概率统计模拟试题解答
概率论与数理统计模拟试题&参考答案
练习题一一、填空题。
1、已知P(A)=0.3，P(A+B)=0.6，则当A 、B 互不相容时，P(B)=___________，而当A 、B 相互独立时，P(B)=__________。
2、已知X ～),(p n B ,且8E X =, 4.8D X =, 则n =__________，X 的最可能值为__________。
3、若)(~λP X ，则=EX ，=DX 。
4、二维离散型随机变量),(ηξ的分布律为：则η的边缘分布_____________，ξ，η是否独立？_____________（填独立或不独立）。
5、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的一组简单随机样本，则样本均值11()n X X X n=++ 服从__________。
6、设一仓库中有10箱同种规格的产品，其中由甲、乙、丙三厂生产的分别为5箱、3箱、2箱，三厂产品的次品率依次为0.1, 0.2, 0.3, 从这10箱中任取一箱，再从这箱中任取一件，则这件产品为次品的概率为 。
7、设连续型随机变量ξ的概率密度为1 -1 ()1 010 x xx x x ϕ+≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它，则E ξ=__________。
二、判断题。
1、服从二元正态分布的随机变量),(ηξ，它们独立的充要条件是ξ与η的相关系数0ρ=。
（ ）2、设12(,,,)n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，S 是样本方差，则222(1)~()n Sn χσ-。
（ ）3、随机变量Y X ,相互独立必推出Y X ,不相关。
（ ）4、已知θ 是θ的无偏估计，则2θ 一定是2θ的无偏估计。
（ ）5、在5把钥匙中，有2把能打开门，现逐把试开，则第3把能打开门的概率为0.4。
（ ）三、选择题。
1、某元件寿命ξ服从参数为λ（11000λ-=小时）的指数分布。
3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率是 （A ）1e -； （B ）3e -（C ）31e --（D ）13e -2、设X 的分布函数为)(x F ，则13+=X Y 的分布函数()y G 为（A ）()3131-y F （B ）()13+y F （C ）1)(3+y F （D ）⎪⎭⎫⎝⎛-3131y F3、设随机变量(3,4)N ξ ，且()()P c P c ξξ≤=>，则c 的取值为（） （A ）0； （B ）3； （C ）-3； （D ）24、设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量32X Y -的方差是（）。
概率论与数理统计模拟试题(七)
概率论与数理统计模拟试题（七）一．是非题（7分，每题1分）1．设0)(=A P ，则随机事件A 与任何随机事件B 一定相互独立. （） 2．连续随机变量X 的密度函数)(x f 与其分布函数)(x F 未必相互惟一确定. （ ） 3．若X 与Y 都是标准正态随机变量，则)2,0(~N Y X +. （ ） 4. 设有分布律：,2/1}/2)1({1nnn n XP =-=+),2,1( =n ，则X的期望存在. （ ） 5. 设随机变量序列 ,,,,21n X X X 相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，则∑==ni iX nX11依概率收敛于λ. （ ）6. 区间估计的置信度α-1的提高会降低区间估计的精确度. （ ） 7．在假设检验中，显著性水平α是指α-=1)(00为假拒绝H H P .（ ）二. 选择题（15分，每题3分）1. 设连续随机变量X 的密度函数满足)()(x f x f -=，)(x F 是X的分布函数，则=>)2004(X P.)(A )2004(2F -； )(B 1)2004(2-F ； )(C )2004(21F -； )(D )]2004(1[2F -.2. 设二维随机变量(,)X Y 服从G 上的均匀分布，G 的区域由曲线2xy =与x y =所围，则(,)X Y 的联合概率密度函数为 .)(A ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6),(G y x y x f ； )(B ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,6/1),(G y x y x f ；)(C ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2),(G y x y x f ； )(D ⎩⎨⎧∈=他其,0),(,2/1),(G y x y x f .3. 设)0;5.0,0;5.0,0(~),(N Y X ，Y X Z -=，则方差=)(Z D .)(A 0； )(B 1； )(C π/21+； )(D π/21-.4. 设总体),1(~p B X ，12,,,nX X X 是来自总体的样本，X 为样本均值，则==)/(n k XP .)(A p ； )(B kn k p p --)1(；)(C kn kkn p p C --)1(； )(D kn kkn pp C --)1(.5. 设总体),(~2σμN X，μ为未知参数，样本12,,,n X X X 的方差为2S，对假设检验2:,2:10<≥σσH H ，水平为α的拒绝域是 .)(A )1(22/12-≤-n αχχ； )(B )1(212-≤-n αχχ；)(C )(22/12n αχχ-≤； )(D )(212n αχχ-≤.三. 填空题（15分，每题3分）1．已知7.0)(=A P ,4.0)(=B P ,8.0)(=AB P , 则=⋃)(B A A P.2．