一元二次方程根的判别式根与系数之间的关系练习题

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专题02 根的判别式与根与系数的关系(30题)(原卷版)

专题02 根的判别式与根与系数的关系(30题)(原卷版)

专题第2讲根的判别式与根与系数的关系(30题)1.(2023•南岗区校级开学)关于x的一元二次方程x2+(m﹣2)x﹣3=0的根的情况为()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定根的情况2.(2023•朝阳)若关于x的一元二次方程(k﹣1)x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是()A.k>且k≠1B.k>C.k≥且k≠1D.k≥3.(2023春•永兴县校级期末)已知关于x的方程(k﹣1)x2有两个实数解,求k的取值范围()A.k≤B.k≤且k≠1C.0≤k≤D.0≤且k≠14.(2022秋•信都区校级期末)关于x的一元二次方程4x2+(4m+1)x+m2=0有实数根,则m的最小整数值为()A.1B.0C.﹣1D.﹣25.(2023春•承德县月考)已知关于x的方程2mx2﹣nx+2=0(m≠0)的一个解为x=﹣3,则关于x的方程2mx2+nx+2=0(m≠0)根的情况是()A.不存在实数根B.有两个实数根C.有两个不相等的实数根D.不确定6.(2023•广州)已知关于x的方程x2﹣(2k﹣2)x+k2﹣1=0有两个实数根,则的化简结果是()A.﹣1B.1C.﹣1﹣2k D.2k﹣37.(2023•雁塔区校级开学)已知m、n是方程x2﹣x﹣2=0的两根,则=.8.(2023春•巴东县期中)已知a,b是关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个实数根,则(a+2)2+b 的值为()A.B.5C.2D.﹣29.(2023春•江岸区校级月考)设α、β是方程x2+2019x﹣2=0的两根,则(α2+2022α﹣1)(β2+2022β﹣1)的值为()A.6076B.﹣6074C.6040D.﹣604010.(2022秋•迁安市期末)关于x的方程2x2+6x﹣7=0的两根分别为x1,x2,则x1+x2的值为()A.3B.﹣3C.D.11.(2023•丹徒区二模)若m,n是一元二次方程x2+4x﹣9=0的两个根,则m2+5m+n的值是()A.4B.5C.6D.1212.(2023•东胜区模拟)已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣4=0的两个实数根,则的值为()A.﹣10B.﹣7C.﹣5D.313.(2023•崇川区校级开学)已知关于x的方程x2+2mx+m2﹣2=0.(1)试说明:无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程有一个根为3,求2m2+12m+2053的值.14.(2023•海淀区校级开学)已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2=0.(1)求证:不论m为何值,该方程总有两个实数根;(2)若x=1是该方程的根,求代数式(m﹣2)2+3的值.15.(2023•南岗区校级开学)阅读材料:材料1:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2;则x1+x2=﹣,x1•x2=;材料2:已知一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.解:∵一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根分别为m,n;∴m+n=1,mn=﹣1;则m2n+mm2=mn(m+n)=﹣1×1=﹣1.根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:(1)材料理解:一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两个根为x1,x2,则x1+x2=,x1•x2=;(2)类比应用:已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两根分别为m、n,求+的值.16.(2023•晋江市校级开学)已知a,b是方程x2+3x﹣2=0的两个不相等的实根,求下列各式的值:①a2+b2;②;③a3+3a2+2b.17.(2022秋•玉泉区校级期末)已知关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2﹣2=0有实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)当m=1时,方程的根为x1,x2,求代数式的值.18.(2023春•招远市期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣m=3的两个实数根为x1,x2,且x1>x2.(1)求m的取值范围;(2)若m取负整数,求x1﹣3x2的值;(3)若该方程的两个实数根的平方和为18,求m的值.19.(2023•襄阳模拟)已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1=0有x1,x2两实数根.(1)求m的取值范围;(2)是否存在实数m,满足(x1﹣1)(x2﹣1)=﹣?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.20.(2023•襄州区模拟)已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5=0有两个实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)若x1,x2是该方程的两个根,且满足x1x2+x1+x2=m2+6,求m的值.21.(2022秋•惠安县期末)关于x的一元二次方程x2+(m﹣1)x﹣m=0.(1)不解方程,判断该方程的根的情况;(2)设x1,x2是方程的两根,其中有一根不大于0,若y=x1•x2﹣m+2,求y的最大值.22.(2023春•镇海区期末)定义:若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足b=ac.则称此方程为“蛟龙”方程.(1)当b<0时,判断此时“蛟龙”方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的情况,并说明理由.(2)若“蛟龙”方程2x2+mx+n=0 有两个相等的实数根,请解出此方程.23.(2023•汝南县一模)阅读材料:材料1:若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则,;材料2:已知一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值.解:∵一元二次方程x2﹣x﹣1=0的两个实数根分别为m,n,∴m+n=1,mn=﹣1,则m2n+mm2=mn(m+n)=﹣1×1=﹣1根据上述材料,结合你所学的知识,完成下列问题:(1)材料理解:一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两个根为x1,x2,则x1+x2=,x1x2=;(2)类比应用:已知一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两根分别为m、n,求的值;(3)思维拓展:已知实数s、t满足2s2﹣3s﹣1=0,2t2﹣3t﹣1=0,且s≠t,求的值.24.(2023春•文登区期中)已知x1,x2是方程的两个根.求:(1);(2).25.(2023•枣阳市二模)关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2=0有两个不相等实数根x1和x2.(1)求实数m的取值范围;(2)当x1•x2﹣x1﹣x2=0时,求m的值.26.(2023春•绍兴期中)已知有关于x的一元二次方程(k+1)x2﹣(3k+1)x+2k=0.(1)求k的取值范围,并判断该一元二次方程根的情况;(2)若方程有一个根为﹣2,求k的值及方程的另一个根;(3)若方程的一个根是另一个根3倍,求k的值.27.(2023春•青冈县期末)已知关于x的一元二次方程x2+(2k﹣1)x﹣k﹣1=0.(1)求证:无论k取何值,此方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程有两个实数根x1、x2,且x1+x2﹣4x1x2=2,求k的值.28.(2022秋•惠城区校级期末)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+4k﹣3=0.(1)求证:无论k取什么实数值,该方程总有两个不相等的实数根;(2)当一矩形ABCD的对角线长为AC=,且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时,求矩形ABCD的周长.29.(2023春•肇源县月考)已知关于x的方程x2+2x+m=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围.(2)若两个实数根分别是x1,x2,且(x1x2﹣1)2+2(x1+x2)=0,求m的值.30.(2023春•萧山区月考)已知关于x的方程(m2﹣4m+5)x2﹣4x+n=0.(1)圆圆说:该方程一定为一元二次方程.圆圆的结论正确吗?请说明理由.(2)当m=2时;①若该方程有实数解,求n的取值范围;②若该方程的两个实数解分别为x1和x2,满足,求n的值.。

