控制系统的稳定性分析
控制系统的稳定性分析
自动控制原理
其中系数 b1 , b2 , b3 等;根据
下列公式计算：
b1
a1a 2 a 0a 3 a1
b2
a1a 4 a 0a 5 a1
b3
a1a 6 a 0a 7 a1
同样的方法可以计算c;d;e等各行的系数
自动控制原理
注意:
在展开的阵列中;为简化其后的数值计算;可用一个正整数去除 或乘某一个整行;并不影响稳定性结论; 劳斯判据还说明：方程式5 4中;其正实部特征根数;等于劳斯阵列中第一列的系数改变的次数;
自动控制原理
从乃氏图上看;Gjw不包围1;j0点
G ( jw ) 1
稳定
G ( jw )
G ( jw )
不稳定
自动控制原理
2 若开环系统不稳定;有p个零点在右半平面;q的零点在原点;npq个 零点在左半平面 则
argD K(jw)(n2pq)2
如果闭环是稳定的;则
argDb(jw)n 2
故
a r g 1 G (jw ) n ( n 2 p q ) p q
F是新引进的函数;其分母是系统开环特征多项式;分子是闭环特征多 项式;
对于非单位反馈系统;开环传递函数为
GsG' sHsM DK Kss
自动控制原理
2 乃奎斯特队稳定判据 1 若开环是稳定的;则根据米哈依洛夫定理
argDk
jwn
2
如果闭环系统稳定;有
于是
argDb
jwn
2
arg1G (jw )0o
0
0
a n1 0
0
an2 an
自动控制原理
系统稳定的充要条件是：主行列式
式 1,2, n1 ;均大于零;即
第五章_控制系统的稳定性分析
, c2
b1a5 a1b3 b1
, c3
b1a7 a1b4 b1
f1
e1d 2
e1
d1e2
这样可求得n+1行系数
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这种过程需一直进行到第n行被算完为止，系数 的完整阵列呈现一个倒三角形。
注意：
为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个 行，并不改变稳定性结论。
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劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符 号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体 分布，过程如下：
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5.3.4劳斯-赫尔维茨稳定性判据的应用
判定控制系统的稳定性
[例5-7] 系统的特征方程为：s4 2s3 3s2 4s 5 0 ，判断系统的稳定性。
[解]：排列劳斯阵如下：
s4 1 3 5 s3 2 4 0
因阵第为一，a列i 不0全, (为i 正0，~所4)以，，且系劳统斯
不稳定。
8
0
3
j 2 , j2
S0
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显然这个系统处于临界稳定状态。
22
5.3.2 劳斯判据的应用
稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布 情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系 统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表 明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。但能判断 是否所有特征根都落在虚轴的左半平面.若用S=Z-1带 入特征方程中,求出的根的实部即为特征根距S=-1垂线 的距离.可判断稳定程度.
s2 1 5 0 由于劳斯阵第一列有两次符号变
2
如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原 来的平衡状态，并随时间的推移而发散。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
控制系统的稳定性分析
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4.3 李雅普诺夫判稳第一方法
李氏第一法判稳思路： （间接法）
1、线性定常系统－特征值判断
2、非线性系统－首先线性化，然后用线性化
系统的特征值判断
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二、线性定常系统
外部稳定性判据：
