2020年秋浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元培优 测试卷(Word版 含解析

2020年秋浙教版九年级数学上册第3章圆的基本性质单元培优测试卷解析版一、选择题（共10题；共30分）1.已知⊙O的半径为3，A为线段PO的中点，则当OP＝5时，点A与⊙O的位置关系为（）A. 点在圆内B. 点在圆上C. 点在圆外D. 不能确定2.在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（）A. B. C. D.3.往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为（）A. 8cmB. 10cmC. 16cmD. 20cm4.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BDC=20°，则∠AOC的大小为（）A. 40°B. 140°C. 160°D. 170°5.如图，点A,B,C,D在⊙O上，∠AOC=120°，点B是AC的中点，则∠D的度数是（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°6.如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE。

若∠D=80°，则∠EAC的度数是( )A. 20°B. 25°C. 30°D. 35°7.如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（）A. 45B. 34C. 23D. 128.如图，放置在直线l上的扇形OAB．由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③．若半径OA ＝2，∠AOB＝45°，则点O所经过的最短路径的长是（）A. 2π+2B. 3πC. 5π2D. 5π2+29.如图，在扇形OAB中，已知∠AOB=90°，OA=√2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（）A. π−1B. π2−1 C. π−12D. π2−1210.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=﹣12x+2上的一个动点，将Q绕点P(1，0)顺时针旋转90°，得到点Q′，连接OQ′，则OQ′的最小值为( )A. 4√55B. √5 C. 5√23D. 6√55二、填空题（共6题；共24分）11.在⊙O中，若弦BC垂直平分半径OA，则弦BC所对的圆周角等于________°.12.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长度为________．13.小明在手工制作课上，用面积为150πcm2，半径为15cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为________ cm．14.如图，已知锐角三角形ABC内接于半径为2的⊙O，OD⊥BC于点D，∠BAC=60°，则OD= ________．15.如图，正方形ABCD的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到CEFG位置，使得点B落在对角线CF上，则阴影部分的面积是________．16.如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积为32π，则半圆的半径OA的长为________．三、解答题（共8题；共66分）17.如图，在△ABC中，∠BAC=100°，将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，使得点B、C、D恰好在同一条直线上，求∠E的度数.18.如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．19.如图，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∠BAC=2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长．20.如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60度得到ΔDBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD.（1）求证：BC//AD；（2）若AB=4，BC=1，求A，C两点旋转所经过的路径长之和.21.如图，在△ABC中，AC=BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF//BC，交⊙O于点F，求证：（1）四边形DBCF是平行四边形（2）AF=EF22.如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠MAN=45°，把△ADN绕点A 顺时针旋转90°得到△ABE .（1）求证：△AEM≌△ANM .（2）若BM=3，DN=2，求正方形ABCD的边长.23.如图所示，已知A，B两点的坐标分别为（2 √3，0），（0，10），P是△AOB外接圆⊙C上的一点，OP交AB于点D．（1）当OP⊥AB时，求OP；（2）当∠AOP＝30°时，求AP．24.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．答案一、选择题1.解：∵OA ＝ 12 OP ＝2.5，⊙O 的半径为3， ∴OA ＜⊙O 半径，∴点A 与⊙O 的位置关系为：点在圆内.故答案为：A.2.解：ACD 、 不是由某个基本图形经过旋转得到的，故ACD 不符合题意； B 、是由一个基本图形经过旋转得到的，故B 符合题意. 故答案为：B.3.