保角变换和曲线坐标
第6章保角变换-数学物理方法
f ( z0 ) 是经过映射Biblioteka f ( z ) 后通过点z0 的
的任何曲线C在 z0的伸缩率, 它与曲线C的形状及
方向无关. 所以这种映射又具有伸缩率的不变性.
5
2.共形映射（保角映射）
设函数w f ( z )在区域 D内解析, z0为 D内一点,
且 f ( z ) 0 , 那末映射w f ( z ) 在 z0 具有两个性 质: (1) 保角性; (2) 伸缩率不变性.
圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所 围成的区域. 3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这 二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.
13
5. 几个初等函数所构成的映射
1) 幂函数 w z n ( n 2).
映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原
点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的 n 倍.
故
b 1, a 1 i ,
(1 i ) z 1 ( i 1) z 1 所以 w 为所求. z (1 i ) z (1 i )
19
解3 利用典型区域映射公式
将所求映射设为 w e i
z z A , 1 z 1 z
保角变换
复变函数在几何意义上实际上相当于将平 面上的区域变成了平面上的另一个区域（简称 为映射）． 应用：利用复变函数（特别是解析函数）所构 成的映射来实现复杂区域的简单化，这将给实 际问题的研究带来很大的方便．而利用保角变 换法求解数学物理方程边值问题．
1
本章内容： 1）保角射的概念； 2）分式线性映射和几个初等函数所构成的 映射； 3）典型实例描述保角映射的应用． 重点： 分式线性变换及其映射特点 难点：
保角变换基础理论
一、基础知识 1 定义在自变量域我们对同一个点从两个方向趋近，这两个趋近方向的夹角与在因变量上趋近的方向夹角一致，称为保角变换 2泊松方程与拉普拉斯方程对于泊松方程：20ρϕε∇=（在静电场中，可以表示电势与电荷的分布关系） 同时在没有电荷分布的地方满足拉普拉斯方程：20ϕ∇=3将在原来复杂的区域上的表达式通过一个变换，折射到宁一个区域上，使得某一分布函数得到简化变换的条件是泊松方程与拉普拉斯方程仍然成立22222x y∂∂∇=+∂∂，同时，我们定义x 、y 为ξ、η的函数：(,)x ξη、(,)y ξη 则x x x ξηξη∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂2222222()x x x x x x x x x x ξηξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 其中：222x x x x x ξηξηξξξηξξηξ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 同理：222x x x x x ηξηξηηηξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=+⋅ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 所以：222222222222x x x x x x x ξηξηξηξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ =++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 同理：222222222222y y y y y y y ξηξηξηξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 所以拉普拉斯方程变换为：22222222222222222222222x y x y x y xy xy x y y x ξξηηξξηηξηξηξηξηξη ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ∇=+=+++++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂要满足保角变换，其实部与虚部都需要满足拉普拉斯方程：20ξ∇=、20η∇= 将实部与虚部要满足的拉普拉斯方程代入上式：2222222222222x y x y x y ξξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂ ∇=+=+++∂∂∂∂∂∂∂∂ ()'f z ix xξη∂∂=+∂∂（对于趋近方向为：0,0x y ∆→∆=） 222222"()f z x x x y y x ξηξξηη ∂∂∂∂∂∂=+=+=+ ∂∂∂∂∂∂将其代入：22222222'()'()'f z f z ξη ∂∂∇=+=∇∂∂也就是说，原坐标下的拉普拉斯方程与泊松方程变换为：220'0ϕϕ∇=⇒∇=222001''()f z ρρϕϕεε∇=⇒∇= 那么对于一个线段，在原坐标系下长度为1，其在新的坐标系下长度为'()f z 二、常用的保角变换1. 