二元一次方程组与一元一次不等式综合拓展
二元一次方程组与一元一次不等式组经典应用题
二元一次方程组及一元一次不等式(组）应用题1.某商店准备购进甲、乙两种商品，已知甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元。
（1）若该商品同时购进甲、乙两种商品共100件，恰好用去2700元，求购进的甲、乙两种商品各多少件？（2）若该商品准备用不超过3100元购进甲、乙两种商品共100件，且这两种商品全部售出后获利不少于890元，问应该怎样进货，才能使总利润最大，最大利润为多少？2.同庆中学为丰富学生的校园生活，准备从军跃体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买3个足球和2个篮球共需310 元，购买2个足球和5个篮球共需500元．（1）购买一个足球、一个篮球各需多少元？（2）根据同庆中学的实际情况，需从军跃体育用品商店一次性购买足球和篮球共96个，推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：租金（单位：元/台•时）挖掘土石方量（单位：m3/台•时）甲型挖掘机100 60乙型挖掘机120 80（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？（2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？4.某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑，经投标，购买1 块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需80000元．（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的总费用不超过元，并购买笔记本电脑的台数不超过购买电子白板数量的3倍，该校有哪几种购买方案？5.某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，，且购4套A型和6套B型课桌凳共需1820元。
二元一次方程组与一元一次不等式的应用题
1 某中学响应“阳光体育”活动的号召，准备从体育用品商店购买一些排球、足球和篮球，排球和足球的单价相同，同一种球的单价相同.若购买2个足球和3个篮球共需340元；购买4个排球和5个篮球共需600元.（1）求购买一个足球、一个篮球分别需要多少元？（2）该中学根据实际情况，需从该体育用品商店一次性购买三种球共100个，且购买三种球的总费用不超过6000元，求这所中学最多可以购买多少个篮球？ 答案：解（1）设购买一个足球需要x 元，购买一个篮球需要y 元 根据题意，得2334045600x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组得：5080x y =⎧⎨=⎩答：购买一个足球需要50元，购买一个篮球需要80元（2）设该中学购买篮球m 个根据题意，得8050(100)6000m m +-≤ 解这个一元一次不等式得：1333m ≤m 是整数33m ∴≤（或m 的最大整数解是33）答：这所中学最多可以购买33个篮球。
2.近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注，某学校计划在教室内安装空气净化装置，需购进A 、B 两种设备，已知：购买1台A 种设备和2台B 种设备需要3.5万元；购买2台A 种设备和1台B 种设备需要2.5万元． （1）求每台A 种、B 种设备各多少万元？（2）根据学校实际，需购进A 种和B 种设备共30台，总费用不超过30万元，请你通过计 解：（1）设每台A 种、B 种设备各x 万元、y 万元，根据题意得出：，解得：，答：每台A 种、B 种设备各0.5万元、1.5万元；（2）设购买A 种设备z 台，根据题意得出： 0.5z+1.5（30﹣z ）≤30， 解得：z≥15，答：至少购买A 种设备15台．3．暑期临近，本溪某旅行社准备组织“亲子一家游”活动，去我省沿海城市旅游，报名的人数共有69人，其中成人的人数比儿童人数的2倍少3人．（1）旅游团中成人和儿童各有多少人？（2）旅行社为了吸引游客，打算给游客准备一件T恤衫，成人T恤衫每购买10件赠送1件儿童T恤衫（不足10件不赠送），儿童T恤衫每件15元，旅行社购买服装的费用不超过1200元，请问每件成人T恤衫的价格最高是多少元？4某校九年级有三个班，其中九年一班和九年二班共有105名学生，在期末体育测试中，这两个班级共有79名学生满分，其中九年一班的满分率为70％，九年二班的满分率为80％. （1）求九年一班和九年二班各有多少名学生.（2）该校九年三班有45名学生，若九年级体育成绩的总满分率超过75％，求九年三班至少有多少名学生体育成绩是满分.5．学校准备购进一批篮球和足球，买1个篮球和2个足球共需170元，买2个篮球和1个足球共需190元．（1）求一个篮球和一个足球的售价各是多少元？（2）学校欲购进篮球和足球共100个，且足球数量不多于篮球数量的2倍，求出最多购买足球多少个？6.某校在开展“校园献爱心”活动中，准备向南部山区学校捐赠男女两种款式的书包。
七年级数学下册题型突破提高类型十一 一元一次不等式组与二元一次方程组结合求解
类型十一、一元一次不等式组与二元一次方程组结合求解【解惑】已知关于x y 、的二元一次方程组22124x y m x y m +=-⎧⎨+=+⎩的解满足24x y x y +>⎧⎨-<⎩，则m 的取值范围是 __．方法：1.由已知方程组得出1x y m +=+且5x y m -=-；2.根据24x y x y +>⎧⎨-<⎩得出关于m 的不等式组，解之即可得出答案．【融会贯通】1．若x ，y 满足方程3y x -=和不等式组1414x y y +>⎧⎪⎨-≥-⎪⎩，则x 的范围是（ ）A ．15x -<≤B ．5x ≥C ．11x -<≤D ．1x ≥2．若关于x 的不等式组1131()02x x x a -⎧-<⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩有解，且最多有3个整数解，且关于y 、z 的方程组12224y z ay z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解为整数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．9B ．6C ．-2D ．-13．若关于x 、y 的方程组2432x y k x y k +=+⎧⎨+=-⎩满足12x y <+<，则k 的取值范围是______．【知不足】1．如果整数m 使得关于x 的不等式组0443x m x x ->⎧⎪-⎨-≥-⎪⎩有解，且使得关于x ，y 的二元一次方程组521mx y x y +=⎧⎨+=⎩的解为整数（x ，y 均为整数），则符合条件的所有整数m 的个数为（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．已知关于x 、y 的方程组31230ax y x y +=⎧⎨-=⎩的解为整数，且关于x 的不等式组2(1)534x x x a +<+⎧⎨>-⎩有且仅有5个整数解，则所有满足条件的整数a 的和为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣8D ．﹣63．若关于x ，y 的二元一次方程组24524x y m x y m +=-+⎧⎨+=+⎩的解满足68x y x y ->-⎧⎨+<⎩，求m 的取值范围______．4．已知关于x y 、的二元一次方程组325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩的解满足x y >，且关于x 的不等式组212213147x a x +<⎧⎪-⎨≥⎪⎩无解，那么所有符合条件的整数a 的个数为________．【一览众山小】1．已知关于x 、y 的二元一次方程组31234x y a x y a +=-⎧⎨-=+⎩的解满足x y ≥，且关于x 的不等式组212213105x ax +>⎧⎪-⎨≤⎪⎩有解，那么所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个2．整数m 满足关于x ，y 的二元一次方程组214x y m x y m +=⎧⎨-=-⎩的解是正整数，且关于x 的不等式组54028x m x ->⎧⎨+≤⎩有且仅有2个整数解，则m 的值为______．3．关于x 、y 的二元一次方程组21222x y m x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足不等式组81x y x y -<⎧⎨+>⎩，求m 的取值范围．4．（1）利用数轴，确定不等式组的解集：273(1)15(4)2x x x x -<-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩①②．（2）若关于x ，y 的二元一次方程组：23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足232x y x y ⎧+>-⎪⎨⎪-<⎩，求m 的整数值． 5．已知关于x 、y 的方程组213252x y k x y k +=+⎧⎨-=-⎩的解满足5035x y x y ->⎧⎨-+≥-⎩，求整数k 的值．【温故为师】1．已知关于x 、y 的二元一次方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足x y ≥，且关于s 的不等式组731a s s -⎧>⎪⎨⎪≤⎩恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．若整数a 使关于x 的不等式组125262x x x a ++⎧≤⎪⎨⎪->⎩至少有4个整数解，且使关于x ，y 的方程组206ax y x y +=⎧⎨+=⎩的解为正整数，那么所有满足条件的整数a 的值的和是( )． A ．－3B ．－4C ．－10D ．－143．已知关于x ，y 的二元一次方程组21222x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足不等式组81x y x y -<⎧⎨+>⎩．(1)试求出m 的取值范围；(2)在m 的取值范围内，当m 为何整数时，不等式2x ﹣mx ＜2﹣m 的解集为x ＞1． 4．点(),P x y 满足525744x y ax y a+=⎧⎨+=⎩．（1）当1a =时，求P 点的坐标；（2）点(),P x y 的坐标满足不等式组259x y x y +<⎧⎨->-⎩，求出整数a 的所有值之和．5．已知关于x 、y 的方程组212x y x y m +=⎧⎨-=⎩的解都小于1，若关于a 的不等式组1215231a n a ⎧+≥⎪⎨⎪-≥⎩恰好有三个整数解．（1）分别求出m 与n 的取值范围； （2）化简：|m +3|（52n +﹣n +2）÷32nn++|． 6．当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．（1）解关于x ，y 的二元一次方程组33522x y ax y a +=⎧⎨+=⎩，（2）若关于x ，y 的二元一次方程组：33522x y ax y a+=⎧⎨+=⎩的解满足不等式组246x y x y +<⎧⎨->-⎩，求出整数a 的所有值．7．