应用概率统计试卷
学应用概率统计大学数学2试卷(A卷)附答案
2011-2012学年第 2 学期 考试科目： 大学数学Ⅱ一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 设A 、B 为两个随机事件，已知()0.3,()0.4,()0.5P A P B P A B ===U ，则()P A B =U ______________.2. 设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则(1)P X ≥= ______________.3. 设二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为：),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，则(1,3)F =______________.4. 设随机变量X 表示100次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.2, 则2X 的数学期望是______________.5. 设X 、Y相互独立，且都服从标准正态分布，则~Z =______________. (要求写出分布及其参数).6. 设由来自总体~(,0.81)X N μ，容量为9的样本得到样本均值5=X ，则未知参数μ的置信度为95%的置信区间为___________________.( 0.025 1.96u =) 二、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 某人花钱买了C B A 、、三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的, 中奖的概率分别为,02.0)(,01.0)(,03.0)(===C p B P A p 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱, 则此人赚钱的概率约为( ). A. 0.05B. 0.06C. 0.07D. 0.082. 设A 、B 为两个随机事件，且B A ⊂，()0>B P ，则下列选项必然正确的是( ). A. ()()B A P A P < B. ()()B A P A P >C. ()()B A P A P ≤D. ()()B A P A P ≥3. 下列各函数中可以作为某个随机变量X 的分布函数的是( ).A. 21,0()11,0x F x x x ⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩ B. 0,0() 1.1,011,1x F x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩14. 设随机变量()2~2,3X N ，随机变量25Y X =-+, 则~Y ( ). A. (1,41)N B. (1,36)N C. (1,18)N - D. (1,13)N -5. 设某地区成年男子的身高()100,173~N X ，现从该地区随机选出20名男子，则这20名男子身高平均值的方差为( ).A. 100B. 10C. 5D. 0.56. 设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则不是总体期望μ的无偏估计量的是( ).A. XB. 123X X X +-C. 1230.20.30.5X X X ++D. 1nii X=∑三、计算题（本大题共4小题，共40分）1.（本题8分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求: （1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.2.（本题8分）设离散型随机变量X 只取1，2，3三个可能值，取各相应值的概率分别是21,,4a a -，求:(1) 常数a ； (2) 随机变量X 的分布律； (3) 随机变量X 的分布函数()F x .3.（本题10分）设随机变量X 的密度函数为：()1()2x f x e x -=-∞<<+∞.(1) 求{1}P X <； (2) 求2Y X =的密度函数.4.（本题14分）设随机变量X 与Y 相互独立，它们的密度函数分别为1,03()30,X x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他, 33,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩ 试求：(1) (,)X Y 的联合密度函数； (2) ()P Y X <； (3)()D X Y -.四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 从一台车床加工的一批轴料中抽取15件测量其椭圆度，计算得样本方差220.025s =，已知椭圆度服从正态分布，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的方差200.0004σ=有无显著差异（取检验水平0.05α=）?(20.025(14)26.1χ=， 20.975(14) 5.63χ=, 20.025(15)27.5χ=，20.975(15) 6.26χ=)2. 某粮食加工厂用4种不同的方法贮藏粮食，一段时间后，分别抽样化验其含水率，每种方法重复试验次数均为5次，所得粮食含水率的方差分析表的部分数据如下. (0.05(4,19) 5.01F=，0.01(4,16) 4.77F=，0.01(3,16) 5.29F=) (1) 完成下面的方差分析表.(2) 给出分析结果.3. 有人认为企业的利润水平和它的研究费用间存在着近似的线性关系. 下面是某10个企业的利润水平(x )与研究费用(y )的调查资料：102101=∑=i ix，2390101=∑=i i y ，10661012=∑=i ix ，6243001012=∑=i iy ，25040101=∑=i i i y x建立研究费用y 与企业利润水平x 的回归直线方程.2011-2012学年第 2 学期 大学数学Ⅱ 华南农业大学期末考试试卷（A 卷）-参考答案 一、1. 0.8； 2. 31e --； 3.518； 4. 416 ； 5. )1(t ； 6. (4.412，5.588) 二、1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 三、1. 解 设A =“任取一产品，经检验认为是合格品” B =“任取一产品确是合格品” 依题意()0.9,()0.1,()0.95,()0.02P B P B P A B P A B ==== （2分）则（1）()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯=（5分） （2） ()(|)0.90.95(|)0.9977()0.857P B P A B P B A P A ⨯===. （8分）2. 解 (1) 由2114a a -+=得1231().22舍去或a a ==- (3分) (2) X 的分布律为(5分)(3) X 的分布函数为 0,10,111,12,1244()113,23,234241111,3,3424x x x x F x x x x x <⎧<⎧⎪⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪⎪==⎨⎨+≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪⎪≥++≥⎩⎪⎩ (8分) 3. 解（1）111011{1}{11}12x x P X P X e dx e dx e---<=-<<===-⎰⎰. (3分)（2）当0y ≤时，()()()20F y P Y y P X y =<=<=； (5分) 当0y >时，()()(20xx F y P X y P X dx dx --=<=<<== (8分) 所以2Y X =的密度函数为0,0()()0y f y F y y ≤⎧⎪'==>. (10分) 4. 解 （1）因为随机变量X 与Y 相互独立， ( 1分)所以它们的联合密度函数为：3,03,0(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其他 (3分)（2）{}(,)y xP Y X f x y dxdy <<=⎰⎰330[]xy e dy dx -=⎰⎰ (6分)330(1)x e dx -=-⎰3390181()333x x e e --=+=+()9183e -=+ (8分) （3）解：由密度函数可知~(0,3),~(3)X U Y E (10分)所以，22(30)311(),(),12439D X D Y -==== (12分) 由X 与Y 相互独立，得3131()()()4936D X Y D X D Y -=+=+=(14分) 四、1. 解 检验假设 20:0.0004H σ=，21:0.0004H σ≠. （1分）依题意，取统计量：2222(1)~(1)n S n χχσ-=-，15n =. （3分）查表得临界值：220.0252(1)(14)26.1n αχχ-==，220.97512(1)(14) 5.63n αχχ--==, （5分）计算统计量的观测值得： 22140.02521.8750.0004χ⨯==. （6分）因2220.9750.025(14)(14)χχχ<<，故接受原假设0H ，即认为总体方差与规定的方差无显著差异.（8分） 2. 解 (1)(2) 解 因为F =5.6681>0.01(3,16) 5.29F =，所以拒绝0H ，即认为不同的贮藏方法对粮食含水率的影响在检验水平0.01α=下有统计意义. (8分)3. 解 2.10=x ，239=y (2分)6.252.10101066221012=⨯-=-=∑=x n x l i i xx (3分)6622392.101025040101=⨯⨯-=-=∑=y x n y x l i i i xy (4分)故1662ˆ25.8625.6xy xx l l β==≈；01ˆˆ23925.8610.224.77y x ββ=-=-⨯=- (6分) 因此所求回归直线方程为 ˆ24.7725.86yx =-+ (8分)。