线性变换f az b =+，显然'f a =，其几何效果如下：线性变换一般不单独使用：仅对原来的二位分布做了位似2.幂和根式n xn f z = i n in z Ae f A e ϕϕ=⇒=用来处理过原点的射线，原来的射线的长度ρ的取值范围为（0，+∞），求幂或根还是（0，+∞）将原来的自变量求幂次积，几何效果如下：假设有变换3f z =，其效果为：将原来的60°夹角变为180°，并且其中的点的分布也随之扩大角度，假设原来的函数为电势分布函数，求p 点的电势，则通过变换之后，在新的复平面得到了一个平行分布的电势图，设新的电势分布图中，边界上的电势为V 0，则空间中的电势分布为0u V C η=+⋅，其中，C 为常数，C 与介质表面的面密度σ相关，其正负与σ的正负相反我们在新的复平面中求出电势的表达式之后，再求逆变换得到在原来的复平面上的电势表达式：0u V C η=+⋅中，由原来的变换：()()()32332322333(3)(3)i x iy x x iy x iy iy x xy i x y y ξη+=+=+⋅++=−+−由实部对实部，虚部对虚部，得：233x y y η=− 将η代入电势表达式中：()2303u V C x y y =+⋅−得到电势关于x 、y 的表达式同理可以得到将原来的复平面上的表达式开根得到将原来的夹角缩小相应的倍数的变换方法3. 指对数变换（一）、对于指数函数：()z x iy x iy f e e e e +===⋅此处需要注意，这里使用了复变函数的幅角表示法，即：i z Ae ϕ=，所以此处的x e 为幅值，iy e 为幅角其几何空间意义如下： （1），复平面中平行于实轴的直线，其变换后的图像为过原点的射线对于原空间有一条平行于实轴的直线（(,)y const x ∈−∞+∞，），原来的x 的值为幅角，y 的值为幅值。
144《高等渗流力学》—保角变换及应用
从上面对于关系可以看出，w平面上半径为1的单位圆，对 应z平面上长度为2c的裂缝井。 再看w平面上任一圆（等势线）ρ=R，对应Z平面长轴为 c⎛ 1⎞ c 1 a = ⎜ R + ⎟ 短轴为： = ⎛ R − ⎞ 的椭圆。 b ⎜ ⎟ R⎠ 2⎝ R⎠ 2⎝
井径无穷小线段：rw = 假设： L ——
dz dw rw ρw ⇒ ρw = dw dz
z 平面上绕井封闭曲线； dn, dL —— z 平面上L的法线及切线单元； λ —— w平面对应封闭的曲线。 dv, d λ —— w平面上 λ 的法线及切线单元； Q —— z 平面上井产量；
Q =
∫
dφ dn
z
一个点
判断条件
z = z ( w) 单值 z = z ( w) 多值 z = z ( w) 单值 z = z ( w) 多值
根据以上对应关系，有以下逻辑判断成立： 如果单值 在一个平面上完成确定的流动网络（流场图）— —流线和等势线对应于另一个平面流动网络。此时 Φ ， Ψ 值本身是相同的 单值对应
z
w平面等势线 ρ = C2' 圆 w平面流线 θ = C2' 射线
7
保角变换及应用
寻求一个适当变换，把较复杂物平面问题变换为像平面问题，而像平面 复势，产量容易求出。待求出像平面产量公式后，再变换到物平面上。
例二：
直线供给边缘附近一口井。
8
保角变换及应用
取变换：w = ρ e
z 平面井心 w = 0 w平面原点 平面 z 点 x 上总有： = 0 y
w 平面上偏心井产量： Q =
q= 2π ( Φ e − Φ w ) ⎡ πL ⎛ ρa ρ e ln ⎢ e ⋅ e a ⋅ ⎜1 − e 2 ⎢ πρ r ⎜ ρe e w ⎜ ⎢ ⎝ ⎣
应用数学 课件 第14章 保角变换法-兰州大学信息院
（11.1.3）
利用解析函数
的C-R条件
(11.1.4)
以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质
(11.1.5)
将式（11.1.4）和式（11.1.5）代入到式（11.1.3）化简后得到
注意到上式已经使用了：
对于保角变换
满足拉普拉斯方程，则
因而只要 ）也满足拉
