平面向量方法总结大全
平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。
1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。
-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。
-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。
-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。
-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。
4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。
5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。
-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。
6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。
-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。
以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。
为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。
平面向量常考方法总结
平面向量中的基本方法一、向量基本不等式向量基本不等式：b a b a ⋅≥+222，()42b a b a +≤⋅当且仅当b a =时取等【例1】已知平面向量a 、b 满足1422=+⋅+b b a a，则a +2的最大值是.【练习1】已知平面向量a 、b 满足12922=+⋅+b b a a，则a +3的最大值是.【例2】已知平面向量a 、b满足32≤a ，则b a ⋅的最小值是.【练习2】已知平面向量a 、b满足323≤-a ，则b a ⋅的最小值是.向量三角不等式：+≤±≤-，当向量a 、b 共线时，取等推论：y x y x y x +≤±≤-，Ry x ∈,{}y x y x y x -+=+,max ，{}y x y x y x -+=-,min【例3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且12=-a ，2=-，则-的最大值是.【练习3】已知平面向量a 、b 是非零向量，且22=+a ，310=-，则的最大值是.【例4】已知平面向量a 、b 1=2=，若对任意单位向量e ，6≤+，ba ⋅的取值范围是.【练习4】已知平面向量a 、b 1=21=，若对任意单位向量e 26≤+，b a ⋅的取值范围是.向量回路恒等式：CBAD CD AB +=+【例5】在平面凸四边形ABCD 中，已知2=AB ，N M ,分别是边BC AD ,的中点，且23=MN .若()1=-⋅BC AD MN ，则=⋅CD AB .【练习5】在平面四边形ABCD 中，设3=AC ,2=BD ，则()()=++AD BC CD AB .四、向量对角线定理向量对角线定理：记D C B A 、、、是空间中的任意四点，则有⎪⎭⎫--+=⋅21BD AC 【例6】在四边形ABCD 中，已知F E ,分别是边BC AD ,的中点，且m BC AD =⋅，n BD AC =⋅,2=AB ,1=EF ,3=CD ，则=-n m .五、互换系数恒等式若向量a ，b =，则有a a μλ+=+【例7】已知a ，b ，c 是平面内的三个单位向量，且b a ⊥，b a +++23的最小值为.【练习7】已知a ，b ，c o60=，的最小值为.六、极化恒等式极化恒等式的代数形式：()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=⋅2241b a b a b a 极化恒等式的对偶形式：()()22222b a b a b a -++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+【例8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，的取值范围是.【练习8】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤3≤+，的取值范围是.【例9】已知a ，b 是满足31≤≤，31≤≤，31≤≤，则b a ⋅的取值范围是.【例10】在四边形ABCD 中，已知O 分别是边BD 的中点，且7-=⋅AD AB ,3=OA ,5=OC ，则=⋅DC BC .【练习9】在ABC ∆中，已知D 分别是边BC 的中点，F E ,分别是边AD 的两个三等份点，且4=⋅CA BA ,1-=⋅CF BF ，则=⋅CE BE .【练习10】如图，在同一平面内，点A 位于两直线n m ,同侧，且A 到于两直线n m ,的距离分别为3,1点C B ,分别在n m ,5=+，则AC AB ⋅最大值为.【例11】在ABC ∆中，F E ,分别是边AC AB ,的中点，P 在EF 的上，若ABC ∆的面积为2，则2BC PC PB +⋅最小值为.【练习11】已知AB 中为圆O 的直径，M 为弦CD 的一点，8=AB ,6=CD ，则MB MA ⋅的取值范围是.七、矩形大法点O 矩形ABCD 所在平面内任意一点，则有：2222OD OB OC OA +=+【例12】在直角ABC ∆中，D 为斜边AB 的中点，P 为CD=.【练习12】在平面内,若21AB AB ⊥1==,21AB AB AP +=21＜的取值范围是.。
(完整版)平面向量知识点及方法总结总结
平面向量知识点小结及常用解题方法一、平面向量两个定理1。
平面向量的基本定理 2.共线向量定理.二、平面向量的数量积1.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ,它是一个实数，但不一定大于0.2。
a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积。
三坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（1）向量的加减法运算:1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--。
（2)实数与向量的积:1111(,)(,)a x y x y λλλλ==。
（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
（4）平面向量数量积:1212a b x x y y ⋅=+.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+。
四、向量平行(共线）的充要条件221212//(0)()(||||)0a b a b b a b a b x y y x λ⇔=≠⇔⋅=⇔-=.五、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=。
六．121211222221(,),(,)cos ,.x x y y a x y b x y a b x y x +===+七、向量中一些常用的结论1.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ,33(,)C x y ，则重心坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++。
2.三角形“三心"的向量表示(1)0GA GB GC G ++=⇔为△ABC 的重心。
(2)PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；3. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．4. 在ABC △中若D 为BC 边中点则1()2AD AB AC =+5.与AB 共线的单位向量是||AB AB ±七．向量问题中常用的方法(一）基本结论的应用1。
平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结
平面向量解题方法完全归纳与总结！
1、基底法
在处理平面向量问题时，有一类是所求的向量模长和夹角是在变化的，我们利用平面向量的基本定理，选取一组不共线的且模长和夹角知道的非零向量作为基底，把所求向量都用所选基底表示来处理问题.