【精选】国家开放大学电大本科《应用概率统计》2029-2030期末试题及答案(试卷号：1091)
国家开放大学电大本科《应用概率统计》2029-2030期末试题及答案（试卷号：1091）1-袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。
今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第二个人取得黄球的概率是 ______________________ .2.设/（x,y）是二维随机变量（X,y）的联合密度函数，儿愆）与/, （y）分别是关于X与丫的边缘概率密度，且X与丫相互独立，则有/（x ,、）为_________________ .3.在每次试验中，事件A发生的概率等于0.5.利用契比雪夫不等式估计:在1000次独立试验中，事件A发生的次数在400和600次在之间的概率> __________________ o4.已知某一产品的某一指标X〜NQ Z,（0.5）2），若要使样本均值与总体期望值的误差不小于0.1,则至少应抽取容量为_________________ 的样本。
（设置信度为95% ）5.当r e.ol < |r|<r0.05时，则变量丫为X的线性相关关系____________________ 。
二、判断题（回答对或错，每小题3分，共15分）6.设随机变筮X〜N（l,l），其概率密度为/（x），且分布函数为F（x），则P<X<l}=P{X21}=0.5 成立」）7.设两个相互独立的随机变量的方差分别为4和2,随机变量3X-2Y的方差是16.（）8.设随机变量丁服从自由度为〃的，分布，则随机变量丁2服从F”.（）9.在假设检验中，记Hi为备择假设，则称“若Hi不真，接受H,”为犯第一类错误。
（）10.K A I=^O<»=1«2,3）为因素在A的三个不同水平试验指标之和。
（）三、计算题（每小题10分，共50分）11.一个祀子是一个半径为2米的圆盘,设每次射击均能中祀，且击中靶上任一同心圆盘的概率与该圆盘的面积成正比，以X记弹着点与圆心的距离，求X的分布函数。
【精选】国家开放大学电大本科《应用概率统计》2023-2024期末试题及答案(试卷号：1091)
国家开放大学电大本科《应用概率统计〉2023-2024期末试题及答案(试卷号：1091)1. 设事件A 与B 相互独立,若已知P (A U B)=0. 6, P(A)=0. 4,则P(B)= ------------------------------- •2. 已知随机变量X 〜N(1,22),X|,X2，…，X.为取自X 的简琳随机样本，则统计匿士兰服从参数为 _____________________ 的正态分布。
2/而3. 设/Cr,y)是二维随机变量(X,V)的联合密度函数，fx(工)与分别是关于x与Y 的边缘概率密度，且X 与Y 相互独立，则有/■(］，»)= ------------------------ °4. 设随机变St 序列X,,X 2,-,X n ,…相互独立，服从相同的分布，且E(X») = “ ‘ D(X*)=(T 2> 0以=1,2,…)，由莱维一林德伯格中心极限定理可知，当”充分大时，Sx*将近似地服从正态分布 ___________________________ . 5. 离差平方和始= __________________________ •6. X 】，X2，・・・，X“是取自总体N(")的样本，则X = rS x - ®从N(0,l )分布。
(71 ("17- 设甲、乙、丙人进行象棋比赛，考虑事件A =｛甲胜乙负｝，则同为《甲负乙胜｝.() 8- 设随机变量X 和丫的方差存在且不为零，若D(X+Y)=D(X)+O(y)成立，则X 和 丫一定不相关。
()9- 若C 是常数，则有E(C) = C° ()10.已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，即P ｛x=4｝=£_eT"=0,l,2, K !…，则随机变蛰Z=3X-2的数学期望E(Z)为8。
() 11.已知随机变量X 服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6,D(X)=3. 6,试求二项分布 的参数“ r p 的值。
(2021更新)国家开放大学电大本科《应用概率统计》2023-2024期末试题及答案(1091套)
国家开放大学电大本科《应用概率统计》2023-2024期末试题及答案（试卷号：1091）1. 咬事件 A 与H 相里独立.若EfaPCA U P （A ）-0.4.IWP （B ）- ______________________ ・2. 已知随机变Mt X为取口 X 的简单随机样本•则境什抒版从令故为… __________ __________ 的正态分布.3.段/（八，）是二维随机变At （X.y ）的联合密度确数・与/r ＜＞）分别足关于X与Y 的边嫌微率密震，HX 与y 相里独立.则有/（*・、＞= ---------------- .__ -[•设随机变度序列x,・x 「.…，x..・・・相互独立,很从相同的分布•且E 〈x.）r= / ＞0以=1,2,…）.由策堆一林ttl 伯格中心供限定理叫卸•当〃充分大时..习X.将近似地服从正杰分布 卜、 ................. - • ~5.寓差平•方和。
- ___________________________ .二•判断8H 回答对或信，每小JB 3分.共15分）6.X,.X”・・・.X .燹取自也体N 侦/＞的样本•则X 眼从，（0，1）分布.（7.世甲.乙.丙人进行象机比祢,号虑事件A _（甲胜乙贝）.则A 为（甲贝乙胜）.（ ）&设随机变皿x 柯丫的方茬存在且不为年，若/）（x+Y ）=D （x ）+ r ）（y ）成立.则x 和y —定不相关•；《）9.若「是常散.姻有E ・《C ・〉L C ・.（ ）• 10.已如阀敝型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，即p （x-*J=x~c村4…•则Sfl 机变fit ZU3X-2的数学期Cfl E （z ）为8.（）II.已辿陶也变陷X 服从二项分布.R ECX ） D （X ） =3.6.试求二理分布 的隹数n , p 的值.技・设连续叩随机变畋、'的宙填函敦为一.境空18（玺小813分,共15分）三J+算■（每小■ I 。
概率与统计的综合运用试题
概率与统计的综合运用试题一、问题描述某超市销售了1000盒某品牌饼干，经过检验，共有70盒饼干是过期的。
现在从中随机抽取了10盒饼干，请计算以下几个概率值：1. 至少有一盒饼干是过期的概率；2. 有两盒饼干是过期的概率；3. 正好有两盒饼干是过期的概率；4. 最多有两盒饼干是过期的概率。
二、问题分析该问题涉及到离散的概率分布，可以使用二项分布来求解。
设X表示随机抽取10盒饼干中过期饼干的数量，那么X服从参数为n=10，p=70/1000的二项分布。
三、解题过程1. 至少有一盒饼干是过期的概率：由于“至少”包含了“有”，即至少有一盒饼干是过期的概率可以表示为1减去没有饼干过期的概率，即1-P(X=0)。
根据二项分布的概率公式可以计算得到：```P(X≥1) = 1 - P(X=0) = 1 - C(10, 0) * (70/1000)^0 * (930/1000)^10```2. 有两盒饼干是过期的概率：有两盒饼干是过期的概率可以直接计算P(X=2)：```P(X=2) = C(10, 2) * (70/1000)^2 * (930/1000)^8```3. 正好有两盒饼干是过期的概率：正好有两盒饼干是过期的概率可以直接计算P(X=2)。