普拉斯方程，即为
（11.1.6）
(11.1.9) 经变换后仍然服从亥姆霍兹方程 (11.1.10)
注意到方程要比原先复杂，且 能不是常系数．
前的系数可
保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程
等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将
复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决．
保角变换的特点
角度不变； 方程形式不变； 电势不变； 总电荷不变； 电容不变；
角变换法求解．
保角变换法解定解问题的基本思想：
通过解析函数的变换或映射（这部分知识在复变函数论中 已经学习过）将 Z平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为 W平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的
边值问题，而后一问题的解易于求得．于是再通过逆变换
就求得了原始定解问题的解． 这就是本章将要介绍的一种解决数学物理方程定解 问题中的解析法――保角变换法，
z平面
x
y
z平面
x
x
（8）儒阔夫斯基变换 取 式中A、a均为常数，此式可改写为 得
＝常数，对应椭圆，焦点为 ＝常数，对应双曲线，焦点为 ，对应两条射线； ，对应一个线段。
将t和z分别写成实部和虚部的形式，便可以证 明，此变换能将t平面实轴上大于 和小于 部分变换为z平面的实轴；而t平面实轴上 一段 则变换到z平面上，成为圆心在z＝0， 半径为a的一个圆。
§8.7保角变换和曲线坐标
§ 8.7 保角变换和曲线坐标学习思路：弹性力学问题的求解有赖于边界条件的简化。
对于复杂的边界形状，如果利用空间的变换，将是简化问题求解的最好途径。
保角变换就是充分发挥复变函数的特长，将孔口问题映射到平面的单位圆。
这一节将介绍保角变换和曲线坐标的概念。
由于应用保角变换，矢量－位移，张量－应力公式以及K-M 函数等均必须做出曲线坐标描述。
保角变换使得问题的公式复杂，但是边界条件的简化，以及柯西积分的应用将简化问题的分析。
在本节学习之前，请你先学习附录2，（有关保角变换的知识）学习要点：1.保角变换和曲线坐标；2.矢量的保角变换；3.位移分量的曲线坐标表达式；4.应力分量的曲线坐标表达式。
为了便于根据边界条件确定 K-M 函数，采取保角变换z = （）将物体在z 平面上所占的区域变为在平面所占的区域。
一般的说，通过保角变换可以将非圆边界映射为圆边界，使得问题得以简化。
假设将z 平面上的有限区域或者无限区域S 映射为平面的单位圆内的区域，并且将z 平面上的区域S的边界l 映射为单位圆，对应的关系如下表：由于平面上的任一点可以表示为，。
和是点的极坐标。
而根据保角变换公式z = ( )，则z平面任意一点也可以通过和表示。
因此，和又称为曲线坐标。
对于某些问题的描述中，采用曲线坐标形式表示位移和应力有利于问题的分析。
曲线坐标的概念：平面的一个圆周=const 和一条径向直线=const分别对应于z 平面的两条曲线，这两条曲线就记作=const和=const。
于是和可以看作z 平面上一点的曲线坐标。
由于变换的保角性，这个曲线坐标总是正交的，而且坐标轴和的相对位置和坐标轴Ox和Oy的相对位置相同，如图所示。
首先讨论矢量的保角变换。
设曲线坐标，即=const 与x 轴夹角，如果A 为z 平面上的任一矢量，设A 与曲线坐标夹角。
设A x, A y 分别表示矢量A 在x，y 轴的投影；A , A 表示在=const 和=const 上的投影，则上式的几何意义为，将矢量A 绕z 点顺时针方向转动角后，其在Oxy 坐标系的位置，相当于A 在曲线坐标系( ， )中的位置，如图所示。
Laplace变换
比较结果如表 2-1 所示
从表 2-1 可见
为节约计算时间
本文 Laplace 数值逆变换中的
2.1.2 Hankel 变换及数值逆变换 1 Hankel 变换及逆变换式为
~m
f (ξ) = H m ( f ( r )) = ∫ rf (r ) J m (ξr ) dr
0 ~m ∞ ~m
∞
2.22
f (r) = H
1 a +i ∞ st f (t ) = L [ F ( s )] = ∫i∞F (s )e ds 2πi a −
−1
(2.2)
Heaviside 阶跃函数
形状如图 2-1 所示 t<0 t 0 f(t) 1 (2.3)
H (t ) =
f(t) 1
0 1
t
图 2-1 H(t) 阶跃函数
a
图 2-2 Fig.2-2 -13-
其中
−1
m
( f (ξ)) = ∫ ξ f (ξ) J m (ξr )dξ
