辽宁省沈阳市第120中学2019届高三上学期第三次质量检测数学理科试卷 扫描版缺答案
2019届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟数学(理)试题
2019届辽宁省沈阳市东北育才学校高三上学期第三次模拟数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若2z i =+，则=-14z z iA.1B.1-C.iD.i -2.设集合{}220A x x x =-->，{}2log 2B x x =≤，则集合()R C A B =A.{}12x x -≤≤B.{}02x x <≤C.{}04x x <≤ D ．{}14x x -≤≤ 3.已知各项为正数的等比数列{}n a 中，21a =，4664a a =，则公比q ＝A ．2B ．3C ．4D ．54.若两个单位向量a ，b 的夹角为60，则2a b -=A ．2B ．3CD5.已知命题p ：幂函数的图象必经过点(0,0)和点(1,1)；命题q：函数2()f x =的最小值为52.下列命题为真命题的是 A.p q ∧ B.()p q ⌝∧ C.()p q ⌝∨ D.()p q ∧⌝6.设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≤--306203y y x y x ，则y x Z -=2的最小值为A.-3B.-2C.0D. 67.将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，所得函数的一条对称轴方程为A ．4x π=B.2x π=C.38x π=D.58x π= 8．已知定义在(0,)+∞上的函数2()f x x m =+，()6ln 4g x x x =-，设两曲线()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同，则m 值等于A.5B.3C.3- D ． 5-9.已知ABC ∆为等腰三角形，满足AB AC ==2BC =，若P 为底BC 上的动点，则()AP AB AC ⋅+=A.有最大值8B.是定值2C.有最小值1D.是定值4 10．函数||()e 2||1x f x x =--的图象大致为11.如图直角坐标系中，角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭、角02πββ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于A 、B 两点，若B点的纵坐标为513-，且满足AOB S △1sin sin 2222ααα⎫-+⎪⎭的值A.513-B.1213C.1213- D.51312.设函数4|1|,0,()|log |,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩若关于x 的方程()f x a =有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234,x x x x <<<则3122341()x x x x x ++的取 值范围是A.7(1,]2-B.7(1,)2-C.(1,)-+∞D.7(,]2-∞第II 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．等差数列}{n a 、}{n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若2312++=n n T S n n ，则31119715a a ab b ++=+_____. 14．已知向量(1,2),(tan ,1),[0,]=-=-∈a b θθπ，且//a b ，则角θ的值为 ． （用反三角函数形式表示）15.已知函数()2x x f x e e -=+，若关于x 的不等式()()20f x af x -≤⎡⎤⎣⎦恰有3个整数解，则实数a 的取值范围为 ．16.已知锐角111C B A ∆的三个内角的余弦值分别等于钝角222C B A ∆的三个内角的正弦值，其中22π>A ，若1||22=C B ，则||3||222222C A B A +的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。
2019-2020年高三上学期第三次质量检测数学试卷word版含答案
2019-2020年高三上学期第三次质量检测数学试卷word 版含答案本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分,时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一．选择题(本大题共10小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.已知集合，，若，则实数的所有可能取值的集合为 ( ) A ． B ． C ． D ．2.若为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 设是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则且是的（ ）A ．充要条件 B.充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.等差数列中，如果，，则前9项的和为( )A ．297 B. 144 C ．99 D. 665.已知向量(2,1),(sin cos ,sin cos )αααα==-+a b ，且∥，则（ ） A ． B ． C ． D ．6.过的直线被圆截得的线段长为2时，直线的斜率为（ ） A ． B. C ． D.7.(理科) 已知满足不等式420,280,2,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩设，则的最大值与最小值的差为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1（文科）设、满足约束条件：10x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩，则的最大值是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 8. 函数与的图像交点的横坐标所在区间为（ ） A. B. C. D.9.若下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是( )A. B. C ． D.10．若时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则是（ ）A ．奇函数且图像关于点对称 B.偶函数且图像关于直线对称 C ．奇函数且图像关于直线对称 D.偶函数且图像关于点对称 11.（理科）已知椭圆的焦点为、，在长轴上任取一点，过作垂直于的直线交椭圆于，则使得的点的概率为 （ ）A ．B ．C ．D ．（文科）如图所示，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机的撒2400颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为516颗，依据此实验数据可以估计出 椭圆的面积约为( )A.17.84B. 5.16C. 18.84D.6.1612．已知函数，⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=0,860,41)(2x x x x xx x g ，则方程的解的个数不可能是（ ） A ．3个 B.4个 C.5个 D.6个第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填写在答题纸相应的位置.） 13．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为__ ___．14．已知面积和三边满足：8,)(22=+--=c b c b a S ，则面积的最大值为________． 15．已知分别是圆锥曲线和的离心率，设 ，则的取值范围是 ．16. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．124357681012911131517141618202224设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如．则 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6小题，共70分） 17．（本小题满分12分）已知是正项数列，，且点（）在函数的图像上. （1）求数列的通项公式；（2）若列数满足，，求证：.18.（本题满分12分）如图，设四棱锥的底面为菱形，且∠，，。
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考第三次模拟数学试题含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考第三次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知实数0,1a b >>满足5a b +＝，则211a b +-的最小值为（ ） A．34+ B．34+ C．36+ D．36+ 【答案】A【解析】【分析】 所求211a b +-的分母特征，利用5a b +＝变形构造(1)4a b +-=，再等价变形121()[(1)]41a b a b ++--，利用基本不等式求最值.【详解】解：因为0,1a b >>满足5a b +＝， 则()21211()1114a b a b a b +=++-⨯⎡⎤⎣⎦-- ()21113(3414b a a b -⎡⎤=++≥+⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当()211b a a b -=-时取等号， 故选：A ．【点睛】本题考查通过拼凑法利用基本不等式求最值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键.(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形;(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.2．已知函数1222,0,()log ,0,x x f x x x +⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A ．163,5⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．163,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(3,4)D ．(]3,4【答案】B【解析】【分析】令()f x t =，则2230t at a -+=，由图象分析可知2230t at a -+=在(2,4]上有两个不同的根，再利用一元二次方程根的分布即可解决.【详解】令()f x t =，则2230t at a -+=，如图y t =与()y f x =顶多只有3个不同交点，要使关于x 的方程[]2()2()30f x af x a -+=有六个不相等的实数根，则2230t at a -+=有两个不同的根12,(2,4]t t ∈，设2()23g t t at a =-+由根的分布可知， 24120(2,4)(2)0(4)0a a a g g ⎧∆=->⎪∈⎪⎨>⎪⎪≥⎩，解得1635a <≤. 故选：B.【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题.3． 若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( )A ．21B ．22C ．23D ．24【答案】C【解析】 因为123n n a a +-=-，所以{}n a 是等差数列，且公差12,153d a =-=，则224715(1)333n a n n =--=-+，所以由题设10k k a a +⋅<可得2472454547()()0333322n n n -+-+<⇒<<，则23n =，应选答案C ． 