分布的离中趋势
第四章 集中趋势和离中趋势 《统计学》 ppt课件
六种相对数指标的比较
不同时期
同一现象 比较
不同现象 比较
同一时期比较 同类现象比较
动态 相对数
不同总体 比较
强度
同一总体中
部分与部分 部分与总体实际与计划
相对数 比 较 比 较 比 较 比 较
比例 相对数
结 构 计划完成
相对数 相对数 相对数
五、计算和应用相对指标的原则
1、正确选择对比的基础（即分母） 2、保证分子、分母的可比性 3、注意相对指标与总量指标结合运用 4、多个相对指标结合运用
(xi x) 0
(xi x) f 0
（2）各个变量值与算术平均数的离差平方和为最 小值。
(xi x)2 min
II调和平均数（H）
与算术平均数没有本质区别，是算术平均数的变形。 是根据变量值ｘ的倒数计算的，又称为倒数平均数。 1、简单调和平均数：未分组资料
步骤：（1） x1、x2、、xn
计量单位表现为两种形式：
一种是复名数，即双重计量单位。在计算这种强度相对指标时，由 于其分子与分母的计量单位在计算时无法约去，故计算后仍保留 对比双方的单位，如人口密度用“人/平方公里”表示，人均国 民生产总值用“元/人”表示；
另一种是无名数，即无计量单位。在计算这种强度 相对指标时，由于其分子与分母的计量单位相同， 在计算时已约去，故计算后其无单位，一般用千 分数、百分数表示，如：人口出生率用千分数来 表示。
（2） 1 、1 、 、1
x1 x2
xn
（3）
1 x
n
（4）
H
n
1 x
2、加权调和平均数：
各组变量值x 各组标志总量 m=xf
将算术平均数公式变形，得：
H
课后客观题答案
• 4.根据同一分组资料计算简单平均数和加权算术平均数 其结果相同，是因为（2） ①各组权数不等 ②各组权数相等 ③各组变量值之差相等 ④变量值大致相等
xf • 5.加权算术平均数公式 f f 中权数（频数）是（1） ①f ② f ③ f ④ xf
x
•
6.加权算术平均数公式 x x ①f ②
• 5.常用的相对指标有（12345） ①动态相对指标 ②结构相对指标 ③强度相对指标 ④比较与比例相对指标 ⑤计划完成情况相对指标 • 6.相对指标数值的表现形式有（25） ①比例数 ②无名数 ③结构数 ④抽样数 ⑤有名数 • 7.比较相对指标是用于（1345） ①不同国家、地区和单位之间的比较 ②不同时间状态下的比较 ③先进地区水平和后进地区水平的比较 ④实际水平与标准水平或平均水平的比较 ⑤不同空间条件下的比较
第一章
• 调查某大学5000名学生学习成绩，则总体单位是（每一 名学生），统计总体是（某大学5000名学生）。 • 某班5名同学的某门成绩分别是70，75，80，90，95， 这5各数是（ D ） A指标，B标志，C变量，D变量值 • 某企业职工张三的工资额为500元，则“工资”是（标 志） • 下列指标中属于质量指标的是（ B）。 A社会总产值，B产品合格率，C产品总成本，D人口总数 • 下列属于品质标志的是（B） A工人年龄，B工人性别，C工人体重，D工人工资等级 • 下列属于离散变量的是（C） A学生成绩,B销售额，C年龄，D身高
• 5.下面按数量标志分组的是（B） A工人按政治面貌分组； B工人按年龄分组； C工人按性质分组； D工人按民族分组 • 6.在编制等距数列时，如果全距等于56，组数为6，为统计运算 方便，组距取（D） A 9.3； B 9； C 6； D 10 • 7.对于越高越好的现象按连续变量分组，如果第一组为75以下， 第二组为75~85，第三组为85~95，第四组为95以上，则数据（A） A 85在第三组；B 75在第一组；C 95在第三组；D 85在第二组 • 8.按连续变量分组，期末组为开口组，下限为2000，已知相邻 组的组中值为1750，则末组组中值为（B） A 2500; B 2250; C 2100; D 2200
标志变异指标
x甲 =
∑x
i =1
i
n
n
=
350 = 70(件) 5
σ甲 =
=
( xi − x ) 2 ∑
i =1
n
10 ≈ 1 . 414 （件） 5
n
日产量（件） 乙 组 日 产 量 60 70 80 90 50
