数字电路中的对偶现象
对偶原理在电路分析中的应用
收稿日期:2009209210作者简介高玲(5—),女,安徽安庆人,南京晓庄学院物理与电子工程学院高级讲师,主要从电工学、电路分析、电子技术基础理论与实验教学教学工作2009年11月第6期南京晓庄学院学报JOURNAL OF NANJ I NG X I A OZ HUANG U N I V ERS ITY Nov .2009No .6对偶原理在电路分析中的应用高 玲(南京晓庄学院物理与电子工程学院,江苏南京210017)摘 要:根据电路理论中对偶原理,分析了电路中所存在的对偶现象,阐述了对偶原理在电路分析时的应用.关键词:对偶原理;对偶元素;电路中图分类号:T M13 文献标识码:A 文章编号:100927902(2009)06200262040 引言对偶,是客观世界中存在的一种特殊规律.能正确认识对偶原理并将其充分应用,是人们简化对客观事物认识的重要途径之一.在电路分析中,对偶关系也是普遍存在的.电路理论的对偶原理表述是:电路中某些元素之间的关系(或方程)用它们的对偶元素对应地置换后,所得的新关系(或新方程)也一定成立,后者和前者互为对偶[1].深刻领会和掌握电路的对偶原理,对指导电路分析有着重要的实际意义,它有助于我们掌握电路的规律,由此及彼,举一反三[2].同时,在分析有关电路问题时,能使计算过程及公式的记忆工作减少一半,起到事半功倍的效果.1 电路中常用的对偶元件符合对偶关系的电路和关系式分别称为对偶电路和对偶式,互为对偶的两方面称为对偶元素[3].电路中的对偶关系甚多.表1列举了一些对偶关系,可供参考使用.表1 常用的电路对偶元件电路分析对偶关系电路参数电压u ∴电流i电阻R ∴电导G 阻抗Z ∴导纳Y 电感L ∴电容C 电路模型电压源∴电流源受控源CCVS ∴受控源VCCS电路结构串联∴并联短路∴断路电路定律K CL ∴K V L分析方法网孔电流法∴节点电压法:198.2.2 电源的对偶电压源模型和电流源模型是电路分析中两种常用的电源模型,它们也是互为对偶的,说明如下. VAR :U =U S -R S I推广:U =U S -R S I I =I S -G S UI =I S -G S U2.3 电路分析方法的对偶网孔电流法和节点电压法是两种重要的电路分析方法,它们实际上是互为对偶的.对于具有m 个网孔的平面电路,网孔电流方程的一般表达式为:R 11i m1+R 12i m2+R 13i m3+…+R 1m i mm =u s11R 21i m1+R 22i m2+R 23i m3+…+R 2m i mm =u s22……R m1i m 1+R m2i m 2+R m3i m3+…+R mm i mm =u s mm方程中具有相同下标的电阻如R 11、R 22、R 33、…R mm 等是各网孔的自电阻,总是为正值;有不同的下标的电阻R 12、R 13、R 23等为网孔间的互电阻,当选择各网孔电流的绕行方向一致时,互电阻总是为负值,且在不含受控源的电阻电路时,有R 12=R 21、R 13=R 31…即R ik =R k i .方程的右方,us 11、us 22、…u s mm 为网孔1、2、…..等各自网孔内所有电源电位升的代数和.对于具有n 个独立节点的电路,节点电压方程的一般表达式为:G 11u n 1+G 12u n2+G 13u n3+…+G 1n u nn =i s11G 21u n 1+G 22u n2+G 23u n3+…+G 2n u nn =i s22……G n1u n1+G n 2u n2+G n3u n3+…+G nn u nn =i snn方程中具有相同下标的电导如G 11、G 22、G 33、…G n n 等是各节点的自电导,总是为正值;有不同的下标的电阻G 12、G 13、G 23等为节点间的互电导,总是为负值,且在不含受控源的电阻电路时,有G 12=G 21、G 13=G 31…即G ik =G ki .方程的右方,i s11、i s 22、….i snn 为流向节点1、2、…等各自节点所有电激流的代数和.可见两种分析方法对偶.同样可推广到正弦稳态电路的分析中.2.4 两端口网络中的对偶线性两端网络如图所示:其Z 参数方程为:U 1=Z 11I 1+Z 12I 2U 2=Z 21I 1+Z 22I 2其Y 参数方程为:I =Y U +Y U I =Y U +Y U 11111222211222上两组方程中,Z是开路阻抗参数,Y是短路导纳参数,显然它们互为对偶.