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从]1,0[上的均匀分布，则Y X Z -=的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧=_________________________)(z F Z .3. 设6.0,4)(,1)(,2)(,1)(=====XY Y D X D Y E X E ρ，设2)12(+-=Y X Z ，则其数学期望=)(Z E . 4. 设随机变量),(~2σμN X，由切比雪夫不等式知，概率)2(σμ≥-X P 的取值区间为 与 之间.5. 设12,,,n X X X 是来自总体)(2n χ分布的样本，X 是样本均值，则=)(X E ，=)(X D .四. 计算题 （57分，前三题每题9分，后三题每题10分） 1．一盒乒乓球有6个新球，4个旧球。
2024届新高考数学大题精选30题：概率统计(精选30题)(解析版)
大题概率统计(精选30题)1(2024·浙江绍兴·二模)盒中有标记数字1，2的小球各2个.(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为X(如1122，则X=2)，求X的分布列及数学期望E X.【答案】(1)1 2；(2)分布列见解析，1.【分析】(1)根据组合知识求得取球的方法数，然后由概率公式计算概率；(2)确定X的所有可能取值为0，1，2，然后分别计算概率得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】(1)设事件A=“取出的2个小球上的数字不同”，则P A=C12C12+C12C12C14C14=12.(2)X的所有可能取值为0，1，2.①当相邻小球上的数字都不同时，如1212，有2×A22×A22种，则P X=0=2×A22×A22A44=13.②当相邻小球上的数字只有1对相同时，如1221，有2×A22×A22种，则P X=1=2×A22×A22A44=13.③当相邻小球上的数字有2对相同时，如1122，有2×A22×A22种，则P X=2=2×A22×A22A44=13.所以X的分布列为X012P 131313所以X的数学期望E X=0×13+1×13+2×13=1.2(2024·江苏扬州·模拟预测)甲､乙两人进行某棋类比赛，每局比赛时，若决出输赢则获胜方得2分，负方得0分；若平局则各得1分.已知甲在每局中获胜､平局､负的概率均为13，且各局比赛结果相互独立.(1)若比赛共进行了三局，求甲共得3分的概率；(2)规定比赛最多进行五局，若一方比另一方多得4分，则停止比赛，求比赛局数X的分布列与数学期望.【答案】(1)7 27；(2)分布列见解析，31781.【分析】(1)写出所有可能情形,利用互斥事件的概率和公式即可求出；(2)算出X为不同值时对应的概率并填写分布列，之后求出数学期望即可.【详解】(1)设“三局比赛后，甲得3分”为事件A，甲得3分包含以下情形：三局均为平局，三局中甲一胜一平一负，所以P A=133+A3313 3=727，故三局比赛甲得3分的概率为7 27 .(2)依题意知X的可能取值为2,3,4,5，P X=2=2×132=29，P X=3=2×C12133=427，P X=4=2×C12134+C1313 4=1081，P X=5=1-P X=2-P X=3-P X=4=1-29-427-1081=4181，故其分布列为：X2345P2942710814181期望E X=2×29+3×427+4×1081+5×4181=31781.3(2024·江苏南通·二模)某班组建了一支8人的篮球队，其中甲、乙、丙、丁四位同学入选，该班体育老师担任教练.(1)从甲、乙、丙、丁中任选两人担任队长和副队长，甲不担任队长，共有多少种选法？(2)某次传球基本功训练，体育老师与甲、乙、丙、丁进行传球训练，老师传给每位学生的概率都相等，每位学生传球给同学的概率也相等，学生传给老师的概率为17.传球从老师开始，记为第一次传球，前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是多少？【答案】(1)9种(2)349.【分析】(1)法一，利用分步乘法计数原理集合组合数的计算，即可求得答案；法二，利用间接法，即用不考虑队长人选对甲的限制的所有选法，减去甲担任队长的选法，即可得答案；(2)考虑第一次传球，老师传给了甲还是传给乙、丙、丁中的任一位，继而确定第二次以及第三次传球后球回到老师手中的情况，结合乘法公式以及互斥事件的概率求法，即可求得答案.【详解】(1)法一，先选出队长，由于甲不担任队长，方法数为C13；再选出副队长，方法数也是C13，故共有方法数为C13×C13=9(种).方法二先不考虑队长人选对甲的限制，共有方法数为A 24=4×3=12(种)；若甲任队长，方法数为C 13，故甲不担任队长的选法种数为12-3=9(种)答：从甲、乙、丙、丁中任选两人分别担任队长和副队长，甲不担任队长的选法共有9种.(2)①若第一次传球，老师传给了甲，其概率为14；第二次传球甲只能传给乙、丙、丁中的任一位同学，其概率为67；第三次传球，乙、丙、丁中的一位传球给老师，其概率为17，故这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为：14×67×17=398.②若第一次传球，老师传给乙、丙、丁中的任一位，其概率为34，第二次传球，乙、丙、丁中的一位传球给甲，其概率为27，第三次传球，甲将球传给老师，其概率为17，这种传球方式，三次传球后球回到老师手中的概率为34×27×17=398，所以，前三次传球中满足题意的概率为：398+398=349.答：前三次传球中，甲同学恰好有一次接到球且第三次传球后球回到老师手中的概率是349.4(2024·重庆·模拟预测)中国在第75届联合国大会上承诺，努力争取2060年之前实现碳中和(简称“双碳目标”)．新能源电动汽车作为战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用．