《高等数学A2》课程教学大纲

《高等数学A2》课程教学大纲
一、课程基本信息 课程代码：SL1102 课程名称：高等数学A2 课程性质：必修课
课程类别：通识教育基础课程
适用专业：工学、管理学、经济学、理学（非数学类）类本科多学时各专业 总 学 时：88 学时 总 学 分：5.5学分 先修课程：高等数学A1 后续课程：各相关专业课程 课程简介：
《高等数学A2》是利用微积分方法研究客观世界数量关系和空间形式的科学，是高等学校工学、管理学、经济学、理学（非数学类）类本科多学时各专业学生的一门必修的重要通识教育基础课程．通过本课程中的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能的学习，逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力，特别培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题的能力以及创新精神，为今后学习后继课程和进一步拓广知识面奠定必要的坚实的数学基础.
主要内容包括：微分方程、空间解析几何、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数．
选用教材：
《高等数学》（第六版）（上、下册）[M]．同济大学应用数学系编，高等教育出版社，2007.
参考书目：
[1] 《高等数学》（上、下册）[M]．王金金 编，北京：北京邮电大学出版社，2010； [2]《高等数学》（上、下册）[M]．朱士信等编，北京：中国电力出版社，2007； [3]《高等数学》[M]． 杜先能 孙国正编，安徽：安徽大学出版社，2004；
[4]《高等数学习题课讲义》[M]．同济大学应用数学系编, 北京：高等教育出版社，1998；
[5]《高等数学习题集》[M]．华东六省工科数学系列教材编委会编，北京：高等教育出版社； [6]《数学分析》（第四版）（上、下册）[M]．华东师范大学数学系 编，北京：高等教育出版社，2008．
二、课程总目标
通过本课程的学习，使学生获得微分方程、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数等方面的基本概念、基本理论、基本方法和运算技能，逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间抽象能力以及自学能力，特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识分析和解决问题能力以及创新精神,为今后学习后继课程和进一步拓广知识面奠定必要的坚实的数学基础.
三、课程教学内容与基本要求 1、教学内容：
(1)微分方程；
(2)空间解析几何；
(3)多元函数微分法及其应用； (4)重积分；
(5)曲线积分与曲面积分； (6)无穷级数.
2、基本要求：
(1) 微分方程
①了解微分方程的解、通解、初始条件和特解等概念； ②掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法；
③会解齐次方程和伯努利（Bernoulli ）方程，并从中领会用变量代换求解方程的思想； ④会用降阶法求下列三种类型的高阶方程：()
()n y
f x =，(),y f x y '''=，(),y f y y '''= ；
⑤理解二阶线性微分方程解的性质及解的结构；
⑥掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解某些高阶常系数齐次线性微分方程的解法；
⑦会求自由项形如：()ax
n P x e ，12
()sin ()cos ax m n e p x x p x x ωω⎡⎤+⎣⎦的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解，其中
()n P x 为实系数n 次多项式，,a ω实数；
⑧会用微分方程解一些简单的几何和物理问题.
重点：可分离变量及一阶线性微分方程解法；二阶线性微分方程解的结构；二阶常系数齐次微分方程解法. 难点：微分方程的建立；初始条件的确定.
(2) 向量代数与空间解析几何
①理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示； ②掌握向量的运算（线性运算，数量积，向量积），了解两向量垂直、平行的条件； ③理解单位向量、方向数与方向余弦的概念，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法； ④掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题；
⑤了解曲面方程概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面方程 ； 会求母线平行于坐标轴的柱面方程；
⑥了解空间曲线的参数方程和一般方程；
⑦了解曲面的交线在坐标平面上的投影，并会求其方程. 重点：空间直线与平面的方程，；曲面的图形. 难点：曲面的交线在坐标平面上的投影.
(3) 多元函数微分法及其应用
①理解多元函数的概念, 理解二元函数的几何意义；
②了解二元函数的极限与连续性的概念以及有界闭域上连续函数的性质；
③理解偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件； ○4理解方向导数与梯度的概念，会求方向导数与梯度； ○
5掌握多元复合函数的一阶偏导数的求法，会求多元复合函数的二阶偏导数（对于求抽象复合函数的 二阶导数，只要求作简单训练）；
○
6会求多元隐函数（包括两个方程组成的方程组确定的隐函数）的一阶偏导数； ○
7了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线的概念，并会求出它们的方程； ○
8理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题.
重点：偏导数与全微分的概念；多元函数概念；偏导数的计算；多元函数的极值和条件极值（拉格朗日乘数法）. 难点：复合函数与隐函数的一、二阶偏导数求解.
(4)重积分
①理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质.
②掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），会计算简单的三重积分（直角坐标、柱面坐标、*
球面坐标）. ③会用重积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、质量、重心、转动惯量等）. 重点：二重积分、三重积分的概念与计算. 难点：二重积分、三重积分的计算.
(5)曲线积分与曲面积分
①理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系，掌握计算两类曲线积分的方法； ②掌握格林（Green ）公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数，了解全微分方
程的解法..
③了解两类曲面积分的概念、性质及相互联系，并会计算两类曲面积分；
④会用高斯（Gauss ）公式计算曲面积分，了解斯托克斯（Stokes ）公式（斯托克斯公式的证明以及利用该公式计算空间曲线积分不作要求）；
⑤了解散度、旋度的概念,并会计算；
○6会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）.
重点：两类曲线积分的概念及计算；格林公式. 难点：第二类曲线与曲面积分；高斯公式.
(6)无穷级数
①理解无穷级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握无穷级数基本性质及收敛的必要条件； ②掌握几何级数和P –级数的收敛性；
○
3掌握正项级数的比较审敛法和比值审敛法,会用根值审敛法； ○
4掌握交错级数的莱布尼茨定理； ○
5了解无穷级数的绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系； ○
6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念； ○
7掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法； ○
8了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质,会求一些幂级数在其收敛区间内的和函数； ○
9了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件； ○10掌握x
e ,sin x ,x cos ,ln(1)x +和m x )1(+的麦克劳林（Maclaurin ）展开式，会利用它们将
一些简单的函数间接展开成幂级数；
○11了解幂级数在近似计算上的简单应用；
○12了解用三角函数逼近周期函数的思想，了解函数展开为傅里叶（Fourier ）级数的狄利克雷（Dirichlet ）条件，会将定义在(),ππ-和(),l l -上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在()0,l 上函数展开为正弦或余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式.
重点：无穷级数收敛与发散的概念；正项级数的比值判别法；幂级数的收敛区间；泰勒级数；函数的幂级数展开式；函数的傅里叶级数；函数的傅里叶正弦和余弦级数.
难点：正项级数的比较审敛法；用间接法展函数为泰勒级数.
3、学时分配
《高等数学A2》课程总学时：88 其中讲授学时：88
四、考核方式
本课程为考试课程，采用闭卷笔试的考核办法，学生成绩的评定：考试成绩占70%，出勤考核占10%，平时作业占20%．
执笔人：俞能福 审定人： 陈邦考 2011年8月19日。