解：过点O 作OD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连接OA ， 由垂径定理得： AD =12AB =12×48=24cm ， ∵⊙O 的直径为 52cm ， ∴ OA =OE =26cm ，在 RtΔAOD 中，由勾股定理得： OD =√OA 2−AD 2=√262−242=10cm ， ∴ DE =OE −OD =26−10=16cm ， ∴油的最大深度为 16cm ， 故答案为： C ． 4.解：∵∠BDC=20° ∴∠BOC=2×20°=40° ∴∠AOC=180°-40°=140° 故答案为：B. 5.连接OB ，∵点B 是弧AC 的中点， ∴∠AOB ＝ 12 ∠AOC ＝60°，由圆周角定理得，∠D ＝ 12 ∠AOB ＝30°， 故答案为：A ．6.∵四边形ABCD 是菱形，∠D=80°， ∴∠ACB=12∠DCB=12（180°-∠D ）=50°， ∵四边形AECD 是圆内接四边形，∠D=80°，∴∠AEB=∠D=80°， ∴∠EAC=∠AEB-∠ACB=30°. 故答案为：C. 7.连接AC ，设正方形的边长为a ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B=90°， ∴AC 为圆的直径， ∴AC= √2 AB= √2 a ，则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为： 2π×(√22a)=2π≈23 ，故答案为：C. 8.解：如图，点O 的运动路径的长＝ 的长+O 1O 2+ 的长＝90·π·2180+45·π·2180+90·π·2180＝ 5π2 ，故答案为：C ． 9.连接OC∵ 点C 为弧AB 的中点 ∴∠AOC =∠BOC在 △CDO 和 △CEO 中 {∠AOC =∠BOC∠CDO =∠CEO =90°CO =CO∴△CDO ≅△CEO(AAS) ∴OD =OE,CD =CE 又 ∵∠CDO =∠CEO =∠DOE =90°∴ 四边形CDOE 为正方形 ∵OC =OA =√2 ∴OD =OE =1 ∴S 正方形CDOE =1×1=1由扇形面积公式得 S 扇形AOB =90π×(√2)2360=π2 ∴S 阴影=S 扇形AOB −S 正方形CDOE =π2−1故答案为：B.10.解：作QM ⊥x 轴于点M ，Q ′N ⊥x 轴于N ，设Q( m ， −12m +2 )，则PM= m ﹣1 ，QM= −12m +2 ， ∵∠PMQ=∠PNQ ′=∠QPQ ′=90°， ∴∠QPM+∠NPQ ′=∠PQ ′N+∠NPQ ′， ∴∠QPM=∠PQ ′N ， 在△PQM 和△Q ′PN 中，{∠PMQ =∠PNQ ′=90°∠QPM =∠PQ ′NPQ =Q ′P，∴△PQM ≌△Q ′PN(AAS)，∴PN=QM= −12m +2 ，Q ′N=PM= m ﹣1 ， ∴ON=1+PN= 3−12m ， ∴Q ′( 3−12m ， 1﹣m )，∴OQ ′2=( 3−12m )2+( 1﹣m )2= 54 m 2﹣5m+10= 54 (m ﹣2)2+5，当m=2时，OQ ′2有最小值为5， ∴OQ ′的最小值为 √5 ， 故答案为：B. 二、填空题11.设弦 BC 垂直平分半径 OA 于点E ，连接OB 、OC 、AB 、AC ，且在优弧BC 上取点F ，连接BF 、CF ，∴OB=AB ，OC=AC ，∵OB=OC ，∴四边形OBAC 是菱形， ∴∠BOC=2∠BOE ， ∵OB=OA ，OE= 12 , ∴cos ∠BOE= 12 ， ∴∠BOE=60°， ∴∠BOC=∠BAC=120°， ∴∠BFC= 12 ∠BOC=60°，∴ 弦 BC 所对的圆周角为120°或60°， 故答案为：120或60. 12.连接OC ，Rt △OCH 中，OC= 12 AB=5，CH= 12 CD=4；由勾股定理，得：OH= √OC 2−CH 2=√52−42=3 ； 即线段OH 的长为3． 故答案为：3．13.由 S 扇形=12lR 得：扇形的弧长= 2×150π÷15=20π （厘米），圆锥的底面半径= 20π÷π÷2=10 （厘米）． 故答案是：10． 14.解：连接OB 和OC ，∵△ABC 内接于半径为2的圆O ，∠BAC=60°， ∴∠BOC=120°，OB=OC=2， ∵OD ⊥BC ，OB=OC ， ∴∠BOD=∠COD=60°， ∴∠OBD=30°，∴OD= 12 OB=1，故答案为：1.15.解：过E 点作MN ∥BC 交AB 、CD 于M 、N 点，设AB 与EF 交于点P 点，连接CP,如下图所示，∵B 在对角线CF 上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，∴△ENC 为等腰直角三角形，∴MB=CN= √22 EC= √22 ， 又BC=AD=CD=CE ，且CP=CP ，△PEC 和△PBC 均为直角三角形，∴△PEC ≌△PBC(HL)，∴PB=PE ，又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE ，∴△MPE 为等腰直角三角形，设MP=x ， 则EP=BP= √2x ，∵MP+BP=MB ，∴ x +√2x =√22，解得 x =2−√22 ，∴BP= √2x =√2−1 ，∴阴影部分的面积= 2S ΔPBC =2×12×BC ×BP =1×(√2−1)=√2−1 ．故答案为： √2−1 ．16.解：如图，连接 OC,OD,CD,∵ 点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，∴∠AOC =∠COD =∠DOB =60°,∵OC =OD,∴△COD 为等边三角形，∴∠OCD=60°,∴∠AOC=∠DCO,∴CD//AB,∴S△COD=S△BCD,∴S扇形OCD =S阴影=3π2，∴60π•OA2360=3π2,解得：OA=3,（负根舍去），故答案为：3三、解答题17. 解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，∴∠BAD=150°,AD=AB,∠E=∠ACB .∵点B、C、D恰好在同一条直线上∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，∴∠B=∠BDA，∴∠B=12(180°−∠BAD)=15°，∴∠E=∠ACB=180°−∠BAC−∠B=180°−100°−15°=65° .18. 