赛力斯汽车有限公司为了调查客户对旗下AITO 问界M 7的满意程度，对所有的意向客户发起了满意度问卷调查，将打分在80分以上的客户称为“问界粉”．现将参与调查的客户打分(满分100分)进行了统计，得到如下的频率分布直方图：(1)估计本次调查客户打分的中位数(结果保留一位小数)；(2)按是否为“问界粉”比例采用分层抽样的方法抽取10名客户前往重庆赛力斯两江智慧工厂参观，在10名参观的客户中随机抽取2名客户赠送价值2万元的购车抵用券．记获赠购车券的“问界粉”人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ ．【答案】(1)73.3分(2)分布列见解析；期望为35【分析】(1)根据频率分布直方图求解中位数的方法可得答案；(2)确定抽取的“问界粉”人数，再确定ξ的取值，求解分布列，利用期望公式求解期望.【详解】(1)由频率分布直方图可知：打分低于70分的客户所占比例为40％，打分低于80分的客户的所占比例为70％，所以本次调查客户打分的中位数在[70，80)内，由70+10×0.50-0.400.70-0.40=2203≈73.3，所以本次调查客户打分的中位数约为73.3分；(2)根据按比例的分层抽样：抽取的“问界粉”客户3人，“非问界粉”客户7人，则ξ的所有可能取值分别为0，1，2，其中：P (ξ=0)=C 03C 27C 210=715，P (ξ=1)=C 13C 17C 210=715，P (ξ=2)=C 23C 07C 210=115，所以ξ的分布列为：ξ012P715715115所以数学期望E (ξ)=0×715+1×715+2×115=35．5(2024·福建三明·三模)某校开设劳动教育课程，为了有效推动课程实施，学校开展劳动课程知识问答竞赛，现有家政、园艺、民族工艺三类问题海量题库，其中家政类占14，园艺类占14，民族工艺类占12.根据以往答题经验，选手甲答对家政类、园艺类、民族工艺类题目的概率分别为25，25，45，选手乙答对这三类题目的概率均为12.(1)求随机任选1题，甲答对的概率；(2)现进行甲、乙双人对抗赛，规则如下：两位选手进行三轮答题比赛，每轮只出1道题目，比赛时两位选手同时回答这道题，若一人答对且另一人答错，则答对者得1分，答错者得-1分，若两人都答对或都答错，则两人均得0分，累计得分为正者将获得奖品，且两位选手答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响，求甲获得奖品的概率.【答案】(1)35(2)4411000【分析】(1)利用全概率公式，即可求得答案；(2)求出乙答对的概率，设每一轮比赛中甲得分为X ，求出X 的每个值对应的概率，即可求得三轮比赛后，甲总得分为Y 的每个值相应的概率，即可得答案.【详解】(1)记随机任选1题为家政、园艺、民族工艺试题分别为事件A i i =1,2,3 ,记随机任选1题，甲答对为事件B ，则P A 1 =14,P A 2 =14,P A 3 =12,P B |A 1 =25,P B |A 2 =25,P B |A 3 =45，则P B =P A1 P B |A 1 +P A2 P B |A 2 +P A3 P B |A 3=14×25+14×25+12×45=35；(2)设乙答对记为事件C ，则P C =P A 1 P C |A 1 +P A 2 P C |A 2 +P A 3 P C |A 3 =14×12+14×12+12×12=12，设每一轮比赛中甲得分为X ，则P X =1 =P BC =P B P C =35×1-12 =310，P X =0 =P BC ∪BC =P BC +P CB=35×12+1-35 ×1-12 =12，P (X =-1)=P B C =1-35 ×12=15，三轮比赛后，设甲总得分为Y ，则P Y =3 =3103=271000，P Y =2 =C 23310 2×12=27200，P Y =1 =C 13×310×122+C 23×3102×15=2791000，所以甲最终获得奖品的概率为P =P Y =3 +P Y =2 +P Y =1 =271000+27200+2791000=4411000.6(2024·江苏南京·二模)某地5家超市春节期间的广告支出x (万元)与销售额y (万元)的数据如下：超市A B C D E 广告支出x 24568销售额y3040606070(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X ，求随机变量X 的分布列及期望E (X )；(2)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额．附：线性回归方程y =b x +a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2，a =y -b x ．【答案】(1)X 的分布列见解析，期望E (X )=95(2)y=7x +17；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．【分析】(1)根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望，(2)利用最小二乘法求解线性回归方程即可.【详解】(1)从A ，B ，C ，D ，E 这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C ，D ，E 这3家超市，则随机变量X 的可能取值为1，2，3P (X =1)=C 13C 22C 35=310，P (X =2)=C 23C 12C 35=35，P (X =3)=C 33C 35=110，∴X 的分布列为：X123P31035110数学期望E (X )=1×310+2×35+3×110=95．