2、平方法
在向量中，遇到和模长有关的问题，很多时候都可以考虑把相关式子两边同时平方来处理，并且要灵活运用：向量的平方等于它模长的平方这个规律
3、投影法
①我们可以理解成：两向量的数量积等于他们各自的模长，乘以它们夹角的余弦值；
②也可以理解成：两向量的数量积等于其中一个向量的模长，乘以另外一个向量在它上面的投影；
4、坐标法
几何问题代数化是数学中比较重要的一个思想方法，在平面向量中，这个思想在处理很多问题时比较“直接无脑”。
只要题目中给出了向量之间的夹角就可以考虑使用坐标来处理向量问题。
5、数形结合法
在处理一些平面向量的问题时，需要利用图形，结合向量的运算法则，综合分析，来处理一些动态变化问题。
这类问题主要包含：圆上动点、直线上动点等。
6、三点共线结论及其推广
7、绝对值不等式
8、极化恒等式
9、等和线
以上就是老师对高中数学向量这一板块的解题方法汇总总结，这
些方法足以应付高中数学中出现的向量题型，当然有同学想要更深入一些关于向量的解题方法的话还需要学习三角形与向量的五心相关知识，更高层次的还有复数与向量结合这种强基计划或者竞赛中的一些知识，这些我们在后期的一些文章当中会涉及。
我们这个自媒体主要服务于高中生数学，高考数学，强基计划、数学竞赛，大家有兴趣可以关注一下我们，我们上的都是一些干货，绝对不会让你失望！。
平面向量的所有公式归纳总结
平面向量的所有公式归纳总结平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。
平面向量用a,b,c上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.ab+bc=ac.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.2、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c).如果a、b就是互为恰好相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0ab-ac=cb.即“共同起点,指向被减”a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').1、定义：已知两个非零向量a,b.作oa=a,ob=b,则角aob称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量内积(内积、点内积)就是一个数量,记作ab.若a、b不共线,则ab=|a||b|cos〈a,b〉;若a、b共线,则ab=+-∣a∣∣b∣.2、向量的数量积的坐标表示：ab=xx'+yy'.3、向量的数量内积的运算律ab=ba(交换律);(λa)b=λ(ab)(关于数乘法的结合律);(a+b)c=ac+bc(分配律);4、向量的数量内积的性质aa=|a|的平方.a⊥b〈=〉ab=0.|ab|≤|a||b|.5、向量的数量内积与实数运算的主要不同点（1）向量的数量积不满足结合律,即：(ab)c≠a(bc);例如：(ab)^2≠a^2b^2.（2）向量的数量积不满足用户解出律,即为：由ab=ac(a≠0),推不出b=c.（3）|ab|≠|a||b|（4）由|a|=|b|,推不出a=b或a=-b.1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣∣a∣.当λ>0时,λa与a同方向;当λ<0时,λa与a反方向;当λ=0时,λa=0,方向任一.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.备注：按定义言,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣>1时,则表示向量a的存有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上弯曲为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.2、数与向量的乘法满足用户下面的运算律结合律：(λa)b=λ(ab)=(aλb).向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘坐向量的解出律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a||b|sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b 和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.2、向量的向量内积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.3、向量的向量内积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.备注：向量没乘法,“向量ab/向量cd”就是没意义的.1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;①当且仅当a、b逆向时,左边挑等号;②当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.①当且仅当a、b同向时,左边取等号;②当且仅当a、b逆向时,右边挑等号.定比分点公式(向量p1p=λ向量pp2)设p1、p2就是直线上的两点,p就是l上不同于p1、p2的任一一点.则存有一个实数λ,并使向量p1p=λ向量pp2,λ叫作点p棕斑向线段p1p2阿芒塔的比.