第23课 平面向量的平行与垂直
平面向量的平行和垂直关系的判定方法
平面向量的平行和垂直关系的判定方法在平面向量的学习中，我们经常需要判定两个向量是否平行或垂直。
正确判定两个向量的平行和垂直关系对于解决向量的运算和几何问题至关重要。
本文将介绍平面向量的平行和垂直关系的判定方法，并提供相应的示例来加深理解。
1. 平行关系的判定方法(1) 两个向量的方向相同或相反，则它们平行。
(2) 两个向量的标量倍数关系相等，则它们平行。
示例1:已知向量a(2, 3)和向量b(-4, -6)，我们要判定它们是否平行。
分析：由于向量a和向量b的方向相反，并且它们的标量倍数关系相等（-2），所以a和b是平行的。
示例2:已知向量c(3, -2)和向量d(-6, 4)，我们要判定它们是否平行。
分析：向量c和向量d的方向不相同，并且它们的标量倍数关系也不相等，所以c和d不是平行的。
2. 垂直关系的判定方法(1) 两个向量的数量积（内积）等于0，则它们垂直。
(2) 两个向量的方向余弦之积等于0，则它们垂直。
示例3:已知向量e(4, 3)和向量f(-3, 4)，我们要判定它们是否垂直。
分析：计算向量e和向量f的内积：4*(-3) + 3*4 = 0，所以e和f是垂直的。
示例4:已知向量g(2, 5)和向量h(-4, 3)，我们要判定它们是否垂直。
分析：计算向量g和向量h的方向余弦之积：(2/√29)*(-4/√25) +(5/√29)*(3/√25) = 0，所以g和h是垂直的。
需要注意的是，对于平面向量的垂直关系，除了以上的方法外，我们还可以通过计算向量的斜率（梯度）来判定。
当斜率互为相反数时，两个向量垂直。
在实际问题中，我们常常需要判定多个向量之间的平行和垂直关系。
此时，我们可以将向量写成分量形式或向量方程形式，进而进行运算和判定。
总结：判定平面向量的平行和垂直关系的方法基于向量的方向、标量倍数、数量积（内积）和方向余弦之积。
通过正确应用这些方法，我们可以准确判定向量之间的关系，为解决向量运算和几何问题提供有力支持。
平面向量的垂直与平行
平面向量的垂直与平行教案主题：平面向量的垂直与平行导语：平面向量是数学中的重要概念，其性质与运算有着广泛的应用。
垂直与平行是平面向量的两个重要关系，对于解决几何问题和计算向量的性质都有着重要的帮助。
本节课将着重介绍平面向量的垂直与平行的概念、特性及其应用。
一、定义与性质1. 平面向量的垂直关系：- 定义：两个向量u和v垂直，记作u⊥v，当且仅当它们的数量积u·v=0。
- 性质1：零向量与任何向量都垂直，即0⊥v。
- 性质2：若u⊥v，则-v⊥u。
- 性质3：若u⊥v且v⊥w，则u与w平行。
2. 平面向量的平行关系：- 定义：两个向量u和v平行，记作u∥v，当且仅当存在实数k，使得u=kv。
- 性质1：任何向量与其自身平行，即v∥v。
- 性质2：若u∥v，则kv∥u，其中k为任意实数。
- 性质3：若u∥v且v∥w，则u∥w。
二、判断垂直与平行1. 判断两个向量是否垂直的方法：- 方法1：计算向量的数量积，若u·v=0，则u⊥v。
- 方法2：利用向量的坐标表示，若坐标满足x1x2+y1y2=0，则向量垂直。
2. 判断两个向量是否平行的方法：- 方法1：利用向量的坐标表示，若坐标满足x1/x2=y1/y2=z1/z2，则向量平行。
- 方法2：利用向量的数乘关系，若两个向量的比值相等，则向量平行。
三、垂直与平行的应用1. 向量的垂直与平行在几何问题中的应用：- 判断线段是否垂直或平行。
- 判断线段是否为某个图形的对角线。
2. 求解平面向量的垂直与平行关系：- 已知向量u和v，求垂直于u的向量v的分解。
- 求解平面上满足垂直或平行关系的向量。
3. 平面向量的垂直与平行在物理问题中的应用：- 向量拆分与合成，分解力为平行与垂直方向上的分力。
- 力的合成与分解，求解力的平行与垂直分量。
四、例题讲解与拓展1. 例题1：已知向量u=(2,-4)和v=(-1,2)，求它们是否垂直或平行。
- 解：计算u·v=2*(-1)+(-4)*2=-10，不等于0，故u和v不垂直。
高中数学《空间向量的平行和垂直问题》课件
1.法向量一定是非零向量;
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m是与平面平行或在平面
内，则有 n m 0
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的 向量的坐标a (a1,b1, c1),b (a2,b2, c2 ) (3)根据法向量的定义建立关于x, y, z的 方程组n • a 0
X
D
C Y
B
解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
(1)证明：依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1), E(0, 1 , 1 ), B(1,1，0) 22
PA (1, 0, 1), DE (0, 1 , 1 )
22
Z DB =(1,1，0)
设PA xDE yDB
1 ,2 的法向量分别为 n1, n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ； 线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直1 2 n1 n2 n1 n2 0.