已知a 是不等式组()5131131722a a a a⎧->+⎪⎨-<-⎪⎩的整数解，x ，y 满足方程组27234ax y x y -=-⎧⎨+=⎩，求(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)的值． 8．我们把关于x 的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；①240 523xx-=⎧⎨-⎩＜；②5323233124x xx x--⎧=-⎪⎪⎨+-⎪-⎪⎩＜．（2）若关于x的组合515032xx aa+=⎧⎪⎨-⎪⎩＞是“有缘组合”，求a的取值范围；（3）若关于x的组合5323212a xx ax ax a-⎧-=-⎪⎪⎨-⎪+≤+⎪⎩是“无缘组合”；求a的取值范围．答案与解析【融会贯通】1．若x ，y 满足方程3y x -=和不等式组1414x y y +>⎧⎪⎨-≥-⎪⎩，则x 的范围是（ ）A ．15x -<≤B ．5x ≥C ．11x -<≤D ．1x ≥2．若关于x 的不等式组1131()02x x x a -⎧-<⎪⎪⎨⎪--≤⎪⎩有解，且最多有3个整数解，且关于y 、z 的方程组12224y z ay z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解为整数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ） A ．9B ．6C ．-2D ．-13．若关于x 、y 的方程组2432x y k x y k +=+⎧⎨+=-⎩满足12x y <+<，则k 的取值范围是______．【答案】01k <<【详解】解：2432x y k x y k +=+⎧⎨+=-⎩①②用①+②得： 3333x y k +=+，∴1x y k +=+，∵12x y <+<，∴112k <+<，∴01k <<，【知不足】1．如果整数m 使得关于x 的不等式组0443x m x x ->⎧⎪-⎨-≥-⎪⎩有解，且使得关于x ，y 的二元一次方程组521mx y x y +=⎧⎨+=⎩的解为整数（x ，y 均为整数），则符合条件的所有整数m 的个数为（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．已知关于x 、y 的方程组31230ax y x y +=⎧⎨-=⎩的解为整数，且关于x 的不等式组2(1)534x x x a +<+⎧⎨>-⎩有且仅有5个整数解，则所有满足条件的整数a 的和为（） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣8D ．﹣63．若关于x ，y 的二元一次方程组24524x y m x y m +=-+⎧⎨+=+⎩的解满足68x y x y ->-⎧⎨+<⎩，求m 的取值范围______．4．已知关于x y 、的二元一次方程组325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩的解满足x y >，且关于x 的不等式组212213147x ax +<⎧⎪-⎨≥⎪⎩无解，那么所有符合条件的整数a 的个数为________．【一览众山小】1．已知关于x 、y 的二元一次方程组31234x y a x y a +=-⎧⎨-=+⎩的解满足x y ≥，且关于x 的不等式组212213105x ax +>⎧⎪-⎨≤⎪⎩有解，那么所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个．x y ≥，∴12-，不等式2．整数m 满足关于x ，y 的二元一次方程组214x y m x y m +=⎧⎨-=-⎩的解是正整数，且关于x 的不等式组54028x m x ->⎧⎨+≤⎩有且仅有2个整数解，则m 的值为______．x ，y 是正整数，解不等式6有且仅有4m 252125m 是整数3．关于x 、y 的二元一次方程组21222x y m x y +=+⎧⎨+=⎩的解满足不等式组81x y x y -<⎧⎨+>⎩，求m 的取值范围．4．（1）利用数轴，确定不等式组的解集：273(1)15(4)2x x x x -<-⎧⎪⎨-+≥⎪⎩①②．（2）若关于x ，y 的二元一次方程组：23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足232x y x y ⎧+>-⎪⎨⎪-<⎩，求m 的整数值． ∴不等式组的解集是42x -<≤．5．已知关于x 、y 的方程组213252x y k x y k +=+⎧⎨-=-⎩的解满足5035x y x y ->⎧⎨-+≥-⎩，求整数k 的值．【答案】整数k 的值为1、2．【详解】解：213252x y k x y k +=+⎧⎨-=-⎩①②，①＋②得：5x −y ＝6k −1，①－②得：−x ＋3y ＝−4k ＋3，∵关于x 、y 的方程组213252x y k x y k +=+⎧⎨-=-⎩的解满足5035x y x y ->⎧⎨-+≥-⎩，6【温故为师】1．已知关于x 、y 的二元一次方程组32121399x y a x y a +=--⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解满足x y ≥，且关于s 的不等式组731a s s -⎧>⎪⎨⎪≤⎩恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a 的个数为（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．若整数a 使关于x 的不等式组125262x x x a ++⎧≤⎪⎨⎪->⎩至少有4个整数解，且使关于x ，y 的方程组206ax y x y +=⎧⎨+=⎩的解为正整数，那么所有满足条件的整数a 的值的和是( )． A ．－3B ．－4C ．－10D ．－141256x a +>，22x x a >+，由不等式组至少有206ax y y +=+=又关于20ax y +=3．已知关于x ，y 的二元一次方程组21222x y m x y m +=+⎧⎨+=-⎩的解满足不等式组81x y x y -<⎧⎨+>⎩．(1)试求出m 的取值范围；(2)在m 的取值范围内，当m 为何整数时，不等式2x ﹣mx ＜2﹣m 的解集为x ＞1．4．点(),P x y 满足525744x y ax y a +=⎧⎨+=⎩．（1）当1a =时，求P 点的坐标；（2）点(),P x y 的坐标满足不等式组259x y x y +<⎧⎨->-⎩，求出整数a 的所有值之和．5．已知关于x 、y 的方程组212x y x y m +=⎧⎨-=⎩的解都小于1，若关于a 的不等式组1215231a n a ⎧+≥⎪⎨⎪-≥⎩恰好有三个整数解．（1）分别求出m 与n 的取值范围； （2）化简：|m +3|（5﹣n +2）÷3n+|．6．当方程中的系数用字母表示时，这样的方程叫做含字母系数的方程，也叫含参数的方程．（1）解关于x ，y 的二元一次方程组33522x y a x y a +=⎧⎨+=⎩， （2）若关于x ，y 的二元一次方程组：33522x y a x y a+=⎧⎨+=⎩的解满足不等式组246x y x y +<⎧⎨->-⎩，求出整数a 的所有值． 7．已知a 是不等式组5131131722a a a a ⎧->+⎪⎨-<-⎪⎩的整数解，x ，y 满足方程组27234ax y x y -=-⎧⎨+=⎩，求(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)的值． 【答案】7【详解】解：解不等式①得：a ＞2解不等式②得：a ＜4∴不等式组的解集是：2＜a ＜4，∴不等式组的整数解是3，∴方程组为327234x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，∴（x +y ）（x 2-xy +y 2） =（-1+2）（1+2+4）=7．8．我们把关于x 的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；①240523x x -=⎧⎨-⎩＜；②5323233124x xx x--⎧=-⎪⎪⎨+-⎪-⎪⎩＜．（2）若关于x的组合515032xx aa+=⎧⎪⎨-⎪⎩＞是“有缘组合”，求a的取值范围；（3）若关于x的组合5323212a xx ax ax a-⎧-=-⎪⎪⎨-⎪+≤+⎪⎩是“无缘组合”；求a的取值范围．。
人教版七年级下册数学第8章 二元一次方程组 一元一次不等式的实际应用
∴b 最大值＝2，此时 a＋b＝12，费用为 1 160 元． (ⅱ)当 a＝11 时，100×11＋80b≤1 200，解得 b≤54， ∴b 最大值＝1，此时 a＋b＝12，费用为 1 180 元． (ⅲ)当 a≥12 时，100a≥1 200，即成人票至少需要 1 200 元，不合题意，舍去． 当 1≤a＜10 时， (ⅰ)当 a＝9 时，100×9＋80b＋60≤1 200，解得 b≤3，
(2)该公司准备用不超过300万元资金，采购A，B两种型号 的新能源汽车共22台，问最少需要采购A型新能源汽车 多少台？
解：设需要采购A型新能源汽车m台，则采购B型新能 源汽车(22－m)台，依题意得12m＋15(22－m)≤300， 解得m≥10. 答：最少需要采购A型新能源汽车10台．
4 【教材P125练习T2变式】【2021·长沙】为庆祝伟大的中 国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神， 某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德， 学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100 分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
(1)若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为 86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？
解：设该参赛同学一共答对了x道题， 则答错了(25－1－x)道题， 依题意得：4x－(25－1－x)＝86，解得：x＝22. 答：该参赛同学一共答对了22道题．
(2)若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90 分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答 对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
七年级数学下册题型突破提高类型十二 一元一次不等式与二元一次方程结合应用
