2019-2020学年高中数学 1.3函数的基本性质讲义 新人教A版必修1.doc
人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课教学课件复习(函数奇偶性的概念)
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(2)已知 f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若 f(－3)＝－3，则 f(3)＝________.
[思路点拨] (1) fx是偶函数 定原义―点―域对→关称于 求a的值 图y―轴象―对关→称于 求b的值
(2)
令gx＝x7－ax5＋bx3＋cx
―→
判断gx 的奇偶性
(2)由图象知，使函数值 y<0 的 x 的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
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(变条件)将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，再求解上述问题．
[解]
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(1)如图所示 课件 课件
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(2)由(1)可知，使函数值y<0的x的取值集合为(－5，－2)∪(2,5)．
需多项式的奇次项系数为 0，即 a－4＝0，则 a＝4.
法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如 f(x)＝ax2＋c 的都是偶函数，
因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则 a＝4.]
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1．奇偶性是函数“整体”性质，只有对函数 f(x)定义域内的每一个值 课件
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2019-2020学年数学高中人教A版必修1课件：1.3函数的性质
函数y=f（x）在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大 （减小），几何意义：从左向右看,图象是上升（下降）的.
-8-
解：函数y=f(x)的单调区间是［-5,2),［-2,1),［1,3),［3,5］.其中函数y=f(x) 在区间［-5,2),［1,3)上是减函数，在区间［-2,1),［3,5］上是增函数.
-9-
-10-
解：（1）函数f(x)=-x2+2x+3的图象如图所示. (2)设x1、x2∈(-∞,1］，且x1<x2，则有 f(x1)-f(x2)=(-x12+2x1+3)-(-x22+2x2+3) =(x22-x12)+2(x1-x2) =(x1-x2)(2-x1-x2). ∵x1、x2∈(-∞,1］，且x1<x2，∴x1-x2<0,x1+x2<2. ∴2-x1-x2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)=-x2+2x+3在区间(-∞,1］上是增函数. （3）函数f(x)=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1，在对称轴的左侧是增函 数，那么当区间(-∞,m］位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1， 即实数m的取值范围是(-∞,1］.
-11-
解：（1）设x1、x2∈R，且x1<x2.则 F(x1)-F(x2)=［f(x1)-f(a-x1)］-［f(x2)-f(a-x2)］ =［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］. 又∵函数f(x)是R上的增函数，x1<x2，∴a-x2<a-x2. ∴f(x1)<f(x2),f(a-x2)<f(a-x1). ∴［f(x1)-f(x2)］+［f(a-x2)-f(a-x1)］<0. ∴F(x1)<F(x2).∴F(x)是R上的增函数.
高中数学人教A版(2019)必修第一册课件复习课 第3课时 函数的概念与性质
1.(2016·江苏高考)函数 y= -- 的定义域是
解析:要使函数有意义,必须 3-2x-x2≥0,即 x2+2x-3≤0,
所以-3≤x≤1.
所以函数 y= --的定义域是[-3,1].
.
解析:画出 f(x)=
, < ≤ ,
故f(x)是偶函数.
(2)解:当x≥0时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2;
当x<0时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2,
(-) -, ≤ ≤ ,
即 f(x)=
( + ) -,- ≤ < .
根据二次函数的作图方法,
可得函数图象如图.
解:(1)因为 f(4)=0,所以 4×|m-4|=0,即 m=4.