-20 -10 0 10 20
x =
∑x
i =1
i
n
=
n
350 = 70(件) 5
i
σ乙 =
=
∑ (x
i =1
100 = 4 = 2(件) 25
i
小结
一、标志变异指标 1、定义 、 2、作用 、 二、标志变异指标值的计算方法 1、全距 、 2、标准差 、
课后作业
习题集：P46 24 习题集：
25（ ）（2 P47 25（1）（2）
全
距
R
全距也称为极差， 全距也称为极差，是变量分布中最大值与 最小值之差。 最小值之差。 全距（R)=最大变量值 最大变量值全距（R)=最大变量值-最小变量值
缺少上限 组中值 = 下限 +
邻组组距 2
缺少下限 组中值 = 上限 − 邻组组距 2
标志变异指标
定义
乙两组日产量组成两个数列， 甲、乙两组日产量组成两个数列， 甲数列： 甲数列： 68 乙数列： 50 乙数列： 69 60 70 70 71 80 72 90
x = 70
x = 70
甲数列集中程度大，乙数列离散程度大。 甲数列集中程度大，乙数列离散程度大。变量的离散趋 势越大，说明集中趋势越差，如乙数列； 势越大，说明集中趋势越差，如乙数列；变量的离散趋 势越小，说明集中趋势越强，如甲数列。 势越小，说明集中趋势越强，如甲数列。
离中趋势的含义和
离中趋势的含义和离中趋势，也被称为离散趋势，是统计学中常用于描述一组数据的波动情况的概念。
它表明数据点相对于数据集的中心位置（通常指平均值）的偏差程度。
离中趋势可以帮助我们了解数据的分布规律及变化情况，进而对数据进行更全面的分析和解读。
在本文中，我将详细探讨离中趋势的含义、计算方法以及其在实际应用中的重要性。
离中趋势是一组数据点相对于其平均值的离散程度的度量。
在统计学中，我们常常使用平均数作为数据集的中心位置的代表，因此离中趋势通常是指数据点与平均数之间的偏差。
这个偏差可以分为正偏差和负偏差，分别表示数据点大于平均数和小于平均数。
离中趋势的计算方法有很多种，常见的包括范围（range）、方差（variance）、标准差（standard deviation）和四分位数（quartiles）等。
范围是指数据集中最大值与最小值之间的差异，它可以快速计算出数据的整体离散程度，但忽略了数据分布的形状。
方差是数据点离平均数的偏差的平方和的平均值。
它量化了数据点与平均数之间的距离，可以反映数据的整体离散程度。
然而，由于方差计算得到的单位是原数据单位的平方，难以直观地解释和比较。
标准差是方差的平方根，它与原数据具有相同的单位，更加直观和易于理解。
标准差越大，表示数据的离中趋势越大；标准差越小，表示数据的离中趋势越小。
四分位数是将数据集按大小顺序排列后，将数据分为四等份，分别是最小值、第一四分位数、中位数和第三四分位数。
四分位数可以帮助我们判断数据的分布情况以及离中趋势的大小。
离中趋势在实际应用中具有重要作用。
首先，它可以帮助我们了解数据的波动情况，即数据点相对于平均数的分散程度。
对于金融市场、股票交易等实时数据，离中趋势的计算可以揭示市场的波动性和不确定性，为风险评估和投资决策提供参考。
其次，离中趋势可以帮助我们比较不同数据集之间的差异。
例如，在市场研究中，我们可能需要比较不同地区或不同年份的销售数据，离中趋势可以帮助我们分析并解释这些差异。
第三章 集中趋势和离中趋势
38
（三）分位数
四分位数的计算方法：
与中位数计算相类似
（1）未分组资料计算
首先对数据进行排序，然后确定四分位数
所在位置。
设：下四分位数为 QL
上四分位数为 QU
=1502.5/1460=102.91%
15
15
表二（用于计算调和平均数）
计划完成（%） 企业数（个）
95——100
5
100——105
8
105——110
3
110以上
2
合计
18
实际完成数（万元） 97.5 1230.0 107.5 67.5 1502.5
要求同上：计算18个企业税收收入平均计划完成程度。
32
32
（二）中位数
2、中位数的确定
Hale Waihona Puke 单项数列（2）分组资料确定中位数 组距数列 由单项数列计算中位数：
首先，计算各组的累积次数；