解：如图，连接OC，∵∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B，∴∠AOC＝∠DAC，∴AO＝AC，又∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝AO＝12AD＝3cm．19. （1）连接OA，如下图1所示：∵AB=AC，∴AB = AC，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO．∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．（2）如图2中，延长AO交BC于H．①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=67.5°．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述：∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，过A点作AE // BC交BD的延长线于E．则AEBC = ADDC= 23，且BC=2BH，∴AOOH = AEBH= 43，设OB=OA=4a，OH=3a．则在Rt△ABH和Rt△OBH中，∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，∴25 - 49a2=16a2﹣9a2，∴a2= 2556，∴BH= 5√24，∴BC=2BH= 5√22．故答案为：5√22．20. （1）证明：由旋转性质得：ΔABC≅ΔDBE,∠ABD=∠CBE=60°∴AB=BD,∴ΔABD是等边三角形所以∠DAB=60°∴∠CBE=∠DAB,∴BC//AD；（2）解：依题意得：AB=BD=4，BC=BE=1，所以A，C两点经过的路径长之和为60π×4180+60π×1180=53π .21. （1）证明：∵AC=BC，∴∠BAC=∠B，∵DF//BC，∴∠ADF=∠B，又∠BAC=∠CFD ,∴∠ADF=∠CFD,∴BD//CF,四边形DBCF是平行四边形.（2）证明：如图，连接AE∵∠ADF=∠B，∠ADF=∠AEF∴∠AEF=∠B四边形AECF是⊙O的内接四边形∴∠ECF+∠EAF=180°∵BD//CF∴∠ECF+∠B=180°∴∠EAF=∠B∴∠AEF=∠EAF∴AF=EF22. （1）证明：由旋转的性质得：AE=AN,∠BAE=∠DAN ∵四边形ABCD是正方形∴∠BAD=90°，即∠BAN+∠DAN=90°∴∠BAN+∠BAE=90°，即∠EAN=90°∵∠MAN=45°∴∠MAE=∠EAN−∠MAN=90°−45°=45°在△AEM和△ANM中，{AE=AN∠MAE=∠MAN=45°AM=AM∴△AEM≅△ANM(SAS)；（2）解：设正方形ABCD的边长为x，则BC=CD=x∵BM=3,DN=2∴CM=BC−BM=x−3,CN=CD−DN=x−2由旋转的性质得：BE=DN=2∴ME=BE+BM=2+3=5由（1）已证：△AEM≅△ANM∴MN=ME=5又∵四边形ABCD是正方形∴∠C=90°则在Rt△CMN中，CM2+CN2=MN2，即(x−3)2+(x−2)2=52解得x=6或x=−1（不符题意，舍去）故正方形ABCD的边长为6.23. （1）解：∵A，B两点的坐标分别为（2 √3，0），（0，10），∴AO＝2 √3，OB＝10，∵AO⊥BO，∴AB＝√100+12＝4 √7，∵OP⊥AB，∴10×2√32＝4√7×CD2，CD＝DP，∴CD＝5√217，∴OP＝2CD＝10√21；7（2）解：连接CP，如图所示：∵∠AOP＝30°，∴∠ACP＝60°，∵CP＝CA，∴△ACP为等边三角形，AB＝2 √7．∴AP＝AC＝1224. （1）解：如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）解：线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD ∥BF ，∴∠EBF ＝∠ADB ＝45°，又∠ABC ＝90°，∴α+β＝45°，过B 作BN ⊥BE ，使BN ＝BE ，连接NC ，∵AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBN ，BE ＝BN ，∴△AEB ≌△CNB （SAS ），∴AE ＝CN ，∠BCN ＝∠BAE ＝45°，∴∠FCN ＝90°．∵∠FBN ＝α+β＝∠FBE ，BE ＝BN ，BF ＝BF ，∴△BFE ≌△BFN （SAS ），∴EF ＝FN ，∵在Rt △NFC 中，CF 2+CN 2＝NF 2 ，∴EA 2+CF 2＝EF 2；（3）解：如图3，延长GE ，HF 交于K ，由（2）知EA 2+CF 2＝EF 2 ，∴ 12 EA 2+ 12 CF 2＝ 12 EF 2，∴S △AGE +S △CFH ＝S △EFK ，∴S △AGE +S △CFH +S 五边形BGEFH ＝S △EFK +S 五边形BGEFH ，即S △ABC ＝S 矩形BGKH ，∴ 12 S △ABC ＝ 12 S 矩形BGKH ，∴S △GBH ＝S △ABO ＝S △CBO ，∴S △BGM ＝S 四边形COMH ， S △BMH ＝S 四边形AGMO ，∵S 四边形AGMO ：S 四边形CHMO ＝8：9，∴S △BMH ：S △BGM ＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3 √2，∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA2+CF2＝EF2，∴(3√2)2+[√2(k+3)]2=[√2(8k−3)]2，整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，（舍去），k2＝1．解得：k1＝﹣17∴AB＝12，∴AO＝√2AB＝6 √2，2∴⊙O的半径为6 √2．。