保角变换
第6章保角变换-数学物理方法
f ( z0 ) 是经过映射Biblioteka f ( z ) 后通过点z0 的
的任何曲线C在 z0的伸缩率, 它与曲线C的形状及
方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.
5
2.共形映射（保角映射）
设函数w f ( z )在区域 D内解析, z0为 D内一点,
且 f ( z ) 0 , 那末映射w f ( z ) 在 z0 具有两个性 质: (1) 保角性; (2) 伸缩率不变性.
圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域. 3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
13
5. 几个初等函数所构成的映射
1) 幂函数 w z n ( n 2).
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原
点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
故
b 1, a 1 i ,
(1 i ) z 1 ( i 1) z 1 所以 w 为所求. z (1 i ) z (1 i )
19
解3 利用典型区域映射公式
将所求映射设为 w e i
z z A , 1 z 1 z
保角变换
复变函数在几何意义上实际上相当于将平 面上的区域变成了平面上的另一个区域（简称 为映射）． 应用：利用复变函数（特别是解析函数）所构 成的映射来实现复杂区域的简单化，这将给实 际问题的研究带来很大的方便．而利用保角变 换法求解数学物理方程边值问题．
1
本章内容： 1）保角射的概念； 2）分式线性映射和几个初等函数所构成的 映射； 3）典型实例描述保角映射的应用． 重点： 分式线性变换及其映射特点 难点：
通俗理解保角变换
通俗理解保角变换保角变换是一种数学中常用的线性变换方法，它在图像处理、计算机视觉以及计算机图形学等领域有着广泛的应用。
它可以将一个平面上的任意形状变换为另一个平面上的指定形状，同时保持原始图像的角度不变。
保角变换的原理是基于复平面上的一个定理，即保角变换可以通过将原始图像的每个点映射到一个新的点来实现。
这个新的点的位置是根据原始图像上的每个点的角度和距离来计算的。
换句话说，保角变换是通过对每个点进行角度和距离的调整来实现的。
保角变换的一个重要应用是图像的形变。
通过保角变换，我们可以将一个图像的形状变换为另一个图像的形状，同时保持图像的角度不变。
这在计算机图形学中非常有用，可以用于图像的纠正、图像的拼接以及图像的变形等方面。
另一个重要的应用是图像的纠正。
在拍摄照片或者录制视频时，由于摄像机的位置或角度的问题，导致图像出现畸变。
通过保角变换，我们可以对这些畸变进行纠正，使得图像恢复到原始形状。
除了图像处理领域，保角变换还广泛应用于计算机视觉中。
在计算机视觉中，我们常常需要对图像进行特征提取和匹配。
通过保角变换，我们可以将不同角度和尺度的图像进行统一处理，从而提取出它们的共同特征。
保角变换还可以应用于地图投影。
地球是一个球体，而地图是一个平面，因此在制作地图时必须进行投影。
保角投影是一种常用的地图投影方法，它可以保持地图上各个地区的角度不变，从而更准确地表现出地球的地形。
总的来说，保角变换是一种非常重要的数学变换方法，它在图像处理、计算机视觉以及计算机图形学等领域都有着广泛的应用。
通过保角变换，我们可以对图像进行形变、纠正畸变、提取特征以及制作地图等操作，从而帮助我们更好地理解和处理图像数据。
保角变换基础理论
一、基础知识 1 定义在自变量域我们对同一个点从两个方向趋近，这两个趋近方向的夹角与在因变量上趋近的方向夹角一致，称为保角变换 2泊松方程与拉普拉斯方程对于泊松方程：20ρϕε∇=（在静电场中，可以表示电势与电荷的分布关系） 同时在没有电荷分布的地方满足拉普拉斯方程：20ϕ∇=3将在原来复杂的区域上的表达式通过一个变换，折射到宁一个区域上，使得某一分布函数得到简化变换的条件是泊松方程与拉普拉斯方程仍然成立22222x y∂∂∇=+∂∂，同时，我们定义x 、y 为ξ、η的函数：(,)x ξη、(,)y ξη 则x x x ξηξη∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂2222222()x