(2)x =2+4+5+6+85=5，y =30+40+60+60+705=52，b=ni =1x i y i -nx yni =1x 2i -nx2=60+160+300+360+560-5×5×524+16+25+36+64-5×52=7，a=52-7×5=17．∴y 关于x 的线性回归方程为y=7x +17；在y =7x +17中，取x =10，得y =7×10+17=87．∴预测广告费支出10万元时的销售额为87万元．7(2024·重庆·三模)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.记随机变量X i =1,第i 局乙当裁判0,第i 局甲或丙当裁判, i =1,2,⋅⋅⋅,n ，p i =P X i =1 ，X 表示前n 局中乙当裁判的次数.(1)求事件“n =3且X =1”的概率；(2)求p i ；(3)求E X ，并根据你的理解，说明当n 充分大时E X 的实际含义.附：设X ，Y 都是离散型随机变量，则E X +Y =E X +E Y .【答案】(1)34；(2)p i =-13 ×-12i -1+13；(3)p i ，答案见解析。
长沙理工大学《概率论与数理统计》模拟试题及答案七
长沙理工大学概率论与数理统计模拟试卷第七套姓名: 班级: 学号: 得分: 一．判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，当且仅当是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量与独立，且都服从的 (0，1) 分布，则( )4．设为离散型随机变量, 且存在正数k 使得，则的数学期望未必存在( )5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为，重复进行试验直到第次才取得次成功的概率为 . (a)； (b)；(c) ； (d) . 2. 离散型随机变量的分布函数为，则 .(ａ) ； (ｂ) ；(ｃ) ； (ｄ) .3. 设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数 .(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.4. 设随机变量的方差相关系数则方差 . (ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.65. 设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是 .(ａ) ； (ｂ) ；(ｃ) ； (ｄ) . 二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为0)(=A P A )(x f )(x F X Y 1.0=p Y X =X 0)(=>k X P X )(X E )10(<<p p n )1(n r r ≤≤r n r r n p p C ----)1(11rn rr n p p C --)1(1111)1(+-----r n r r n p pC r n r p p --)1(X )(x F ==)(k x X P )(1k k x X x P ≤≤-)()(11-+-k k x F x F )(11+-<<k k x X x P )()(1--k k x F x F X )2003,(max X Y =),(Y X ,1)(,4)(==Y D X D ,6.0=XY ρ=-)23(Y X D ),,,(21n X X X )2,1(2N X )(~/21n t n X -)1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-)1,0(~/21N n X -)(~)1(41212n X ni i χ∑=-2. 设连续随机变量的密度函数为，则随机变量的概率密度函数为3. 设为总体中抽取的样本()的均值, 则＝ .4. 设二维随机变量的联合密度函数为则条件密度函数为,当 时 ,5. 设,则随机变量服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间（单位：秒），取的样本，得样本均值和方差分别为，则的置信度为95%的单侧 置信区间上限为7. 设的分布律为1 2 3已知一个样本值，则参数的极大似然估计值 为三. 计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的 概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量与相互独立，，分别服从参数为的指数 分布，试求的密度函数. 3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.4. 总体，为总体的一个样本. 求常数 k , 使为σ 的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力（单位：kg ）. 已知kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （） （2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布. 某日抽取 5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .)(x f Xe Y 3==)(yf Y X )4,3(~N X 4321,,,XX X X )51(<<-X P ),(Y X ⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f =)(x y f X Y )(~m t X 2X Y =),(~2σμN X 16=n 36.0,152==S X μX X P 2θ)1(2θθ-2)1(θ-)1,2,1(),,(321=x x x X Y X Y )(,μλμλ≠Y X Z 23+=)(z f Z 1=λ),(~2σμN X ),,,(21n X X X X ∑=-ni i XX k 1),(~2σμN X 8=σ2.575=x %5=α)048.0,(2μN问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用作假设检验. 