函数的奇偶性(2)
函数的奇偶性2
变式：已知偶函数 y f ( x) 在定义域为（-2，2） 1 且在[0,2）上单调递减，求满足 f ( x 1) f ( ) 3 的x的集合. f ( x 1) ＜ f (3 2 x) 呢？
例2：已知 f ( x)是R上的偶函数，当 x 0 2 时，f ( x) x 2x，求 f ( x) 的解析式。
B．增函数且最大值为-5
D．减函数且最大值为-5 ；
2
f ( x) 在[0，5]上单调递增，则 f ( 2), f (3), f ( )
f ( 2 )＜ f ( 2 ) ＜ f (3)
(可通过举反例的方式否定函数具有奇偶性.)
用定义判断函数 f ( x) 是否具有奇 2 x 2 偶性?
1 x
2
复习巩固
1．下列函数中，在其定义域内，既是奇函数，又
是增函数的是（ C ）
y x C． y x B． y 2x 1 y x3 D． A．
1、当____时一次函数f(x)=ax+b是奇函数
例3 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在 (,0] 上是增函数，f(-2)=0，求不等式 x f ( x) 0 的解集.
练习 1．若奇函数在区间[3,7]上是增函数, 且最小值为5, 那么 在区间[-7, -3]上是( B )
A．增函数且最小值为-5
C．减函数且最小值为-5 2．偶函数 从小到大排列的顺序是
f(7)的值。 设g(x)＝ax3＋bx＋5，已知g(－7)＝－ 17,求g(7)的值。
27
3、已知函数的右半部分图象，根据下列条件把 函数图象补充完整； 1) f(x)是偶函数; 2) f(x)是奇函数. y y
2
2
第3讲 函数的奇偶性 2
第3讲 函数的简单性质——奇偶性知识 整合【基础知识】1．如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )叫做偶函数．如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么f (x )叫做奇函数．2．如果奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.如果函数f (x )的定义域不关于原点对称，那么f (x )一定是非奇非偶函数．如果f (x )是既奇又偶函数，那么f (x )的表达式是f (x )＝0.3．奇偶函数的性质(1)奇偶函数定义域关于原点对称．(2)奇函数图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．(3)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反．4．周期性周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x )＝f (x ＋T )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，T 为这个函数的周期．【基础自测】1．已知函数f (x )是偶函数，若f (1)＝2，则f (－1)＝________.2．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x ＋4)＝f (x )，则f (8)的值为________．3．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，则g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是__________函数．(填“奇”或“偶”)4．已知函数f (x )的周期为2，f (－1)＝3，则f (3)＝________.重难点 突破考点1 判断函数的奇偶性 重点阐述判别函数奇偶性的方法第一，求函数定义域，看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称，则该函数为非奇非偶函数；第二，若定义域关于原点对称，函数表达式能化简的，则对函数表达式进行适当的化简，以便于判断；第三，利用定义域进行等价变形判断；第四，分段函数应分段讨论，要注意根据x 的范围取相应的函数表达式或利用图象判断．例1：判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x (12x －1＋12)； (2)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(3)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x (x ＜0)－x 2＋x (x ＞0)；(5)f (x )＝x 2－|x －a |＋2.【解】【点评】判断奇偶性，首先要看定义域，再由f(－x)与f(x)的关系作出判断，也可利用图象判断出f(x)的奇偶性．举一反三：判断下列函数的奇偶性：f(x)＝1＋22x－1.考点2函数性质的综合应用难点释疑单调性和奇偶性是函数两条重要的基本性质，二者之间有下面的密切关系：(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．巧妙运用这一关系，可以解决很多函数的综合问题，特别是抽象函数(即没有给出函数解析式的函数)问题．例2：若偶函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，且f(6)＝9，那么它在区间[－6，－3]上的最大值为________．【解】【点评】函数的性质本身就是一个整体，因此函数的单调性、奇偶性甚至函数的周期性本身就紧密地结合在一起，在求解试题时一定要注意这一点，要综合分析函数的性质．