类型十二、一元一次不等式与二元一次方程结合应用【解惑】某商店欲购进A 、B 两种商品．若购进A 种商品5件和B 种商品4件需300元；购进A 种商品6件和B 种商品8件需440元．(1)求A 、B 两种商品每件的进价分别为多少元？(2)若该商店每销售1件A 种商品可获利8元，每销售1件B 种商品可获利6元，该商店准备购进A 、B 两种商品共50件，且这两种商品全部售出后总获利不低于344元，则至少购进多少件A 商品？方法：（1）分别设A 、B 两种商品进价为x 、y 元，由题意可列出方程组，求解即可．（2）设A 种商品x 件，则B 种商品为()50x -件，根据题意列出不等式求解即可．【融会贯通】1．哈美佳外校为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和象棋供兴趣小组活动使用，若购买4副围棋5副象棋的价钱为114元，购买8副围棋3副象棋的价钱为158元．(1)求每副围棋和每副象棋各多少元?(2)学校决定购买围棋和象棋共40副，总费用不超过550元，那么哈美佳外校最多可以购买多少副围棋? 2．美佳学校为参加“体育节”的获胜班级购买奖品，第一次用440元同时购进A 、B 两种型号篮球各8个，其中购进一个A 型号篮球比购进一个B 型号篮球少5元．(1)求A 、B 两种型号篮球的进货单价各为多少元？(2)学校第二次共购进A 、B 两种型号篮球50个做为奖品，若总金额不高于1450元，最少应购进A 型号篮球多少个？ 3．在哈尔滨疫情中，某蔬菜公司要将本公司物资，紧急运往香坊区进行物资援助，经与运输部门协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车，已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2900元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2800元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？(2)若蔬菜公司决定租用6辆运输车，且此次租车费用不超过5700元，那么该公司至少租用几辆甲型汽车？【知不足】1．哈美佳外校为迎接“2023年元旦雪地足球赛”，计划购买A品牌、B品牌两种品牌号的足球．已知A品牌足球比B 品牌足球单价多10元，若购买20个A品牌足球和15个B品牌足球需用3350元．(1)求每个A品牌足球和每个B品牌足球各多少元；(2)哈美佳外校决定购买A品牌足球和B品牌足球共50个，总费用不超过4650元，那么最多可以购买多少个A品牌足球？2．娄底吾悦广场将于2023年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共340棵，若A花木数量是B花木数量的2倍多10棵．(1)A、B两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果A花木的单价是每棵30元，B花木的单价是每20元，为节约资金园林处计划种植花木的费用不超过9000元，那么种植A花木最多多少棵？3．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，陈同学和李同学打算购买画笔与画板两种写生工具数量若干，已知购买2盒画笔和4个画板共需94元，购买4盒画笔和2个画板共需98元．(1)购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？(2)陈同学和李同学商量，需要画笔盒数和画板个数总共为10，且购买这些写生工具的总费用不超过157元，请问最少购买画板多少个？4．某工厂有甲，乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品．如果销售A产品30件，B产品20件，共收入680元；如果销售A产品50件，B产品40件，共收入1240元．(1)求A、B两种产品每件销售各多少元；(2)现要销售A、B两种产品共300件，总费用不超过4000元，那么A产品最少销售多少件？【一览众山小】1．哈市某小区为了营造节日氛围，改善小区环境，准备从灯具商店购进A、B两种型号的灯笼，经调查得知，若购进1个A型灯笼和3个B型灯笼共需140元，若购进2个A型灯笼和1个B型灯笼共需130元．(1)求每个A型灯笼和每个B型灯笼各需多少元？(2)若该小区准备一次性购买两种灯笼共80个，且总费用不超过3000元，则该小区最多可购买A型灯笼多少个？2．2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共200个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了12700元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量；(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的200个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利3000元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？3．某校近期举办了一年一度的戏剧节比赛．某班级因节目需要，须购买A、B两种道具．已知购买1件A道具比购买1件B道具多10元，购买2件A道具和3件B道具共需要45元．(1)购买一件A道具和一件B道具各需要多少元？(2)根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过615元．求道具A最多购买多少件？4．在“抗击疫情”期间，我县教育局工会号召广大师生积极开展“献爱心捐款”活动，某学校拟用这笔捐款购买A、B 两种防疫物品．如果购买A种物品120件、B种物品90件，共需2280元；如果购买A种物品90件、B种物品60件，共需1680元．(1)求A、B两种防疫物品每件各多少元？(2)现要购买A、B两种防疫物品共1200件，总费用不超过14000元，那么A种防疫物品最多能购买多少件？5．为迎接哈尔滨冰雪节，某商店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品3件，B种纪念品5件，需要2100元；若购进A种纪念品4件，B种纪念品10件，需要3800元．(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共30件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这30件纪念品的资金不超过8000元，那么该商店最少可购进A种纪念品多少件？【温故为师】1．某电机厂计划生产批电机设备，其中这批设备包括A型、B型两种型号，如果生产2件A型产品和3件B型产品需成本21万元，如果生产5件A型产品和4件B型产品需成本35万元．(1)求生产一件A型产品和一件B型产品各需成本多少万元；(2)经市场调查，一件A型产品售价为5万元，一件B型产品售价为8万元，若工厂生产这批设备中B型产品的件数是A型产品的件数2倍还多6件，销售这批设备共获利不少于58万元，那么工厂生产A型产品至少多少件？2．为了养成学生良好的卫生习惯，学校决定采购一批某品牌A、B两种型号洗手液，经市场调查发现，若购买1个A型号的洗手液和2个B型号的洗手液共需40元，若购买2个A型号的洗手液和2个B型号的洗手液共需50元．(1)求A、B两种型号的洗手液的单价各是多少元；(2)学校购买两种品牌的洗手液共350瓶，总费用不超过4000元，那么至少需要购买A型号的洗手液多少瓶？3．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；(2)学校计划采购篮球、足球共50个，且总费用不超过5500元．那么最多采购篮球多少个？4．某校为增加学生的体育课活动，决定购买一批体育用品，若购买10个足球和4个篮球需要400元，购买5个足球和9个篮球需要550元.(1)求篮球、足球的单价；(2)如果需要购买篮球、足球共20个，且费用不超过880元，则最多可以购买多少个篮球？5．某文教用品商店欲购进A B、两种文具盒，若购买20个A种文具盒和30个B种文具盒共需1300元，买30个A 种文具盒和20个B种文具盒共需1200元．(1)求A B、两种文具盒的进价分别为多少元？(2)若该商店A种文具盒每个售价24元，B种文具盒每个售价35元，准备购进A B、两种文具盒共100个，且这两种文具盒全部售出后总获利不小于480元，则最多购进A种文具盒多少个？6．疫情期间某药店购进一批N95口罩，其中10只/包与20只/包的口罩共有500包，已知10只/包的N95口罩进价为30元/包，20只/包的N95口罩进价为55元/包．(1)若购进这两种规格的N95口罩共花了2万元，请分别求出购进10只/包与20只/包口罩的包数．(2)该药店计划将10只/包的口罩销售价定为45元/包，20只/包的口罩销售价定为85元/包，若购进的500包这两种规格的N95口罩全部售完，且至少盈利9000元，求购进的20只/包的口罩至少多少包?7．2020年9月6日，国家“东数西算”产业联盟在甘肃省兰州市成立．这个产业联盟将搭建东西部算力供需对接平台，优化我国东中西部算力资源协同发展格局，有助于形成自由流通、按需配置、有效共享的数据要素市场．为增强体验感，产业联盟计划投资打造小米产品展厅和金山云智慧体验馆．展厅和体验馆共占地9万平方米，其中展厅每万平方米造价480万元，体验馆每万平方米造价560万元，共用去资金4720万元．(1)求小米产品展厅和金山云智慧体验馆各多少万平方米？(2)开工后发现展厅造价每万平方米上涨了a％，体验馆造价每万平方米下降了0.4%a，且总费用不超过4800万元，求a的最大值．答案与解析【融会贯通】1．哈美佳外校为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和象棋供兴趣小组活动使用，若购买4副围棋5副象棋的价钱为114元，购买8副围棋3副象棋的价钱为158元．(1)求每副围棋和每副象棋各多少元?(2)学校决定购买围棋和象棋共40副，总费用不超过550元，那么哈美佳外校最多可以购买多少副围棋? 【答案】(1)每副围棋16元，每副象棋10元(2)哈美佳外校最多可以购买25副围棋【详解】（1）解：设每副围棋x 元，每副象棋y 元，根据题意得，4511483158x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：1610x y =⎧⎨=⎩，答：每副围棋16元，每副象棋10元；（2）解：设哈美佳外校购买z 副围棋，则购买()40z -副象棋，依题意得，()161040550z z +-≤解得： 25z ≤，∵z 为正整数，∴25z =，答：哈美佳外校最多可以购买25副围棋．2．美佳学校为参加“体育节”的获胜班级购买奖品，第一次用440元同时购进A 、B 两种型号篮球各8个，其中购进一个A 型号篮球比购进一个B 型号篮球少5元．(1)求A 、B 两种型号篮球的进货单价各为多少元？(2)学校第二次共购进A 、B 两种型号篮球50个做为奖品，若总金额不高于1450元，最少应购进A 型号篮球多少个？【答案】(1)A 型号篮球的进货单价为25元，B 型号篮球的进货单价为30元(2)最少应购进A 型号篮球10个【详解】（1）解：设A 型号篮球的进货单价为x 元，则B 型号篮球的进货单价为()5+x 元，由题意知()858440x x ++=，解得25x =，530x +=，即A 型号篮球的进货单价为25元，B 型号篮球的进货单价为30元．（2）解：设购进A 型号篮球m 个，则()2530501450m m +-≤，解得10m ≥，即最少应购进A 型号篮球10个．3．在哈尔滨疫情中，某蔬菜公司要将本公司物资，紧急运往香坊区进行物资援助，经与运输部门协商，计划租用甲、乙两种型号的汽车，已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2900元；租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2800元，且同一种型号汽车每辆租车费用相同．(1)求租用一辆甲型汽车、一辆乙型汽车的费用分别是多少元？(2)若蔬菜公司决定租用6辆运输车，且此次租车费用不超过5700元，那么该公司至少租用几辆甲型汽车？