4. 最多有两盒饼干是过期的概率：最多有两盒饼干是过期的概率可以表示为P(X≤2)，即P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)。
四、计算结果根据以上分析，我们可以计算出以下结果：1. 至少有一盒饼干是过期的概率为：P(X≥1) = 1 - C(10, 0) * (70/1000)^0 * (930/1000)^10 ≈ 0.8682. 有两盒饼干是过期的概率为：P(X=2) = C(10, 2) * (70/1000)^2 * (930/1000)^8 ≈ 0.2243. 正好有两盒饼干是过期的概率为：P(X=2) = C(10, 2) * (70/1000)^2 * (930/1000)^8 ≈ 0.2244. 最多有两盒饼干是过期的概率为：P(X≤2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) ≈ 0.947五、结论根据计算结果，我们得出以下结论：1. 随机抽取10盒饼干中，至少有一盒饼干是过期的概率约为0.868，即大约有86.8%的概率至少有一盒饼干是过期的。
2024年高考数学专题21 概率与统计的综合运用(13大题型)(练习)(原卷版)
专题21概率与统计的综合运用目录01 求概率及随机变量的分布列与期望 (2)02 超几何分布与二项分布 (3)03 概率与其它知识的交汇问题 (4)04 期望与方差的实际应用 (6)05 正态分布与标准正态分布 (8)06 统计图表及数字特征 (10)07 线性回归与非线性回归分析 (13)08 独立性检验 (16)09 与体育比赛规则有关的概率问题 (18)10 决策型问题 (20)11 递推型概率命题 (21)12 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式 (23)13 高等背景下的概统问题 (25)01 求概率及随机变量的分布列与期望1．（2022•甲卷）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．2．（2024·河南·统考模拟预测）盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；E X．(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望()3．（2024·全国·模拟预测）某科研所计划招聘两名科研人员，共有4人报名应聘．科研所组织了专业能力、创新意识和写作水平三场测试，每场测试满分100分，每名选手在三场测试中的得分分别按50%,30%和20%计入总分，按总分排序，若总分相同，则依次按专业能力、创新意识和写作水平的得分从高到低排序，前两名录取．下表是4名应聘者的三场测试成绩：项目选手1选手2选手3选手4专业能力/分85808284创新意识/分80808582写作水平/分86858688(1)该科研所应招聘哪两名选手？并说明你的理由．(2)该科研所要求新招聘的两名科研人员上岗前参加线上培训．已知专业能力、创新意识和写作水平各有两个线上报告，培训者需从每个项目的两个报告中选择一个学习，记新招聘的两名科研人员参加学习的相同报告的数目为X ，求X 的概率分布列和数学期望．4．（2024·全国·模拟预测）班会课上，甲、乙两位同学参加了“心有灵犀”活动：从5个成语中随机抽取3个，甲同学负责比划，乙同学负责猜成语．甲会比划其中3个，甲会比划的成语，乙猜对的概率为12，甲不会比划的成语，乙无法猜对．(1)求甲乙配合猜对2个成语的概率；(2)设甲乙配合猜对成语个数为X ，求X 的分布列和数学期望．02 超几何分布与二项分布5．（2024·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题．(1)现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X 表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X 的分布列，并求出X 的数学期望()E X ．(2)现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有()010,a a a *<<ÎN条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，设事件A 为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当0a a =时，事件A 发生的概率最大，求0a 的值．6．（2024·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10道题中一次性抽出4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为(01)p p <<，且每道题答对与否互不影响.(1)分别求小张，小王答对题目数的分布列；(2)若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求p 的取值范围.7．（2024·广东肇庆·统考一模）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列.现连续发射信号n 次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号1的次数为X .(1)当6n =时，求()2P X £(2)已知切比雪夫不等式：对于任一随机变最Y ，若其数学期望()E Y 和方差()D Y 均存在，则对任意正实数a ，有()()()21D Y P Y E Y a a-<³-.根据该不等式可以对事件“()Y E Y a -<”的概率作出下限估计.为了至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n 的最小值.03 概率与其它知识的交汇问题8．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知三棱锥-P ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA a =，PB b =，PC c =，三棱锥-P ABC 的外接球半径2R =.(1)求三棱锥-P ABC 的侧面积S 的最大值；(2)若在底面ABC 上，有一个小球由顶点A 处开始随机沿底边自由滚动，每次滚动一条底边，滚向顶点B 的概率为12，滚向顶点C 的概率为12；当球在顶点B 处时，滚向顶点A 的概率为23，滚向顶点C 的概率为13；当球在顶点C 处时，滚向顶点A 的概率为23，滚向顶点B 的概率为13.若小球滚动3次，记球滚到顶点B 处的次数为X ，求数学期望()E X 的值.9．（2024·全国·高三阶段练习）如图所示，一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D -的顶点1A 出发沿棱爬行，记蚂蚁从一个顶点到另一个顶点为一次爬行，每次爬行的方向是随机的，蚂蚁沿正方体上、下底面上的棱爬行的概率为16，沿正方体的侧棱爬行的概率为23．(1)若蚂蚁爬行n 次，求蚂蚁在下底面顶点的概率；(2)若蚂蚁爬行5次，记它在顶点C 出现的次数为X ，求X 的分布列与数学期望．10．（2024·安徽·蚌埠二中校联考模拟预测）某从事智能教育技术研发的科技公司开发了一个“AI作业”项目，并且在甲、乙两个学校的高一学生中做用户测试．经过一个阶段的试用，为了解“AI作业”对学生学习的促进情况，该公司随机抽取了200名学生，对他们“向量数量积”知识点掌握情况进行调查，样本调查结果如下表：甲校乙校使用AI作业不使用AI作业使用AI作业不使用AI作业基本掌握32285030没有掌握8141226用样本频率估计概率，并假设每位学生是否掌据“向量数量积”知识点相互独立．(1)从两校高一学生中随机抽取1人，估计该学生对“向量数量积”知识点基本掌握的概率；(2)从样本中没有掌握“向量数量积”知识点的学生中随机抽取2名学生，以x表示这2人中使用AI作业的人数，求x的分布列和数学期望；(3)从甲校高一学生中抽取一名使用“Al作业”的学生和一名不使用“AI作业”的学生，用“1X=”表示该使用“AI=”表示该使用“AI作业”的学生没有掌握“向量数量积”，用作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“X0=”表示该不使用“AI作业”的学生没“1Y=”表示该不使用“AI作业”的学生基本掌握了“向量数量积”，用“Y0有掌握“向量数量积”．直接写出方差DX和DY的大小关系．（结论不要求证明）04 期望与方差的实际应用11．（2024·北京西城·高三统考期末）生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下：跑步软件一跑步软件二跑步软件三跑步软件四中学生80604020大学生30202010假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响.