4．将函数3的图象向左平移6π个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：①它的图象关于直线x=59π对称；②它的最小正周期为23π； ③它的图象关于点(1118π，1)对称； ④它在[51939ππ，]上单调递增. 其中所有正确结论的编号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④ 【答案】B【解析】【分析】根据函数()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式求出函数()g x 的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】因为3π)+1，由()sin y A ωx φ=+图象的平移变换公式知， 函数g(x)=2sin[3(x+6π)-3π]+1=2sin(3x+6π)+1，其最小正周期为23T π=，故②正确； 令3x+6π=kπ+2π，得x=3k π+9π(k ∈Z)，所以x=59π不是对称轴，故①错误； 令3x+6π=kπ，得x=3k π-18π(k ∈Z)，取k=2，得x=1118π，故函数g(x)的图象关于点(1118π，1)对称，故③正确；令2kπ-2π≤3x+6π≤2kπ+2π，k ∈Z ，得23k π-29π≤x≤23k π+9π，取k=2，得109π≤x≤139π，取k=3，得169π≤x≤199π，故④错误； 故选：B【点睛】 本题考查()sin y A ωx φ=+图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型5．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24x B x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B I ð等于（ ） A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】A【解析】【分析】先算出集合U A ð，再与集合B 求交集即可.【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U A x x =<<ð，又因为{}|24{|2}x B x x x =<=<.所以(){|12}U A B x x ⋂=<<ð.故选：A.【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.6．函数3()cos ln ||f x x x x x =+在[,0)(0,]ππ-U 的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】先考虑奇偶性，再考虑特殊值，用排除法即可得到正确答案.【详解】()f x 是奇函数，排除C ，D ；()2()ln 0f ππππ=-<，排除A. 故选：B.【点睛】本题考查函数图象的判断，属于常考题.7．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC BC ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形【答案】D【解析】【分析】A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行；B 项利用线面垂直的判定定理；C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形.【详解】A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；B 项，如图：当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂直于平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故正确；C 项,当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,△A 1DM 的面积不变,N 到平面A 1DM 的距离不变,所以棱锥N-A 1DM 的体积不变,即三棱锥A 1-DMN 的体积为定值,故正确；D 项,若△DMN 为直角三角形,则必是以∠MDN 为直角的直角三角形,但MN 的最大值为BC 1,而此时DM,DN 的长大于BB 1,所以△DMN 不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.8．在长方体1111ABCD A B C D -中，1123AB AD AA ===，，，则直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为（ ）A ．3B ．3C ．15D ．10 【答案】C【解析】【分析】在长方体中11//AB C D ， 得1DD 与平面1ABC 交于1D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，可证DO ⊥平面11ABC D ，可得1DD A ∠为所求解的角，解1Rt ADD ∆，即可求出结论.【详解】在长方体中11//AB C D ，平面1ABC 即为平面11ABC D ，过D 做1DO AD ⊥于O ，AB ⊥Q 平面11AA D D ，DO ⊂平面111,,AA D D AB DO AB AD D ∴⊥=I ，DO ∴⊥平面11ABC D ，1DD A ∴∠为1DD 与平面1ABC 所成角，在1111,3,2,5Rt ADD DD AA AD AD ∆===∴=， 111315cos 55DD DD A AD ∴∠===， ∴直线1DD 与平面1ABC 所成角的余弦值为155. 故选:C.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题. 9．已知(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等，2012(1)n n n x a a x a x a x λ+=++++L ，若12242n a a a ++⋅⋅⋅=，则012(1)n n a a a a -+-⋅⋅⋅+-的值为( )A ．1B ．－1C ．8lD ．－81【答案】B【解析】【分析】根据二项式系数的性质，可求得n ，再通过赋值求得0a 以及结果即可.【详解】因为(1)n x λ+展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相等， 故可得5n =，令0x =，故可得01a =，又因为125242a a a +++=L ，令1x =，则()501251243a a a a λ+=++++=L ，解得2λ=令1x =-，则()()5501251211a a a a -=-+-+-=-L .故选：B.【点睛】本题考查二项式系数的性质，以及通过赋值法求系数之和，属综合基础题. 10．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（） A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】推导出()()()()220194035441log 2f f f f =⨯+==-=，由此能求出()2019f 的值．【详解】∵定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩， ∴()()()()22019403544211log f f f f =⨯+=-===，故选C ．【点睛】本题主要考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用，属于中档题.11．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321-B ．322-C ．251-D ．252-【答案】C【解析】【分析】 把截面EFG 画完整，可得P 在AC 上，由117DQ =知Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得PM PQ +的最小值．【详解】如图，分别取11111,,C D D A A A 的中点,,H I J ，连接,,,GH HI IJ JE ，易证,,,,,E F G H I J 共面，即平面EFG 为截面EFGHIJ ，连接11,,AD D C AC ，由中位线定理可得//AC EF ，AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，则//AC 平面EFG ，同理可得1//AD 平面EFG ，由1AC AD A =I 可得平面1AD C //平面EFG ，又1//D P 平面EFG ，P 在平面ABCD 上，∴P AC ∈．正方体中1DD ⊥平面ABCD ，从而有1DD DQ ⊥，∴1DQ ==，∴Q 在以D 为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形ABCD 内的部分）上，显然M 关于直线AC 的对称点为E ，11PM PQ PE PQ PE PD DQ ED DQ +=+≥+-≥-==，当且仅当,,,E P Q D 共线时取等号，∴所求最小值为1．故选：C ．【点睛】本题考查空间距离的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P 点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q 点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．12．已知命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则p ⌝为( )A ．0x R ∃∈，0sin 1x ≥B ．x R ∀∈，sin 1x ≥C ．0x R ∃∈，0sin 1x >D ．x R ∀∈，sin 1x > 【答案】C【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.【详解】 Q 全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P ：x R ∀∈，sin 1x ≤，00:,sin 1p x R x ∴⌝∃∈>.故选：C .【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省沈阳市2019届高三数学教学质量监测试题(三)理(含解析)
【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系和充分不必要条件的判定，意在考查学生对这些
知识的理解掌握水平和分析推理能力 .
4. 若非零向量 a, b 满足 | a | | b |,(2 a b) b 0 ，则 a,b 的夹角为（
A. 6
【答案】 D
B. 3
5 C.
6
【解析】
【分析】
直接利用数量积的运算法则化简已知即得解 .
）．
A. 3
【答案】 A
B. 3
C. 3 3
【解析】
试
题
分
析
：
a1
2
4
3a4
2 a4 ,
a3 ,
a5
3
3
考点： 1、等差数列； 2、三角函数求值 .
a4 2 2a4
D.
3
3
a，
所
以
4, a3 t来自aa5n(
3
6. 我国古代有着辉煌的数学研究成果． 《周牌算经》 、《九章算术》 、《海岛算经》 、《孙子算
【详解】由于 i i 2 i 3 i 4 i 1 i 1 0 ，
且 i（n n N ) 的周期为 4， 2019=4 504+3 ，
所以原式 = i i 2 i3 i 1 i 1 .
故选： D
【点睛】本题主要考查复数的计算和 i（n n N ) 的周期性，意在考查学生对这些知识的理解
掌握水平和分析推理能力 .
D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】
【分析】
先化简直线 l : y k (x 2) 与圆 x2 y2 1相切，再利用充分必要条件的定义判断得解
.