【答案】(1)租用一辆甲型汽车费用是900元，租用一辆乙型汽车的费用是1000元(2)该公司至少租用3辆甲型汽车【详解】（1）解：设租用一辆甲型汽车费用是x 元，一辆乙型汽车的费用是y 元，得2290022800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得9001000x y =⎧⎨=⎩，答：租用一辆甲型汽车费用是900元，租用一辆乙型汽车的费用是1000元；（2）解：设租用甲型汽车a 辆，则租用乙型汽车()6a -辆，由题意得：()900100065700a a +-≤，解得3a ≥，答：那么该公司至少租用3辆甲型汽车．【知不足】1．哈美佳外校为迎接“2023年元旦雪地足球赛”，计划购买A 品牌、B 品牌两种品牌号的足球．已知A 品牌足球比B 品牌足球单价多10元，若购买20个A 品牌足球和15个B 品牌足球需用3350元．(1)求每个A 品牌足球和每个B 品牌足球各多少元；(2)哈美佳外校决定购买A 品牌足球和B 品牌足球共50个，总费用不超过4650元，那么最多可以购买多少个A 品牌足球？【答案】(1)每个A 品牌足球100元，每个B 品牌足球90元(2)15个【详解】（1）解：设每个A 品牌足球单价为x 元，则每个B 品牌足球为10x -元， 根据题意可得：()2015103350x x +-=，解得：100x =，1090x -=，答：每个A 品牌足球100元，每个B 品牌足球90元；（2）解：设购买m 个A 品牌足球，则购买(30)m -个B 品牌足球，依题意得：()10090504650m m +-≤，解得：15m ≤，答：最多可以购买15个A 品牌足球．2．娄底吾悦广场将于2023年底投入使用，计划在广场内种植A 、B 两种花木共340棵，若A 花木数量是B 花木数量的2倍多10棵．(1)A 、B 两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果A 花木的单价是每棵30元，B 花木的单价是每20元，为节约资金园林处计划种植花木的费用不超过9000元，那么种植A 花木最多多少棵？【答案】(1)A 花木的数量是230棵，B 花木的数量是110棵(2)最多220棵【详解】（1）解：设在广场内种植A 花木的数量是x 棵，B 花木的数量是y 棵，根据题意得：210340x y x y =+⎧⎨+=⎩， 解得：230110x y =⎧⎨=⎩．答：在广场内种植A 花木的数量是230棵，B 花木的数量是110棵； （2）设种植A 花木m 棵，则种植B 花木()340m -棵，根据题意得：()30203409000m m +-≤，解得：220m ≤，∴m 的最大值为220．答：种植A 花木最多220棵．3．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，为了感受大自然，描绘大自然的美景，陈同学和李同学打算购买画笔与画板两种写生工具数量若干，已知购买2盒画笔和4个画板共需94元，购买4盒画笔和2个画板共需98元．(1)购买一盒画笔和一个画板各需要多少元？(2)陈同学和李同学商量，需要画笔盒数和画板个数总共为10，且购买这些写生工具的总费用不超过157元，请问最少购买画板多少个？ 【答案】(1)购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元(2)最少购买画板7个【详解】（1）解：设购买一盒画笔需要x 元，一个画板需要y 元，根据题意有24944298x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1715x y =⎧⎨=⎩． 答：购买一盒画笔需要17元，一个画板需要15元；（2）解：设最少购买画板a 个，则购买画笔(10)a -个，根据题意有17(10)15157a a -+≤，解得： 6.5a ≥，∵根据题意可知a 为整数，∴最少购买画板7个．4．某工厂有甲，乙两个车间，甲车间生产A 产品，乙车间生产B 产品．如果销售A 产品30件，B 产品20件，共收入680元；如果销售A 产品50件，B 产品40件，共收入1240元．(1)求A 、B 两种产品每件销售各多少元；(2)现要销售A 、B 两种产品共300件，总费用不超过4000元，那么A 产品最少销售多少件？ 【答案】(1)A 产品每件销售12元，B 产品每件销售16元(2)A 产品最少销售200件【详解】（1）解：设A 产品每件销售x 元，B 产品每件销售y 元，根据题意得：302068050401240x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：1216x y =⎧⎨=⎩，答：A 产品每件销售12元，B 产品每件销售16元．（2）解：设销售A 产品m 件，则销售B 产品()300m -件，根据题意得：()12163004000m m +-≤，解得：200m ≥， 答：A 产品最少销售200件．【一览众山小】1．哈市某小区为了营造节日氛围，改善小区环境，准备从灯具商店购进A 、B 两种型号的灯笼，经调查得知，若购进1个A 型灯笼和3个B 型灯笼共需140元，若购进2个A 型灯笼和1个B 型灯笼共需130元．(1)求每个A 型灯笼和每个B 型灯笼各需多少元？(2)若该小区准备一次性购买两种灯笼共80个，且总费用不超过3000元，则该小区最多可购买A 型灯笼多少个？【答案】(1)每个A 型灯笼需50元，每个B 型灯笼需30元(2)30个【详解】（1）解：设每个A 型灯笼需x 元，每个B 型灯笼需y 元，根据题意得31402130x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得5030x y =⎧⎨=⎩，∴每个A 型灯笼需50元，每个B 型灯笼需30元，答：每个A 型灯笼需50元，每个B 型灯笼需30元；（2）解：设该小区可购买A 型灯笼m 个，根据题意得：()5030803000m m +-≤，解得30m ≤，∵m 为整数，∴m 的最大值为30．答：该小区最多可购买A 型灯笼30个．2．2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共200个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了12700元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量；(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的200个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利3000元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？ 【答案】(1)购进摆件90个，挂件110个(2)购进挂件不能超过100个【详解】（1）解：设购进“冰墩墩”摆件x 件，“冰墩墩”挂件的y 件，依题意得：200805012700x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：90110x y =⎧⎨=⎩， 答：购进“冰墩墩”摆件90件，“冰墩墩”挂件的110件；（2）解：设购买“冰墩墩”挂件m 个，则购买“冰墩墩”摆件()180m -个，依题意得：()()()1008020060503000m m --+-≥，解得：100m ≤，答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过100个． 3．某校近期举办了一年一度的戏剧节比赛．某班级因节目需要，须购买A 、B 两种道具．已知购买1件A 道具比购买1件B 道具多10元，购买2件A 道具和3件B 道具共需要45元．(1)购买一件A 道具和一件B 道具各需要多少元？(2)根据班级情况，需要这两种道具共60件，且购买两种道具的总费用不超过615元．求道具A 最多购买多少件？ 【答案】(1)购买1件A 道具需要15元，1件B 道具需要5元(2)道具A 最多购买31件【详解】（1）设购买1件A 道具需要x 元，1件B 道具需要y 元，依题意得：102345x y x y -⎧⎨+⎩＝＝， 解得：155x y ⎧⎨⎩＝＝．答：购买1件A 道具需要15元，1件B 道具需要5元．（2）设购买A 道具m 件，则购买B 道具()60m -件，依题意得：()15560615m m +-≤，解得：31.5m ≤．答：道具A 最多购买31件．4．在“抗击疫情”期间，我县教育局工会号召广大师生积极开展“献爱心捐款”活动，某学校拟用这笔捐款购买A 、B 两种防疫物品．如果购买A 种物品120件、B 种物品90件，共需2280元；如果购买A 种物品90件、B 种物品60件，共需1680元．(1)求A 、B 两种防疫物品每件各多少元？(2)现要购买A 、B 两种防疫物品共1200件，总费用不超过14000元，那么A 种防疫物品最多能购买多少件？【答案】(1)A 、B 两种防疫物品每件分别为16元、4元(2)766件【详解】（1）解：设A 、B 两种防疫物品每件分别5．为迎接哈尔滨冰雪节，某商店决定购进A 、B 两种纪念品．若购进A 种纪念品3件，B 种纪念品5件，需要2100元；若购进A 种纪念品4件，B 种纪念品10件，需要3800元．(1)求购进A 、B 两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共30件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这30件纪念品的资金不超过8000元，那么该商店最少可购进A 种纪念品多少件？ 【答案】(1)购进A 纪念品每件需200元，B 纪念品每件需300元．(2)最少可购进A 种纪念品10件．【详解】（1）解：设购进A 纪念品每件需x 元，B 纪念品每件需y 元，根据题意得：3521004103800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得200300x y =⎧⎨=⎩，答：购进A 纪念品每件需200元，B 纪念品每件需300元．（2）解：设购进A 纪念品m 件，则购进B 纪念品()30m -件，根据题意得：()200300308000m m +-≤，解得：10m ≥；答：最少可购进A 种纪念品10件．【温故为师】1．某电机厂计划生产批电机设备，其中这批设备包括A 型、B 型两种型号，如果生产2件A 型产品和3件B 型产品需成本21万元，如果生产5件A 型产品和4件B 型产品需成本35万元．(1)求生产一件A 型产品和一件B 型产品各需成本多少万元；(2)经市场调查，一件A 型产品售价为5万元，一件B 型产品售价为8万元，若工厂生产这批设备中B 型产品的件数是A 型产品的件数2倍还多6件，销售这批设备共获利不少于58万元，那么工厂生产A 型产品至少多少件？ 【答案】(1)生产一件A 型产品3万元，生产一件B 型产品5万元(2)5件【详解】（1）解：设生产一件A 型产品需成本x 万元，一件B 型产品需成本y 万元，根据题意，得23215435x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：35x y =⎧⎨=⎩，答：生产一件A 型产品和一件B 型产品各需成本3万元、5万元；（2）解：设工厂生产A 型产品m 件，则工厂生产B 型产品()26m +件，根据题意，得()()()53852658m m -+-+≥解得：5m ≥，答：工厂生产A 型产品至少5件．2．