奥数中的数图形个数
四年级奥数第二讲图形的计数问题含答案
四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。
练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。
四年级奥数思维训练专题-数数图形
四年级奥数思维训练专题-数数图形专题简析：当线段、角、三角形、长方形等图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形.要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，必须注意以下几点：1，弄清被数图形的特征和变化规律.2，要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏.例1：数一数下图中共有多少个三角形.分析：以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个；以EF上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个.所以图中共有6×2=12个三角形.试一试1：数一数下面各图中各有多少个三角形.（）个三角形（）个三角形例2：数一数下图中有多少个长方形.·分析：数长方形与数线段的方法类似.可以这样思考，图中的长方形的个数取决于AB或CD边上的线段，AB边上的线段条数是1+2+3=6条，所以图中有6个长方形.试一试2：数一数下面各图中分别有多少个长方形.（）个长方形数数图形（二）专题简析：“数图形”时，既可以逐个计数，也可以把图形分成若干个部分，先对每部分按照各自构成的规律数出图形的个数，再把他们的个数合起来.例1：数一数下图中有多少个长方形？分析：AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边上的每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有6×3=18个长方形.即：长边线段数×宽边线段数=长方形的个数试一试1：数一数，下图中有( )个长方形.例2：数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）分析：图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个.所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个.经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n.试一试2：数一数下图中有（）个正方形.（每个小方格为边长是1的小正方形）例3：数一数右图中有多少个正方形？(其中每个小方格都是边长为1个长度单位的正方形)分析：边长是1个长度单位的正方形有6×4=24个；边长是2个长度单位的正方形有（6－1）×（4－1）=15个；边长是3个长度单位的正方形有（6－2）×（4－2）=8个；边长是4个长度单位的正方形有（6－3）×（4－3）=3个；共有：24＋15＋8＋3=50个.如果一个长方形的长被分成m等份，宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为：mn+(m－1)(n－1)＋(m －2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)·1试一试3：数一数下图中有( )个正方形.。
三年级奥数数三角形的个数
三年级奥数数三角形的个数
在三年级奥数中，数三角形的个数一般是通过数学方法进行分析和计算的，而不是直接统计。
下面是一种常见的数三角形的方法：
1. 给定一个三角形，可以用顶点或边长来表示。
假设三角形的三个顶点分别为A、B、C。
2. 遍历三年级数学教材中相关知识点，并找到关于三角形的特征、性质和分类等概念，例如等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
3. 根据不同分类的三角形特征，进行计算。
例如，如果要计算所有的等边三角形个数，可以遍历所有的三个顶点，以其中任意两个不同顶点作为等边三角形的两个顶点，然后找到剩下的一个顶点，从而确定一个等边三角形。
4. 统计不同分类的三角形个数，最终得到所有三角形的总个数。
需要注意的是，3年级奥数通常不会涉及过于复杂的三角形计算，而是从简单的几何图形开始，让学生对几何图形的特征有一个初步的了解和认识。
3年级奥数-数数图形(教师版)
数数图形教学目标认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形；学会数基本图形的个数；掌握数图形的规律。
知识梳理一、学会数图形同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
当我们识了线段、角、三角形、长方形等基本图形后，这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。
二、解题策略要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
典例分析考点一：基本图形例1、数出下图中有多少条线段？【解析】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。
以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD2条；以C点为左端点的线段有：CD1条。
所以，图中共有线段3+2+1=6(条)。
方法二：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD2条；由3条基本线段构成的线段有：AD1条。
所以，图中一共有3+2+1=6(条)线段。
例2、数出图中有几个角？【解析】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD3个；以OB为一边的角还有：∠BOC、∠BOD2个；以OC为一边的角还有：∠COD1个。
所以，图中共有角3+2+1=6(个)。
方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD3个；由2个基本角构成的角有:∠AOC、∠BOD2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD1个。
三年级奥数《数数图形》
第二讲：数【2 】数图形
常识要点：同窗们,在数图形时,必定要按次序细心数,假如给图形编个号,如许数起来就更便利,不会反复,也不会漏掉.