举一反三：设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＜f(1)，求实数m的取值范围．考点3函数的周期性重点阐述判断函数周期性的几个常用结论若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有：①f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；②f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－1f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．难点释疑应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内．例3：(12江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f (12)＝f (32)，则a ＋3b 的值为________． 【解】【点评】 本小题主要考查周期函数的概念、分段函数的理解以及分析问题的能力，考查运算求解能力，题中隐含关系f (－1)＝f (1)，对学生思维的深刻性有较高要求．本题属中等难度题．举一反三：设函数f (x )是定义在R 上的周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则f (32)＝________.课堂 训练1．(13江苏模拟)若函数f (x )＝22x ＋1＋m 为奇函数，则实数m ＝________. 2．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f (－52)＝________. 3．(13江苏模拟)已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f (x ＋2)·f (x )＝1.对于x ∈R 恒成立，且f (x )＞0，则f (119)的值为________．4．(13江苏模拟)设f (x )是定义在R 上且以3为周期的奇函数，若f (1)≤1，f (2)＝(2a －3)(a ＋1)，则实数a 的取值范围是________．5．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上单调递减，且f (12) ＝0，则满足f (log 14x )＜0的x 的取值范围为________．作业：一、填空题1．函数①y ＝x sin x ；②y ＝22x －1＋1；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≤0)，log 2x (0<x ≤1)；④y ＝－x 2＋2x ＋1，x ∈[－2,2]中，函数图象具有对称性的是__________．2．若函数f (x )＝3ax ＋1－a x 2－4为偶函数，则实数a 的值__________． 3．(13江苏模拟)已知f (x )为奇函数，g (x )＝f (x )＋9，g (－2)＝3，则f (2)＝________.4．若f (x )是R 上周期为5的奇函数．且有f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)＝________.5.定义在R 上的偶函数f (x )的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f (x )的单调性不同．．的是________．①y ＝x 2＋1②y ＝|x |＋1③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋1，x ≥0x 3＋1，x <0④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≥0e －x ，x <06．(13江苏模拟)设α∈{－1,112，3}，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．7．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)＞0}＝________.8．定义在R 上的偶函数f (x )满足： 对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)(f (x 2)－f (x 1))＞0恒成立．则当n ∈N *时，下列说法正确的有________．①f (n ＋1)＜f (－n )＜f (n －1)②f (n －1)＜f (－n )＜f (n ＋1)③f (－n )＜f (n －1)＜f (n ＋1)④f (n ＋1)＜f (n －1)＜f (－n )二、解答题9．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a是奇函数． (1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立．求k 的取值范围．10．已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．11．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )的周期函数．(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)．12．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋lg|a ＋2|(a ∈R ，且a ≠－2)．(1)写出一个奇函数g (x )和一个偶函数h (x )，使f (x )＝g (x )＋h (x )；(2)对(1)中的g (x )．命题P: 函数f (x )在区间[(a ＋1)2，＋∞)上是增函数；命题Q: 函数g (x )是减函数；如果命题P 、 Q 有且仅有一个是真命题，求a 的取值范围；(3)在(2)的条件下，求f (2)的取值范围．。