(1)从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率；(2)采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取8人，再从这8人中随机抽取3人.记X 为这3人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求X 的分布列和数学期望；(3)记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1x ，2x ，3x ，4x ，其方差为21s ；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为1y ，2y ，3y ，4y ，其方差为22s ；1x ，2x ，3x ，4x ，1y ，2y ，3y ，4y 的方差为23s .写出21s ，22s ，23s 的大小关系.（结论不要求证明）12．（2024·广东东莞·高三统考期末）某区域中的物种C 有A 种和B 种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A 种数目比B 种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C ，统计其中A 种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n 次（其中*n ÎN ），记第i 次试验中的A 种数目为随机变量i X （1,2,,i n =×××）；③记随机变量11ni i X X n ==å，利用X 的期望()E X 和方差()D X 进行估算．设该区域中A 种数目为M ，B 种数目为N ，每一次试验都相互独立．(1)已知()()()i j i j E X X E X E X +=+，()()()i j i j D X X D X D X +=+，证明：()()1E X E X =，()()11D X D X n=；(2)该小组完成所有试验后，得到i X 的实际取值分别为i x （1,2,,i n =×××），并计算了数据i x （1,2,,i n =×××）的平均值x 和方差2s ，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据210.5s n=．（ⅰ）请用x 和2s 分别代替()E X 和()D X ，估算MN和x ；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求1X 的分布列中概率值最大的随机事件{}1X k =对应的随机变量的取值．13．（2024·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）某校为了庆祝建校100周年，举行校园文化知识竞赛.某班经过层层选拔，还有最后一个参赛名额要在甲､乙两名学生中产生，该班设计了一个选拔方案：甲，乙两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答.已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为12.甲､乙两名学生对每个问题回答正确与否都是相互独立的.(1)分别求甲､乙两名学生恰好答对2个问题的概率；(2)设甲答对的题数为X ，乙答对的题数为Y ，若让你投票决定参赛选手，你会选择哪名学生？请说明理由.05 正态分布与标准正态分布14．（2024·全国·模拟预测）某市有20000名学生参加了一项知识竞赛活动（知识竞赛分为初赛和复赛），并随机抽取了100名学生的初赛成绩作为样本，绘制了频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和80%分位数．(2)若所有学生的初赛成绩X 近似服从正态分布()2,N m s，其中m 为样本平均数的估计值，11s »，初赛成绩不低于89分的学生才能参加复赛，试估计能参加复赛的人数．(3)复赛设置了三道试题，第一、二题答对得30分，第三题答对得40分，答错得0分．已知某学生已通过初赛，他在复赛中第一题答对的概率为23，后两题答对的概率均为12，且每道题回答正确与否互不影响，记该考生的复赛成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N m s，则()0.6827P X m s m s -<£+»，()220.9545P X m s m s -<£+»，()330.9973P X m s m s -<£+»．15．（2024·海南省直辖县级单位·高三校考阶段练习）红松树分布在我国东北的小兴安岭到长白山一带，耐荫性强.在一森林公园内种有一大批红松树，为了研究生长了4年的红松树的生长状况，从中随机选取了12棵生长了4年的红松树，并测量了它们的树干直径i x （单位：厘米），如下表：i123456789101112ix 28.727.231.535.824.333.536.326.728.927.425.234.5计算得：1212211360,10992i i i i x x ====åå.(1)求这12棵红松树的树干直径的样本均值m 与样本方差2s .(2)假设生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布.记事件A ：在森林公园内再从中随机选取12棵生长了4年的红松树，其树干直径都位于区间[22,38].①用（1）中所求的样本均值与样本方差分别作为正态分布的均值与方差，求()P A ；②护林员在做数据统计时，得出了如下结论：生长了4年的红松树的树干直径近似服从正态分布()230,8N .在这个条件下，求()P A ，并判断护林员的结论是否正确，说明理由.参考公式：若()2,Y N m s :，则()()()0.6827,20.9545,30.9973P Y P Y P Y m s m s m s -£»-£»-£».参考数据：1212120.68270.01,0.95450.57,0.99730.97»»».16．已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位，假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1．（1）将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X ，求X 的期望和方差；（2）18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，当n 比较大时，二项分布可视为正态分布．此外，如果随机变量()2~,Y N m s ，令Y Z ms-=，则~(0,1)Z N ．当~(0,1)Z N 时，对于任意实数a ，记()()F =<a P Z a ．已知下表为标准正态分布表（节选），该表用于查询标准正态分布(0,1)N 对应的概率值．例如当0.16a =时，由于0.160.10.06=+，则先在表的最左列找到数字0.1（位于第三行），然后在表的最上行找到数字0.06（位于第八列），则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是(0.16)F 的值．a0.000.010.020.030.040.050.060.070.080.090.00.50000.50400.50800.51200.51600.51990.52390.52790.53190.53590.10.53980.54380.54780.55170.55570.55960.56360.56750.57140.57530.20.57930.58320.58710.59100.59480.59870.60260.60640.61030.61410.30.61790.62170.62550.62930.63310.63680.64040.64430.64800.65170.40.65540.65910.66280.66640.67000.67360.67720.6808，0.68440.68790.50.69150.69500.69850.70190.70540.70880.71230.7157'0.71900.7224①求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率；②若要使在晚自习时间阅览室座位够用的概率高于0.7，则至少需要添加多少个座位？06 统计图表及数字特征17．（2022•北京）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m 以上（含9.50)m 的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：):m 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．