(浙教版)九年级数学上册41比例线段(3)同步导学练(含答案)

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九年级数学第一学期

4.1 比例线段（3）

黄金比为215≈0.618，黄金分割是分一条线段，黄金比是一个比值，注意它们的区别和联系．
1.已知线段a=4，b=16，线段c是a，b的比例中项，那么c等于(B).
A.10 B.8 C.-8 D.±8
2.已知C是线段AB上的一个点，且满足AC2=BC²AB，则下列式子成立的是(B).

3.美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值接近0.618时会给人一种美感.已知某女士身高160cm，
下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为(D).
A.6cm B.10cm C.4cm D.8cm
4.已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10cm，则PQ长为(C).
A.5（5-1） B.5（5+1） C.10（5-2） D.5（3-5）
5.如图所示，P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，如果S1表示以PA为一边的正方形的面积，S2表示长
为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1与S2之间的大小关系是(A).
A.S1=S2 B.S1＞S2 C.S1＜S2 D.不能确定

（第5题）（第7题）
6.已知线段a=9，c=4，如果线段b是a，c的比例中项，那么b= 6 .
7.为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案.方
小琦同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中.如图所示为小琦同学根据黄金分割
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数设计的雷锋人体雕像的方案，其中雷锋人体雕像下部的高度应设计为 1.24 m（精确到0.01m，参考数

据2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236）.
8.已知C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，BC=3-5，则AB的长为 2 ．
9.已知C，D是线段AB的黄金分割点，AB=10，求线段AC与CD的长.
（第9题）

【答案】∵C，D是线段AB的黄金分割点，∴AC=215AB=55-5，BD=215AB=55-5.∴AD=AB-BD=15-5
5.∴CD=AC-AD=55-5-（15-55
）=105-20.

（第10题）
10.如图1所示为一张宽与长之比为215的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形.按图2所示的折叠
方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么矩形EFDC还是黄金矩形
吗？若是，请证明你的结论；若不是，请说明理由．

【答案】矩形EFDC是黄金矩形.理由如下：∵四边形ABEF是正方形，∴AB=DC=AF.∵ADAB=215，∴
AD

AF

=215,即F是线段AD的黄金分割点.∴AFFD=ADAF=215.∴DCFD=215.∴矩形EFDC是黄金矩形.

11.乐器上的一根琴弦AB=60cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是AB的黄金分割点（AC＞BC），
则AC的长为(C).
A.（90-305）cm B.（30+305）cm C.（305-30）cm D.（305-60）cm
12.如图所示，P为线段AB的黄金分割点（PB＞PA），四边形AMNB、四边形PBFE都为正方形，且面积分别
为S1，S2.四边形APHM、四边形APEQ都为矩形，且面积分别为S3，S4.下列说法中，正确的是(B).

A.S2=215S1 B.S2=S3 C.S3=215S4 D.S4=215S1
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（第12题） （第14题）
13.已知线段AB及AB上一点P，P为AB的黄金分割点.给出下列结论：①AP2=AB²PB；②AP=215AB；③PB=

2
53
AB；④PBAP=215；⑤APAB=215.其中正确的是(A).

A.①②③ B.①②③ C.②③④⑤ D.①②③④⑤
14.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形.如图所示，五边形ABCDE的5条边相等，5个内角相等，则
图中的黄金三角形有 20 个．
15.（1）我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP，PB，使AP＞PB，点P把线段AB分成两条线段

AP和BP，且ABAP=APBP，点P就是线段AB的黄金分割点，此时ABPA的值为 215 .
（2）如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以点C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于点D，
再以点A为圆心、AD长为半径画弧交边AB于点E.求证：E是线段AB的黄金分割点.

（第15题）
【答案】(1) 215
(2)设BC=a，则AB=2a，∴AC=5a.由题意得CD=BC=a，∴AE=AD=5a-a，BE=AB-AE=3a-5a.
∴ABAE=215，AEBE=215.∴ABAE=AEBE，即E是线段AB的黄金分割点.

（第16题）
16.如图所示，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC=108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点
D，E，连结OE，DE=12AB，OD=2．
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（1）求∠CDB的度数．
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰

长的比）等于黄金比215．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由.
②求弦CE的长.
③在直线AB或CD上是否存在点P（点C，D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明
画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．

【答案】(1)∵AB是⊙O的直径，DE=21AB，∴OA=OC=OE=DE.则∠EOD=∠CDB，∠OCE=∠OEC.
设∠CDB=x，则∠EOD=x，∠OCE=∠OEC=2x.∵∠BOC=108°，∴∠CDB+∠OCD=108°.∴x+2x=108°，
x=36°.∴∠CDB=36°.
(2)①有三个：△DOE，△COE，△COD.∵OE=DE，∠CDB=36°，∴△DOE是黄金三角形.

②∵△COD是黄金三角形，∴OCOD=215.∵OD=2，∴OC=5-1.∴CD=OD=2，DE=OC=5-1.
∴CE=CD-DE=2-（5-1）=3-5.

（第16题答图）
③存在，有三个符合条件的点P1，P2，P3，如答图所示，以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线
分别交直线AB，CD得到点P1，P2;以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合.

17.【山西】宽与长之比是215（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给
我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点
E，F，连结EF；以点F为圆心、FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线
于点H，则下列矩形中，属于黄金矩形的是(D).
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（第17题）
A.矩形ABFE B.矩形EFCD C.矩形EFGH D.矩形DCGH
18.【辽阳】勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分
割的美.
如图所示，线段AB=1，点P1是线段AB的黄金分割点（AP1＜BP1），点P2是线段AP1的黄金分割点（AP2

＜P1P2），点P3是线段AP2的黄金分割点（AP3＜P2P3）„„依此类推，则APn的长度是（253）n．

（第18题）

19.如图1所示，点C将线段AB分成两部分，若ABAC=ACBC，点C为线段AB的黄金分割点．
某研究小组由黄金分割点联想到黄金分割线，给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分
成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果SS1=12SS，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
如图2所示，在△ABC中，D是AB的黄金分割点．
（1）研究小组猜想：直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组探究发现：过点C作直线交AB于点E，过点D作DF∥CE，交AC于点F，连结EF（如图
3所示），则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由．

（第19题）
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【答案】(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下：∵D是AB的黄金分割点，∴ABAD=ADBD.∵

，.
∴直线CD是△ABC的黄金分割线.

(2)∵三角形AB边的中点D′把AB分成相等的两条线段，即AD′=BD′，∴.
∴三角形的中线不是该三角形的黄金分割线.
(3)∵DF∥CE，∴S△FDE=S△FDC，S△DEC=S△FEC.∴S△AEF=S△ADC，S四边形BEFC=S△BDC.∵

.∴直线EF是△ABC的黄金分割线.