【详解】因为直线 l : y
2019-2020年高三上学期第三次考试数学(理)试题
2019-2020年高三上学期第三次考试数学（理）试题一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．{}{}等于，则，已知集合N M x x N x x M 1log |11|2<=<<-=( ) A. B. C. D.2．下列命题的说法错误．．的是（ ） A ．命题“若 则 ”的逆否命题为：“若, 则”.B ．“”是“”的充分不必要条件.C ．对于命题 则D ．若为假命题，则均为假命题.3．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数，若数列满足，且单调递增，则实数的取值范围为( )A ．B ．C ．D ．5．在△ABC 中，已知，，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6．由曲线，直线所围成的平面图形的面积为( )A. B ．2－ln 3 C ．4＋ln 3 D ．4－ln 37．若在区间上有极值点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.8．设函数的最小正周期为π，且，则（ ）．A ．单调递减B ．在单调递减C ．单调递增D ．在单调递增9．函数在[0，2]上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是（ ）A ．f （1）＜f （）＜f （）B ．f （）＜f （1）＜f （）C ．f （）＜f （）＜f （1）D ．f （）＜f （1）＜f （）10．如图，把周长为1的圆的圆心C 放在y 轴上，顶点A （0,1），一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM=x ，直线AM 与x 轴交于点N （t ，0），则函数的图像大致为（ ）二、填空题：本大题共5个小题；每小题5分，共25分．11．若直线是曲线的切线，则的值为.12．设函数若，则函数的零点个数有个.13．函数的值域为．14．已知向量满足，，则向量在上的投影为_________.15．给出下列四个命题：①函数在上单调递增；②若函数在上单调递减，则;③若,则;④若是定义在上的奇函数，则. 其中正确的序号是.三、解答题：本大题共6个小题共75分．每题解答过程写在答题卡上．16．（本小题满分12分）已知)xxxxf∈=+-x2cos(1cossin)23(2R（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（II）若，，求的值.17．（本小题满分12分）已知向量，设函数（I）求在区间上的零点；（II）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围．18．（本小题满分12分）等差数列的首项为23，公差为整数，且第6项为正数，从第7项起为负数。
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学第三次调研试卷含解析
辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学第三次调研试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在边长为23的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）A ．28πB ．7πC ．14πD ．21π【答案】A 【解析】 【分析】画图取BD 的中点M ，法一：四边形12OO MO 的外接圆直径为OM ，即可求半径从而求外接球表面积；法二：根据13OO =，即可求半径从而求外接球表面积；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，求出AC 和sin AEC ∠，即可求半径从而求外接球表面积； 【详解】如图，取BD 的中点M ，CBD ∆和ABD ∆的外接圆半径为122r r ==，CBD ∆和ABD ∆的外心1O ，2O 到弦BD 的距离（弦心距）为121d d ==.法一：四边形12OO MO 的外接圆直径2OM =，7R =28S π=；法二：13OO =7R =，28S π=；法三：作出CBD ∆的外接圆直径CE ，则3AM CM ==，4CE =，1ME =，AE =AC =cos AEC∠==，sin AEC ∠=，2sin AC R AEC ===∠R =28S π=. 故选：A 【点睛】此题考查三棱锥的外接球表面积，关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径，方法较多，属于较易题目.2．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ） A ．3 B ．－3 C ．2 D ．－2【答案】A 【解析】 【分析】求出2()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解. 【详解】2()626()3af x x ax x x '=-=-，若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ， ()f x 在()0,∞+不存在零点；若0a >，(0,),()0,(0,),()03ax f x x f x ''∈<∈+∞>，()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，31()10,3327a f a a =-+=∴=. 故选:A. 【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.3．已知函数13 log,0()1,03xx xf xa x>⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x的方程[()]0f f x=有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A．(,0)(0,1)-∞U B．(,0)(1,)-∞⋃+∞C．(,0)-∞D．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B【解析】【分析】利用换元法设()t f x=，则等价为()0f t=有且只有一个实数根，分0,0,0a a a<=>三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a的取值范围.【详解】解：设()t f x=，则()0f t=有且只有一个实数根.当0a<时，当0x≤时，()103xf x a⎛⎫=⋅<⎪⎝⎭，由()0f t=即13log0t=，解得1t=，结合图象可知，此时当1t=时，得()1f x=，则13x=是唯一解，满足题意；当0a=时，此时当0x≤时，()103xf x a⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭，此时函数有无数个零点，不符合题意；当0a>时，当0x≤时，()[)1,3xf x a a⎛⎫=⋅∈+∞⎪⎝⎭，此时()f x最小值为a，结合图象可知，要使得关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，此时1a > . 综上所述：0a < 或1a >. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数方程根的个数的应用.利用换元法，数形结合是解决本题的关键.4．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（ ）A ．49B ．94C ．23D ．32【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值. 【详解】由题意知双曲线的渐近线方程为()0y x m m =>，320x y +=可化为32y x =-32m =，解得49m =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题.5．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边,AB AC .已知以直角边,AC AB 为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则sin 2α=（ ）A ．925B ．1225C ．35D ．45【答案】D 【解析】 【分析】由半圆面积之比，可求出两个直角边,AB AC 的长度之比，从而可知1tan 2AC AB α==，结合同角三角函数的基本关系，即可求出sin ,cos αα，由二倍角公式即可求出sin 2α. 【详解】解：由题意知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，以AB 为直径的半圆面积21122AB S π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 以AC 为直径的半圆面积22122AC S π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则222114S AC S AB ==，即1tan 2AC AB α==. 由22sin cos 1sin 1tan cos 2ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩ ，得5sin 25cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5254sin 22sin cos 25ααα===. 故选:D. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 6．