四. 证明题（7分）设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布. 试证明随机变量与相互独立.附表： 标准正态分布数值表 分布数值表 t 分布数值表%10=αZ Y X ,,),1(p B Y X +Z 2χ6103.0)28.0(=Φ488.9)4(205.0=χ1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ711.0)4(295.0=χ7531.1)15(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ071.11)5(205.0=χ1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ145.1)5(295.0=χ7459.1)16(05.0=t长沙理工大学模拟试卷第七套概率论与数理统计试卷答案一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分）1.1/22 ；2. ；3.0.9772 ；4. 当时； 5. 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 . 四. 计算题（40分，每题8分）1. 被查后认为是合格品的事件， 抽查的产品为合格品的事件. (2分)， (4分)(2分)2.(1分)时，，从而 ； (1分) 时，(2分)(2分)所以[] (2分) 3. 设为第i 周的销售量, (1分)则一年的销售量为 ，, . (2分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为(4分) . (1分)⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f yY 10<<x ⎩⎨⎧<<-=他其0)2/(1)(xy x x x y f X Y ),1(m F A B 9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P .998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P ⎩⎨⎧>=-其他00)(x e x f xX λλ⎩⎨⎧>=-其他00)(y e y f yY μμ0≤z 0)(=z F Z 0)(=z f Z 0≤z ⎰∞+-∞-=dxx z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21)(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ-------==⎰⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμiX 52,,2,1 =i i X)1(~P ∑==521i iX Y 52)(=Y E 52)(=Y D 1522521852185252522)7050(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<-=<<Y P Y P 6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=4. 注意到5. (1) 要检验的假设为(1分)检验用的统计量， 拒绝域为. (2分)，落在拒绝域内，故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为570 kg .[, 落在拒绝域外，故接受原假设，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)(2) 要检验的假设为 (1分)[]检验用的统计量 ， 拒绝域为 或(2分)570:,570:10≠=μμH H )1,0(~/0N nX U σμ-=96.1)1(025.02==-≥z n z U α96.106.21065.010/85702.5750>==-=U 0H 96.1632.0102.010/92.5695710<==-=U 0H 221220048.0:,048.0:≠=σσH H 22122079.0:,79.0:≠=σσH H )1(~)(2202512--=∑=n X Xi iχσχ488.9)4()1(205.022==->χχχαn 711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn ()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121)2(1)(,0)(2分σnn X X D X X E i i -=-=-)1(1,0~2分⎪⎭⎫⎝⎛--σn n N X X i dze n n z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dze nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=)3(122分σπnn -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==ni i n i i X X E k X X k E 11||||σπn n kn 122-=σ令=）分（2)1(2-=n n k π[], 落在拒绝域内，[,落在拒绝域内，]故拒绝原假设，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分)五、证明题 (7分) 由题设知0 1 0 1 2(2分) ；；；；；. 