一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D⊆I.如果∀x1,
条件 x2∈D,当 x1<x2 时,
都有 f(x1)<f(x2)
都有 f(x1)>f(x2)
f(x)在区间 D 上
f(x)在区间 D 上
结论
单调递增
单调递减
图示
增函数 当函数 f(x)在它的定义域 当函数 f(x)在它的定义
足
条件
∀x∈I,都有 f(x)≤M
∀x∈I,都有 f(x)≥M
∃x0∈I,使得 f(x0)=M
结论 M 是函数 y=f(x)的最大值 M 是函数 y=f(x)的最小值
奇函数
偶函数
定义域
函数 f(x)的定义域关于原点对称
x
对于定义域内的任意一个 x
定
f(x)与 f(-x)
人教新课标A版高中(必修1)数学1.3函数的基本性质 (综合)课件
有 f(1 m )f(m )， 求 实 数 m 。
m
|
1
m
1 2
变 式 1 、 设 定 义 在 [ 2 ,2 ]上 的 奇 函 数 f(x )在 区 间 [0 ,2 ]
上 单 调 递 增 , 若 有 f(1 m )f(m )， 求 实 数 m 。
m
|
1
m
1 2
【变 点式 评2 、 】奇 在函 将数 此f( 类x ) 不在 等定 式义 进域 行[ 转2 ,2 化]上 的是 过增 程函 中数 应， 注且 意
方法小结：(1)已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域：
一般设u=g(x)，则u的取值范围就是f(x)的定义域，通
过解不等式可求得 方法小结：(2)已知 f [g(x)]的定义域为D，求f(x)的定义 域，就是求g(x)在D上的值域
一、课前练习 1．设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若 当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则 不等式f(x)<0的解集是______．
(3) f(x) f(x) f(y)(x 0).其中正确结论的序号 y
是
(写出所有你认为正确的结论的序号)
二、巩固练习
1、若函数f(x)
x
为奇数( D )
(2x1)(xa)
Ａ、 1 2
B、 2 3
Ｃ、 3 4
D、 1
2、 f(x)axb3x１ 满 足 f(４ )５ ， 则
f( ４ )-7
二、巩固练习
2、选做：已知函数f(x)对一切x, y，都有 f(xy) f(x) f(y).
(1)求证：f(x)是奇函数; (2)若f(3)2，求f(12)的值.
三、巩固练习
1、奇函数yf(x)(xR)的图象必定经过点( C)
高中数学人教A版必修1第一章1.3函数的基本性质辅导讲义
考点一： 函数单调性1.1 如下图是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及函数)(x f y =的最值。
2.1 写出下列函数的单调区间并求其最值。
（1）22y x x =- （2）]3,1(,11∈-=x x y （3）]5,0(,432∈+-=x x x y 531-2-5xOy2.1证明：11)(--=xx f 在区间上是单调增函数。
3.1 讨论函数f （x ）=21++x ax （a ≠21）在（－2，+∞）上的单调性.增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数。
减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当x 1<x 2时,都有f(x 1)>f(x 2)，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数。
1.1根据图象写出函数y=f(x)的单调区间：增区间 ；减区间)0,(-∞（3）函数f(x)在（0，+∞）上是增函数，求f(a 2-a+1)与f(43)大小关系；3.2 函数])1,[(,22)(2+∈+-=t t x x x x f 是单调函数，求t 的范围。
考点二：函数的奇偶性1.1、下列命题中正确的是（1）)(x f 是R 上的函数，若)2()2(f f =-，则函数)(x f 是偶函数。
（2）)(x g 是R 上的函数，若)2()2(g g -≠-，则函数)(x g 不是R 上的奇函数。
（3）函数)),2[]1,((,1)(+∞⋃--∞∈+=x xx x f 是奇函数。
（4）函数R x x f ∈=,0)(既不是偶函数也不是奇函数。
（5）既是偶函数又是奇函数的函数一定是R x x f ∈=,0)(（6）已知)(x f 是R 上的偶函数，则点))(,(a f a -必在)(x f y =的图像上1.2判断下面函数的奇偶性（1）3()4f x x x =+ （2）x x x f 2)(2+=（3）1)(=x f （4）11)(-+-=x x x f2.1 已知函数)(x f 是定义在),(∞+∞-上的偶函数。
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性课件新人教A版必修第一册
课标A版·数学·必修第一册
题型二 求函数的单调区间 【典例 2】 求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x－1 1； (2)f(x)＝|x2－3x＋2|. [思路导引] (1)先求出函数的定义域，再利用定义求解；(2) 作出函数 y＝x2－3x＋2 的图象，再将 x 轴下方的图象翻折到 x 轴 上方，结合图象写出 f(x)的单调区间．
第三章 3.2 3.2.1 第1课时
课标A版·数学·必修第一册
∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数． ∀x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1<x2， 有 f(x1)－f(x2)＝x2－xx121xx222＋x1. ∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，x2＋x1>0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)． ∴函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数.