判别式及根与系数关系练习题

判别式及根与系数关系练习题

一元二次方程根的判别式1.如果关于x的一元二次方程2x(ax-4)-x2+6=0没有实数根,那么a的最小整数值是2.已知一元二次方程x2-6x+5-k=0的根的判别式∆=4,则这个方程的根为。

3.若关于x的方程x2-2(k+1)x+k2-1=0有实数根,则k的取值范围是()A.k≥-1B.k>-1C.k≤-1D.k<-14.不解方程,判断下列关于x的方程根的情况:(k2+1)x2-2kx+(k2+4)=05.已知:a>0,b>a+c,判断关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况。

6.m为何值时,方程2(m+1)x2+4mx+2m-1=0。

(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个实数根;(3)有两个相等的实数根;(4)无实数根。

7.已知关于x的一元二次方程)0(05622≠=+-pqpxx(p≠0)有两个相等的实数根,试证明关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根。

根与系数的关系1.方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和-4,那么m =,n =.2.若两数和为3,两数积为-4,则这两数分别为.3.以23+和23-为根的一元二次方程是.4.若方程062=+-m x x 的一个根是23-,则另一根是,m 的值是.5.若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数,则k =,若两根互为倒数,则k =.6.下列方程中,两个实数根之和为2的一元二次方程是()(A)0322=-+x x (B)0322=+-x x (C)0322=--x x (D)0322=++x x 7.若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数,则a 的值是()(A)5或-2(B)5(C)-2(D)-5或28.已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ,且1x >2x ,求下列各式的值:(1)2212x x +=;(2)2111x x +=;(3)=-221)(x x ;(4))1)(1(21++x x =.(5)那么=++1221221x x x x ()9.关于x 的方程04)2(222=++-+m x m x 有两个实数根,且这两根平方和比两根积大21.求m 的值.10.已知方程032=--m x x 的两根之差的平方是7,求m 的值.11.若关于x 的方程03)2(2=---+m x m x 两根的平方和是9.求m 的值.12.已知方程m x x 322+-=0,若两根之差为-4,求m 的值.13.已知方程0)54(22=+--+m x m m x 的两根互为相反数,求m 的值.14.关于x 的方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实数根之和等于两实数根的倒数和,求m 的值.15.已知12,x x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根.(1)是否存在实数k ,使12123(2)(2)2x x x x --=-成立?若存在,求出k 的值;若不存在,请您说明理由.(2)求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值.。

