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概率论与数理统计复习资料

第一章随机事件与概率

1.事件的关系AuB AuB AB A-B A Q AB =(/>

(1)包含：若事件A发生，一定导致事件B发生，那么，称事件B包含事件A ,记作AuB(或Bz)A)?

(2)相等：若两事件A与〃相互包含，即AnB且Bn A,那么，称事件A与B相等，记作A = B .

(3)和事件：“事件A与事件B中至少有一个发生”这一事件称为A与B的和事件，记作AuB；“n个事件观出?…，人中至少有一事件发牛”这一事

I J A

件称为鱼…，人的和，记作Au入5??uA”(简记为* ').

(4)积事件：“事件A与事件B同时发生”这一事件称为A与B的积事件，记作AcB(简记为AB)；a n个事件观出，…，心同时发牛”这一事件称为

A,血.…，人的积事件，记作(简记为A4??4或以').

(5)互不相容：若事件A和B不能同时发生，即心?,那么称事件A与B互不相容(或互斥)，若n个事件观出?…，人中任意两个事件不能同时发生，即A"广0(iwi

(6)对立事件:若事件A和B互不相容、且它们中必有一事件发生，即AB = Q 且AuB二Q,那么，称A与B是对立的.事件A的对立事件(或逆事件)记作入

(7)差事件：若事件A发生且事件B不发生，那么，称这个事件为事件A 与B的差事件，记作A-B(或人用)?

2?运算规则(1)交换律：AuB = BuA AB = BA

(2)结合律：(AuB)uC = Au(BuC) (AB)C = A(BC)

(3)分配律(A u B)C = (AC) u (BC) (AB) uC = (Au C)(B u C)

(4)德［摩根(DeMorgan)法则：AuB = AB AB = AuB

3.概率P( A)满足的三条公理及性质:

(1)0 < P(A) < 1 (2) P(Q) = 1

(3)对互不相容的事件￡,凡，…,有P(|J 4) = J

P(A k) (n可以取co) k=[Bl

(4)P(0) = O (5) P(A) = 1 - P(A)

(6)P(A-B) = P(A)-P(AB),若AuB,则P(B-A) = P(B)-P(A), P(A)< P(B)

(7)P(A u B) = P(A) + P(B) - P(AB)

(8)P(AufiuC) = P(A) + P(B) + P(C) 一P( AB) - P(AC)一P(BC) + P(ABC)

4.古典概型：基本事件有限且等可能

5.几何概率：如果随机试验的样本空间是一个区域(可以是直线上的区间、平面或空间屮的区域)，且样本空间屮每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件A的概率为

= A的长度(或面积、体积)

(，一样本空间的的长度(或面积、体积)?

6.条件概率

(1)定义：若P(B)> 0,则P(A|B)二巴也

P(B)

(2)乘法公式：P(AB) = P(B)P(A | B)

若耳，场,???3”为完备事件组，P(BJ>0,贝ij有

(3)全概率公式：P(A) =》P(BJP(A | BJ

/=!

(4)Bayes 公式：P(B* | A) = ￡(拔)卩(川伐)

￡P(BJP(A\BJ

/=!

(5)贝努里概型与二项概率

设在每次试验中，随机事件A发生的概率P(A) = p(0

复独立试验中?，事件A恰发生￡次的概率为

巳伙)二7 //(I —"1,20,1,…小

7.事件的独立性：A, 3独立o P(AB) = P(A)P(B)(注意独立性的应用)

下列四个命题是等价的：

(i)事件A与B相互独立；

(ii)事件A与用相互独立;

(iii)事件広与B相互独立;

(iv)事件A与B相互独立.

8、思考题

1 . 一个人在口袋里放2盒火柴，每盒斤支，每次抽烟时从口袋屮随机拿出一盒(即每次每盒有同等机会被拿到)并用掉一支，到某次他迟早会发现：取出的那一盒已空了?问：“这时另一盒中恰好有加支火柴”的概率是多少？

2?设一个居民区有〃个人，设有一个邮局，开c个窗口，设每个窗口都办理所有业务.c太小，经常排长队；c?太大又不经济.现设在每一指定时刻，这〃个人中每一个是否在邮局是独立的，每个人在邮局的概率是P?设计要求：“在每一时刻每窗口排队人数(包括正在被服务的那个人)不超过加”这个事件的概率要不小于Q (例如，Q = 0?&0?9或o.95),问至少须设多少窗口？