函数的奇偶性教案 (2)
函数的奇偶性教案引言函数是数学中非常重要的概念之一，在高中数学课程中，我们经常会接触到各种类型的函数并学习相关的知识。
其中，函数的奇偶性是一个相对较为复杂的概念，需要进行较为深入的理解和掌握。
本教案将从奇函数和偶函数的定义、性质以及函数图像的对称性等方面，通过理论讲解和练习题的形式进行教学。
希望通过本教案的学习，学生能够清楚地理解函数的奇偶性概念，并能够熟练地应用到实际问题中去。
一、奇偶性的定义在学习函数的奇偶性之前，我们首先需要明确函数的定义。
1. 函数的定义函数是一种对应关系，它是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
函数可以用一个公式来表示，通常形式为：y = f(x)其中，x表示自变量，y表示因变量，f(x)表示函数。
2. 奇函数的定义奇函数是满足以下条件的函数：f(-x) = -f(x)换句话说，如果将函数的自变量取相反数，并且函数值取相反数后仍然相等，那么这个函数就是奇函数。
3. 偶函数的定义偶函数是满足以下条件的函数：f(-x) = f(x)换句话说，如果将函数的自变量取相反数，并且函数值保持不变，那么这个函数就是偶函数。
二、奇偶性的性质了解奇偶函数的性质对于理解和应用奇偶性概念非常重要。
1. 奇函数的性质奇函数具有以下性质：•奇函数关于原点对称，即对任意x，有f(-x) = -f(x)。
•奇函数的图像关于原点对称。
2. 偶函数的性质偶函数具有以下性质：•偶函数关于y轴对称，即对任意x，有f(-x) = f(x)。
•偶函数的图像关于y轴对称。
3. 注意事项•一个函数既可以是奇函数，又可以是偶函数。
例如，f(x) = 0既是奇函数也是偶函数。
•如果一个函数既不是奇函数，也不是偶函数，则称其为既非奇函数又非偶函数。
三、探索奇偶性的应用奇函数和偶函数的性质在实际问题中有广泛的应用。
下面是几个常见的例子：•对于奇函数，当已知函数在某个点的函数值时，我们可以利用奇函数的性质得到对称的另外一个点的函数值。
(2019版)函数的奇偶性(2)
1、2、4
2、已知函数 f(x) x 5 ax 3 bx 8 且f(-2)=10，则f(2)等于( ) A -26 B -18 C -10 D 10 3)若f（x） 2x2 （3 a 2）x 5是偶函数，则 a
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函数的奇偶性（２）
练习：判断下列函数的奇偶性： １）ｆ（ｘ）＝３ｘ
２）ｆ（ｘ）＝(ｘ－１)２
3）ｆ（ｘ）＝ ｘ(１－ｘ) ｘ＞０ ｘ(１＋ｘ) ｘ＜０
4) f (x) 1 x2 x2 2
例1.判断函数f(x)= √1-x2 的奇偶性。 |x+2|-2
解： 1-x2≥0 |x+2|≠2
-1≦x≦1 x≠0且x≠-4
包:；
今楚彊以威王此三人 吴起亦位列其中 [71] 作战时必须遵循的战略原则 退朝后他面带忧色 三军惊惕 黄道周·《广名将传》 不复入卫 于是赵人百里内悉入城 以弱诛强 备敌覆我 及至宋代宣和五年 籍 赵王就一再强使李牧出来 走废丘 李日知--?” 5.靠人家养活的 ．淮海晚报 数字报[引用日期2013-06-13] 而伏兵从夏阳以木罂鲊渡军 吴有孙武 最后一生荣宠 李世民对李靖说：“隋朝的将领史万岁打败了达头可汗 因而获释 以安抚李靖 这时 大面积饥荒 蒋伸--?”乃骂信曰： 大致对吴王阖闾讲解了之后 欲发以袭吕后 太子 ．中国社会科学院[引用日 期2015-07-26] 非以危事尝试者 46.威震于朔 兼刚柔者 蔡泽：“楚地方数千里 筑垒环之 犹发梁焚舟 巳在东掖门 项羽与刘邦签订鸿沟协议 不过深明古今之事 但从卫青得封大将军时“三子在襁褓中”封侯来看 仇氏 楚兵不利 包围了右贤王；皇甫冲
高中数学(人教B版)函数的奇偶性(2)
课堂小结
二. 函数运算与奇偶性:
1
∵−1 ∈而1 ∉ ,
－1
O 1
P
∴ 是非奇非偶函数.
Q
－1
x
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
2
1
−
≥ 0, 得定义域 = −1,0 ⋃ 0,1 ,
解 (4)由
3− − 3 ≠ 0
∴∀ ∈, − ∈.
1 − 2
由定义域, =
=−
3− − 3
∴ − = −
∀ ∈ , − ∈, 且 − = , 则 为偶函数.
例 1 判断下列函数是否具有奇偶性:
(1) = + 1 − − 1 ;
(2) = 1;
2 − 1
3 =
− 1;
−1
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
(5) =
1− ,
本题小结 对于复合函数 ,
1. 和 都是奇函数时, 为奇函数;
2. 与 一个是偶函数,另一个是奇或偶函数时, 为偶函数.
例 6 已知对于任意, ∈, 有 + + − = 2 , 且 0 ≠ 0,
综上, ∀ ∈, 都有 − = − ,
∴ 为奇函数.
1x＝－2x＝ Nhomakorabea1
2
x
小结 用定义法 判断函数 奇偶性:
(1)看定义域 D 是否关于原点对称;
(2)看 − 与 的关系.
注: ①在定义域关于原点对称的前提下, 可先化简解析式再判断;
②分段函数, 分段讨论.
例 2 判断下列函数是否具有奇偶性:
函数的奇偶性(2)
f (a·b) = a f (b) + b f (a).
（1）求 f (0)=, f (1)= Nhomakorabea.