若p1(x1,y1),p2(x2,y2),p(x,y),则有op=(op1+λop2)(1+λ);(的定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).(的定比分点座标公式)我们把上面的式子叫做有向线段p1p2的定比分点公式1、三点共线定理若oc=λoa+μob,且λ+μ=1,则a、b、c三点共线2、三角形战略重点推论式在△abc中,若ga+gb+gc=o,则g为△abc的重心3、向量共线的关键条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的关键条件就是xy'-x'y=0.4、零向量0平行于任何向量.5、向量横向的充要条件a⊥b的充要条件是ab=0.a⊥b的充要条件就是xx'+yy'=0.6、零向量0垂直于任何向量.。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳一、向量的基本概念1. 向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。
例如，物理学中的力、位移、速度等都是向量。
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量的大小叫做向量的模，记作a（对于向量a）。
模为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。
模为1的向量叫做单位向量。
2. 向量的表示方法几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。
例如，以A为起点，B为终点的向量记作AB。
字母表示：用小写字母a,b,c,表示向量。
3. 相等向量与平行向量相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
若a=b，则a=b且a与b方向相同。
例如，在平行四边形ABCD中，AB=DC。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定零向量与任意向量平行。
若a与b是平行向量，则记作ab。
例如，在梯形ABCD中，ADBC。
二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC=a+b。
例如，若a表示向东3个单位长度的位移，b表示向北4个单位长度的位移，那么a+b表示向东北方向5个单位长度（根据勾股定理3^2+4^2 = 5）的位移。
平行四边形法则已知两个不共线向量a,b，作AB=a，AD=b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量AC=a+b。
运算律：向量加法满足交换律a+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法定义：向量a与b的差ab=a+(b)，其中b是b的相反向量，b与b大小相等，方向相反。
三角形法则：已知向量a,b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则向量BA=ab。
3. 向量的数乘定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度a=a，它的方向当> 0时与a相同，当<0时与a相反，当= 0时，a=0。
平面向量中的技巧
平面向量中的技巧以下是平面向量中常用的一些技巧：1. 平移技巧：两个向量相加得到平移后的向量，即如果有向量u和向量v，那么得到平移后的向量为向量u+v。
这个技巧可以用于求解平移后新的坐标点。
2. 向量投影：向量u在向量v上的投影，可以用以下公式表示：proj_v u = (u ·v / v ^2) * v，其中·表示向量的点积运算，v 表示向量v的长度。
投影可以用于求解一个向量在另一个向量上的分量。
3. 向量分解：一个向量可以分解为两个垂直的分量，即向量u = proj_v u + u'，其中proj_v u为向量u在向量v上的投影，u'为与v垂直的分量。
这个分解技巧可以简化向量的运算。
4. 向量夹角：两个非零向量u和v的夹角可以使用以下公式计算：cosθ= (u ·v) / ( u v )，其中θ为夹角，·表示向量的点积运算，u 和v 分别表示向量u和v 的长度。
这个公式可以用于求解向量之间的夹角。
5. 向量共线判断：如果两个向量u和v的夹角为0或180度，它们是共线的。
这个技巧可以用于判断两个向量是否平行。
6. 向量的线性组合：给定向量集合{v1, v2, ..., vn}和实数集合{a1, a2, ..., an}，它们的线性组合为向量a1v1 + a2v2 + ... + anvn。
这个技巧可以用于求解向量之间的关系。
7. 平行四边形法则：如果有两个向量u和v，那么它们构成的平行四边形的面积可以用以下公式计算：area = u ×v ，其中×表示向量的叉积运算。
这个公式可以用于求解平行四边形的面积。
这些技巧可以用于解决各种平面向量的问题，例如求解坐标点、计算向量之间的关系、判断向量的性质等。
需要根据具体的问题和情况选择合适的技巧应用。
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平面向量应试技巧总结一．向量有关概念：：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，．向量的概念1。