3.设机器正常时，生产合格品的概率为9 5%,当机器有故障时，生产合格品的概率为5 0 %,而机器无故障的概率为9 5%.某天上班时，工人生产的第一件产品是合格品，问能以多大的把握判断该机器是正常的？

第二章随机变量与概率分布

1.离散随机变量：取有限或可列个值，P(X =xj = Pi满足(1) p,. > 0 , (2)工戸=1

(3)对任意DuR, P(X E D)= ^Pi

i: D

?+oo

f(x)dx = 1:

-oo

(2)P(a

3.儿个常用随机变量

标准正态分布的分布函数记作①(X),即

CX ] ----

①⑴=I ——e 2 dt

①(兀) '十问t ,

当出“no时，①(%)可查表得到；当xvo时，①⑴可由下面性质得到①(I兀)=1 一

①(X)

设X~N(“,k),则有

F⑴=①(二)

P(a

er c ?

4.分布函数F(x) = P(X

(1)F(-oo) = 0, F(+oo) = l； (2)单调非降；(3)右连续；

(4)P(a a) = l-F(a)；

特别的P(X = a) = F(a) - F(a -0)

(5)对离散随机变量，F(Q =工卩汀

/：Xf

(6)对连续随机变量，F(x) = f 为连续函数，且在.f(x)连续点上，F (x) = f(x)

J—8

5.正态分布的概率计算以①(x)记标准正态分布2(0,1)的分布函数，则有

(1)①(0) = 0.5； (2)①(一兀)=1 一①⑴；(3)若X ?N(“Q2)，则F(Q二①(^^)；

(4)以％记标准正态分布2(0,1)的上侧a分位数，则P(X >%) = a = l—①(血) 6.随机变量的函数Y = g(X)

(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；

(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则

/y(y) = /x (gT (y ))l (gT ()‘))'l ，若不单调，先求分布函数，再求导。

7、思考题

1?某地有2 5 0 0人参加人寿保险，每人在年初向保险公司交付把费1 2元若在这一年内死亡，则由其家属从保险公司领取2 0 0 0元.设该地人口死亡率为1?5 %,求保险公司获利不少于1 0 0 0 0元的概率.

第三章随机向量

1.二维离散随机向量，联合分布列P(X =x i ,Y = y j ) = Pij ,边缘分布列

P(X =“)= 〃，，P(Y = yj ) = p .有

(1) p.. > 0 : (2)工為=1；⑶卩卜=口甘，P.j = S Pij U J j

2. 二维连续随机向量，联合密度/(x, y),边缘密度人(兀)，人(刃，有

⑴ /(x,y) > 0 ； (2)匚匸/(S)i ；⑶ P((X,K)e G) = /(x,y)dxdy ；

⑷ fx (^)= 1

/r (.y) = J f(x,y)dx

J —8

J —CO

3. 二维均匀分布/(x,y) = tG)

，(X ，y )GG

,其中加(G)为G 的面积 0,其它

4. 二维正态分布(X,Y)?Ng 屮2Q ：Q 纭P)，其密度函数(牢记五个参数的含义)

5.二维随机向量的分布函数F(x,y) = P(X

(1) /(x, y) >

0, -oo

-“JO -坨)

6 6

I 0-“2)2

]

2 兀P ，

(—“J?

⑵匸匸/(S)如尸1;

(3)设(X』)为二维连续型随机变量，则对任意一条平面曲线厶，有p((x,y)GL)= o.

(4)关于兀y单调非降;(2)关于兀y右连续;

(5)F(X,-8)= F(-8,y) = F(-8,—g) = 0 ；

(6)F(+8,+8)= ], F(X,+OO)=F x (x), F(+x, y)=耳(y)；

(7)P3 < X

(8)对二维连续随机向量，伽刃=空￥卫

dxdy

(9)设(X』)为二维连续型随机变量，则对平面上任一区域D有

P((X,r)eP) = jj/(x,jWy

D ?

