初三数学比例线段讲解
初三数学比例线段知识精讲 上海科技版
初三数学比例线段知识精讲 某某科技版【同步教育信息】一. 本周教学内容：比例线段二. 教学要求1. 结合现实情景了解线段的比和成比例线段，理解并掌握比例的基本性质及其简单应用2. 了解黄金分割，体会其中的文化和艺术价值，进一步理解线段的比和成比例线段。
三. 重点及难点 重点：1、了解线段的比和成比例线段，理解并掌握比例的基本性质。
2、了解黄金分割，理解线段的比、成比例线段等相关知识。
难点：1、比例基本性质的简单应用。
2、成比例线段的应用。
四. 课堂教学 ［知识要点］知识点1、线段的比当用同一长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ， n ，那么就说这两条线段的比AB:CD=m: n 或写成k nmCD AB ==，其中线段AB ，CD 分别叫做这两条线段比的前项和后项，k 叫做它们的比值。
说明：（1）两线段的比是指用同一长度单位度量的两线段长度的比 （2）两线段的比值与所用的长度单位无关。
知识点2、成比例线段（1）成比例线段的定义：四条线段a ，b ，c ，d ，中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段，其中a ，d 可称为比例外项，b ，c 可称为比例内项，d 可称为a ，b ，c 的第四比例项。
（2）比例的基本性质如果dcb a =，那么ad=bc如果ad=bc （a ，b ，c ，d ，都不等于0），那么dcb a =。
说明：①比例的基本性质是比例变形的重要依据。
②比例的基本性质的互逆关系的变形，可引用比值k 的方法，设dcb a ==k ，那么a=kb ，c=k d ，a d=k b ·d=b ·k d=b c知识点3、比例的性质（1）合比性质：如果d cb a =，那么dd c b b a ±=± （2）等比性质：如果dcb a ==…=n d b mc a ),0nd b (n m ++++++≠+++ 那么=b a知识点4、黄金分割：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点。
专题10成比例线段(4个知识点3种题型2个易错点2种中考考法)(解析版)-初中数学北师大版9年级上册
【例 2】下列四组线段中，成比例线段的是（ ）
A．4，1，3，8 B．3，4，5，6
C．4，8，3，5
D．15，5，6，2
【答案】D
【分析】根据成比例线段的定义进行判断即可
解：A．∵ 4 :1 3 : 8 ，
∴ 4，1，3，8 不是成比例线段，不符合题意；
专题 10 成比例线段（4 个知识点 3 种题型 2 个易错点 2 种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法 知识点 1.形状相同的图形 知识点 2.两条线段的比（重点） 知识点 3.成比例线段（重点） 知识点 4.比例的性质（难点）（重点） 【方法二】 实例探索法 题型 1.比例线段的有关计算 题型 2.利用比例的性质求值 题型 3.关于写比例式的开放性问题 【方法三】 差异对比法 易错点 1 在求两条线段的比时忽略了要统一单位 易错点 2 判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错 【方法四】 仿真实战法 考法 1. 比例的性质 考法 2.成比例线段 【方法五】 成果评定法
n
CD
2.比例尺：在地图或工程图纸上，图上长度与它所表示的实际长度的比值通常叫比例尺，比例尺是两条线
段的比的一种.
