几何学基本原理

物方焦距
（2） 像方焦点（第二焦点） 、焦面、焦距 与无穷远的物共轭的点、 面 令
s=−∝
得
f ' = s' =
像方焦距
（3）
f' n' =− f n Φ=
异号
两焦点位于顶点两恻
（4）光焦度： 单位：
n'− n n' n = =− r f' f
Φ>0 会聚
Φ< 0 发散
1 屈光度 D=1/m
1 度= 1/100（D）
二． 1．
单球面折射成像 物像公式（用几何方法推导，书上用的是费马原理）
由正弦定理：
ΔPMC :
PC MC = sin( −i ) sin( −u )
P' C MC = sin( −i ' ) sin(u ' )
PC = ( − s ) + r
P ' C = s '− r
单心光束被破坏
ΔP’MC :
可以证明：θ 有一最小值（唯一） 当对称入射时： 称为 最小偏向角θ0
i1 = i1' i2 = i2'
θ = θ0
θ0=2i1-A
i1 =
θ0 + A
2
n=
sin i1 = sin i2
sin
θ0 + A
2 A sin 2
可测量 n ** 光楔：A 角很小
当光线近于垂直入射时，i1 很小
i1 ≈ ni2 = n
反之：能使物像等光程即完善成像的面称为等光程面。
用费马原理可以证明：两点之间的折射等光程面是卵形面
§1.4 光在平面上的反射和折射
一． 光在平面上的反射（自学） 二． 光在平面上的折射
1． 任意大角度光线成像 由几何关系可以证明：单心光束被破坏 2． 小角度（u 很小）光线成像（几乎垂直情况）
x' = 0
3．高斯公式
牛顿公式
（1） 由物象公式两边同除 Φ （2）牛顿公式；
=
n'− n r
得 高斯公式
f' f + =1 s' s
X 焦物距：从 F 量起的物距
X’ 焦像距：从 F’量起的像距
符号法则同前
− s = (− x) + (− f )
代入高斯公式得：
s ' = x '+ f ' xx ' = ff '
牛顿公式
4．近轴物体近轴光线成像
横向放大率
根据球对称性：将主光轴绕C点转动一小角度，则PQ1 物成像PQ1’ 对近轴物体 PQ 成像 P’Q’ 由图 ΔPQC ∼ ΔP’Q’C
s '− r − y' = y −s+r
定义横向放大率（垂轴放大率） ：
r s ' ( − 1) y' r − s' = s' β= = r y r−s s ( − 1) s
又因为：
n sin( −i ) = n' sin( −i ' )
代入整理得：
s ' = r + (r − s )
n sin( −u ) = f (u ) n' sin u '
对近轴（傍轴）光线，u 、u’ 角很小（5o 以内）,
OO’→0
sin( −u ) ≈ tg (−u ) ≈ sin( −u ) − s ≈ sin u ' s'
A 2
θ 0 = 2i1 − A = nA − A = (n − 1) A
补充习题： 1． 顶角 50o 的三棱镜的最小偏向角是 35o 如果把它浸在水中， 最小偏向角等
于多少？（水的折射率为 1.33 ） 2． 光纤外层由折射率为 1.52 的冕玻璃做成，纤芯由折射率为 1.66 的火石
玻璃做成，求该光纤的数值孔径。
= −i '
代入 折射定律，则得
即反射可看成从 n 的介质对- n 的介质的特殊折射。 即 由
= n1 s1 − n2 s2
二.费马原理
从光程的角度来阐述光的传播定律。 1657 年费马把光传播时服从的规律归结成一普遍原 理。
1.原理叙述：光在指定两点间传播时，实际光程总是一个极值。 （光沿这条路线传播所需
要的时间同附近的路线比起来，不是最大，便是最小，或保持不变，即光沿着所需时间为极 值的路径传播）
由物象公式得单折射球面横向放大率公式： 欲求 u u’ 间关系
β=
y ' ns ' = y n' s
定义角放大率：
γ =
=
u' u
故
对近轴光线： γ
u' s = u s'
→
β=
n1 n' γ
（赫--拉不变式）
即
y ' nu = y n' u '
n' u ' y ' = nuy
它表示在傍轴区域内成像时，物空间和像空间的各共轭量之间必须遵守的制约关系。对于 n 个折射面，有： 思考： z