（Ⅰ）估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；（Ⅱ）设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望EX ；（Ⅲ）在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）18．（2024·江西·高三校联考阶段练习）某学校即将迎来建校80周年，为了增进学生爱校、荣校意识，团委组织学生开展“迎校庆、知校史”的知识竞赛活动，共有100名同学参赛.为了解竞赛成绩的分布情况，将100名同学的竞赛成绩按[)70,75，[)75,80，[)80,85，[)85,90，[)90,95，[]95,100分成6组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)用样本估计总体，求图中a 的值及此次知识竞赛成绩的80%分位数；(2)现从竞赛成绩在[)80,95的学生中以分层抽样的方式抽取15人进行培训，经过一轮培训后再选取2人担任主持人工作，求在至少1人来自分数段[)90,95的条件下，另外1人来自分数段[)80,85的概率.19．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，…，[]90,100，得到如下频率分布直方图.(1)求出直方图中m 的值；(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数（中位数精确到0.01）；(3)现规定：质量指标值小于70的口罩为二等品，质量指标值不小于70的口罩为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100个口罩中抽出5个口罩，并从中再随机抽取2个作进一步的质量分析，试求这2个口罩中恰好有1个口罩为一等品的概率.20．（2024·全国·高三期末）武汉外国语学校预筹办“六十周年校庆”庆典活动，需要对参与校庆活动的志愿者进行选拔性面试.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.(1)求a ，b 的值；(2)估计这100名候选者面试成绩的第70百分位数（结果精确到0.1）；(3)在第二，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取6人，然后再从这6人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率.07 线性回归与非线性回归分析21．（2024·吉林·东北师大附中校考模拟预测）2015年7月31日，在吉隆坡举行的国际奥委会第128次全会上，北京获得2022年冬奥会举办权.在申冬奥过程中，中国正式向国际社会作出“带动三亿人参与冰雪运动”的庄严承诺.这一承诺，既是我国为国际奥林匹克运动做出重大贡献的大国担当展现，也是根据我国经济水平和全民健身需求做出的群众性运动的战略部署.从北京冬奥会申办成功到2021年10月，全国参与冰雪运动人数累计达到3.46亿，实现了“带动三亿人参与冰雪运动”的目标，这是北京冬奥会给予全球冬季体育运动和奥林匹克运动的最为重要的遗产，可以说是2022年北京冬奥会的第一块金牌.“冬奥热”带动“冰雪热”，也带动了冰雪经济，以冰雪运动为主要内容的冰雪旅游近年来发展迅速，2016至2022六个冰雪季的旅游人次y （单位亿）的数据如下表：年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022年度代号t 123456旅游人次y1.71.972.240.942.543.15(1)求y 与t 的相关系数（精确到0.01），并回答y 与t 的线性相关关系的强弱；(2)因受疫情影响，现将2019—2020年度的异常数据剔除，用剩下的5个年度数据（年度代号不变），求y 关于t 的线性回归方程（系数精确到0.01），并推测没有疫情情况下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估计值.附注：参考数据：611 3.56ii t t ===å，611 2.096i i y y ===å，6147.72i i i t y ==å，62191i i t ==å，7».参考公式：相关系数r 线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：ˆb22．（2024·全国·高三专题练习）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．参考数据11t x =：71i ii t y=åt72217ii tt=-å1 7500.370.55参考公式：对于一组数据1122(,)(,)(,)n n u v u v u v L ，，，，其经验回归方程 µv a bm =+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为µ1221ni i i nii n n mnmn bmm==-=-åå， µav bm =- .(1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y (秒/题)与训练天数x (天)有关，经统计得到如下数据：x (天)1234567y (秒/题)910800600440300240210现用 b y a x=+ 作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；( a，b 用分数表示)(2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为23，且各局之间相互独立，设比赛X 局后结束，求随机变量X 的分布列及均值．23．（2024·全国·模拟预测）近三年的新冠肺炎疫情对我们的生活产生了很大的影响，当然也影响着我们的旅游习惯，乡村游、近郊游、周边游热闹了许多，甚至出现“微度假”的概念．在国家有条不紊的防疫政策下，旅游又重新回到了老百姓的日常生活中．某乡村抓住机遇，依托良好的生态环境、厚重的民族文化，开展乡村旅游．通过文旅度假项目考察，该村推出了多款套票文旅产品，得到消费者的积极回应．该村推出了六条乡村旅游经典线路，对应六款不同价位的旅游套票，相应的价格x 与购买人数y 的数据如下表．旅游线路奇山秀水游古村落游慢生活游亲子游采摘游舌尖之旅套票型号A B C D E F 价格x /元394958677786经数据分析、描点绘图，发现价格x 与购买人数y 近似满足关系式()0,0by ax a b =>>，即()ln ln ln 0,0y b x a a b =+>>，对上述数据进行初步处理，其中ln i i v x =，ln i i w y =，1i =，2， (6)附：①可能用到的数据：6175.3i i i v w ==å，6124.6i i v ==å，6118.3i i w ==å，621101.4i i v ==å．②对于一组数据()12,v w ，()22,v w ，…，(),n n v w ，其回归直线ˆˆˆw bv a =+的斜率和截距的最小二乘估计值分别为()()()1122211ˆn niii ii i nniii i v v w w v w nvwbv v vnv ====---==--åååå，ˆˆa w bv=-．(1)根据所给数据，求y 关于x 的回归方程．(2)按照相关部门的指标测定，当套票价格[]49,81x Î时，该套票受消费者的欢迎程度更高，可以被认定为“热门套票”．现有三位游客，每人从以上六款套票中购买一款旅游，购买任意一款的可能性相等．若三人买的套票各不相同，记三人中购买“热门套票”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和期望．08 独立性检验24．（2024·湖北武汉·高三统考期末）数学运算是数学学科的核心素养之一，具备较好的数学运算素养一般体现为在运算中算法合理、计算准确、过程规范、细节到位，为了诊断学情、培养习惯、发展素养，某老师计划调研准确率与运算速度之间是否有关，他记录了一段时间的相关数据如下表：项目速度快速度慢合计准确率高102232准确率低111728合计213960(1)依据0.010a =的独立性检验，能否认为数学考试中准确率与运算速度相关？(2)为鼓励学生全面发展，现随机将准确率高且速度快的10名同学分成人数分别为3，3，4的三个小组进行小组才艺展示，若甲、乙两人在这10人中，求甲在3人一组的前提下乙在4人一组的概率.附：a0.1000.0500.0250.0100.0050.001x a2.7063.8415.0246.6357.87910.828()()()()()22n ad bc a b c d a c b d c -=++++其中n a b c d =+++.25．（2024·陕西榆林·校考模拟预测）由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取400名进行调查，得到统计数据如下表：保护动物意识强保护动物意识弱合计男性14060200女性80120200合计220180400(1)根据以上数据，依据小概率值0.001a=的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？