注意！！！
（1） 在计算两条线段的比时，这两条线段的长度单位必须要统一。
（2） 两条线段的比是一个没有单位的正实数，该比值与线段的长度无关。 （3） 在地图或工程图纸上，图上距离与实际距离的比通常称为比例尺，因此比例尺也是两条线段的比
【学习目标】
1. 认识形状相同的图形，结合实例能识别生活中形状相同的图形。 2. 了解线段的比和成比例线段的概念，掌握两条线段的比的求法。 3. 理解并掌握比例的性质，能利用比例式变形解决一些简单的实际问题。
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿3
浙教版数学九年级上册4.1《比例线段》说课稿3一. 教材分析《比例线段》是浙教版数学九年级上册第四章第一节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了比例的性质和线段的定义的基础上进行教学的。
本节课的主要内容是让学生理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。
教材通过生活中的实例引入比例线段的概念，接着引导学生探究比例线段的性质，最后通过练习题来巩固所学知识。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和探究能力，对于比例和线段的概念已经有了一定的了解。
但是，对于比例线段的性质和应用可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会注重引导学生通过观察、思考、探究来理解比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解比例线段的含义，掌握比例线段的性质，并能够运用比例线段解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究等过程，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.教学重点：比例线段的含义和性质。
2.教学难点：比例线段的运用和实际问题的解决。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学中，我将采用问题驱动法和小组合作法进行教学。
问题驱动法能够激发学生的思考和探究欲望，小组合作法则能够培养学生的团队合作意识。
此外，我还将利用多媒体课件和实物模型等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握比例线段的知识。
六. 说教学过程1.导入：通过展示生活中的实例，引导学生观察和思考，引出比例线段的概念。
2.探究：让学生通过小组合作的方式，观察和分析比例线段的性质，引导学生得出结论。
3.巩固：通过练习题，让学生运用比例线段的性质解决实际问题，巩固所学知识。
4.拓展：引导学生思考比例线段在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
七. 说板书设计板书设计如下：1.定义：比例线段是指两个线段的比相等的线段。
初三数学圆中比例线段知识精讲
初三数学圆中比例线段【本讲主要内容】圆中比例线段包括圆中相似三角形，得出成比例线段。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。
2. 半圆（或直径）所对的圆周角是直角。
3. 过切点的半径垂直于切线。
4. 相似三角形的判定： （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
【解题方法指导】例1. 已知：如图，AB 是圆O 直径，C 是圆O 上一点，CD ⊥AB 于D 。
求证：（1）AB AD AC 2⋅=； （2）BD BC 2=（3）AD CD 2=分析：由AB 图形”欲证AD AC 2=CD AB BD BC 2⋅=，证明：（1）∵AB 是圆O 直径， ∴∠ACB ＝90°又CD ⊥AB∴∠ADC ＝90° ∴∠ACB ＝∠ADC ∵∠CAD ＝∠CAB ∴△ABC ∽△ACDADACAC AB =∴AB AD AC AC ⋅=⋅∴即AB AD AC 2⋅= （2）∵AB 是圆O 直径， ∴∠ACB ＝90° 又CD ⊥AB ， ∴∠CDB ＝90° ∴∠ACB ＝∠CDB 又∠CBD ＝∠CBA ∴△ABC ∽△CBDAB BD BC BC BDBCBC AB ⋅=⋅∴=∴即AB BD BC 2⋅= （3）∵AB 是圆O 直径 ∴∠ACB ＝90° ∵CD ⊥AB∴∠ADC ＝∠CDB ＝90° ∠ACD ＝∠CBD ∴△ACD ∽△CBDCDADBD CD =∴DB AD CD CD ⋅=⋅∴ 即DB AD CD 2⋅=评析：当题目中给出等积式时，通常的办法先改写成比例式，再找出它们所在的两个三角形，通过证它们相似加以解决。
初中数学知识点精讲精析 线段的比
4·1线段的比1. 线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这注意点：（1）两线段的比值总是正数.（2）讨论线段的比时，不指明长度单位.（3）对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示.3. 比例线段四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.（a 、d 叫做比例线段的外项，b 、c 叫做比例线段的内项） 4. 比例的基本性质. （比例线段中两个外项的积等于两个内项的积）反之也成立。
即如果ad ＝bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么5. 合比性质.6. 等比性质7.线段的比和比例线段的区别和联系两条线段的比：＝：或写成，其中，线段、分别叫做AB CD m n AB CD mn AB CD =这个线段比的前项和后项，如果把表示成比值，那么或。