电路中的对偶现象还有很多,如:正弦交流电路中的R-L-C串联电路与R//L//C并联电路;一阶电路中的RC电路的响应与RL电路的响应;三相对称交流电路中负载做Y形联接于△形联接的电路……等等,这里不再赘述.3 结束语由以上列举的对偶电路可知,所谓对偶,就是它们的关系式(或方程组)具有相似性.这种相似性是建立在一个重要的网络(电路)原理———对偶性———的基础上的.因为对偶性是唯一的“一对一”的变换,所以对偶性的性质就是两个网络(电路)之间的相互变换.从另一方面说,任何一个网络(电路)通过使用两次对偶变换,又可把我们引到原来的网络(电路)[4].参考文献:[1]邱关源.电路(第四版)[M].高等教育出版社,1999.[2]李翰逊.电路分析基础(第三版)中册[M].高等教育出版社,1993.[3]大连工电院电工教研室.电工学(上)[M].人民教育出版社,1979.[4]R.E.斯科特[美]郑翔等译.线性电路[M].高等教育出版社,1965.(责任编辑:王海军)The Appli ca ti on of D ua li ty Pr i n c i ple i n the C i r cu it Ana lysisGAO Ling(Depart ment of Physi c s&Elec trics,Nanjing X i aozhuangUnive rsity,N anjing211171,J iangsu)Abstrac t:B ased on the dua lity principle of circuitry the ory,the existing duality phenom enon in the circuits is ana2 lyzed with the app lica tions of dua lity p rinc i ple in the circuit analysis p r e sented.Key wor ds:duality p rinci p le;duality e le m ent;circuit。
2-3电路的对偶性
解：将两个电位用两个电压源 替代，得到图(b)所示电路。 当电位器滑动端移到最下 端时，a点的电位为
1k 24V 12V 10V 1k 10k 1k 当电位器滑动端移到最上端时，a点的电位为 Va U cd 12V
10k 1k Va U bd 12V 24V 12V 10V 1k 10k 1k 当电位器滑动端由下向上逐渐移动时，a点的电位将从
ik Gk i
k
分压公式
uk
Rk
Rk
k 1
n
u
分流公式
G
k 1
n
当两个电阻并联时，常常用电阻参数表示的分流公式：
R2 i1 i R1 R2 ＋
R1 i2 i R1 R2 ＋
注意：当电流i1或i2的参考方向改变时，上面两个公式中 应该增加一个负号。
例1-12 图(a)所示电路为双电源直流分压电路。 试求电位器滑动端移动时，a点电位Va的变化范围。
i
k 1
n
k
0
3．基尔霍夫电压定律(KVL)陈述为：对于任何集总参数电
路，在任一时刻，沿任一回路或闭合结点序列的各段电 压的代数和等于零。其数学表达式为
u
k 1
n
k
0
4．一般来说，二端电阻由代数方程f(u,i)=0来表征。线性 电阻满足欧姆定律(u=Ri)，其特性曲线是u-i平面上通过 原点的直线。 5．电压源的特性曲线是u-i平面上平行于i轴的垂直线。电 压源的电压按给定时间函数uS(t)变化，其电流由uS(t)和 外电路共同确定。
Rb=Rg+R5+R4+R3=2k+5.4k+540+54=7994。 当电表指针满偏转的电流 Ig=37.5A时，万用电表的电 流 I=50mA。 对图(b)所示电路，用两个电阻并联时的分流公式
数字电路逻辑公式知识讲解
逻辑乘:
A*0=0
A*A=A
A*1=A
逻辑或:
A+0=A
A+1=1
A+A=A
逻辑非:
A*非A=0
A+非A=1
非(非A)=A
另外还有
交换律:
A*B=B*A
A+B=B+A
结合律:
(A*B)*C=A*(B*C)
(A+B)+C=A+(B+C)
分配律:
A*(B+C)=A*B=A*C
A+B*C=(A+B)*(A+C)
一、基本公式
表1.3.1中若干常用公式的证明
1．证明：
2. A+AB=A 证明：A+AB=A(1+B)=A1=A
3.
证明：
4.