(2)将频率视为概率，现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取4次.记被抽取的4人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bca b c d a c b dc-=++++，其中n a b c d=+++.附：a0.100.050.0100.0050.001xa2.7063.841 6.6357.87910.82826．（2024·全国·高三专题练习）为加快推动旅游业复苏，进一步增强居民旅游消费意愿，山东省人民政府规定自2023年1月21日起至3月31日在全省实施景区门票减免．据统计，活动开展以来游客至少去过两个及以上景区的人数占比为90%．某市旅游局从游客中随机抽取100人（其中年龄在50周岁及以下的有60人）了解他们对全省实施景区门票减免活动的满意度，并按年龄（50周岁及以下和50周岁以上）分类统计得到如下不完整的2×2列联表：不满意满意总计50周岁及以下5550周岁以上15总计100(1)根据统计数据完成以上2×2列联表，根据小概率值0.001a=的独立性检验，能否认为对全省实施景区门票减免活动是否满意与年龄有关联（结果精确到0.01）？(2)现从本市游客中随机抽取3人了解他们的出游情况，设其中至少去过两个及以上景区的人数为X，若以本次活动中至少去过两个及以上景区的人数的频率为概率，求X的分布列和数学期望．参考公式及数据：()()()()()22n ad bca b c d a c b dc-=++++，其中n a b c d=+++．a0.1000.0500.0100.001xa2.7063.841 6.63510.82809 与体育比赛规则有关的概率问题27．（2024·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）2022年12月18日，第二十二届男足世界杯决赛在梅西率领的阿根廷队与姆巴佩率领的法国队之间展开，法国队在上半场落后两球的情况下，下半场连进两球，2比2战平进入加时赛，加时赛两队各进一球（比分3∶3）再次战平，在随后的点球大战中，阿根廷队发挥出色，最终赢得了比赛的胜利，时隔36年再次成功夺得世界杯冠军，梅西如愿以偿，成功捧起大力神杯．(1)法国队与阿根廷队实力相当，在比赛前很难预测谁胜谁负．赛前有3人对比赛最终结果进行了预测，假设每人预测正确的概率均为12，求预测正确的人数X的分布列和期望；(2)足球的传接配合非常重要，传接球训练也是平常训练的重要项目，梅西和其他4名队友在某次传接球的训练中，假设球从梅西脚下开始，等可能地随机传向另外4人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外4人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n次传球之前球在梅西脚下的概率为n P，求n P．。
11学年应用概率统计大学数学2试卷(A卷)附答案
2011-2012学年第 2 学期 测试科目： 大学数学Ⅱ一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 设A 、B 为两个随机事件，已知()0.3,()0.4,()0.5P A P B P A B ===，则()P A B =______________.2. 设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则(1)P X ≥= ______________.3. 设二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为：),(Y X 的联合分布函数为),(y x F ，则(1,3)F =______________.4. 设随机变量X 表示100次独立重复射击命中目标的次数，每次命中目标的概率为0.2, 则2X 的数学期望是______________. 5. 设X 、Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则2~Z Y =______________. (要求写出分布及其参数).6. 设由来自总体~(,0.81)X N μ，容量为9的样本得到样本均值5=X ，则未知参数μ的置信度为95%的置信区间为___________________.( 0.025 1.96u =) 二、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 某人花钱买了C B A 、、三种不同的奖券各一张.已知各种奖券中奖是相互独立的, 中奖的概率分别为,02.0)(,01.0)(,03.0)(===C p B P A p 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱, 则此人赚钱的概率约为( ). A. 0.05B. 0.06C. 0.07D. 0.082. 设A 、B 为两个随机事件，且B A ⊂，()0>B P ，则下列选项必然正确的是( ). A. ()()B A P A P < B. ()()B A P A P >C. ()()B A P A P ≤D. ()()B A P A P ≥3. 下列各函数中可以作为某个随机变量X 的分布函数的是( ).A. 21,0()11,0x F x x x ⎧≤⎪=+⎨⎪>⎩ B. 0,0() 1.1,011,1x F x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩C. x x F sin )(=D. 211)(x x F +=4. 设随机变量()2~2,3X N ，随机变量25Y X =-+, 则~Y ( ). A. (1,41)N B. (1,36)N C. (1,18)N - D. (1,13)N -YX0 2 4 0 11/6 1/9 1/181/3 0 1/35. 设某地区成年男子的身高()100,173~N X ，现从该地区随机选出20名男子，则这20名男子身高平均值的方差为( ).A. 100B. 10C. 5D. 0.56. 设12,,,n X X X ⋅⋅⋅是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则不是总体期望μ的无偏估计量的是( ).A. XB. 123X X X +-C. 1230.20.30.5X X X ++D. 1nii X=∑三、计算题（本大题共4小题，共40分）1.（本题8分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求: （1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.2.（本题8分）设离散型随机变量X 只取1，2，3三个可能值，取各相应值的概率分别是21,,4a a -，求:(1) 常数a ； (2) 随机变量X 的分布律； (3) 随机变量X 的分布函数()F x . 3.（本题10分）设随机变量X 的密度函数为：()1()2x f x e x -=-∞<<+∞.(1) 求{1}P X <； (2) 求2Y X =的密度函数. 4.（本题14分）设随机变量X 和Y 相互独立，它们的密度函数分别为1,03()30,X x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他, 33,0()0,0y Y e y f y y -⎧>=⎨≤⎩ 试求：(1) (,)X Y 的联合密度函数； (2) ()P Y X <； (3)()D X Y -. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 从一台车床加工的一批轴料中抽取15件测量其椭圆度，计算得样本方差220.025s =，已知椭圆度服从正态分布，问该批轴料椭圆度的总体方差和规定的方差200.0004σ=有无显著差异（取检验水平0.05α=）?(20.025(14)26.1χ=， 20.975(14) 5.63χ=, 20.025(15)27.5χ=，20.975(15) 6.26χ=)2. 某粮食加工厂用4种不同的方法贮藏粮食，一段时间后，分别抽样化验其含水率，每种方法重复试验次数均为5次，所得粮食含水率的方差分析表的部分数据如下. (0.05(4,19) 5.01F =，0.01(4,16) 4.77F =，0.01(3,16) 5.29F =)(1) 完成下面的方差分析表.方差来源 平方和 自由度 均方和F 值 F 临界值组间（贮藏方法） 4.8106组内（误差）4.5263 总和(2) 给出分析结果.3. 有人认为企业的利润水平和它的研究费用间存在着近似的线性关系. 