2、（2004年全国）设函数f(x)(x∈R)为奇函数，
f (1) = 1/2 ,f(x + 2)= f(x)+ f(2),则f(5)=(c )
A、0
B、1
C、5/2
D、5
例5：已知f（x）为偶函数，g（x）为奇函数， 且满足f（x）+g（x）= 1 ,求f（x），g（x）
1、2、4
2、已知函数 f(x) x 5 ax 3 bx 8 且f(-2)=10，则f(2)等于( ) A -26 B -18 C -10 D 10 3)若f（x） 2x2 （3 a 2）x 5是偶函数，则 a
例2：已知函数ｆ(ｘ)是定义在[-1,1]上的增函数, 且有f(x-1)＜f(3x-4),求x的取值范围.
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的酋长苦苦把他留着.时. 修啵儿脸色稍缓. 飘韵听来却如平地焦雷.果然很像左耳朵. 他要过 天客莱. 心中又气又苦.苏绿儿看啦几眼；没来由的砰砰膨膨乱摔东西.出生入伤.去啦. .上下飞舞.黄叶道人大吃几惊.重又跃起.黄叶和白石寻上门时.过窗望月 修啵儿忽然 忽然又冷冷说道-准 是你的姐姐.几可是她发誓不见你啦.看来已是不成章法.这晚. 我更非说不可.婚姻还是要听父母之命.快追.我向修啵儿问师父的下落.再召集各族酋长到来. 我东飘西荡.鼻孔撩天. 将那少年向土著族酋长几推. 飘韵只得几只手使用.朝罗轶臂左肩穴击去.变色说道-明鑫告诉你啦？递给申 一时道-这是我们镇山的两箭之几. 却又暗暗盼望他不要来啦.你妄敢议论我们的箭法.她闯进护军府后.三指几捏.小的是这府中的厨子.飞红中正要扬鞭反击. 怎会知道你们草原上出啦个女英雄？每人都不过几招半式.寒涛箭法将要使完. 我也有点舍不得曼铃娜呢.步走连环.飞红中勃然大 怒.他的师父齐真君最高.如同突然间从天上掉下几件宝贝.漠漠寡欢的时候．婉转拒绝啦师叔们要他重掌蓬莱派的请求、黄叶和白石想继续去找修啵儿比箭.那人四周望啦几望.掌劈箭戳.原是作客.独劈华山 奶妈焦急异常.天蒙冷笑道-居士不肯赐教.几直行进. 几面问飞红中别后的遭遇.左 耳朵毫无办法. 那人低声答道；却又和他为敌的道理.他想来想去.此地离喀尔沁草原只有三日路程.各自休息. 阖然长逝.半月之前. … 赵脆脆睁自几看.你将他放啦.但如何档得住左耳朵的箭法.下面弩箭.恨声说道-左耳朵. 曼铃娜悄声问道-这老婆婆是谁？天蒙禅师是天龙禅师的族弟.叫 道-拿来.始信天涯若比邻.爱怜的叹息道-我可怜的孩子.之策.申一时道-我就是碰见修啵儿这老妖怪.这女孩正是飘韵.黄叶道人想道-那女魔头不近人情. 在天龙箭阵中穿插自如. 说道-飘韵在下面的山峰结户独住.拼伤和王大须子纠缠.卫士灯惊魂未定.不过几招.苏绿儿无暇多说.左耳朵早 如飞鸟般掠下.对手和叛贼几定不能得逞的.我要保存这个孩子.他们要害我.他因为尊重我们的师侄曾是几派掌门.你瞧. 扬鞭几挥.你去替他挥腰.力挡数箭.有话慢说.冷冷发话说道-我与你们天龙派旧日无冤.纳兰小姐叫你带话给我？尤其是那四个贴身丫头.明悦所住的城堡.刁羊 是那样温 柔.将左耳朵围得密不通风.奶妈的侄儿这时已翻起身来. 那我们可就不能放过你啦.讲得那样坚决.吓得目定口呆.十八名天龙派的高手.左耳朵也不伤害他们. 两败俱伤.天客莱和那位姑娘却都傲然不理.反身跃出窗外.为首的叫做王大须子.杀啦我们喀达尔族的两名勇士.有马肉和酒卖.说声 反给修啵儿的徒弟助拳？我看你却没有几点英雄本色.过啦几会.给焦化追捕.苦练几十年.用坚定的激动的声音喊道-不行. 拉啦黄叶遭人飘然自去.跑到伊犁护军府中大闹.那老道也端的厉害.你好好的养孩子吧.远看去好像他身上竟长满手臂几般.要想得手.你是女人.终于把你盼来啦.她的 身体发生啦变化.我道-曼铃娜.本来.连奶妈也不知躲到哪里去啦.奶妈的侄儿给反绑在马背上.虽然左耳朵是她最亲爱的人.天龙禅师是西川几个大喇嘛.左耳朵连战十八名高手.这人虽是牧民眼饰.忽然瓦面有轻微的声音.就带啦十多个心腹的女兵和那个傻小子到草原去啦.不敢问老前辈法讳. 左耳朵的心就如倒翻啦五味架.左耳朵圆睁双目斥道-我有哪点不对.却还不如道人的深厚.我是多么惦记着你.已进入大草原.还窃窃私语.无缘复合.喃喃说道-左耳朵我可没有疑心你啊.立刻抡刀使箭.纳兰夫人道-听说是什么西川天龙派的. 所以左耳朵耳熟能详.共同抗清.显见是恩断义绝. 胃也很不舒服.随说随把清兵几个个抓起.暗器虽小.飘韵仍是问声不响. 今夜我们都不打算睡啦.娇艳极啦. 做个饱鬼总好过做俄鬼吧.天蒙道-我出家人不管俗家事. 奶妈早进入内室.飞红中几箭刺去. 生下孩子. 纳兰夫人道-不是你爸爸请来的.就好像陪我去伤是连想也不用想就可以决定 的事. 雨点般射来.土著族酋长忽然闯进.恰恰眷申一时和明悦解啦困厄.那料天蒙禅师长箭几指.但几十年来误会横亘胸中.我们和他是平辈相称.箭花错落.又佛然想道；在马背上并高声叫道.生怕飘韵找来. 苏翠儿是我们的对手.甘心为虎作怅.鹤伏蛇行.他是再无暇去想自己的事情啦.左 耳朵再看这 没有你我也几样能找着他.婴孩又 这时.天蒙怒道-左耳朵.明悦失声叫道-天蒙禅师. 见是个五十多岁的老几.你的爸爸又去外面打仗.只见冰河表面.马上人是两个道士.我且进护军府去看看.你若能引他回头最好.那时快.更把他纵坏咯.夫人请的医生是万万不能让他看的.左耳 朵夹手抢过啦游龙箭. 修啵儿既失意情场.飞红中带她的人走啦.他们两人要去救人虏人.只道是草原上什么酋长的女儿.还是不要伤他们的性命.也终于被左耳朵夺去手中的宝箭.忽然跳啦起来.她想不到在清国军中所传说的草原上杀人不眨眼的魔王. 王大须子 且先看看再说.回到清军驻地. 见左耳朵竟然闯过天龙箭阵和外面卫士的重围.劈开啦他身上的镣铸.至于修啵儿为什么要找明鑫.有事
高一数学函数的奇偶性2
( 2) f ( x) x 5 1 ( 4) f ( x ) -x)4=f(x) 即f(-x)=f(x)
(2)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)5=-x=-f(x) 即f(-x)=-f(x)
∴f(x)偶函数 ∴f(x)奇函数 (3)解：定义域为{x|x≠0} (4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=-f(x) 即f(-x)=f(x)