若e (a1, b1, c1), n (a2 , b2 , c2 ),则
AE =(-3,3,3),FG =(-2,2,2)
AE = 3 FG AE // FG 2
AE与FG不共
线
A
AE//FG
X
Z
P A(6,0,0), E(3,3,3),
几何法呢？
EG
D
F
B
C Y
例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， (1)求证：PA//平面EDB.
平面向量的平行与垂直
平面向量"的平行与"垂直基础知识回顾:1.平行（共线）向量定义:方向相同或相反的非零向量叫平行向量。
记作a// b；2.垂直向量定义:若两个非零向量所或角为90° ,则称这两个向量垂直。
记作日丄b一、基础训练1.已知平面向量a = (3,l),b = (x,-3),a//b,Mx 等于「92.已知平面向量a二(1,-3) ,b= (4,-2),篇+B与2垂直，则兄是 ______3.若耳,©是两个不共线的向量已知厢=2&+応，西二£+3©丽二2彳-若AB,D三点共线，则k=-8设A (4, 1) , B (-2, 3) , C (k, -6),若△ABC为直角三角形且ZB二90°求k的值。
解：当ZB = 90° ,BA= (6-2), BC = (k + 2-9)•/ ZB = 90° /. IX丄BC,BA- BC = 6(k + 2) + (-2)(-9) =0.\k = -5.如图所示，已知A(4,5)J B(1>2),C(12J), D(11,6)及P(6,4),求证:B、P、D三点共线，A、P、C 三点共线。
解：丽= (5,2), SB = (10,4) = 2莎AP = (2,-1), AC = (8, -4)二 4丽又丽、而共起点B ,丽、疋共起点A, 则B、P、D三点共线，A、P、C三点共线。
a> b是不共线的两个非零向S,OM=ma ,ON=nb OP = «a + ,其中m、n、仅、0 w R，且nm H 0,若M、P、N三点共线，则纟+炉=1 m n -- •P是ZVLBC所在平面上一点，若口4 • PB = PB • PC=PC•币，则P是厶ABC的________ 心.解析：由题知有丙• (PA~PC) = PB • CA = O.即PB_AC.同理可得PA1BC,PC_AB. :.P是厶ABC的垂心.答案：垂例4：设向量a =(4cosa,sina),b =(sin0,4cos0),—►c = (cos0Tsin0) ⑴若a与B -2c垂直，求tan(<z + 0)的值；(2)若tanciftan p = 16,求证:a//b.⑴由feb-2c垂直,aH^-2c) = aEb-2a^ = 0? 即4 sin(cr +0) — 8 cos(cr + 0) = 0,.・.tan(a + 0) = 2;(2)由tan a tan (3 = 16得sin a sin p = 16 cos a cos 0,艮卩4cosa4cos0-sinasiii0 = 0・・・a //b悸例3)已知平面向量。
平面向量的平行与垂直关系解析
平面向量的平行与垂直关系解析平面向量在数学中起到了重要的作用，它们不仅可以表示物体在平面上的位移和方向，还可以用于求解几何问题、力的分解等。
其中，平行和垂直是向量之间最基本的关系之一。
本文将从解析的角度来探讨平面向量之间的平行与垂直关系。
一、平面向量的表示与基本性质平面向量可以用有序数对(x, y)表示，其中x和y分别是向量在x轴和y轴上的投影。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂)，向量b可以表示为(b₁, b₂)。
平面向量的加法满足交换律和结合律，即(a₁+b₁, a₂+b₂) =(b₁+a₁, b₂+a₂)和[(a₁+b₁)+c₁, (a₂+b₂)+c₂] = [a₁+(b₁+c₁),a₂+(b₂+c₂)]。
二、平行的判定条件两个向量a和b平行的判定条件之一是它们的方向相同或相反。
即，如果向量a可以表示为k乘以向量b，即a = kb，其中k是实数，则向量a与向量b平行。
具体来说，向量a=(a₁, a₂)与向量b=(b₁, b₂)平行的条件为：a₂/a₁ = b₂/b₁，或者a₁b₂ = a₂b₁。
三、垂直的判定条件两个向量a和b垂直的判定条件之一是它们的点乘积为0。
即，如果向量a与向量b的点乘积等于0，则向量a与向量b垂直。
具体来说，向量a=(a₁, a₂)与向量b=(b₁, b₂)垂直的条件为：a₁b₁ + a₂b₂ = 0。
四、平行和垂直的综合运用在解决具体问题时，我们常常需要利用平面向量的平行和垂直关系来求解。
例如，已知向量a=(2, 3)和向量b=(4, -6)，我们希望判断它们之间的关系。
首先，我们可以计算向量a和向量b的方向比，a₁/b₁=2/4=1/2，a₂/b₂=3/(-6)=-1/2。