所以 与相互独立. (5分)41.1=x 49.1=x 488.9739.150023.0/0362.020>==χ711.0086.06241.0/0538.020<==χ0H X Y X +P p qP 2q pq 22p )0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P )1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P )0()1(2)0,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P )1()1(2)1,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P )0()2()0,2(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P )1()2()1,2(3==+====+Z P Y X P p Z Y X P Y X +Z。
概率论与数理统计试卷及问题详解
模拟试题一一、填空题（每空3分，共45分）1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = P( A ∪B) =2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为19，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；4、已知随机变量X 的密度函数为：,0()1/4,020,2x Ae x x x x ϕ⎧<⎪=≤<⎨⎪≥⎩, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ；5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ；6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y, X)= ；7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，~(3)Y t =；8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，11ni i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。
9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；二、计算题（35分）1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：1,02()20,x x x ϕ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它求：1）{|21|2}P X -<；2）2Y X =的密度函数()Y y ϕ；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为1/4,||,02,(,)0,y x x x y ϕ<<<⎧=⎨⎩其他1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ϕϕ； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ϕ；3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：1,0(),000xe x x x θϕθθ-⎧≥⎪=>⎨⎪<⎩X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。
概率统计试题和答案
概率统计试题和答案题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下统计与概率1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD( B ) A．14B．π8C．12D．π42.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( A )A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次， 表示抽到的二等品件数，则D X = 1.96 。
4.（2016年全国I 理14）5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案）5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B )（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）345.（2016年全国2理10）从区间随机抽取个数,，…，，，，…，，构成n 个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为( C )（A ） （B ） （C ） （D ） 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为[]0,12n 1x 2x nx 1y 2y n y ()11,x y ()22,x y (),n n x y m π4nm 2n m 4m n 2m n50C。
概率论与数理统计试习题与答案
设 为来自总体 的一个样本， 服从指数分布，其密度函数为 ，其中 为未知参数，试求 的矩估计量和极大似然估计量。
八、（本题满分12分）