第三章 3.2 3.2.1 第1课时
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证明或判断函数单调性的方法步骤
第三章 3.2 3.2.1 第1课时
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[针对训练] 1．求证：函数 f(x)＝x12在(0，＋∞)上是减函数，在(－∞，0) 上是增函数． [证明] ∀x1，x2∈(－∞，0)，且 x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝x121－ x122＝x22x－21x22x21＝x2－xx121xx222＋x1. ∵x1<x2<0， ∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x21x22>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)．
1．观察下列函数图象：
课标A版·数学·必修第一册
人教A版高中数学必修1第一章 集合与函数概念1.3 函数的基本性质课件(7)
-2 -1 o 1 2 x
则(2) 函I在x数=1x区{2在x>间|0x定,<(-0义x∞, 2域,-xx0>I1)0>上内}0.,任的取区间x1<x2<0,--12
(-∞,证即0明)上∴∴:是函fff(减(xxx数111函))在->-数f(f-((,(xx∞x222)),在),>=00区),x1上1间-是(x10减2,=函+x∞x2数1-)x上.x2 1也, 是减函数.
的图象.
(1) 这个函数的定义域 I 是什么?
(2) 它在定义域 I 上的单调性是怎样的? 证明你
的结论.
解:
画出函数
y
=
1 x
的图象如图:
y 2
y
=
1 x
1
(1) 函数的定义域 I = {x|x<0, 或 x>0}.
-2 -1 o 1 2 x -1
(2) 函数在定义域 I 内的区间 -2
(-∞, 0)上是减函数, 在区间(0, +∞)上也是减函数.
证明:
f
( x1) -
f
(x2) =
1 x1
-
1 x2
=
x2 - x1 x1 x2
,
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例3 (课本探究).
画出反比例函数
y
=
1 x
的图象.
(1) 这个函数的定义域 I 是什么?
(2) 它在定义域 I 上的单调性是怎样的? 证明你
的结论.
解:
画出函数
y
=
1 x
的图象如图:
y 2
y
=
1 x
1
(1) 函数的定义域
证明单调性的基本步骤:
高中数学人教A版必修1课件：1.3函数的基本性质
(2)函数单调性的刻画： ①图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 它的图象若从左向右连续上升(下降)，则称函 数在该区间上是单调递增(减)的； ②定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)， 若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称 函数在该区间上是单调递增(减)的．
间应是定义域的子集．
2.画出函数 f(x)＝－x2＋2|x|＋3 的 图象，并指出函数的单调区间．
解析： y＝－x2＋2|x|＋3 －x2＋2x＋3＝－x－12＋4
＝－x2－2x＋3＝－x＋12＋4 函数图象如图所示：
x≥0 x＜0 .
函数在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数， 函数在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数． ∴函数的单调增区间是(－∞，－1]和[0,1]， 单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞)．
[0,1]
4．求证：函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单 调减函数．
证明： 设 1＜x1＜x2，
y1－y2＝x1－1 1－x2－1 1 ＝x1－x21－xx21－1 ∵1＜x1＜x2 ∴x1－1＞0，x2－1＞0，x2－x1＞0 ∴x1－x21－xx21－1＞0. 即 y1＞y2，
∴函数 y＝x－1 1在区间(1，＋∞)上为单调减函数.
解析： ∵f(x)在R上递减，且3<5，
∴f(3)>f(5)．故选C.