然后，根据中点位置（总次数/2）在累积 次数中确定中位数所在组，以确定中位数。
33
（二）中位数
2、中位数的确定 （2）分组资料确定中位数 由组距数列计算中位数（情况要复杂一些）： 分三步骤： 第一步，计算累积次数； 第二步，计算中位数位置（总次数/2），以
f1 f2 ... fn
f
式中：f—— 代表各组的次数或频数（即各组的单位数）。
比较两个公式，并解释为什么次数f又称之为权数？
9
X x1 x2 n
n
xn
xi
i 1
n
n
集中趋势和离中趋势
平均时速
H
10+10
10 50
10
30
2
1 50
1 30
37.5
（2）总体单位数未知时，例4.11（71）
加权调和平均数
1
N
MH
N i 1
fi
1 Xi
N i 1
fi
1 Xi
N
▪ 应用条件：资料经过分组，各组次数不同。
算术平均、几何平均、调和平均三者关系
▪ 三者均属于均值体系 ▪ 算术平均值是直接对观察值进行平均；几
【例】：9个家庭旳人均月收入数据(3种措施计算)
原始数据: 1500 750 780 1080 850 960 2023 1250 1630
排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2023
位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
措施1：
QL位置
9 4
2.25
i 1
二、中位数
将数据观察值x1,x2,…,xn按其变量值由小到 大旳顺序排列，处于数列中点位置旳数值就是中位 数（Me）。
中位数旳拟定方法： ①如果数据个数为奇数，则处于（n+1)/2位置旳标志值是中位数。
②如果数据个数为偶数，则处于n/2、n/2+1旳两个标志值旳平均数为中位数。
③假如是组距分组资料，公式为：
限；N表达数据总个数；Fi-1表达第i个K分位数所在组旳前一组
旳累积次数；fi是第i个K分位数所在组旳次数。di= Ui-Li是第i
个K分位数所在组旳组距。
四分位数旳位置拟定措施：
措施1：定义算法
QL位置
n 4
QU位置
3n 4
第三章统计指标
第三章 统计指标一、单项选择题1. 我国2008年末总人口为132802万人，全年出生人口1608万人。
这两个指标是（ ） A ．时点指标 B. 前者是时期指标，后者是时点指标 C. 时期指标 D. 前者是时点指标，后者是时期指标2. 反映我国粮食生产总量，通常采用（ ） A ．价值量指标 B. 劳动量指标 C ．标准实物量指标 D. 实物量指标3. 某企业计划本月产品单位成本比上月降低5%，实际降低了2%，则单位产品成本计划完成程度为（ ）A ．97.14% B. 40% C. 103.16% D. 96.94%4．某企业劳动生产率计划提高5%，实际提高10%，则劳动生产率计划完成程度为（ ） A. 104.76% B. 95.45% C.94.74% D. 200% 5．下列各项中，超额完成计划的是（ ）A. 单位成本计划完成程度105%B. 产值计划完成程度105%C. 流通费用计划完成程度105%D. 建筑预算成本计划完成程度105% 6．某企业有三批产品，其废品率分别为1.5%、2%、1%，废品数量相应为25件、30件、40件，则这三批产品平均废品率的计算式应为（ ）A ．3%1%2%5.1++ B. 403025%1%2%5.1++++C ．3%1%2%5.1⨯⨯ D.%140%230%5.125403025++++7．甲、乙两车间工人的劳动生产率分别为18件和15件。
若两个车间工人的劳动生产率不变，但甲车间工人数占两车间工人数的比重下降，则两个车间工人劳动生产率（ ）A ．上升 B. 下降C. 不变D. 可能上升，也可能下降8. 权数对平均数的影响作用取决于（ ）A ．各组标志值的大小B . 各组的次数多少C ．各组次数在总体单位总数中的比重 D. 总体单位总量9．某企业要采取一项新的改革措施，为了解职工的意见，随机抽取了100名职工进行调查，其中表示赞成的有69人，表示中立的有22人，表示反对的有9人。
第三章 统计学教案(分布的数字特征)