根与系数的关系练习题

根与系数的关系练习题

一元二次方程根与系数的关系习题主编:闫老师准备知识回顾:1、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为)04(2422≥--±-=ac b aac b b x ; 2、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式为:ac b 42-=∆(1) 当0>∆时,方程有两个不相等的实数根;(2) 当0=∆时,方程有两个相等的实数根;(3) 当0<∆时,方程没有实数根;反之:方程有两个不相等的实数根,则 ;方程有两个相等的实数根,则 ;方程没有实数根,则 ;韦达定理相关知识1若一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个实数根21x x 和,那么=+21x x ,=•21x x ;我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系,简称韦达定理;2、如果一元二次方程02=++q px x 的两个根是21x x 和,则=+21x x ,=•21x x ;3、以21x x 和为根的一元二次方程二次项系数为1是0)(21212=•++-x x x x x x4、在一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中,有一根为0,则=c ;有一根为1,则=++c b a ;有一根为1-,则=+-c b a ;若两根互为倒数,则=c ;若两根互为相反数,则=b ;5、二次三项式的因式分解公式法在分解二次三项式c bx ax ++2的因式时,如果可用公式求出方程 )0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 和,那么))((212x x x x a c bx ax --=++.如果方程)0(02≠=++a c bx ax 无根,则此二次三项式c bx ax ++2不能分解.基础运用例1:已知方程02)1(32=+--x k x 的一个根是1,则另一个根是 ,=k ;解:变式训练:1、已知1-=x 是方程0232=++k x x 的一个根,则另一根和k 的值分别是多少2、方程062=--kx x 的两个根都是整数,则k 的值是多少例2:设21x x 和是方程03422=-+x x ,的两个根,利用根与系数关系求下列各式的值:12221x x + 2)1)(1(21++x x 32111x x + 4221)(x x - 变式训练:1、已知关于x 的方程01032=+-k x x 有实数根,求满足下列条件的k 值:1有两个实数根; 2有两个正实数根; 3有一个正数根和一个负数根; 4两个根都小于2;2、已知关于x 的方程022=+-a ax x ;1求证:方程必有两个不相等的实数根;2a 取何值时,方程有两个正根;3a 取何值时,方程有两异号根,且负根绝对值较大;4a 取何值时,方程到少有一根为零选用例题:例3:已知方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之比为1:2,判别式的值为1,则ba 与是多少例4、已知关于x 的方程05)2(222=-+++m x m x 有两个实数根,并且这两个根的平方和比两个根的积大16,求m 的值;例5、若方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同,求m 的值;基础训练:1.关于x 的方程0122=+-x ax 中,如果0<a ,那么根的情况是A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 不能确定2.设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根,则2221x x +的值是A15 B12 C6 D33.下列方程中,有两个相等的实数根的是(A ) 2y 2+5=6yBx 2+5=2错误!xC 错误!x 2-错误!x+2=0D3x 2-2错误!x+1=04.以方程x 2+2x -3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是(A ) y 2+5y -6=0 By 2+5y +6=0 Cy 2-5y +6=0 Dy 2-5y -6=05.如果x 1,x 2是两个不相等实数,且满足x 12-2x 1=1,x 22-2x 2=1,那么x 1·x 2等于A2 B -2 C1 D -16.关于x 的方程ax 2-2x +1=0中,如果a<0,那么根的情况是A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 不能确定7.设x 1,x 2是方程2x 2-6x +3=0的两根,则x 12+x 22的值是A15 B12 C6 D38.如果一元二次方程x 2+4x +k 2=0有两个相等的实数根,那么k =9.如果关于x的方程2x2-4k+1x+2 k2-1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是10.已知x1,x2是方程2x2-7x+4=0的两根,则x1+x2= ,x1·x2= ,x1-x22=11.若关于x的方程m2-2x2-m-2x+1=0的两个根互为倒数,则m= .二、能力训练:1、不解方程,判别下列方程根的情况:1x2-x=5 29x2-6错误!+2=0 3x2-x+2=02、当m= 时,方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根;当m= 时,方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根;3、已知关于x的方程10x2-m+3x+m-7=0,若有一个根为0,则m= , 这时方程的另一个根是;若两根之和为-错误!,则m= ,这时方程的两个根为 .4、已知3-错误!是方程x2+mx+7=0的一个根,求另一个根及m的值;5、求证:方程m2+1x2-2mx+m2+4=0没有实数根;6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1-错误!和1+错误!;7、设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两根,利用根与系数关系求下列各式的值:1 x1+1x2+1 2错误!+ 错误!3x12+ x1x2+2 x18、如果x2-2m+1x+m2+5是一个完全平方式,则m= ;9、方程2xmx-4=x2-6没有实数根,则最小的整数m= ;10、已知方程2x-1x-3m=xm-4两根的和与两根的积相等,则m= ;11、设关于x的方程x2-6x+k=0的两根是m和n,且3m+2n=20,则k值为 ;12、设方程4x2-7x+3=0的两根为x1,x2,不解方程,求下列各式的值:1 x12+x22 2x1-x2321xx 4x1x22+错误!x113、实数s、t分别满足方程19s2+99s+1=0和且19+99t+t2=0求代数式错误!的值;14、已知a 是实数,且方程x 2+2ax+1=0有两个不相等的实根,试判别方程x 2+2ax+1-错误!a 2x 2-a 2-1=0有无实根15、求证:不论k 为何实数,关于x 的式子x -1x -2-k 2都可以分解成两个一次因式的积;16、实数K 在什么范围取值时,方程0)1()1(22=---+k x k kx 有实数正根训练一1、不解方程,请判别下列方程根的情况;12t 2+3t -4=0, ; 216x 2+9=24x, ;35u 2+1-7u=0, ;2、若方程x 2-2m -1x+m 2+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ;3、一元二次方程x 2+px+q=0两个根分别是2+错误!