0
(2.23)
J m (ξr ) 是第一类 m 阶 Bessel 函数. 1 ' m f (r ) − 2 f ( r )] = −ξ 2 H m [ f (r )] r r ξ (( m − 1) H m +1 [ f (r )] − ( m + 1) H m −1 [ f ( r )]) 2m
(2)Hankel 变换的性质有
H m [ f '' ( r ) + H m [ f ' ( r )] =
2.24 (2.25) (2.26)
1 ξ H m [ f ( r )] = ( H m −1 [ f (r )] + H m +1 [ f ( r )]) r 2m
《流体力学》课件 3.9 保角变换
d w dW d d z d d z
在无穷远处，有：
d w d z
dW d
d dz
考虑到
dW d
kV
，
d dz
1 k
，有：
dw dz
V
三、环量的确定
1. 补充条件
dw 有限的常数
dz zB 2. 环量的确定
dz
d
E
0
dw 有限常数
dz zB
dw
d
E
w1 z
Q
2
lnz
i
h
Q
2
lnz
i
h
Q ln z2 h2 2
wz
w1 z
w1
a2 z
wz
Q
2
ln z2
a4 z2
h2
a4 h2
dz
d
k
；（其中：
k
是正的实数）
（根据黎曼定理这样的函数存在且是唯一的）
W
kV
w
z
kV R
kV
2
2 i
F z
ln
kV
F z
R
2
F z
ln
2 i
F
z
证明：1. 因W 是在 K D 上连续且在 D 内解析的函数， Fz是在 C D 上连续且在 D 内解析的函数。于是，根据复合函数的性质 wz W F z
一、保角变换的概念
w f z
V f lin w f ei Δz0 z
w wei f eiz f z ei
12
1 2
2 1` 2 1`
黎曼定理：
任何一个单连通区域必可通过某个保角变换 变为另一个任意给定的单连通区域。
保角变换
1 应用原理及特点在矿场水力压裂中，如何针对有效渗透率和厚 度不等的特定储层，设计出缝长和导流能力的优化 方案， 是应考虑的首要问题之一。
另外需要一种计算裂缝井产能的简易方法。
应用保角变换方法研究压裂井产能，其原理及特点是：①能将 z 平面上特别复杂的渗流问题转化为平面上一相对简单和易于求解的渗流问题；② 可准确地描述井筒附近较为复杂的流动型态( 裂缝 内流动和非裂缝区域拟径向流动) 对压裂后产能的贡献，而且能对不同导流能力造成的复杂流线型态 统一转化，因而具有广泛的适应性；③经过保角变换后假设的缝端封闭边界条件更符合实际，因保角变换后， 裂缝端部位于主流线上。
以此为基础，应用质量守衡定律和达西运动方程，推导出了裂缝内原油 流动所满足的压力二阶微分方程， 并进行了产量的 求解，与现有的典型曲线对比，一致性程度较好。
2 数学模型2、1模拟的假设条件 模拟的假设条件是： ①垂直裂缝 ， 且对称分布于油井的两边； ②假设裂缝剖面为矩形， 高度恒定， 并等于油层厚度 ； ③裂缝宽度相对油藏的供给半径来 说非常小，即在进行保角变换时可忽略不记； ④裂缝 内导流能力可以是有限导流， 也可以是无限导流； ⑤油藏及裂缝内为单相流动，且符合达西线性定律； ⑥稳态渗流，且不考虑地层的垂向流动； ⑦不考虑地层和裂缝内的污染。
2、2模型 的建立在 z 平面上建立 一 Y 坐标系，保角变换转化为平面 r — s 坐标系( 图1 )图一 保角变换示意图取保角变换为：chw L z f =2ww e e chw -+=式中：z 为Z 平面上的复变函数，i y x z +=，f L 为裂缝半长，m;w 为变换后的W 平面，''i y x w +=。
裂缝井的渗流问题从而演变为带状地层向中心 线A 的单向渗流问题。
由于对称性 ， 只研究 平 面中图示阴影部分的单向渗流问题。
其中'O 为''B A 的中点 ， 即2''π=A O 。
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§8.7 保角变换和曲线坐标
学习思路：
弹性力学问题的求解有赖于边界条件的简化。
对于复杂的边界形状，如果利用空间的变换，将是简化问题求解的最好途径。
保角变换就是充分发挥复变函数的特长，将孔口问题映射到ξ 平面的单位圆。
这一节将介绍保角变换和曲线坐标的概念。
由于应用保角变换，矢量－位移，张量－应力公式以及K-M函数等均必须做出曲线坐标描述。
保角变换使得问题的公式复杂，但是边界条件的简化，以及柯西积分的应用将简化问题的分析。
在本节学习之前，请你先学习附录2，（有关保角变换的知识）
学习要点：
1. 保角变换和曲线坐标；
2. 矢量的保角变换；
3. 位移分量的曲线坐标表达式；
4. 应力分量的曲线坐标表达式。
为了便于根据边界条件确定K-M函数，采取保角变换
