应用概率统计试卷

062应用数学

一、 填空题（每小题2分，共2?6=12分）

1、设服从0—1分布的一维离散型随机

变量X 的分布律是：011X

P

p

p

-，

若X 的方差是1

4，则P =________。

2、设一维连续型随机变量X 服从正态分布()2,0.2N ，则随机变量21Y X =+ 的概率密度函数为______________。

3、设二维离散型随机变量X 、Y 的联合分布律为：则a , b 满足条件：___________________。

X

Y

11

2

3

1115

6

9

4、设总体X 服从正态分布()2

,N μσ

，

12,,...,n X X X 是它的一个样本，则样本均

值X 的方差是________。

5、假设正态总体的方差未知，对总体均值 μ 作区间估计。现抽取了一个容量 为n 的样本，以X 表示样本均值，S 表示样本均方差，则μ 的置信度为1-α 的置信区间为：_______________________。

6、求随机变量Y 与X 的线性回归方程

Y a b X =+ ，在计算公式 xy xx

a

y b x L b L ?=-?

?=??

中，()

2

1

n

xx i

i L x

x

==

-∑，xy

L

=

。

二、单项选择题（每小题2分，共2?6=12分）

1、设A ，B 是两个随机事件，则必有（ ）

()()()()()()()()A P A B P A P B B P A B P A P A B -=--=-

()()()()

()()()()()C P A B P A P B D P A B P A P A P B -=-=-

2、设A ，B 是两个随机事件，

()()()

524,,556

P A P B P B A ===

，（ ）

()

()()1

1()()()232

12

()()3

25

A P A

B B P AB

C P AB

D P AB ===

=

3、设X ，Y 为相互独立的两个随机变量，则下列不正确的结论是（ ）

()()()()()()()()A E XY E X E Y B D XY D X D Y ==()()()()()0

X Y C D X Y D X D Y D ρ±=+=

4、设两总体()()2

2

12~,,~,,

X

N Y N μσ

μσ

σ

未知，从X 中抽取一容量为1n 的样本，从Y 中抽取一容量为2n 的样本，作假设

检验：

012112:,:,H H μμμμ=≠所用统计量

X Y

T -=

服从（ ）

()()()()

121212121212A n n t B n n t C n n t D n n t +++++-+-自由度为的分布自由度为的分布自由度为的分布自由度为的分布

5、在对一元线性回归方程的统计检验中，回归平方和SS R 的自由度是：（ ）

()

()()()()1

211,2A n B n C D n ---

6、设总体()2

~,X

N μσ

，从X 中抽取一

容量为n 的样本，样本均值为X ，则统计

量2

X Y n S μ??-= ???

服从什么分布？（ ）

()()()(

)()()()()2

0,1

1

11,1A N B t

n C n D F n

χ---

三、判别题（每小题2分，共2?6=12分）（请在你认为对的小题对应的括号内打“√”，否则打“?”）

1、（ ）设随机变量X 的概率密度为

()X f x ，随机变量Y 的概率密度为

()Y f y ，则二维随机变量（X 、Y ）的联

合概率密度为()()X Y f x f y 。

2、（ ）设()x Φ是服从标准正态分布

()0,1N 的随机变量的分布函数，

X

是服从正态分布()2

,N μσ

的随机变

量，则有{}()

21

a P X a μσ

-<=Φ- 3、（ ）设二维随机变量（X 、Y ）的联合概率密度为(),f x y ，随机变量

(),Z g X Y =的数学期望存在，则

()()(),,x

y

E Z g x y f x y dxdy -∞-∞=

??

4、（ ）设总体X 的分布中的未知参数θ的置信度为1α-的置信区间为

[]12,,T T 则有{}121P T T θ

α

≤≤=-。

5、（ ）假设总体X 服从区间[0,]a 上的均匀分布，从期望考虑，a 的矩估

计是 ?2a X = （X 是样本均值）。

四、计算题（每小题8分，共8?7=56分） 1、某连锁总店属下有10家分店，每天每家分店订货的概率为p ，且每家分店的订货行为是相互独立的，求

（1） 每天订货分店的家数X 的分布律；（2） 某天至少有一家分店订货的概率。

2、现有十个球队要进行乒乓球赛，第一轮是小组循环赛，要把十支球队平分成 两组，上届冠亚军作为种子队分别分在不同的两组，其余八队抽签决定分组， 甲队抽第一支签，乙队抽第二支签。

（1）求：甲队抽到与上届冠军队在同一组的概率；

（2）求：乙队抽到与上届冠军队在同一组的概率；

（3）已知乙队抽到与上届冠军队在同一组，求：甲队也是抽到与上届冠军队在 同一组的概率。

3、已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，且

{}112

P X <=

，求

（1）参数λ； （2）

{}21P X X <>

4、设一维随机变量X 的分布函数为：

()()0,

21

sin 1,

2221,2

X x F x x x x π

πππ?≤-??=+-<≤??

，求：

（1） X 的概率密度；（2） 随机变量Y =2(X +1)的数学期望。

5、 设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为

()4,

01,01,0,

xy x y f x y ≤≤≤≤?=?