x x x x x x x x x ξηξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 其中：222x x x x x ξηξηξξξηξξηξ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 同理：222x x x x x ηξηξηηηξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=+⋅ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 所以：222222222222x x x x x x x ξηξηξηξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ =++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 同理：222222222222y y y y y y y ξηξηξηξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 所以拉普拉斯方程变换为：22222222222222222222222x y x y x y xy xy x y y x ξξηηξξηηξηξηξηξηξη ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ∇=+=+++++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂要满足保角变换，其实部与虚部都需要满足拉普拉斯方程：20ξ∇=、20η∇= 将实部与虚部要满足的拉普拉斯方程代入上式：2222222222222x y x y x y ξξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂ ∇=+=+++∂∂∂∂∂∂∂∂ ()'f z ix xξη∂∂=+∂∂（对于趋近方向为：0,0x y ∆→∆=） 222222"()f z x x x y y x ξηξξηη ∂∂∂∂∂∂=+=+=+ ∂∂∂∂∂∂将其代入：22222222'()'()'f z f z ξη ∂∂∇=+=∇∂∂也就是说，原坐标下的拉普拉斯方程与泊松方程变换为：220'0ϕϕ∇=⇒∇=222001''()f z ρρϕϕεε∇=⇒∇= 那么对于一个线段，在原坐标系下长度为1，其在新的坐标系下长度为'()f z 二、常用的保角变换1. 线性变换f az b =+，显然'f a =，其几何效果如下：线性变换一般不单独使用：仅对原来的二位分布做了位似2.幂和根式n xn f z = i n in z Ae f A e ϕϕ=⇒=用来处理过原点的射线，原来的射线的长度ρ的取值范围为（0，+∞），求幂或根还是（0，+∞）将原来的自变量求幂次积，几何效果如下：假设有变换3f z =，其效果为：将原来的60°夹角变为180°，并且其中的点的分布也随之扩大角度，假设原来的函数为电势分布函数，求p 点的电势，则通过变换之后，在新的复平面得到了一个平行分布的电势图，设新的电势分布图中，边界上的电势为V 0，则空间中的电势分布为0u V C η=+⋅，其中，C 为常数，C 与介质表面的面密度σ相关，其正负与σ的正负相反我们在新的复平面中求出电势的表达式之后，再求逆变换得到在原来的复平面上的电势表达式：0u V C η=+⋅中，由原来的变换：()()()32332322333(3)(3)i x iy x x iy x iy iy x xy i x y y ξη+=+=+⋅++=−+−由实部对实部，虚部对虚部，得：233x y y η=− 将η代入电势表达式中：()2303u V C x y y =+⋅−得到电势关于x 、y 的表达式同理可以得到将原来的复平面上的表达式开根得到将原来的夹角缩小相应的倍数的变换方法3. 指对数变换（一）、对于指数函数：()z x iy x iy f e e e e +===⋅此处需要注意，这里使用了复变函数的幅角表示法，即：i z Ae ϕ=，所以此处的x e 为幅值，iy e 为幅角其几何空间意义如下： （1），复平面中平行于实轴的直线，其变换后的图像为过原点的射线对于原空间有一条平行于实轴的直线（(,)y const x ∈−∞+∞，），原来的x 的值为幅角，y 的值为幅值。