证明：
推论：
二、运算规则
1．代入定理任何一个含有某变量的等式，如果等式中所有出现此变量的位置均代之以一个逻辑函数式，则此等式依然成立，这称为代入规则。
利用代入规则，反演律能推广到n个变量，即:
2．反演定理对于任意一个逻辑函数式F，若把式中的运算符“.”换成“+”, “+” 换成“.”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果为。
这个规则叫反演定理运用反演定理时注意两点：① 必须保持原函数的运算次序。
② 不属于单个变量上的非号保留，而非号下面的函数式按反演规则变换。
例如：
其反函数：
3．对偶定理对于任意一个逻辑函数F，若把式中的运算符“.”换成“+”，“+”换成“.”，常量“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到F的对偶式F′。
例如：
其对偶式：
对偶定理：如果两个函数式相等，则它们对应的对偶式也相等。
对偶原理的性质分析
对偶原理的性质分析
偶对原理，也称为对偶原理或德摩根定理，是数理逻辑中的一个重要理论。
它指出，在命题逻辑中，任何一个式子和其否定的真值具有相反关系。
具体来讲，对偶原理有以下性质：
1. 对偶原理是指一个命题和其否定的真值是相反的。
也就是说，如果一个命题为真，则其否定为假，反之亦然。
例如，命题P为真时，其否定非P为假，命题P为假时，其否定非P为真。
2. 对偶原理适用于逻辑运算符。
对于包含逻辑运算符的复合命题，对偶原理适用于运算符之间的关系。
例如，对于逻辑与运算符（表示为∧），其对偶运算符是逻辑或（表示为∨）；对于逻辑或运算符，其对偶运算符是逻辑与；对于逻辑非运算符（表示为¬），其对偶运算符是非逻辑非（表示为~）。
3. 对偶原理可以推广到更复杂的命题。
对偶原理的概念可以推广到复合命题的情况下。
例如，对于一个包含多个逻辑运算符的复合命题，其对偶命题可以通过将每个逻辑运算符替换为其对偶运算符来得到。
4. 对偶原理可以推广到谓词逻辑。
对偶原理不仅适用于命题逻辑，还适用于谓词逻辑。
在谓词逻辑中，谓词表达式的对偶命题可以通过改变量的全称量化子为存在量化子，或改变逻辑连接词的关系来得到。
通过对偶原理，我们可以利用已知的真值关系来推导其他的真值关系，从而简化逻辑运算的过程。
对偶原理在数理逻辑、电路设计、计算机科学等领域都有重要应用。
逻辑函数对偶式
逻辑函数对偶式逻辑函数是计算机科学中的重要概念，其在数字电路、计算机程序设计等领域中得到广泛的应用。
在逻辑函数的研究中，对偶式是一种重要的工具，它可以方便地将逻辑函数转化为另一种形式，从而更方便地进行计算和分析。
本文将介绍逻辑函数对偶式的概念、性质以及用途。
一、逻辑函数的定义逻辑函数是指由若干个变量和逻辑运算符组成的表达式，其结果只能是0或1。
例如，下面是一个逻辑函数的表达式：F(x1, x2, x3) = (x1 ∧ x2) ∨ (x2 ∧ x3)其中，∧表示逻辑与运算，∨表示逻辑或运算，表示逻辑非运算。
该函数的输入变量为x1、x2、x3，输出结果为0或1。
二、逻辑函数的真值表为了方便描述逻辑函数的输入输出关系，我们可以使用真值表来表示。
真值表是一个表格，其中列出了逻辑函数的所有可能输入组合以及对应的输出结果。
例如，对于上述逻辑函数，其真值表如下所示： x1 x2 x3 F0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 11 0 0 01 0 1 01 1 0 01 1 1 1三、逻辑函数的对偶式逻辑函数的对偶式是指将逻辑函数中的与运算替换为或运算，或运算替换为与运算，同时将变量的取值取反的表达式。
例如，对于上述逻辑函数，其对偶式为：F'(x1', x2', x3') = (x1' ∨ x2') ∧ (x2' ∨ x3') 其中，'表示取反运算。
可以发现，对偶式中的与运算和或运算互换了位置，变量的取反也被考虑进去了。
对偶式的一个重要性质是，对于同一个逻辑函数，其对偶式的真值表与原函数的真值表是完全相同的。
也就是说，对于任意一个输入组合，原函数和对偶式的输出结果都是相同的。
这个性质是对偶式在逻辑函数研究中得到广泛应用的重要原因之一。