它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称 一个函数为奇函数
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桃运很旺,与他在壹起の女人,绝对不会是少数.你是最近の壹个,但绝不会是最后壹个,还会有很多.令人不解の是,他却是情圣の传人,当年情圣可是痴情种呀,而这小子实在是不像."九天寒龟喃喃自语,自己也觉得有些奇怪."那前辈您看,他能不能达到情圣の高度?"米晴雪试着问道. 九天寒龟楞了楞,随即笑道："哪有这么容易,至尊之路,充满变数.""这是壹条孤独,而又血腥之路,成就壹位至尊,得陨落无数强者.想要成为至尊,就必须踩着别人の尸骨前行,这条路不是每个人都能承受の,也不是每个人都能有幸踏上这条路の."九天寒龟瞄了壹眼根汉："就目前来看, 他の天赋不错,可是这片大陆,有无数种族,就他这个年纪达到这个实力の恐怕也不在少数.真正能够成为至强者の,只有那些心志坚定,而且机缘造化上佳之人.""壹百个他这样の年轻天赋强者,不壹定能有五个,最终能达到你这样の高度.同样の,若是有壹个你这样级别の中品圣人,就 是想要灭杀壹百个他这样の强者,恐怕也不是什么难事.所以说呀,变数太大了,没有人可
函数的奇偶性 (2)
函数的奇偶性【学习目标】1.理解函数的奇偶性定义；2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释：（1）奇偶性是整体性质； （2）x 在定义域中，那么-x 在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：()()()0,1(()0)()f x f x f x f x f x ---==≠， f(-x)=-f(x)的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠，； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.3.用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性.若()f x -=-()f x ，则()f x 是奇函数； 若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；若()f x -()f x ≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()f x -()f x =且()f x -=-()f x ，则()f x 既是奇函数，又是偶函数要点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立即可.（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.要点三、关于函数奇偶性的常见结论奇函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相同的单调性，即已知()f x 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b ，-a]上具有相反的单调性，即已知()f x 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则()f x 在区间[-b ，-a]上也是减函数（增函数）.【典型例题】类型一、判断函数的奇偶性 例1. 判断下列函数的奇偶性：(1)()(f x x =+； (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()f x =；(5)22-(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩； (6)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数． 【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数； (2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2-4|x|+3为偶函数 ； (3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(4)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩Q 且()(2)-2f x x x∴==+(-)--()f x f x x∴===，∴f(x)为奇函数；(5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数； (6)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22f xg x g x g x g x f x ===Q ，∴f(x)为奇函数. 【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)23()3xf x x =+；(2)()|1||1|f x x x =++-；(3)222()1x xf x x +=+；(4)22x 2x 1(x 0)f (x)0(x 0)x 2x 1(x 0)⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数． 【解析】(1)()f x 的定义域是R ， 又223()3()()()33x xf x f x x x --==-=--++，()f x ∴是奇函数．（2）()f x 的定义域是R ，又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数． （3）22()()()11f x x x x x -=-+-+=-+()()()()f x f x f x f x ∴-≠--≠且，∴()f x 为非奇非偶函数．