共形变换和保角变换
共形变换和保角变换
共形变换和保角变换是复变函数论中的重要概念。
共形变换是指保持角度不变的变换，即它保持两条曲线在交点处的夹角大小不变。
保角变换是指保持曲线上的角度不变的变换，即它保持曲线上各点的切线所成的角度不变。
共形变换和保角变换在物理学、工程学和自然科学中都有广泛应用。
例如，在地理学中，地图投影就是一种共形变换，它保持了地球表面上不同地区的地理特征和角度关系。
在流体力学中，一些流体运动模型中也使用了保角变换来描述流体的运动轨迹。
共形变换和保角变换在复变函数论中有着重要的应用。
它们可以用来研究复平面上的连续函数和解析函数的性质，以及解析函数在复平面上的分布和变换规律。
通过研究共形变换和保角变换，可以推导出许多复变函数的重要结论和定理。
因此，共形变换和保角变换是复变函数论中不可或缺的基础概念之一。
- 1 -。
保角变换不是保距变换的例子
保角变换（conformal transformation）和保距变换（isometric transformation）是不同类型的几何变换。
保角变换是指在变换过程中保持角度关系不变的变换。
在保角变换中，角度的测量在变换前后保持不变，但距离和比例关系可能会发生变化。
常见的保角变换包括旋转、缩放和正射投影等。
保距变换是指在变换过程中保持距离不变的变换。
在保距变换中，两点之间的距离在变换前后保持不变，但角度和比例关系可能会发生变化。
常见的保距变换包括平移和等距投影等。
以下是一个例子来说明保角变换和保距变换的区别：
假设有一个平面上的圆形和一个正方形，进行保角变换后，圆形的形状可能会发生变化，变成椭圆或其他形状，但在圆形上的所有角度仍然保持不变。
而正方形经过保角变换后，每个角度也会保持不变，但边长可能会发生变化。
相比之下，进行保距变换后，圆形和正方形的边长将保持不变，但形状可能会发生变化。
保距变换后，圆形仍然是圆形，而正方形仍然是正方形，只是在空间中的位置可能会发生变化。
这个例子展示了保角变换和保距变换之间的差异，它们在保持几何特性方面有不同的重点。
保角变换电场力
保角变换电场力电场力是电荷在电场中受到的力的称呼。
在物理学中，通过保角变换可以改变电场力的方向和大小。
本文将介绍保角变换对电场力的影响。
我们来了解一下什么是保角变换。
保角变换是指在电场中改变坐标系的方向和大小，但保持电场力的方向和大小不变。
这意味着通过保角变换，我们可以改变观察电场力的角度和距离，而不改变电场力的本质。
保角变换可以通过旋转坐标轴来实现。
假设原来的坐标系是直角坐标系，我们可以通过旋转坐标轴将其转换为新的坐标系。
在新的坐标系中，电场力的方向和大小仍然保持不变，但是观察电场力的角度和距离发生了变化。
通过保角变换，我们可以更好地理解电场力的作用。
在原来的坐标系中，电场力可能是沿着某个坐标轴的方向。
但是通过保角变换，我们可以将坐标轴旋转到与电场力方向垂直的方向上。
这样一来，我们可以更清楚地观察电场力的作用效果。
保角变换还可以改变电场力的大小。
在原来的坐标系中，电场力的大小可能是一个特定的数值。
但是通过保角变换，我们可以将坐标轴进行缩放，从而改变电场力的大小。
这样一来，我们可以通过保角变换来调整电场力的强弱。
需要注意的是，保角变换只是改变了观察电场力的角度和距离，并不改变电场力的本质。
无论是在原来的坐标系中观察，还是在经过保角变换后的坐标系中观察，电场力的方向和大小都是相同的。
保角变换只是为了更好地理解和分析电场力的作用效果。
保角变换可以改变电场力的观察角度和距离，但不改变电场力的方向和大小。
通过保角变换，我们可以更好地理解和分析电场力的作用效果。
保角变换为我们研究电场力提供了一种新的思路和方法。
希望本文对读者对保角变换电场力有所帮助。
《流体力学》课件 3.9 保角变换
d w dW d d z d d z
在无穷远处，有：
d w d z
dW d
d dz
考虑到
dW d
kV
，
d dz
1 k
，有：
dw dz
V
三、环量的确定
1. 补充条件
dw 有限的常数
dz zB 2. 环量的确定
dz
d
E
0
dw 有限常数
dz zB
dw
d
E
w1 z
Q
2
lnz
i
h
Q
2
lnz
i
h
Q ln z2 h2 2
wz
w1 z
w1
a2 z
wz
Q