已知α、,22ππβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，αβ≠，则下列是等式sin sin 2αβαβ-=-成立的必要不充分条件的是（ ） A ．sin sin αβ> B ．sin sin αβ< C ．cos cos αβ> D ．cos cos αβ<【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-，利用导数分析出这两个函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，由sin sin 2αβαβ-=-得出sin sin 2ααββ-=-，分0α=、02πα-<<、02πα<<三种情况讨论，利用放缩法结合函数()y h x =的单调性推导出02παβ-<<<或02πβα<<<，再利用余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】构造函数()sin h x x x =-，()sin 2f x x x =-， 则()cos 10h x x '=-<，()cos 20f x x '=-<，所以，函数()y f x =、()y h x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上均为减函数，当02x π-<<时，则()()00h x h >=，()()00f x f >=；当02x π<<时，()0h x <，()0f x <.由sin sin 2αβαβ-=-得sin sin 2ααββ-=-. ①若0α=，则sin 20ββ-=，即()00f ββ=⇒=，不合乎题意；②若02πα-<<，则02πβ-<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=->-=，此时，02παβ-<<<，由于函数cos y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，函数sin y x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ<，cos cos αβ<；③若02πα<<，则02πβ<<，则()()sin sin 2sin h h αααβββββ=-=-<-=，此时02πβα<<<，由于函数cos y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数sin y x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin αβ>，cos cos αβ<.综上所述，cos cos αβ<. 故选：D. 【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对α的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足MA MO=，则·OM ON u u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．0,⎡⎣C ．[]22-,D ．22,22-⎡⎤⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】设出M 的坐标为(,)x y ，依据题目条件，求出点M 的轨迹方程22(2)8x y +-=，写出点M 的参数方程，则c ·22os OM ON θ=u u u u r u u u r ，根据余弦函数自身的范围，可求得·OM ON u u u u r u u u r结果. 【详解】 设(,)M x y ，则∵2MA MO=，()0,2A -∴2222(2)2x y x y++=+∴2222(2)2()x y x y ++=+∴22(2)8x y +-=为点M 的轨迹方程∴点M 的参数方程为22cos 222sin x y θθ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）则由向量的坐标表达式有：c ·22os OM ON θ=u u u u r u u u r又∵cos [1,1]θ∈-∴2·2cos [22,22]OM ON θ=∈-u u u u r u u u r故选：D 【点睛】考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法 8．已知数列满足，且，则数列的通项公式为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D ．考点：数列的通项公式． 9．函数1()ln ||1xf x x+=-的图象大致为 A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题可得函数()f x 的定义域为{|1}x x ≠±， 因为1()ln ||1x f x x --==+1ln ||()1xf x x+-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除选项B ； 又(1.1)ln 211f =>，(3)ln 21f =<，所以排除选项A 、C ，故选D ．10．已知双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，则双曲线1C 的离心率的取值范围是( ) A ．(3 B ．)3,⎡+∞⎣C ．(5D ．)5,⎡+∞⎣【答案】C 【解析】 【分析】先求得2C 的渐近线方程，根据12,C C 没有公共点，判断出1C 渐近线斜率的取值范围，由此求得1C 离心率的取值范围. 【详解】双曲线222:14y C x -=的渐近线方程为2y x =±，由于双曲线22122:1x y C a b -=与双曲线222:14y C x -=没有公共点，所以双曲线1C 的渐近线的斜率2b a ≤，所以双曲线1C 的离心率(211,5b e a ⎛⎫⎤=+∈ ⎪⎦⎝⎭.故选：C 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的取值范围的求法，属于基础题.11．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦点为1F ，2F ，且C 上点P 满足120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，13PF =u u u v ，24PF =u u u u v，则双曲线C 的离心率为A ．10B ．5C ．52D ．5【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线定义可以直接求出a ，利用勾股定理可以求出c ，最后求出离心率. 【详解】依题意得，2121a PF PF =-=，2212215F F PF PF =+=，因此该双曲线的离心率12215F F e PF PF ==-.【点睛】本题考查了双曲线定义及双曲线的离心率，考查了运算能力.12．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 【答案】C 【解析】由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为2112122V ππ=⨯⨯⨯=，上部半圆锥的体积为2211422233V ππ=⨯⨯⨯=，所以该几何体的体积为12410233V V V πππ=+=+=，故应选C ． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学理科试卷Word版含解析
辽宁省沈阳市东北育才学校2019届上学期第三次模拟高三数学理科试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|x 2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（ ） A ．A ∩B=∅ B ．B ⊆A C ．A ∩B={0，1} D ．A ⊆B2．已知a ，b ∈R ，则命题“若a 2+b 2=0，则a=0或b=0”的否命题是（ ） A ．若a 2+b 2≠0，则a ≠0且b ≠0 B ．若a 2+b 2≠0，则a ≠0或b ≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，则a 2+b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，则a 2+b 2≠03．复数z=||﹣i （i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数为（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．4﹣iD ．4+i4．等于（ ）A ．0B ．2sin1C ．2cos1D ．25．数列{a n }的前n 项和S n =2n 2﹣3n （n ∈N +），若p ﹣q=5，则a p ﹣a q =（ ） A ．10 B ．15 C ．﹣5 D ．206．函数y=（a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a +log a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．函数f （x ）=sin （ωx+φ）（x ∈R ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f （x 1）=f （x 2），则f （x 1+x 2）=（ ）A ．B ．C ．D ．18．在平面直角坐标系xOy 中，过定点Q （1，1）的直线l 与曲线C ：y=交于点M ，N ，则•﹣•=（ ）A ．2B ．C ．4D ．9．设x ，y 满足约束条件向量=（y ﹣2x ，m ），=（1，1），且∥，则m 的最小值为（ ）A ．6B ．﹣6C ．D ．﹣10．