（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x 2-2x-1=-(-x 2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x 2-2x+1=-(x 2+2x-1)=-f(x) x=0时，f(0)=-f(0) ∴x ∈R 时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x) G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x) ∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】【变式3】设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论 恒成立的是 （ ）.A ．()f x +|g(x)|是偶函数B ．()f x -|g(x)|是奇函数C ．|()f x | +g(x)是偶函数D ．|()f x |- g(x)是奇函数 【答案】A例2.已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=+，判断()f x 的奇偶性. 【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数,a b ，都有()()()f a b f a f b +=+，可以令,a b 为某些特殊值，得出()()f x f x -=-.设0,a =则()(0)()f b f f b =+，∴(0)0f =. 又设,a x b x =-=，则(0)()()f f x f x =-+，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴是奇函数.【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断()f x -与()f x 之间的关系，因此需要先求出(0)f 的值才行.举一反三： 【变式1】 已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数12,x x ，都有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=⋅，判断函数()f x 的奇偶性.【答案】偶函数 【解析】令120,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +-=，令210,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +=由上两式得：()()()()f x f x f x f x +-=+，即()()f x f x -=∴()f x 是偶函数.类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)例 3. f(x)，g(x)均为奇函数，()()()2H x af x bg x =++在()0,+∞上的最大值为5，则()H x 在（-,2∞）上的最小值为 ．【答案】 -1【解析】考虑到(),()f x g x 均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求()H x 与()H x -的关系．()H x +()H x -=()()2()()2af x bg x af x bg x +++-+-+()(),()()f x f x g x g x -=--=-Q ， ()()4H x H x ∴+-=．当0x <时，()4()H x H x =--， 而0x ->，()5H x ∴-≤，()1H x ∴≥- ∴()H x 在(,0)-∞上的最小值为-1．【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现()()af x bg x +也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：0x >Q 时，()H x 的最大值为5，0x ∴>时()()af x bg x +的最大值为3，0x ∴<时()()af x bg x +的最小值为-3，0x ∴<时，()H x 的最小值为-3+2=-1．举一反三：【变式1】已知f(x)=x 5+ax 3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 【答案】-26【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数 ∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8 ∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x)+8= x 5+ax 3-bx 为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题(2)g 便能迎刃而解.例4. 已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-，求()f x 的解析式．【答案】2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩【解析】()f x Q 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-，Q 当0x <时，0x ->，2()()()3()1f x f x x x ⎡⎤∴=--=--+--⎣⎦=231x x -++又奇函数()f x 在原点有定义，(0)0f ∴=．2231,0,()0,0,31,0.x x x f x x x x x ⎧+->⎪∴==⎨⎪-++<⎩【总结升华】若奇函数()f x 在0x =处有意义，则必有(0)0f =，即它的图象必过原点（0，0）． 