和2-错误!,则p= ,q= ;4、已知方程3x 2-19x+m=0的一个根是1,那么它的另一个根是 ,m= ;5、若方程x 2+mx -1=0的两个实数根互为相反数,那么m 的值是 ;6、m,n 是关于x 的方程x 2-2m-1x+m 2+1=0的两个实数根,则代数式 m n = ;7、已知关于x 的方程x 2-k+1x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k 的值;8、如果α和β是方程2x 2+3x -1=0的两个根,利用根与系数关系,求作一个一 元二次方程,使它的两个根分别等于α+错误!和β+错误!;9、已知a,b,c 是三角形的三边长,且方程a 2+b 2+c 2x 2+2a+b+cx+3=0有两个相 等的实数根,求证:这个三角形是正三角形10.取什么实数时,二次三项式2x 2-4k+1x+2k 2-1可因式分解.11.已知关于X 的一元二次方程m2x2+23-mx+1=0的两实数根为α,β,若s=错误!+错误!,求s的取值范围;训练二1、已知方程x 2-3x+1=0的两个根为α,β,则α+β= , αβ= ;2、如果关于x 的方程x 2-4x+m=0与x 2-x -2m=0有一个根相同,则m 的值为 ;3、已知方程2x 2-3x+k=0的两根之差为2错误!,则k= ;4、若方程x 2+a 2-2x -3=0的两根是1和-3,则a= ;5、方程4x 2-2a-bx -ab=0的根的判别式的值是 ;6、若关于x 的方程x 2+2m -1x+4m 2=0有两个实数根,且这两个根互为倒数,那么m 的值为 ;7、已知p<0,q<0,则一元二次方程x 2+px+q=0的根的情况是 ;8、以方程x 2-3x -1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是 ;9、设x 1,x 2是方程2x 2-6x+3=0的两个根,求下列各式的值:1x 12x 2+x 1x 22 2 错误!-错误!10.m 取什么值时,方程2x 2-4m+1x+2m 2-1=0(1)有两个不相等的实数根,2有两个相等的实数根,3没有实数根;11.设方程x 2+px+q=0两根之比为1:2,根的判别式Δ=1,求p,q 的值;12.是否存在实数k ,使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实根21,x x ,满足21x x =错误!,如果存在,试求出所有满足条件的k 的值,如果不存在,请说明理由; 一元二次方程根与系数关系专题训练主编:闫老师1、如果方程ax 2+bx+c=0a ≠0的两根是x 1、x 2,那么x 1+x 2= ,x 1·x 2= ;2、已知x 1、x 2是方程2x 2+3x -4=0的两个根,那么:x 1+x 2= ;x 1·x 2= ;2111x x + ;x 21+x 22= ;x 1+1x 2+1= ;|x 1-x 2|= ;3、以2和3为根的一元二次方程二次项系数为1是 ;4、如果关于x 的一元二次方程x 2+2x+a=0的一个根是1-2,那么另一个根是 ,a 的值为 ;5、如果关于x 的方程x 2+6x+k=0的两根差为2,那么k= ;6、已知方程2x 2+mx -4=0两根的绝对值相等,则m= ;7、一元二次方程px 2+qx+r=0p ≠0的两根为0和-1,则q ∶p= ;8、已知方程x 2-mx+2=0的两根互为相反数,则m= ;9、已知关于x 的一元二次方程a 2-1x 2-a+1x+1=0两根互为倒数,则a= ;10、已知关于x 的一元二次方程mx 2-4x -6=0的两根为x 1和x 2,且x 1+x 2=-2,则m= ,x 1+x 221x x ⋅= ;11、已知方程3x 2+x -1=0,要使方程两根的平方和为913,那么常数项应改为 ;12、已知一元二次方程的两根之和为5,两根之积为6,则这个方程为 ;13、若α、β为实数且|α+β-3|+2-αβ2=0,则以α、β为根的一元二次方程为 ;其中二次项系数为114、已知关于x 的一元二次方程x 2-2m -1x+m 2=0;若方程的两根互为倒数,则m= ;若方程两根之和与两根积互为相反数,则m= ;15、已知方程x 2+4x -2m=0的一个根α比另一个根β小4,则α= ;β= ;m= ;16、已知关于x 的方程x 2-3x+k=0的两根立方和为0,则k=17、已知关于x 的方程x 2-3mx+2m -1=0的两根为x 1、x 2,且43x 1x 121-=+,则m= ;18、关于x 的方程2x 2-3x+m=0,当 时,方程有两个正数根;当m时,方程有一个正根,一个负根;当m 时,方程有一个根为0;19、若方程x 2-4x+m=0与x 2-x -2m=0有一个根相同,则m= ;20、求作一个方程,使它的两根分别是方程x 2+3x -2=0两根的二倍,则所求的方程为 ;21、一元二次方程2x 2-3x+1=0的两根与x 2-3x+2=0的两根之间的关系是 ;22、已知方程5x2+mx-10=0的一根是-5,求方程的另一根及m的值;23、已知2+3是x2-4x+k=0的一根,求另一根和k的值;24、证明:如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+B的无理数A、B均为有理数,那么另一个根必是A-B;25、不解方程,判断下列方程根的符号,如果两根异号,试确定是正根还是负根的绝对值大26、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:x31x2+x1x3227、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:28、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:x21-x22229、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:x1-x230、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:31、已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:x51·x22+x21·x5232、求一个一元二次方程,使它的两个根是2+6和2-6;33、已知两数的和等于6,这两数的积是4,求这两数;34、造一个方程,使它的根是方程3x2-7x+2=0的根;1大3;22倍;3相反数;4倒数;35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时,方程的两个实数根满足:1一个根比另一个根大2;2一个根是另一个根的3倍;3两根差的平方是17;36、已知关于x的方程2x2-m-1x+m+1=0的两根满足关系式x1-x2=1,求m的值及两个根;37、α、β是关于x 的方程4x 2-4mx+m 2+4m=0的两个实根,并且满足10091)1)(1(=---βα,求m 的值; 38、已知一元二次方程8x 2-2m+1x+m -7=0,根据下列条件,分别求出m 的值: 1两根互为倒数;2两根互为相反数;3有一根为零;4有一根为1;5两根的平方和为641; 39、已知方程x 2+mx+4=0和x 2-m -2x -16=0有一个相同的根,求m 的值及这个相同的根;40、已知关于x 的二次方程x 2-2a -2x+a 2-5=0有实数根,且两根之积等于两根之和的2倍,求a 的值;41、已知方程x 2+bx+c=0有两个不相等的正实根,两根之差等于3,两根的平方和等于29,求b 、c 的值;42、设:3a 2-6a -11=0,3b 2-6b -11=0且a ≠b,求a 4-b 4的值;43、试确定使x 2+a -bx+a=0的根同时为整数的整数a 的值;44、已知一元二次方程2k -3x 2+4kx+2k -5=0,且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长,求:当k 取何整数时,方程有两个整数根;45、已知:α、β是关于x 的方程x 2+m -2x+1=0的两根,求1+m α+α21+m β+β2的值;46、已知x 1,x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0的两根,x 1+1、x 2+1是关于x 的方程x 2+qx+p=0的两根,求常数p 、q 的值;47、已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2+m 