由于方向比相同且不相反，所以向量a与向量b不平行。
其次，我们计算向量a和向量b的点乘积，a₁b₁ + a₂b₂ = 2*4 +3*(-6) = 8 - 18 = -10。
由于点乘积不为0，所以向量a与向量b不垂直。
平面向量的平行与垂直
平面向量的平行与垂直【考点及要求】1.理解平面向量的坐标表示；2.掌握平面向量的加减及数乘的坐标运算；3.理解向量平行的等价条件的坐标形式．【基础知识】1.平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，i、j为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝x i＋y j成立，即向量a 的坐标是________2.平面向量的坐标运算：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝___________，a－b＝____________。
3.平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的____坐标减去____坐标.4.实数与向量积的坐标表示：若a＝(x，y)，则λa＝____________5. 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，由a∥b⇔x1 y2－x2 y1＝_______【典型例题讲练】例1、已知平行四边形ABCD三个顶点A、B、C坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标。
变式引申：已知平面上三点的坐标分别A(-2,1),B(-1,3),C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。
例2已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3，-4)，且CACN2＝，求M，N＝，CBCM3的坐标和MN的坐标.变式:若向量jiBC+＝，其中i，j分别为x轴，y轴正方向上的单miAB2-＝，j位向量，求使A，B，C三点共线的m值.【课堂小结】设：(x 1, y 1)、b(x 2, y 2)（1）加减法：a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2)(其中a =(x 1,y 2)、b =(x 2,y 2)). （2）数乘：若a =(x,y),则λa =(λx,λy)（3）a∥b(b ≠0)12210a b x y x y λ⇔=⇔-=注：充要条件不能写成：1122x y x y =或1122xy x y =，但在解题中，当分母不为0时常使用；【课堂检测】1．若向量a =(x －2,3)与向量b =(1,y +2)相等，则（ ） A ．x =1,y =3 B ．x =3,y =1 C ．x =1,y =－5D ．x =5,y =－12．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = （ ）A ．43 B ．43-C ．34 D ．34-3．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则AB -2BC = 4．已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= 5．已知A B C D 中A(3，-2)，B(5，2)，C(-1，4)，则D 的坐标为____________6.设向量a =（1,-3），b =（-2,4），c =（-1,-2），若表示向量4a 、4b -2c 、2（a -c ）、d的有向线段依次首尾相接能构成四边形，则向量d 为（ ） A.（2,6）B.（-2,6）C.（2,-6）D.（-2,-6）7.平面上A （-2，1），B （1，4），D （4，-3），C 点满足21AC =→--→--CB，连DC 并延长至E ，使|→--CE |=41|→--ED |，则点E 坐标为： ( )A 、（-8，35-） B 、（311,38-） C 、（0，1） D 、（0，1）或（2，311）8．若向量a =(x －2,3)与向量b =(1,y +2)相等，则（ ） A ．x =1,y =3 B ．x =3,y =1 C ．x =1,y =－5 D ．x =5,y =－19．已知向量),cos ,(sin ),4,3(αα==b a 且a ∥b ，则αtan = （ ） A ．43 B ．43-C ．34 D ．34-10．若向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x= 11．已知三点P (1,1)、A (2,-4)、B (x ,-9)在一条直线上，求x 的值.12．