为了养成学生良好的卫生习惯，学校决定采购一批某品牌A 、B 两种型号洗手液，经市场调查发现，若购买1个A 型号的洗手液和2个B 型号的洗手液共需40元，若购买2个A 型号的洗手液和2个B 型号的洗手液共需50元．(1)求A 、B 两种型号的洗手液的单价各是多少元；(2)学校购买两种品牌的洗手液共350瓶，总费用不超过4000元，那么至少需要购买A 型号的洗手液多少瓶？ 【答案】(1)A 型号洗手液的单价是10元，B 型号洗手液的单价是15元．(2)至少需要购买A 型号的洗手液250瓶【详解】（1）设A 型号洗手液的单价是x 元，B 型号洗手液的单价是y 元，依题意得：2402250x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1015x y =⎧⎨=⎩．答：A 型号洗手液的单价是10元，B 型号洗手液的单价是15元．（2）设购买A 型号的洗手液m 瓶，则购买B 型号的洗手液350m 瓶，依题意得：10153504000m m ，解得：250m ≥．答：至少需要购买A 型号的洗手液250瓶．3．某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；(2)学校计划采购篮球、足球共50个，且总费用不超过5500元．那么最多采购篮球多少个？4．某校为增加学生的体育课活动，决定购买一批体育用品，若购买10个足球和4个篮球需要400元，购买5个足球和9个篮球需要550元.(1)求篮球、足球的单价；(2)如果需要购买篮球、足球共20个，且费用不超过880元，则最多可以购买多少个篮球？【答案】(1)每个篮球的售价为50元，每个足球的售价为20元(2)该校最多可以购买16个篮球【详解】（1）解：设每个篮球的售价为x 元，每个足球的售价为y 元，依题意，得：41040095550x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：5020x y =⎧⎨=⎩．答：每个篮球的售价为50元，每个足球的售价为20元；（2）解：设购买m 个篮球，则购买(20)m -个足球，根据题意，得()502020880m m +⨯-≤，解得：16m ≤，m 为正整数，m ∴最大为16，答：该校最多可以购买16个篮球．5．某文教用品商店欲购进A B 、两种文具盒，若购买20个A 种文具盒和30个B 种文具盒共需1300元，买30个A 种文具盒和20个B 种文具盒共需1200元．(1)求A B 、两种文具盒的进价分别为多少元？(2)若该商店A 种文具盒每个售价24元，B 种文具盒每个售价35元，准备购进A B 、两种文具盒共100个，且这两种文具盒全部售出后总获利不小于480元，则最多购进A 种文具盒多少个？ 【答案】(1)每本A 种笔记本的进价为20元，每本B 种笔记本的进价为30元(2)最多购进A 种笔记本20本【详解】（1）解：设每个A 种文具盒的进价为x 元，每个B 种文具盒的进价为y 元，依题意得：2030130030201200x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：2030x y =⎧⎨=⎩，答：每个A 种文具盒的进价为20元，每个B 种文具盒的进价为30元；（2）解：设购进A 种文具盒m 个，则购进B 种文具盒（100m -）个，依题意得：()()()24203530100480m m -+--≥，解得：20m ≤，∵m 为正整数， ∴m 的最大值为20．答：最多购进A 种笔记本20本．6．疫情期间某药店购进一批N95口罩，其中10只/包与20只/包的口罩共有500包，已知10只/包的N95口罩进价为30元/包，20只/包的N95口罩进价为55元/包．(1)若购进这两种规格的N95口罩共花了2万元，请分别求出购进10只/包与20只/包口罩的包数．(2)该药店计划将10只/包的口罩销售价定为45元/包，20只/包的口罩销售价定为85元/包，若购进的500包这两种规格的N95口罩全部售完，且至少盈利9000元，求购进的20只/包的口罩至少多少包? 【答案】(1)购进10只/包N95口罩300只，购进20只/包N95口罩200只(2)购进的20只/包的口罩至少100包【详解】（1）解：设购进10只/包N95口罩x 只，则购进20只/包N95口罩()500x -只，则()305550020000x x +-=，即257500x =，解得300x =，∴购进20只/包N95口罩500200x -=只，答：购进10只/包N95口罩300只，购进20只/包N95口罩200只；（2）解：设购进20只/包N95口罩m 只，则购进10只/包N95口罩()500m -只，则 ()()()453050085559000m m --+-≥，即151500m ≥，解得100m ≥，答：购进的20只/包的口罩至少100包． 7．2020年9月6日，国家“东数西算”产业联盟在甘肃省兰州市成立．这个产业联盟将搭建东西部算力供需对接平台，优化我国东中西部算力资源协同发展格局，有助于形成自由流通、按需配置、有效共享的数据要素市场．为增强体验感，产业联盟计划投资打造小米产品展厅和金山云智慧体验馆．展厅和体验馆共占地9万平方米，其中展厅每万平方米造价480万元，体验馆每万平方米造价560万元，共用去资金4720万元．(1)求小米产品展厅和金山云智慧体验馆各多少万平方米？(2)开工后发现展厅造价每万平方米上涨了a ％，体验馆造价每万平方米下降了0.4%a ，且总费用不超过4800万元，求a 的最大值．。
二元一次方程组与不等式实际问题结合
二元一次方程组与不等式实际问题结合二元一次方程组是高中数学中的重要内容之一，它可以帮助我们解决各种实际问题。
在此，我们将通过几个实际问题来结合二元一次方程组和不等式的内容，来说明它们的应用。
问题一：小明去超市购买香蕉和苹果。
已知香蕉的价格是每斤2元，苹果的价格是每斤3元。
小明共购买了10斤水果，总共花费了24元。
问小明购买了多少斤香蕉和苹果？解答：设小明购买的香蕉的斤数为x，购买的苹果的斤数为y。
根据题意，可以得到如下二元一次方程组：x + y = 10 （方程一）2x + 3y = 24 （方程二）我们可以通过解这个方程组来求得x和y的值。
首先，我们可以从方程一中得到x = 10 - y；然后，我们将x的值代入方程二中，得到2(10 - y) + 3y = 24；化简得到20 - 2y + 3y = 24；继续化简得到y = 4；将y的值代入方程一中可以求得x = 10 - 4 = 6。
因此，小明购买了6斤香蕉和4斤苹果。
问题二：一条钢筋工厂共生产两种规格的钢筋，每根重量为x 千克和y千克。
已知钢筋工厂每天生产的重量总和为1000千克，共生产了300根。
已知钢筋的总价值为10000元，且每根x千克的钢筋价格为20元，每根y千克的钢筋价格为30元。
问x和y的值分别是多少？解答：设每根重量为x千克的钢筋的数量为a，每根重量为y千克的钢筋的数量为b。
根据题意可以得到如下二元一次方程组：a +b = 300 （方程三）20ax + 30by = 10000 （方程四）由于每天生产的钢筋的重量总和为1000千克，所以可以得到方程：x*a + y*b = 1000。
为了求得x和y的值，我们可以先解方程三，得到b = 300 - a；将b的值代入方程四中，得到20ax + 30(300 - a)y = 10000；化简得到20ax + 9000y - 30ay = 10000；继续化简得到y = (10000 - 20ax)/(9000 - 30a)。
初中数学知识归纳二元一次方程组与不等式
初中数学知识归纳二元一次方程组与不等式初中数学知识归纳：二元一次方程组与不等式在初中数学学习中，二元一次方程组和不等式是我们必须要掌握的重要内容。
本文将对这两个概念进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、二元一次方程组二元一次方程组由两个含有两个未知数的方程组成，一般形式为：{ax + by = cdx + ey = f}其中a、b、c、d、e、f为已知的实数，x、y为未知数。
1. 解的概念解即是满足方程组中所有方程的变量值，使方程组中的等式成立。
对于二元一次方程组，它可能有唯一解、无解或者无穷解三种情况。
2. 解的求解方法（1）消元法：通过将方程组中的一方程乘以适当因子，使得两个方程中的某一未知数系数相等或当前系数可消去。
（2）代入法：将方程组中的一方程解出其中一个未知数，再代入另一个方程中去求解。
（3）等式法：将方程组两个方程相加或相减，消去一个未知数，再求解另一个未知数。
3. 实际应用二元一次方程组在日常生活和实际问题中有广泛应用。
例如，通过解决方程组可以计算某商品的单价和数量，或者找到两架飞机的速度等。
二、不等式不等式是数学中的一种表达式形式，表示两个数或表达式的大小关系。
不等式有三种基本形式：大于（>）、小于（<）和大于等于（≥）。
1. 解的概念不等式中的解是使不等式成立的取值范围。
对于一元不等式，解可以用数轴表示；对于多元不等式，解可以用数平面或空间中的区域表示。
2. 不等式的性质（1）加减性质：对不等式两边同时加或减一个数，不等号方向不改变。
（2）乘除性质：对正数乘除不等式两边，不等号方向不改变；对负数乘除不等式两边，不等号方向改变。
3. 实际应用不等式在实际问题中有着广泛的应用。
例如，通过解决不等式可以求解某个数的范围或满足某种条件的取值范围。
综上所述，初中数学知识中的二元一次方程组和不等式是我们必须要掌握的重要内容。
通过对二元一次方程组的解法和不等式的性质的学习，我们可以更好地理解和应用这些知识。
一元一次不等式(组)与二元一次方程(组)结合培优资料
一元一次不等式（组）与方程（组）的结合培优资料考点·方法·破译1．进一步熟悉二元一次方程组的解法，以及一元二次不等式组的解法．2．综合运用一元一次不等式组和二元一次方程组解决一些典型的实际问题． 经典·考题·赏析【例1】求方程3x +27＝17的正整数解．【解法指导】一般地，一个二元一次方程有无数个解，但它的特殊解是有限个，如一个二元一次方程的正整数解，非负整数解都是有限个．求不定方程的正（非负）整数解时，往往借助不等式，整数的奇偶性等相关知识来帮助求解．解：将方程变形为2y ＝17－3x 即2317x y -= ∵y ＞0 ∴2317x -＞0 ∴x ＜317即x ＜325 又∵y 为正整数（即2317x -为整数） ∴17－3x 为偶数∴x 必为奇数∴x ＝1，3，5当x ＝1时，7213172317=⨯-=-=x y 当x ＝3时，4233172317=⨯-=-=x y 当x ＝5时，1253172317=⨯-=-=x y故原方程的正整数解为⎩⎨⎧x =1y =7 或⎩⎨⎧x =3y =4 或⎩⎨⎧x =5y =1 【变式题组】01．求下列各方程的正整数解：⑴2x +y ＝10 (2) 3x +4y ＝2102．有10个苹果，要分给两个女孩和一个男孩，要求苹果不得切开，且两个女孩所得的苹果数相等，每个孩子都有苹果吃，问有哪几种分法？【例2】足球联赛得分规定如下：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分•某队在足球联赛的4场比赛中得6分，这个队胜了几场，平了几场，负了几场？【解法指导】本题中，所有的等量关系只有两个，而未知量有三个•因而所列方程的个数少于未知数的个数，即为不定方程组，但每个未知数量的数目必为非负整数•因此，此题的实质就是滶不定方程的非负整数解的问题．此方程组有两个方和，三个未知数，解法仍然是消元，即消去某一个未知数后，变为二元一次方程，再仿照例1的解法施行．解：设该队胜了x 场，平了y 场 ，负了z 场，依题意可得：⎩⎨⎧x ＋y ＝4 ①3x ＋y ＝6 ②②－①得：2x －z ＝2 ③变形得： z ＝2x －2∵0≤z ≤2∴0≤2x －2≤2即1≤x ≤2又x 为正整数∴x ＝1，2相应地，y ＝3，0 z ＝0，2答：这个队胜了1场，平了3场，或胜了2，负了2场．