2x+n=0的两个实数根;y 1、y 2是关于y 的方程y 2+5my+7=0的两个实数根,且x 1-y 1=2,x 2-y 2=2,求m 、n 的值;48、关于x 的方程m 2x 2+2m+3x+1=0有两个乘积为1的实根,x 2+2a+mx+2a -m 2+6m -4=0有大于0且小于2的根;求a 的整数值;49、关于x 的一元二次方程3x 2-4m 2-1x+mm+2=0的两实根之和等于两个实根的倒数和,求m 的值;50、已知:α、β是关于x 的二次方程:m -2x 2+2m -4x+m -4=0的两个不等实根; 1若m 为正整数时,求此方程两个实根的平方和的值;2若α2+β2=6时,求m 的值;51、已知关于x 的方程mx 2-nx+2=0两根相等,方程x 2-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍;求证:方程x 2-k+nx+k -m=0一定有实数根;52、关于x 的方程22n 41mx 2x +-=0,其中m 、n 分别是一个等腰三角形的腰长和底边长;1求证:这个方程有两个不相等的实根;2若方程两实根之差的绝对值是8,等腰三角形的面积是12,求这个三角形的周长;53、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+p 2=0有两个实根x 1和x 2x 1≠x 2,在数轴上,表示x 2的点在表示x 1的点的右边,且相距p+1,求p 的值;54、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根为α、β,且两个关于x 的方程x 2+α+1x+β2=0与x 2+β+1x+α2=0有唯一的公共根,求a 、b 、c 的关系式;55、如果关于x 的实系数一元二次方程x 2+2m+3x+m 2+3=0有两个实数根α、β,那么α-12+β-12的最小值是多少56、已知方程2x 2-5mx+3n=0的两根之比为2∶3,方程x 2-2nx+8m=0的两根相等mn ≠0;求证:对任意实数k ,方程mx 2+n+k -1x+k+1=0恒有实数根;57、1方程x 2-3x+m=0的一个根是2,则另一个根是 ;2若关于y 的方程y 2-my+n=0的两个根中只有一个根为0,那么m ,n 应满足 ;58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积x 2+3x+1=0;59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积3x 2-2x -1=0;60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积-2x 2+3=0;61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积2x 2+5x=0;62、已知关于x 的方程2x 2+5x=m 的一个根是-2,求它的另一个根及m 的值;63、已知关于x 的方程3x 2-1=tx 的一个根是-2,求它的另一个根及t 的值;64、设x 1,x 2是方程3x 2-2x -2=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:1x 1-4x 2-4;2x 13x 24+x 14x 23; 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+12213131x x x x ;4x 13+x 23;65、设x 1,x 2是方程2x 2-4x+1=0的两个根,求|x 1-x 2|的值;66、已知方程x 2+mx+12=0的两实根是x 1和x 2,方程x 2-mx+n=0的两实根是x 1+7和x 2+7, 求m 和n 的值;67、以2,-3为根的一元二次方程是 +x+6=0 +x -6=0-x+6=0 -x -6=068、以3,-1为根,且二次项系数为3的一元二次方程是 -2x+3=0 +2x -3=0-6x -9=0 +6x -9=069、两个实数根的和为2的一元二次方程可能是 +2x -3=0 -2x+3=0+2x+3=0 -2x -3=070、以-3,-2为根的一元二次方程为 , 以213-,213+为根的一元二次方程为 , 以5,-5为根的一元二次方程为 ,以4,41为根的一元二次方程为 ; 71、已知两数之和为-7,两数之积为12,求这两个数;72、已知方程2x 2-3x -3=0的两个根分别为a ,b ,利用根与系数的关系,求一个一元二次方程 ,使它的两个根分别是:1a++1 2ba ab 2,273、一个直角三角形的两条直角边长的和为6cm ,面积为27cm 2,求这个直角三角形斜边的长 ;74、在解方程x 2+px+q=0时,小张看错了p ,解得方程的根为1与-3;小王看错了q ,解得方程的根为4与-2;这个方程的根应该是什么75、关于x 的方程x 2-ax -3=0有一个根是1,则a= ,另一个根是 ;76、若分式1322+--x x x 的值为0,则x 的值为 A.-1 B.3 C.-1或3 D.-3或177、若关于y 的一元二次方程y 2+my+n=0的两个实数根互为相反数,则=0且n ≥0 =0且m ≥0C.m=0且n ≤0 =0且m ≤078、已知x 1,x 2是方程2x 2+3x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:12x 1-32x 2-3;2x 13x 2+x 1x 23;79、已知a 2=1-a ,b 2=1-b ,且a ≠b ,求a -1b -1的值;80、如果x=1是方程2x 2-3mx+1=0的一个根,则m= ,另一个根为 ;81、已知m 2+m -4=0,04112=-+n n ,m ,n 为实数,且nm 1≠,则nm 1+= ; 82、两根为3和-5的一元二次方程是-2x -15=0 -2x+15=0+2x -15=0 +2x+15=083、.设x 1,x 2是方程2x 2-2x -1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:1x 12+2x 22+2;22x 1+12x 2+1;3x 1-x 22;84、.已知m ,n 是一元二次方程x 2-2x -5=0的两个实数根,求2m 2+3n 2+2m 的值;85、已知方程x 2+5x -7=0,不解方程,求作一个一元二次方程,使它的两个根分别是已知方 程的两个根的负倒数;86、已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0a ≠0的两根之比为2∶1,求证:2b 2=9ac ;87、.已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+12=0的两根之差为11,求m 的值;88、已知关于y 的方程y 2-2ay -2a -4=0;1证明:不论a 取何值,这个方程总有两个不相等的 实数根;2a 为何值时,方程的两根之差的平方等于1689、已知一元二次方程x 2-10x+21+a=0;1当a 为何值时,方程有一正、一负两个根2此 方程会有两个负根吗为什么90、已知关于x 的方程x 2-2a -1x+4a -1=0的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长,求这个直角三角形的面积;91、已知方程x 2+ax+b=0的两根为x 1,x 2,且4x 1+x 2=0,又知根的判别式∆=25,求a ,b 的值;92、已知一元二次方程8y 2-m+1y+m -5=0;1m 为何值时,方程的一个根为零2m为何值时 ,方程的两个根互为相反数3证明:不存在实数m ,使方程的两个相互为倒数;93、当m 为何值时,方程3x 2+2x+m -8=0:1有两个大于-2的根2有一个根大于-2,另一个 根小于-294、已知2s 2+4s -7=0,7t 2-4t -2=0,s ,t 为实数,且st ≠1;求下列各式的值: 1tst 1+;; 2t s st 323+-; 95、已知x 1,x 2是一元二次方程x 2+m x+n=0的两个实数根,且x 12+x 22+x 1+x 22=3,5222221=+x x ,求m 和n 的值;。