答案： C
3．如图所示，函数y＝ f(x)的单调递增区间有 ________，递减区间有 ________．
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2019-2020学年高中数学 1.3函数的基本性质讲义 新人教A 版必修
1
一、函数的单调性 课型A
例1. 求证：y =()3,4上递增。
证明略
例2. 判断函数x x x f 1
)(+=在[)1,0-上的单调性，并证明。
单调减 证明略
例3. 求下列函数的单调区间：
① 22y x x =- 单调减区间(),1-∞ 单调增区间()1,+∞
② y =单调减区间(),0-∞ 单调增区间()2,+∞
③ 22y x x =- 单调减区间(),0(1,2)-∞和 单调增区间()2,(0,1)+∞和
④ 22y x x =- 单调减区间()1,0-和()1,+∞ 单调增区间(),1-∞-和()0,1
例4. 若2()3f x x ax =-+-在(],2-∞-上递增，求a 的取值范围。
（4a ≥-）
例5．函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值等于 （ D
）
A 10
B 9 D 6
二、函数的奇偶性 课型A
例1. 判断下列函数的奇偶性：
○1 1
22)(2++=x x x x f ； 非奇非偶函数 ○
2 x x x f 2)(3-=； 奇函数非偶函数 ○
3 a x f =)( （R x ∈） 当0a =时，既是奇函数又是偶函数 当0a ≠时， 是偶函数非奇函数
○4 ⎩⎨⎧+-=)1()1()(x x x x x f .
0,0<≥x x 奇函数非偶函数
例2．已知函数53()8(2)=10f x x ax bx f =++--且，那么(2)f 等于 ( A )
A 26-
B 18-
C 10-
D 10
例3．已知函数2()f x ax bx c =++是偶函数，那么是32()g x ax bx cx =++是（ A ）
A.奇函数
B. 偶函数
C. 既奇又偶函数
D. 非奇非偶函数
例4. 已知2()(11)1
x a f x x x bx +=-≤≤++为奇函数 ① 求,a b 的值 （0，0）
② 判断()f x 的单调性并证明。
解：（1）()f x 为奇函数 (0)0f ∴= (0)0,01a f a ∴=
=∴= 又11(1)(1),,022f f b b b
--=-∴=-∴=-+ （2）()f x 在[]1,1-上单调增。
证明略
三、函数性质的应用 课型B
例1．
已知函数()1).f x a =≠ （1） 若1a >,则()f x 的定义域是 。
3,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ （2）若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 。
. ()(],01,3-∞⋃
例2．已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2
(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是
（ C ） A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞ 例3．偶函数()f x 的定义域为R ，在(0, +∞)上是减函数，则下列不等式中成立的是 （ B ） A . 23()(1)4f f a a ->-+ B . 2
3()(1)4
f f a a -≥-+ C . 23()(1)4f f a a -<-+ D. 23()(1)4
f f a a -≤-+
例4. 定义在)1,1(-上的奇函数)(x f 在整个定义域上是减函数，
若0)1()1(2<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。
（01a <<）
解：由已知条件得：22(1)(1)
(1)(1)f a f a f a f a -<--∴-<-
2211111111a a a a -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪->-⎩
0221a a a <<⎧⎪∴<⎨⎪-<<⎩
01a ∴<<
例5. 定义在R 上的函数()f x 满足对任意的实数,x y 总有()()()f x y f x f y +=+，
若0x >时()0,(1)2f x f >=
① 求证()f x 为奇函数
② 求证()f x 在定义域上递增
③ 当33x -≤≤时，求()f x 的最大值和最小值。
（6，-6）
证明：①令0,(0)(0)(0),(0)0x y f f f f ==∴=+∴=
令,(0)()()0x y f f x f x =-∴=+-=
()()f x f x ∴=--
∴()f x 为奇函数
② 对于任意的1212,x x R x x ∈>且
∵121212()()()()()0f x x f x f x f x f x -=+-=->
∴12()()f x f x > ∴()f x 在定义域上递增。
③ ∵()f x 在定义域上递增
∴max ()(3)f x f = min ()(3)f x f =-
(0)0,(1)2
(2)2(1)4
(3)(1)(2)6
f f f f f f f ==∴==∴=+= (3)6f -=-。