m n k ABCDk AB k CD ==⋅2. 比例尺＝图上距离实际距离四条线段、、、中，如果与的比等于与的比，即，那么，这a b c d a b c d a b cd=如果，那么。
a b cdad bc ==a b cd =如果，那么。
a b c d a b b c dd =±=±如果，那么。
a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++≠++++++= ()0鹏翔教图1BCA 线段的比是指两条线段之间的比的关系，比例线段是指四条线段间的关系. 若两条线段的比等于另两条线段的比，则这四条线段叫做成比例线段. 线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性.如dcb a =是线段a 、b 、c 、d 成比例，而不是线段a 、c 、b 、d 成比例.8. 注意点:①a:b=k,说明a 是b 的k 倍;②由于线段 a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数;③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致; ④除了a=b 之外,a:b ≠b:a, b a 与ab互为倒数; ⑤比例的基本性质:若d c b a =, 则ad=bc; 若ad=bc, 则dc b a =1. 已知A 、B 两地的实际距离是80千米，在某地图上测得这两地之间的距离为1cm ，则该地图的比例尺为_____________，现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm ，则将两地实际距离用科学记数法表示为____________千米.（保留两个有效数字） 【解析】∴图上距离与实际距离之比为1：8000000∴太原到北京的实际距离＝6.4×8000000＝51200000（cm ）＝512千米 点评：注意单位要统一.2.在某市城区地图（比例尺1∶9000）上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm 、10 cm.（1）新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？ 【解析】（1）根据题意，得808000000千米＝cm太原到北京的图上距离太原到北京的实际距离＝1800000090001=新安大街的实际长谎新安大街的图上长度90001=光华大街的实际长度光华大街的图上长度因此，新安大街的实际长度是 16×9000=144000（cm ）, 144000 cm=1440 m; 光华大街的实际长度是 10×9000=90000（cm ） 90000 cm=900 m.（2）新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5 新安大街的实际长度与光华大街的实 际长度之比是144000∶90000=8∶5 由例2的结果可以发现：光华大街的图上长度新安大街的图上长度光华大街的实际长度新安大街的实际长度= 3.在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm ×2 cm ，矩形运动场的实际尺寸是多少？ 【解析】根据题意，得矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000 因此，矩形运动场的长是 2×8000=16000（cm ）=160（m ） 矩形运动场的宽是1×8000=8000（cm ）=80（m ）所以，矩形运动场的实际尺寸是长为160 m,宽为80 m4.为了参加北京市申办2008年奥运会的活动，如果有两边长分别为1，a （其中a ＞1）的一块矩形绸布，要将它剪裁出三面矩形彩旗（面料没有剩余），使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，画出两种不同裁剪方法的示意图，并写出相应的a 的值. 【解析】方案（1）：∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同，（*）∴1311a a = 解得：a =3图4－1方案（2）： 由（*）得axa 112111-==∴x =a1,a =2 方案（3）： 由（*）得211ya = ∴y =a21 且11z a = ∴z =a 1 由aa 211+=a 得a =621图4－2方案（4）： 由（*）得an ab a 11111-==m a a a 11-= ∴b =a1 n =1－21am =a 2－1∵m +n =1 ∴1－21a+a 2－1=1∴a =2522+（负值舍去）55.（1）如图，已知d c b a ==3,求b b a +和d dc +; （2）如果dc b a ==k （k 为常数），那么d dc b b a +=+成立吗？为什么？ 【解析】（1）由dcb a ==3,得 a =3b ,c =3d .因此，bbb b b a +=+3=4 ddd d d c +=+3=4 （2）d d c b b a +=+成立. 因为有dcb a ==k ,得a =bk ,c =dk .所以b bbk b b a +=+=k +1, dddk d d c +=+=k +1. 因此：ddc b b a +=+. 6. 在菱形ABCD 中，∠B ＝60°，求AC 与BD 的比值.【解析】设AO ＝x7．下图（1）中的鱼是将坐标为（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的点O ，A ，B ，C ，D ，B ，E ，O 用线段依次连接而成的；（2）中的鱼是将（1）中鱼上每个点的横坐标，纵坐标都乘以2得到的.AB O DCAC BD ABO B AB AO x ⊥∠=∠===，，则123022又菱形中 ABCD AC x =2BO AB AO x x x=-=-=222223()∴==BD BO x 223∴===AC BD x x 2231333图4－4（1）线段CD 与HL ，OA 与OF ，BE 与GM 的长度分别是多少？