设某市青少年犯罪的年龄构成服从正态分布，今随机抽取9名罪犯，其年龄如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，试以95%的概率判断犯罪青少年的年龄是否为18岁。
概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1)
概率统计模拟题一
一、填空题（本题满分18分，每题3分）
1、设 则 =。
2、设随机变量 ，若 ，则 。
3、设 与 相互独立， ，则 。
4、设随机变量 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有 。
5、设 为来自总体 的样本，则统计量 服从
分布。
6、设正态总体 ， 未知，则 的置信度为 的置信区间的长度 。（按下侧分位数）
对 求导，得
五、（本题满分10分）解： ；
六、（本题满分13分）矩估计： ,
极大似然估计：似然函数 ,
，
七、（本题满分12分）解：欲检验假设
因 未知，故采用 检验，取检验统计量 ，今 ， ， ， ， ，拒绝域为 ，因 的观察值 ，未落入拒绝域内，故在 下接受原假设。
八、（本题满分8分）因 ，故
概率统计模拟题二
试求： （1）常数 ； （2） 落在 内的概率； （3） 的分布函数 。
五、（本题满分12分）
设随机变量 与 相互独立，下表给出了二维随机变量 的联合分布律及关于 和 边缘分布律中的某些数值,试将其余数值求出。
六、（本题满分10分）设一工厂生产某种设备，其寿命 (以年计)的概率密度函数为：
工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。
概率统计模拟试题及答案2
一、 选择题，根据题目要求，在题下选项中选出一个正确答案（本题共32分，每小题各4分）1.已知离散型随机变量X 的分布函数为0,10.3,13()0.5,341,4x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩ ,则{1|3}P X X >≠=（ ）。
A.57 ; B.58； C.78； D.710 。
2.设321,,X X X 为来自总体X 的一个简单样本, 总体均值EX μ=，总体方差2DX σ=，下列几个总体均值μ的无偏估计量中，方差最小的是 。
A.123131ˆ5102X X X θ=++；B. 123111ˆ326X X X θ=++； C.123111ˆ333X X X θ=++； D. 123131ˆ3412X X X θ=+- 。
3.设随机变量),(~2σμN X , 则=-||μX E 。
A. 0 ； B μ. ； C. σ ； D.σπ22。
4.设总体2~(,)X N μσ，其中2σ 未知；12,,,n x x x 为来自总体X 的样本，给定01α<<， 下列表述中正确的结论是 。
A ．1122{((1P x tn x t n ααμα----≤≤+-=-；B.1122{((1P x tn x t n ααμα---≤≤+=-；C.22{((P x tn x t n ααμα--≤≤+-=；D. 1122{1P x z x z ααμα---≤≤+=-。
5. 设随机变量),(Y X 的分布函数为(,)F x y ，对任意实数z ，则有{max{,}}P X Y z >= 。
A.1(,)F z z - ；B. {}{}P X z P Y z >+>；C. (,)F z z ；D. {,}P Xz Y z >>。
6. 设随机变量Y X ,的二阶矩22,EX EY 存在，下列不等式中正确的结论是 。
A. 122|()|()E X EX >； B.111222222(||)()()E X Y EX EY +≥+；C.|(,)|Cov X Y ≥112222|()|()()E XY EX EY ≤⋅。
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;
ﻩ(3) 当 时, ;当 时,
,
所以,两边关于 求导可得,
故 的密度函数为
七.（本题6分)
某商店负责供应某地区10０0人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6．假定在这段时间，各人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品，才能以 的概率保证不会脱销？(假定该商品在某一段时间内每人最多买一件).
已知元件电阻服从正态分布,设 ,问:
（1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等?
(2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异？
( , )
解 (1） ．
检验统计量为
(在 成立时），
由 ，查得临界值 , .
由样本值算得 ,由于 ,故不能拒绝 ，即认为两批电子元件的电阻的方差相等.
（2) .
统计量
(在 成立时），
(Ａ) (B） (C) (D)
解 的数学期望 ，方差 ,令 ，则其服从标准正态分布.故本题应选A.
5．若随机变量 不相关，则下列等式中不成立的是（ )
（A) ﻩﻩ（B)
(C) ﻩﻩ(D)
解 因为 ,故 ,
，
但无论如何,都不成立 .故本题应选C.
6．设样本 取自标准正态分布总体 ,又 分别为样本均值及样本标准差,则( ）
解
ﻩ(1） 1 0
即 ;
（2) ,两边取对数, ,
两边再关于 求导，并令其为0，得 ,
从而 ，又由样本值知, ,故估计值为 .
九.(本题1４分)
对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽６件,测得结果如下(单位: )：
批:0.140，0.138,0.１４3,0．１4１，0.144,0.137;
批：０.1３5,0.14０,０.14２,0.１36,0.138,０.141.
解 设 ,其中 , ,且 ,从而 .
６.设 为来自总体 的一个样本,对总体方差 进行估计时,常用的无偏估计量是＿___＿__＿.