已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S=（a+b ）2﹣c 2，则tanC 等于（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知关于x 的不等式x 2+bx+c ＜0（ab ＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（ ）A ．B ．2C ．D ．412．已知f （x ）=|xe x |，方程f 2（x ）+tf （x ）+1=0（t ∈R ）有四个实数根，则t 的取值范围为（ ）A ．（，+∞）B ．（﹣∞，﹣） C ．（﹣，﹣2） D ．（2，）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知圆O ：x 2+y 2=4，直线l 与圆O 相交于点P 、Q ，且，则弦PQ 的长度为 ．14．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （﹣x ）=f （x+），f= ．15．设f （x ）是定义在R 上恒不为零的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ），若a 1=，a n =f （n ）（n ∈N *），则数列{a n }的前n 项和S n = ．16．已知函数f （x ）=e sinx+cosx ﹣sin2x （x ∈R ），则函数f （x ）的最大值与最小值的差是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知函数f （x ）=log a （x+2）+log a （4﹣x ），（0＜a ＜1）． （Ⅰ）求函数f （x ）的定义域；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间[0，3]的最小值为﹣2，求实数a 的值．18．已知=（1，a ），=（sinx ，cosx ）．函数f （x ）=•的图象经过点（﹣，0）．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的最小正周期与单调递增区间．19．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n +a n =1（n ∈N *） （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 3（1﹣S n+1）（n ∈N *），求适合方程++…+=的n 的值．．20．定长为3的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，动点P 满足=2． （Ⅰ）求点P 的轨迹曲线C 的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C 交于M 、N 两点，求•的最大值．21．已知函数f （x ）=+ln．（Ⅰ）求证：f （x ）图象关于点（，）中心对称；（Ⅱ）定义S n =f （）=f （）+f （）+…+f （），其中n ∈N *且n ≥2，求S n ；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S n ，求证：对于任意n ∈N *都有lnS n+2﹣lnS n+1＞﹣．22．已知函数f （x ）=e x sinx ﹣cosx ，g （x ）=xcosx ﹣e x ，其中e 是自然对数的底数．（1）判断函数y=f （x ）在（0，）内的零点的个数，并说明理由；（2）∀x 1∈[0，]，∃x 2∈[0，]，使得f （x 1）+g （x 2）≥m 成立，试求实数m 的取值范围；（3）若x ＞﹣1，求证：f （x ）﹣g （x ）＞0．辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第三次模拟数学理科试卷参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1} D．A⊆B【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C2．已知a，b∈R，则命题“若a2+b2=0，则a=0或b=0”的否命题是（）A．若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0 B．若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a≠0且b≠0，则a2+b2≠0 D．若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，直接写出它的否命题即可．【解答】解：命题“若a2+b2=0，则a=0或b=0”的否命题是“若a2+b2≠0，则a≠0且b≠0”．故选：A．3．复数z=||﹣i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．2﹣i B．2+i C．4﹣i D．4+i【考点】复数求模．【分析】化简复数z，写出z的共轭复数即可．【解答】解：复数z=||﹣i=﹣i=2﹣i，∴复数z的共轭复数为=2+i．故选：D．4．等于（）A．0 B．2sin1 C．2cos1 D．2【考点】定积分．【分析】找出被积函数的原函数，计算定积分．【解答】解： =（x3+cosx）|=1+cos1+1﹣cos1=2；故选D．5．数列{an }的前n项和Sn=2n2﹣3n（n∈N+），若p﹣q=5，则ap﹣aq=（）A．10 B．15 C．﹣5 D．20【考点】等差数列的性质．【分析】利用递推公式当n ≥2，a n =S n ﹣S n ﹣1，a 1=S 1可求a n =4n ﹣5，再利用a p ﹣a q =4（p ﹣q ），p ﹣q=5，即可得出结论．【解答】解：当n ≥2，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n 2﹣3n ﹣2（n ﹣1）2+3n ﹣3=4n ﹣5 a 1=S 1=﹣1适合上式， 所以a n =4n ﹣5，所以a p ﹣a q =4（p ﹣q ）， 因为p ﹣q=5， 所以a p ﹣a q =20 故选：：D ．6．函数y=（a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a +log a=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可． 【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a ＞1， 则当x=0时，y=1，即y==1，即a ﹣1=1，则a=2，则log a +log a =log a （•）=log 28=3，故选：C ．7．函数f （x ）=sin （ωx+φ）（x ∈R ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，且f （x 1）=f （x 2），则f （x 1+x 2）=（ ）A ．B ．C ．D ．1【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性．【分析】通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f （x 1+x 2）即可．【解答】解：由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣），0=sin （﹣+ϕ）∵，所以ϕ=，∴，，所以．故选C．8．在平面直角坐标系xOy中，过定点Q（1，1）的直线l与曲线C：y=交于点M，N，则•﹣•=（）A．2 B． C．4 D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】曲线，可知：曲线C的图象关于点（1，1）成中心对称，Q是线段MN的中点，因此．【解答】解：∵曲线，∴曲线C的图象关于点（1，1）成中心对称，∴Q是线段MN的中点，故•﹣•=•（+）=22=4．故选：C．9．设x，y满足约束条件向量=（y﹣2x，m），=（1，1），且∥，则m的最小值为（）A．6 B．﹣6 C．D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】根据向量平行的坐标关系得到y=2x+m，然后利用线性规划进行求解即可．【解答】解：∵=（y﹣2x，m），=（1，1），且∥，∴y﹣2x﹣m=0，即y=2x+m，作出不等式组对应的平面区域，平移直线y=2x+m，当直线经过点B时，直线的截距最小，此时m最小，由，解得，即B（4，2），此时m=y﹣2x=2﹣8=﹣6，故选：B10．已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】首先由三角形面积公式得到S=，再由余弦定理，结合2S=（a+b）2﹣c2，得出sinC﹣△ABC2cosC=2，然后通过（sinC﹣2cosC）2=4，求出结果即可．【解答】解：△ABC中，∵S=，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，△ABC且 2S=（a+b）2﹣c2 ，∴absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），整理得sinC﹣2cosC=2，∴（sinC﹣2cosC）2=4．∴=4，化简可得 3tan2C+4tanC=0．∵C∈（0，180°），∴tanC=﹣，故选C．11．已知关于x的不等式x2+bx+c＜0（ab＞1）的解集为空集，则T=+的最小值为（）A．B．2 C． D．4【考点】基本不等式；一元二次不等式的应用．【分析】由题意得：，，得．利用此式进行代换，将T化成，令ab﹣1=m，则m＞0，利用基本不等式即可求出T的最小值．【解答】解：由题意得：，，得．∴，令ab﹣1=m，则m＞0，所以．则的最小值为4．故选D．12．已知f（x）=|xe x|，方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，则t的取值范围为（）A．（，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（﹣，﹣2）D．