例【1】下图中有若干条线段？
A B C D E
教室反馈【1】下图中有若干条线段？
例【2】下面图形中有几个角？
O D
C
B
A
教室反馈【2】下面图形中有几个角？例【3】下图中共有若干个三角形？
A B C D E F
A
B C D E
教室反馈【3】数一数图中共有若干个三角形？
例【4】如下图,数一数各图中包含的长方形个数？
教室反馈【4】如下图,数一数各图中包含的长方形个数？例【5】下图中有若干个正方形？
教室反馈【5】下图中有若干个正方形？
课后功课
1.数一数下图中共有若干条线段？
2.数出下图中锐角的个数？
3.数一数下图中共有若干个三角形？
4.数一数下图中一共有若干个长方形？
5.数一数下图中一共有若干个正方形？。
小学奥数-数数图形
例题：下面图形中有多少正方形？
难度： 适用范围：小学三年级及以上
题目解析：
采用分类数的方法，仔细数，不要遗漏。
题目
类数的方法，
首先确定正方形的类型，一共上面3种，分别数这3种 正方形的个数，按照一定的顺序数，仔细数☺。
3 × 6 = 18 (个) 5 × 2 = 10 (个)
4 × 1 = 4 (个) 合计：18 + 10 + 4 = 32（个）
题目解析：
难度： 适用范围：小学三年级及以上
A
E
F
G
B
J
M
I
D
C
题目
像 AFG一样的三角形有5个。 像 ABF一样的三角形有10个。 像 ABG一样的三角形有5个。 像 ABE一样的三角形有5个。 像 ACD一样的三角形有5个。
图中共有： 5+10+5+5+5+5=35（个） 三角形。
像 A MD一样的三角形有5个。
数数图形（五）
例题：数一数图中共有多少个三角形？
题目解析： 最小的小三角形有16个。
难度： 适用范围：小学三年级及以上
两个小三角形拼接成的三角形有10个。 图中共有
16 +10 + 8+ 2 =36(个）
题目
四个小三角形拼接成的三角形有8个。 三角形。
八个小三角形拼接成的三角形有2个。
数数图形（四）
数数图形（二）
例题：下面图形中有多少个三角形？
题目解析：
继续采用分类数的方法
小三角形共5个。
难度： 适用范围：小学三年级及以上
两个小三角形组成的三角形共6个。
题目
奥数-数图形个数
练习1：
“（1）数出下图中有多少条线段？
AB
CD E
（2）数出下图中有几个长方形？
”
A
【例题2】数出图中有几个角？
B
O
C
D
方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、 ∠AOD 3个；以OB为一边的角还有： ∠BOC、∠BOD 2个；以OC为一边的角还有：∠COD 1 个。所以，图中共有角3+2+1=6（个）。
图形个数
一、知识要点
• 同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏
“地 数 出 线 段 、 角 、 三 角 形 、 长 方 形 … … 那 就 必 须 要 有 次 序 、 有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
” • 要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先 要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再 数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
方法三：我们发现，要数出图中三角形的个 数，只需数出线段 AD中包含几条线段就可以了，即 3+2+1=6（个）。所以图中共有6个三角形。
练习3：
·
数出图中共有多少个三角形？
（1）
A
（2）
B CD E F
A K
GH I G B CD E F
A
B
【例题4】数出右图中有多少个长方形？ C
D
【思路导航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法
方法二：把图中三角形 △PAB、△PBC、 △PCD看做基本三角形来数，那么，由1个基本三角形构 成的三角形有：△PAB、△PBC、△PCD 3个；由2个基 本三角形构成的三角形有: △PAC、△PBD 2个；由3个 基本三角形构成的三角形有：△PAD 1个。
人教版四年级数学奥数 数数图形(课件)(共20张PPT)
【例题1】数一数下图中有多少个锐角。
【思路导航】 数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点， 因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得： 1+2+3+4=10（个）.