z = ω (ξ)
将物体在z平面上所占的区域变为在ξ平面所占的区域。
一般的说，通过保角变换可以将非圆边界映射为圆边界，使得问题得以简化。
假设将z平面上的有限区域或者无限区域S映射为ξ平面的单位圆内的区域∑，并且将z平面上的区域S的边界l 映射为单位圆γ，对应的关系如下表：
由于ξ 平面上的任一点可以表示为，。
ρ和ϕ是点ξ 的极坐标。
而根据保角变换公式z = ω (ξ)，则z平面任意一点也可以通过ρ和ϕ表示。
因此，ρ 和ϕ 又称为曲线坐标。
对于某些问题的描述中，采用曲线坐标形式表示位移和应力有利于问题的分析。
曲线坐标的概念：ξ平面的一个圆周ρ =const和一条径向直线ϕ =const分别对应于z平面的两条曲线，这两条曲线就记作ρ =const和ϕ =const。
于是ρ和ϕ可以看作z平面上一点的曲线坐标。
由于变换的保角性，这个曲线坐标总是正交的，而且坐标轴ρ 和ϕ 的相对位置和坐标轴Ox和Oy的相对位置相同，如图所示。
首先讨论矢量的保角变换。
设曲线坐标ρ，即ϕ =const与x轴夹α角，如果A 为z平面上的任一矢量，设A与曲线坐标ρ 夹β角。
设A x, A y分别表示矢量A 在x，y轴的投影；Aρ ,Aϕ 表示在ρ=const和ϕ =const上的投影，则
上式的几何意义为，将矢量A绕z点顺时针方向转动α角后，其在Oxy坐标系的位置，相当于A在曲线坐标系（ρ，ϕ）中的位置，如图所示。
如果用uρ , uϕ 分别表示曲线坐标下的位移矢量分量，则
根据保角变换，有
所以
沿曲线（ρ）取微分线段d z，则在ξ平面对应的有dξ，由于
所以，取其共轭可得。
将上式回代到公式，可得
下面通过保角变换对弹性力学的公式作对应的转换。
首先，设K-M函数和ψ (z)分别使用和ψ 1(z)代替，同时令
根据位移表达式，有
在z 平面上，将位移矢量向曲线坐标ρ和ϕ投影。
由公式
可得
上式两边同时乘以2G，可得
上式是ξ平面上的曲线坐标系表达的位移表达式。
下面建立曲线坐标中应力分量的复变函数表达式。
如果用σρ, σϕ , τρϕ表示物体在曲线坐标中的应力分量。
则
因为和,而由公式
所以
上式为经过保角变换后，z平面上的曲线坐标系中的应力分量的复变函数表达式。
§8.8 无限大薄板的孔口问题
学习思路：
本节的主要任务是将保角变换用于无限大薄板的孔口问题，确定K-M 函数的基本求解公式。
推导中首先确定无限大板孔口问题的保角变换公式，将K-M 函数转换为曲线坐标形式。
采用的方法仍然是将K-M 函数分解为以级数表达的解析函数和对数表达的多值函数两部份。
对于K-M 函数的级数形式，通过孔口面力边界条件可以确定级数函数的求解方程。
这个求解过程，利用保角变换后孔口边界的特殊性质，使用柯西积分使得计算简化。
学习要点：
1. 保角变换公式与K-M 函数；
2. 利用孔口边界条件确定K-M 函数求解公式；
3. 柯西积分确定K-M 函数的级数形式。
保角变换的目标是：将z平面上的孔口边界l映射为ξ 平面上的单位圆γ，将l 以外的无限区域S 映射为ξ 平面上的单位圆内的有限区域∑，将z平面上的无穷远点映射为ξ平面的坐标原点，如图所示。
保角变换公
式：
是将l
以外的无限区域映射为单位圆γ 内（|ξ|＜1）的普遍变换式，公式中R为实数，C k为复数，而且<1。
保角变换公式确定以后，可以确定K-M函数和ψ(ξ)，即将K-M函数和ψ1(z)变换到曲线坐标中去。
其
中
因
为
由于<1 ，将上式展开，有
所以，ln z = ln ξ +单位圆内部ξ的解析函数。
另
外。
根据上述分析，的各项都转变为单位圆内ξ 的单值解析函数。
因此
其
中，。
讨论边界条件确定K-M 函数和ψ 0(ξ)。
根据面力边界条件
，经过保角变换后，可得
在单位圆的圆周上，。
所以上述面力边界条件可以表示为
根据公式
，则在边界即单位圆周上
将上述K-M函数的边界值回代面力边界条件，并且将已知函数与需要确定的未知函数分开，可得
其中已知函数为
因为和ψ0(ξ)是单位圆内的泰勒级数，它们是从z平面上l R之外无穷区域的罗伦级数转化而来的。
因此对于公式
幂级数求解时，由于方程两边都含有σk=e i kϕ的各个项（k由－∞到∞），比较各个同类项的系数，即可求得a k，b k的
值。
不过这样作太麻烦了，由于和ψ0(ξ )在单位圆内是解析的，而且在
圆内和圆周上是连续的，因此可以直接采用柯西积分计算。
将边界条件的第一式两边乘以，积分可得
由于在单位圆内是解析的，因此公式的第一个积分即等于
，它是级数之和。
对于公式第三项的积分函数，由于
在单位圆外是解析的，在圆外和圆周上是连续的，所以。
因此，边界条件的第一式就成为
同理，边界条件的第二式成为
上述公式就是边界条件通过柯西积分所推导出的计算和ψ0(ξ)表达式。
其中是边界的已知函数。