2
ln z2
a4 z2
h2
a4 h2
dz
d
k
；（其中：
k
是正的实数）
（根据黎曼定理这样的函数存在且是唯一的）
W
kV
w
z
kV R
kV
2
2 i
F z
ln
kV
F z
R
2
F z
ln
2 i
F
z
证明：1. 因W 是在 K D 上连续且在 D 内解析的函数， Fz是在 C D 上连续且在 D 内解析的函数。于是，根据复合函数的性质 wz W F z
一、保角变换的概念
w f z
V f lin w f ei Δz0 z
w wei f eiz f z ei
12
1 2
2 1` 2 1`
黎曼定理：
任何一个单连通区域必可通过某个保角变换 变为另一个任意给定的单连通区域。
保角变换
1 应用原理及特点在矿场水力压裂中，如何针对有效渗透率和厚 度不等的特定储层，设计出缝长和导流能力的优化 方案， 是应考虑的首要问题之一。
另外需要一种计算裂缝井产能的简易方法。
应用保角变换方法研究压裂井产能，其原理及特点是：①能将 z 平面上特别复杂的渗流问题转化为平面上一相对简单和易于求解的渗流问题；② 可准确地描述井筒附近较为复杂的流动型态( 裂缝 内流动和非裂缝区域拟径向流动) 对压裂后产能的贡献，而且能对不同导流能力造成的复杂流线型态 统一转化，因而具有广泛的适应性；③经过保角变换后假设的缝端封闭边界条件更符合实际，因保角变换后， 裂缝端部位于主流线上。
以此为基础，应用质量守衡定律和达西运动方程，推导出了裂缝内原油 流动所满足的压力二阶微分方程， 并进行了产量的 求解，与现有的典型曲线对比，一致性程度较好。
2 数学模型2、1模拟的假设条件 模拟的假设条件是： ①垂直裂缝 ， 且对称分布于油井的两边； ②假设裂缝剖面为矩形， 高度恒定， 并等于油层厚度 ； ③裂缝宽度相对油藏的供给半径来 说非常小，即在进行保角变换时可忽略不记； ④裂缝 内导流能力可以是有限导流， 也可以是无限导流； ⑤油藏及裂缝内为单相流动，且符合达西线性定律； ⑥稳态渗流，且不考虑地层的垂向流动； ⑦不考虑地层和裂缝内的污染。
2、2模型 的建立在 z 平面上建立 一 Y 坐标系，保角变换转化为平面 r — s 坐标系( 图1 )图一 保角变换示意图取保角变换为：chw L z f =2ww e e chw -+=式中：z 为Z 平面上的复变函数，i y x z +=，f L 为裂缝半长，m;w 为变换后的W 平面，''i y x w +=。
裂缝井的渗流问题从而演变为带状地层向中心 线A 的单向渗流问题。
由于对称性 ， 只研究 平 面中图示阴影部分的单向渗流问题。
其中'O 为''B A 的中点 ， 即2''π=A O 。
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二、复变函数的连续
设w=f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z0，极限
存在，则称函数f(z)在z0点处连续，如果w=f(z)在区域B上各点 都连续，则称在区域B上连续。
1.3 导数
三、导数的定义
设w=f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z0，极限
1.2 复变函数
三次函数
• 定义
w= z3
2000 1000 0 -1000 -2000 -10 -5 10 5 0 0 5 10 -10 -5
分析
= 3xy2 -iy3 u = x3 – 3xy2 , v = 3x2y - y3 3x • 性质
u + iv
(x+iy)3 = x3
+3i +3ix2y-
四、Cauchy-Riemann条件 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在区域B内的 函数，如果f(z)在任一点z=x+iy可导，则 一定有下式成立
∂u ∂v = , ∂x ∂y ∂v ∂u =− ∂y ∂x
称之为Cauchy-Riemann条件（方程）
可导的必 设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点 要条件 z=x+iy可导，那么有
一、基本概念
邻域： （1）邻域：以复数 z0 为圆心，以任意小的 正实数 ε 为半径作一圆，则满足 | z − z0 |< ε 的所 有点的集合称为 z 的 ε 邻域.