四、逻辑函数的最小化在实际应用中，逻辑函数的表达式往往比较复杂，需要进行化简和最小化，以便更好地实现。
数字电路的基本知识3
或运算 A 0 A A 1 1 A A 1 A A A
非运算 A A
（2) 逻辑代数的基本定律 交换律：A B B A A• B B• A 结合律：(A B) C A (B C) ( AB)C A(BC) 分配律： A(B C) AB AC A BC (A B)(A C) 反演律： A B A • B AB A B
提取公因子A
ABC A(B C ) 利用反演律
ABC ABC A(BC BC)
消去互为 反变量的因子
A
2) 吸收法 利用公式 A AB A 将多余项AB吸收掉 化简逻辑函数 F AB AC ABC
F AB AC ABC …提取公因子AC
AB AC(1 B) …应用或运算规律，括号内为1
最简与或式的一般标准是：表达式中的与项最少，每个与 项中的变量个数最少。代数化简法最常用的方法有： 1) 并项法
利用公式 AB AB A 提取两项公因子后，互非变量消去。 化简逻辑函数 F AB AC ABC
F AB AC ABC
A(B C BC) …提取公因子A
A(B C B C) …应用反演律将非与变换为或非 A …消去互非变量后，保留公因子A，实现并项。
AB AC 3) 消去法
利用公式 A AB A B 消去与项AB中的多余因子A 化简逻辑函数 F AB AC BC F AB AC BC …提取公因子C
AB C(A B)
AB C AB …应用反演律将非或变换为与非
AB C …消去多余因子AB，实现化简。
4) 配项法 利用公式A=A(B+B)，为某一项配上所缺变量。
(3) 逻辑代数的常用公式 吸收律：A AB A A(A B) A A (AB) A B
数字电路 第1章 逻辑代数基础
二、基本公式
① 0－1律 A· 0=0 ; A+1=1
②自等律
③重迭律 ④互补律 ⑤交换律 ⑥结合律 ⑦分配律 ⑧反演律 ⑨还原律
A· 1=A
A· A=A A· A=0 A· B· B= A A(BC)=(AB)C ;
;
; ; ;
A+0=A
A+A=A A+A=1 A+B=B+A A+(B+C)=(A+B)+C A+BC=(A+B)(A+C) ; AB=A + B
特点： （1）便于运算； （2）便于用逻辑图实现； （3）缺乏直观。
3、逻辑图：由各种逻辑门符号所构成的电路图.
A B C &
≥1
Y
特点： 接近工程实际。
4、不同表示方法之间的相互转换
(1)已知逻辑函数式求真值表： A B C Y
把输入逻辑变量所有可能的取 值组合代入对应函数式,算出其 函数值。
由“或”运算的真值表可知 “或”运算法则为： 0＋0 = 0 1＋0 = 1 0＋1 = 1 1＋1 = 1
有1出 1 全0为 0
⒊ 表达式 逻辑代数中“或”逻辑关系用“或”运算 描述。“或”运算又称逻辑加，其运算符为 “＋”或“ ”。两变量的“或”运算可表示 为：Y＝A＋B 或者 Y=A B 读作：Y等于 A 或 B
A+AB=A+B
A+AB=(A+A)(A+B)=1•(A+B) =A+B
（4）包含律 证明：
对偶关系
A(A+B)=AB
AB+AC+BC=AB+AC
双对偶原则
双对偶原则
双对偶原则是一种数学上的对称性原理，它指出同一类型的物理现象，在适当的条件下可以看作是相互对偶的。
一般来说，实际上，它是一种万
能对称原理，可用于多种领域和许多不同的学科中。
在数学、物理、计算
机科学等领域，双对偶原则都有广泛的应用。
数学中的双对偶原则通常涉及到代数、拓扑等领域的研究。
以拓扑为例，拓扑学的基本概念是点、线、面等，双对偶原则中，则是指在二维平
面上，点可以被线代替，线可以被面代替。
同时，相对的，线可以被点代替，面可以被线代替。
这意味着从不同层次上，不同的元素在某些方面上
具有相似性质，因此可以互相替代，称之为双对偶原则。
在物理学中，双对偶原则也有着广泛应用，例如在电动力学中，根据
安培定律，电流在容器内施加的力与磁场的旋度有关。
而在双对偶原则中，将电磁力场与电磁感应场互相对偶，可以得到描述电荷在介质中的行为的