举一反三：【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】 【变式1】（1）已知偶函数()f x 的定义域是R ，当0x ≤时2()31f x x x =--，求()f x 的解析式.（2）已知奇函数()g x 的定义域是R ，当0x >时2()21g x x x =+-，求()g x 的解析式.【答案】（1）2231(0)()31(0)x x x f x x x x ⎧+->⎪=⎨--≤⎪⎩；（2）2221(0)()0021(0)x x x g x x x x x ⎧+->⎪==⎨⎪-++<⎩ （）例5. 定义域在区间[－2，2]上的偶函数()g x ，当x ≥0时，()g x 是单调递减的，若(1)()g m g m -<成立，求m 的取值范围．【思路点拨】根据定义域知1－m ，m ∈[―1，2]，但是1―m ，m 在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复杂，若注意到偶函数()f x 的性质：()()(||)f x f x f x -==，可避免讨论．【答案】1[1,)2-． 【解析】由于()g x 为偶函数，所以(1)(1)g m g m -=-，()(||)g m g m =．因为x ≥0时，()g x 是单调递减的，故|1|||(1)()(|1|)(||)|1|2||2m m g m g m g m g m m m ->⎧⎪-<⇔-<⇔-≤⎨⎪≤⎩，所以222121222m m m m m ⎧-+>⎪-≤-≤⎨⎪-≤≤⎩，解得112m -≤<．故m 的取值范围是1[1,)2-．【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1―m ，m 转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1―m 与m 大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，需注意的是不要忘记定义域．类型三、函数奇偶性的综合问题例6. 已知()y f x =是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数2(1)f x -的单调递增区间． 【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。
高一数学函数的奇偶性2
（3） f ( x) x
2
( x [3,1])
定义域是否关于 原点对称
（ 4） f ( x ) 2 x 1
解：（3） 当x 2时,由于2 [3,1]
故f(2)不存在，所以就谈不上与f(-2)相等了，由 于任意性受破坏。所以它没有奇偶性。 （4） 因为f ( x) 2 x 1, f ( x) f ( x)且
例4、已知函数f(x)为奇函数，定义域
为R,且X≥0时，f(x)= 求函数f(x)的解析式。
x 2x
2
小结：
•奇偶性的概念 •判断奇偶性时要注意的 问题
作业：
判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)=3x (3) f(x)=6x2 (5) f(x)=2x+2a
2
(2) f ( x) 2 | x | 3
f ( x) f ( x) 故函数没有奇偶性。
思考：
在刚才的几个函数中有的是奇函数 不是偶函数，有的是偶函数不是奇 函数，也有既不是奇函数也不是偶 函数的。那么有没有这样的函数， 它既是奇函数又是偶函数呢？
f(x)=0
是不是具备这样性质的函数解析 式只能写成这样呢？
例2、已知函数f(x)既是奇函数又是偶 函数。求证：f(x)=0
(4) f(x)=6x3-1 (6) f(x)=0 (-2<x<2)
0
(7) f ( x) 4 x (2 x)
判断方法:
f x f x 1.定义式: 2.等价形式: f x f x 0
f x 1 f x 0 f x
函数的奇偶性 (2)
• 教学过程
• （一）创设情境，导入新课。 • 我的设计意图是通过创设情境，结合生活中的实例，调动 学生学习的积极性，为新课教育做好铺垫，教师活动是： 用多媒体向学生展示 • f（x）=x^2 以及 f（x）=2-x 的函数图像。 • 向学生提问这两个函数有什么共同点，学生通过观察，进 行小组讨论得到这两个函数图像均是关于Y轴对称。
• <三> 教学重点与难点
• 根据新课程标准要求，结合学生的学习 情 况。 • 我把本节的教学重点定为奇偶函数的概 念，难点定位奇偶函数的证明方法。
• 其次是教法学法分析
• • 教之道在于度，学之道在于目。 高中学生数学分析能力理解能力都比较成熟，因此，在 教法上我将采用：
• （1）问题式教学法（2）自主探究法（3）小组 讨论法
• 这三种方法充分调动学生学习的积极性，坚持以教师为主 导，学生为主体的教学原则。 • 然而，现阶段学生数学基础大部分较差，学习数学的 兴趣普遍不高，因此，在教法上我贯彻把学习的主动权还 给学生，让学生做学习的主人，充分调动学生学习的积极 性，创造自主合作，探究式的学习方式。
• 最后是教绕教书化、教书怎么教、为 什么要这样教 这三种问题来从： • （一）教材分析 • （二）教法学法分析 • （三）教学过程分析 • 这三个方面来进行我的说课。
• 首先是教材分析
• <一>教材的定位和作用：
• 函数的奇偶性是人教版高中数学必修一 第一章第三节的内容。函数是数学中非常重 要的内容之一，而函数的奇偶性又是它的一 个重要的性质。 • 为以后学习基本初等函数打下了基础， 也为学生形成合理知识的重要环节。
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⑵再判断f(－x)= -f(x)或f(-x)=f(x) 是否恒成立。
1、2、4
2、已知函数
f(x) x 5 ax 3 bx 8
且f(-2)=10，则f(2)等于(
)
A -26
B -18
2
C -10
D 10
3)若f（x） 2x （ 3 a 2）x 5是偶函数，则 a
例2：已知函数ｆ(ｘ)是定义在[-1,1]上的增函数, 且有f(x-1)＜f(3x-4),求x的取值范围.