下面是某10个企业的利润水平(x )和研究费用(y )的调查资料：102101=∑=i ix，2390101=∑=i i y ，10661012=∑=i ix ，6243001012=∑=i iy ，25040101=∑=i i i y x建立研究费用y 和企业利润水平x 的回归直线方程.2011-2012学年第 2 学期 大学数学Ⅱ 华南农业大学期末测试试卷（A 卷）-参考答案 一、1. 0.8； 2. 31e --； 3.518； 4. 416 ； 5. )1(t ； 6. (4.412，5.588) 二、1. B 2. C 3. A 4. B 5. C 6. D 三、1. 解 设A =“任取一产品，经检验认为是合格品” B =“任取一产品确是合格品” 依题意()0.9,()0.1,()0.95,()0.02P B P B P A B P A B ==== （2分）则（1）()()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B =+0.90.950.10.020.857.=⨯+⨯=（5分） （2） ()(|)0.90.95(|)0.9977()0.857P B P A B P B A P A ⨯===. （8分）2. 解 (1) 由2114a a -+=得1231().22舍去或a a ==- (3分) (2) X 的分布律为(5分)(3) X 的分布函数为0,10,111,12,1244()113,23,234241111,3,3424x x x x F x x x x x <⎧<⎧⎪⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪⎪==⎨⎨+≤<⎪⎪≤<⎪⎪⎪⎪≥++≥⎩⎪⎩ (8分) 3. 解（1）111011{1}{11}12x x P X P X e dx e dx e---<=-<<===-⎰⎰. (3分)（2）当0y ≤时，()()()20F y P Y y P X y =<=<=； (5分) 当0y >时，()()(202yy xx y F y P X y P y X y dx dx --=<=-<== (8分) X 1 2 3 P1/41/21/4所以2Y X =的密度函数为0,0()()02y y f y F y e y y-≤⎧⎪'==>⎪⎩. (10分) 4. 解 （1）因为随机变量X 和Y 相互独立， ( 1分)所以它们的联合密度函数为：3,03,0(,)()()0,y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩其他 (3分)（2）{}(,)y xP Y X f x y dxdy <<=⎰⎰330[]xy e dy dx -=⎰⎰ (6分)330(1)x e dx -=-⎰3390181()333x x e e --=+=+()9183e -=+ (8分) （3）解：由密度函数可知~(0,3),~(3)X U Y E (10分)所以，22(30)311(),(),12439D X D Y -==== (12分) 由X 和Y 相互独立，得3131()()()4936D X Y D X D Y -=+=+=(14分) 四、1. 解 检验假设 20:0.0004H σ=，21:0.0004H σ≠. （1分）依题意，取统计量：2222(1)~(1)n S n χχσ-=-，15n =. （3分）查表得临界值：220.0252(1)(14)26.1n αχχ-==，220.97512(1)(14) 5.63n αχχ--==, （5分）计算统计量的观测值得： 22140.02521.8750.0004χ⨯==. （6分） 因2220.9750.025(14)(14)χχχ<<，故接受原假设0H ，即认为总体方差和规定的方差无显著差异.（8分） 2. 解 (1)方差来源 平方和 自由度 均方和 F 值 F 临界值组间（贮藏方法）4.81063 (0.5分) 1.6035 (0.5分) 5.6681 (1分)0.01(3,16) 5.29F =(1分)组内（误差） 4.5263 16 (0.5分) 0.2829 (0.5分)总和9.3369 (0.5分)19 (0.5分)(2) 解 因为F =5.6681>0.01(3,16) 5.29F =，所以拒绝0H ，即认为不同的贮藏方法对粮食含水率的影响在检验水平0.01α=下有统计意义. (8分)3. 解 2.10=x ，239=y (2分)6.252.10101066221012=⨯-=-=∑=x n x l i i xx (3分)6622392.101025040101=⨯⨯-=-=∑=y x n y x l i i i xy (4分)故1662ˆ25.8625.6xy xx l l β==≈；01ˆˆ23925.8610.224.77y x ββ=-=-⨯=- (6分) 因此所求回归直线方程为 ˆ24.7725.86yx =-+ (8分)。
概率统计简明教程期末试卷 (2)
概率统计简明教程期末试卷第一部分：单选题1.关于概率的定义，以下哪个说法是正确的？A)特定事件发生的可能性B)事件发生的次数C)随机事件发生的趋势D)随机事件发生的原因答案：A2.某校男女生分别有800名和600名，如果从这些人中随机抽取一个人，那么他/她是女生的概率是多少？A)25%B)40%C)60%D)75%答案：B3.某公司的产品有5%的次品率，如果从该公司产品中随机抽取3件，其中至少有一件是次品的概率是多少？A)0.25%B)0.75%C)4.88%D)95.12%答案：C第二部分：多选题4.关于样本空间，以下哪个说法是正确的？A)样本空间中包含所有的可能结果B)样本空间中的每个元素都是事件C)样本空间中的元素可以是数字或字符串D)样本空间可以用树状图表示答案：A、B、D5.关于均值，以下哪个说法是正确的？A)是各数据项之和除以数据项的个数B)是数据项中的最大值C)是数据项中的最小值D)是数据项之间的方差答案：A6.在正态分布中，标准差越大，以下哪个说法是正确的？A)曲线越陡峭B)曲线越扁平C)均值越小D)均值没有变化答案：B第三部分：问题解答1.请解释什么是条件概率？答：条件概率是指在已知另一随机事件发生的条件下，特定事件发生的概率。
条件概率的公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，即特定事件 A 在已知其它事件 B 发生的情况下发生的概率。
其中A∩B 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。
2.什么是二项分布？请给出一个例子并计算其概率。
答：二项分布是指在 n 次试验中，成功概率为 p，失败概率为q=1-p，每次试验结果都是独立的情况下，成功次数的概率分布。
一个典型的例子是一枚硬币在 n 次扔掷中，正面朝上的次数。
设有一枚硬币，成功概率为0.6，试验10次，每次结果独立，问在这10次试验中出现6次正面的概率是多少？根据二项分布的公式可得，P(X=6)=C(10,6)(0.6)^6(1-0.6)^4≈0.25。
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062应用数学一、 填空题（每小题2分，共2⨯6=12分）1、设服从0—1分布的一维离散型随机变量X 的分布律是：011XPpp-，若X 的方差是14，则P =________。
2、设一维连续型随机变量X 服从正态分布()2,0.2N ，则随机变量21Y X =+ 的概率密度函数为______________。
3、设二维离散型随机变量X 、Y 的联合分布律为：则a , b 满足条件：___________________。
XY11231115694、设总体X 服从正态分布()2,N μσ，12,,...,n X X X 是它的一个样本，则样本均值X 的方差是________。
5、假设正态总体的方差未知，对总体均值 μ 作区间估计。
现抽取了一个容量 为n 的样本，以X 表示样本均值，S 表示样本均方差，则μ 的置信度为1-α 的置信区间为：_______________________。
6、求随机变量Y 与X 的线性回归方程Y a b X =+ ，在计算公式 xy xxay b x L b L ⎧=-⎪⎨=⎪⎩中，()21nxx ii L xx==-∑，xyL=。