【变式题组】01．（佳木斯）为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么可能购买甲种笔（ ）．A ．11支B ．9支C ．7支D ．5支02．一旅游团50人到一旅舍住宿，旅舍的客户有三人间、二人间、单人间三种•其中三人间的客房每人每晚20元，二人间的客房每人每晚30元，单人间的客房每人每晚50元．(1)若旅游团共住满了20间客房，问三种客房各住了几间？怎样住消费最低？(2)若该旅游团中，夫妻住二人间，单身住三人间，小孩随父母住在一起，现已知有小孩4人（每对夫妻最多只带1个小孩），单身30人，其中男性17人，有两名单身心脏病患者要求住单人间，问这一行人共需多少间客房？【例3】已知：关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧x －y =a +32x +y =5a若x ＞y ，求a 的取值范围． 【解法指导】解本题的指导思想就是构建以a 为未知数的不等式•解之即得a 的取值范围，构建不等式的依据就是x ＞y ，而解方程组即可用a 的代数式分别表示x 和y ，进而可得不等式．解：解方程组⎩⎨⎧x －y ＝a ＋32x ＋y ＝5a 得 ⎩⎨⎧x ＝2a ＋1y ＝a －2∵x ＞y ∴2a ＋1＞a －2 解得a ＞－3故a 的取值范围是a ＞－3．【变式题组】01．已知：关于x 的方程3x －(2a －3) ＝5x ＋(3a ＋6)的解是负数，则a 的取值范围是_____．02．已知：关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧x +y =3a +9x －y =5a +1的解为非负数． (1)求a 的取值范围；(2)化简｜4a +5｜－｜a －4｜．03．当m 为何值时，关于x 的方程2153166--=--m x m x 的解大于1？4．已知方程组⎩⎨⎧2x +y =5m +6x －2y =－17 的解x 、y 都是正数，且x 的值小于y 的值，求m 的取值范围．【例4】（凉州）若不等式⎩⎨⎧x －a ＞2b －2x ＞0 的解集是－1＜x ＜1，求（a +b ）2009的值． 【解法指导】解此不等式组得a +2＜x ＜2b ，而依题意，该不等式的解集又是－1＜x ＜1，而解集是唯一的，因此两解集的边界点分别“吻合”，从而得两等式即得方程组，解之可得a 、b 之值．解：解不等式组⎩⎨⎧x －a ＞2a －2x ＞0 得a +2＜x ＜2b 又∵此不等式组的解集是－1＜x ＜1∴ ⎩⎪⎨⎪⎧a +2=－12b =1a 解设⎩⎨⎧a =－3a b =2a ∴（a +b ）2009＝（－1）2009＝－1【变式题组】01．若⎩⎨⎧2a +x ＞a 2－3x ＞a的解集为－1＜x ＜2，则a ＝___________，b ＝_____________． 02．已知：关于x 的不等式组⎩⎨⎧x －a ≥b 2x －a ＜2b +1的解集为3≤x ＜5，则ab 的值为（ ）A ．－2B ．21-C ．－4D ． 41- 03．若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧34+x ＞12+x x +a ＞0b的解集为x ＜2，则a 的取值范围是___________．04．已知：不等式组⎩⎨⎧x +2＞a +b x －1＜a －b 的解庥为－1＜x ＜2，求（a +b ）2008的值．【例5】（永春）商场正在销售“福娃”玩具和徽章两种奥运商品，已知购买1盒“福娃”玩具和2盒徽章共需145元；购买2盒“福娃”玩具和3盒徽章共需280元•(1)一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格各是多少元？(2)某公司准备购买这两种奥运商品共20盒送给幼儿园（要求每种商品都要购买），且购买金额不能超过450元，请你帮该公司设计购买方案•【解法指导】本题属材料选择类的方程与不等式结合的实际应用题，但方程组与不等式组是分开的•分析可知：第(1)问只需依照题目主干所提供的两个等量关系即可列出二元一次方程组•第(2)问由题目所给不等关系“购买金额不能超过450元”及第(1)问所求出的数据列出不等式，从而求解•解：(1)设一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格分别为x 元和y 元．依题意，得⎩⎨⎧x +2y =142x +3y =280 解得⎩⎨⎧x =125y =10答：一盒“福娃”玩具和一盒徽章的价格分别是125元和10元．(2)设购买“福娃”玩具m 盒，则购买徽章（20－m ）盒．由题意，得125m +10（20－m ）≤450，解得m ≤2.17．所以m 可以取1，2． 答：该公司有两种购买方案．方案一：购买“福娃”玩具1盒，徽章19盒；方案二：购买“福娃”玩具2盒,徽章18盆．【变式题组】01．(益阳)开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品,小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本;小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品， 奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．02． (眉山)渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．⑴若购买这批鱼苗共用了 2600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？⑵若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？⑶若要使这批鱼苗的成活率不低于93%，且购买鱼苗的总费用最低，应如何选购鱼苗？ 03．（盐城）整顿药品市场，降低药品价格是国家的惠民政策之一．根据国家的《药品政府定价办法》，某省有关部门规定：市场流通药品的零售价格不得超过进价的15%根据相关信息解决下列问题：⑴降价前，甲乙两种药品每盒的出厂价格之和为6.6元．经过若干中间环节，甲种药品每盒的零售价格比出厂价格的5倍少2.2元，乙种药品每盒的零售价格是出厂价格的6倍，两种药品每盒的零售价格之和为33.8元．那么降价前甲、乙两种药品每盒的零售价格分别是多少元？⑵降价后，某药品经销商将上述的甲、乙两种药品分别以每盒8元和5元的价格销售给医院，医院根据实 际情况决定：对甲种药品每盒加价15%对、乙种药品每盒加价10%后零售给患者．实际进药时，这两种药品均以每10盒为1箱进行包装．近期该医院准备从经销商处购进甲乙两种药品共100箱，其中乙种药品不少于40箱，销售这批药品的总利润不低于900元．请问购进时有哪几种搭配方案？【例6】认真阅读下面三个人的对话．小朋友：阿姨，我买一盒饼干和一袋牛奶（递上10元钱入）．售货员：本来你用10元钱买一盒饼干是多余的，但再买一袋牛奶就不够了．不过今天是儿童节，我给你买的饼干打九折，两样东西请拿好，还有找你的8角钱．旁边者：一盒饼干的标价可是整数哦！根据对话内容，试求出饼干和牛奶的标价各是多少？【解法指导】本题的条件蕴藏在对话中，应学会从对话中获取信息，“用10元钱买一盒饼干是多余的”， 说明一盒饼干的售价小于10元，此不等关系之一；“但再买一袋牛奶就不够了 ”，说明一盒饼干和一袋牛奶的价格之和大于10元，此不等关系之二．对话中还包含有一个等量关系，就是用10元钱买上述两样东西剩余0.8 元钱，即是说一袋牛奶与一盒饼干的价格之和等于10元减去0.8元，由一个方程和两个不等式结合最终可求出答案．解：设饼干的标价为每盒x 元，牛奶的标价为每袋^元.根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＞10 ①0.9x ＋y ＝10－0.8 ②x ＜10 ③由②，得y ＝9.2－9x 将其代入①，得x +9.2－9x ＞10，解得：x ＞8．所以综合③可知8＜x ＜10．又因为x 为整数，所以x ＝9，y ＝9.2－9x ＝1.1即饼干的标价为每盒9元，牛奶的标价为每袋1. 1元．【变式题组】01．某次足球联赛A 组共6队，比赛规定采取小组循环赛的形式，取前3名进人决赛，记分方法为胜1场得2 分，负1场扣1分，平1场不得分，问该小组共需比赛几场？某队得了 7分，则它是几胜几负？能否进人决赛？02．(杭州)宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中有面向全省招收的“宏志班” 学生，也有一般普通班学生．由于场地、师资等条件限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20%，“宏志班”学生可多招10%问今年最少可招收“宏志班”学生多少名？03．把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每个学生分5本，那么最后一个同学分不到3本，这些书有多少本？学生有多少人？【例7】(北京市竞赛题)已知：a 、b 、c 是三个非负数，并且满足3a +2b +c ＝5，2a +b －3c ＝1，设m ＝3a +b －7 c ，设x 为m 的最大值，y 为m 的最小值．求xy 的值．【解法指导】要求某一代数式的最大(或最小)值，往往依题意构建一个不等式组：若s ≤m ≤t ，则m 的最小值为s ，最大值为t ．本题思路亦类此，首先利用前两个等式，将c 看作已知量，解关于a 、b 的二元一次方程组，得到用含c 的式子表示a 、b 的形式，代入第三个等式，得到用含c 的式子表示m 的形式，同时依据a 、b 、c 均为非负数，得到c 的范围，代入m 与c 的关系式，得m 的范围，因而x 、y 可求．解：由条件得：解得： ⎩⎨⎧3a ＋2b =5－c 2a ＋b =1+3 c⎩⎨⎧a =7c －3b =7－11 c则m ＝3a +7－7c ＝3(7c －3)+ (7－11 c ) －7 c ＝3 c －2由a ≥0，b ≥0，c ≥0得⎩⎪⎨⎪⎧7c －3≥07－11c ≥0c ≥0解得，37≤c ≤711从而x ＝－57，y ＝－111故xy ＝577． 【变式题组】01．若a 、b 满足3a +5∣b ∣＝7，S ＝2a 2－3∣b ∣，则 S 的取值范围是 ．02．已知：x 、y 、z 是三个非负有理数，且满足3 x +2 y +z ＝5，x +y －z ＝2，若S ＝3 x + y －z ，则S 的取值范围是 ．演练巩固 反馈提高一、填空题01．方程3x +y ＝ 10的解有 个，其正整数解有 个．02．若关于x 的不等式(a －1)＜a +5和2x ＜4的解集相同，则a 的值为 ．03．已知：关于x 的不等式2x －a ≥－3的解集如图所示，则a ＝ ．04．已知方程组⎩⎨⎧2x －y =m 2y －x =1，若未知数x 、y 满足尤x +y ＞0，则m 的取值范围是 ． 05．若方程组⎩⎨⎧3x +2y =2k 2y －x =3的解满足无x ＜1且y ＞0，则整数k 的个数是 ． 06．若∣x －1∣ x －1＝－1则x 的取值范围是 ． 二、选择题07．已知：关于尤的不等式组⎩⎨⎧x －y ≥b 2x －a ＜2b +1的解为3≤x ＜5，则b a 的值为( ) A ．－2 B ．－2 C ．2 D ．108．若∣x +1∣＝－1－x ，∣3x +4∣＝3x +4．则x 取值范围是( )A ．－43≤x ≤－1B ．x ≥－1C ．―43≤x ≤―1D ．―43＜x ＜―1 09．