【例题2】 数一数下图中有多少个长方形？
【思路导航】 图中的AB边上有线段1+2+3=6条，把AB边上的每一条线段作为长，AD边பைடு நூலகம்的
第12讲 数数图形
小学奥数 四年级
同学们对于图形肯定不陌生，但数学中经常会出现这样的题目： （1）下图中共有几条线段？ （2）下图中共有几个长方形？
要正确解答这类问题，就要做到数图形时不重复、不遗漏。这就需要 我们按照一定的顺序去数，并找出它的规律，巧妙地数出图形的个数。数 图形的方法一般有两种：按顺序数和分类数。今天就让我们用数学的方法 巧妙地数图形吧！
实践与应用
【练习5】 P94 数一数，下图中共有多少个长方形？
同学们，图形世界是不是非赏精彩呢？数学的魅力就在于千变万化的图形和数字。通过 这一进，我们对图形有了更深的认识，遇到数图形的问题也能有序、严密地思索，关于数 图形，我们来总结一些最基本的方法吧。
（1）数线段。假设端点有n个（n是整数），那么线段的总条数就是从比n小1的数开始， 一直加到1。
每一条线段作为宽，每一个长配一个宽，就组成一个长方形，所以，图中共有 6×3=18个长方形。 数长方形可以用下面的公式：长边上的线段×短边上的线段=长方形的个数
【例题3】数一数下图中有多少个正方形？（其中每个小方格都是边长为1个 长度单位的正方形）
【思路导航】 边长是1个长度单位的正方形有3×2=6个，边长是2个长度单位的正方形有 2×1=2个。所以，图中正方形的总数为：6+2=8个。 经进一步分析可以发现，一般情况下，如果一个长方形的长被分成m等份， 宽被分成n等份（长和宽的每一份都是相等的）那么正方形的总数为： mn+(m－1)(n－1)＋(m－2)(n－2)＋…＋(m－n＋1)n.
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奥数中的数图形个数 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
第三讲数数与计数（二）
例1 数一数，图3－1中共有多少点
解：（1）方法1：如图3－2所示从上往下一层一层数：第一层 1个
第二层 2个
第三层 3个
第四层 4个
第五层 5个
第六层 6个
第七层 7个
第八层 8个
第九层 9个
第十层 10个
第十一层 9个
第十二层 8个
第十三层 7个
第十四层 6个
第十五层 5个
第十六层 4个
第十七层 3个
第十八层 2个
第十九层 1个
总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1
=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+（9+8+7+6+5+4+3+2+1）
=55+45=100（利用已学过的知识计算）.
（2）方法2：如图3－3所示：从上往下，沿折线数
第一层 1个
第二层 3个
第三层 5个
第四层 7个
第五层 9个
第六层 11个
第七层 13个
第八层 15个
第九层 17个
第十层 19个
总数：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100（利用已学过的知识计算）.
（3）方法3：把点群的整体转个角度，成为如图3－4所示的样子，变成为10行10列的点阵.显然点的总数为10×10=100（个）.
想一想：
①数数与计数，有时有不同的方法，需要多动脑筋.
②由方法1和方法3得出下式：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10
即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想：
1=1×1
1+2+1=2×2
1+2+3+2+1=3×3
1+2+3+4+3+2+1=4×4
1+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×6
1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×7
1+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8
1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×9
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10×10这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.
同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律.
③由方法2和方法3也可以得出下式：
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.
即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想：
1+3=2×2
1+3+5=3×3
1+3+5+7=4×4
1+3+5+7+9=5×5
1+3+5+7+9+11=6×6
1+3+5+7+9+11+13=7×7
1+3+5+7+9+11+13+15=8×8
1+3+5+7+9+11+13+15+17=9×9
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10
还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律.
例2 数一数，图3－5中有多少条线段
解：（1）我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有：
AB AC AD AE AF 5条.
以B点为共同左端点的线段有：
BC BD BE BF 4条.
以C点为共同左端点的线段有：
CD CE CF 3条.
以D点为共同左端点的线段有：
DE DF 2条.
以E点为共同左端点的线段有：
EF1条.
总数5+4+3+2+1=15条.
（2）用图示法更为直观明了.见图3－6.
总数5+4+3+2+1=15（条）.
想一想：①由例2可知，一条大线段上有六个点，就有：总数=5+4+3+2+1条线段.由此猜想如下规律（见图3－7）：
还可以一直做下去.总之，线段总条线是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比总数小1.我们又发现了一条规律.它说明了点数与线段总数之间的关系.