6.概率密度/(兀)及连续型随机变量的性质

(1 ) /⑴》0;

(2)匸?/'(皿=1；

(3 )连续型随机变量X的分布函数为F(x)是连续函数，且在FCr)的连续点处有F'(x) = f(x)；

(4)设X为连续型随机变量，则对任意一个实数c, P(X=c) = 0;

(5)设/(兀)是连续型随机变量X的概率密度，则有

P(a

_ I f(x)dx

7.二维连续型随机变量(X』)的边缘概率密度

设/(兀,刃为二维连续型随机变量的联合概率密度，则X的边缘概率密度为

fx（x） =匸/（兀,y）dy

Y的边缘概率密度为

fg y）dx

8. 二维连续型随机变量(X ，Y)的条件概率密度

设/(兀, >')为二维连续型随机变量的联合概率密度，则x 在给定丫 = y 的条件卜?的条件概率密度为

/xiy(xly)

-oo

/心)

，

其中 /y (y)>0；

Y 在给定X 二兀的条件下的条件概率密度为

Aix

（yl^） =

r 卫)'

其中AU)>o

9. 常用的二维连续型随机变量

(1)均匀分布

如果(XV)在二维平面上某个区域G 上服从均匀分布，则它的联合概率密度

/(x, y) = < G 的面积' 0,

⑵ 二维正态分布“ 如果(X 』)的联合概率密度

] （兀_〃l ）2 2Q （X_H ）（y_“2）|（X_#|）2 2（1一 p 叽

则称(XM)服从二维止态分布，并记为

（X,Y ）~N （“],“2Q ；Q ；，P ）

如果(X,Y)~N(/Z],//2，q2,&,p),则 X ?N (禺,氏),Y ?N(〃2，&),即二维正态分布的边缘分布还是正态分布.

7. 随机变量的独立性 X,丫独立o F(x,y) = Fx (x )"(y ) (1) 离散时 X,丫独立o Pij=Pi P.j (2) 连续时独立? f(x,y) = f x (x)f Y (y)

(3)

二维正态分布X 』独立0 p = 0,且X + Y ?N("+//2Q ：+W )

8. 随机变量的函数分布

r+co 「4*00

(1) 和的分布 Z = X + Y 的密度 fz?= [ /(z-y,y)〃y = [ /(x,z-x)dx

J —8

J->CO

以上两个公式也称为卷积公式.

(2) 最大最小分布 Z = max(X,y )的分布函数为巧⑵=塢⑵耳⑵

（x,y ）w

其余.

y ） = -------- exp

2阿込Jl_/r

特别有下面的结论：

设X~N(MQ；),Y ~ NgQ》,且X与Y相互独立，则X + Y ?"(M+aB + b) 9、思考题

1?设随机变量(XM)的概率密度为

门、向严匕%>0,y>0,

0,其它.

求P(X>3D.

2 .若X与Y为相互独立的分别服从［0,1］上均匀分布的随机变量，试求Z = X+Y的分布密度函数.

第四章随机变量的数字特征

1.期望

⑴离散时E(X) =工也，E(g(X)) =》g(M ；

连续时E(X)= xfMdx, E(g(X)) = J g(x)f(x)dx ；

J—CO J—8

⑶二维时E(g(X,Y)) =》ga?，儿)心，E(g(X,Y)) =匸匸g(x, y)f(x, y^dxdy ? ?

2.数学期望的性质

(1)E(c) = c (其中c为常数)；

(2)E(kX +b) = kE(X) + b (k,b 为常数);

(3)E(X + Y) = E(X) + E(Y)；

⑷如果X与相互独立，则￡(xr)= ￡(x)￡(r).

3.方差

(1)方差P(X) = E(X-E(X))2 =E(X2)-(EX)2,标准差(r(X) = J D(X)；

(2)D(C) = 0, D(X+C) = D(X)；

(3)Z)(CX) = C2Z)(X)；

(4)X,Y独立时,D(X + y)= D(X) + D(y)

当X为连续型随机变量，其概率密度为/(X),如果广义积分

收敛，则x的方差为

D( X) = J a (兀一E(x))2j\x)dx

3.协方差

(1)Cov(X, Y) = E[(X - E(X))(Y一E(Y))] = E(XY) - E(X)E(Y)；

(2)Cov(X,Y) = Cov(Y,X), Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)；

(3)Cov(X l +X2,Y) = C OV(X},Y) + Cov(X2, Y):

(4)C“(X,Y) = O时，称X,Y不相关，独立=＞不相关，反之不成立，但正态时等价；

(5)D(X + y)= D(X) + D(Y) + 2C"(X,Y)

4.相关系数P XY =:;;寫;;；有Sxy 1^ I ? I P XY 1= 1 O%", P(Y = aX + /?) = 1 相关系数“紆反映了随机变量X与YZ间线性关系的紧密程度，当Sxy I越大，X 与YZ间

的线性相关程度越密切，当如时，称X与Y不相关.