC 的平行线,交FE 的延长线于点H ,那么就有BH AD EB AE =及BHDC BF CF =,只要证得AD=CD ,本题即可得证。

解法三:过热点作C 热线AB 的平行线,交FE 的延长线于点H ,那么就有BFCF EB CH =,只要证得CH=AE ,本题即可得证。

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平面几何辅助线添加技法总结与例题详解一.添辅助线有二种情况:1按定义添辅助线:如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形,因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线,添辅助线也有规律可循。

举例如下:(1)平行线是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线(2)等腰三角形是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。

出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

(4)直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。

出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

(5)三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线,当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点,则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

(6)全等三角形:全等三角形有轴对称形,中心对称形,旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形:或添对称轴,或将三角形沿对称轴翻转。

当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明,添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线(7)相似三角形:相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形),相交线型,旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。

若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向,这类题目中往往有多种浅线方法。

(8)特殊角直角三角形当出现30,45,60,135,150度特殊角时可添加特殊角直角三角形,利用45角直角三角形三边比为1:1:√2;30度角直角三角形三边比为1:2:√3进行证明(9)半圆上的圆周角出现直径与半圆上的点,添90度的圆周角;出现90度的圆周角则添它所对弦---直径;平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧,瓦,水泥,石灰,木等组成一样。

二.基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法方法1:有关三角形中线的题目,常将中线加倍。

含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题。

方法2:含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角形,从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3:结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理。

方法4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下:(1)连对角线或平移对角线:(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形(3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形。

(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。

它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。

辅助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线有:(1)在梯形内部平移一腰。

(2)梯形外平移一腰(3)梯形内平移两腰(4)延长两腰(5)过梯形上底的两端点向下底作高(6)平移对角线(7)连接梯形一顶点及一腰的中点。

(8)过一腰的中点作另一腰的平行线。

(9)作中位线当然在梯形的有关证明和计算中,添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。

通过辅助线这座桥梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键。

4.圆中常用辅助线的添法在平面几何中,解决与圆有关的问题时,常常需要添加适当的辅助线,架起题设和结论间的桥梁,从而使问题化难为易,顺其自然地得到解决,因此,灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法,对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

(1)见弦作弦心距有关弦的问题,常作其弦心距(有时还须作出相应的半径),通过垂径平分定理,来沟通题设与结论间的联系。

(2)见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用"直径所对的圆周角是直角"这一特征来证明问题。

(3)见切线作半径命题的条件中含有圆的切线,往往是连结过切点的半径,利用"切线与半径垂直"这一性质来证明问题。

(4)两圆相切作公切线对两圆相切的问题,一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线,通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

(5)两圆相交作公共弦对两圆相交的问题,通常是作出公共弦,通过公共弦既可把两圆的弦联系起来,又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。

作辅助线的方法一:中点、中位线,延线,平行线。

如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到应用某个定理或造成全等的目的。

二:垂线、分角线,翻转全等连。

如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其他条件,而旋转180度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生。

其对称轴往往是垂线或角的平分线。

三:边边若相等,旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。

其对称中心,因题而异,有时没有中心。

故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:造角、平、相似,和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和差积商,往往与相似形有关。

在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法:第一,造一个辅助角等于已知角;第二,是把三角形中的某一线段进行平移。

故作歌诀:“造角、平、相似,和差积商见。

”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表)五:两圆若相交,连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦。

六:两圆相切、离,连心,公切线。

如条件中出现两圆相切(外切,内切),或相离(内含、外离),那么,辅助线往往是连心线或内外公切线。

七:切线连直径,直角与半圆。

如果条件中出现圆的切线,那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角;相反,条件中是圆的直径,半径,那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。

即切线与直径互为辅助线。

如果条件中有直角三角形,那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆,或半圆;相反,条件中有半圆,那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。

即直角与半圆互为辅助线。

八:弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。

如遇弧,则弧上的弦是辅助线;如遇弦,则弦心距为辅助线。

如遇平行线,则平行线间的距离相等,距离为辅助线;反之,亦成立。

如遇平行弦,则平行线间的距离相等,所夹的弦亦相等,距离和所夹的弦都可视为辅助线,反之,亦成立。

有时,圆周角,弦切角,圆心角,圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。

九:面积找底高,多边变三边。

如遇求面积,(在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积),往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键。

如遇多边形,想法割补成三角形;反之,亦成立。

另外,我国明清数学家用面积证明勾股定理,其辅助线的做法,即“割补”有二百多种,大多数为“面积找底高,多边变三边”。

三角形中作辅助线的常用方法举例一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时,若直接证不出来,可连接两点或延长某边构成三角形,使结论中出现的线段在一个或几个三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如:证明:(法一)将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N , 在△AMN 中,AM +AN > MD +DE +NE;(1) 在△BDM 中,MB +MD >BD ; (2) 在△CEN 中,CN +NE >CE ; (3) 由(1)+(2)+(3)得:AM +AN +MB +MD +CN +NE >MD +DE +NE +BD +CE ∴AB +AC >BD +DE +EC(法二:)如图1-2, 延长BD 交 AC 于F ,延长CE 交BF 于G ,ABCDEN M 11-图ABCDEF G21-图在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有:AB +AF > BD +DG +GF (三角形两边之和大于第三边)(1) GF +FC >GE +CE (同上)………………………………(2) DG +GE >DE (同上)……………………………………(3) 由(1)+(2)+(3)得:AB +AF +GF +FC +DG +GE >BD +DG +GF +GE +CE +DE ∴AB +AC >BD +DE +EC 。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的位置上,小角处于这个三角形的内角位置上,再利用外角定理:三角形,使∠BDC 处于在外角的位置,∠BAC 处于在内角的位置;证法一:延长BD 交AC 于点E ,这时∠BDC 是△EDC 的外角, ∴∠BDC >∠DEC ,同理∠DEC >∠BAC ,∴∠BDC >∠BAC 证法二:连接AD ,并延长交BC 于F ∵∠BDF 是△ABD 的外角∴∠BDF >∠BAD ,同理,∠CDF >∠CAD ∴∠BDF +∠CDF >∠BAD +∠CAD 即:∠BDC >∠BAC 。

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