小专题(二) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

小专题(二) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系

小专题(二) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.(金华中考)一元二次方程x 2-3x -2=0的两根为x 1,x 2,则下列结论正确的是(C )A .x 1=-1,x 2=2B .x 1=1,x 2=-2C .x 1+x 2=3D .x 1x 2=22.(桂林中考)若关于x 的一元二次方程(k -1)x 2+4x +1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是(B )A .k<5B .k<5,且k ≠1C .k ≤5,且k ≠1D .k>53.(玉林中考)关于x 的一元二次方程x 2-4x -m 2=0有两个实数根x 1、x 2,则m 2(1x 1+1x 2)=(D ) A .m 44 B .-m 44C .4D .-44.若关于x 的一元二次方程x 2+mx +m 2-3m +3=0的两根互为倒数,则m 的值等于(B )A .1B .2C .1或2D .05.若m 、n 是方程x 2-2 016x +2 017=0的两根,则(m 2-2 017m +2 017)(n 2-2 017n +2 017)的值是2_017.6.(湘潭中考)已知关于x 的一元二次方程x 2-3x +m =0有两个不相等的实数根x 1、x 2.(1)求m 的值;(2)当x 1=1时,求另一个根x 2的值.解:(1)∵一元二次方程x 2-3x +m =0有两个不相等的实数根,∴b 2-4ac =(-3)2-4×1×m =9-4m>0.∴m<94. (2)根据一元二次方程根与系数的关系x 1+x 2=-b a,得1+x 2=3,∴x 2=2.7.设x 1,x 2是关于x 的方程x 2-4x +k +1=0的两个实数根.请问:是否存在实数k ,使得x 1x 2>x 1+x 2成立?试说明理由.解:不存在.理由如下:∵x 1,x 2是关于x 的方程x 2-4x +k +1=0的两个实数根,则b 2-4ac =(-4)2-4×1×(k +1)≥0,即16-4k -4≥0,解得k ≤3.由根与系数关系,得x 1+x 2=4,x 1x 2=k +1.假设存在实数k ,使得x 1x 2>x 1+x 2,则k +1>4,解得k >3.这与k ≤3相矛盾,∴假设不成立.∴不存在实数k ,使得x 1x 2>x 1+x 2成立.8.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m -3)x +m 2=0有两个实数根x 1,x 2.(1)求实数m 的取值范围;(2)若x 1+x 2=6-x 1x 2,求(x 1-x 2)2+3x 1x 2-5的值.解:(1)Δ=(2m -3)2-4m 2=4m 2-12m +9-4m 2=-12m +9,∵方程有两个实数根,∴Δ≥0.∴-12m +9≥0.∴m ≤34. (2)由题意可得x 1+x 2=-(2m -3)=3-2m ,x 1x 2=m 2,又∵x 1+x 2=6-x 1x 2,∴3-2m =6-m 2.∴m 2-2m -3=0.∴m 1=3,m 2=-1.又∵m ≤34,∴m =-1. ∴x 1+x 2=5,x 1x 2=1.∴(x 1-x 2)2+3x 1x 2-5=(x 1+x 2)2-4x 1x 2+3x 1x 2-5=(x 1+x 2)2-x 1x 2-5=52-1-5=19.9.(鄂州中考)关于x 的方程(k -1)x 2+2kx +2=0.(1)求证:无论k 为何值,方程总有实数根;(2)设x 1,x 2是方程(k -1)x 2+2kx +2=0的两个根,记S =x 2x 1+x 1x 2+x 1+x 2,S 的值能为2吗?若能,求出此时k 的值.若不能,请说明理由.解:(1)证明:①当k -1=0,即k =1时,方程为一元一次方程2x +2=0,x =-1,有一个解; ②当k -1≠0,即k ≠1时,方程为一元二次方程.Δ=(2k)2-4×2(k -1)=4k 2-8k +8=4(k -1)2+4>0,方程有两个不等实根.综合①②,得无论k 为何值,方程总有实数根.(2)根据一元二次方程的两个根分别为x 1和x 2,由一元二次方程根与系数的关系,得x 1+x 2=-2k k -1,x 1x 2=2k -1, 又∵S =x 2x 1+x 1x 2+x 1+x 2, ∴S =x 21+x 22x 1x 2+x 1+x 2 =(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2+x 1+x 2 =(-2k k -1)2-4k -12k -1+-2k k -1=2k 2k -1-2+-2k k -1=2k -2.当S =2时,2k -2=2,解得k =2.。

一元二次方程根的判别式、根与系数的关系

一元二次方程根的判别式、根与系数的关系

一元二次方程根的判别式、根与系数的关系知识网络一、2200(0)040ax bx c a b ac∆>⇔⎧++=≠⎪→∆=⇔⎨∆=-⎪∆<⇔⎩有两个不相等的实数根一元二次方程有两个相等的实数根的根的判别式没有实数根 二、12212212121221220(0)00b x x a ax bx c a c x x a x x x x x x x x ax bx c x x x x ⎧+=-⎪⎪++=≠→∆≥→⎨⎪•=⎪⎩+++•=++=--一元二次方程以、为根的一元二次方程:()()()一、选择题1. B 【05资阳】若关于x 的方程x 2+2(k -1)x +k 2=0有实数根,则k 的取值范围是A. 12k <B. 12k ≤C. 12k >D. k ≥122.A 【05杭州】若t 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是:(A)M = (B)M > (C)M < (D)大小关系不能确定3.A 【05嘉兴】已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有实数根,则实数a 的取值范围是( )A.a ≤1B. a<1C. a ≤-1D. a ≥14.D 【05台州】下列关于x 的一元二次方程中,有两个不.相等的实数根的方程是( ) (A )012=+x (B )0122=++x x (C )0322=++x x(D )0322=-+x x5.A 【05台州】若1x 、2x 是一元二次方程0572=+-x x 的两根,则2111x x +的值是( ) (A )57 (B )57- (C )75 (D )75- 6.A 【05温州】已知x 1、x 2是方程x 2-3x +1=0的两个实数根,则1x 1+1x 2的值是()A 、3B 、-3C 、13 D 、17. D 【05武汉】不解方程,判别方程5-7x+5=0的根的情况是( ).(A )有两个相等的实数根 (B )有两个不相等的实数根 (C )只有一个实数根 (D )没有实数根8.C 【05常德】已知方程x 2+(2k+1)x+k 2-2=0的两实根的平方和等于11,k 的取值是( )A .-3或1B .-3C .1D .39.A 【05连云港】满足“两实数根之和等于3”的一个方程是(A )0232=--x x (B )02322=--x x (C )0232=-+x x (D )02322=-+x x 10.B 【05无锡】一元二次方程0322=--x x 的根为( )A 、3,121==x xB 、3,121=-=x xC 、3,121-=-=x xD 、3,121-==x x 11.A 【05泸州】下列方程中,没有实数根的是A .012=++x xB .0122=++x xC .0122=--x xD .022=--x x 12.D 【05枣庄】两个不相等的实数m ,n 满足m 2-6m=4,n 2-6n=4,则mn 的值为( ) (A)6 (B)-6 (C)4 (D)-413.B 【05漳州】关于x 的一元二次方程2x 2x 40--=的两根为12x x 、,那么代数式1211x x +的值为( ) A12 B 12- C 2 D -2 14.B 【05梅州】方程x 2-5x -1=0A 、有两个相等实根B 、有两个不等实根C 、没有实根D 、无法确定15. D 【05东营】两个不相等的实数m ,n 满足462=-m m ,462=-n n ,则mn 的值为(A) 6 (B) -6 (C) 4(D) -416. D 【05厦门】已知:a +b =m ,ab =-4, 化简(a -2)(b -2)的结果是 A. 6 B. 2 m -8 C. 2 m D. -2 m 17.C 【05毕节】方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩,那么方程x 2+a x+b=0( )A .有两个不相等实数根B .有两个相等实数根C .没有实数根D .有两个根为2和318.A 【05泉州】一元二次方程0132=-+x x 的根的情况为( )A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根二、填空题1.【05内江】等腰△ABC 中,BC =8,AB 、AC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根,则m 的值是 16或25 。