二、单项选择题（每小题2分，共2⨯6=12分）1、设A ，B 是两个随机事件，则必有（ ）()()()()()()()()A P A B P A P B B P A B P A P A B -=--=-()()()()()()()()()C P A B P A P B D P A B P A P A P B -=-=-2、设A ，B 是两个随机事件，()()()524,,556P A P B P B A ===，（ ）()()()11()()()23212()()325A P AB B P ABC P ABD P AB ====3、设X ，Y 为相互独立的两个随机变量，则下列不正确的结论是（ ）()()()()()()()()A E XY E X E Y B D XY D X D Y ==()()()()()0X Y C D X Y D X D Y D ρ±=+=4、设两总体()()2212~,,~,,XN Y N μσμσσ未知，从X 中抽取一容量为1n 的样本，从Y 中抽取一容量为2n 的样本，作假设检验：012112:,:,H H μμμμ=≠所用统计量X YT -=服从（ ）()()()()121212121212A n n t B n n t C n n t D n n t +++++-+-自由度为的分布自由度为的分布自由度为的分布自由度为的分布5、在对一元线性回归方程的统计检验中，回归平方和SS R 的自由度是：（ ）()()()()()1211,2A n B n C D n ---6、设总体()2~,XN μσ，从X 中抽取一容量为n 的样本，样本均值为X ，则统计量2X Y n S μ⎛⎫-= ⎪⎝⎭服从什么分布？（ ）()()()()()()()()20,1111,1A N B tn C n D F nχ---三、判别题（每小题2分，共2⨯6=12分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“⨯”）1、（ ）设随机变量X 的概率密度为()X f x ，随机变量Y 的概率密度为()Y f y ，则二维随机变量（X 、Y ）的联合概率密度为()()X Y f x f y 。
2、（ ）设()x Φ是服从标准正态分布()0,1N 的随机变量的分布函数，X是服从正态分布()2,N μσ的随机变量，则有{}()21a P X a μσ-<=Φ- 3、（ ）设二维随机变量（X 、Y ）的联合概率密度为(),f x y ，随机变量(),Z g X Y =的数学期望存在，则()()(),,xyE Z g x y f x y dxdy -∞-∞=⎰⎰4、（ ）设总体X 的分布中的未知参数θ的置信度为1α-的置信区间为[]12,,T T 则有{}121P T T θα≤≤=-。
5、（ ）假设总体X 服从区间[0,]a 上的均匀分布，从期望考虑，a 的矩估计是 ˆ2a X = （X 是样本均值）。
四、计算题（每小题8分，共8⨯7=56分） 1、某连锁总店属下有10家分店，每天每家分店订货的概率为p ，且每家分店的订货行为是相互独立的，求（1） 每天订货分店的家数X 的分布律；（2） 某天至少有一家分店订货的概率。
2、现有十个球队要进行乒乓球赛，第一轮是小组循环赛，要把十支球队平分成 两组，上届冠亚军作为种子队分别分在不同的两组，其余八队抽签决定分组， 甲队抽第一支签，乙队抽第二支签。
（1）求：甲队抽到与上届冠军队在同一组的概率；（2）求：乙队抽到与上届冠军队在同一组的概率；（3）已知乙队抽到与上届冠军队在同一组，求：甲队也是抽到与上届冠军队在 同一组的概率。
3、已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，且{}112P X <=，求（1）参数λ； （2）{}21P X X <>4、设一维随机变量X 的分布函数为：()()0,21sin 1,2221,2X x F x x x x ππππ⎧≤-⎪⎪=+-<≤⎨⎪<⎪⎩，求：（1） X 的概率密度；（2） 随机变量Y =2(X +1)的数学期望。
5、 设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为()4,01,01,0,xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其余地方，求（1）该二维随机变量的联合分布函数值()1,12F ； （2）二维随机变量（X ，Y ）的函数Z =X +Y 的分布函数值F Z (1)。
6、 用某种仪器间接测量某物体的硬度，重复测量5次，所得数据是175、173、178、174、176，而用别的精确方法测量出的硬度为179(可看作硬度真值)。
设测量硬度服从正态分布，问在水平α=0.05下，用此种仪器测量硬度所得数值是否显著偏低？(0.050.050.0250.025(4) 2.132,(5) 2.015,(4) 2.776,(5) 2.571 t tt t====)7、某厂生产某种产品使用了3种不同的催化剂（因素A）和4种不同的原料（因素B），各种搭配都做一次试验测得成品压强数据。
由样本观察值算出各平方和分别为：SS A=25.17，SS B=69.34，SS E=4.16，SS T=98.67，试列出方差分析表，据此检验不同催化剂和不同原料在检验水平α=0.05下对产品压强的影响有没有统计意义？（0.050.050.05(2,6) 5.14,(3,6) 4.76,(4,6) 4.53F F F ===）五、综合实验（本题8分，开卷，解答另附于《数学实验报告》中）072 大学数学Ⅱ一、 填空题（每小题2分，本题共12分）1．若事件B A 、相互独立，且()0.5P A =，()0.25P B =，则()P A B = ；2．设随机变量X的分布列为：则()()4,3P X P X ≤=≠=；3．设随机变量X 服从参数为λ的Poisson分布，且已知[](1)(2)1E X X --=，则λ=；4．设n X X X ,,,21 是来自正态总体),(2σμN 的样本，则=)(X E ；()D X =；5．设1621,,,X X X 是来自总体),2(~2σN X 的一个样本，∑==161161i iX X ，则~84σ-X ；6．假设某种电池的工作时间服从正态分布，观察五个电池的工作时间（小时），并求得其样本均值和标准差分别为：43.4,8.08x s ==，若检验这批样本是否取自均值为50（小时）的总体，则零假设为 ， 其检验统计量为 。
1．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）．A ．12513； B ．12516；C ．12518； D ．12519．,01;()2,12;0,x x f x x x ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩其它.，则()1.8P X ≤=（ ）．A ．0.875；B ． 1.8()f x dx ⎰；C ． 1.8x dx ⎰； D ．()1.82x dx -∞-⎰． 3设物件的称重~(,0.01),X N μ95%μ为使的的置信区间的半长不0.05,超过则至少应称多少次0.0250.051.96, 1.64]u u ==[注:A ．16；B ．15；C ．4；D ．20．⎩⎨⎧∈=其他,0]1,0[,)(4x Cx x f ，则常数C=（ ）．A ．0.2；B ．5；C ．2；D ．0.5．5．在一个已通过F 检验的一元线性回归方程中，若给定α-=1,00的则y x x 的预测区间精确表示为（ ）． A．0022ˆˆˆˆ[(2),(2)]yt n yt n αασσ--+-； B．0022ˆˆˆˆ[(2),(2)]y t n yt n αασσ--+-；C．0022ˆˆˆˆ[(2),(2)]y t n yt n αασσ--+-；D．0022ˆˆˆˆ[,]yyαασμσμ-+⋅．6．样本容量为n 时，样本方差2S 是总体方差2σ的无偏估计量，这是因为（ ）．A ．()22E S σ=； B ．()22E Snσ=；C ．22S σ=； D ． 22Sσ≈．三、解下列各题（6小题，共48分）1．设总体()~0,1X N ，12,,,n X X X 为简单随机样本，且32124(1)3ii nii X n F X===-∑∑．证明：~(3,3)F F n -． （6分）2．已知连续型随机变量X的分布函数为0,1;()arcsin ,11;1 1.x F x a b x x x ≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪≥⎩，① 试确定常数,a b ； ② 求1{1}2P X -<<； ③ 求X 的密度函数．（10分）3．若从10件正品、2件次品的一批产品中，无放回地抽取2次，每次取一个，试求第二次取出次品的概率． （6分）4．设X 的密度函数为1(),2xf x e -=(,)x ∈-∞+∞① 求X的数学期望()E X 和方差()D X ；② 求X 与X的协方差和相关系数，并讨论X 与X是否相关． （8分）5．设二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，其中D 是由曲线2y x =和直线y x =所围成．试求(,)X Y 的联合分布密度及关于,X Y 的边缘分布密度 )(x f X 与)(y f Y ，并判断,X Y 是否相互独立．（10分）6．设随机变量X 服从区间],[b a 上的均匀分布，试证明：c X Y +=（c 为常数）也服从均匀分布． （8分）四、应用题：以下是某农作物对三种土壤123,,A A A ，两种肥料12,B B ，每一个处理作四次重复试验后所得产量的方差分析表的部分数据，分别写出各零假设，并完成方差分析表，写出分析结果(0.01)α=． （12分）…已知参考临界值：()()()0.010.010.012,18 6.01,1,188.29,3,18 5.09,F F F ===()()()0.010.010.012,23 3.42,1,23 4.28,3,23 3.03F F F === 五. 综合实验报告（10分）。