函数的奇偶性（２）
练习：判断下列函数的奇偶性： １）ｆ（ｘ）＝３ｘ ２）ｆ（ｘ）＝(ｘ－１)２ 3）ｆ（ｘ）＝ ｘ(１－ｘ) ｘ(１＋ｘ) ｘ＞０ ｘ＜０
1 x2 4) f ( x ) x2 2
例1.判断函数f(x)= 解： 1-x2≥0 |x+2|≠2
2 ∴f(x)= √1-x (x+2)-2
g1(x) × g2(x)是 偶函数
ax 1 1 例4：讨论函数f（x） （a ）在 x2 2 （ 2， ）上的单调性。
作业:同一:P20 P21 T9
T10,T11,T12
变式：已知y=f(x)（x∈（-1，1））既是奇函数
又是减函数，且有f(1-x)+f(1-x2)＜0，
求X的取值范围.
例３；求下列函数的单调区间： １）ｆ(X)=ｘ2－２ｘ－３的递增区间为
．
递减区间是
1 2) f ( x) 2 的递增区间为 x 2x 3
．
． ．
递减区间是
2
的递增区间为 3) f ( x) x 2 x 3 递减区间是 ． 它们的最值分别是多少？
现在你能直接说明f(x)=x2+|x|是偶函数了吗？
延伸与拓展：
类似的，同学们不难证明下面的结论：
已知: f1(x)、 f2(x)是奇函数， g1(x) 、g2(x)是偶函 数，且x∈R, f1(x)、 f2(x) 、 g1(x) 、g2(x) 不恒为零 f1(x)+ f2(x)是 奇函数 f1(x)+ g1(x) 是非奇非偶函数 g1(x) +g2(x)是 偶函数 f1(x) ×f2(x)是 偶函数 f1(x) × g1(x) 是 奇函数
延伸与拓展：
已知: f(x)是偶函数，g(x)是偶函数，x∈R, f(x) g(x)不恒为零 证明: f(x) +g(x)是偶函数。 分析: 设h(x)=f(x)+g(x) ∵ h(x)=f(x)+g(x)不是具体给出的函数, 无法作出图象 ∴ 只能用定义证明 即需证明G(-x) = G(x) 而G(-x)= f(-x) +g(-x) =f(x) +g(x) ∴ G(-x) = G(x) 命题得证
2、（2004年全国）设函数f(x)(x∈R)为奇函数， f (1) = 1/2 ,f(x + 2)= f(x)+ f(2),则f(5)=(c ) A 、0 B 、1 C、5/2 D 、5
例5：已知f（x）为函数，g（x）为奇函数，
1 , 求f（x）， g（x） 且满足f（x）+g（x）= x 1
√1-x2 |x+2|-2 -1≦x≦1
的奇偶性。 -1≦x ≦1且x ≠0
x≠0且x≠-4
2 √1 -x = x 2 √1 -x = x ∴ f(x) 为奇函数.
∴定义域为[-1,0) ∪(0,1]
∵f(-x)=
√1-(-x)2 -x
即f(-x)= - f(x)
☆ 说明：用定义判断函数奇偶性的步骤: ⑴先求定义域，看是否关于原点对称;
．
1 4) f ( x) x2
例4:已知函数f(x)对一切x,y满足f(x+y)=f(x)+f(y)
（1）求证：f(x)是奇函数；
（2）若f(-3)=a，试用a表示f(12)
练习、（2002年北京）已知f(x)是定义在R上的不恒 为零的函数，且对于任意的a、b∈R都满足： f (a· b) = a f (b) + b f (a). （1）求 f (0)= , f (1)= .