0
（2）去心邻域：以复数 z0 为圆心，以任意 去心邻域： 小的正实数 ε 为半径作一圆，则满足 0 < z − z < ε 的点的集合称为 z0 的一个去心 ε 邻域.
举例
de z z =e dz
dLnz 1 = dz z
d cos z d sin z = − sin z = cos z dz dz d sinh z = cosh z dz d cosh z = sinh z dz
虽然满足C-R条件，但f(z)在z=0处不可导
可导的充分必要条件
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y) 在(x,y)处满足：
∂u ∂u ∂v ∂v 1. , , , 在( x, y )点处存在且连续； ∂x ∂y ∂x ∂y 2. 在( x, y )点处满足Cauchy − Riemann条件
③ 结构
• 相同点： 复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。 • 不同点： 基本实变函数 1/n exp(x ln(x sin(x arctan(x • xn, x1/n, exp(x), ln(x), sin(x), arctan(x) 基本复变函数 • zn, z1/n, exp(z),ln(z) exp(z),ln(z 原因 • cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i
dz dz dz
d z ω2
ω2
d (ω1 ⋅ ω2 ) = ω1 d ω2 + ω2 d ω1 dz dz dz
dω dz =1 dω dz
d F (ω ) d F d ω = ⋅ dz dω d z
说明
但是，从复变函数可导的定义来看，极限存在要求于 Δz→0的方式无关。这一限制，使得复变函数的可导要 比实变函数限制严得多。为什么？？？ 因为这实质上是一个二重极限。与实变函数中二元 函数极限相似。 两个例子：1. dzn/dz=nzn-1 2. w=z*在z平面上处处连续，但处处不可导。 可导必连续，连续未必可导 可导必连续，连续未必可导.
2 1.5 1 0.5 0 3 1 2 3 4 5 1 2 5 4
1 2 0 -1 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1
1.2 复变函数
三角函数 • 定义 w = sin(z) sin(z • 分析 u + iv = sin(x+iy) sin(x+iy) = sin(x)ch(y) + i sin(x)ch(y cos(x)sh(y cos(x)sh(y(y v = cos(x)sh(y) cos(x)sh(y • 性质 对称性 周期性 无界性 单值性
作业：
P5: 1 (2)、 (2)、 （4）、（6）、（8）、（10）； ）、（6）、（8）、（10）； 2 （4）、（6）； ）、（6 3 （5）、（6）、（7）、（8）。 ）、（6）、（7）、（8 P9：2（1）、（3）、（5）、（7）、（9）； P9： ）、（3）、（5）、（7）、（9
3.
1.3 导数
∂u ∂u ∂v ∂v 1. , , , 在( x, y )点处存在； ∂x ∂y ∂x ∂y 2. 在( x, y )点处满足Cauchy − Riemann条件
∂u ∂v ∂v ∂u = , =− ∂x ∂y ∂x ∂y
逆命题不成立
xy , xy ≥ 0 f ( z ) = Re z ⋅ Im z = i | xy | , xy < 0
内点
Z1
.
Z2
界点
.
外点
.
区域： （7）区域：区域严格的定义是指同时满足下列两个条 件的点集： (i) 全由内点组成；（开集性） (ii)点集中的任意两点都可以用一条折线连接起 来，且折线的点全都属于该点集； （连通性） 区域可用符号 D 表示。 ： 可
谓 属 区
D
D
， D 连 条 线 连 起来 .