第三章统计分布的数值特征只知道什么是统计分布是不够的，还必须学会对其进行量化描述。
描述统计分布的重要的特征值有两个，一个是说明其集中趋势的平均指标，另一个是说明其离散程度的变异指标。
这一对矛盾的指标分别从不同角度反映了统计分布的分布特点，它们相辅相成，相互补充，缺一不可。
本章着重就这两个指标展开讨论，介绍了它们的理论、方法与应用，充分理解掌握本章的内容，对于以后各章节的学习尤为重要。
本章的目的与要求通过本章学习，要求学生在了解总体分布的两个重要特征值就是平均指标与变异指标的前提下，着重掌握这两个指标的计算方法及其数学性质；明确反映集中趋势的各种平均指标的计算特点与作用、反映离散程度的各种变异指标的计算特点与作用；还要学会利用这两个特征值得各自数学性质，采用简捷法计算算术平均数和标准差，以提高计算效率；此外，算术、调和与几何平均数三者之间的关系，算术平均数与众数、中位数之间的关系等也是学生应充分理解掌握的内容。
本章主要内容（计划学时7 ）一、分布的集中趋势（1）——数值平均数1、算术平均数2、调和平均数3、几何平均数二、分布的集中趋势（2）——位置平均数1、众数2、中位数3、其他分位数三、分布的离中趋势——变异指标1、变异全距2、平均差3、标准差4、变异系数学习重点一、重点掌握各种平均数的特点、应用条件、应用范围和计算方法，及其相互之间的关系；二、了解变异指标的意义和作用，熟练掌握各种变异指标的计算方法，尤其应重点掌握标准差的计算与应用；三、理解掌握算术平均数与标准差的数学性质，并且能利用其数学性质进行简捷计算；四、明确平均指标与变异指标的相互关系及其运用原则。
学习难点一、各种平均指标的应用条件、运用范围，尤其是加权算术权数的选择；二、根据所掌握的资料，应选择算术平均或调和平均方法;三、标准差的理论依据及其计算方法，尤其是成数标准差的计算更是初学者不易掌握的问题。
第一节 分布的集中趋势（1）——数值平均数一、统计平均数1、反映总体分布的集中趋势2、反映统计数列所达到的一般水平（静态、动态）3、与强度相对数的区别 二、算术平均数（用A x 表示） （一）算术平均数的基本内容： 算术平均数＝总体单位总量总体标志总量（二）简单算术平均数nxnx x x x ni inA ∑==+++=121可简写为：nx x A∑=式中： x i 为变量值 n 是总体单位数 Σ为总和符号例3－1.1 从某味精厂的生产线上随机抽取了10包味精，测得每包净重分别为（单位：克）499 497 501 499 502 503 500 499 498 500 将此十个数据相加除以十就是算术平均数（结果为499.8克）。
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二、分布的离中趋势
在统计实践中，有时需要计算成数的标准差，即是非标志的标准 差。是非标志把总体分成两个部分：一部分具有某种标志，另一部 分不具有此种标志。这种用“是”或“非”来表示总体单位特征的 标志，称为是非标志。
计算是非标志的标准差时要把是非标志从质的差别转化为量的差 别，一般把“是”的标志值用“1”代替，把“非”的标志值用 “0”代替；总体单位数用N表示；具有所研究的标志的单位数用N1 表示，成数用P表示，P=N1/N；不具有所研究的标志的单位数用N0 表示，成数用Q表示，Q=N0/N。显然，N1+N0=N,P+Q=1。
二、分布的离中趋势
（1）样本方差的 计算。
（2）样本标准差 的计算。
二、分布的离中趋势
4. 标准差的计算应用
（1）未分组数据标准差的计算应用。 【例4-18】 某工厂某车间甲、乙两个组各有10名工人，每人日 产某种零件数(单位：件)为 甲组：20，21，21，22，22，22，23，23，23，23 乙组：14，15，16，21，22，22，23，28，29，30 试计算两组工人的日产量的标准差。 解：计算过程见表4-11。
二、分布的离中趋势
一 、 全距
全距也称为极差，它是表明总体单位标志数值
变动范围的指标，是总体各单位全部变量值中两个极
端值（最大值和最小值）之差，用R表示。其计算公
式为
R=xmax－xmin
（4-17）
式中，R为全距；xmax为标志的最大值；xmin为标