已知：m 、n 是整数，3 m +2＝5n +3，且3 m +2＞30，5n +3＜40，则mn 的值是〈 〕A ．70B ．72C ．77D ．8410．某次测验共20道选择题，答对一题记5分，答错一题记―2分，不答记0分，某同学得48分，那么他答对的题目最多是（ ）道．A ．9B ．10C ．11D ．12三、解答题11．学校举办奥运知识竞赛，设一、二、三等奖共12名，奖品发放方案如下表：一等奖二等奖 三等奖 1盒福娃和1枚徽章 1盒福娃 1枚徽章用于购买奖品的总费用不少于1000元但不超过1100元，小明在购买“福娃”和徽章前，了解到图所示的信息：⑴求一盒“福娃”和一枚徽章各多少元？⑵若本次活动设一等奖2名，则二等奖和三等奖应各设多少名？12．（宿迁）某花农培育甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本1700元；培育甲种花木3株，乙种花木1 株，共需成本1500元．⑴求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元；⑵据市场调研，1株甲种花木的售价为760元，1株乙种花木的售价为540元．该花农决定在成本不超过30000元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的3倍还多10株，那么要使总利润不少于21600元，花农有哪几种具体的培育方案？13．—项维修工程，若由甲工程队单独做，则40天可以完成，需费用24万元；若由乙工程队单独做，则60天可以完成，需费用21万元•现打算由甲、乙两工程队共同完成，要使该项目的总费用不超过22万元，则乙工程队至少要施工多少天？14．足球联赛得分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分•在一次足球赛中，南方足球队参加了14场比赛，至少负了1场，共积分19分．试推算南方足球队胜、平、负各多少场．15．（温州）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒.⑴现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x个．①根据题意，完成以下表格：盒纸板竖式纸盒（个）横式纸盒（个）x正方形纸板（张）2(100－x)长方形纸板（张）4x②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？(2)若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜a＜306．则求a的值．(写出一个即可)培优升级 奥赛检测01．若方程组⎩⎨⎧4x +y =k +1x+4y =3的解满足条件0＜x+y ＜1，则k 的取值范围是( ) A ．－4＜k ＜1 B ．－4＜k ＜0 C ．0＜k ＜9 D ．k ＜－402．（浙江省竞赛题)要使方程组⎩⎨⎧3x +2y =a 2x+3y =2的解是一对异号的数，则a 的取值范围是( ) A ．43＜k ＜3 B ．a ＜43 C ．a ＞3 D ．a ＜43或a ＞3 03．已知a +b +c ＝0，a ＞b ＞c ，则 c a的取值范围是 ． 04．(新加坡竞赛题）正整数m 、n 满足8m +9n ＝mn +6，则m 的最大值是 ．05．（“希望杯”邀请赛初一试题）（中国古代问题）唐太宗传令点兵，若一千零一卒为一营，则剩余一人；若一千零二卒为一营，则剩余四人，此次点兵至少有 人．06．（第15届“希望杯”邀请赛试题）若正整数x 、y 满足2004x ＝15y ，则x +y 的最小值为 ． 07．（北京市竞赛题）有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能表示为3个连续的正整数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 ．三、解答题08．已知:关于x 的方程组⎩⎨⎧x －y =a +32x+y =5a的解满足x ＞y ＞0，化简∣a ∣+∣3－a ∣．09．a 、b 、c 、d 是正整数，且a +b ＝20，a +c ＝24，a +d ＝22，设a +b +c +d 的最大值为M ，最小值为N ，求M －N 的值．10．在车站开始检票时，有a (a ＞0)名旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？11．（河南省竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？12．(“希望杯”初二竞赛题)一个布袋中有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于21，则小明摸出的球中，红球的个数最多不超过多少个？13．（第20届香港中学数学竞赛题）已知：n 、k 皆为自然数，且1＜k ＜n ，若1+2+3+…+n －k n －1，及n +k ＝a ，求a 的值．。
二元一次方程组与一元一次不等式组经典应用题
二元一次方程组与一元一次不等式经典应用题（2007年绵阳中考）绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？解：（1）设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车（8－x ）辆，依题意，得解此不等式组， 即 2≤x ≤4．⎩⎨⎧≥-+≥-+12)8(220)8(24x x x x ∵ x 是正整数， ∴ x 可取的值为2，3，4．因此安排甲、乙两种货车有三种方案：方案一，甲种货车2辆，乙种货车6辆方案二，甲种货车3辆，乙种货车5辆方案三，甲种货车4辆，乙种货车4辆（2）方案一所需运费 元；204062402300=⨯+⨯方案二所需运费 元；210052043300=⨯+⨯方案三所需运费 元．216042404300=⨯+⨯所以王灿应选择方案一运费最少，最少运费是元．2040（2007年济南）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．（1）设租用甲种汽车辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；x （2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．解：（1）由租用甲种汽车辆，则租用乙种汽车辆x (8)x -由题意得：4030(8)2901020(8)100x x x x +-⎧⎨+-⎩≥≥解得：56x≤≤即共有2种租车方案：第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．（2）第一种租车方案的费用为元；520003180015400⨯+⨯=第二种租车方案的费用为元620002180015600⨯+⨯=∴第一种租车方案更省费用．（2007资阳）年陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元. ” 王老师算了一下，说：“你肯定搞错了. ”⑴ 王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；⑵ 陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本. 但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，笔记本的单价可能为多少元？(1)设单价为8.0元的课外书为x 本，得：812(105)1500418x x +-=-(2)解之得：(不符合题意)44.5x =(3)所以王老师肯定搞错了.⑵ 设单价为8.0元的课外书为y 本，解法一：设笔记本的单价为a 元，依题意得：.812(105)1500418y y a +-=--解之得：178+a =4y ，∵ a 、y 都是整数，且178+a 应被4整除，∴ a 为偶数，又∵a 为小于10元的整数，∴ a 可能为2、4、6、8 .当a =2时，4x =180，x =45，符合题意；当a =4时，4x =182，x =45.5，不符合题意；当a =6时，4x =184，x =46，符合题意；当a =8时，4x =186，x =46.5，不符合题意 . ∴ 笔记本的单价可能2元或6元 . ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分解法2：设笔记本的单价为b 元，依题意得：[][]⎩⎨⎧+-+-+-+-10418)105(1281500418)105(12815000＜＜x x x x 解得：475.44＜＜x ∴ x 应为45本或46本 .当x =45本时，b =1500-[8×45+12(105-45)+418]=2，当x =46本时，b =1500-[8×46+12(105-46)+418]=6，（2012四川泸州，6分）某商店准备购进甲、乙两种商品。
二元一次方程组和不等式组的综合应用题
二元一次方程组和不等式组的综合应用题1、某学校组织340名师生进行长途考察活动，带有行李170件，计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆，经了解，甲车每辆最多能载40人和16件行李，乙车每辆最多能载30人和20件行李.（1）请你帮助学校设计所有可行的租车方案；（2）如果甲车的租金为每辆2 000元.乙车的租金为每辆1 800元，问哪种可行方案使租车费用最省？2、某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台，共需资金7 000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台，共需资金4 120元.(1)每台电脑机箱和液晶显示器进价各多少元?(2)该经销商计划购进这两种商品共50台,而可用于购买这两种商品的资金不超过22 240元.根据市场行情,电脑机箱、液晶显示器销售一台获利分别为10元、160元.该经销商希望销售完这两种商品后,所获利润不少于4 100元,试问:该经销商有几种进货方案?哪种方案获利最大?最大利润是多少?3、响应“家电下乡”的惠农政策，某商场决定从厂家购进甲、乙、丙三种不同型号的电冰箱80台，其中甲种电冰箱的台数是乙种电冰箱台数的2倍，购买三种电冰箱的总金额不超过．．．132 000元．已知甲、乙、丙三种电冰箱的出厂价格分别为：1 200元/台、1 600元/台、2 000元/台．（1）至少购进乙种电冰箱多少台？（2）若要求甲种电冰箱的台数不超过丙种电冰箱的台数，则有哪些购买方案？4、为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B 两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？5、某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？。
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二元一次方程组
计算
（1）199519975989199719955987x y x y +=⎧⎨+=⎩ （2）23427
x y y z z x
x y z +++⎧==⎪
⎨⎪++=⎩
（3）361463102
463361102
x y x y +=-⎧⎨+=⎩
运用
2.如果()2
5x y +-与3210y x -+互为相反数，那么x = ，y = . 3（练习）.