?其余地方

，求

（1）该二维随机变量的联合分布函数值

()

1,1

2

F ； （2）二维随机变量（X ，Y ）的函数Z =X +Y 的分布函数值F Z (1)。

6、 用某种仪器间接测量某物体的硬度，重复测量5次，所得数据是175、173、178、174、176，而用别的精确方法测

量出的硬度为179(可看作硬度真值)。设测量硬度服从正态分布，问在水平α=0.05下，用此种仪器测量硬度所得数值是否显著偏低？

(

0.050.05

0.0250.025

(4) 2.132,(5) 2.015,

(4) 2.776,(5) 2.571 t t

t t

==

==)

7、某厂生产某种产品使用了3种不同的催化剂（因素A）和4种不同的原料（因素B），各种搭配都做一次试验测得成品压强数据。由样本观察值算出各平方和分别为：SS A=25.17，SS B=69.34，SS E=4.16，SS T=98.67，试列出方差分析表，据此检验不同催化剂和不同原料在检验水平α=0.05下对产品压强的影响

有没有统计意义？

（0.050.050.05(2,6) 5.14,(3,6) 4.76,

(4,6) 4.53

F F F ===）

五、综合实验（本题8分，开卷，解答

另附于《数学实验报告》中）

072 大学数学Ⅱ

一、 填空题（每小题2分，本题共12分）

1．若事件B A 、相互独立，且()0.5P A =，

()0.25P B =，则()P A B = ；

2．设随机变量X

的分布列为：

则()()4,3P X P X ≤=≠=；

3．设随机变量X 服从参数为λ的

Poisson

分

布

，

且已知

[](1)(2)1E X X --=，则λ

=

；

4．设n X X X ,,,21 是来自正态总体

),(2

σμN 的样本，则=)(X E ；

()D X =

；

5．设1621,,,X X X 是来自总体

)

,2(~2

σN X 的一个样本，

∑

==

16

1

16

1i i

X X ，则

~

8

4σ

-X ；

6．假设某种电池的工作时间服从正态分

布，观察五个电池的工作时间（小时），并求得其样本均值和标准差分别为：43.4,8.08x s ==，若检验这批样本是否取自均值为50（小时）的总体，则零假设为 ， 其检验统计量为 。 1．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）．

A ．12513

； B ．12516

；

C ．12518

； D ．12519

．

,01;()2,12;

0,x x f x x x ≤≤??

=-≤≤???

其它.，则

()1.8P X ≤=（ ）．

A ．0.875；

B ． 1.8

()f x dx ?；

C ． 1.8

x dx ?； D ．()1.8

2x dx -∞

-?． 3设物件的称重~(,0.01),X N μ

95%μ为使的的置信区间的半长不

0.05,超过则至少应称多少次

0.0250.051.96, 1.64]u u ==[注:

A ．16；

B ．15；

C ．4；

D ．20．

??

?∈=其他,

0]

1,0[,)(4

x Cx x f ，则常数C=（ ）．

A ．0.2；

B ．5；

C ．2；

D ．0.5．

5．在一个已通过F 检验的一元线性回归方程中，若给定α-=1,00的则y x x 的预测区间精确表示为（ ）． A

．

002

2

????[(2),(2)]

y

t n y

t n αασσ--+-； B

．0

02

2

?

???[(2),(2)]

y t n y

t n αασ

σ--+-；

C

．0

02

2

?

???[(2),(2)]

y t n y

t n αασ

σ--+-；

D

．0

02

2

?

???[,]

y

y

αασ

μσμ-+?．

6．样本容量为n 时，样本方差2

S 是总体方差2

σ的无偏估计量，这是因为（ ）．

A ．

()2

2

E S σ

=； B ．

()2

2

E S

n

σ

=

；

C ．2

2

S σ=； D ． 2

2

S

σ≈．

三、解下列各题（6小题，共48分）

1．设总体()~0,1X N ，

12,,,n X X X 为

简单随机样本，且

3

21

2

4

(

1)

3i

i n

i

i X n F X

===-∑

∑

．证明：

~(3,3)F F n -． （6分）

2．已知连续型随机变量X

的分布函数为

0,

1;()arcsin ,11;

1 1.x F x a b x x x ≤-??

=+-<

，

① 试确定常数,a b ； ② 求

1

{1}

2

P X -<<

； ③ 求X 的密度函数．（10分）

3．若从10件正品、2件次品的一批产品中，无放回地抽取2次，每次取一个，试求第二次取出次品的概率． （6分）

4．设X 的密度函数为

1(),

2

x

f x e -=

(,)x ∈-∞+∞

① 求

X

的数学期望()E X 和方差

()

D X ；

② 求X 与X

的协方差和相关系数，并讨论X 与

X

是否相关． （8分）

5．设二维随机变量),(Y X 在区域D 上服从均匀分布，其中D 是由曲线

2

y x =和直线y x =所围成．试求(,)

X Y 的联合分布密度及关于,X Y 的边缘分布密度 )(x f X 与)(y f Y ，并判断,X Y 是否相互独立．（10分）

6．设随机变量X 服从区间],[b a 上的均匀分布，试证明：c X Y +=（c 为常数）也服从均匀分布． （8分）

四、应用题：以下是某农作物对三种土壤123,,A A A ，两种肥料12,

B B ，每一个

处理作四次重复试验后所得产量的方差分析表的部分数据，分别写出各零假设，并完成方差分析表，写出分析结果

(0.01)α=． （12分）

…

已知参考临界值：

()()()0.010.010.012,18 6.01,1,188.29,3,18 5.09,F F F ===()()()0.010.010.012,23 3.42,

1,23 4.28,

3,23 3.03

F F F === 五. 综合实验报告（10分）