20 4 0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
20 4 0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
1.2 复变函数
三、单值与多值函数
单值函数：每一个自变量复数z 单值函数：每一个自变量复数z对应一个确定的复 数w的值，则称w = f (z)为单值函数。 的值，则称w 多值函数：每一个自变量复数z 多值函数：每一个自变量复数z对应几个或无穷多 个复数w的值，则称w 个复数w的值，则称w = f (z)为单值函数。
1.2 复变函数
二、基本函数
二次函数 • 定义 w = z2 • 分析
u + iv = (x+iy)2 = x2 +2ixy -y2 x+iy)
u = x2 -y2 , v = 2xy
• 性质 对称性 无周期性 无界性 单值性
200 100 0 -100 -200 -10 -5 0 5 10 -10 -5 10 5 0
那么f(z)在z=x+iy处可导。
证明过程
导数的计算公式
设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么
df ( z ) ∂u ∂v ∂v ∂u = +i = −i dz ∂x ∂x ∂y ∂y
极坐标下的Cauchy-Riemann条件
∂u 1 ∂v = , ∂r r ∂θ ∂v 1 ∂u =− ∂r r ∂θ
（10）有界区域：如果一个区域 D 可以被包含在 10）有界区域： 一个以原点为中心的圆内部，即存在正数M 一个以原点为中心的圆内部，即存在正数M, 使得 区域D的每一点z 区域D的每一点z都满足 ，那么D称为有界区域. ，那么D称为有界区域. 11）无界区域： （11）无界区域：根据上面的定义，非有界区域即 为无界区域. 为无界区域.
几何意义
导数f '(z0)的幅角Argf '(z0)是曲线经过w=f(z)映射后在z0处的 转动角.
w=f(z)
∆w Arg ∆w− Arg ∆z dw = e d z z = z0 lim ∆z z = z0
Argf '(z0)
导数f ‘(z0)的模|f ’(z0)|是经过w=f(z)映射后通过z0的任何曲线 在z0的伸缩率。
f ( z ) − f ( z0 ) ∆ω lim = lim ∆z →0 ∆z z → z0 z − z0
存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为函数f(z)在 z0点处的导数或微商，记为
f ′( z0 ),
d f ( z0 ) d f ( z) 或 d z z = z0 dz
说明
形式上类似于实变函数的一元函数的导数定义。 形式上类似于实变函数的一元函数的导数定义。 因此实变函数中一元函数的求导法则及初等函数 的求导公式都可以照搬过来，只不过将实变量x改 的求导公式都可以照搬过来，只不过将实变量 改 写成复数z而已 而已。 写成复数 而已。 d d ω1 d ω2 ′ ′ d ω1 ω1ω2 − ω1ω2 = (ω1 ± ω2 ) = ± 2
复变函数的分类
复复复复（广狭）
复复复复
复复复复（狭狭）
初等函数
非初等函数
代复复复
超超复复
无无无无无
无无无复无
有有复复
无有复复
幂复
无无无无
整整
分整
幂幂复
傅傅傅幂复
分析与比较：
实变函数与复变函数
① 定义域和值域 • 相同点： 都是数集 • 不同点： 实数集是一维的，可以在( 实数集是一维的，可以在(直)线上表示； 复数集是二维的，必须在( 复数集是二维的，必须在(平)面上表示。 • 典型例子： |x|<2 是连通的， 1<|x|是不连通的； 1<|x |z|<2是单连通的，1<|z|是复连通的。 |<2是单连通的，1<|z
0
内点： （3）内点：对于平面点集 G ， 设 z0 ∈G ，若 z0 及其邻域均属 于 G ，则称 z0 为 G 的内点. 外点： （4）外点：若 z0 及其邻域均不属于点集 G ，则称 z0 为该点集的 外点. 开集： （5）开集：若 G 内的每个点都是内点，则称 G 为开集. 连通集： （6）连通集：若连接 G 内任意两点的折线也属于 G ，则称 G 为 连通集.