方程，这是求解电场和磁场的方程之一、同样地，在量子物理学和相对论中，双对偶原则也有重要的应用。
在计算机科学中，双对偶原则可以用于计算机网络、控制系统等方面
的研究。
例如，在计算机网络中，双对偶原则可用于描述网络拓扑结构。
在计算机视觉和模式识别中，双对偶原则可以用来研究计算机图形的特征
和识别模式。
总之，双对偶原则是一种非常有用的对称性原理，可在数学、物理、
计算机科学等领域中被广泛应用。
它可以帮助我们理解物理现象中的对称
性和规律性，并且在某些情况下可以为学科研究提供新的思路和方法。
2.9电路的对偶性
U=0 I=0
分析方法 网孔法 节点法 对偶结构 串联 并联
网孔 节点
对偶状态 开路
Y 短路
对偶元件 对偶结论
R
G
L
C
开路电流为零，短路电压为零；
理想电压源不能短路，
理想电流源不能开路；
戴维南定理，诺顿定理；
2.9 电路的对偶性
2.9.2 电路中的对偶原理
电路中某些元素之间 的关系或方程，用它们的 对偶元素量作对应置换后，所得到的新关系或新方 程也一定成立。后者和前者互为对偶。
电路中存在着“两类约束”：元件约束和拓朴约束。 电路中的许多变量、元件、结构及定律都是成对出现的， 并且存在相互类似的一一对应的特性。 在电路中，电路的连接方式（结构）、电路定律、元件、 参数、名词、电路变量及其关系（方程式）都存在互相对偶性 。 这些互相对偶的“内容“成为“对偶因素”。如戴维南电 路与诺顿电路，串联与并联，KCL与KVL，电阻与电导等
节点方程：
(R1+R2) il1- R2 il2 = us1
(G1+G2)un1- G2 un2 = is1
-(R2- rm) il1 +(R2+R3) il2 =0
-(G2 - gm )un1+(G2+G3) un2 = 0
对应元素 网孔电阻阵 CCVS T形
节点导纳阵 VCCS 形
两个电路互为对偶电路。
2.9 电路的对偶性
对偶电路的电路方程是对偶的，由此导出的各种公式和结果 也是对偶的。对应元素互换，两个方程可以彼此转换。例如对图 (a)和(b)电路可导出以下对偶公式
电阻 R 电压源 us 网孔电流 il KVL 串联 网孔
XUEHAO-XINGMING-电路中对偶现象的分析
电路中对偶现象的分析作者姓名：薄** 学号：5********* 班级：F*******摘要：本文通过对对偶电路的阐述、举例和研究，探讨对偶现象在对偶元件、对偶定律中的体现以及对偶原理在电阻电路、动态电路中的应用。
关键词：对偶电路，对偶元件，对偶定律，对偶原理1引言对偶是电路中普遍存在的特性，通过分析电路的对偶特性，更利于把握电路的特性，方便解题过程和研究过程。
同时在研究了一个电路的同时相当于也研究了其对偶电路。
2电路中的对偶现象2.1 对偶元件2.1.1电阻和电导电阻元件的电压与电流的关系是:u(t)=Ri(t)(1)电导元件的电压与电流的关系是:i(t)=Gu(t)(2)如果把电压u与电流i互换，电阻R与电导G互换，上述两式可以彼此转换。
2.1.2电容和电感电容元件与电感元件是对偶元件，任一时刻t电容的端电压u和元件上的电荷q的关系是q(t)=Cu(t); i=C du(3)dt流过电感的电流i和磁通φ的关系是φ(t)=Li(t);u=L di(4)dt电荷q和磁通φ，电压u和电流i是对偶物理量，电容C和电感L是对偶参数。
2.1.3电压源和电流源（包括独立源和受控源）独立电压源和独立电流源：独立电压源对外输出确定时间函数的电压u s(t) ，独立电流源对外输出确定时间函数的电流i s(t)，两者是对偶元件。
受控电压源和受控电流源：电压控制电压源满足u2=μu1(5)电流控制电压源满足u2=ri1(6)电压控制电流源满足i2=gu1(7)电流控制电流源满足i2=βi1(8)其中，u1和i1是控制量，μ和β，r和g是对偶参数。
2.2 对偶定律2.2.1基尔霍夫电流定律和电压定律：基尔霍夫电流定律(KCL)：对任一集中参数电路中的任一节点，在任一时刻，流出（或流入）该节点的所有支路电流的代数和等于零。
对于一个节点有：i1+i2+···+i n=i (9)基尔霍夫电压定律(KVL)：对于任意一个集中参数电路中的任意一个回路，在任何时刻，沿该回路的所有支路电压代数和等于零。