§1.1
光线的概念
一、光线与波面
1、光线：表示光的传播方向的几何线，一束光由许多光线组成。 光线是波长 λ→0 的极限下能量的传播方向。 2、光波波面： 任一时刻振动的等位相面，可以是平面、球面、任意曲面。 而一般光学仪器的通光孔径都比波长大得多， 衍射效应不明显， 故几何光学得出的结论与实 际情况符合的很好。
OM ≈ −u −s
sin u ' ≈ tgu ' ≈
OM ≈ u' s'
代入整理得单球面折射物象公式：
n' n n'− n − = s' s r
2．
单球面折射的焦点、焦面、焦距 与无穷远的像共轭的点、面 令
s ' =∝
得
f =s=
− nr n'− n n' r n'− n
第一章 几何光学基本原理
研究：撇开光的本性，不考虑它和物质的相互作用，仅以光线的概念为基础， 利用几何学定理近似地阐明光的直线传播基本定律， 具体来说， 几何光学是讨论、 研究光的反射、折射以及与这些现象相关的光学系统的成象规律的科学。是各种 光学仪器设计的理论根据。 内容：（1）介绍几何光学的基本定律，有关成像基本概念。 （2）讨论球面、平面、薄透镜、及共轴球面系统的近轴成像理论。
§1.5 光在球面上的反射和折射
主光轴；过物点和曲率中心的连线 顶点：主轴与球面的交点 O 主截面：过主轴的平面。主轴对于所有主截面具有对称性。 一． 符号法则：
选择：基准点-----顶点 基准线-----主光轴或法线
目的：统一公式的形式
（1） 线段长度：沿轴距离-----从顶点量起，左负右正 垂轴距离------光轴之上为正，之下为负 （2） 角度：从基准线转向光线（锐角）顺时针为正，逆时针为负。 （3） 图中均标绝对值：若用字母表示的量实际为负量，则字母前加负号。
二. 物与像
光具组：若干反射面或折射面组成的光学系统。 1．物与像 发出同心光束的物点，为实物点； 物方同心光束延长后汇聚所成的点，为虚物点。


同心光束汇聚在像方形成的点，为实像点； 像方发散的同心光束反向延长后汇聚的点，为虚像点。
2.物方和像方 物点所在的空间为物方空间 像点所在的空间为像方空间
实际光线光程最小，经球面反射的光线中，实际光线光程最大。
3．用费马原理导出折射定律：
由立体几何知识，最短光程的路径应在入射光线和法线所决定的平面内。 这便是折射定律的全部内容。因此，费马原理是几何光学实验定律的概括，是几何光学的基 本原理。近几年来，光通讯和集成光学的飞速发展，需要研究光在连续分布的非均匀介质中 的传播规律，仍可用费马原理推导出光在其中的传播规律。
（3）齐明点（由几何关系可证明） ：s
= (1 +
n' )r n
s ' = (1 +
n )r n'
三． 单球面反射成像：
同理只有在近轴条件下才能完善成像。由反射定律： i 由折射定律： ni
= −i ' （ i ' 为反射角） n' = − n
= n' i '
（ i ' 为折射角）
若把反射看成是折射的特殊情况，将 i
三.理想光学系统
1．理想成像
物象之间的共扼性
精确成像的必要条件是物上一点与像上一点对应。 使同心光束保持其同心性不变的光具组为理想光具组 理想光具组是成像的必要条件 2. 物象之间的等光程性 理想光学系统 在成象时， 有一个重要性质， 即从物点 P 到象点 P’的个光线的光程相等。
称为 物象之间的等光程性。
2．光程的物理意义：
以均匀介质为例，说明光程的意义。 对于均匀介质有： n
=
c v
c s Δ = n.s = .s = c = ct v v
上式中 t 表示光在介质中通过真实路程 所需的时间。 由此可见，光程表示光在介质中通过真实路程所需要时间，在真空中所能传播的路程。 借助光程这个概念， 可将光在各种介质中所通过的路程折算为真空中的路程。 这样便于比较 光在不同介质中通过一定路程所需要时间的长短。 所谓光程相等，表示光在两种介质中传播的时间相同。 光程差： δ
nuy = n' u ' y ' = n' ' u ' ' y ' ' = ....... = 常量
（2）γ=+1 的一对共轭点有何特点？
（1）β=+1 的一对共轭点有何特点？