线性定常连续系统的传递函数是 W( s ) C ( sI - A)-1 B ，当且仅 当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否 则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周 期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。
Im
图解表示：
稳 定 区
内部稳定性判据：
临 界 稳 定
S平面 不 Re 稳 定 区
线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特 征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的 根全部位于s平面的左半部。
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[例4-6] 设系统方程为： x & 0
- 2 6 + - x u, 1 1 1
y 0 1]x
试确定其外部稳定性、内部稳定性。
[解 ] （1）系统的传递函数为：
- 6 - 2 s ( s - 2) 1 -1 ] 0 1 W( s ) C ( sI A) B 1 s + 1 1 ( s - 2)( s + 3) ( s + 3)
6
二、状态向量范数
符号
称为向量的范数， x -
xe
为状态向量
端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为 “状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式 为： x - xe ( x1 - xe1 ) 2 + ( x2 - xe 2 ) 2 + L + ( xn - xen ) 2
控制系统的稳定性分析与稳定裕度设计
控制系统的稳定性分析与稳定裕度设计控制系统的稳定性是指系统在受到外界干扰或参数变化时，是否能保持输出的稳定性和可控性。
稳定性分析与稳定裕度设计是控制系统设计与优化中非常重要的环节。
本文将介绍控制系统的稳定性分析方法和稳定裕度设计的原则与方法。
一、稳定性分析方法在控制系统中，稳定性分析的目的是确定系统的稳定性边界，也就是确定系统参数的取值范围，使系统保持稳定。
常用的稳定性分析方法有两种：频域方法和时域方法。
1. 频域方法频域方法一般基于系统的传递函数进行分析，常用的工具有Bode图和Nyquist图。
Bode图可以直观地表示系统的幅频特性和相频特性，通过分析Bode图可以确定系统的相角裕度和幅值裕度，从而判断系统的稳定性。
Nyquist图则是通过绘制系统的频率响应曲线来判断系统的稳定性。
2. 时域方法时域方法主要根据系统的差分方程进行分析，常用的工具有阶跃响应和脉冲响应。
通过分析系统的阶跃响应曲线和脉冲响应曲线，可以得出系统的超调量、调节时间和稳态误差等指标，从而判断系统的稳定性。
二、稳定裕度设计原则与方法稳定裕度是指系统在满足稳定性的前提下，能够容忍一定幅度的参数变化或干扰。
稳定裕度设计可以提高系统的鲁棒性和可靠性，常用的稳定裕度设计原则和方法有以下几点：1. 相角裕度设计相角裕度是指系统在开环传递函数的相角曲线与-180度线之间的角度差。
通常情况下，相角裕度越大表示系统的稳定性越好。
为了增加相角裕度，可以通过增大系统的增益或者增加相位补偿器的相位裕度。
2. 幅值裕度设计幅值裕度是指系统在开环传递函数的幅度曲线与0dB线之间的距离。
幅值裕度越大表示系统对参数变化和干扰的鲁棒性越好。
为了增加幅值裕度，可以通过增大系统的增益或者增加幅值补偿器的增益。
3. 稳定裕度的频率特性设计系统的稳定裕度也与频率有关，不同频率下的稳定裕度可能存在差异。
因此，需要根据系统的工作频率范围来设计稳定裕度。
在系统的工作频率范围内，要保证系统的相角裕度和幅值裕度都能满足要求。
第五章 控制系统的稳定性分析
控制工程基础
第五章 稳定性分析
3、曲线Ls、Lf的形状对于N、p、z的数值没 有影响，即Lf绕原点的圈数N仅取决于Ls所包 含F(s)的零极点数，而与Ls的形状无关，Ls、 Lf也称为奈奎斯特轨迹。
控制工程基础
第五章 稳定性分析
三、Nyquist稳定判据
1、[s]平面上Ls的选择 [s]平面上L 平面上 正半平面的无穷大半圆 。若在虚轴上有 奇点，则用无穷小半圆绕开。
an−1an−4 − an an−5 A2 = an−1
⋮
A1an−3 − an−1 A2 B1 = A1
A1an−5 − an−1 A3 B2 = A1⋮控 Nhomakorabea工程基础
第五章 稳定性分析
(3)若劳斯计算表中，第一列各元素的符号都 相同，系统是稳定；若第一列各无符号不同， 则系统是不稳定的，其各符号依序改变的次数， 等于正实部特征根的个数。 系统稳定的充要条件： 系统稳定的充要条件： Routh表中第一列各元素的符号均为正且 Routh 表中第一列各元素的符号均为正且 值不零。 值不零。
将系统特性由复域引入频域来分析，即通 过开环 GK ( jw) 的Nyquist图，利用图解法来判 闭环系统的稳定性的，又称作几何判据。