（2，）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．【分析】化简f（x）=|xe x|=，从而求导以确定函数的单调性，从而作出函数的简图，从而解得．【解答】解：f（x）=|xe x|=，易知f（x）在[0，+∞）上是增函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣xe x，f′（x）=﹣e x（x+1），故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数；作其图象如下，且f （﹣1）=；故若方程f 2（x ）+tf （x ）+1=0（t ∈R ）有四个实数根，则方程x 2+tx+1=0（t ∈R ）有两个不同的实根，且x 1∈（0，），x 2∈（，+∞），故，解得，t ∈（﹣∞，﹣），故选：B ．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知圆O ：x 2+y 2=4，直线l 与圆O 相交于点P 、Q ，且，则弦PQ 的长度为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用向量的数量积运算，求出∠OPQ=，即可求出弦PQ 的长度．【解答】解：由题意，2×2×cos ∠OPQ=﹣2，∴cos ∠OPQ=﹣，∴∠OPQ=，∴PQ=2×2×sin ∠OPQ=．故答案为：．14．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （﹣x ）=f （x+），f= ﹣2 ． 【考点】函数奇偶性的性质．【分析】首先，结合奇函数f （x ），得到f （﹣x ）=﹣f （x ），然后，借助于f （﹣x ）=﹣f （x ）=f （x+），以x+代x ，得到该函数周期为3的周期函数，最后，借助于函数的周期性进行求解． 【解答】解：∵奇函数f （x ）， ∴f （﹣x ）=﹣f （x ），∴f （﹣x ）=﹣f （x ）=f （x+）， 以x+代x ，∴f （x+3）=f （x ） ∴函数的周期为3， ∴f=f （1）=2，∴f （﹣1）=﹣f （1）=﹣2 故答案为：﹣2．15．设f （x ）是定义在R 上恒不为零的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）=f （x+y ），若a 1=，a n =f（n ）（n ∈N *），则数列{a n }的前n 项和S n = 1﹣．【考点】数列的求和．【分析】根据函数的关系式，求出数列{a n }的通项公式，判断数列是等比数列，求出它的前n 项和S n ． 【解答】解：令y=x ，f （x ）•f （x ）=f （2x ）， ∴f （2x ）=[f （x ）]2，x ∈R ； 又a 1=，a n =f （n ）（n ∈N *）， ∴a 1=f （1）=，a n =f （n ）=[f （1）]n =；∴数列{a n }是首项为a 1=，公比q=的等比数列，其前n 项和为S n ==．故答案为：1﹣．16．已知函数f （x ）=e sinx+cosx ﹣sin2x （x ∈R ），则函数f （x ）的最大值与最小值的差是 ．【考点】函数的最值及其几何意义． 【分析】令t=sinx+cosx=sin （x+），则t ∈[，]，且sin2x=t 2﹣1，利用导数法分析y=e t﹣（t 2﹣1）在[，]上单调性，进而可得答案．【解答】解：令t=sinx+cosx=sin （x+），则t ∈[，]，且sin2x=t 2﹣1，则y=f （x ）=e t ﹣（t 2﹣1），∵y ′=e t ﹣t ＞0在t ∈[，]时恒成立， 故y=e t ﹣（t 2﹣1）在[，]上为增函数，故函数f （x ）的最大值与最小值的差是y|﹣y|=（）﹣（）=，故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知函数f （x ）=log a （x+2）+log a （4﹣x ），（0＜a ＜1）． （Ⅰ）求函数f （x ）的定义域；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间[0，3]的最小值为﹣2，求实数a 的值．【考点】对数函数的图象与性质；函数的定义域及其求法；函数的最值及其几何意义；对数的运算性质． 【分析】（Ⅰ）只要使x+2＞0，4﹣x ＞0同时成立即可； （Ⅱ）先把f （x ）化为f （x ）=log a （x+2）（4﹣x ）（x ∈[0，3]），再由二次函数性质及对数函数的单调性可求出f （x ）的最小值，根据最小值为﹣2，列方程解出即可．【解答】解：（Ⅰ）由得﹣2＜x ＜4∴f （x ）的定义域为（﹣2，4）；（Ⅱ）f （x ）=log a （x+2）（4﹣x ）（x ∈[0，3]） 令t=（x+2）（4﹣x ）=﹣（x ﹣1）2+9 当0≤x ≤3， ∴5≤t ≤9．当0＜a ＜1则log a 9≤log a t ≤log a 5，∴f （x ）min =log a 9=﹣2．又0＜a ＜1，∴，综上得．18．已知=（1，a ），=（sinx ，cosx ）．函数f （x ）=•的图象经过点（﹣，0）．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的最小正周期与单调递增区间．【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由题意及平面向量数量积的运算可得sin （﹣）+acos （﹣）=0，进而来了利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解a 的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）及两角和的正弦函数公式化简可得f （x ）=2sin （x+），利用周期公式可求最小正周期由x+∈[2k π，2k]，（k ∈Z ）即可解得函数f （x ）的单调递增区间．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为函数的图象经过点（﹣，0），所以f （﹣）=0．即sin （﹣）+acos （﹣）=0．即﹣+=0．解得a=． …（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f （x ）=sinx+cosx=2（sinx+cosx ）=2（sinxcos+cosxsin）=2sin（x+）． …所以函数f （x ）的最小正周期为2π． …因为函数y=sinx 的单调递增区间为[2k π，2k]，（k ∈Z ），所以当x+∈[2k π，2k]，（k ∈Z ）时，函数f （x ）单调递增，即2k π﹣≤x ≤2k π+，（k ∈Z ）时，函数f （x ）单调递增．所以函数f （x ）的单调递增区间为[2k π﹣，2k π+]，（k ∈Z ）． …19．已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n +a n =1（n ∈N *） （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =log 3（1﹣S n+1）（n ∈N *），求适合方程++…+=的n 的值．．【考点】数列的求和．【分析】（Ⅰ）令n=1，得到，当n ≥2时，求出和，两者相减，利用a n =s n ﹣s n ﹣1得到∴{a n }是以为首项，为公比的等比数列．求出通项公式即可；（Ⅱ）求出，代入b n =log 3（1﹣S n+1）中得b n =﹣n ﹣1利用=﹣化简等式得到关于n 的方程，求出解即可．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a 1=S 1，由，得．当n ≥2时，∵，，∴，即．∴．∴{a n }是以为首项，为公比的等比数列．故．（Ⅱ），b n =，解方程，得n=10020．定长为3的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，动点P 满足=2． （Ⅰ）求点P 的轨迹曲线C 的方程；（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与曲线C 交于M 、N 两点，求•的最大值． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的轨迹问题．【分析】（Ⅰ）设A （x 0，0），B （0，y 0），P （x ，y ），由得，（x ，y ﹣y 0）=2（x 0﹣x ，﹣y ），由此能求出点P 的轨迹方程．（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，化简得：（t 2+4）y 2+2ty ﹣3=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积结合已知条件能求出的最大值为．【解答】解：（Ⅰ）设A （x 0，0），B （0，y 0），P （x ，y ），由得，（x ，y ﹣y 0）=2（x 0﹣x ，﹣y ），即，又因为，所以（）2+（3y ）2=9，化简得：，这就是点P 的轨迹方程．（Ⅱ）当过点（1，0）的直线为y=0时，，当过点（1，0）的直线不为y=0时，可设为x=ty+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立，化简得：（t 2+4）y 2+2ty ﹣3=0，由韦达定理得：，，又由△=4t 2+12（t 2+4）=16t 2+48＞0恒成立，得t ∈R ，对于上式，当t=0时，综上所述的最大值为．…21．已知函数f （x ）=+ln．（Ⅰ）求证：f （x ）图象关于点（，）中心对称；（Ⅱ）定义S n =f （）=f （）+f （）+…+f （），其中n ∈N *且n ≥2，求S n ；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的S n ，求证：对于任意n ∈N *都有lnS n+2﹣lnS n+1＞﹣．