（2）线段CD 与HL 的比，OA 与OF 的比，BE 与GM 的比分别是多少？它们相等吗？ （3）在图（2）中，你还能找到比相等的其他线段吗？ 【解析】（1）CD =2，HL =4，OA =415422=+, OF =41281022=+ BE =52122=+, GM =524222=+（2）2141412,2142====OF OA HL CD , 21525==GM BE . 所以，21===GM BE OF OA HL CD . （3）其他比相等的线段还有21====GL BD GH BC FG AB OM OE 8. 已知四条线段a ＝8cm ，b ＝4cm ，c ＝2.5cm ，d ＝5cm ，试判断它们是否成比例（若a ＝8cm ，b ＝0.05m ，c ＝0.6dm ，d ＝10cm 呢）？ 【解析】分析先按从小到大或从大到小的顺序排列，然后比较最大和最小两线段长度的乘积与中间两条线段长度的乘积是否相等.（1）从小到大排列为c 、b 、d 、a ac ＝8×2.5＝20，bd ＝4×5＝20 ac ＝bd ∴成比例（2）先化成同一单位，并从小到大排列为b 、c 、a 、d b ＝5cm ，c ＝6cm ，a ＝8cm ，d ＝10cm bd ＝5×10＝50，ac ＝6×8＝48 bd ≠ac ∴不成比例9.（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-成立吗？为什么？ （2）如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++成立吗？为什么？ （3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±成立吗？为什么. （4）如果d c b a ==…=nm （b +d +…+n ≠0）,那么b an d b m c a =++++++ 成立吗？为什么.【解析】（1）如果dc b a =,那么d dc b b a -=-. ∵d cb a = ∴d cb a =-1－1 ∴dd c b b a -=-. （2）如果f e d c b a ==,那么baf d b e c a =++++ 设fe d c b a ===k ∴a =bk ,c =dk ,e =fk ∴bak f d b f d b k f d b fk dk bk f d b e c a ==++++=++++=++++)(（3）如果dc b a =,那么d dc b b a ±=±∵d c b a = ∴d c b a =+1+1 ∴dd c b b a +=+ 由（1）得ddc b b a -=- ∴dd c b b a ±=±. （4）如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）那么b a n d b m c a =++++++设d c b a ==…=nm =k ∴a =bk ,c =dk ,…,m =nk ∴bak n d b m d b k n d b nk dk bk n d b m c a ==++++++=++++++=++++++ )(10.已知：d c b a ==fe=2（b +d +f ≠0） 求：（1）f d b e c a ++++;（2）f d b ec a +-+-;（3）f d b e c a 3232+-+-;（4）fb e a 55--.【解析】∵d c b a ==f3=2 ∴a =2b ,c =2d ,e =2f∴（1）f d b f d b f d b f d b f d b e c a ++++=++++=++++)(2222=2（2）fd b f d b f d b f d b f d be c a +-+-=+-+-=+-+-)(2222=2（3）f d b f d b f d b f d b f d b e c a 32)32(2326423232+-+-=+-+-=+-+-=2（4）f b f b f b e a 510255--=--=fb f b 5)5(2--=211.已知a ∶b ∶c =4∶3∶2,且a +3b －3c =14. （1）求a ,b ,c （2）求4a －3b +c 的值. 【解析】（1）设a =4k ,b =3k ,c =2k ∵a +3b －3c =14 ∴4k +9k －6k =14 ∴7k =14 ∴k =2 ∴a =8,b =6,c =4（2）4a －3b +c =32－18+4=1812的面积.精析：根据比例的性质及已知条件求出a 、b 、c 的值，然后由三角形的面积公式求解.【解析】解之得：k ＝5∴△ABC 是以a ＝15cm ，b ＝20cm 为两条直角边，以c ＝25cm 为斜边的直角三角形.点评：比例实际上是比例性质的应用问题。
【数学课件】比例线段
A
EF
B
D
C
解法1： 过点D作CA的平行线交BF于点P，
A
P
n E y
F ?yy
n
2k
k
B
D
C
解法1： 过点D作CA的平行线交BF于点P，
则 PE DE 1， BP BD 2,
FE AE
PF DC
∴PE=EF BP=2PF=4EF， A
在解这类习题时，要在熟悉基本图形的 基础上，选择最简捷的方法。
设比值法是解有关比例计算的常用 方法
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种
最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身
北师大数学九年级上册第四章比例线段