解 .
三.（本题６分)设 , , ,求 .
解 由全概率公式可得
．
．
四.(本题8分)
两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.0３,第二台出现废品的概率为０.02.加工出来的零件放在一起．又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:
（A） （Ｂ) (Ｃ) (D)
解 ， , ,只有C选项成立.本题应选C.
7.样本 取自总体 ,则下列估计量中,（ )不是总体期望 的无偏估计量
(Ａ) ﻩ（B) (C) （D)
解 由无偏估计量的定义计算可知， 不是无偏估计量,本题应选A.
8．在假设检验中,记 为待检假设,则犯第一类错误指的是（ ）
(A) 成立,经检验接受 ﻩ(Ｂ) 成立,经检验拒绝
查表得临界值 .再由样本值算得
,
因为 ,故接收 .即认为两批答案
一.单项选择题(每小题2分,共16分）
1.设 表示３个事件,则 表示( )
(A) 中有一个发生ﻩﻩ（B) 中不多于一个发生
(C) 都不发生 (D) 中恰有两个发生
(１) 的联合分布; (２) 的边缘分布； (３） 是否独立;ﻩ(4） .
解 (1）
1 2 3
１ 0
２
3 0
(2） , , . , , ．
（3）因为 ,故 不独立.
(４） .
六.（本题12分)设随机变量 的密度函数为 ,
试求:（1） 的值; (2) ; （３) 的密度函数.
解 (1） 因 ,从而 ；
解 若 为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D.
２．设每次试验失败的概率为 ,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ )
(A) (B） (C) （Ｄ)
解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为 ,故所求概率为 .若直接从正面去求较为麻烦．本题应选C.
3.若函数 是一随机变量 的概率密度,则下面说法中一定成立的是( ）
概率统计模拟试题-解答
———————————————————————————————— 作者：
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ﻩ
模拟试题（一)参考答案
一.单项选择题(每小题2分,共1６分)
1.设 为两个随机事件,若 ,则下列命题中正确的是( )
（Ａ) 与 互不相容(Ｂ) 与 独立(C） ﻩ（D） 未必是不可能事件
(A） 非负 (B） 的值域为 (C) 单调非降 (D） 在 内连续
解 由连续型随机变量概率密度的定义可知, 是定义在 上的非负函数，且满足 ,所以A一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从 上的均匀分布的随机变量的概率密度
在 与 处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选Ａ.
4.若随机变量 的概率密度为 ,则 ( )
解 设 ,则 解得 , ,
所以 的概率密度为
３．设随机变量 服从参数为2的指数分布, 服从参数为4的指数分布,则 ______＿_.
解 ．
4.设随机变量 和 的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和４,而相关系数为－0.５,则根据切比雪夫不等式，有 __＿_____.
解 根据切比雪夫不等式,
.
5．假设随机变量 服从分布 ,则 服从分布______＿_（并写出其参数）.
解 设 ( ）, 表示购买该种商品的人数，则 .又设商品预备 件该种商品,依题意,由中心极限定理可得
.
查正态分布表得 ，解得 件.
八.(本题10分）
一个罐内装有黑球和白球,黑球数与白球数之比为 .
(1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数 为总体,即 求总体 的分布；
(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为 的样本 ，其中有 个白球,求比数 的最大似然估计值.
(1） 任取一个零件是合格品的概率,(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率．
解 设 分别表示第一台，第二台车床加工的零件的事件. 表示产品是合格品的事件.
(１) 由全概率公式可得
．
(2) .
五．(本题１4分)
袋中有4个球分别标有数字１,2,2,3,从袋中任取一球后，不放回再取一球,分别以 记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:
(C) 不成立，经检验接受 （D） 不成立,经检验拒绝
解 弃真错误为第一类错误,本题应选B.
二．填空题(每空2分,共１4分）
1.同时掷三个均匀的硬币，出现三个正面的概率是__＿_＿_＿_,恰好出现一个正面的概率是____＿___．
解 ; .
２.设随机变量 服从一区间上的均匀分布,且 ,则 的概率密度为＿____＿__.