志的最小值。
二、分布的离中趋势
用全距衡量总体分布的离散程度，计算 方法简单，便于理解，能说明总体中各标志 值变动的最大范围。但全距是根据总体中的 两个极端标志值进行计算的，并不能反映所 有标志值差异的大小和总体单位的分配情况 ，并且受极端值的影响较大。
二、分布的离中趋势
【例4-22】 某企业有甲、乙两个车间，甲车间的平均产量为81件，标 准差为9.9件，乙车间的生产情况见表4-14。试计算乙车间的平均产量， 并比较甲、乙两个车间哪个车间的平均产量更具代表性。
表4-14 乙车间的生产情况
二、分布的离中趋势
解：(1)乙车间的平均产量为 乙车间平均产量的标准差为
二、分布的离中趋势
二、 四分位差
1. 四分位差的概念
四分位数是通过三个点将全部数据四等分。如 果用上四分位数减去下四分位数，可得内四分位间 距或四分位间距。这个指标与一般极差的区别在于 计算范围较窄，因而排除了部分极端值对变异指标 的影响。但在运用指标进行分析时，人们一般习惯 于取四分位间距的一半（四分位差，用QD表示）。
由σ乙=9.16(件) 从计算结果看，虽然<σ甲，但是由于甲、乙两个车间的平均产量 不等，故不能直接肯定说明甲车σ乙间产量的变动程度比乙车间大，应该通过计算标准差 系数来加以判断。σ乙=9.16(件)
二、分布的离中趋势
（2）甲车间的标准差系数为
乙车间的标准差系数为 因为V甲<V乙，所以，甲车间的平均产量更具有代表性，即乙车间产
量的变动程度更大。
二、分布的离中趋势
2. 四分位差的计算
计算四分位差的步骤是：首先求 出Q1、Q3所在的位置；然后根据位 置确定其对应标志值，即Q1、Q3； 最后取这两者差额的一半。
二、分布的离中趋势
三 、 方差和标准差
1. 方差和标准差的概念
方差是总体各单位标志值与其算术平均 数的离差平方和的算术平均数，用σ2表示。 标准差又称均方差，是总体各单位标志值与 其平均数离差平方和的算术平均数的平方根 ，用σ表示。标准差是测定离散程度最常用、 最重要的指标。
二、分布的离中趋势
【例4-20】 某年级学生的资料见表4-13，求成数的标准差。
表4-13 某年级学生的资料
二、分布的离中趋势
解：成数的平均数为 成数的标准差为
由具体数值可计算出 男生成数的标准差为
二、分布的离中趋势
四 、 离散系数
上面介绍的各离散程度测度值都是反映数据分散程度的绝对值。 其数值的大小，一方面取决于原变量值本身水平的高低，即与变量的 均值大小有关，变量值的绝对水平越高，离散程度的测度值越大；变 量值的绝对水平越低，离散程度的测度值越小。另一方面，它们与原 变量值的计量单位相同，但当采用不同计量单位计量变量值时，其离 散程度的测度值将不同。因此，对于平均水平不同或计量单位不同的 不同组别的变量值，是不能直接用标准差比较的。为了消除变量值平 均水平高低和计量单位对离散程度测度值的影响，需要计算离散系数。
项目
分布的离中趋势
二、分布的离中趋势
数据的离散程度是数据分布的另一个重要特征， 它反映的是各变量值远离其中心值的程度，又称离中 趋势。数据的离散程度越大，集中趋势的测度值对该 组数据的代表性越差；反之，其代表性越好。常用的 描述数据离散程度的测度值有全距、四分位差 (quartile deviation)、方差(variance)、标准差 (standard deviation)和离散系数等。
二、分布的离中趋势
2. 方差和标准2）标准差的 计算。
二、分布的离中趋势
3. 样本方差和样本标准差的计算
样本方差是样本各单位标志值与其 算术平均数的离差平方和的算术平均 数，用s2表示。样本标准差是样本各单 位标志值与其平均数离差平方和的算 术平均值的平方根，用s表示。
二、分布的离中趋势
表4-11 甲、乙两组工人日产量的标准差计算
从计算结果可以看出，在甲、乙两组工人平均日产量相等的情况下，乙 组的标准差大于甲组，因而乙组平均数的代表性更差一些。
二、分布的离中趋势
（2）已分组数据标准差的计算应用。 由于方差的计算单位为平方单位，不易于直接比较，因而，标准
差在经济统计中应用得更为广泛。 以上计算的标准差是通过一系列的变量值与平均数计算后而得出