若x+y+4则 3x+2y ＝_______ 4（练习）.已知+-+134y x (y-3)2
=0,求x+y 的值。
5.若⎩
⎨
⎧==b y a
x 是方程2x+y=2的解，求8a+4b-3的值。
6.已知方程2
m -1
n -8(m-2)x
+(n+3)y =5是二元一次方程，则mn=
7.、已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧-=+=-1332by ax y x 和方程组⎩⎨⎧=+=+3
3211
23by ax y x 的解相同，求a 、b 值.
8解方程组⎩⎨
⎧=-=+872y cx by ax 时，一学生把c 看错而得⎩⎨⎧=-=22y x ，而正确的解是⎩⎨⎧-==2
3
y x 求a 、b 、
c 的值
9（练习）甲乙俩人共同解方程组⎩
⎨⎧-=-=+2415
5by x y ax ，由于甲看错了第一个方程中的a ，得到方程
组的解为⎩⎨⎧-=-=13y x ；乙看错了第二个方程中的b ，得到方程组的解为⎩⎨⎧==4
5
y x ，试计算
2011
2011)
10
1(b a -
+的值。
10.已知2p+3q=3p+q+5=4，证明：（p+2）（q-3）=2pq+3.
11..已知y=3xy+x ，求代数式y
xy x y
xy x ---+2232的值。
12（练习）.已知0≠xyz ，且0445,02=-+=++z y x z y x ，求2
2
222543106z
yz x z y x +--+的值。
13（练习）.若()4360,2700,x y z x y z xyz --=+-=≠求代数式222
222
522310x y z x y z
+---的值.
应用题
14.甲、乙二人在上午8时，自A 、B 两地同时相向而行，上午10时相距36km ，•二人继续前行，到12时又相距36km ，已知甲每小时比乙多走2km ，求A ，B 两地的距离．
15.某铁桥长1000米，有一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥用1分钟，整列火车完全在桥上时间为40秒，求火车的速度和车长各是多少？
16.一个两位数，十位数字与个位数字之和为8，若十位数字与个位数字对调后，所得新两位数比原两位数小36，求原两位数，
17.张先生是集邮爱好者，他带一定数量的钱到邮市上去购买邮票，发现两种较为喜欢的纪
念邮票，面值分别为10元和6元。
（1）经盘算发现所带的钱全部用来买面值为10远的邮票，钱数正好不多不少。
若全部钱数
用来购买面值为6元的邮票可以多买6张，但余下4元，你知道张先生带了多少钱？ （2）若张先生所带的钱全部购进这两种邮票，有多少种购买方案？
（3）经估测，这两种邮票都会升值，其中面值为10元的可以上涨100％，面值为6元的邮
票会上涨150％，张先生决定把集邮当成一种投资，准备2000元全部投入，请设计最大盈利购邮方案，并作说明。
18.某玩具厂工人的工作时间：每月25天，每天8小时。
待遇：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资100元，按月结算。
该厂生产A 、B 两种产品，工人每生产一件A 产品可获报酬0.75元，每生产一件B 产品可获报酬1.40元，下表记录了工人小陈的工作情况： 生产A 种产品件数（件）
生产B 种产品件数（件）
总时间（分）
1 1 35 3
2
85
根据上表提供信息，请回答下列问题：
（1） 小陈每生产一件A 产品、每生产一件B 产品，分别需要多少时间？
（2） 若小陈每月工资为820元，那么这个月他生产A 、B 两种产品各多少件？ （3） 如果生产各种产品数目没有限制，那么小陈每月工资数目在什么范围内？
不等式
解不等式组
①⎪⎩⎪⎨⎧--≤--x x x x 14214
)23(π ②⎪⎩⎪⎨⎧-≥--+356634)1(513x x x x φ
⑶()7232123531
2
x x x x x -⎧+>+⎪⎪⎨-⎪>-⎪⎩ ⑷()43321311522x x x x -<+⎧⎪⎨->-⎪⎩ 能力提升
1.若不等式组⎩⎨⎧>->-0
x 2b 2
a x 的解集是1x 1<<-，则=+2006)
b a (___________。
2.不等式组⎩⎨⎧>-<+-m x x x 6
2的解集是4>x ，那么m 的取值范围是 _______
3.若不等式组11x m
x ⎧⎨>⎩≤无解，则m 的取值范围是_______
4..不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-<-6
22131
m x m
x 的解集是36+<m x ，则m 的取值范围是______
5.若不等式组
x-a 03-2x>-1
≥⎧⎨
⎩有5个整数解，则a 的取范围是_______
6.若不等式5231
x a x x >⎧⎨
+<+⎩的解集为x>4，则a 的取值范围是____
7.已知关于x 的不等式(32)4a b x a b --＜的解集为x ＞﹣
2
3
，试求bx —a ＞o 的解集。
3x+y=k
8.如果方程组 的解x ，y 满足x+y ＜2，求k 的取值范围。
x+3y=2 3x+2y=k+1
9.当k 为何负整数时， 方程组的解适合x ＞y
4x+3y=k —1
3x+y=1+3m
10（练习）.已知关于x ，y 的方程组 的解满足x+y ＞0，求m 的取值范围 x+3y=1—m
11（练习）.已知方程组⎩⎨⎧=+-=+2
212y x m
y x 的解x 、y 满足x +y ＞0，求m 的取值范围
12.若关于x 的方程52)4(3+=+a x 的解大于关于x 的方程3
)
43(4)14(-=+x a x a 的解，求a 的取值范围．
13关于x 的不等式（2a －b ）x+a －5b ＞0的 解为x ＜10
7
，求关于x 的不等式ax ＞b 的解
集．
14.已知三个非负数a ，b ，c ，满足3a+2b+c=5，2a+b —3c=1，若m=3a+b —7c ，求m 的最大值和最小值。
15.设x ＞y ，试比较﹣（8—10x ）与﹣（8—10y ）的大小。
16..关于y x ,的方程组⎩⎨
⎧-=-+=+1
31
m y x m y x 的解满足x >y
求m 的最小整数值 应用题
17.学校为初一寄宿学生安排宿舍，若每间4人，则有20人无法安排，若每间8人，则有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
18体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100只，付款总额不得超过11 815元．已知两种球厂家的批发价和商场的零售价如右表，试解答下列问题：
（1）该采购员最多可购进篮球多少只？
（2）若该商场把这100只球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员至少要购篮球多少只，该商场最多可盈利多少元？
19.今秋，某市白玉村水果喜获丰收，果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2吨．
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运输费300元，乙种货车每辆要付运输费240元，则果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？
20.为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备。
现有A、B两种型号的设备，其中
经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.
(1)请你设计该企业有几种购买方案;
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案;
(3)在第(2)问的条件下，叵每台设备的使用年限为10年，污水厂处理污水为每吨10元，请你计算，该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较，10年节约资金多少万元？
（注：企业处理污水的费用包括购买设备的资金和消耗费）
22.我市为绿化城区，计划购买甲、乙两种树苗共计500课，甲种树苗每棵50元，乙种树苗每棵80元，调查统计得：甲、乙两种树苗的成活率分别为90％，95％。
（1）如果购买量种树苗共用28000元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵？
（2）若购买前述不得超过34000元，应如何选购树苗？
（3）要使树苗的成活率不低于92％，其购买费用最低，应如何选购树苗？最低费用为多少？
23.某市平均每天产生垃圾700吨，由甲乙两个垃圾处理厂处理。
已知甲厂每小时可处理垃圾55吨，费用550元；乙厂每小时可处理垃圾45吨，费用495元。
（1）甲乙两厂同时处理该城市的垃圾，每天需几小时完成？
（2）如果规定该城市每天用于处理垃圾的费用不超过7370元，甲厂每天处理垃圾至少需要多少小时？。