已知向量a =(2x －y +1,x +y －2), b=(2,－2),x 、y 为何值时，(1)a b = ； (2) //a b13．平面内给定三个向量()()()1,4,2,1,2,3=-==c b a ，回答下列问题： （1）求满足c n b m a +=的实数m,n ； （2）若()()a b c k a -+2//，求实数k ；14.(2005湖北)．已知向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过5，则k 的取值范围是15.设→--OA =（3，1），→--OB =（-1，2），→--OC ⊥→--OB ，→--BC ∥→--OA ，O 为坐标原点，则满足→--OD +→--OA =→--OC 的→--OD 的坐标是＿＿＿＿。
《平行与垂直》课件
物的高度、柱子和横梁等元素可以保持垂直，以实现视觉上的突出和力
量感。
02
城市规划
在城市规划中，垂直线用于划分不同的功能区域和空间层次。例如，商
业区、住宅区和公园等区域可以沿着垂直轴线进行布局，以实现空间的
有效利用和城市的可持续发展。
03
交通工程
在道路和桥梁设计中，垂直线用于支撑和连接不同的交通层面。这样可
如果一条直线与平面内的一条直 线垂直，那么这条直线与该平面
垂直。
斜线与平面
如果一条直线与平面内的两条相交 的直线都垂直，那么这条直线与该 平面垂直。
三垂线定理
如果平面内的一条直线与平面的一 条斜线在平面内的射影垂直，那么 这条直线与斜线垂直。
04
平行与垂直的应用
平行的应用
建筑学
在建筑设计中，平行线可以用来 构建对称、平衡和和谐的外观。 例如，窗户、门和墙面的线条可 以保持平行，以实现视觉上的统
填空题：若直线a与直线b平 行，且被直线c所截，则同位 角____，内错角____，同旁内
角____。
答案
判断题：错。应该是两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
选择题：B。
填空题：相等，相等，互补。
THANKS
感谢观看
一和美感。
交通工程
在道路和轨道设计中，平行线用 于规划车辆行驶的方向和路线。 这样可以确保交通流畅，减少事
故风险，并提高运输效率。
艺术与设计
在绘画、摄影和图形设计中，平 行线可以用来创造平衡、稳定和 动态的效果。艺术家可以利用平 行线来表达特定的主题和情感。
垂直的应用
01
建筑学
在建筑设计中，垂直线用于构建高大、雄伟和稳定的外观。例如，建筑
向量的平行与垂直及其应用
向量的平行与垂直及其应用一、引言向量是数学中重要的概念之一，它在物理、几何等多个领域中都有广泛的应用。
其中，平行和垂直是向量之间关系的两种基本形式。
本文将介绍向量的平行与垂直的概念、性质以及其在几何和物理中的应用。
二、向量的平行向量的平行是指两个向量的方向相同或相反。
具体来说，如果两个向量的点表示相同或相反，那么这两个向量就是平行的。
向量的平行具有以下性质：1. 平行向量的数量乘积：如果向量a平行于向量b，则对于任意实数k，ka也与b平行。
2. 平行向量的加法性质：如果向量a平行于向量b，向量c平行于向量d，则a+c与b+d也平行。
3. 平行向量的减法性质：如果向量a平行于向量b，向量c平行于向量d，则a-c与b-d也平行。
在几何中，向量的平行可以用于判断线段的平行性、角的平行性等。
例如，在判断一个四边形的对角线是否平行时，可以通过向量方法将对角线表示为向量，并比较其平行性。
三、向量的垂直向量的垂直是指两个向量相互垂直，即它们的内积为零。
对于向量a=(a1, a2)和向量b=(b1, b2)，如果a * b = 0，则a与b垂直。
向量的垂直具有以下性质：1. 垂直向量的数量乘积：如果向量a垂直于向量b，则对于任意实数k，ka也与b垂直。
2. 垂直向量的加法性质：如果向量a垂直于向量b，向量c垂直于向量d，则a+c与b+d也垂直。
3. 垂直向量的减法性质：如果向量a垂直于向量b，向量c垂直于向量d，则a-c与b-d也垂直。
在几何中，向量的垂直可用于判断直线的垂直性、直角三角形等。
例如，在证明两条直线垂直时，可以通过向量方法将斜率为k1和k2的两直线转化为向量形式，然后判断它们的垂直性。
四、向量的应用向量的平行与垂直在几何和物理中有广泛的应用。
以下是一些具体应用实例：1. 二维平面上的向量运算在二维平面上，向量的平行与垂直可用于解决平面几何问题。
例如，通过判断两线段的向量是否平行或垂直，可以判断它们是否相交、是否平行四边形等。
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第23课 平面向量的平行与垂直
一、学习目标
1、熟练掌握向量平行与垂直的坐标表示；
2、熟练掌握有关平行与垂直的计算问题。
二、激活思维
1、已知向量a =(3，1)，b =(2，λ).若a ∥b ，则实数λ= .