根的判别式,根与系数的关系专项训练题

根的判别式,根与系数的关系专项训练题

根的判别式,根与系数的关系一、选择题1.若x1,x2是关于x的方程x2+bx−3b=0的两个根,且x12+x22=7,则b的值为()A. 1B. −7C. 1或−7D. 7或−12.关于x的方程(a−5)x2−4x−1=0有实数根,则a满足()A. a≥1B. a>1且a≠5C. a≥1且a≠5D. a≠53.已知关于x的方程(a−1)x2−2x+1=0有实数根,则a的取值范围是()A. a≤2B. a>2C. a≤2且a≠1D. a<−24.关于x的方程m2x2−8mx+12=0至少有一个正整数解,且m是整数,则满足条件的m的值的个数是()A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.若关于x的一元二次方程(m+1)x2−(m+1)x+2=0有两个相等的实数根,则m的值是()A. 7B. 3C. −1或7D. 任意实数二、填空题6.已知关于x的方程x2+2(a−1)x+a2−7a−4=0的两根为x1、x2,且满足,则a的值为.7.设x1、x2是关于x的方程2x2−4mx+2m2+3m+2=0的两个实根,当m=________时,x12+x22有最小值为________.8.已知实数m,n满足等式m2+2m−1=0,n2+2n−1=0,那么求nm +mn的值是___.9.若关于x的一元二次方程kx2−4x−1=0有实数根,则k的取值范围是.10.已知一元二次方程x2−3x+1=0的两个实数根为x1,x2,则代数式2x1x2+3x1−x12的值为________.11.已知:m2−2m−1=0,n2+2n−1=0且mn≠1,则mn+n+1n的值为____.12.x2−x−2017=0两根为x1,x2,则x13+2018x2−2017=。

13.已知α,β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根,且满足1α+1β=−1,则m=___________.14.已知m,n是方程x2+2x−5=0的两个实数根,则m2−mn+3m+n=_________.15.关于x的方程x2−2(k−1)x+k2=0的两个实数根x1、x2满足x1+x2=1−x1x2,则k的值为________________.三、解答题16.已知关于x的 一元二次方程x2−(m−3)x−m=0(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)如果方程的两实数根为a、b,且a2+b2=14,求m的值.17.已知关于x的一元二次方程x2−4x+2k−1=0有两个不相等的实数根x1,x2.(1)求k的取值范围.(2)若x1−x2=2,求k的值.18.已知关于x的一元二次方程x2−(2k−1)x+k2+k−1=0有实数根.(1)求k的取值范围;(2)若此方程的两实数根x1,x2满足x12+x22=11,求k的值.19.已知关于x的一元二次方程x2−(3k+1)x+2k2+2k=0.(1)求证:无论取何实数值,方程总有实数根;(2)若等腰△ABC的一边长a=6,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求此三角形的三边长?20.已知关于x的一元二次方程mx2−(m+2)x+2=0.(1)证明:不论m为何值时,方程总有实数根;(2)m为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.21.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2−2(m+1)x+m2+5=0的两个实数根.(1)若(x1−1)(x2−1)=28,求m的值;(2)已知等腰三角形ABC的一边长为7,若x1、x2恰好是△ABC的另外两边的长,求这个三角形的周长.22.已知x1,x2是关于x的方程x2−kx+5(k−5)=0的两个正实数根,且满足2x1+x2=7,求实数k的值.。

一元二次方程根的判别式和根与系数关系 (解答稿)

一元二次方程根的判别式和根与系数关系 (解答稿)

一元二次方程根的判别式和根与系数关系例 1.已知三个关于x 的方程:0m x x 2=+-,012x 1)x -(m 2=++,012x 2)x -(m 2=-+,若其中至少有两个方程有实根,则m 的取值范围是____________.分析:41m 0Δ1≤⇒≥,2m 0Δ2≤⇒≥,1m 0Δ3≥⇒≥例2.已知方程0b -3ax x 2=+-有两个不相等的实数根,0b 6a)x (6x 2=-+-+有两个相等的实数根,0b 5a)x -(4x 2=-++没有实数根,求a ,b 的取值范围。

分析:0b)4(3a Δ21>--=0124b a 2>-+⇒0b)4(6a)6(Δ22=---=12-12a 4b a 2=+⇒0b)4(5a)4(Δ23<---=0484b a 2<--+⇒a 由以上三式求得2<a<4而33a a 41b 2-+-=6)6(412+--=a ,所以2<b<5例3.已知p ,q 是方程087x x 2=+-的两根,且p<q ,不解方程,求23q p2+的值。

分析:设A=23q p 2+,B=23p q2+ 由韦达定理知⎩⎨⎧==+87pq q p ,则易得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+27871122q p q p因此A+B=43100)(32222=+++q p q p ,A-B=17485)(32222-=-+-p q q p 所以A=)1785403(81-例4.设实数s ,t 分别满足019919s 2=++s ①,01999t t 2=++ ②,并且st ≠1 ,求t14s st ++的值。

分析:因s ≠0,故第一个方程可变形为019)s 199()s1(2=++又因为st ≠1,所以s1、t 是一元二次方程01999x x 2=++的两个不同实根,则99t s 1-=+,19t s1=⋅,即99s 1st -=+,t=19s.故519s4s99s t 14s st -=+-=++例5. 设是不小于的实数,使得关于的方程有两个不相等的实数根。