【考点】函数的图象．【分析】（Ⅰ）证明：f （x ）+f （1﹣x ）=+ln ++ln=1，即可证明f （x ）图象关于点（，）中心对称；（Ⅱ）利用倒序相加法，求S n ；（Ⅲ）lnS n+2﹣lnS n+1＞﹣等价于ln （1+）＞﹣，构造 函数，即可证明．【解答】（Ⅰ）证明：f （x ）+f （1﹣x ）=+ln ++ln =1所以f （x ）图象关于点中心对称 …（Ⅱ）解：∵S n =f （）=f （）+f （）+…+f （）…①，∴S n =f （）+…+f （）+f （） …②①+②，得2S n =n ﹣1，∴S n =n ∈N *且n ≥2 …（Ⅲ）证明：当n ∈N *时，由（2）知lnS n+2﹣lnS n+1=ln （1+），于是lnS n+2﹣lnS n+1＞﹣等价于ln （1+）＞﹣…令g （x ）=x 3﹣x 2+ln （1+x ），则，∴当x ∈[0，+∞）时，g'（x ）＞0，即函数g （x ）在[0，+∞）上单调递增，又g （0）=0． 于是，当x ∈（0，+∞）时，恒有g （x ）＞g （0）=0，即x 3﹣x 2+ln （1+x ）＞0恒成立． 故当x ∈（0，+∞）时，有ln （1+x ）＞x 2﹣x 3成立，取，则有成立．…22．已知函数f （x ）=e x sinx ﹣cosx ，g （x ）=xcosx ﹣e x ，其中e 是自然对数的底数．（1）判断函数y=f （x ）在（0，）内的零点的个数，并说明理由；（2）∀x 1∈[0，]，∃x 2∈[0，]，使得f （x 1）+g （x 2）≥m 成立，试求实数m 的取值范围；（3）若x ＞﹣1，求证：f （x ）﹣g （x ）＞0．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；导数的运算．【分析】（1）利用导数得到函数y=f （x ）在（0，）上单调递增，f （0）=﹣1＜0，f （）＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f （x ）在（0，）内的零点的个数为1；（2）确定函数f （x ）在[0，]上单调递增，可得f （x ）min =f （0）=﹣1；函数g （x ）在[0，]上单调递减，可得g （x ）max =g （0）=﹣，即可求出实数m 的范围；（3）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证＞，令h （x ）=，x ＞﹣1，利用导数求出h （x ）min =h （0）=1，再令k=，其可看作点A （sinx ，cosx ）与点B （﹣，0）连线的斜率，根据其几何意义求出k 的最大值，即可证明． 【解答】解：（1）函数y=f （x ）在（0，）内的零点的个数为1，理由如下：∵f （x ）=e x sinx ﹣cosx ， ∴f ′（x ）=e x （sinx+cosx ）+sinx ，∵x ∈（0，），∴f ′（x ）＞0，∴函数y=f （x ）在（0，）上单调递增，∵f （0）=﹣1＜0，f （）＞0，根据函数零点存在性定理得函数y=f （x ）在（0，）内的零点的个数为1．（2）∵f （x 1）+g （x 2）≥m ，∴f （x 1）≥m ﹣g （x 2），∴f （x 1）min ≥[m ﹣g （x 2）]min ，∴f （x 1）min ≥m ﹣g （x 2）max ，当x ∈[0，]时，f ′（x ）＞0，函数f （x ）在[0，]上单调递增，∴f （x ）min ≥f （0）=﹣1，∵g （x ）=xcosx ﹣e x ，∴g ′（x ）=cosx ﹣xsinx ﹣e x ，∵x ∈[0，]，∴0≤cosx ≤1，xsinx ≥0， e x ≥，∴g ′（x ）≤0， ∴函数g （x ）在[0，]上单调递减，∴g （x ）max ≥g （0）=，∴﹣1≥m+，∴m ≤﹣1﹣，∴实数m 的取值范围为（﹣∞，﹣1﹣]； （3）x ＞﹣1，要证：f （x ）﹣g （x ）＞0， 只要证f （x ）＞g （x ），只要证e x sinx ﹣cosx ＞xcosx ﹣e x ， 只要证e x （sinx+）＞（x+1）cosx ，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要证＞，下面证明x ＞﹣1时，不等式＞成立，令h （x ）=，x ＞﹣1，∴h ′（x ）=，x ＞﹣1，当x ∈（﹣1，0）时，h ′（x ）＜0，h （x ）单调递减， 当x ∈（0，+∞）时，h ′（x ）＞0，h （x ）单调递增， ∴h （x ）min =h （0）=1 令k=，其可看作点A （sinx ，cosx ）与点B （﹣，0）连线的斜率，∴直线AB 的方程为y=k （x+）， 由于点A 在圆x 2+y 2=1上， ∴直线AB 与圆相交或相切，当直线AB 与圆相切且切点在第二象限时，直线AB 的斜率取得最大值为1，∴当x=0时，k=＜1=h （0），x ≠0时，h （x ）＞1≥k ，综上所述，当x ＞﹣1，f （x ）﹣g （x ）＞0．。
2019-2020年高三年级第三次质量检测数学试卷(理科).doc
2019-2020年高三年级第三次质量检测数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120 分钟.2．请将第第I 卷选择题的答案用2B 铅笔填涂在答题卡上，第II 卷在各题后直接作答。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
）1．设集合U=R ，集合P={x|x 2≥x}，Q={x|x>0}，则下列关系中正确的是 （ ）A ．P ∩Q ⊂QB ．P ∪Q ⊂QC ．P ∪Q ≠RD ．Q ∩Q=φ2．已知f (x )的反函数0)(),2(log )(21=+=-x f x x f 则方程的根为（ ）A ．1B ．0C ．－23D ．23．设a 、b 表示直线，α、β表示平面，P 是空间一点，下面命题正确的是 （ ） A ．a ⊄α，则a//α B ．a//α，b ⊂α，则a//b C ．α//β，a ⊄α，b ⊂α，则a//b D ．P ∈a ，P ∈β，a//α，α//β则a ⊂β 4．设圆x 2+y 2－2x+6y+1=0上有关于直线2x+y+c=0对称的两点，则c 的值为 （ ） A ．2 B ．－1 C ．－2 D ．1 5．在等差数列{a n }中，若a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，则a 9－31a 11的值为 （ ）A ．14B ．15C ．16D ．17 6．设复数z+i （z 为复数）在映射f 下的象为zi ，则－2+2i 的象是 （ ）A ．1－2iB ．－1－2iC ．2－2iD ．－2－2i 7．已知)tan(,cos )sin(),2(53sin βααβαπβπβ+=+<<=则等于 （ ）A ．－2B ．2C ．1D ．258 8．点P 是椭圆6410022y x +=1上一点，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△PF 1F 2有面积为（ ）A ．64B ．3364C ．64（2+3）D ．64（2－3）9．已知△ABC 中，S ABC 与则,5||,3||,415,0,,===<⋅==∆的夹角是（ ）A ．30°B ．－150°C ．150°D ．120° 10．已知αααπα22sincos33)(),2,0(+=∈M 则的最小值为（ ）A ．3B ．23C ．4D ．不存在11．某公司新招聘进8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一部分，另外三名电脑编程人员也不能分在同一个部门，则不同的分配方案共有 （ ） A ．36种 B ．38种 C ．108种 D ．24种 12．若f(x)=2ax 2+bx+c(a>0，x ∈R)，f(－1)=0，则“b<－2a ”是“f(2)<0”的 （ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上）13．某校对全校男女学生共1200名进行健康调查，选用分层抽样取一个容量为200的样本，已知男生比女生多抽了10人，则该校男生人数为 人. 14．(1－x+x 2)(1+x)6展开式中x 3项的系数是 . 15．表面积为S 的正八面体的各项点均在体积为π32的球面上，则S 的值为 . 16．已知实数x 、y 满足约速条件：y x z N y x y x x x y +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≥+-≤≤+且,,012,4,3的最大值为12，则k 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知M （1+cos2x ，1）N （1，3sin2x +a ）（x ∈R ，a ∈R ，a 是常数），且y=OM ⋅（O 为坐标原点）. （Ⅰ）求y 关于x 的函数关系式y=f (x )（Ⅱ）若x ∈[0，2π]时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并说明此时f (x )的图象可由 )6sin(2π+=x y 的图像经过怎样的变换而得到.18．（本小题满分12分）在长方形ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AD=DC=3. （Ⅰ）求直线A 1C 与D 1C 1所成角的大小；（Ⅱ）在线段A 1C 1上有一点Q 使平面QDC 与平面A 1DC所成的角为30°，求C 1Q 的长.19．（本小题满分12分）某人参加一项专业技能考试，最多有5次参加考试机会，每次考试及格的概率均为32，每次考试的成绩互不影响，当有两次考试及格，考试就能通过.（以后有考试机会也不能参加）（Ⅰ）求某人通过专业技能考试的概率；（Ⅱ）如果考试通过或已参加5次考试则不再参加考试.设某人参加考试次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.20．