控制工程基础
第五章 稳定性分析
优点：
1、由开环传递函数来求解闭环系统的稳定性， 避开了求解特征方程根的繁锁工作； 2、当系统的传递函数无法用分析法列写时， 可以通过实验来获得这些环节的频率特性曲 线来判断系统的稳定性。 3、奈奎斯特判据不仅能告诉绝对稳定性，还 能告诉系统相对稳定性，以及提高稳定性的 途径；
P1
F(s1)
o
o
Z1
o
σ
σ
控制系统的稳定性分析
控制系统的稳定性分析简介控制系统的稳定性是指系统在受到干扰时，能够保持从初始状态返回到稳定的平衡状态的能力。
稳定性是控制系统设计和分析的重要指标之一，对于确保系统正常运行具有重要意义。
在本文档中，我们将探讨控制系统的稳定性分析方法。
稳定性概念在控制系统中，稳定性可以分为两种类型：绝对稳定和相对稳定。
1.绝对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到初始的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是绝对稳定的。
2.相对稳定：当系统在受到干扰后能够恢复到新的平衡状态并保持在该状态时，我们称系统是相对稳定的。
稳定性分析方法为了评估控制系统的稳定性，我们通常使用以下几种分析方法：1. 传递函数分析传递函数分析是一种常用的稳定性分析方法，它通过将控制系统转化为传递函数的形式，进行频域和时域的分析。
在频域分析中，我们可以使用频率响应函数（Bode图）来评估系统的稳定性。
Bode图由幅度曲线和相位曲线组成，通过分析这两个曲线可以判断系统是否稳定。
在时域分析中，我们可以使用单位斯蒂文斯响应函数来评估系统的稳定性。
单位斯蒂文斯响应函数是指控制系统对于单位阶跃输入的响应。
2. 决策稳定性分析决策稳定性分析方法是一种直观的稳定性评估方法，它通过观察控制系统的反馈回路来判断系统的稳定性。
如果控制系统的反馈回路中存在零点或极点位于右半平面，则系统将是不稳定的。
另外，如果控制系统的相位裕度和增益裕度分别小于零和一，则系统也将是不稳定的。
3. 根轨迹分析根轨迹分析是一种图形化的稳定性分析方法，它通过绘制系统传递函数的根轨迹来评估系统的稳定性。
根轨迹是表示系统极点随控制参数变化的轨迹图，它可以直观地显示系统的稳定性和响应特性。
如果根轨迹上的所有极点都位于左半平面，则系统是稳定的。
4. Nyquist稳定性判据Nyquist稳定性判据是一种基于频域分析的稳定性判据，它利用开放式系统的频率响应来评估系统的稳定性。
Nyquist稳定性判据通过绘制控制系统的开环频率响应曲线，并计算曲线绕原点的圈数来判断系统是否稳定。
控制系统中的稳定性分析
控制系统中的稳定性分析控制系统是现代工业生产中不可或缺的一部分，它可以通过传感器采集实时数据、通过控制器对数据进行处理，进而控制被控对象的运动或状态，达到控制目的。
在控制系统中，稳定性是最基本也是最重要的性能之一，而稳定性分析是控制系统的重要组成部分。
本文将围绕控制系统中的稳定性分析进行阐述。
一、稳定性的定义稳定性是指该系统在输入外部干扰或扰动的影响下，输出的运动状态是否始终保持在某一范围内，没有出现震荡或失稳的现象。
稳定性是控制系统的最基本的性能之一，是控制系统能否正常工作的基础。
二、控制系统中的稳定性类型根据控制系统的输出，控制系统的稳定性被分为两个主要类型：渐进稳定和瞬态稳定。
1. 渐进稳定渐进稳定是指控制系统在受到外界扰动后输出逐渐趋于稳定的情况。
在控制系统中，一个标准的渐进稳定系统应该满足以下三个条件：（1）系统输出必须有界；（2）当外界干扰为零时系统输出应该收敛于一个固定的值；（3）系统必须不具有周期性行为。
2. 瞬态稳定瞬态稳定是指控制系统在受到外界干扰后，输出通过系统自身调节能够在短时间内恢复到初始状态。
对于瞬态稳定的控制系统，在外界扰动干扰之后，系统应该在一定的时间范围内就能够恢复到稳态，并不受外界扰动的影响。
三、稳定性分析方法1. 时域分析法时域方法是根据系统传递函数展开的分析方法，它可以通过对系统传递函数进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
时域方法的主要思路是，将系统的传递函数加上一个扰动，观察系统的反应，并根据系统的反应进行分析。
2. 频域分析法频域方法是根据系统的频率特性展开的分析方法，它可以通过对系统在不同频率下的响应进行分析，从而得出系统的稳定性状态。
频域方法的核心思想是，根据系统的传递函数得到其频率响应，然后通过求解系统的幅频特性曲线和相频特性曲线，来判断系统的稳定性情况。
四、稳定性分析技术1. 极点分析法极点分析法是一种基于控制理论的分析方法，它可以将系统的传递函数分解为多个一次项的乘积，然后分析每个一次项的为稳定极点，找出系统的稳定性状况。
控制系统的稳定性分析与设计
控制系统的稳定性分析与设计控制系统的稳定性是控制工程中最为重要的一个参数之一。