第01讲_比例线段知识图谱比例与比例线段知识精讲一．比例的性质1.比例的基本性质：a cad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b db d ac =⇔=；3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)；4.合比定理：a c a b c db d b d ++=⇔=； 5.分比定理：a c a b c db d b d --=⇔=； 6.合分比定理：a c a b c db d a bcd ++=⇔=--； 7.等比定理：(0)a c m a c m ab d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+．二．成比例线段1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即::a b c d =），那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a cb d =（::a bcd =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的第四比例项．三条线段a bb c=（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项．3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.618AC AB AB -=≈，350.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三点剖析一．考点：比例与成比例线段二．重难点：比例的性质三．易错点：注意等比定理在运用时的时候一定要对分母为0或不为0进行讨论．比例的基本性质例题1、已知23a b=（0ab≠），下列比例式成立的是（）A.32ab= B.32a b= C.23ab= D.32ba=【答案】B【解析】本题考查比例的基本性质，内项积等于外项积。
初三数学直角三角形中成比例的线段知识精讲 浙江版
初三数学直角三角形中成比例的线段知识精讲 某某版【同步教育信息】一. 本周教学内容：直角三角形中成比例的线段二. 教学重难点：直角三角形中的比例线段定理在实际计算和证题中有广泛的应用，是学习的重点。
灵活应用射影定理等是学习的难点。
三. 知识回顾：补充：（射影定理）直角三角形斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项。
（一）如图，Rt △ACB 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D 。
则AB AD AC 2⋅=，AB BD BC 2⋅=，DB DA CD 2⋅=。
（二）由射影定理可推出以下两个结论：1. 直角边的平方比等于其射影比：BD :AD BC :AC 22=2. 直角边之积等于斜边与斜高之积：CD AB BC AC ⋅=⋅【典型例题】例1. 如图，△ABC 中，∠BAC=Rt ∠，AD ⊥BC 于D ，BF 平分∠ABC ，交AD 于E 。
求证：CFAF AE DE =。
分析：可利用角平分线的性质定理与射影定理来证明。
证明：∵BF 平分∠ABC∴FCAF BC AB ,ED AE BD AB ==① 又∠BAC=Rt ∠，AD ⊥BC∴BC BD AB 2⋅=即ABBC BD AB =② ∴由①、②知：CF AF AE DE =AB DC E F例2. Rt △ABC 中，CD 为斜边上的高，DE ⊥AC ，DF ⊥BC 。
求证：BF AE AB CD 3⋅⋅=。
分析：可用射影定理和三角形的面积公式来证明。
证明：∵CD ⊥AB ，DE ⊥AC∴AC AE AD 2⋅=同理，BC BF BD 2⋅=∴两式相乘，得BC BF AC AE BD AD 22⋅⋅⋅=⋅①又CD 为斜边AB 上的高∴BD AD CD 2⋅=②由CD AB CB AC S 2ABC ⋅=⋅=∆③∴将②、③代入①，得CD AB BF AE CD 4⋅⋅⋅=∴BF AE AB CD 3⋅⋅=CA DB E F例3. 如图，△ACB 中，∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB 于D ，F 为DC 延长线上一点，BG ⊥AF 于G 。
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AP PB AB AP
5 1 2
则 AP 5 1 AB
2
问：一般地，一条线段的黄金分割点有几个？
如果线段AB的长度为已a，你能求出两个黄金分 割点之间的长度吗？
A
..
B
P2 P1
练习：
线段AB=4cm，P是线段AB的一个黄金分割 点，求PA的长
总结：
1.同高（或等高）的两个三角形面积比等于对应底边之比
AO DO AO DO 或 CO BO OC OB AC DB AC DB
A
D
O
B FE
C
问：同底（或等底）的两个三角形面积比等于？
S BOC OE OC S ABC AF AC
例1：在ABC中，BD AC ，E为BC边上的一点，
EF AC ，S ABD : S ABEB 2 : 3 求 AD:AF的值
2.同底（或等底）的两个三角形面积比等于对应高之比
3.黄金分割
A
.
P
B (AP>PB)且AP为AB、PB的比例中项
即: AP2 AB PB 或
AP PB 5 1 AB AP 2
4.一般地，一条线段的黄金分割点有两个
则 A
同底等高：
S ABC SDBC
S ADB S ADC
还有面积相等的吗？
S ABO S DCO（等式性质）
A
D
O
B
C
S ABO AO S AOD S BCO OC SCOD
S DCO DO S AOD S BCO OB S AOB
结论:同高（或 等高）两个三 角形面积之比 等于对应底边 之比。
分析：AD S ABD AF S ABF
而 S ABD
S四边形ABED
A
D
F
C
B
E
例2：在 ABC 中，点D、E分别在AB、AC上
且
AD AE DB EC
,已知 S ADE 1, S BDC 12
求 S ABC
A
D
E
B
C
黄金分割:
A
.
P
B (AP>PB)且AP为AB、PB的比例中项
即:AP2 AB PB 或