2、已知向量a =(5，12)，b =(sin α，cos α)，若a ∥b ，则t a n α= .
3、设x ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(3，-2)，若a ⊥b ，则x = .
4、已知向量a =(-3，4)，向量b ∥a ，且|b |=1，那么b = .
5、已知向量a =(-3，1)，b =(1，-2)，若(-2a +b )⊥(k a +b )，则实数k = .
三、典型例题
例1、设向量a =(1，2)，b =(1，1)，c =a +k b .若b ⊥c ，则实数k 的值为 .
例2、设向量=OA (k ，12)，OB =(4，5)，=OC (10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线?
例3、已知向量a =(m ，-1)，)2
3,
21(=b . （1）若a ∥b ，求实数m 的值；
（2）若a ⊥b ，求实数m 的值； （3）若a ⊥b ，且存在非零实数k ，t ，使得[a +(t 2
-3)b ]⊥(-k a +t b )，求t t k 2
+的最小值.
四、课堂评价
1、已知向量a=(2x-1，-1)，b=(2，x+1)，若a⊥b，则实数x=.
2、已知向量a=(2，1)，b=(0，-1).若(a+λb)⊥a，则实数λ=.
3、已知向量a=(1，2)，b=(0，-1)，c=(k，-2)，若(a-2b)⊥c，则实数k=.
4、已知向量a=(1，1)，b=(-1，1)，设向量c满足(2a-c)·(3b-c)=0，则|c|的最大值为.
5.已知向量a=(4，3)，b=(-1，2)，m=a-λb，n=2a+b.
(1)若m⊥n，求实数λ的值；
(2)若m∥n，求实数λ的值.
五、作业
1、已知向量a =(2，-3)，b =(3，λ).若a ∥b ，则实数λ= .
2、已知向量a =(sin x ，cos x )，b =(1，-2)，且a ∥b ，那么t a n x = .
3、已知向量)2
,8(x a ，b =(x ，1)，其中x >0，若(a -2b )∥(2a +b )，则实数x = .
4、已知向量a =(1，2)，b =(m ，4)，且a ∥(2a +b )，则实数m 的值为 .
5、已知向量a =(2，m )，b =(-1，m ).若(2a -b )⊥b ，则|a |= .
6、已知向量a ，b 满足|a |=1，b =(2，1)，且λa +b =0(λ∈R )，那么|λ|= .
7、设向量a =(3，3)，b =(1，-1).若(a +λb )⊥(a -λb )，则实数λ= .
8、在△ABC 中，已知内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若向量p =(a +c ，b )，q =(b -a ，c -a )，且p ∥q ，则角C= .
9、平面内给定三个向量a =(3，2)，b =(-1，2)，c =(4，1).试回答下列问题：
（1）若(a +k c )∥(2b -a )，求实数k 的值；
（2）设向量d =(x ，y )满足(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1，求d .
10、已知向量a =(sin θ，cos θ-2sin θ)，b =(1，2).
（1）若a ∥b ，求t a n θ的值；
（2）若|a |=|b |，0<θ<π，求θ的值.
11、在△ABC 中，已知角6π=
C ，向量m =(sin A ，1)，n =(1，cos B)，且m ⊥n . （1）求角A 的大小；
（2）若点D 在边BC 上，且=3，13=AD ，求△ABC 的面积.。