一个稳定的控制系统能够使得系统在经过一定的时间后回到原点，而不会发生不可控的偏差，从而保证控制效果的稳定性和可靠性。
本文将从系统稳定性的原理和方法、设计方法及案例等方面探讨控制系统的稳定性分析与设计。
一、系统稳定性的原理和方法1. 系统稳定性的定义系统稳定性指的是系统在外界干扰或参数变化的作用下，回应输出信号与输入信号之间的关系是否稳定。
即在一定时间内，控制系统确保输出值能够跟随输入值的变化，而不会发生不可控的震荡或失控的情况。
2. 系统稳定性的判据良好的系统稳定性需要满足以下条件：（1）经过一定时间后，系统从任何初始状态转移到平衡状态；（2）平衡状态具有稳定性，即系统在发生一定幅度的干扰时，需要在一定时间内回复到原平衡状态；（3）平衡状态的稳定性受到系统参数变化、外界环境变化等多种因素的影响，但是通过合理的调节和控制，使得系统在变化后仍能保持稳定。
3. 系统稳定性的分析方法（1）指标法：它是利用特定的指标量来描述系统的稳定状态，比如阻尼系数、频率响应等。
（2）相关函数法：它是利用系统的特性函数或者频率响应函数来描述系统的稳定性。
（3）传递函数法：传递函数描述输入信号与输出信号之间的关系，可以通过传递函数的特性分析系统的稳定性。
（4）极点分布法：分析系统的极点分布情况，确定系统的极点位置以及极点位置对系统稳定性的影响。
二、控制系统的稳定性设计方法1. PID控制器的设计方法PID控制器是目前使用最为广泛的控制器，它可以通过调节比例系数、积分系数和微分系数来达到控制系统的稳定性。
在进行PID控制器的设计时，需要进行以下步骤：（1）确定控制系统的传递函数；（2）确定控制系统的目标响应曲线；（3）通过目标响应曲线和传递函数设计出PID控制器；（4）进行仿真或实验验证控制系统的稳定性。
2. 模糊控制器的设计方法模糊控制器是一种基于模糊推理的控制器，它可以通过调节模糊逻辑的输入变量和输出变量来达到不同的控制效果。
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精品
实验题目控制系统的稳定性分析
一、实验目的
1．观察系统的不稳定现象。
2．研究系统开环增益和时间常数对稳定性的影响。
二、实验仪器
1．EL-AT-II型自动控制系统实验箱一台
2．计算机一台
三、系统模拟电路图
系统模拟电路图如图3-1
图3-1 系统模拟电路图R3=0～500K； C=1μf或C=0.1μf两种情况。
四、实验报告
1．根据所示模拟电路图，求出系统的传递函数表达式。
G(S)=
K=R3/100K,T=CuF/10
2．绘制EWB图和Simulink仿真图。
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3．根据表中数据绘制响应曲线。
4．计算系统的临界放大系数，确定此时R3的值，并记录响应曲线。
系统响应曲线
实验曲线Matlab （或EWB）仿真
R3=100K
= C=1UF
临界
稳定
（理论值
R3=
200K）
C=1UF
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临界
稳定
（实测值
R3=
220K）
C=1UF
R3
=100K
C=
0.1UF
精品
临界
稳定
（理论
值R3=
1100
K）
C=0.1UF
临界稳定
（实测值
R3=
1110K ）
C=
0.1UF
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实验和仿真结果
1．根据表格中所给数据分别进行实验箱、EWB或Simulink实验，并进行实验曲线对比，分析实验箱的实验曲线与仿真曲线差异的原因。
对比：
实验曲线中R3取实验值时更接近等幅振荡，而MATLAB仿真时R3取理论值更接近等幅振荡。
原因：
MATLAB仿真没有误差，而实验时存在误差。
2．通过实验箱测定系统临界稳定增益，并与理论值及其仿真结果进行比较（1）当C=1uf，R3=200K(理论值)时，临界稳态增益K=2，
当C=1uf，R3=220K(实验值)时，临界稳态增益K=2.2，与理论值相近（2）当C=0.1uf，R3=1100K(理论值)时，临界稳态增益K=11
当C=0.1uf，R3=1110K(实验值)时，临界稳态增益K=11.1，与理论值相近
四、实验总结与思考
1．实验中出现的问题及解决办法
问题：系统传递函数曲线出现截止失真。
解决方法：调节R3。
2．本次实验的不足与改进
遇到问题时，没有冷静分析。
考虑问题不够全面，只想到是实验箱线路的问题，而只是分模块连接电路。
改进：在实验老师的指导下，我们发现是R3的取值出现了问题，并及时解决，后续问题能够做到举一反三。
3．本次实验的体会
遇到问题时应该冷静下来，全面地分析问题。
遇到无法独立解决的问题，要及时请教老师，
精品把问题弄懂。
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