（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln(e x +1)－ax(a>0).（Ⅰ）若函数y=f(x)的导函数是奇函数，求a 的值；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间. 21．（本小题满分12分）设P 是双曲线16422=-y x 右支上任一点. （Ⅰ）过点P 分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E 、F ，求||||⋅的值； （Ⅱ）过点P 的直线与两渐近线分别交于A 、B 两点，△ABO 的面积为9，且PB AP λ= （λ>0），求λ的值.22．（本小题满分14分）已知函数f (x )满足ax ·f (x )=b +f (x ),(ab ≠0)，f (1)=2，并且使f (x )=2x 成立的实数x 有且只有一个.（Ⅰ）求f (x )的解析式；（Ⅱ）若数列{a n }前n 项和为S n ，a n 满足n a f S n a n n =-≥=)(2,2,231时当，求数列{a n } 的通项公式；（Ⅲ）当n ∈N *，且n ≥3时，在（II ）的条件下，令求证：.1341122110+->+++++--n d C d C d C d C C n n n n n n n n n参考答案一、选择题1—5AADDC 6—10BADCB 11—12AB二、填空题：13.63014.1115.23 16. )14,12[三、解答题：17．解：（1）a x x y +++=⋅=2sin 32cos 1∴f (x )=cos2x +3sin2x +1+a .………………………………………………（5分） （2）a x x f +++=1)62sin(2)(π]2,0[6,262ππππ∈==+∴x x 即时，f (x )取最大值3+a ，由3+a =4，得a =1∴f (x )=2sin(2x +6π)+2……………………………………………………（10分） ∴将y=2sin(x +6π)图像上每一点的横坐标缩短到原来的21,纵坐标保持不变，再向上平移2个单位长度可得y=2sin(2x +6π)+2的图像…………………………（12分）18．解法一：（I ）建立空间直角坐标系，如图所示，则D （0，0，0）D 1（0，0，1），A 1（3，0，1）， C （0，3，0），C 1（0，3，1）..721373,cos ).0,3,0(),1,3,3(111111111111=⋅=>=<∴=--=∴C D A C D C A ∴直线A 1C 与D 1C 1所成的角为arccos721.……………………6′（II ）设Q （x 0，y 0，z 0）∵点Q 在直线A 1C 1上，).1),1(3,3(.1),1(3,3)0,3,3()1,3,(000000111λλλλλλ-∴=-==⇒-=--⇔=∴Q z y x z y x A C C设平面QDC 与平面A 1DC 的法向量分别为n 1=（x 1，y 1，z 1），n 2=（x 2，y 2，z 2）.……3′由⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0)1),1(3,3(),,(,0)0,3,0(),,(,0,011111111λλz y x z y x DQ n n 01).3,0,1(,1.03,00)1,0,3(),,(,0)0,3,0(),,(0,08).3,0,1(,1.03,02222222222212211111'-==⎩⎨⎧=+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅'-==⎩⎨⎧=+=⇒ n x z x y z y x z y x DA n n n x z x y 则令由则令λλ∵二面角Q —DC —A 1为30°，21.36||31||||11.3123|31231|23|,cos |11111221'==='⇒⇒=++⇒=><∴ A C A C Q C n n λλλλ故 解法二：（I ）∵A 1B 1 //D 1C 1，∴∠B 1A 1C 为异面直线A 1与D 1C 1所成的角……2′ 连B 1C ，在Rt △A 1B 1C 中，A 1B 1=3，B 1C=2，)772sin 721(cos .33232tan 111111111=∠=∠===∠∴C A B C A B B A C B C A B 或∴异面直线A 1C 与D 1C 1所成的角为arctan332.……………………6′ （II ）在平面A 1C 1内过点Q 作EF//A 1B 1， ∴EF//CD ，连FC 、ED.∵B 1C ⊥DC ，FC ⊥DC ，∴∠B 1CF 为二面角A 1—DC —Q 的平面角.…………………………9′ ∴∠B 1CF=30°.又B 1C 1=3，CC 1=1， ∴tan 311111==∠CC C B CC B , ∴∠B 1CC 1=60°，∴CF 为∠B 1CC 1的角平分线，∴∠FCC 1=30°，3631.3330tan 11111111111==⇒===∴A C Q C B C F C A C Q C CC FC 又19．解：（1）记“考试通过”为事件A ，其对立事件为A ，则5415)31()31(32)(+⨯⨯=C A P∴243232])35()31(32[1)(5415=+⨯⋅-=C A P …………………………（6分） （2）考试次数ξ的可能取值为2，3，4，524327)31()32()31(32)31(32)5(27432)31(32)4(278323132)3(94)32()2(5415314213122=+⨯+⨯⨯⨯===⨯⨯⨯===⨯⨯⨯=====C C P C P C P P ξξξξ……………………………………（11分） 24371124327527442783942=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………（12分） 21．解：（1）由已知得a e e x f xx-+='1)(………………………………（2分） ∵函数y=f (x )的导函数是奇函数，.21),()(='-=-'∴a x f x f 解得……………………………………（4分）（2）由（1）a e a e e x f x xx -+-=-+='1111)( 当a ≥1时，f ′(x )<0恒成立.∴当a ≥1时，函数y= f (x )在R 上单调递减…………………………（7分） 当0<a <1时，解f ′(x )>0得（1－a ）（e x +1）>1，………………12′即aax a e x->-+->1ln,111 当),1(ln )(,10+∞-=<<aax f y a 在时内单调递增 在)1ln,(aa--∞内单调递减……………………………………（11分） ∴当a ≥1时，函数y=f (x )在R 上单调递减 当0<a <1时，y=f (x )在（aa-1ln ，+∞）内单调递增 在)1ln,(aa--∞内单调递减……………………………………（12分） 21．（I ）设.1641164),,(2020202000=-⇒=-y x y x y x P 则∵两渐近线方程为2x ±y=0，……………………………………（2分） 由点到直线的距离公式得)5(.5165|4|||||5|2|||,5|2|||20200000分 =-=⋅∴+=-=y x y x PF y x PE（II ）如图，设渐近线y=2x 的倾斜角为θ则542sin sin ,532cos 2tan ==∠-=⇒=θθθAOB ，……（7分）设A （x 1，2x 1），B （x 2，－2x 2）， ∵0,>=λλ∴P 为有向线段AB 的内分点， ∴x 1>0，x 2>0. ∴,5||,5||21x OB x OA ==)9(.29,922sin ||||212121分 =∴===∴∆x x x x OB OA S ABO θ 又)12,1(,2121λλλλλ+-++=x x x x p 得，代入双曲线方程化简得：.212,)1(29)1(2221或解得即=+=+=λλλλλx x故21=λ或2.……………………………………………………（12分） 22．解：（1）由f(1)=2得2a=b+2 ①由f(x)=2x ，得ax ·2x=b+2x ，即2ax 2－2x －b=0只有一个x 满足f(x)=2x ，又a ·b ≠0， 则a ≠0 ∴△=4+8ab=0 ②由①②解得 a=1,21-=b ………………………………（2分） )4()2(22)(2012,1)()12(分则 ≠-=∴≠⇒≠--=-∴x xx f x xx f x（2）当n ≥2时，2222+=+∴=--n a S n a S n n nn∵当23212323,1111=⇒+=+=+=a a S n 时…………（6分） ∴当n ≥2（n ∈N*）时，S n +a n =n+2，则S n －1+a n －1=n+1两式相减得：2a n －a n －1=1（n ≥2）∴2(a n －1)=a n －1－1，即a n －1=21(a n －1－1) （n ≥2） ∴数列{a n －1}是以21为首项，以21为公式的等比数列.n n n n a a 211)21(2111+=∴=-∴-……………………（9分）（3）1)21(log )1211(log 121121+==-+=++n d n n n)14(1341341)1(2112)12(2)(2222,3112])[(11111)11(112)1()1()1()1()1(11]12)2)(1()[1()1()2)(1(111221101101101111101112111112211011分时当分 +->++++∴+-=++>+-∴+>+++=⋅=≥+-=-++++=++++++=+++∴+=⋅-++--+⋅+=⋅--++---=+=∴--++++++++++++--++n d C d C d C d C C n n n n n C C C n n c c c c n n C n C n C d C d C d C C n C K k k k n n n n n k k k k k n n n n k C d C n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nk n k n k k n。