一元二次方程跟的判别式与根与系数的关系复习

一元二次方程跟的判别式与根与系数的关系复习
问题:(x-3)(x-1)=1
(1)请判断这是一个什么方程? (2)不解方程,你能判断它的根的情况吗?
例1:关于x的一元二次方程(m-1)x2-2x-1=0,有 两个不相等实数根,求实数m的取值范围.
总结归纳: ___△_>_0____ 一元二次方程有两个不相等的实数根 ___△__=_0____一元二次方程有两个相等的实数根 ___△__≥__0___一元二次方程有两个实数根 ____△_<_0____ 一元二–x2+(m-2)x+3(m+1)的图象如图所示. (1)当m≠-4时,说明这个二次函数的图象与x轴必有两 个交点; (2)求m的取值范围;
(3)在(2)的情况下,若 0A 0B 6 ,求C点坐标;
(4)求A、B两点间的距离; (5)求△ ABC的面积S.
变式训练1 :已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0 (1)求证:无论K取任何实数值,方程总有实数根 (2)若等腰三角形ABC的一边长a=1,另两边长b,c恰 好是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
变式训练2:如图,已知抛物线y=x 2-3x经
过B(4,4),将直线OB向下平移m个单位
长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共
变式训练1: 关于一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0的两个实 数根为x1 、 x2。且x1+x2>0,x1x2>0.求m的取值 范围
变式训练2:已知菱形的边长为5,两条对角线交 与O点,且OA、OB的长分别是关于x的方程 x2+(2m-1)x+m2+3=0的根,则m=( )
A.-3 B.5 C.5或-3 D.-5或3
点D,求m的值及点D的坐标
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一元二次方程根的判别式、 根与系数的关系练习题
1、方程0232=+-x kx 有两个相等的实数根,则
k 。

2、若关于x 的方程0342=+-x kx 有实数根,则k 的非负整数值是 。

3、关于x 的方程()0191322
=-+--m x m mx 有
两个实数根,则m 的范围是 。

4、已知k>0且方程11232-=++k x kx 有两个相等的实数根,则k= 。

5、当 k
不小于4
1
-
时,方程
()()01222
=+---k x k x
k 根的情况是 。

6





x



()()01222=+---m x m x m 只有一个实数根,那么
方程()()0422
=-++-m x m mx 的根的情况
是 。

7、如果关于x 的方程()0
5222
=+++-m x m mx 没有实数根,那么关于x 的方程()()0
2252=++--m x m x m 的




是 。

8、如果方程0422=--mx x 的两根为21,x x ,且
2112
1=+x x ,求实数 m 的值。

9、已知方程()02122
2
=-+++k x k x 的两实根
的平方和等于11,求k 的值。

10、m 取什么值时,方程()01222
=-++x x m 有
两个不相等的实数根?
11、m 取什
么值时,方程
()()0132
2=++--m x m x 有两个不相等的实数根?
12、已知014=-++b a ,当k 取何值时,方程02=++b ax kx 有两个不相等的实数根?
13、当m 是什么整数时,关于x 的一元二次方程
0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的
根都是整数?
14、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,且35=c ,若关于x 的方程
()()
035235
2=-+++b ax x b 有两个相等的实数
根,且方程()0sin 5sin 1022
=+-A x A x 的两实根的平方和为6,求△ABC 的面积。

(斜边
的对边
角A A =
sin )
15、已知实数a 、b 满足b b a a 22,222
2
-=-=,且a ≠b ,求a
b
b a +的值。

16、已知:0125,0522
2
=-+=--q q p p ,其中p 、q 这实数,求2
2
1
q p +的值。

17、设方程071012=-+-k x x 的一个根的3倍少7为另一个根,求k 的值。

18、已知方程0422
2=-+-m mx x ,不解方程,求
证:(1)它有两个不相等的实数根;
(2)当m>2时,它的两个根都是正数。

19、已知:关于x 的方

()031222=-++-m x m x 。

(1)当m 取何值时,方程有两个相等的实数根? (2)设方程的两实根分别为21,x x ,当
()()01221221=-+-+x x x x 时,求m 的值。

20、关于x 的方程()0322
=---+m x m x 的两
根的平方不大于25,求最大的整数m 。

21、关于x 的方程()06322
2
=++-+m x m x 的
两实根之积是两实根之和的2倍,求m 的值。

22、设
21,x x 是关于
x 的方程
()()02122
2=-+++m x m x 的两实根,当m 取什么
值时,()152
21=-x x ?
23、已知方程()()2
21k x x =--,k 为实数,且k
≠0,不解方程证明:
(1)这个方程有两个不相等的实数根; (2)一个根大于1,另一个根小于1。

24、已知21,x x 是关于
x
的方程
()0653422=---m x m x 的两个实数根,且
2
3
21=x x ,求m 的值。

25、已知:关于x 的方程042
=++b bx x 有两个相等的实根,21,y y 是关于y 的方程
()0422=+-+y b y 的两实根,求以21,y y 为根
的一元二次方程。

26、已知21,x x 是关于
x
的方程
01442=++-k kx kx 的两实根。

(1)是否存在实数k ,使()()2
3
222121-
=--x x x x 成立?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由; (2)求使
21
2
21-+x x x x 的值为整数的实数k 的整数值。

27、已知关于x 的方程()0132
=++-kx x k 。

(1)求证:不论k 取何值,方程总有实数根; (2)当k=4时,设该方程的两个实数根为α、β,
求作以1
122++βα和1122++αβ为根的一元二次方程。

28、已知方程组⎩⎨⎧+==m
x y x
y 242(m ≠0)有两个不同
的实数解⎩⎨⎧==11y y x x 和⎩
⎨⎧==22
y y x x 。

(1)求m 的取值范围;
(2)当m=-2时,求
2
1
12x x x x +的值。

29、已知:关于x 的方程2x(mx -4)=x 2-6有两个实数根,求m 的最大整数值.
30、求证:不论m 为任何实数,关于x 的方程x 2
-2mx+6m -10=0总有两个不相等的实数根.
31、已知关于x 的方程x 2+2(m -2)x+m+2+4=0有两个实数根,并且这两个根的平方和比这两个根的积大21,-
求m 的值.
32、已知m 、n 是方程x 2-4x+1=0的两个实数根,求
代数式2m 2
+4n 2
-8n+1的值.
33、若实数x 1、x 2满足x 12
-3x 1+1=0,x 22
-3x 2+1=0,求+
的值.
34、设x 1、x 2是方程x 2-x -4=0的两根,求
1052
231++x x 的值.
35、已知βα、是方程01522
=++x x 的二根,

的值。

α
β
βα+。

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