②上面的事实也可以这样说：如果把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么一条大线段上的基本线段数和线段总条数之间的关系是：
线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见图3－8）.基本线段数线段总条数
还可以一直写下去，同学们可以自己试试看.
例3 数一数，图3－9中共有多少个锐角
解：（1）我们知道，图中任意两条从O点发出的射线都组成一个锐角.
所以，以OA边为公共边的锐角有：
∠LAOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE，
∠AOF共5个.
以OB边为公共边的锐角有：∠BOC，∠BOD，∠BOE，∠BOF共4个.
以OC边为公共边的锐角有：∠COD，∠COE，∠COF共3个.以OD边为公共边的锐角有：∠DOE，∠DOF共2个.以OE边为一边的锐角有：∠EOF只1个.
锐角总数5+4+3+2+1＝15（个）.
②用图示法更为直观明了：如图3－10所示，锐角总数为：5+4+3+2+1=15（个）.
想一想：①由例3可知：由一点发出的六条射线，组成的锐角的总数
=5+4+3+2+1（个），由此猜想出如下规律：（见图3－11～15）
两条射线1个角（见图3－11）
三条射线2+1个角（见图3－12）
四条射线3+2+1个角（见图3－13）
五条射线4+3+2+1个角（见图3－14）
六条射线5+4+3+2+1个角（见图3－15）
总之，角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比射线数小1.
②同样，也可以这样想：如果把相邻两条射线构成的角叫做基本角，那么有共同顶点的基本角和角的总数之间的关系是：
角的总数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本角个数.
③注意，例2和例3的情况极其相似.虽然例2是关于线段的，例3是关于角的，但求总数时，它们有同样的数学表达式.同学们可以看出，一个数学式子可以表达表面上完全不同的事物中的数量关系，这就是数学的魔力.
习题三
1.书库里把书如图3－16所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本
2.图3－17所示是一个跳棋盘，请你数一数，这个跳棋盘上共有多少个棋孔
3.数一数，图3－18中有多少条线段
4.数一数，图3－19中有多少锐角
5.数一数，图3－20中有多少个三角形
6.数一数，图3－21中有多少正方形
习题三解答
1.解：方法1：从左往右一摞一摞地数，再相加求和：
10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10
=135（本）.
方法2：把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成.
长方形中的书 10×11=110
三角形中的书 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25
总数：110+25=135（本）.
2.解：因为棋孔较多，应找出排列规律，以便于计数.
仔细观察可知，图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律是（从上往下数）：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1，2，3，4，所以棋孔总数是：
（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13）+（1+2+3+4）×3=91+10×3=121（个）.
3.解：方法1：按图3－22所示方法数（图中只画出了一部分）
线段总数：7+6+5+4+3+2+1=28（条）.
方法2：基本线段共7条，所以线段总数是：
7+6+5+4+3+2+1=28（条）.
4.解：按图3－23的方法数：
角的总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.
5.解：方法1：（1）三角形是由三条边构成的图形.
以OA边为左公共边构成的三角形有：△OAB，△OAC，△OAD，△OAE，△OAF，△OAG，△OAH，共7个；
以OB边为左公共边构成的三角形有：△OBC，△OBD，△OBE，△OBF，△OBG，△OBH，共6个；
以OC边为左公共边构成的三角形有：△OCD，△OCE，△OCF，△OCG，△OCH，共5个；
以OD边为左公共边构成的三角形有：△ODE，△ODF，△ODG，△ODH，共4个；
以OE边为左公共边构成的三角形有：△OEF，△OEG，△OEH，共3个；
以OF边为左公共边构成的三角形有：△OFG，△OFH，共2个；
以OG边和OH，GH两边构成的三角形仅有：△OGH1个；
三角形总数：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.
（2）方法2：显然底边AH上的每一条线段对应着一个三角形，而基本线段是7条，所以三角形总数为：7+6+5+4+3+2+1=28（个）.
6.解：最小的正方形有25个，
由4个小正方形组成的正方形 16个；
由9个小正方形组成的正方形 9个；
由16个小正方形组成的正方形 4个；
由25个小正方形组成的正方形 1个；
正方形总数：25+16+9+4+1=55个.。