如：注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）rruuua （答：_____＝（－1,3按向量已知A（1,2），B（4,2），则把向量）平移后得到的向量是AB）（3,0）0；，注意：长度为2．零向量0零向量的方向是任意的的向量叫零向量，记作：ruuu ruuu AB共线的单位向量是：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与)；3．单位向量AB ruuu?||AB相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；4．baba，、记作：：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，∥5．平行向量（也叫共线向量）。
规定零向量和任何向量平行：提醒①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；但两, ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线条直线平行不包含两条直线重合；r0)；（因为有③平行向量无传递性！ruuuuuur、ACAB?共线共线；④三点C、B、A aa。
如：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是－6．相反向量rrrr）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终2，则）若。
（（下列命题：1ba?ba?ruuuuuuruuruuruu。
）若（是平行四边形。
，则43点相同。
（）若是平行四边形，则DCDCAB??ABABCDABCD．rrrrrrrrrrrr_______）若（5，则。
（6）若，则。
其中正确的是cb//a//a?b,b?cb,ca?ca//4（答：（）（5））二．向量的表示方法：1，注意起点在前，终点在后；．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如ABcab，．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，2等；i为轴、轴方向相同的两个单位向量，3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与y x jrrr????aaa yx,＝为向量基底，则平面内的任一向量，称可表示为的坐标，yx,?axi?yj???a y,x的坐标表示。
如果向量的起点在原点，叫做向量那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的：如果和三．平面向量的基本定理21?aeea。
如=任一向量，有且只有一对实数、＋，使???212211rrrr，则若______（1）1,2)(1,(??1),c?a?(1,1),b??crr31）；（答：ba?22（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是uruururuur A. B. (5,7)??1,2),2)ee?(?e(0,0),e?(1,?2112uruurruruu13 C. D.(6,10)e??(3,5),e)??(,?e(2,?3),e212142（答：B）；rr ruuurruruuruuuruuuruuu ba,可用向量,则上的中线的边分别是）（3已知,且ACBC,b,BE??ADBEAD,aBCABC?表示为_____ rr42（答：）；ba?33???????????????sr?ACr?CDDB2CD?sAB?的值是已知）4（在，则中，点，边上，且BCABC?D．___（答：0）??aa，它的长度和方向规定如下：的积是一个向量，记作与向量四．实数与向量的积：实数rr??????????aaaa的的方向与当的方向相同，当>0时，的方向与<0时，2,1?aarr???a0a?≠0，注意方向相反，当0＝时，：。
：五．平面向量的数量积rruuuuuurr?ba，．两个向量的夹角：对于非零向量，，作1bOB?OA?a,??AOB????????bababa＝反向，当，的夹角，当同向，当＝00??时，时，＝称为向量，，?ba垂直。
，时，2rr??ba我们把数量，2．平面向量的数量积：，如果两个非零向量它们的夹角为，cos||a||brr?baabba cos ba??。
规定：零向量与，记作：＝与，即的数量积（或内积或点积）叫做。
如任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量?????????5|?|AB|?3|AC|4|BC??AB?BC，_________1）△ABC中，，，则（）；（答：－9rrrrrurrrrur?11____（2）已知，则等于，与的夹角为dckb?(1,),a?kb,d??),b?(0,?c?aa422；（答：1）rrrrrr 等于已知____）（3，则b?a3a?bg??2,b?5,a）；（答：23rrrrrrrrr b?a与ab?aa?b?b,a____是两个非零向量，且已知，则的夹角为）（4o（答：）30r?ab cos||b如。
0，它是一个实数，但不一定大于为上的投影在．3．??????，则向量，且在向量上的投影为______已知，5|??3|b|a|ba12?ab?12）（答：5rababbaa在4．等于的模与的几何意义：数量积上的投影的积。
||a???ba，：设两个非零向量，则：，其夹角为5．向量数量积的性质rrrr0b?a?b?a?①；rrrrrr rr 222baabaabb反向时，特别地，；②当，同向时，＝，与当??ba a?a?a?a?a,a rrrrrr??ba、ba 0a?b?，且不同向，＝－；当0＞为锐角时，是为锐角的必要非充分条件；?barrrr??ba、ba 0a?b??，且0当为钝角时，＜是为钝角的必要非充分条件；不反向，rrrrrrba???ba?cos，。
夹角如；④的计算公式：③非零向量|||b||a?b|?arrba????????),)b?(a?(3,22，的取值范围是，如果与的夹角为锐角，则______（1）已知ba41??????且或（答：）；0?3331?????????????FQ,OF?FQ?1OF??S的取值范（2）已知，则，若夹角的面积为，且OFQ?S22围是_________??；（答：）)(,34rrrrrrrr①，已知与之间有关系式）（3),yy?(cos,sin),(cos a?x,sin xbba0k?,3ka?b?a?kb其中rrrrrr；②求用表示的大小与的最小值，并求此时的夹角?ba?ba?bakrr121?k o?60?）（答：①，；②最小值为0)??ab(?k 2k4：六．向量的运算．1．几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向uuuruuurruuurrrAC量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与abAB?a,BC?rruuuruuuruuurra?b?AB?BC?AC；的和，即buuurruuurrrruuuruuuruuur②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量CA?AB?AC那么a?b?AB?a,AC?b,的终点指向被减向量的终点。
注意：此处减向量与被减向量的起点相同。
如uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（1）化简：①___；②____；③_____?)(AC?BD(AB?CD)??DCAD?ABAB?BC?CD??uuuruuurrCB0）；（答：①；②；③ADuuurruuurruuurrrrr（2）若正方形的边长为1，，则＝_____c?,BC?b,ACaAB?|?c|a?b ABCD22）（答：；uuuruuuruuuruuuruuur OB?OC?OB?OC?2OA，则的形状且满足3（）若O是所在平面内一点，ABCABCVV为____（答：直角三角形）；uuuruuuruuurrPA?BP?CP?0，的中点，的边所在平面内有一点，满足4（）若为BCABC?ABC?PDuuur|AP|??uuur设的值为___，则?|PD|（答：2）；rruuuruuuruuu的外心，且是）若点____，则为的内角5（0?COOBOA??COABCABC△△o120（答：；）rr，则：坐标运算：设2．)),b?(x,y,a?(xy2112rr。
如①向量的加减法运算：，)?yy x?a?b?(x2121ruuruuuruuuu在第P，若已知点，，则当＝____时，点（1）???)?RAC(AP?AB?(7,10)A(2,3),B(5,4)C一、三象限的角平分线上1（答：）；2uuur??1已知，，则（2）??yx)?,x,y?xA(2,3),B(1,4),且AB?(sin,cos y)(222??或）；（答：?26ruruuuuururuururuuru的，则合力（3）已知作用在点的三个力FF?F(3,1)??F?F(3,4),F?(2,?5),F?(1,1)A322113终点坐标是（答：（9,1））r????????：。
②实数与向量的积y,a??,xyx1111ruuu??)),B(x,yA(x,y yx?x,yAB??，即一个向量的坐标等于表示这个向量的，则③若21121221如有向线段的终点坐标减去起点坐标。
ruruuuuuruuuuuur1、D__________的坐标分别是，且设，，则C AB3AD?,5)1A(2,3),B(?AB?AC311）；（答：7,9)?(1,),(3rr如。
④平面向量数量积：y?yb?xxa?2211?cba，求x）若＝, 1＝（－，0）。
（1已知向量sinx＝（，cosx）, sinx＝（，sinx）3??13??ca]?,[的值的最大值为x2、的夹角；（）若∈，求，函数向量b??(fx)a2481o?2?1;(2)(1)150）（答：；或2．rrr2222。
如⑤向量的模：y??,a?|a||a|x uurrrr o＝_____ 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么60ba,||a?3b13）；（答：22????????y?yx?x??|AB|y,B,y,xAx。
：若如，则⑥两点间的距离12122112o60xOy??，平面上任一点P如图，在平面斜坐标系中，关于斜坐标系的斜坐标是这xOy uuururuururuur xy轴同方向的单位向量，则P轴、点斜坐标样定义的：若，其中分别为与e,eyexe?OP?2121为。
（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P 到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1)y(x,为半径的圆在斜坐标系中的方程。
xOy22?xy?1?y?0x））； 21）2；（（答：（七．向量的运算律：rrrrrrrrrr????????ab?b?a?a?b??abaa?，；，1．交换律：rrrrrrrrrrrrrrrrrr?????????????b?b?c?a?b??a?ba???ab?c?a?bc,a?b?ca；2．结合律：，rrrrrrrrrrrrrr?????????????cb?a?c??a?b?cba?aa??a,a??b?，。